Salom, do'stlar! Bugun biz tasviriy geometriya mavzusini tahlil qilamiz - to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishishi va chiziq ko'rinishini aniqlash.

Biz topshiriqni Bogolyubov to'plamidan olamiz, 1989, 63-bet, var. 1. Berilgan koordinatalarga muvofiq ABC uchburchak va MN to‘g‘ri chiziqning kompleks chizmasini qurishimiz kerak. Chiziqning ABC noaniq tekisligi bilan uchrashish (kesishish) nuqtasini toping.Chiziqning ko'rinadigan kesimlarini aniqlang.

To'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishishi

1. A, B va C nuqtalarning koordinatalariga asoslanib, NM uchburchak va to'g'ri chiziqning kompleks chizmasini quramiz. Gorizontal proyeksiya bilan chizishni boshlaymiz. Yordamchi chiziqlar yordamida proyeksiya nuqtalarining koordinatalarini topamiz.

2. Biz shunday murakkab chizilgan rasmni olamiz.

3. Aniqlash chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalari keling, quyidagilarni bajaramiz.

a) NM to'g'ri chiziq orqali P yordamchi tekislik o'tkazing, ya'ni. frontal proyeksiyada Pv tekislikning izini chizamiz, gorizontal tekislikda Pn perpendikulyar - P tekislikning gorizontal izini tushiramiz.

b) P tekislik izining ABC uchburchak bilan kesishish chizig'ining frontal proyeksiyasini topamiz. Bu d'e' segmenti. Gorizontal proyeksiyani aloqa chiziqlari bo'ylab uchburchakning ab (t. d) va ac (t. e) tomonlari bilan kesishgan joyiga topamiz. Biz d va e nuqtalarini bog'laymiz.

c) de va nm kesishmasi birgalikda kerakli nuqtaning gorizontal proyeksiyasi bo'ladi. to'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishishi k.

d) k nuqtadan d'e' bilan kesishgan joyga aloqa chizig'ini o'tkazamiz, k' nuqtaning frontal proyeksiyasini olamiz.

e) aloqa chiziqlari bo'ylab k'' nuqtaning profil proyeksiyasini topamiz.

Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalari K topildi. Bu nuqta chiziq va tekislikning uchrashish nuqtasi deb ham ataladi.

Chiziq ko'rinishini aniqlash

Uchun chiziq ko'rinishini aniqlash usulidan foydalaning raqobatlashadigan nuqtalar.

Bizning chizmamizga kelsak, raqobatlashadigan nuqtalar:

- ball: d' a'b'ga tegishli va e' n'mga tegishli (oldindan raqobatlashuvchi),

- nuqtalar: bc ga tegishli g va h egalik qiladi nm (gorizontal raqobatdosh),

- nuqtalar: l'' b''c'' ga tegishli va p'' ga tegishli n''m'' (profil raqobatdosh).

Raqobat qilayotgan ikkita nuqtadan eng baland bo'lgan nuqta ko'rinadi. Ko'rish chizig'i K nuqtasi bilan cheklangan.

D’ va e’ nuqtalar juftligi uchun ko’rinish quyidagicha aniqlanadi: gorizontal proyeksiyada ab va nm bilan kesishgan perpendikulyarni tushiramiz, d va f nuqtalarni topamiz. Biz f nuqta uchun y-koordinata d dan katta ekanligini ko'ramiz → f nuqta ko'rinadi → f'k' kesmada nm to'g'ri chiziq ko'rinadi, k'm' kesmada esa ko'rinmaydi.

Xuddi shunday g va h nuqtalar juftligi uchun bahslashamiz: frontal proyeksiyada h' nuqtaning z-koordinatasi g' nuqtadan katta → h' nuqta ko'rinadi, g' emas → to'g'ri chiziq nm. hk segmentida ko'rinadi, lekin kn segmentida ko'rinmaydi.

Bir juft nuqta uchun esa l''p'': frontal proyeksiyada x-koordinata p' nuqtadan kattaroqdir, demak u profil proyeksiyasida l'' nuqtani qoplaydi → r''. ko'rinib turadi, l'' emas → n' 'k'' chiziq bo'lagi ko'rinadi, k''m'' ko'rinmas.

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash uchun biz quyidagi algoritmdan foydalanamiz: chiziqni yordamchi tekislikka qo'yamiz, bu ikki tekislikning kesishish chizig'ini (berilgan va yordamchi) va kesishish chizig'ini topamiz. berilgan chiziq bilan kesishgan tekisliklar kerakli nuqtani beradi. Qurilishning oxirgi bosqichi raqobatlashuvchi nuqtalar yordamida chiziqning ko'rinishini aniqlashdir.

Misol 1. Samolyot izlar bilan o'rnatiladi (70-rasm)

1. Chiziqning kesishish nuqtasini qurish l tekislik bilan, to'g'ri chiziq orqali ma'lum bir pozitsiyaning yordamchi tekisligini chizish kerak, masalan, old proyeksiyalovchi b p 2, l"" f ob , f ob – yig'uvchi iz, h ob x (71-rasm).

2. Biz kesishish chizig'ini quramiz MN berilgan va yordamchi tekislik M "=h oa ∩ h ob, N""= f ob ∩ f oa (72-rasm).

3. Kesishish nuqtasini aniqlang Kimga berilgan qator l kesishish chizig'i bilan MN. K"=M"N"∩l, K""- dan chizilgan proektsion aloqa chizig'ining kesishmasida K" va l"".

4. To'g'ridan-to'g'ri ko'rinish l tekislikni izlar bilan ko'rsatgan taqdirda biz aniqlamaymiz.

Misol 2. To'g'ri chiziqning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishishi (73-rasm).

To'g'ri chiziqning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasini qurishda vazifa soddalashtiriladi, chunki kerakli nuqtaning proyeksiyalaridan biri yig'uvchi izda yotadi. 73-rasmda gorizontal proyeksiyalovchi tekislik ko'rsatilgan. Qidiruv nuqtasi Kimga bir vaqtning o'zida a tekislikka va chiziqqa tegishli bo'ladi a.

3-misol . Samolyot tekis shakl bilan berilgan (74-rasm).

To'g'ri chiziq orqali l muayyan holatdagi yordamchi tekislikni chizamiz, masalan, gorizontal proyeksiyalovchi b p 1 . l" h ob , h ob - yig'uvchi iz, f ob x (75-rasm).

2. Biz kesishish chizig'ini quramiz MN berilgan va yordamchi tekisliklar. M"=A"C"∩hoβ M""A""C"" va N"=B"C"∩hob N""B""C""(76-rasm).

3. Kesishuv nuqtasini qurish Kimga berilgan qator l kesishish chizig'i bilan MN. K""= M""N""∩l"". TO" dan chizilgan proyeksiya aloqa chizig'ining kesishmasida joylashgan K"" va M"N".

4. Chiziqning D ga nisbatan ko'rinishini aniqlang ABC raqobatdosh ochkolar bilan.

Samolyotga nisbatan ko'rinishni aniqlash p 2.Frontal proyeksiyaga e'tibor bering 1"" bilan mos keladi 2"" . reja ko'rinishi 2" eslatma A "C", a 1" ustida l". Gorizontal proyeksiya 1" oldin yotadi 2" 2"" nisbatan ko'rinmas p 2. Nuqta 1 l chizig'ida yotadi, u ustida ko'rinadi p 2, shuning uchun frontal proyeksiya l" 1"2"" dan TO"" nuqtada ko'rinadi TO"" ko'rinish teskari.

Chiziqning ko'rinishini aniqlang l samolyotga nisbatan pi 1. Gorizontal proyeksiyaga e'tibor bering 3" , gorizontal proyeksiyaga to'g'ri keladi M". M "" A "" C "" allaqachon belgilangan, 3""l"". Frontal proyeksiya M"" frontal proyeksiyadan yuqorida yotadi 3"" , demak, nuqta M nisbatan ko‘rinadi pi 1. Nuqta 3 yotadi l, shuning uchun, dan M"≡3" oldin TO", gorizontal proyeksiya l" ko'rinmas. reja ko'rinishida TO" ko'rinish teskari. D dan tashqari ABC To'g'riga l hamma joyda ko'rinadi.

Ikki tekislikning kesishish chizig'i to'g'ri chiziqdir. Avval kesishuvchi tekisliklardan biri gorizontal proyeksiya tekisligiga parallel bo'lgan (a p 1, f 0 a X) bo'lgan maxsus holatni ko'rib chiqaylik (3.9-rasm). Bunda a tekislikka tegishli bo'lgan a kesishma chizig'i ham p 1 tekislikka parallel bo'ladi, (3.9. a rasm), ya'ni u kesishuvchi tekisliklarning gorizontaliga (a ≡ h) to'g'ri keladi. ).

Agar tekisliklardan biri proyeksiyalarning frontal tekisligiga parallel bo'lsa (3.9. b-rasm), u holda bu tekislikka tegishli a kesishish chizig'i p 2 tekislikka parallel bo'ladi va kesishuvchi tekisliklarning old qismiga to'g'ri keladi ( a ≡ f).

.

.

Guruch. 3.9. Samolyot kesishishining alohida holati umumiy pozitsiya samolyotlar bilan: a - gorizontal daraja; b - frontal daraja

a (AB) to'g'ri chiziqning a (DEF) tekislik bilan kesishish nuqtasini (K) qurish misoli rasmda ko'rsatilgan. 3.10. Buning uchun a chiziq ixtiyoriy b tekislikka o'raladi va a va b tekisliklarning kesishish chizig'i aniqlanadi.

Ko‘rib chiqilayotgan misolda AB va MN to‘g‘rilar bir xil b tekislikka tegishli bo‘lib, K nuqtada kesishadi va MN to‘g‘ri berilgan a (DEF) tekislikka tegishli bo‘lgani uchun K nuqta ham kesmaning kesishish nuqtasidir. a tekislik bilan a (AB) chiziq. (3.11-rasm).

.

Guruch. 3.10. Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini qurish

Bunday masalani murakkab chizmada yechish uchun umumiy holatdagi chiziqning umumiy holatdagi tekislik bilan kesishish nuqtasini topa bilish kerak.

Shaklda ko'rsatilgan DEF uchburchak tekisligi bilan AB to'g'rining kesishish nuqtasini topish misolini ko'rib chiqing. 3.11.

A 2 B 2 chiziqning frontal proyeksiyasi orqali kesishish nuqtasini topish uchun uchburchakni M va N nuqtalarda kesib o'tuvchi frontal proyeksiyalovchi b tekislik chizilgan. Frontal proyeksiyalar tekisligida (p 2) bu nuqtalar tasvirlangan. M 2, N 2 proyeksiyalari bo'yicha. Proyeksiyalarning gorizontal tekisligida (p 1) to'g'ri tekislikka tegishlilik shartidan olingan M 1 N 1 nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari topiladi. A 1 B 1 va M 1 N 1 chiziqlarning gorizontal proyeksiyalari kesishmasida ularning kesishish nuqtasining (K 1) gorizontal proyeksiyasi hosil bo'ladi. Aloqa chizig'i va proyeksiyalarning frontal tekisligiga tegishlilik shartlariga ko'ra, kesishish nuqtasining frontal proyeksiyasi (K 2) topiladi.

.

Guruch. 3.11. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini aniqlashga misol

AB segmentining DEF uchburchakka nisbatan ko'rinishi raqobatlashuvchi nuqtalar usuli bilan aniqlanadi.

p 2 tekislikda ikkita NEF va 1AB nuqtalari hisobga olinadi. Bu nuqtalarning gorizontal proyeksiyalariga ko'ra N nuqta kuzatuvchiga (Y N >Y 1) 1 nuqtadan (ko'rish chizig'i yo'nalishi S ga parallel) yaqinroq joylashganligini aniqlash mumkin. Binobarin, AB to'g'ri chiziq, ya'ni AB (K 1) to'g'ri chiziqning qismi p 2 tekislikdagi DEF tekisligi bilan yopiladi (uning K 2 1 2 proyeksiyasi kesilgan chiziq bilan ko'rsatilgan). p 1 tekisligida ko'rinish xuddi shunday o'rnatiladi.

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1) Raqobat balli usulining mohiyati nimada?

2) To'g'ri chiziqning qanday xossalarini bilasiz?

3) Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini aniqlash algoritmi qanday?

4) Qanday vazifalar pozitsion deb ataladi?

5) To'g'ri tekislikka tegishli bo'lish shartlarini tuzing.

"Tabiiy tarix akademiyasi" nashriyoti tomonidan chop etilgan jurnallarni e'tiboringizga havola qilamiz.

Agar chiziq tekislikda yotmasa va unga parallel bo'lmasa, u tekislikni kesib o'tadi.
To'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash vazifasi quyidagicha:
1) yordamchi tekislikni chizish ( Yordamchi tekislikni eng oddiyini beradiganni tanlash tavsiya etiladi grafik yechim vazifalar) ushbu chiziq orqali;
2) yordamchi tekislikning berilgan tekislik bilan kesishish chizig‘ini topish;
3) berilgan to'g'ri chiziqning tekisliklarning kesishish chizig'i bilan, demak, berilgan tekislik bilan kesishish nuqtasini aniqlash.

1-misol. On (250-rasm, a) d (d 1) tekislik va AB to'g'ri chiziq (A 1 B 1 va A 2 B 2) berilgan; ularning kesishish nuqtasini aniqlash talab qilinadi.

Bunday holda, yordamchi tekislikka murojaat qilishning hojati yo'q, chunki berilgan samolyot d - gorizontal - proyeksiyalovchi. Proyeksiyalovchi tekisliklarning xossasiga ko'ra, d tekislikda yotgan kesishish nuqtasining gorizontal proyeksiyasi d 1 gorizontal proyeksiyasi bilan birlashadi.
Demak, AB to’g’ri chiziqning A 1 B 1 gorizontal proyeksiyasining gorizontal proyeksiyasi d 1 bilan kesishgan K 1 nuqtasi K nuqtaning gorizontal proyeksiyasi; frontal proyeksiyasi K 2 A 2 B 2 frontal proyeksiyasi bilan kesishguncha vertikal aloqa chizig'ini o'tkazish yo'li bilan aniqlanadi.
2-misol. On (250,b-rasm) AB to'g'ri chiziqning old proyeksiyalovchi d tekisligi bilan kesishishiga misol ko'rsatilgan.

Misol 1. Berilgan: umumiy holatdagi tekislik a va to'g'ri chiziq AB umumiy holatida (A 1 B 1 A 2 B 2); ularning kesishish nuqtasini topish talab qilinadi (251,a-rasm).
Biz, masalan, AB to'g'ri chiziq orqali qandaydir yordamchi tekislikni o'tkazamiz gorizontal - proyeksiyalash tekislik d (d 1), ko'rsatilgandek (251b-rasm); u a tekislikni NM (N 1 M 1, N 2 M 2) to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesib o‘tadi, bu esa o‘z navbatida AB (A 1 B 1 A 2 B 2) to‘g‘ri chiziqni C (C) nuqtada kesib o‘tadi. 1 C 2), ko'rinib turganidek (251-rasm, c). C nuqta - AB to'g'rining a tekislik bilan kesishgan nuqtasi.

2-misol. (252-rasm) AB to'g'rining umumiy holat tekisligi bilan kesishgan nuqtasining proyeksiyalarini gorizontal h yordamida topishga misol.
Misol 3. Berilgan: uchburchak ABC va chiziq NM ; ularning kesishish nuqtasini aniqlash talab qilinadi (253-rasm,a).
Yordamchi tekislik sifatida gorizontal proyeksiyalovchi d tekislikni olaylik, u holda gorizontal proyeksiya og N 1 M 1 to'g'ri chiziq NM gorizontal proyeksiyasi bilan birlashadi va uchburchak tomonlari proyeksiyalarini E 1 va F 1 nuqtalarda kesib o'tadi (1-rasm). 253,b). E 1 F 1 segmenti kesishish chizig'ining gorizontal proyeksiyasi bo'ladi. Keyin kesishish chizig'ining frontal proyeksiyasini topamiz: vertikal aloqa chiziqlaridan foydalanib, biz E 2 va F 2 nuqtalarini olamiz, biz ular orqali E 2 F 2 to'g'ri chiziqni o'tkazamiz, bu kesishish chizig'ining frontal proyeksiyasi bo'ladi.
E 2 F 2 chiziq N 2 M 2 chiziqni K 2 nuqtada kesib o'tadi. K 2 nuqta MN chiziqning EF chizig'i bilan kesishgan nuqtasining frontal proyeksiyasi bo'ladi; bu nuqtaning gorizontal proyeksiyasi K 1 vertikal aloqa liniyasi yordamida aniqlanadi.
K (K 1 , K 2 ) nuqta berilgan MN to‘g‘rining berilgan ABC uchburchak bilan kesishish nuqtasi bo‘ladi, chunki bir vaqtning o‘zida ularga tegishli bo‘ladi, chunki MN chiziq unda yotgan EF chiziq bilan kesishadi. ABC uchburchakning tekisligi.

1-mashq
Cho‘qqilari koordinatalari berilgan ABC uchburchakning kompleks chizmasini tuzing. Uchburchak tomonlarining haqiqiy o'lchamini toping va uni haqiqiy o'lchamga keltiring. Xuddi shu koordinatalardan foydalanib, vizual tasvirni yarating
2-mashq
Ko‘pburchakning frontal proyeksiyasiga va unga qo‘shni ikki tomonining gorizontal proyeksiyalariga ko‘ra, ko‘pburchakning gorizontal proyeksiyasini yakunlang.
Ko‘pburchak tekisligida ixtiyoriy uchburchakning proyeksiyalarini tuzing. Ko'pburchakdan tashqarida, lekin u bilan bir tekislikda yotgan nuqtani quring (

To'g'ri chiziqning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasini qurish diagrammada nuqtaning ikkinchi proyeksiyasini qurishga qisqartiradi, chunki nuqtaning bir proyeksiyasi doimo proyeksiyalovchi tekislikning izida yotadi, chunki proyeksiyalovchi tekislikdagi hamma narsa tekislik izlaridan biriga proyeksiyalanadi. Shaklda. 224,a da EF to‘g‘ri chiziqning ABC uchburchakning old proyeksiyalovchi tekisligi bilan kesishish nuqtasi (V tekislikka perpendikulyar) V tekislikda ABC uchburchak a “c” segmentiga proyeksiyalangan. toʻgʻri chiziqning va k “nuqtasi ham shu chiziqda yotadi va e “f” ning “c” bilan kesishgan nuqtasida boʻladi. Gorizontal proyeksiya proyeksiyalovchi bogʻlanish chizigʻi yordamida quriladi. Toʻgʻri chiziqning koʻrinishi. ABC uchburchak tekisligiga nisbatan chiziq bilan aniqlanadi nisbiy pozitsiya ABC uchburchagi va EF to'g'ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyalari V. Ko'rish yo'nalishi - rasm. 224, o'q bilan ko'rsatilganidek. To'g'ri chiziqning frontal proyeksiyasi uchburchak proyeksiyasidan yuqori bo'lgan qismi ko'rinadi. K nuqtaning chap tomonida to'g'ri chiziq proyeksiyasi uchburchak proyeksiyasidan yuqorida joylashgan, shuning uchun bu qism H tekisligida ko'rinadi.

Shaklda. 224, b, to'g'ri chiziq EF gorizontal tekislik bilan kesishadi P. frontal proyeksiyasi k "nuqtaning K - tekis chiziq EFning P tekislik bilan kesishish nuqtasi - e proyeksiyasining kesishish nuqtasida bo'ladi". f " tekislikning izi bilan Pv, ​​gorizontal tekislik old proyeksiyalovchi tekislik bo'lgani uchun. K nuqtaning gorizontal proyeksiyasi k proyeksiyalovchi bog'lanish chizig'i yordamida topiladi.

Ikki tekislikning kesishish chizig'ini qurish bu ikki tekislik uchun umumiy ikkita nuqtani topishga qisqartiriladi. Bu kesishish chizig'ini qurish uchun etarli, chunki kesishish chizig'i to'g'ri chiziq bo'lib, to'g'ri chiziq ikkita nuqta bilan belgilanadi. Proyeksiyalovchi tekislik umumiy holatdagi tekislik bilan kesishganda, kesishuv chizig‘ining proyeksiyalaridan biri proyeksiyalovchi tekislik perpendikulyar bo‘lgan proyeksiyalar tekisligida joylashgan tekislikning iziga to‘g‘ri keladi. Shaklda. 225, va MN kesishish chizig'ining m "n" frontal proyeksiyasi old proyeksiyalovchi P tekislikning Pv iziga to'g'ri keladi va rasmda. 225b, gorizontal proyeksiya kl gorizontal proyeksiyalovchi tekislikning iziga to'g'ri keladi R. kesishish chizig'ining boshqa proyeksiyalari proyeksiya aloqasi liniyalari yordamida quriladi.

Chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini qurish umumiy holat (226-rasm, a) berilgan EF to’g’ri chiziq orqali o’tkaziladigan yordamchi proyeksiyalovchi R tekisligi yordamida bajariladi. Yordamchi tekislik R ning ABC uchburchagining berilgan tekisligi bilan 12-kesishma chizig'i quriladi, R tekislikda ikkita to'g'ri chiziq olinadi: EF - berilgan chiziq va 12 - K nuqtada kesishgan kesishish chizig'i. .

K nuqtaning proyeksiyalarini topish rasmda ko'rsatilgan. 226b. Qurilishlar quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi.

EF to'g'ri chiziq orqali yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi R tekislik o'tkaziladi.Uning izi R H EF to'g'ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi ef bilan mos keladi.

R tekislikning 12-kesimasining frontal proyeksiyasi 1 "2" chizig'ini quring berilgan samolyot proyeksiya chiziqlaridan foydalangan holda ABC uchburchagi, chunki kesishish chizig'ining gorizontal proyeksiyasi ma'lum. U R tekislikning R H gorizontal iziga to'g'ri keladi.

Kerakli K nuqtaning frontal proyeksiyasi k" aniqlanadi, u bu to'g'ri chiziqning frontal proyeksiyasining kesishish chizig'ining 1"2" proyeksiyasi bilan kesishgan joyida joylashgan. Nuqtaning gorizontal proyeksiyasi proyeksiya yordamida quriladi. ulanish liniyasi.

ABC uchburchak tekisligiga nisbatan chiziqning ko'rinishi raqobatlashuvchi nuqtalar usuli bilan aniqlanadi. To'g'ri chiziqning proyeksiyalarning frontal tekisligida ko'rinishini aniqlash uchun (226-rasm, b) frontal proyeksiyalari mos keladigan 3 va 4 nuqtalarning Y koordinatalarini solishtiramiz. BC to‘g‘rida joylashgan 3-nuqtaning Y-koordinatasi EF to‘g‘rida joylashgan 4-nuqtaning Y-koordinatasidan kichik. Demak, 4-nuqta kuzatuvchiga yaqinroq (ko'rish yo'nalishi o'q bilan ko'rsatilgan) va to'g'ri chiziqning proyeksiyasi ko'rinadigan V tekislikda tasvirlangan. Chiziq uchburchakning oldidan o'tadi. K" nuqtaning chap tomonidagi chiziq ABC uchburchak tekisligi bilan yopiladi.

Gorizontal proyeksiya tekisligida ko'rinish 1 va 5 nuqtalarning Z koordinatalarini solishtirish orqali ko'rsatiladi. Z 1 > Z 5 bo'lgani uchun 1 nuqta ko'rinadi. Shuning uchun 1-nuqtaning o'ng tomonida (K nuqtagacha) EF chizig'i ko'rinmaydi.

Umumiy holatda ikkita tekislikning kesishish chizig'ini qurish uchun yordamchi sekant tekisliklardan foydalaniladi. Bu rasmda ko'rsatilgan. 227 a. Bir tekislik ABC uchburchagi bilan, ikkinchisi EF va MN parallel chiziqlar bilan berilgan. Berilgan tekisliklar (227-rasm, a) uchinchi yordamchi tekislik bilan kesishadi. Qurilish qulayligi uchun gorizontal yoki frontal tekisliklar yordamchi tekisliklar sifatida olinadi. Bunda yordamchi tekislik R gorizontal tekislikdir. U berilgan tekisliklarni 12 va 34 to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi, bu to'g'ri chiziqlar kesishmada barcha uchta tekislikka tegishli bo'lgan K nuqtani beradi va shunga ko'ra ikkita berilgan, ya'ni berilgan tekisliklarning kesishish chizig'ida yotgan. Ikkinchi nuqta ikkinchi yordamchi tekislik yordamida topiladi Q. Topilgan ikkita K va L nuqta ikki tekislikning kesishish chizig'ini aniqlaydi.

Shaklda. 227b, yordamchi tekislik R frontal uyg'onish bilan berilgan. R tekislikning berilgan tekisliklar bilan 1 “2” va 3”4 kesishish chiziqlarining frontal proyeksiyalari R tekislikning Rv frontal iziga to‘g‘ri keladi, chunki R tekislik V tekislikka perpendikulyar va bo‘lgan hamma narsa. unda (shu jumladan kesishish chiziqlari) uning frontal iziga Rv proyeksiyalanadi.Bu chiziqlarning gorizontal proyeksiyalari 1”, 2”, 3”, 4” nuqtalarning frontal proyeksiyalaridan kesmaga chizilgan proyeksiya bog‘lanish chiziqlari yordamida quriladi. 1, 2, 3, 4 nuqtalarda mos keladigan chiziqlarning gorizontal proyeksiyalari bilan. Tuzilgan kesishish chiziqlarining gorizontal proyeksiyalari k nuqtada bir-biri bilan kesishguncha uzaytiriladi, bu K nuqtaga tegishli gorizontal proyeksiyadir. ikki tekislikning kesishish chizig'i.Bu nuqtaning frontal proyeksiyasi Rv izda.

Kesishish chizig'iga tegishli ikkinchi nuqtani qurish uchun ikkinchi yordamchi Q tekislik o'tkaziladi.Yaratish qulayligi uchun S nuqta orqali R tekislikka parallel Q tekislik o'tkaziladi. Keyin chiziqlarning gorizontal proyeksiyalarini qurish uchun Q tekislik o'tkaziladi. Q tekislikning ABC uchburchak tekisligi bilan va parallel chiziqlar bilan berilgan tekislik bilan kesishishi uchun ikkita nuqtani topish kifoya: c va 5 va ular orqali 12 va 12 va kesishuv chiziqlarining oldindan tuzilgan proyeksiyalariga parallel ravishda to'g'ri chiziqlar o'tkazing. 34, chunki Q ║ R tekislik. Bu chiziqlarni bir-biri bilan kesishguncha davom ettirib, berilgan tekisliklarning kesishish chizig'iga tegishli L nuqtaning gorizontal proyeksiyasi l olinadi. L nuqtaning frontal proyeksiyasi l" Q v izda yotadi va proyeksiyalovchi bog'lanish chizig'i yordamida quriladi. K va L nuqtalarning bir xil nomdagi proyeksiyalarini tutashtirib, kerakli kesishish chizig'ining proyeksiyalari olinadi. .

Agar biz kesishgan tekisliklardan birida chiziq olib, bu chiziqning boshqa tekislik bilan kesishgan nuqtasini qursak, u holda bu nuqta ushbu tekisliklarning kesishish chizig'iga tegishli bo'ladi, chunki u berilgan ikkala tekislikka tegishlidir. Ikkinchi nuqtani ham xuddi shunday quramiz, ikkita tekislikning kesishish chizig‘ini topishimiz mumkin, chunki to‘g‘ri chiziq qurish uchun ikkita nuqta yetarli. Shaklda. 228 uchburchaklar tomonidan berilgan ikkita tekislikning kesishish chizig'ining bunday qurilishini ko'rsatadi.

Bu qurish uchun uchburchakning bir tomoni olinadi va bu tomonning boshqa uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi quriladi. Agar bu bajarilmasa, xuddi shu uchburchakning boshqa tomonini, keyin uchinchisini oling. Agar bu kerakli nuqtani topishga olib kelmasa, ikkinchi uchburchak tomonlarini birinchisi bilan kesishish nuqtalari quriladi.

Shaklda. 228 EF chiziqning ABC uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasi quriladi. Buning uchun EF to'g'ri chiziq orqali yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi S tekislik o'tkaziladi va bu tekislikning ABC uchburchak tekisligi bilan kesishish chizig'ining 1 "2" frontal proyeksiyasi quriladi. Kesishma chizig'ining 1 "2" frontal proyeksiyasi EF to'g'ri chiziqning frontal proyeksiyasi e "f" bilan kesishgan holda M nuqtaning frontal proyeksiyasi m "ni beradi. M nuqtaning gorizontal proyeksiyasi m dan foydalanib topiladi. proyeksiyali bog‘lanish chizig‘i.Berilgan uchburchaklar tekisliklarining kesishish chizig‘iga mansub ikkinchi nuqta , - N nuqta - BC to‘g‘rining DEF uchburchak tekisligi bilan kesishgan nuqtasi.BC chiziq orqali old- proyeksiyalovchi R tekislik chiziladi va H tekislikda BC chiziqning gorizontal proyeksiyalari bilan 34-kesishma chizig'ining kesishishi n nuqtani - kerakli nuqtaning gorizontal proyeksiyasini beradi.Berilgan uchburchaklarning ko'rinadigan kesimlari raqobatlashuvchi nuqtalar yordamida aniqlanadi. har bir proyeksiya tekisligi uchun alohida.Buni amalga oshirish uchun proyeksiya tekisliklaridan birida ikkita raqobatlashuvchi nuqtaning proyeksiyasi bo'lgan nuqta tanlanadi.Ko'rinuvchanlik bu nuqtalarning ikkinchi proyeksiyalaridan koordinatalarini solishtirish orqali aniqlanadi.

Masalan, 5 va 6 nuqtalar bc va de gorizontal proyeksiyalarining kesishish nuqtalaridir. Frontal proyeksiyalar tekisligida bu nuqtalarning proyeksiyalari bir-biriga mos kelmaydi. Ularning Z koordinatalarini solishtirib, ular 5 nuqta 6 nuqtani yopishini aniqladilar, chunki Z 5 koordinatasi Z 6 koordinatadan katta. Shuning uchun, 5-bandning chap tomonida DE tomoni ko'rinmaydi.

Proyeksiyalarning frontal tekisligida ko'rinish DE va ​​BC segmentlariga tegishli raqobatlashuvchi 4 va 7 nuqtalar yordamida, ularning Y 4 va Y 7 koordinatalarini solishtirganda aniqlanadi Y 4 > Y 7 bo'lgani uchun V tekislikdagi DE tomoni ko'rinadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, to'g'ri chiziqning uchburchak tekisligi bilan kesishish nuqtasini qurishda kesishish nuqtasi uchburchak tekisligidan tashqarida bo'lishi mumkin. Bunday holda, kesishish chizig'iga tegishli olingan nuqtalarni birlashtirib, faqat uning ikkala uchburchakka tegishli bo'lgan qismi chiziladi.

SAVOLLARNI KO'RISH

1. Nuqtaning V tekislikdagi holatini qanday koordinatalari aniqlaydi?

2. Nuqtaning Y koordinatasi va Z koordinatasi nima?

3. Diagrammada H proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar segmentning proyeksiyalari qanday joylashgan? V proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar?

4. Diagrammada gorizontal va frontal proyeksiyalar qanday joylashgan?

5. Nuqtaning to‘g‘ri chiziqqa tegishliligi haqidagi bosh pozitsiyani tuzing.

6. Diagrammada kesishuvchi chiziqlarni kesishuvchi chiziqlardan qanday ajratish mumkin?

7. Qanday ochkolar raqobatchi deb ataladi?

8. Ikki nuqtaning qaysi biri frontal proyeksiyalar tekisligidagi proyeksiyalari bir-biriga to'g'ri kelsa, ularning qaysi biri ko'rinib turishini qanday aniqlash mumkin?

9. To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi haqidagi asosiy pozitsiyani tuzing.

10. To‘g‘ri chiziqning tekislik bilan kesishgan nuqtasini umumiy holatda qurish tartibi qanday?

11. Ikki tekislikning kesishish chizig'ini umumiy holatda qurish tartibi qanday?