Bilindiği gibi, rastgele değişken duruma göre belirli değerler alabilen değişken denir. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin büyük harfleri (X, Y, Z) ve değerleri - karşılık gelen küçük harfler (x, y, z) ile gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık rassal değişken belirli sıfır olmayan olasılıklarla yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesi alan rastgele değişken olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini karşılık gelen olasılıklarıyla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım yasası aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1 . Dağıtım yasası tablo ile verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

içinde) kullanarak dağıtım fonksiyonu F(x) her x değeri için, X rastgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen, yani. F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak ayarlanabilir – dağıtım poligonu (poligon) (bkz. problem 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birden fazla sayıyı bilmek yeterlidir. Rastgele bir değişkenin "ortalama değeri" anlamına gelen bir sayı veya bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı olabilir. Bu tür sayılara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri :

  • matematiksel beklenti (ortalama değer) ayrık bir rastgele değişkenin M(X)=Σ x ben p ben.
    Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
  • Dağılım Ayrık rassal değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farkına rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması denir.
    Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
  • Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

"Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası" konusundaki problem çözme örnekleri

Görev 1.

1000 piyango bileti düzenlendi: 5 tanesi 500 ruble, 10 tanesi 100 ruble, 20 tanesi 50 ruble ve 50 tanesi 10 ruble kazanacak. Rastgele değişken X'in olasılık dağılımı yasasını belirleyin - bilet başına kazanç.

Çözüm. Sorunun durumuna göre, X rastgele değişkeninin aşağıdaki değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.

Kazanmayan bilet sayısı 1000 - (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Benzer şekilde, diğer tüm olasılıkları buluruz: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı bir tablo şeklinde sunuyoruz:

Bulalım beklenen değer X değerleri: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Görev 3.

Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın, bir dağıtım poligonu oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve çizin. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

Çözüm. 1. Kesikli rasgele değişken X=(bir deneydeki başarısız öğelerin sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 =0 (cihazın öğelerinin hiçbiri başarısız), x 2 =1 (bir öğe başarısız), x 3 =2 ( iki öğe başarısız oldu ) ve x 4 \u003d 3 (üç öğe başarısız oldu).

Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arıza olasılıkları birbirine eşittir, bu nedenle uygulanabilir. Bernoulli'nin formülü . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre, değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Kontrol edin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Böylece, istenen binom dağılım yasası X şu şekildedir:

Apsis ekseninde, olası değerleri x i ve ordinat ekseninde karşılık gelen olasılıkları р i çiziyoruz. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek istenen dağıtım poligonunu elde ederiz.

3. F(x) = P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun

x ≤ 0 için F(x) = P(X'e sahibiz<0) = 0;
0 için< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 için< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 için< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 için F(x) = 1 olacaktır, çünkü olay kesindir.

F(x) fonksiyonunun grafiği

4. X binom dağılımı için:
- matematiksel beklenti М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dağılım D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Rastgele değişken Her testin sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan bir değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre, rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık ve sürekli.

Ayrık rassal değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayan, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik, rastgele bir değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceği anlamına gelir.

örnek 1 . Ayrık örnekler verelim rastgele değişkenler:

a) $n$ atışları ile hedefe isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) yazı tura atarken düşen arma sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemi sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) santrale gelen çağrıların sayısı (sayılabilir bir değerler kümesi).

1. Kesikli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı yasası.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir. ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots,\ x_n$ değerlerinin belirtildiği ve ikinci satırda bu değerlere karşılık gelen olasılıkların $ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ aşağıdaki değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. Ardından $X$ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ olayları ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasasında tam bir olaylar grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $\sum( p_i)=1$.

2. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi"merkezi" değerini belirtir. Kesikli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır, yani: $M\sol(X\sağ)=\toplam ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz literatüründe, $E\left(X\right)$ başka bir gösterimi kullanılır.

Beklenti Özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

  1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasındadır.
  2. Bir sabitin matematiksel beklentisi, sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
  3. Sabit faktör beklenti işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\üzer (6))+2\cdot ((1)\üzer (6) )+3\cdot ((1)\fazla (6))+4\cdot ((1)\fazla (6))+5\cdot ((1)\fazla (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$'ın $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük (6$) değerleri arasında olduğunu görebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rasgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. 2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin, iki öğrenci grubunda, olasılık teorisindeki sınavın ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenciler, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler çıktı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılmasını gösterecek olan bir rastgele değişkenin böyle bir sayısal özelliğine ihtiyaç vardır. Bu özellik dispersiyondur.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı$X$:

$$D\left(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\sağ)\sağ))^2).\ $$

İngiliz literatüründe $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. Çoğu zaman $D\left(X\right)$ varyansı $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülüyle hesaplanır sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dağılım Özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

  1. Dağılım her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir, yani. $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
  2. Bir sabitten dağılım sıfıra eşittir, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
  3. Sabit faktör, kare olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\sol(CX\sağ)=C^2D\sol(X\sağ)$.
  4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X+Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
  5. Bağımsız rastgele değişkenlerin farkının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir, yani. $D\sol(X-Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.

Örnek 6 . Örnek 2$'dan $X$ rasgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\sol(1-3,5\sağ))^2+((1)\üzer (6))\cdot (\sol(2-3,5\sağ))^2+ \dots +((1)\üzer (6))\cdot (\sol(6-3,5\sağ))^2=((35)\üzer (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rasgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. 4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= buluruz 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$'ın varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= buluruz 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Kesikli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Kesikli bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi şeklinde temsil etme yöntemi tek değildir ve en önemlisi, sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemediğinden evrensel değildir. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır - dağıtım işlevi.

dağıtım işlevi rasgele değişken $X$, rasgele değişken $X$'ın sabit bir $x$ değerinden daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir $F\left(x\right)$ işlevidir, yani $F\left(x\ sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım işlevi özellikleri:

  1. $0\le F\sol(x\sağ)\le 1$.
  2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değerler alma olasılığı, bu aralığın sonundaki dağılım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
  3. $F\sol(x\sağ)$ - azalmaz.
  4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . Örnek 2$'dan ayrık rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası için $F\sol(x\sağ)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

$x\le 1$ ise, açıkçası $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ dahil $F\left(1\right)=P\left(X dahil)< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

$x > 6$ ise, o zaman $F\sol(x\sağ)=P\sol(X=1\sağ)+P\sol(X=2\sağ)+P\sol(X=3\sağ) + P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matris)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3'te< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \'de \ 4< x\le 5,\\
1,\ için \ x > 6.
\end(matris)\sağ.$

1.2.4. Rastgele değişkenler ve dağılımları

Rastgele değişkenlerin dağılımları ve dağılım fonksiyonları. Sayısal bir rastgele değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma veya belirli bir aralığa ait olma olasılığını benzersiz şekilde belirleyen bir fonksiyondur.

Birincisi, rastgele değişkenin sınırlı sayıda değer almasıdır. Daha sonra dağılım fonksiyon tarafından verilir. P(X = x), her olası değeri vererek X rastgele değişken X olasılık X = x.

İkincisi, rastgele değişkenin sonsuz sayıda değer almasıdır. Bu, yalnızca rastgele değişkenin tanımlandığı olasılık uzayı sonsuz sayıda temel olaydan oluştuğunda mümkündür. Daha sonra dağılım, olasılıklar kümesi tarafından verilir. P(a < X tüm sayı çiftleri için bir, böyle ki a . Dağıtım sözde kullanılarak belirtilebilir. dağıtım fonksiyonu F(x) = P(X) tüm gerçek için tanımlayan X rastgele değişken olma olasılığı X değerinden daha küçük değerler alır X. açık ki

P(a < X

Bu ilişki, dağılımın dağılım fonksiyonundan hesaplanabildiği gibi, tersine, dağıtım fonksiyonunun da dağılımdan hesaplanabileceğini göstermektedir.

olasılıkta kullanılır istatistiksel yöntemler karar verme ve diğer uygulamalı araştırmalar, dağıtım fonksiyonları ya ayrık ya da süreklidir ya da bunların kombinasyonlarıdır.

Ayrık dağılım fonksiyonları, elemanları doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilen bir kümeden sonlu sayıda değer veya değer alan ayrık rastgele değişkenlere karşılık gelir (bu tür kümelere matematikte sayılabilir denir). Grafikleri bir merdiven gibi görünüyor (Şekil 1).

örnek 1 Sayı X Partideki kusurlu kalemlerin sayısı 0,3 olasılıkla 0, 0,4 olasılıkla 1, 0,2 olasılıkla 2 ve 0,1 olasılıkla 3 değerini alır. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği XŞekil 1'de gösterilmiştir.

Şekil 1. Arızalı ürün sayısının dağıtım fonksiyonunun grafiği.

Sürekli dağıtım fonksiyonlarında atlama yoktur. Argüman arttıkça, 0 için 0'dan 1 için monoton olarak artarlar. Sürekli dağılım fonksiyonlarına sahip rastgele değişkenlere sürekli denir.

Olasılıksal-istatistiksel yöntemlerde kullanılan sürekli dağılım fonksiyonları karar verme, türevleri var. Birinci türev f(x) dağıtım fonksiyonları F(x) olasılık yoğunluğu denir,

Dağılım fonksiyonu olasılık yoğunluğundan belirlenebilir:

Herhangi bir dağıtım işlevi için

Dağılım fonksiyonlarının listelenen özellikleri, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle, son eşitlik, aşağıda ele alınan olasılık yoğunlukları için formüllerdeki sabitlerin belirli bir biçimini ifade eder.

Örnek 2 Aşağıdaki dağıtım işlevi sıklıkla kullanılır:

(1)

nerede a ve b- bazı sayılar a . Bu dağılım fonksiyonunun olasılık yoğunluğunu bulalım:

(noktalarda x = bir ve x = b fonksiyon türevi F(x) bulunmuyor).

Dağılım fonksiyonu (1) olan rastgele bir değişkene "[aralığında düzgün dağılmış" denir. a; b]».

Karma dağılım işlevleri, özellikle gözlemler bir noktada durduğunda ortaya çıkar. Örneğin, belirli bir süre sonra testlerin sonlandırılmasını sağlayan güvenilirlik test planları kullanılarak elde edilen istatistiksel verileri analiz ederken. Veya garanti kapsamında onarım gerektiren teknik ürünlerle ilgili verileri analiz ederken.

Örnek 3Örneğin, bir elektrik ampulünün hizmet ömrü, dağıtım fonksiyonuna sahip rastgele bir değişken olsun. F(t), ve bu, testin başlangıcından itibaren 100 saatten daha kısa bir süre içinde gerçekleşirse, ampul bozulana kadar veya o ana kadar test gerçekleştirilir. t0= 100 saat. İzin vermek G(t)- Bu testte iyi durumda olan lambanın çalışma süresinin dağılım fonksiyonu. O zamanlar

İşlev G(t) bir noktada atlama var t0, karşılık gelen rastgele değişken değeri aldığından t0 olasılıkla 1- F(t0)> 0.

Rastgele değişkenlerin özellikleri. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde, dağılım fonksiyonları ve olasılık yoğunluğu aracılığıyla ifade edilen bir dizi rastgele değişken özelliği kullanılır.

Gelir farklılaşmasını tanımlarken, rastgele değişkenlerin dağılımlarının parametreleri için güven sınırları bulurken ve diğer birçok durumda “sipariş miktarı” gibi bir kavram kullanılır. R", nerede 0< p < 1 (обозначается x p). sipariş miktarı R dağılım fonksiyonunun değerini aldığı rastgele bir değişkenin değeridir. R veya daha küçük bir değerden bir "atlama" var R daha büyük bir değere kadar R(İncir. 2). Bu koşul, bu aralığa ait tüm x değerleri için sağlanabilir (yani, dağılım işlevi bu aralıkta sabittir ve eşittir) R). Daha sonra bu tür her bir değere "siparişin niceliği" denir. R". Sürekli dağılım fonksiyonları için, kural olarak, tek bir nicelik vardır. x p emir R(Şekil 2) ve

F(xp) = p. (2)

İncir. 2. Bir niceliğin tanımı x p emir R.

Örnek 4 niceliğini bulalım x p emir R dağıtım işlevi için F(x) 1'den).

0'da< p < 1 квантиль x p denklemden bulunur

şunlar. x p = a + p(b – a) = a( 1- p)+bp. saat p= 0 herhangi x < a sipariş miktarı p= 0. Sipariş miktarı p= 1 herhangi bir sayıdır x > b.

Ayrık dağıtımlar için, kural olarak, x p tatmin edici denklem (2). Daha doğrusu, bir rasgele değişkenin dağılımı Tablo 1'de verilirse, x 1< x 2 < … < x k , sonra eşitlik (2), aşağıdakilere göre bir denklem olarak kabul edilir x p, sadece çözümlere sahiptir k değerler p, yani,

p \u003d p 1,

p \u003d p 1 + p 2,

p \u003d p 1 + p 2 + p 3,

p \u003d p 1 + p 2 + ...+ öğleden sonra, 3 < m < k,

p = p 1 + p 2 + … + pk.

Tablo 1.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı

Listelenenler için k olasılık değerleri pçözüm x p denklem (2) benzersiz değildir, yani,

F(x) = p 1 + p 2 + ... + p m

hepsi için Xöyle ki x m< x < xm+1 .Şunlar. x p - aralıktan herhangi bir sayı (x m ; x m+1 ]. diğer herkes için R(3) numaralı listede yer almayan (0;1) aralığından daha küçük bir değerden “atlama” vardır. R daha büyük bir değere kadar R. Yani, eğer

p 1 + p 2 + … + p m

sonra x p \u003d x m + 1.

Ayrık dağılımların dikkate alınan özelliği, dağılım özelliklerinin tipik sayısal değerlerini doğru bir şekilde korumak imkansız olduğundan, bu tür dağılımların tablolanmasında ve kullanılmasında önemli zorluklar yaratır. Özellikle bu, parametrik olmayan istatistiksel testlerin (aşağıya bakınız) kritik değerleri ve anlamlılık seviyeleri için geçerlidir, çünkü bu testlerin istatistiklerinin dağılımları ayrıdır.

İstatistikte sıra miktarı çok önemlidir. R= ½. Medyan (rastgele değişken) olarak adlandırılır. X veya dağıtım işlevi F(x)) ve belirtilen Ben(X). Geometride "medyan" kavramı vardır - bir üçgenin tepe noktasından geçen ve karşı tarafını ikiye bölen düz bir çizgi. Matematiksel istatistikte, medyan üçgenin kenarını değil, rastgele bir değişkenin dağılımını ikiye böler: eşitlik F(x0.5)= 0,5, sola gitme olasılığı anlamına gelir x0.5 ve doğru çıkma olasılığı x0.5(veya doğrudan x0.5) birbirine ve ½'ye eşittir, yani.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Medyan, dağılımın "merkezini" gösterir. Modern kavramlardan birinin bakış açısından - kararlı istatistiksel prosedürler teorisi - medyan, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentiden daha iyi bir özelliğidir. Ölçüm sonuçlarını sıralı bir ölçekte işlerken (ölçüm teorisi hakkındaki bölüme bakın), medyan kullanılabilir, ancak matematiksel beklenti kullanılamaz.

Bir mod olarak bir rasgele değişkenin böyle bir özelliğinin açık bir anlamı vardır - sürekli bir rasgele değişken için olasılık yoğunluğunun yerel bir maksimumuna veya ayrı bir rasgele için olasılığın yerel bir maksimumuna karşılık gelen bir rasgele değişkenin değeri (veya değerleri) değişken.

Eğer bir x0 yoğunluğa sahip rastgele bir değişkenin modudur f(x), sonra, diferansiyel hesaptan bilindiği gibi, .

Rastgele bir değişkenin birçok modu olabilir. Böylece, düzgün dağılım için (1) her nokta Xöyle ki a< x < b , modadır. Ancak bu bir istisnadır. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda kullanılan rastgele değişkenlerin çoğunun bir modu vardır. Bir modu olan rastgele değişkenler, yoğunluklar, dağılımlar tek modlu olarak adlandırılır.

Sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için matematiksel beklenti "Olaylar ve Olasılıklar" bölümünde ele alınmaktadır. Sürekli bir rastgele değişken için X beklenen değer M(X) eşitliği sağlar

bu, "Olaylar ve olasılıklar" bölümünün 2. ifadesinden formül (5)'in bir analogudur.

Örnek 5 Düzgün dağılmış bir rastgele değişken için matematiksel beklenti X eşittir

Bu bölümde ele alınan rastgele değişkenler için, sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için daha önce ele alınan matematiksel beklentilerin ve varyansların tüm özellikleri doğrudur. Ancak, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin anlaşılması ve nitelikli bir şekilde uygulanması için gerekli olmayan matematiksel inceliklerde derinleşmeyi gerektirdiğinden, bu özelliklerin kanıtlarını sağlamıyoruz.

Yorum. Bu ders kitabında matematiksel inceliklerden kasıtlı olarak kaçınılır, özellikle ölçülebilir kümeler ve ölçülebilir fonksiyonlar kavramları, olayların cebiri vb. kavramlarla ilişkilendirilir. Bu kavramlarda ustalaşmak isteyenler, özel literatüre, özellikle ansiklopediye başvurmalıdır.

Üç özelliğin her biri - matematiksel beklenti, medyan, mod - olasılık dağılımının "merkezini" tanımlar. "Merkez" kavramı farklı şekillerde tanımlanabilir - dolayısıyla üç farklı özellik. Bununla birlikte, önemli bir dağılım sınıfı için - simetrik tek modlu - üç özelliğin tümü çakışmaktadır.

dağıtım yoğunluğu f(x) bir sayı varsa simetrik dağılımın yoğunluğudur. x 0öyle ki

. (3)

Eşitlik (3), fonksiyonun grafiğinin y = f(x) simetri merkezinden geçen dikey bir doğru etrafında simetrik X = X 0 . (3)'ten simetrik dağılım fonksiyonunun şu ilişkiyi sağladığı sonucu çıkar.

(4)

Tek modlu simetrik bir dağılım için ortalama, medyan ve mod aynı ve eşittir x 0.

En önemli durum 0'a göre simetridir, yani. x 0= 0. Sonra (3) ve (4) eşitlik olur

(6)

sırasıyla. Yukarıdaki ilişkiler, herkes için simetrik dağılımları tablolaştırmaya gerek olmadığını göstermektedir. X için tabloların olması yeterlidir. x > x0.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda sürekli olarak kullanılan simetrik dağılımların bir özelliğine daha dikkat çekiyoruz. Sürekli dağıtım fonksiyonu için

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

nerede F rastgele değişkenin dağılım fonksiyonudur X. dağıtım fonksiyonu ise F 0'a göre simetriktir, yani formül (6) bunun için geçerlidir, o zaman

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Söz konusu ifadenin başka bir formülasyonu sıklıkla kullanılır: eğer

.

Eğer ve, 0'a göre simetrik bir dağılım fonksiyonunun mertebesi ve sırasıyla (bakınız (2)) nicelikleri ise, o zaman (6)'dan şu sonuç çıkar:

Konumun özelliklerinden - matematiksel beklenti, medyan, mod - rastgele bir değişkenin yayılmasının özelliklerine geçelim X: varyans , standart sapma ve varyasyon katsayısı v. Kesikli rastgele değişkenler için varyansın tanımı ve özellikleri önceki bölümde ele alınmıştı. Sürekli rastgele değişkenler için

Standart sapma, varyansın karekökünün negatif olmayan değeridir:

Varyasyon katsayısı, standart sapmanın matematiksel beklentiye oranıdır:

Varyasyon katsayısı şu durumlarda uygulanır: M(X)> 0. Standart sapma mutlak birimlerde iken, yayılımı göreli birimlerde ölçer.

Örnek 6 Düzgün dağılmış bir rastgele değişken için X varyansı, standart sapmayı ve varyasyon katsayısını bulun. Dağılım:

Değişken ikamesi şunları yazmayı mümkün kılar:

nerede c = (b – a)/ 2. Bu nedenle, standart sapma eşittir ve varyasyon katsayısı:

Her rastgele değişken için Xüç miktar daha belirle - merkezli Y, normalleştirilmiş V ve verilen sen. Merkezli rastgele değişken Y verilen rastgele değişken arasındaki farktır X ve matematiksel beklentisi M(X),şunlar. Y = X - M(X). Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi Y 0'a eşittir ve varyans, verilen rastgele değişkenin varyansıdır: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). dağıtım işlevi FY(x) merkezli rastgele değişken Y dağıtım fonksiyonu ile ilgili F(x) ilk rastgele değişken X oran:

FY(x) = F(x + M(X)).

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları için eşitlik

fY(x) = f(x + M(X)).

Normalleştirilmiş rastgele değişken V bu rastgele değişkenin oranı X standart sapmasına, yani . Normalleştirilmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı Vözellikler aracılığıyla ifade edilir X Yani:

,

nerede v orijinal rastgele değişkenin varyasyon katsayısıdır X. dağıtım işlevi için FV(x) ve yoğunluk fV(x) normalleştirilmiş rastgele değişken V sahibiz:

nerede F(x) orijinal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonudur X, a f(x) olasılık yoğunluğudur.

Azaltılmış rastgele değişken sen merkezli ve normalleştirilmiş bir rastgele değişkendir:

.

Azaltılmış bir rastgele değişken için

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve azaltılmış rasgele değişkenler hem teorik araştırmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici ve teknik ve öğretici ve metodolojik dokümantasyonda sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle, çünkü eşitlikler yöntemlerin, teorem formülasyonlarının ve hesaplama formüllerinin doğrulanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel plan kullanılır. Yani eğer Y = aX + b, nerede a ve b o zaman bazı sayılar

Örnek 7 eğer o zaman Y indirgenmiş rasgele değişkendir ve formüller (8) formüllere (7) dönüştürülür.

Her rastgele değişkenle X birçok rastgele değişken bağlayabilirsiniz Y formül tarafından verilen Y = aX + bçeşitli a> 0 ve b. Bu kümeye denir ölçek kaydırma ailesi, rastgele bir değişken tarafından üretilen X. dağıtım fonksiyonları FY(x) dağıtım işlevi tarafından oluşturulan bir ölçek kaydırmalı dağılım ailesi oluşturur F(x). Onun yerine Y = aX + b sık kullanılan gösterim

Sayı İle birlikte shift parametresi olarak adlandırılır ve sayı d- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: X- belirli bir miktarı ölçmenin sonucu - saat- Aynı değerin ölçümünün sonucu, ölçümün başlangıcı noktasına taşınırsa İle birlikte ve ardından yeni ölçü birimini kullanın. d eskisinden kat kat daha büyük.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için X dağılımına standart denir. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı vb. kullanılır (aşağıya bakınız).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin, pozitif bir rastgele değişken için X düşünmek Y= günlük X nerede lg X sayının ondalık logaritması X. eşitlikler zinciri

FY(x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

dağıtım fonksiyonlarını ilişkilendirir X ve Y.

Verileri işlerken, rastgele bir değişkenin bu tür özellikleri kullanılır. X düzen anları gibi q, yani rastgele bir değişkenin matematiksel beklentileri X q, q= 1, 2, … Böylece, matematiksel beklentinin kendisi bir derece anıdır. Kesikli bir rasgele değişken için, derece momenti q olarak hesaplanabilir

Sürekli bir rastgele değişken için

sipariş anları q siparişin ilk anları da denir q, ilgili özelliklerin aksine - düzenin merkezi anları q, formül tarafından verilen

Böylece, dağılım 2. dereceden merkezi bir momenttir.

Normal dağılım ve merkezi limit teoremi. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde genellikle normal dağılımdan bahsederiz. Bazen ilk verilerin dağılımını modellemek için kullanmayı denerler (bu girişimler her zaman haklı değildir - aşağıya bakın). Daha da önemlisi, birçok veri işleme yöntemi, hesaplanan değerlerin normale yakın dağılımlara sahip olması esasına dayanmaktadır.

İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n M(X ben) = m ve dağılımlar D(X ben) = , i = 1, 2,…, n,… Bir önceki bölümün sonuçlarından aşağıdaki gibi,

Azaltılmış rastgele değişkeni düşünün Bir toplam için , yani,

Formüllerden (7) aşağıdaki gibi, M(Bir) = 0, D(Bir) = 1.

(aynı şekilde dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n, … matematiksel beklentileri olan bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerdir M(X ben) = m ve dağılımlar D(X ben) = , i = 1, 2,…, n,… O zaman herhangi bir x için bir limit vardır.

nerede F(x) standart normal dağılım fonksiyonudur.

İşlev hakkında daha fazla bilgi F(x) - aşağıda (“x'ten fi” okur, çünkü F- Yunanca büyük harf "phi").

Merkezi Limit Teoremi (CLT), adını olasılık ve olasılık teorisinin merkezi, en sık kullanılan matematiksel sonucu olmasından alır. matematiksel istatistik. CLT'nin tarihi yaklaşık 200 yıl sürer - İngiliz matematikçi A. De Moivre'nin (1667-1754) CLT ile ilgili ilk sonucu yayınladığı 1730'dan (Moivre-Laplace teoremi hakkında aşağıya bakınız), yirmili - otuzlu yıllara kadar yirminci yüzyılın, Finn J.W. Lindeberg, Fransız Paul Levy (1886-1971), Yugoslav V. Feller (1906-1970), Rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) ve diğer bilim adamları, klasik merkezin geçerliliği için gerekli ve yeterli koşulları elde ettiler. limit teoremi.

İncelenen konunun gelişimi burada hiç durmadı - dağılımı olmayan rastgele değişkenleri incelediler, yani. kimin için

(akademisyen B.V. Gnedenko ve diğerleri), sayılardan daha karmaşık nitelikteki rastgele değişkenlerin (daha doğrusu rastgele öğeler) toplandığı durum (akademisyenler Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov ve ortakları), vb. .d.

dağıtım işlevi F(x) eşitlik ile verilir

,

oldukça yüksek olan standart normal dağılımın yoğunluğu nerede? bileşik ifade:

.

Burada \u003d 3.1415925 ... geometride bilinen, çevrenin çapa oranına eşit bir sayıdır, e \u003d 2.718281828 ... - doğal logaritmaların temeli (bu sayıyı hatırlamak için, 1828'in yazar Leo Tolstoy'un doğum yılı olduğunu unutmayın). Matematiksel analizden bilindiği gibi,

Gözlemlerin sonuçları işlenirken, normal dağılım fonksiyonu yukarıdaki formüllere göre hesaplanmaz, ancak özel tablolar veya kullanılarak bulunur. bilgisayar programları. Rusça “Matematiksel İstatistik Tabloları” nın en iyisi, SSCB Bilimler Akademisi L.N. Bolşev ve N.V. Smirnov.

Standart normal dağılımın yoğunluk formu, burada ele alamadığımız matematik teorisinden ve CLT'nin ispatından kaynaklanmaktadır.

Örnek olarak, dağıtım fonksiyonunun küçük tablolarını sunuyoruz. F(x)(Tablo 2) ve nicelikleri (Tablo 3). İşlev F(x) Tablo 2-3'te yansıtılan 0'a göre simetriktir.

Tablo 2.

Standart normal dağılımın işlevi.

Eğer rastgele değişken X dağıtım işlevi vardır F(x), sonra M(X) = 0, D(X) = 1. Bu ifade, olasılık yoğunluğu formuna dayalı olarak olasılık teorisinde kanıtlanmıştır. İndirgenmiş rasgele değişkenin özellikleri için benzer bir ifadeyle aynı fikirdedir. Bir oldukça doğaldır, çünkü CLT terim sayısındaki sonsuz artışla dağıtım fonksiyonunun Bir standart normal dağılım fonksiyonuna eğilimlidir F(x), ve herhangi biri için X.

Tablo 3

Standart normal dağılımın nicelikleri.

sipariş miktarı R

sipariş miktarı R

Bir normal dağılım ailesi kavramını tanıtalım. Tanım olarak normal dağılım, rastgele bir değişkenin dağılımıdır. X, bunun için indirgenmiş rasgele değişkenin dağılımı F(x). aşağıdaki gibi ortak özelliklerölçek kaydırmalı dağılım aileleri (yukarıya bakın), normal dağılım rastgele bir değişkenin dağılımıdır

nerede X dağılımı olan rastgele bir değişkendir F(X), ve m = M(Y), = D(Y). Shift parametreleriyle normal dağılım m ve ölçek genellikle gösterilir N(m, ) (bazen gösterim N(m, ) ).

(8)'den aşağıdaki gibi, normal dağılımın olasılık yoğunluğu N(m, ) var

Normal dağılımlar, bir ölçek kaydırma ailesi oluşturur. Bu durumda, ölçek parametresi d= 1/ ve shift parametresi c = - m/ .

Normal dağılımın üçüncü ve dördüncü mertebesinin merkezi momentleri için eşitlikler doğrudur.

Bu eşitlikler, gözlem sonuçlarının normal bir dağılım izlediğini kontrol etmenin klasik yöntemlerinin temelini oluşturur. Şu anda, normalliğin genellikle kriter tarafından kontrol edilmesi önerilir. W Shapiro - Wilka. Normallik denetimi sorunu aşağıda tartışılmaktadır.

Eğer rastgele değişkenler 1 ve 2 dağıtım işlevlerine sahip N(m 1 , 1) ve N(m 2 , 2) sırasıyla 1+ 2 bir dağılımı var Bu nedenle, eğer rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , sonra aritmetik ortalamaları

bir dağılımı var N(m, ) . Normal dağılımın bu özellikleri, çeşitli olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde, özellikle teknolojik süreçlerin istatistiksel kontrolünde ve nicel bir nitelik ile istatistiksel kabul kontrolünde sürekli olarak kullanılmaktadır.

Normal dağılım, şu anda istatistiksel veri işlemede yaygın olarak kullanılan üç dağılımı tanımlar.

Dağılım (ki - kare) - rastgele bir değişkenin dağılımı

nerede rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, X n bağımsızdır ve aynı dağılıma sahiptir N(0.1). Bu durumda, terim sayısı, yani. n, ki-kare dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır.

Dağıtım tÖğrenci rastgele bir değişkenin dağılımıdır

nerede rastgele değişkenler sen ve X bağımsız, sen standart bir normal dağılıma sahiptir N(0,1) ve X– dağıtım ki – kare ile nözgürlük derecesi. nerede nÖğrenci dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır. Bu dağılım 1908 yılında bir bira fabrikasında çalışan İngiliz istatistikçi W. Gosset tarafından tanıtıldı. Bu fabrikada ekonomik ve teknik kararlar almak için olasılıksal-istatistiksel yöntemler kullanıldı, bu nedenle fabrika yönetimi V. Gosset'in kendi adı altında bilimsel makaleler yayınlamasını yasakladı. Bu şekilde, W. Gosset tarafından geliştirilen olasılıksal-istatistiksel yöntemler şeklinde bir ticari sır, "know-how" korunmuştur. Ancak, "Öğrenci" takma adı altında yayınlayabildi. Gosset - Student'ın tarihi, olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinin büyük ekonomik verimliliğinin bir yüz yıl daha İngiliz yöneticiler için aşikar olduğunu gösteriyor.

Fisher dağılımı, rastgele bir değişkenin dağılımıdır.

nerede rastgele değişkenler 1 ve 2 bağımsızdır ve chi dağılımlarına sahiptir - serbestlik derecesi sayısına sahip kare k 1 ve k 2 sırasıyla. Aynı zamanda bir çift (k 1 , k 2 ) - bir çift "serbestlik derecesi sayısı" Fisher dağılımları, yani, k 1 payın serbestlik derecesi sayısıdır ve k 2 paydanın serbestlik derecesi sayısıdır. Rastgele değişken F'nin dağılımı, onu çalışmalarında aktif olarak kullanan büyük İngiliz istatistikçi R. Fisher'ın (1890-1962) adını almıştır.

Ki-kare, Student ve Fisher'ın dağılım fonksiyonları, yoğunlukları ve özellikleri ile tablolar için ifadeler özel literatürde bulunabilir (örneğin bakınız).

Daha önce belirtildiği gibi, normal dağılımlar şu anda çeşitli uygulamalı alanlarda olasılık modellerinde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu iki parametreli dağılım ailesi neden bu kadar yaygın? Aşağıdaki teorem ile açıklanmaktadır.

Merkezi Limit Teoremi(farklı dağıtılmış terimler için). İzin vermek X 1 , X 2 ,…, X n,… matematiksel beklentileri olan bağımsız rastgele değişkenlerdir M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … ve dağılımlar D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … sırasıyla. İzin vermek

Daha sonra, şartların herhangi birinin katkısının küçüklüğünü sağlayan belirli koşulların geçerliliği altında Bir,

herkes için X.

Söz konusu koşullar burada formüle edilmeyecektir. Özel literatürde bulunabilirler (örneğin bkz.). "CPT'nin faaliyet gösterdiği koşulların açıklığa kavuşturulması, seçkin Rus bilim adamları A.A. Markov'un (1857-1922) ve özellikle A.M. Lyapunov'un (1857-1918) esasıdır" .

Merkezi limit teoremi, ölçüm sonucunun (gözlem) birçok nedenin etkisi altında oluşması durumunda, her birinin sadece küçük bir katkı yaptığını ve kümülatif sonucun şu şekilde belirlendiğini göstermektedir. ek olarak, yani ek olarak, o zaman ölçüm (gözlem) sonucunun dağılımı normale yakındır.

Bazen dağılımın normal olması için ölçüm (gözlem) sonucunun yeterli olduğuna inanılır. X her biri küçük bir etkiye sahip olan birçok nedenin etkisi altında oluşur. Bu doğru değil. Önemli olan bu nedenlerin nasıl çalıştığıdır. katkı maddesi ise X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Eğer bir çarpımsal olarak(yani, bireysel nedenlerin eylemleri çarpılır, eklenmez), ardından dağıtım X normale yakın değil, sözde. logaritmik olarak normal, yani olumsuzluk X, ve lg X yaklaşık olarak normal bir dağılıma sahiptir. Nihai sonucun oluşumu için bu iki mekanizmadan birinin (veya iyi tanımlanmış başka bir mekanizmanın) çalıştığına inanmak için hiçbir neden yoksa, o zaman dağıtım hakkında X kesin bir şey söylenemez.

Söylenenlerden, belirli bir uygulamalı problemde, ölçüm sonuçlarının (gözlemlerin) normalliğinin kural olarak genel değerlendirmelerle belirlenemeyeceği, istatistiksel kriterler kullanılarak kontrol edilmesi gerektiği sonucuna varılır. Veya bir veya başka bir parametrik aileye ait ölçüm sonuçlarının (gözlemlerin) dağılım fonksiyonları hakkında varsayımlara dayanmayan parametrik olmayan istatistiksel yöntemler kullanın.

Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan sürekli dağılımlar.Ölçek kaydırmalı normal dağılım ailesine ek olarak, bir dizi başka dağılım ailesi de yaygın olarak kullanılmaktadır - logaritmik olarak normal, üstel, Weibull-Gnedenko, gama dağılımları. Gelin bu ailelere bir göz atalım.

rastgele değer X rastgele değişken ise log-normal dağılıma sahiptir Y= günlük X normal dağılıma sahiptir. O zamanlar Z=ln X = 2,3026…Y ayrıca normal bir dağılıma sahiptir N(a 1 ,σ 1), nerede X - doğal logaritma X. Log-normal dağılımın yoğunluğu:

Merkezi limit teoreminden, ürünün X = X 1 X 2 … X n bağımsız pozitif rastgele değişkenler X ben, i = 1, 2,…, n, genel olarak n log-normal dağılım ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. Özellikle, ücretlerin veya gelirin oluşumunun çarpımsal modeli, logaritmik olarak normal yasalarla ücret ve gelir dağılımlarının yaklaşık olarak yapılması tavsiyesine yol açar. Rusya için bu tavsiyenin haklı olduğu ortaya çıktı - istatistikler bunu doğruladı.

Log-normal yasaya götüren başka olasılıksal modeller de vardır. Böyle bir modelin klasik bir örneği A.N. bilyalı değirmenler log-normal dağılıma sahiptir.

Çeşitli olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda yaygın olarak kullanılan başka bir dağılım ailesine, üstel dağılımlar ailesine geçelim. Bu tür dağılımlara yol açan olasılıksal bir modelle başlayalım. Bunu yapmak için "olay akışını", yani. zaman içinde bir noktada birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisi. Örnekler: telefon santralindeki çağrı akışı; teknolojik zincirdeki ekipman arızalarının akışı; ürün testi sırasında ürün arızalarının akışı; müşteri taleplerinin banka şubesine akışı; mal ve hizmetler için başvuran alıcıların akışı vb. Olay akışları teorisinde, merkezi limit teoremine benzer bir teorem geçerlidir, ancak onun içinde Konuşuyoruz rasgele değişkenlerin toplamı ile ilgili değil, olay akışlarının toplamı ile ilgili. oluşan toplam akışı dikkate alıyoruz. Büyük bir sayı hiçbiri toplam akış üzerinde baskın bir etkiye sahip olmayan bağımsız akışlar. Örneğin, telefon santraline gelen aramaların akışı, bireysel abonelerden kaynaklanan çok sayıda bağımsız arama akışından oluşur. Akışların özelliklerinin zamana bağlı olmadığı durumda, toplam akışın tamamen bir sayı - akışın yoğunluğu ile tanımlandığı kanıtlanmıştır. Toplam akış için rastgele bir değişken düşünün X- ardışık olaylar arasındaki zaman aralığının uzunluğu. Dağıtım işlevi şu şekildedir:

(10)

Bu dağılıma üstel dağılım denir çünkü formül (10) üstel işlevi içerir e -λ x. 1/λ değeri bir ölçek parametresidir. Bazen bir shift parametresi de tanıtılır İle birlikte, üstel rastgele bir değişkenin dağılımıdır X + c, dağıtım nerede X formül (10) ile verilir.

Üstel Dağılımlar - özel durum Lafta. Weibull - Gnedenko dağılımları. Bunlar, bu dağılımları yorulma testlerinin sonuçlarını analiz etme pratiğine sokan mühendis W. Weibull ve testin maksimumunu incelerken sınırlayıcı dağılımlar gibi alan matematikçi B.V. Gnedenko'nun (1912-1995) adını almıştır. Sonuçlar. İzin vermek X- ürünün çalışma süresini karakterize eden rastgele bir değişken, Kompleks sistem, eleman (yani kaynak, sınır durumuna kadar çalışma süresi, vb.), bir işletmenin faaliyet süresi veya bir canlının ömrü, vb. Başarısızlık oranı önemli bir rol oynar

(11)

nerede F(x) ve f(x) - rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu ve yoğunluğu X.

Başarısızlık oranının tipik davranışını tanımlayalım. Tüm zaman aralığı üç döneme ayrılabilir. Bunlardan ilki, fonksiyon λ(x) yüksek değerlere ve net bir azalma eğilimine sahiptir (çoğunlukla monoton olarak azalır). Bu, söz konusu ürün birimlerinin nispeten hızlı bir şekilde arızalanmasına yol açan bariz ve gizli kusurlara sahip ürün birimlerinin söz konusu partide bulunmasıyla açıklanabilir. İlk periyot, "break-in" (veya "break-in") periyodu olarak adlandırılır. Bu genellikle garanti süresi kapsamındadır.

Ardından, yaklaşık olarak sabit ve nispeten düşük bir arıza oranı ile karakterize edilen normal çalışma dönemi gelir. Bu dönemdeki arızaların doğası ani niteliktedir (kazalar, işletme personelinin hataları vb.) ve bir ürün biriminin çalışma süresine bağlı değildir.

Son olarak operasyonun son dönemi yaşlanma ve yıpranma dönemidir. Bu dönemdeki arızaların doğası, malzemelerde geri dönüşü olmayan fiziksel, mekanik ve kimyasal değişiklikler olup, bir üretim biriminin kalitesinde ve nihai arızasında ilerleyici bir bozulmaya yol açar.

Her dönemin kendi işlevi vardır λ(x). Güç bağımlılıkları sınıfını düşünün

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

nerede λ 0 > 0 ve b> 0 - bazı sayısal parametreler. değerler b < 1, b= 0 ve b> 1, sırasıyla alıştırma, normal çalışma ve yaşlanma dönemlerindeki arıza oranı tipine karşılık gelir.

Belirli bir başarısızlık oranı için ilişki (11) λ(x)- fonksiyona göre diferansiyel denklem F(x). teoriden diferansiyel denklemler bunu takip eder

(13)

(12)'yi (13)'e koyarsak şunu elde ederiz:

(14)

Formül (14) ile verilen dağılıma Weibull - Gnedenko dağılımı denir. Çünkü

o zaman formül (14)'ten, miktarın a(15) formülüyle verilen , bir ölçekleme parametresidir. Bazen bir shift parametresi de tanıtılır, yani. Weibull - Gnedenko dağıtım fonksiyonlarına denir F(x - c), nerede F(x) bazı λ 0 için formül (14) ile verilir ve b.

Weibull - Gnedenko dağılımının yoğunluğu şu şekildedir:

(16)

nerede a> 0 - ölçek parametresi, b> 0 - form parametresi, İle birlikte- kaydırma parametresi. Bu durumda parametre a(16) formülünden parametre ile ilgilidir λ 0, formül (14)'ten formül (15)'te belirtilen oranda.

Üstel dağılım, şekil parametresinin değerine karşılık gelen Weibull - Gnedenko dağılımının çok özel bir durumudur. b = 1.

Weibull - Gnedenko dağılımı, bir nesnenin davranışının "en zayıf halka" tarafından belirlendiği durumların olasılıksal modellerinin oluşturulmasında da kullanılır. Güvenliği en düşük mukavemete sahip olan bağlantı tarafından belirlenen bir zincir ile bir benzetme ima edilir. Başka bir deyişle, izin ver X 1 , X 2 ,…, X n bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenlerdir,

X(1)=dak( X 1 , X 2 ,…, Xn), X(n)=maks( X 1 , X 2 ,…, Xn).

Bir dizi uygulamalı problemde, önemli bir rol X(1) ve X(n) özellikle, sigorta ödemeleri veya ticari risklerden kaynaklanan kayıplar gibi belirli değerlerin mümkün olan maksimum değerlerini ("kayıtları") incelerken, çeliğin esneklik ve dayanıklılık sınırlarını incelerken, bir dizi güvenilirlik özelliği, vb. Büyük n için dağılımların X(1) ve X(n) , kural olarak, Weibull - Gnedenko dağıtımları tarafından iyi tanımlanmıştır. Dağıtım çalışmalarına temel katkılar X(1) ve X(n) Sovyet matematikçi B.V. Gnedenko tarafından tanıtıldı. V. Weibull, E. Gumbel, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev ve diğer birçok uzman.

Gama dağılımları ailesine geçelim. Ekonomi ve yönetimde, teori ve güvenilirlik ve test pratiğinde yaygın olarak kullanılırlar. çeşitli alanlar teknoloji, meteoroloji vb. Özellikle, birçok durumda, gama dağılımı, ürünün toplam hizmet ömrü, iletken toz parçacıkları zincirinin uzunluğu, korozyon sırasında ürünün sınır durumuna ulaşması için geçen süre, çalışma süresi gibi miktarlara tabidir. kadar zaman k reddetme, k= 1, 2, …, vb. Kronik hastalığı olan hastaların yaşam beklentisi, tedavide belirli bir etkiyi elde etme süresi bazı durumlarda gama dağılımına sahiptir. Bu dağılım, envanter yönetiminin (lojistik) ekonomik ve matematiksel modellerinde talebi tanımlamak için en uygundur.

Gama dağılımının yoğunluğu şu şekildedir:

(17)

Formül (17)'deki olasılık yoğunluğu üç parametre ile belirlenir. a, b, c, nerede a>0, b>0. nerede a bir form parametresidir, b- ölçek parametresi ve İle birlikte- kaydırma parametresi. faktör 1/Γ(a) bir normalleştirmedir,

Burada Γ(а)- matematikte kullanılan, formül (17) ile verilen dağılımın da adlandırıldığı "gama işlevi" olarak adlandırılan özel işlevlerden biri,

sabit a formül (17), yoğunluğa sahip bir dağılım tarafından oluşturulan bir ölçek kaydırmalı dağılım ailesini tanımlar.

(18)

(18) formunun dağılımına standart gama dağılımı denir. Formül (17) ile elde edilir. b= 1 ve İle birlikte= 0.

gama dağılımlarının özel bir durumu a= 1 üstel dağılımlardır ( λ = 1/b). doğal ile a ve İle birlikte=0 gama dağılımlarına Erlang dağılımları denir. 1908-1922'de okuyan Kopenhag telefon şirketinin bir çalışanı olan Danimarkalı bilim adamı K.A. Erlang'ın (1878-1929) eserlerinden. telefon ağlarının işleyişi, kuyruk teorisinin gelişimi başladı. Bu teori, optimal kararlar vermek için talep akışının servis edildiği sistemlerin olasılıksal-istatistiksel modellemesi ile ilgilenmektedir. Erlang dağılımları, üstel dağılımlarla aynı uygulama alanlarında kullanılmaktadır. Bu, aşağıdaki matematiksel gerçeğe dayanmaktadır: aynı parametrelerle üssel olarak dağıtılan k bağımsız rastgele değişkenin toplamı λ ve İle birlikte, şekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir bir =k, ölçek parametresi b= 1/λ ve kaydırma parametresi kc. saat İle birlikte= 0 Erlang dağılımını elde ederiz.

Eğer rastgele değişken Xşekil parametreli bir gama dağılımına sahiptir aöyle ki d = 2 a- Bir tam sayı, b= 1 ve İle birlikte= 0, sonra 2 X ile ki-kare dağılımına sahiptir dözgürlük derecesi.

rastgele değer X gvmma dağıtımı ile aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Beklenen değer M(X) =ab + c,

dağılım D(X) = σ 2 = ab 2 ,

varyasyon katsayısı

asimetri

AŞIRI

Normal dağılım, gama dağılımının uç bir durumudur. Daha doğrusu, Z, formül (18) ile verilen standart bir gama dağılımına sahip bir rastgele değişken olsun. O zamanlar

herkes için gerçek Numara X, nerede F(x)- standart normal dağılım fonksiyonu N(0,1).

Uygulamalı araştırmalarda, Pearson eğri sistemi, Edgeworth ve Charlier serileri en iyi bilinenleri olan diğer parametrik dağılım aileleri de kullanılır. Burada dikkate alınmazlar.

ayrık olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde kullanılan dağılımlar.Çoğu zaman, üç ayrık dağılım ailesi kullanılır - binom, hipergeometrik ve Poisson ve ayrıca diğer bazı aileler - geometrik, negatif binom, çok terimli, negatif hipergeometrik, vb.

Daha önce de belirtildiği gibi, binom dağılımı, her birinde bir olasılık olan bağımsız denemelerde gerçekleşir. R olay belirir ANCAK. Eğer bir toplam sayısı testler n verilen deneme sayısı Y olayın ortaya çıktığı ANCAK, binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımı için, rastgele bir değişken olarak kabul edilme olasılığı Y değerler y formül tarafından belirlenir

kombinasyon sayısı n tarafından elemanlar y kombinatoriklerden bilinmektedir. Hepsi için y, 0, 1, 2, … hariç, n, sahibiz P(Y= y)= 0. Sabit bir örneklem büyüklüğüne sahip binom dağılımı n parametre tarafından ayarlanır p, yani binom dağılımları tek parametreli bir aile oluşturur. Örnek araştırma verilerinin analizinde, özellikle tüketici tercihleri ​​çalışmasında, tek aşamalı kontrol planlarına göre ürün kalitesinin seçici kontrolünde, demografi, sosyoloji, tıp, biyoloji vb.

Eğer bir Y 1 ve Y 2 - aynı parametreye sahip bağımsız binom rastgele değişkenler p 0 hacimli numunelerle belirlenir n 1 ve n 2 sırasıyla Y 1 + Y 2 - dağılımlı (19) binom rasgele değişken R = p 0 ve n = n 1 + n 2 . Bu açıklama, aynı parametrenin tüm bu gruplara karşılık geldiğine inanmak için bir neden olduğunda, birkaç test grubunun sonuçlarını birleştirmenize izin vererek, binom dağılımının uygulanabilirliğini genişletir.

Binom dağılımının özellikleri daha önce hesaplandı:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- p).

Binom rastgele değişken için "Olaylar ve olasılıklar" bölümünde, büyük sayılar yasası kanıtlanmıştır:

herkes için . Merkezi limit teoreminin yardımıyla, büyük sayılar yasası, nasıl olduğunu göstererek rafine edilebilir. Y/ n farklıdır R.

De Moivre-Laplace teoremi. Herhangi bir sayı için a ve b, a< b, sahibiz

nerede F(X) ortalama 0 ve varyans 1 olan standart bir normal dağılım fonksiyonudur.

Bunu kanıtlamak için temsili kullanmak yeterlidir. Y bireysel denemelerin sonuçlarına karşılık gelen bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı olarak, formüller M(Y) ve D(Y) ve merkezi limit teoremi.

Bu teorem durum için R= ½ İngiliz matematikçi A. Moivre (1667-1754) tarafından 1730'da kanıtlanmıştır. Yukarıdaki formülasyonda 1810'da Fransız matematikçi Pierre Simon Laplace (1749-1827) tarafından kanıtlanmıştır.

Hipergeometrik dağılım, N hacmindeki nesnelerin sonlu bir kümesinin alternatif bir özniteliğe göre seçici kontrolü sırasında gerçekleşir. Kontrol edilen her nesne, özniteliğe sahip olarak sınıflandırılır. ANCAK, ya da bu özelliğe sahip değil. Hipergeometrik dağılımın rastgele bir değişkeni var Y, özniteliğe sahip nesnelerin sayısına eşit ANCAK rastgele bir hacim örneğinde n, nerede n< N. Örneğin, sayı Y rastgele bir hacim örneğindeki kusurlu ürün birimleri n parti hacminden N hipergeometrik bir dağılıma sahipse n< N. Diğer bir örnek ise piyangodur. işaretine izin ver ANCAK bir bilet “kazanmanın” bir işaretidir. Tüm biletleri bırak N, ve bazı kişiler satın aldı n onlardan. Daha sonra bu kişi için kazanan bilet sayısı hipergeometrik bir dağılıma sahiptir.

Hipergeometrik bir dağılım için, rastgele bir Y değişkeninin y değerini alma olasılığı şu şekildedir:

(20)

nerede Dözniteliğe sahip nesnelerin sayısıdır ANCAK, dikkate alınan hacim kümesinde N. nerede y max(0,) değerinden değerler alır n - (N - D)) min( n, D), diğeriyle y(20) formülündeki olasılık 0'a eşittir. Böylece hipergeometrik dağılım üç parametre ile belirlenir - hacim nüfus N, nesne sayısı D içinde, dikkate alınan özelliğe sahip ANCAK ve örnek boyutu n.

Basit rastgele örnekleme n toplam hacimden N kümelerinden herhangi birinin bulunduğu rastgele seçim sonucunda elde edilen bir örnek olarak adlandırılır. n nesnelerin seçilme olasılığı aynıdır. Katılımcıların (görüşülenler) veya parça ürün birimlerinin rastgele seçilmesi için yöntemler, öğretici-yöntemsel ve normatif-teknik belgelerde göz önünde bulundurulur. Seçim yöntemlerinden biri şudur: nesneler birbirinden seçilir ve her adımda kümede kalan nesnelerin her birinin seçilme şansı aynıdır. Literatürde incelenen numune türleri için “rastgele numune”, “değiştirilmeden rastgele numune” terimleri de kullanılmaktadır.

Genel popülasyonun hacimlerinden (lot) N ve örnekler n yaygın olarak biliniyorsa, tahmin edilecek hipergeometrik dağılım parametresi D. Ürün kalite yönetiminin istatistiksel yöntemlerinde D- genellikle partideki kusurlu birimlerin sayısı. İlgi çekici olan aynı zamanda dağılımın özelliğidir. D/ N- kusur seviyesi.

hipergeometrik dağılım için

Varyans ifadesindeki son faktör, eğer varsa 1'e yakındır. N>10 n. Aynı anda ikame yaparsak p = D/ N, o zaman hipergeometrik dağılımın matematiksel beklenti ve varyansı için ifadeler, binom dağılımının matematiksel beklenti ve varyansı için ifadelere dönüşecektir. Bu tesadüf değil. Gösterilebilir ki

de N>10 n, nerede p = D/ N. Sınırlama oranı geçerlidir

ve bu sınırlayıcı ilişki için kullanılabilir N>10 n.

Üçüncü yaygın olarak kullanılan ayrık dağılım, Poisson dağılımıdır. Rastgele değişken Y, aşağıdaki durumlarda Poisson dağılımına sahiptir:

,

burada λ Poisson dağılım parametresidir ve P(Y= y)= diğerleri için 0 y(y=0 için 0!=1 gösterilir). Poisson dağılımı için

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Bu dağılım, adını ilk kez 1837'de türeten Fransız matematikçi C.D. Poisson'dan (1781-1840) almıştır. Poisson dağılımı, olasılığın R olayın uygulanması azdır, ancak deneme sayısı n harika ve np= λ. Daha doğrusu limit bağıntısı

Bu nedenle, Poisson dağılımı (eski terminolojide "dağılım yasası") genellikle "nadir olaylar yasası" olarak da adlandırılır.

Poisson dağılımı, olay akışları teorisinde ortaya çıkar (yukarıya bakın). Sabit yoğunluklu Λ en basit akış için, zaman içinde meydana gelen olayların (çağrıların) sayısı kanıtlanmıştır. t, λ = Λ parametreli bir Poisson dağılımına sahiptir t. Bu nedenle, zaman içinde olma olasılığı t hiçbir olay gerçekleşmeyecek e - Λ t, yani olaylar arasındaki aralığın uzunluğunun dağılım fonksiyonu üsteldir.

Poisson dağılımı, tüketicilerin seçici pazarlama anketlerinin sonuçlarının analizinde, kusurların kabul seviyesinin küçük değerleri durumunda istatistiksel kabul kontrol planlarının operasyonel özelliklerinin hesaplanmasında, arıza sayısını tanımlamak için kullanılır. Birim zaman başına istatistiksel olarak kontrol edilen bir teknolojik sürecin, kuyruk sisteminde birim zaman başına gelen "hizmet gereksinimlerinin" sayısı, kazaların ve nadir hastalıkların istatistiksel kalıpları, vb.

Ayrık dağılımların diğer parametrik ailelerinin tanımı ve pratik kullanım olasılıkları literatürde dikkate alınmaktadır.


Bazı durumlarda, örneğin, güvenilirlik problemlerinde fiyatları, çıktı hacimlerini veya arızalar arasındaki toplam süreyi incelerken, dağıtım fonksiyonları, incelenen rastgele değişkenlerin değerlerinin düşemeyeceği belirli aralıklarla sabittir.

Öncesi

Bir rasgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, her x için rasgele değişken X'in değeri alma olasılığını ifade eden F(x) işlevidir., daha küçük x

Örnek 2.5. Rastgele bir değişkenin bir dizi dağılımı verildiğinde

Dağıtım işlevini bulun ve grafiksel olarak gösterin. Çözüm. Tanıma göre

F(jc) = 0 için X X

F(x) = 4'te 0,4 + 0,1 = 0,5 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1'de X > 5.

Yani (bkz. Şekil 2.1):


Dağıtım işlevi özellikleri:

1. Rastgele bir değişkenin dağılım işlevi, sıfır ile bir arasında yer alan, negatif olmayan bir işlevdir:

2. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, tüm sayı ekseninde azalmayan bir fonksiyondur, yani. de X 2 >x

3. Eksi sonsuzda, dağılım fonksiyonu sıfıra eşittir, artı sonsuzda bire eşittir, yani.

4. Rastgele bir değişkene çarpma olasılığı X aralıkta arasında değişen olasılık yoğunluğunun belirli integraline eşittir. aönceki b(bkz. Şekil 2.2), yani.


Pirinç. 2.2

3. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu (bkz. Şekil 2.3), aşağıdaki formül kullanılarak olasılık yoğunluğu cinsinden ifade edilebilir:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun sonsuz limitlerinde uygun olmayan integral bire eşittir:

Geometrik özellikler / ve 4 olasılık yoğunlukları, arsa olduğu anlamına gelir dağılım eğrisi - x ekseninin altında değil, ve Toplam alanı rakamlar, sınırlı dağılım eğrisi ve x ekseni, bire eşittir.

Sürekli bir rastgele değişken için X beklenen değer M(X) ve varyans D(X) formüllerle belirlenir:

(eğer integral mutlak yakınsaksa); veya

(indirgenmiş integraller yakınsarsa).

Yukarıda belirtilen sayısal özelliklerin yanı sıra, bir rasgele değişkeni tanımlamak için nicelikler ve yüzde noktaları kavramı kullanılır.

q seviye niceliği(veya q-kantil) böyle bir değerdirx qrastgele değişken, dağıtım fonksiyonunun değeri aldığı yer, q'ya eşit, yani

  • 100q%-ou noktası, X~ q niceliğidir.
  • ? Örnek 2.8.

Örnek 2.6'ya göre niceliği bulun xqj ve %30 rastgele değişken noktası x.

Çözüm. Tanım olarak (2.16) F(xo t3)= 0.3, yani.

~E~ = 0.3, nicelik nereden x 0 3 = 0,6. %30 rastgele değişken noktası X, veya nicelik Х)_о,з = xoj», ^ = 0.7 denkleminden benzer şekilde bulunur. nereden *,= 1.4. ?

Arasında sayısal özellikler rastgele değişken tahsisi ilk v* ve merkezi R* k. sipariş anları, ayrık ve sürekli rasgele değişkenler için aşağıdaki formüllerle belirlenir:


Kesikli rastgele değişkenler için dağıtım yasaları arasında en yaygın olanı binom dağılım yasasıdır. Binom dağılımı aşağıdaki koşullar altında gerçekleşir. Rastgele bir değişken, bağımsız denemelerde bazı olayların meydana gelme sayısı olsun, ayrı bir denemede meydana gelme olasılığı . Bu rastgele değişken kesikli bir rastgele değişkendir, olası değerleri . Rastgele bir değişkenin bir değer alma olasılığı Bernoulli formülüyle hesaplanır: .

Tanım 15. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, rastgele değişkenin değerlerinin olasılıkları Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanırsa, binom dağılım yasası olarak adlandırılır. Dağıtım serisi şöyle görünecektir:

Rastgele değişkenin farklı değerlerinin olasılıklarının toplamının 1'e eşit olduğundan emin olalım.

Bu hesaplamalar Newton'un binom formülüyle sonuçlandığından, dağıtım yasasına binom denir. Rastgele bir değişkenin binom dağılımı varsa, sayısal özellikleri aşağıdaki formüllerle bulunur:

(42) (43)

Örnek 15 50 parçalık bir parti var. Bir kısım için evlilik olasılığı. Rastgele bir değişken, belirli bir partideki kusurlu parçaların sayısı olsun. Belirli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun. Çözüm. Rastgele bir değişken, bir değer alma olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak hesaplandığından, binom dağılımına sahiptir. Daha sonra matematiksel beklentisi formül (41) ile bulunur, yani ; varyans (42) formülüyle bulunur: . O zaman standart sapma eşit olacaktır. Soru. 200 piyango bileti satın alındı, bir bilet kazanma olasılığı 0.01'dir. O zaman kazanacak ortalama piyango bileti sayısı: a) 10; b) 2; 20'de; d) 1.

Poisson dağıtım yasası

Birçok pratik problemi çözerken, Poisson dağılım yasasına uyan ayrık rastgele değişkenlerle uğraşmak gerekir. Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişkenin tipik örnekleri şunlardır: bir süre için telefon santralindeki çağrıların sayısı; Arızaların birbirinden bağımsız olduğu ve ortalama olarak birim zaman başına arıza olduğu biliniyorsa, karmaşık ekipmanın zaman içindeki arıza sayısı Dağıtım serisi şöyle görünecektir:

Yani, rastgele bir değişkenin bir değer alma olasılığı Poisson formülü ile hesaplanır: bu nedenle bu yasaya Poisson dağılım yasası denir. Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişken aşağıdaki sayısal özelliklere sahiptir:

Poisson dağılımı, rastgele değişkenin ortalaması olan bir parametreye bağlıdır. Şekil 14 gösterir Genel form parametrenin farklı değerleri için Poisson dağılımının çokgeni.

Poisson dağılımı, bir rastgele değişkenin tam dağılımının bir binom dağılımı olduğu, deneme sayısının fazla olduğu ve bir olayın ayrı bir denemede meydana gelme olasılığının küçük olduğu durumlarda bir yaklaşım olarak kullanılabilir, bu nedenle Poisson dağılımı kanuna ender olaylar kanunu denir. Ayrıca, matematiksel beklenti varyanstan çok az farklıysa, yani . Bu bağlamda, Poisson dağılımının çok sayıda farklı uygulaması vardır. Örnek 16 Tesis, üsse 500 yüksek kaliteli ürün gönderiyor. Ürünün nakliye sırasında hasar görme olasılığı 0,002'dir. Taşıma sırasında hasar gören parça sayısının matematiksel beklentisini bulun. Çözüm. Rastgele değişken bir Poisson dağılımına sahiptir, yani . Soru. Mesaj iletimi sırasında karakter bozulması olasılığı 0,004'tür. Ortalama bozuk sembol sayısının 4 olması için 100 sembol iletilmelidir.