Cebirsel ifadeleri basitleştirmek, cebir öğrenmenin anahtarlarından biridir ve tüm matematikçiler için son derece yararlı bir beceridir. Sadeleştirme, karmaşık veya uzun bir ifadeyi, üzerinde çalışması kolay basit bir ifadeye indirgemenize olanak tanır. Temel sadeleştirme becerileri, matematik konusunda hevesli olmayanlar için bile iyidir. Birkaç basit kuralı izleyerek, en yaygın cebirsel ifade türlerinin çoğu, herhangi bir özel matematik bilgisi olmadan basitleştirilebilir.

adımlar

Önemli tanımlar

1. Benzer Üyeler . Bunlar aynı sıradaki bir değişkene sahip üyeler, aynı değişkenlere sahip üyeler veya serbest üyelerdir (değişken içermeyen üyeler). Başka bir deyişle, benzer terimler aynı ölçüde bir değişken içerir, birkaç özdeş değişken içerir veya bir değişkeni hiç içermez. İfadedeki terimlerin sırası önemli değildir.

   • Örneğin, 3x 2 ve 4x 2, ikinci dereceden (ikinci kuvvette) "x" değişkenini içerdikleri için benzer terimlerdir. Bununla birlikte, x ve x 2 benzer üyeler değildir, çünkü farklı derecelerde (birinci ve ikinci) "x" değişkenini içerirler. Benzer şekilde, -3yx ve 5xz farklı değişkenler içerdiğinden benzer üyeler değildir.

2. çarpanlara ayırma . Bu, ürünü orijinal sayıya götüren bu tür sayıları bulmaktır. Herhangi bir orijinal sayının birkaç faktörü olabilir. Örneğin, 12 sayısı şu çarpanlara ayrılabilir: 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4, yani 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 sayılarının çarpanları olduğunu söyleyebiliriz. 12 numara. Faktörler bölenlerle aynıdır, yani orijinal sayının bölünebildiği sayılar.

   • Örneğin, 20 sayısını çarpanlarına ayırmak istiyorsanız, şöyle yazın: 4×5.
   • Faktoring yaparken değişkenin dikkate alındığını unutmayın. Örneğin, 20x = 4(5x).
   • Asal sayılar sadece kendilerine ve 1'e bölünebildiği için çarpanlara ayrılamaz.

3. Hatalardan kaçınmak için işlem sırasını hatırlayın ve izleyin.

   • Parantez
   • Derece
   • Çarpma işlemi
   • Bölüm
   • İlave
   • Çıkarma

   Üyeleri Beğenmek

   1. İfadeyi yazın. En basit cebirsel ifadeler (kesirler, kökler vb. içermeyen) sadece birkaç adımda çözülebilir (basitleştirilebilir).

      • Örneğin, ifadeyi basitleştirin 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Benzer üyeler tanımlayın (aynı sıradaki bir değişkene sahip üyeler, aynı değişkenlere sahip üyeler veya serbest üyeler).

      • Bu ifadedeki benzer terimleri bulun. 2x ve 4x terimleri aynı sıradaki (ilk) bir değişken içerir. Ayrıca 1 ve -3 serbest üyelerdir (değişken içermez). Böylece, bu ifadede, terimler 2x ve 4x benzerdir ve üyeler 1 ve -3 da benzerler.

   3. Benzer terimler verin. Bu, onları eklemek veya çıkarmak ve ifadeyi basitleştirmek anlamına gelir.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Verilen terimleri dikkate alarak ifadeyi yeniden yazınız. Daha az terimle basit bir ifade elde edeceksiniz. Yeni ifade orijinaline eşittir.

      • Örneğimizde: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, yani orijinal ifade basitleştirilmiştir ve üzerinde çalışılması daha kolaydır.

   5. Benzer terimleri yayınlarken işlemlerin gerçekleştirildiği sıraya dikkat edin.Örneğimizde, benzer terimleri getirmek kolaydı. Ancak üyelerin parantez içine alındığı, kesirlerin ve köklerin bulunduğu karmaşık ifadelerde bu tür terimleri getirmek o kadar kolay değildir. Bu durumlarda, işlem sırasını izleyin.

      • Örneğin, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x ifadesini ele alalım. Burada 3x ve 2x'i hemen benzer terimler olarak tanımlamak ve alıntı yapmak yanlış olur, çünkü önce parantezleri genişletmeniz gerekir. Bu nedenle, işlemleri sırasıyla gerçekleştirin.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Şimdi, ifade yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerini içerdiğinde, benzer terimleri yayınlayabilirsiniz.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Çarpanı parantez içine alma

   1. Bulmak en büyük ortak böleni(GCD) ifadesinin tüm katsayıları. NOD en büyük sayı, ifadenin tüm katsayılarının bölündüğü.

      • Örneğin, 9x 2 + 27x - 3 denklemini ele alalım. Bu durumda, gcd=3, çünkü bu ifadenin herhangi bir katsayısı 3'e bölünebilir.

   2. İfadenin her terimini gcd'ye bölün. Ortaya çıkan terimler, orijinal ifadeden daha küçük katsayılar içerecektir.

      • Örneğimizde, her ifade terimini 3'e bölün.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • ifadesi çıktı 3x2 + 9x-1. Orijinal ifadeye eşit değildir.

   3. Orijinal ifadeyi, gcd ile elde edilen ifadenin çarpımına eşit olarak yazın. Yani, elde edilen ifadeyi parantez içine alın ve GCD'yi parantezlerin dışına çıkarın.

      • Örneğimizde: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Parantez içindeki çarpanı alarak kesirli ifadeleri sadeleştirme. Neden daha önce yapıldığı gibi çarpanı parantezlerden çıkaralım? Ardından, kesirli ifadeler gibi karmaşık ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğrenmek. Bu durumda, faktörü parantezlerden çıkarmak, kesirden (paydadan) kurtulmaya yardımcı olabilir.

      • Örneğin, kesirli ifadeyi (9x 2 + 27x - 3)/3 düşünün. Bu ifadeyi basitleştirmek için parantez kullanın.
        • 3'ü çarpanlara ayırın (daha önce yaptığınız gibi): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Hem pay hem de paydanın artık 3 sayısına sahip olduğuna dikkat edin. Bu azaltılabilir ve şu ifadeyi alırsınız: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Paydası 1 olan herhangi bir kesir, paya tam olarak eşit olduğundan, orijinal kesirli ifade şu şekilde basitleştirilir: 3x2 + 9x-1.

   Ek Basitleştirme Teknikleri

   1. Kesirli ifadeleri basitleştirme. Yukarıda belirtildiği gibi, hem pay hem de payda aynı terimleri (hatta aynı ifadeleri) içeriyorsa, bunlar azaltılabilir. Bunu yapmak için, pay veya paydanın ortak faktörünü veya hem pay hem de paydayı çıkarmanız gerekir. Veya payın her terimini paydaya bölerek ifadeyi sadeleştirebilirsiniz.

      • Örneğin, kesirli ifadeyi (5x 2 + 10x + 20)/10 düşünün. Burada, payın her terimini paydaya (10) bölmeniz yeterlidir. Ancak 5x2 teriminin 10'a tam bölünemediğine dikkat edin (çünkü 5, 10'dan küçüktür).
        • Basitleştirilmiş ifadeyi şu şekilde yazın: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Radikal ifadelerin sadeleştirilmesi. Kök işaretinin altındaki ifadelere kök ifadeler denir. Uygun faktörlere ayrıştırılmaları ve ardından bir faktörün kökten çıkarılması yoluyla basitleştirilebilirler.

      • Basit bir örnek düşünün: √(90). 90 sayısı aşağıdaki faktörlere ayrılabilir: 9 ve 10 ve 9'dan alıntı Kare kök(3) ve kök altından 3 çıkarın.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Güçlerle ifadeleri basitleştirme. Bazı ifadelerde terimlerin bir dereceye göre çarpma veya bölme işlemleri vardır. Terimlerin bir tabanla çarpılması durumunda dereceleri toplanır; Aynı tabana sahip terimlerin bölünmesi durumunda dereceleri çıkarılır.

      • Örneğin, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) ifadesini ele alalım. Çarpma durumunda, üsleri ekleyin ve bölme durumunda bunları çıkarın.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Aşağıda terimleri bir derece ile çarpma ve bölme kuralının bir açıklaması bulunmaktadır.
        • Terimleri kuvvetlerle çarpmak, terimleri kendi başlarına çarpmaya eşdeğerdir. Örneğin, x 3 = x × x × x ve x 5 = x × x × x × x × x olduğundan, x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) veya x 8 .
        • Benzer şekilde, terimleri kuvvetlerle bölmek, terimleri kendi başlarına bölmekle eşdeğerdir. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Hem payda hem de paydada bulunan benzer terimler indirgenebildiğinden, iki "x" veya x 2'nin çarpımı payda kalır.

Bu makalenin malzemesi, kesirler içeren ifadelerin dönüşümüne genel bir bakıştır. Burada kesirli ifadelerin karakteristiği olan temel dönüşümleri ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

Kesirli ifadeler ve kesirli ifadeler

Başlamak için, ne tür bir ifade dönüşümü ile uğraşacağımızı açıklayalım.

Makalenin başlığı açıklayıcı ifadeyi içeriyor " kesirli ifadeler". Yani, aşağıda, kaydında en az bir kesir bulunan sayısal ifadelerin ve değişkenlerle ifadelerin dönüşümü hakkında konuşacağız.

Makalenin yayınlanmasından hemen sonra, " Kesirlerin dönüşümü: genel bir görüş"Artık bireysel kesirlerle ilgilenmiyoruz. Bu nedenle, ayrıca, yalnızca en az bir kesrin varlığıyla birleştirilen kökleri, kuvvetleri, logaritmalarını içeren toplamları, farkları, ürünleri, kısmi ve daha karmaşık ifadeleri ele alacağız.

Ve hakkında konuşalım kesirli ifadeler. Bu, kesirli ifadelerle aynı şey değildir. Kesirli ifadeler - daha fazlası Genel kavram. Kesirli her ifade kesirli bir ifade değildir. Örneğin, ifade kesirli bir ifade değildir, bir kesir içermesine rağmen tamsayı rasyonel bir ifadedir. Bu yüzden, tam olarak emin olmadan kesirli bir ifadeye kesirli ifade demeyin.

Kesirli ifadelerin temel özdeş dönüşümleri

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Bu durumda ifadeyi verecek olan parantezleri açabilirsiniz. , benzer terimleri ve , -3 ve 3'ü içerir. İndirgemelerinden sonra bir kesir elde ederiz.

Haydi göster kısa formçözüm girişleri:

Cevap:

.

Bireysel kesirler ile çalışma

Dönüştürmekten bahsettiğimiz ifadeler, diğer ifadelerden esas olarak kesirlerin varlığında farklılık gösterir. Ve kesirlerin varlığı, onlarla çalışmak için araçlar gerektirir. Bu paragrafta, bu ifadenin kaydında yer alan bireysel kesirlerin dönüşümünü ele alacağız ve sonraki paragrafta orijinal ifadeyi oluşturan kesirler ile işlemler yapmaya devam edeceğiz.

olan herhangi bir kesir ile ayrılmaz parça orijinal ifade, Kesir dönüştürme makalesinde özetlenen dönüştürmelerden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Yani, ayrı bir kesir alabilir, payı ve paydasıyla çalışabilir, azaltabilir, yeni bir paydaya getirebilirsiniz, vb. Bu dönüşümle, seçilen kesrin kendisine eşit bir kesirle değiştirileceği ve orijinal ifadenin de ona eşit bir ifadeyle değiştirileceği açıktır. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

İfadeyi kesirle dönüştür daha basit bir forma.

Çözüm.

Bir kesir ile çalışarak dönüşüme başlayalım. Önce parantezleri açın ve kesrin payında benzer terimleri verin: . Şimdi, payda x ortak faktörünün parantez içine alınması ve ardından cebirsel kesrin indirgenmesi için yalvarır: . Sadece orijinal ifadede bir kesir yerine elde edilen sonucun yerini almak için kalır; .

Cevap:

.

Kesirlerle işlem yapma

İfadeleri kesirlerle dönüştürme işleminin bir kısmı genellikle kesirli eylemler. Eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uygun olarak gerçekleştirilirler. Herhangi bir sayı veya ifadenin her zaman paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini de unutmamak gerekir.

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Soruna farklı açılardan yaklaşılabilir. İncelenen konu bağlamında kesirli işlemler yaparak gideceğiz. Kesirleri çarparak başlayalım:

Şimdi ürünü payda 1 olan bir kesir olarak yazıyoruz, ardından kesirleri çıkarıyoruz:

İstenirse ve gerekliyse, paydadaki mantıksızlıktan yine de kurtulabilirsiniz. , üzerinde dönüşümü bitirebilirsiniz.

Cevap:

Köklerin, kuvvetlerin, logaritmaların vb. özelliklerinin uygulanması.

Kesirli ifadeler sınıfı çok geniştir. Bu tür ifadeler, gerçek kesirlere ek olarak kökler, farklı üslü dereceler, modüller, logaritmalar, trigonometrik fonksiyonlar vb. Doğal olarak, dönüştürüldüğünde karşılık gelen özellikler uygulanır.

Kesirlere uygulanabilir, kesrin kökünün özelliğini, dereceye göre kesrin özelliğini, bölümün modülünün özelliğini ve farkın logaritmasının özelliğini vurgulamaya değer. .

Açıklık için birkaç örnek veriyoruz. Örneğin, ifadede Derecenin özelliklerine dayanarak, ilk kesri bir derece ile değiştirmek yararlı olabilir, bu da ifadeyi kare farkı olarak temsil etmemize izin verir. Logaritmik bir ifadeyi dönüştürürken Bir kesrin logaritmasını logaritma farkıyla değiştirmek mümkündür, bu da benzer terimleri getirmemize ve böylece ifadeyi basitleştirmemize izin verir: . Trigonometrik ifadeleri dönüştürmek, aynı açının sinüsünün kosinüsüne oranının bir teğet ile değiştirilmesini gerektirebilir. Uygun formülleri kullanarak yarım bir argümandan bütün bir argümana geçmek ve böylece kesir argümanından kurtulmak gerekebilir, örneğin, .

Köklerin, derecelerin vb. özelliklerinin uygulanması. ifadelerin dönüşümüne makalelerde daha ayrıntılı olarak yer verilmiştir:

• Köklerin özelliklerini kullanarak irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi,
• Kuvvet özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesi,
• Logaritma özelliklerini kullanarak logaritmik ifadeleri dönüştürme,
• Trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

İfadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem "ana"dır.

Yani, harfler yerine bazı (herhangi bir) sayı yerine koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem çarpma ise, o zaman bir ürünümüz olur (ifade çarpanlara ayrılır).

Son eylem toplama veya çıkarma ise, bu ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla indirgenemeyeceği) anlamına gelir.

Kendiniz düzeltmek için birkaç örnek:

Örnekler:

Çözümler:

1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Bunun gibi birimleri “azaltmak” hala yeterli değildi:

İlk adım, çarpanlara ayırmak olmalıdır:

4. Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak bir paydaya getirmek.

Sıradan kesirleri toplamak ve çıkarmak iyi bilinen bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları toplar / çıkarırız.

Hatırlayalım:

Yanıtlar:

1. Paydalar ve aralarında asaldır, yani ortak bölenleri yoktur. Bu nedenle, bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacaktır:

2. Burada ortak payda:

3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve sonra - olağan şemaya göre:

Kesirlerin harf içermesi tamamen başka bir konudur, örneğin:

Basitten başlayalım:

a) Paydalar harf içermez

Burada her şey sıradan sayısal kesirler ile aynıdır: ortak bir payda buluruz, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları toplar / çıkarırız:

şimdi payda varsa benzerlerini getirebilir ve çarpanlara ayırabilirsiniz:

Kendin dene:

Yanıtlar:

b) Paydalar harf içerir

Harfsiz ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:

Öncelikle ortak çarpanları belirliyoruz;

Sonra tüm ortak çarpanları bir kez yazıyoruz;

ve bunları yaygın olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpın.

Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için önce bunları basit çarpanlara ayırırız:

Ortak faktörleri vurguluyoruz:

Şimdi ortak çarpanları bir kez yazıyoruz ve onlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) tüm faktörleri ekliyoruz:

Bu ortak paydadır.

Gelelim mektuplara. Paydalar tam olarak aynı şekilde verilir:

Paydaları faktörlere ayırırız;

ortak (özdeş) çarpanları belirlemek;

tüm ortak faktörleri bir kez yazın;

Bunları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpıyoruz.

Yani, sırayla:

1) paydaları faktörlere ayırın:

2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:

3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:

Yani ortak payda burada. İlk kesir, ikincisi - ile çarpılmalıdır:

Bu arada, bir numara var:

Örneğin: .

Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, sadece hepsi farklı göstergelerle. Ortak payda şöyle olacaktır:

ölçüde

ölçüde

ölçüde

derece olarak.

Görevi karmaşıklaştıralım:

Kesirlerin paydaları aynı nasıl yapılır?

Bir kesrin temel özelliğini hatırlayalım:

Hiçbir yerde, bir kesrin pay ve paydasından aynı sayının çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmez. Çünkü bu doğru değil!

Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrenildi?

Yani, başka bir sarsılmaz kural:

Kesirleri ortak paydaya getirdiğinizde sadece çarpma işlemini kullanın!

Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?

İşte ve çoğaltın. Ve şununla çarpın:

Çarpanlara ayrılamayan ifadelere "temel çarpanlar" adı verilir.

Örneğin, temel bir faktördür. - fazla. Ama - hayır: faktörlere ayrıştırılır.

Peki ya ifade? İlköğretim mi?

Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:

("" konusundaki çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).

Dolayısıyla, harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Ve biz de onlarla aynı şeyi yapacağız.

Her iki paydanın da bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Güçteki ortak paydaya gidecek (nedenini hatırlıyor musun?).

Çarpan temeldir ve ortak noktaları yoktur, bu da ilk kesrin basitçe onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Bu paydaları panik içinde çarpmadan önce, onları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı mı düşünmeniz gerekiyor? Her ikisi de şunları temsil eder:

Harika! O zamanlar:

Başka bir örnek:

Çözüm:

Her zamanki gibi, paydaları çarpanlara ayırıyoruz. İlk paydada, onu basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - karelerin farkı:

Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız, zaten çok benzerler ... Ve gerçek şu ki:

Öyleyse yazalım:

Yani, şöyle çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesrin önündeki işaret tam tersine değişti. Dikkat edin, bunu sık sık yapmanız gerekecek.

Şimdi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Anladım? Şimdi kontrol edelim.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yanıtlar:

Burada bir şeyi daha hatırlamalıyız - küplerin farkı:

Lütfen ikinci kesrin paydasının "toplamın karesi" formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünür:

A, toplamın tamamlanmamış karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonun çarpımıdır, iki katına çıkmış ürünü değildir. Toplamın eksik karesi, küp farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:

Ya zaten üç kesir varsa?

Evet aynısı! Her şeyden önce, paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olacağız:

Dikkat edin: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz, kesrin önündeki işaret tam tersi olur. İkinci parantezdeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret yine ters çevrilir. Sonuç olarak, o (kesirin önündeki işaret) değişmedi.

İlk paydayı tam olarak ortak paydaya yazarız ve sonra henüz yazılmamış olan tüm faktörleri ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa) ekleriz. Yani, şöyle gider:

Hmm ... Kesirlerle ne yapılması gerektiği açık. Peki ya ikisi?

Çok basit: kesirleri nasıl ekleyeceğinizi biliyorsunuz, değil mi? Bu nedenle, ikilinin bir kesir haline geldiğinden emin olmalısınız! Unutmayın: kesir bir bölme işlemidir (aniden unuttuysanız, pay paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda, sayının kendisi değişmeyecek, ancak bir kesire dönüşecektir:

Tam olarak ne gerekli!

5. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Neyse, en zor kısım artık bitti. Ve önümüzde en basit, ama aynı zamanda en önemlisi:

prosedür

Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Unutmayın, böyle bir ifadenin değerini göz önünde bulundurarak:

saydın mı?

İşe yaramalı.

O yüzden hatırlatırım.

İlk adım dereceyi hesaplamaktır.

İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birkaç çarpma ve bölme varsa, bunları herhangi bir sırayla yapabilirsiniz.

Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemi yapıyoruz. Yine, herhangi bir sırayla.

Ancak: parantez içindeki ifade düzensiz olarak değerlendirilir!

Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantez içindeki ifadeyi değerlendirir, sonra çarpar veya böleriz.

Parantez içinde başka parantezler varsa ne olur? Bir düşünelim: parantez içinde bir ifade yazıyor. Bir ifadeyi değerlendirirken yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, parantezleri hesaplayın. Pekala, anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra diğer her şeyi.

Dolayısıyla, yukarıdaki ifade için eylemlerin sırası aşağıdaki gibidir (geçerli eylem kırmızı ile vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):

Tamam, hepsi basit.

Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil, değil mi?

Hayır, aynı! Sadece aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan işlemleri yapmak gerekir: benzerini getirmek, kesirler ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma eylemi olacaktır (kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırma için i kullanmanız veya ortak faktörü parantezlerden çıkarmanız gerekir.

Genellikle amacımız, bir ifadeyi bir ürün veya bölüm olarak temsil etmektir.

Örneğin:

İfadeyi sadeleştirelim.

1) Önce parantez içindeki ifadeyi sadeleştirelim. Burada kesir farkımız var ve amacımız onu bir çarpım veya bölüm olarak göstermek. Bu yüzden kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve ekliyoruz:

Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır, buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hala hatırlıyor musunuz?).

2) Şunları elde ederiz:

Kesirlerin çarpımı: daha kolay ne olabilir?

3) Şimdi kısaltabilirsiniz:

Tamam şimdi her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?

Başka bir örnek:

Ifadeyi basitleştir.

Önce kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.

Çözüm:

Her şeyden önce, prosedürü tanımlayalım.

Önce parantez içindeki kesirleri ekleyelim, iki kesir yerine bir tane çıkacak.

Daha sonra kesirlere bölme işlemi yapacağız. Son kesir ile sonucu ekliyoruz.

Adımları şematik olarak numaralandıracağım:

Şimdi mevcut eylemi kırmızı ile renklendirerek tüm süreci göstereceğim:

1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Benzerlerimiz ne zaman olursa olsun, hemen getirmeniz tavsiye edilir.

2. Aynı şey kesirleri azaltmak için de geçerlidir: Azaltma fırsatı doğar doğmaz kullanılmalıdır. İstisna, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirlerdir: şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.

İşte kendi başınıza çözmeniz için bazı görevler:

Ve en başında söz verdi:

Yanıtlar:

Çözümler (kısa):

En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.

Şimdi öğrenmeye devam edin!

İFADE DÖNÜŞÜMÜ. ÖZET VE TEMEL FORMÜL

Temel sadeleştirme işlemleri:

• benzerlerini getirmek: benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
• çarpanlara ayırma: ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak, uygulamak vb.
• kesir azaltma: bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
  1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
  2) Pay ve paydada ortak çarpanlar varsa bunların üzeri çizilebilir.

  ÖNEMLİ: sadece çarpanlar azaltılabilir!

• Kesirlerde toplama ve çıkarma:
  ;
• Kesirlerde çarpma ve bölme:
  ;

cebir dersinden Okul müfredatı Gelelim ayrıntılara. Bu yazıda, özel bir rasyonel ifade türünü ayrıntılı olarak inceleyeceğiz - rasyonel kesirler ve aynı zamanda hangi özelliğin aynı olduğunu analiz edin rasyonel kesirlerin dönüşümleri yer almak.

Aşağıda tanımladığımız anlamda rasyonel kesirlere bazı cebir ders kitaplarında cebirsel kesirler dendiğini hemen belirtelim. Yani, bu yazıda aynı şeyi rasyonel ve cebirsel kesirler altında anlayacağız.

Her zamanki gibi, bir tanım ve örneklerle başlıyoruz. Ardından, rasyonel bir kesri yeni bir paydaya getirmekten ve kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmekten bahsedelim. Bundan sonra, kesirlerin indirgemesinin nasıl yapıldığını analiz edeceğiz. Son olarak, rasyonel bir kesrin birkaç kesrin toplamı olarak temsili üzerinde duralım. Tüm bilgiler, çözümlerin ayrıntılı açıklamaları ile örneklerle sağlanacaktır.

Sayfa gezintisi.

Rasyonel kesirlerin tanımı ve örnekleri

8. sınıf cebir derslerinde rasyonel kesirler işlenir. Yu. N. Makarychev ve diğerleri tarafından 8. sınıflar için cebir ders kitabında verilen rasyonel bir kesir tanımını kullanacağız.

AT bu tanım rasyonel bir kesrin pay ve paydasındaki polinomların standart form polinomları olup olmadığı belirtilmemiştir. Bu nedenle, rasyonel kesirlerin hem standart hem de standart olmayan polinomları içerebileceğini varsayacağız.

Burda biraz var rasyonel kesir örnekleri. Yani, x/8 ve - rasyonel kesirler. ve kesirler ve rasyonel bir kesrin sağlam tanımına uymuyor, çünkü birincisinde pay bir polinom değil ve ikincisinde hem pay hem de payda polinom olmayan ifadeler içeriyor.

Rasyonel bir kesrin payını ve paydasını dönüştürme

Herhangi bir kesrin payı ve paydası kendi kendine yeterli matematiksel ifadelerdir, rasyonel kesirler söz konusu olduğunda polinomlardır, belirli bir durumda tek terimli ve sayılardır. Bu nedenle, herhangi bir ifadede olduğu gibi, rasyonel bir kesrin payı ve paydası ile özdeş dönüşümler gerçekleştirilebilir. Başka bir deyişle, rasyonel bir kesrin payındaki ifade, tıpkı payda gibi, kendisine eşit olan bir ifadeyle değiştirilebilir.

Rasyonel bir kesrin pay ve paydasında özdeş dönüşümler yapılabilir. Örneğin, payda, benzer terimleri gruplayabilir ve azaltabilirsiniz ve paydada, birkaç sayının çarpımı değeri ile değiştirilebilir. Rasyonel bir kesrin payı ve paydası polinom olduğu için, polinomların karakteristik dönüşümlerini onlarla, örneğin standart bir forma indirgeme veya bir ürün olarak temsil etme gibi gerçekleştirmek mümkündür.

Netlik için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Rasyonel Kesri Dönüştür böylece pay, standart formun bir polinomudur ve payda, polinomların ürünüdür.

Çözüm.

Rasyonel kesirleri yeni bir paydaya indirgemek, esas olarak rasyonel kesirleri toplarken ve çıkarırken kullanılır.

Bir kesrin önündeki ve pay ve paydasındaki işaretleri değiştirme

Bir kesrin temel özelliği, kesrin terimlerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Aslında, rasyonel bir kesrin payını ve paydasını -1 ile çarpmak, işaretlerini değiştirmekle eşdeğerdir ve sonuç, verilen kesrin aynısına eşit bir kesirdir. Böyle bir dönüşüm, rasyonel kesirler ile çalışırken oldukça sık kullanılmalıdır.

Böylece, bir kesrin pay ve paydasının işaretlerini aynı anda değiştirirseniz, orijinaline eşit bir kesir elde edersiniz. Bu ifade eşitliğe karşılık gelir.

Bir örnek alalım. Rasyonel bir kesir, formun pay ve paydasının ters işaretleriyle özdeş olarak eşit bir kesir ile değiştirilebilir.

Kesirler ile, işaretin payda veya paydada değiştirildiği bir özdeş dönüşüm daha gerçekleştirilebilir. Uygun kuralın üzerinden geçelim. Bir kesrin işaretini pay veya payda işaretiyle değiştirirseniz, aslına eşit olan bir kesir elde edersiniz. Yazılı ifade eşitliklere karşılık gelir ve .

Bu eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. İspat, sayıların çarpımının özelliklerine dayanmaktadır. Bunlardan ilkini ispatlayalım: . Benzer dönüşümlerin yardımıyla eşitlik de kanıtlanmıştır.

Örneğin, bir kesir bir ifade ile değiştirilebilir veya .

Bu alt bölümü sonuçlandırmak için, iki tane daha kullanışlı eşitlik ve . Yani, yalnızca payın veya yalnızca paydanın işaretini değiştirirseniz, kesrin işareti de değişecektir. Örneğin, ve .

Bir kesrin terimlerinin işaretini değiştirmeye izin veren dikkate alınan dönüşümler, kesirli rasyonel ifadeleri dönüştürürken sıklıkla kullanılır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması

Rasyonel kesirlerin indirgenmesi olarak adlandırılan rasyonel kesirlerin aşağıdaki dönüşümü, bir kesrin aynı temel özelliğine dayanır. Bu dönüşüm, a , b ve c'nin bazı polinomlar olduğu ve b ve c'nin sıfır olmadığı eşitliğine karşılık gelir.

Yukarıdaki eşitlikten, rasyonel bir kesrin indirgenmesinin, pay ve paydasındaki ortak faktörden kurtulma anlamına geldiği açıktır.

Örnek.

Rasyonel kesri azaltın.

Çözüm.

Ortak faktör 2 hemen görülebilir, hadi azaltalım (yazarken, indirgemenin yapıldığı ortak faktörlerin üzerini çizmek uygundur). Sahibiz . x 2 \u003d x x ve y 7 \u003d y 3 y 4 olduğundan (gerekirse bakın), x'in, y 3 gibi, elde edilen kesrin payının ve paydasının ortak bir faktörü olduğu açıktır. Bu faktörlerle azaltalım: . Bu azalmayı tamamlar.

Yukarıda, rasyonel bir kesrin indirgenmesini sırayla gerçekleştirdik. Ve indirgemeyi tek adımda gerçekleştirmek, kesri hemen 2·x·y3 azaltarak yapmak mümkündü. Bu durumda, çözüm şöyle görünecektir: .

Cevap:

.

Rasyonel kesirleri azaltırken asıl sorun, pay ve paydanın ortak faktörünün her zaman görünür olmamasıdır. Ayrıca, her zaman mevcut değildir. Ortak bir çarpan bulmak veya var olmadığından emin olmak için rasyonel bir kesrin payını ve paydasını çarpanlara ayırmanız gerekir. Ortak çarpan yoksa, orijinal rasyonel kesrin indirgenmesine gerek yoktur, aksi takdirde indirgeme yapılır.

Rasyonel kesirleri azaltma sürecinde çeşitli nüanslar ortaya çıkabilir. Cebirsel kesirlerin indirgemesi makalesinde örnekler ve ayrıntılarla ana incelikler tartışılmaktadır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması hakkındaki konuşmayı bitirirken, bu dönüşümün aynı olduğunu ve uygulanmasındaki ana zorluğun pay ve paydadaki polinomların çarpanlarına ayrılmasında yattığını not ediyoruz.

Kesirlerin toplamı olarak rasyonel bir kesrin temsili

Oldukça spesifik, ancak bazı durumlarda çok yararlı olan, rasyonel bir kesrin dönüşümüdür; bu dönüşüm, birkaç kesrin toplamı veya bir tamsayı ifadesi ile bir kesrin toplamı olarak temsil edilmesinden oluşur.

Payında bir polinomun bulunduğu, birkaç tek terimlinin toplamı olan rasyonel bir kesir, her zaman paylarında karşılık gelen tek terimli olan aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, . Bu temsil, aynı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplama ve çıkarma kuralı ile açıklanır.

Genel olarak, herhangi bir rasyonel kesir, birçok farklı şekilde kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir. Örneğin, a/b fraksiyonu iki fraksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir - keyfi bir c/d fraksiyonu ve a/b ve c/d fraksiyonları arasındaki farka eşit bir fraksiyon. Bu ifade doğrudur, çünkü eşitlik . Örneğin, rasyonel bir kesir, çeşitli şekillerde kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir: Orijinal kesri, bir tamsayı ifadesi ve bir kesrin toplamı olarak temsil ediyoruz. Payı paydaya göre bir sütuna böldükten sonra eşitliği elde ederiz. . Herhangi bir n tamsayı için n 3 +4 ifadesinin değeri bir tamsayıdır. Ve bir kesrin değeri, ancak ve ancak paydası 1, -1, 3 veya -3 ise bir tamsayıdır. Bu değerler sırasıyla n=3 , n=1 , n=5 ve n=−1 değerlerine karşılık gelmektedir.

Cevap:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 7. sınıf. 14:00 Bölüm 1. Öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich. - 13. baskı, Rev. - E.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - E.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Rasyonel ifadeler ve kesirler, tüm cebirin temel taşıdır. Bu tür ifadelerle çalışmayı, basitleştirmeyi ve çarpanlara ayırmayı öğrenenler, aslında, ifadelerin dönüştürülmesi herhangi bir ciddi denklemin, eşitsizliğin ve hatta bir kelime probleminin ayrılmaz bir parçası olduğu için herhangi bir sorunu çözebileceklerdir.

Bu video eğitiminde, rasyonel ifadeleri ve kesirleri basitleştirmek için kısaltılmış çarpma formüllerini doğru şekilde nasıl uygulayacağımızı göreceğiz. İlk bakışta hiçbir şeyin olmadığı bu formülleri görmeyi öğrenelim. Aynı zamanda, bir kare üç terimliyi diskriminant aracılığıyla çarpanlara ayırma gibi basit bir numarayı tekrarlıyoruz.

Muhtemelen arkamdaki formüllerden zaten tahmin ettiğiniz gibi, bugün kısaltılmış çarpma formüllerini veya daha doğrusu formüllerin kendisini değil, karmaşık rasyonel ifadeleri basitleştirme ve azaltma uygulamalarını inceleyeceğiz. Ancak, örnekleri çözmeye geçmeden önce, bu formüllere daha yakından bakalım veya onları hatırlayalım:

1. $(a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ karelerin farkıdır;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ toplamın karesidir;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ kare farkıdır;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \sağ)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \sağ)$ küplerin toplamıdır;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \sağ)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ küplerin farkıdır.

Okul eğitim sistemimizin de bu konunun çalışılması ile olacak şekilde tasarlandığını da belirtmek isterim. rasyonel ifadeler, kökler, modüller, tüm öğrenciler şimdi açıklayacağım aynı probleme sahiptir.

Gerçek şu ki, kısaltılmış çarpma formüllerini ve buna bağlı olarak kesirleri azaltma eylemlerini (bu 8. sınıfla ilgili) incelemenin en başında, öğretmenler şöyle bir şey söylüyor: “Sizin için net olmayan bir şey varsa, o zaman yapma Endişelenme, lisede bu konuya bir kereden fazla döneceğiz. Bunu daha sonra anlayacağız." Pekala, 9-10. sınıfların başında, aynı öğretmenler hala rasyonel kesirleri nasıl çözeceklerini bilmeyen aynı öğrencilere şunun gibi bir açıklama yapıyorlar: “Önceki iki yıl neredeydiniz? Aynısı 8. sınıfta cebirde de çalışılmıştı! Burada anlaşılmaz ne olabilir? Çok açık!"

Bununla birlikte, sıradan öğrenciler için bu tür açıklamalar hiç de kolay değil: hala kafalarında bir karışıklık vardı, bu yüzden şu anda bu ifadeleri gerçek problemlerde nasıl seçeceğimizi göreceğimiz iki basit örneği analiz edeceğiz, bu bizi kısa çarpma formüllerine ve daha sonra karmaşık rasyonel ifadeleri dönüştürmek için nasıl uygulayacağımıza götürecektir.

Basit rasyonel kesirlerin indirgenmesi

Görev 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Öğrenmemiz gereken ilk şey, daha sonra formülleri uygulayabileceğimiz orijinal ifadelerdeki tam kareleri ve daha yüksek güçleri ayırt etmektir. Bakalım:

Bu gerçekleri dikkate alarak ifademizi yeniden yazalım:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \sağ))^(2))-((\left(4x) \sağ))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\sol(3((y)^(2))-4x \sağ)\sol(3 ((y)^(2))+4x \sağ))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Cevap: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

2. Görev

Gelelim ikinci göreve:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Burada basitleştirilecek bir şey yok, çünkü pay bir sabittir, ancak bu problemi tam olarak iki değişken içeren polinomları nasıl çarpanlara ayıracağınızı öğrenmeniz için önerdim. Bunun yerine aşağıda yazılı bir polinom olsaydı, onu nasıl ayrıştırırdık?

\[((x)^(2))+5x-6=\sol(x-... \sağ)\sol(x-... \sağ)\]

Denklemi çözelim ve noktaların yerine koyabileceğimiz $x$'ı bulalım:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Üç terimliyi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\sol(x-1 \sağ)\sol(x+6 \sağ)\]

Kare bir üç terimle nasıl çalışılacağını öğrendik - bunun için bu video dersini kaydetmemiz gerekiyordu. Peki ya $x$ ve sabite ek olarak, $y$ da varsa? Onlara katsayıların başka bir öğesi olarak bakalım, yani. İfademizi aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Kare yapımızın ayrışmasını yazıyoruz:

\[\sol(x-y \sağ)\sol(x+6y \sağ)\]

Toplamda, orijinal ifadeye dönersek ve değişiklikleri dikkate alarak yeniden yazarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

\[\frac(8)(\sol(x-y \sağ)\sol(x+6y \sağ))\]

Böyle bir kayıt bize ne verir? Hiçbir şey, çünkü indirgenemez, hiçbir şeyle çarpılamaz veya bölünemez. Ancak, bu kesir daha karmaşık bir ifadenin ayrılmaz bir parçası olduğu ortaya çıkar çıkmaz, böyle bir genişleme işe yarayacaktır. Bu nedenle, bir kare üç terimli görür görmez (ek parametrelerle yüklü olsun ya da olmasın), her zaman onu çarpanlara ayırmaya çalışın.

Çözümün nüansları

Rasyonel ifadeleri dönüştürmek için temel kuralları hatırlayın:

• Tüm paydalar ve paylar, kısaltılmış çarpma formülleri veya ayrımcı aracılığıyla çarpanlara ayrılmalıdır.
• Bu algoritmaya göre çalışmamız gerekiyor: kısaltılmış çarpma formülünü inceleyip vurgulamaya çalıştığımızda, her şeyden önce, her şeyi mümkün olan en yüksek dereceye çevirmeye çalışıyoruz. Bundan sonra, genel dereceyi parantezlerden çıkarıyoruz.
• Çoğu zaman parametreli ifadeler olacaktır: diğer değişkenler katsayı olarak görünecektir. Onları ikinci dereceden genişleme formülünü kullanarak buluyoruz.

Bu nedenle, rasyonel kesirler görür görmez yapılacak ilk şey, hem payı hem de paydayı çarpanlara ayırmaktır (doğrusal ifadelere), biz ise indirgenmiş çarpma formüllerini veya diskriminantı kullanırız.

Bu tür birkaç rasyonel ifadeye bakalım ve onları ayırmaya çalışalım.

Daha Karmaşık Örnekleri Çözme

Görev 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Her terimi yeniden yazıp genişletmeye çalışıyoruz:

Tüm rasyonel ifademizi şu gerçekleri göz önünde bulundurarak yeniden yazalım:

\[\frac(((\sol(2x \sağ))^(2))-2x\cdot 3y+((\sol(3y \sağ))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\sol(3y \sağ))^(2))-((\sol(2x \sağ))^(2)))(((\sol(2x \sağ))^(3))+ ((\sol(3y\sağ))^(3)))=\]

\[=\frac(((\sol(2x \sağ))^(2))-2x\cdot 3y+((\sol(3y \sağ))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\sol(3y-2x \sağ)\sol(3y+2x \sağ))(\sol(2x+3y \sağ)\sol(((\sol(2x \sağ))^(2))- 2x\cdot 3y+((\sol(3y \sağ))^(2)) \sağ))=-1\]

Cevap: $-1$.

2. Görev

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Tüm kesirlere bakalım.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\sol(x-2 \sağ))^(2))\]

Değişiklikleri dikkate alarak tüm yapıyı yeniden yazalım:

\[\frac(3\sol(1-2x \sağ))(2\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ))\cdot \frac( 2x+1)(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))\cdot \frac(\sol(2-x \sağ)\sol(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \sağ))(\sol(2x-1 \sağ)\sol(2x+1 \sağ))=\]

\[=\frac(3\cdot \sol(-1 \sağ))(2\cdot \left(x-2 \sağ)\cdot \sol(-1 \sağ))=\frac(3)(2 \sol(x-2 \sağ))\]

Cevap: $\frac(3)(2\sol(x-2 \sağ))$.

Çözümün nüansları

Peki az önce ne öğrendik:

• Her kare üç terimli çarpanlara ayrılmaz, özellikle bu, genellikle toplam veya fark küplerinin parçaları olarak bulunan toplam veya farkın eksik karesi için geçerlidir.
• Sabitler, yani yanlarında değişkenleri olmayan sıradan sayılar da ayrıştırma sürecinde aktif elemanlar olarak hareket edebilir. İlk olarak, parantezlerin dışına alınabilirler ve ikinci olarak, sabitlerin kendileri kuvvetler olarak gösterilebilir.
• Çoğu zaman, tüm unsurları faktörlere ayırdıktan sonra zıt yapılar ortaya çıkar. Bu kesirleri çok dikkatli bir şekilde azaltmanız gerekir, çünkü bunları yukarıdan veya aşağıdan çizdiğinizde, ek bir $-1$ faktörü ortaya çıkar - bu tam olarak onların zıt olmaları gerçeğinin sonucudur.

Karmaşık sorunları çözme

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^) (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Her terimi ayrı ayrı ele alalım.

İlk kesir:

\[((\sol(3a \sağ))^(3))-((\left(4b \sağ))^(3))=\left(3a-4b \sağ)\left(((\sol) (3a \sağ))^(2))+3a\cdot 4b+((\sol(4b \sağ))^(2)) \sağ)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\sol(b-2 \sağ)\sol(b+2 \sağ)\]

İkinci kesrin tüm payını aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

\[((\sol(3a \sağ))^(2))+3a\cdot 4b+((\sol(4b \sağ))^(2))\]

Şimdi paydaya bakalım:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \sağ) ))^(2))\]

Yukarıdaki gerçekleri göz önünde bulundurarak tüm rasyonel ifadeyi yeniden yazalım:

\[\frac(\left(3a-4b \sağ)\left(((\left(3a \sağ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \sağ))^(2 )) \sağ))(\sol(b-2 \sağ)\sol(b+2 \sağ))\cdot \frac(((\sol(b+2 \sağ))^(2)))( ((\sol(3a \sağ))^(2))+3a\cdot 4b+((\sol(4b \sağ))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \sağ)\left(b+2 \sağ))(\left(b-2 \sağ))\]

Cevap: $\frac(\left(3a-4b \sağ)\left(b+2 \sağ))(\left(b-2 \sağ))$.

Çözümün nüansları

Bir kez daha gördüğümüz gibi, genellikle gerçek rasyonel ifadelerde bulunan toplamın eksik kareleri veya farkın eksik kareleri onlardan korkmaz, çünkü her bir elemanın dönüşümünden sonra hemen hemen her zaman birbirini götürürler. . Ek olarak, hiçbir durumda son cevaptaki büyük yapılardan korkmamalısınız - bunun sizin hatanız olmaması (özellikle her şey hesaba katılırsa), ancak yazar böyle bir cevap tasarladı.

Sonuç olarak, artık doğrudan rasyonel kesirler ile ilgili olmayan, ancak gerçek test ve sınavlarda sizi bekleyen her şeyi içeren daha karmaşık bir örneği analiz etmek istiyorum: çarpanlara ayırma, ortak paydaya indirgeme, benzer terimlerin indirgenmesi . Şimdi yapacağımız şey tam olarak bu.

Rasyonel ifadeleri basitleştirme ve dönüştürmeyle ilgili karmaşık bir sorunu çözme

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \sağ)\cdot \sol(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]

İlk olarak, ilk parantezini düşünün ve genişletin: içinde farklı paydalara sahip üç ayrı kesir görüyoruz, bu yüzden yapmamız gereken ilk şey, üç kesri de ortak bir paydaya getirmek ve bunun için her birinin çarpanlarına ayrılması gerekiyor:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\sol(x-2 \sağ)\sol(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ)\]

Tüm yapımızı aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\sol(x-2 \sağ)+((x)^(3))+8-\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \sağ))=\]

\[=\frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \sağ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Bu, ilk parantezdeki hesaplamaların sonucudur.

İkinci parantez ile uğraşmak:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \ Sağ)\]

Değişiklikleri dikkate alarak ikinci köşeli ayracı yeniden yazalım:

\[\frac(((x)^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\sol(x+2 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))\]

Şimdi orijinal yapının tamamını yazalım:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]

Cevap: $\frac(1)(x+2)$.

Çözümün nüansları

Gördüğünüz gibi, cevap oldukça mantıklı çıktı. Ancak, lütfen unutmayın: bu tür büyük ölçekli hesaplamalarda, tek değişken yalnızca payda olduğunda, öğrenciler bunun payda olduğunu ve kesrin alt kısmında olması gerektiğini unutur ve bu ifadeyi payda yazar - bu büyük bir hatadır.

Ek olarak, sizinkini çizmek istiyorum. özel dikkat bu tür görevler nasıl işlenir. Herhangi bir karmaşık hesaplamada, tüm adımlar adım adım gerçekleştirilir: önce ilk parantez ayrı ayrı, sonra ikinci parantez ayrı ayrı sayılır ve sadece sonunda tüm parçaları birleştirir ve sonucu hesaplarız. Böylece aptalca hatalara karşı kendimizi güvence altına alırız, tüm hesaplamaları dikkatlice yazarız ve aynı zamanda ilk bakışta göründüğü gibi fazladan zaman kaybetmeyiz.