Matematikte sınava hazırlanırken öğrenciler cebir ve geometri bilgilerini sistematize etmek zorundadırlar. Bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum, örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağı. Ayrıca taban ve yan yüzlerden başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerde durum açıksa, çünkü bunlar üçgendir, o zaman taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanını bulurken ne yapmalı?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: keyfi bir üçgenden bir n-gon'a. Ve bu taban, açı sayısındaki farka ek olarak, normal bir şekil veya yanlış bir şekil olabilir. Okul çağındaki çocukların ilgisini çeken KULLANIM görevlerinde, yalnızca tabanda doğru rakamların yer aldığı görevler vardır. Bu nedenle, sadece onlar hakkında konuşacağız.

sağ üçgen

Yani eşkenar. Tüm tarafların eşit olduğu ve "a" harfi ile gösterilen biri. Bu durumda, piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = (a 2 * √3) / 4.

Meydan

Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada "a" yine taraftır:

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı atamaya sahiptir. Köşe sayısı için Latin harfi n kullanılır.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n))).

Yanal ve toplam yüzey alanını hesaplarken nasıl ilerlenir?

Taban düzgün bir şekil olduğu için piramidin tüm yüzleri eşittir. Ayrıca, yan kenarlar eşit olduğu için her biri bir ikizkenar üçgendir. Ardından, piramidin yan alanını hesaplamak için, aynı monomiallerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız vardır. Terim sayısı, tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramitteki bu yüksekliğe apothem denir. Tanımı "A" dır. Yanal yüzey alanı için genel formül:

S \u003d ½ P * A, burada P, piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği, ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. O zaman piramidin yan alanını hesaplamak için böyle bir formül kullanması gerekiyor:

S = n/2 * 2 günah α'da .

Görev 1

Şart. Tabanı 4 cm'lik bir kenara sahipse ve apothem √3 cm'lik bir değere sahipse, piramidin toplam alanını bulun.

Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan, o zaman P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Özdeyiş bilindiğinden, tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabilirsiniz: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Tabandaki bir üçgen için aşağıdaki alan değeri elde edilecektir: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Tüm alanı belirlemek için iki sonuç değerini eklemeniz gerekecek: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Cevap. 10√3 cm2.

2. Görev

Şart. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban kenarının uzunluğu 7 mm, yan kenarı 16 mm'dir. Yüzey alanını bilmeniz gerekir.

Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan, tabanı karedir. Taban ve yan yüzlerin alanlarını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplamak mümkün olacaktır. Kare formülü yukarıda verilmiştir. Ve yan yüzlerde üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle, alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm 2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Şimdi bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Bu tür sadece dört üçgen vardır, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekir.

Çıkıyor: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Cevap. İstenen değer 267.576 mm2'dir.

Görev #3

Şart. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. İçinde karenin bir kenarı 6 cm ve yüksekliği 4 cm'dir.

Çözüm. En kolay yol, formülü çevrenin ve özdeyişin çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi biraz daha zor.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve onun, piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan özlü sözden oluştuğunu düşünmemiz gerekecek. İkinci ayak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.

Arzu edilen öz (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'dir.

Şimdi istediğiniz değeri hesaplayabilirsiniz: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Cevap. 96 cm2.

Görev #4

Şart. Tabanının doğru tarafı 22 mm, yan nervürler 61 mm'dir. Bu polihedronun yan yüzeyinin alanı nedir?

Çözüm.İçindeki mantık, 2 numaralı problemde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında bir kare olan bir piramit verildi ve şimdi bir altıgen.

Her şeyden önce, tabanın alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2

Şimdi yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm Heron formülünü kullanarak bu tür her üçgenin alanını hesaplamak ve ardından altı ile çarpmak ve ortaya çıkana eklemek için kalır. temel.

Heron formülünü kullanan hesaplamalar: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Tüm yüzeyi bulmak için onları toplamaya devam ediyor: 5217.47≈5217 cm 2.

Cevap. Taban - 726√3 cm 2, yan yüzey - 3960 cm 2, tüm alan - 5217 cm 2.

Piramidin yüzey alanı. Bu yazıda, düzenli piramitler ile ilgili sorunları sizinle birlikte ele alacağız. Düzenli bir piramidin, tabanı şu olan bir piramit olduğunu hatırlatmama izin verin. düzgün çokgen, piramidin tepesi bu çokgenin merkezine yansıtılır.

Böyle bir piramidin yan yüzü bir ikizkenar üçgendir.Düzenli bir piramidin tepesinden çizilen bu üçgenin yüksekliğine bir özdeyiş denir, SF özdeyiştir:

Aşağıda sunulan problem türünde, tüm piramidin yüzey alanını veya yan yüzeyinin alanını bulmak gerekir. Blog, öğelerin (yükseklik, taban kenarı, yan kenar) bulunmasıyla ilgili sorunun ortaya çıktığı düzenli piramitler ile ilgili birkaç sorunu zaten ele aldı.

AT atamaları KULLAN, kural olarak, düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitler kabul edilir. Düzenli beşgen ve yedigen piramitler ile ilgili sorunlar görmedim.

Tüm yüzeyin alanı için formül basittir - piramidin tabanının alanı ile yan yüzeyinin alanının toplamını bulmanız gerekir:

Görevleri düşünün:

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 72, yan kenarları 164'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanı, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir:

*Yan yüzey, eşit alana sahip dört üçgenden oluşur. Piramidin tabanı karedir.

Piramidin kenarının alanı aşağıdakiler kullanılarak hesaplanabilir:

Böylece piramidin yüzey alanı:

Cevap: 28224

Düzenli bir altıgen piramidin tabanının kenarları 22, yan kenarları 61'dir. Bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Düzgün altıgen piramidin tabanı düzgün altıgendir.

Bu piramidin yan yüzey alanı, kenarları 61.61 ve 22 olan altı eşit üçgen alanından oluşur:

Heron formülünü kullanarak bir üçgenin alanını bulun:

Yani yan yüzey alanı:

Cevap: 3240

*Yukarıda verilen problemlerde yan yüzün alanı farklı bir üçgen formülü kullanılarak bulunabilir ancak bunun için özdeyişi hesaplamanız gerekir.

27155. Taban kenarları 6 ve yüksekliği 4 olan düzgün bir dörtgen piramidin yüzey alanını bulun.

Bir piramidin yüzey alanını bulmak için taban alanını ve yan yüzey alanını bilmemiz gerekir:

Bir kenarı 6 olan bir kare olduğu için tabanın alanı 36'dır.

Yan yüzey, eşit üçgenler olan dört yüzden oluşur. Böyle bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir (özet):

* Bir üçgenin alanı, tabanın çarpımının yarısına ve bu tabana çizilen yüksekliğe eşittir.

Taban biliniyor, altıya eşit. Yüksekliğini bulalım. Bir dik üçgen düşünün (sarı ile vurgulanmıştır):

Bir bacak 4'e eşittir, çünkü bu piramidin yüksekliğidir, diğeri 3'e eşittir, çünkü tabanın kenarının yarısına eşittir. Hipotenüsü Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz:

Yani piramidin yan yüzeyinin alanı:

Böylece, tüm piramidin yüzey alanı:

Cevap: 96

27069. Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 10, yan kenarları 13'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

27070. Düzenli bir altıgen piramidin tabanının kenarları 10, yan kenarları 13'tür. Bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı için formüller de vardır. Düzenli bir piramitte taban, yan yüzeyin dik bir izdüşümüdür, bu nedenle:

P- tabanın çevresi, ben- piramidin özeti

*Bu formül, bir üçgenin alan formülüne dayanmaktadır.

Bu formüllerin nasıl türetildiği hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız kaçırmayın, makalelerin yayınını takip edin.Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Talimat

Her şeyden önce, piramidin yan yüzeyinin, alanları bilinen verilere bağlı olarak çeşitli formüller kullanılarak bulunabilen birkaç üçgen ile temsil edildiğini anlamaya değer:

S \u003d (a * h) / 2, burada h, a tarafına indirilen yüksekliktir;

S = a*b*sinβ, burada a, b üçgenin kenarlarıdır ve β bu kenarlar arasındaki açıdır;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve r, bu üçgende yazılı dairenin yarıçapıdır;

S \u003d (a * b * c) / 4 * R, burada R, dairenin etrafında açıklanan üçgenin yarıçapıdır;

S \u003d (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (üçgen dik açılı ise);

S = S = (a²*√3)/4 (üçgen eşkenar ise).

Aslında, bunlar bir üçgenin alanını bulmak için bilinen formüllerin sadece en temelidir.

Yukarıdaki formülleri kullanarak, piramidin yüzleri olan tüm üçgenlerin alanlarını hesapladıktan sonra, bu piramidin alanını hesaplamaya başlayabiliriz. Bu son derece basit bir şekilde yapılır: piramidin yan yüzeyini oluşturan tüm üçgenlerin alanlarını toplamanız gerekir. Bu, aşağıdaki gibi bir formülle ifade edilebilir:

Sp = ΣSi, burada Sp yanal alandır, Si, yan yüzeyinin bir parçası olan i-inci üçgenin alanıdır.

Daha fazla netlik için küçük bir örnek düşünebiliriz: yan yüzleri eşkenar üçgenlerden oluşan ve tabanında bir kare bulunan düzenli bir piramit verilmiştir. Bu piramidin kenarının uzunluğu 17 cm'dir.Bu piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak gerekir.

Çözüm: Bu piramidin kenar uzunluğu biliniyor, yüzlerinin eşkenar üçgen olduğu biliniyor. Böylece, yan yüzeyin tüm üçgenlerinin tüm kenarlarının 17 cm olduğunu söyleyebiliriz, bu nedenle, bu üçgenlerden herhangi birinin alanını hesaplamak için formülü uygulamanız gerekir:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Piramidin tabanında bir kare olduğu bilinmektedir. Böylece, verilen dört eşkenar üçgen olduğu açıktır. Daha sonra piramidin yan yüzeyinin alanı şu şekilde hesaplanır:

125.137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Cevap: Piramidin yan yüzey alanı 500,548 cm²'dir.

İlk olarak, piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplıyoruz. Yan yüzey, tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Normal bir piramitle (yani, normal bir çokgene dayalı olan ve tepe noktası bu çokgenin merkezine yansıtılan) uğraşıyorsanız, tüm yan yüzeyi hesaplamak için çevresini çarpmak yeterlidir. taban (yani, taban piramidinde bulunan çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı) yan yüzün yüksekliğine (başka bir deyişle apothem denir) ve elde edilen değeri 2'ye bölün: Sb = 1 / 2P * h, burada Sb, yan yüzeyin alanıdır, P, tabanın çevresidir, h, yan yüzün yüksekliğidir (özdeyiş).

Önünüzde rastgele bir piramit varsa, tüm yüzlerin alanlarını ayrı ayrı hesaplamanız ve ardından bunları toplamanız gerekir. Piramidin yan yüzleri üçgen olduğundan, üçgenin alanı için formülü kullanın: S=1/2b*h, burada b üçgenin tabanı ve h yüksekliktir. Tüm yüzlerin alanları hesaplandığında, yalnızca piramidin yan yüzeyinin alanını elde etmek için onları toplamak kalır.

O zaman piramidin tabanının alanını hesaplamanız gerekir. Hesaplama için formülün seçimi, piramidin tabanında hangi çokgenin bulunduğuna bağlıdır: doğru (yani, tüm kenarları aynı uzunlukta olan) veya yanlış. Normal bir çokgenin alanı, çevreyi çokgenin içinde yazılı dairenin yarıçapı ile çarparak ve elde edilen değeri 2'ye bölerek hesaplanabilir: Sn=1/2P*r, burada Sn, çokgenin alanıdır. çokgen, P çevredir ve r çokgende yazılı dairenin yarıçapıdır.

Kesik bir piramit, bir piramidin oluşturduğu bir çokyüzlüdür ve bölümü tabana paraleldir. Piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak hiç de zor değil. Çok basit: alan, özdeyişle tabanların toplamının yarısının çarpımına eşittir. Kesik bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün. Bize düzenli bir dörtgen piramit verildiğini varsayalım. Tabanın uzunlukları b=5 cm, c=3 cm Apothem a=4 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak için önce tabanların çevresini bulmalısınız. Büyük bir tabanda, p1=4b=4*5=20 cm'ye eşit olacaktır.Daha küçük bir tabanda formül şu şekilde olacaktır: p2=4c=4*3=12 cm.Dolayısıyla alan, eşittir: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

Bir piramit, yüzlerinden biri (taban) keyfi bir çokgen olan ve diğer yüzler (kenarlar) ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür. Piramidin tabanının köşe sayısına göre üçgen (tetrahedron), dörtgen vb.

Piramit, bir çokgen şeklinde bir tabanı olan bir çokyüzlüdür ve kalan yüzler, ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir. Özdeyiş, normal bir piramidin tepesinden çizilen yan yüzünün yüksekliğidir.

Hangi şekle piramit diyoruz? İlk olarak, bir polihedrondur. İkincisi, bu polihedronun tabanında keyfi bir çokgen vardır ve piramidin kenarları (yan yüzler) zorunlu olarak ortak bir tepe noktasında yakınlaşan üçgenler biçimine sahiptir. Şimdi terimi ele alarak, piramidin yüzey alanını nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Açıktır ki, bu tür yüzey alanı geometrik gövde taban ve tüm yan yüzeyinin alanlarının toplamından oluşur.

Piramidin tabanının alanını hesaplama

Hesaplama formülünün seçimi, piramidimizin tabanında bulunan çokgenin şekline bağlıdır. Doğru, yani aynı uzunlukta kenarlarla veya yanlış olabilir. Her iki seçeneği de ele alalım.

Tabanda düzenli bir çokgen var

İtibaren okul kursu bilinen:

• karenin alanı, kenarının karesinin uzunluğuna eşit olacaktır;
• Bir eşkenar üçgenin alanı, bir kenarının karesinin 4 katına bölünmesine eşittir. Kare köküç dışında.

Ama ayrıca var Genel formül, herhangi bir normal çokgenin (Sn) alanını hesaplamak için: bu çokgenin (P) çevresinin değerini, içinde yazılı dairenin yarıçapı (r) ile çarpmanız ve ardından sonucu ikiye bölmeniz gerekir. : Sn=1/2P*r.

Taban düzensiz bir çokgendir.

Alanı bulma şeması, önce tüm çokgeni üçgenlere bölmek, her birinin alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamaktır: 1/2a * h (burada a üçgenin tabanıdır, h yüksekliktir) bu tabana indirildi), tüm sonuçları toplayın.

Piramidin yan yüzey alanı

Şimdi piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayalım, yani. tüm kenarlarının alanlarının toplamıdır. Burada da 2 seçenek var.

1. İsteğe bağlı bir piramidimiz olsun, yani. tabanı düzensiz bir çokgen olan. Daha sonra her yüzün alanını ayrı ayrı hesaplamalı ve sonuçları eklemelisiniz. Piramidin kenarları tanım gereği sadece üçgen olabileceğinden, hesaplama yukarıda belirtilen formüle göre yapılır: S=1/2a*h.
2. Piramidimizin doğru olmasına izin verin, yani. tabanında düzenli bir çokgen bulunur ve piramidin tepesinin çıkıntısı merkezindedir. Daha sonra, yan yüzeyin alanını (Sb) hesaplamak için, taban çokgenin (P) çevresinin çarpımının yarısını ve kenarın yüksekliğini (h) (tüm yüzler için aynı) bulmak yeterlidir. : Sb \u003d 1/2 P * h. Bir çokgenin çevresi, tüm kenarlarının uzunlukları toplanarak belirlenir.

Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanı, tabanının alanı ile tüm yan yüzeyin alanı toplanarak bulunur.

Örnekler

Örneğin, birkaç piramidin yüzey alanlarını cebirsel olarak hesaplayalım.

Üçgen bir piramidin yüzey alanı

Böyle bir piramidin tabanında bir üçgen var. So \u003d 1/2a * h formülüne göre, tabanın alanını buluyoruz. Piramidin her bir yüzünün alanını bulmak için de aynı formülü uyguluyoruz ve yine üçgen bir şekle sahip oluyoruz ve 3 alan elde ediyoruz: S1, S2 ve S3. Piramidin yan yüzeyinin alanı, tüm alanların toplamıdır: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Kenarların ve tabanın alanlarını ekleyerek, istenen piramidin toplam yüzey alanını elde ederiz: Sp \u003d So + Sb.

Dörtgen bir piramidin yüzey alanı

Yan yüzey alanı 4 terimin toplamıdır: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, her biri üçgen alan formülü kullanılarak hesaplanır. Ve dörtgenin şekline bağlı olarak taban alanı aranmalıdır - doğru veya düzensiz. Piramidin toplam yüzey alanı yine verilen piramidin taban alanı ve toplam yüzey alanı toplanarak elde edilir.

Üçgen piramit Bir polihedron, tabanı düzenli bir üçgen olan bir polihedron olarak adlandırılır.

Böyle bir piramitte tabanın yüzleri ve kenarların kenarları birbirine eşittir. Buna göre, yan yüzlerin alanı, üç özdeş üçgenin alanlarının toplamından bulunur. Formülü kullanarak normal bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Ve hesaplamayı birkaç kat daha hızlı yapabilirsiniz. Bunu yapmak için, üçgen piramidin yan yüzeyinin alanı için formülü uygulayın:

p, tüm kenarları b'ye eşit olan tabanın çevresidir, a, yukarıdan bu tabana indirilen özlü sözdür. Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Görev: Doğru piramidin verilmesine izin verin. Tabanda yatan üçgenin kenarı b = 4 cm'dir Piramidin özü a = 7 cm'dir Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çünkü problemin koşullarına göre tüm uzunlukları biliyoruz. gerekli unsurlar, çevreyi bulun. Normal bir üçgende tüm tarafların eşit olduğunu ve bu nedenle çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığını unutmayın:

Verileri değiştirin ve değeri bulun:

Şimdi, çevreyi bilerek, yan yüzey alanını hesaplayabiliriz:

Tam değeri hesaplamak için üçgen piramidin alanı için formülü uygulamak için çokyüzlü tabanının alanını bulmanız gerekir. Bunun için şu formül kullanılır:

Üçgen bir piramidin tabanının alanı için formül farklı olabilir. Belirli bir şekil için herhangi bir parametre hesaplamasının kullanılmasına izin verilir, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir. Üçgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Görev: Düzenli bir piramitte, üçgenin tabanda uzanan kenarı a = 6 cm'dir.Taban alanını hesaplayın.
Hesaplamak için sadece piramidin tabanında bulunan normal bir üçgenin kenar uzunluğuna ihtiyacımız var. Formüldeki verileri değiştirin:

Oldukça sık bir polihedronun toplam alanını bulmak gerekir. Bunu yapmak için yan yüzey ve taban alanını eklemeniz gerekir.

Üçgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Problem: Düzgün bir üçgen piramit verilsin. Tabanın kenarı b = 4 cm, özet a = 6 cm'dir Piramidin toplam alanını bulun.
İlk önce, zaten bilinen formülü kullanarak yan yüzey alanını bulalım. Çevreyi hesaplayın:

Formüldeki verileri değiştiriyoruz:
Şimdi tabanın alanını bulun:
Taban ve yan yüzey alanını bilerek, piramidin toplam alanını buluyoruz:

Düzenli bir piramidin alanını hesaplarken, tabanın düzenli bir üçgen olduğu ve bu polihedronun birçok elemanının birbirine eşit olduğu unutulmamalıdır.