Yüz kenarı tepe noktasının geometrik gövdelerini gösterin. Düzenli çokyüzlü. Euler formülünün kapsamı

Üçyüzlü ve çokyüzlü açılar:
Üçgen açı bir şekildir
gelen üç ışınla sınırlanan üç düzlemden oluşur.
bir nokta ve bir noktada yatmamak
yüzeyleri.
Biraz daire düşünün
çokgen ve dışında bir nokta
bu çokgenin düzlemi.
Bu noktadan ışınlar çizelim,
zirvelerden geçerken
çokgen. bir rakam alacağız
çok yönlü denir
açı.

Üç yüzlü açı uzayın bir parçasıdır
ortak bir nokta ile üç düz köşe ile sınırlandırılmıştır.
toplantı
ve
çift halde
genel
partiler,
olumsuzluk
aynı düzlemde yatıyor. Ortak üst Bunlar hakkında
köşeler
aranan
toplantı
üç yüzlü
açı.
Köşelerin kenarlarına kenar, düz köşeler denir.
Üç yüzlü bir açının tepe noktasında denir
yüzler. Üç yüzlü bir açının üç yüz çiftinin her biri
dihedral açı oluşturur

Üç yüzlü açının temel özellikleri
1. Üç yüzlü bir açının her bir düzlem açısı toplamından küçüktür.
diğer iki düz köşesi.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - düz açılar,
A, B, C - düzlemlerden oluşan dihedral açılar
açılar β ve γ, α ve γ, α ve β.
2. Üç yüzlü bir açının düzlem açılarının toplamı şundan küçüktür:
360 derece
3. Birinci kosinüs teoremi
üçgen açı için
4. Üçyüzlü açı için ikinci kosinüs teoremi

,
5. Sinüs teoremi
İçi çokyüzlü olan bir açı
her birinin düzleminin bir tarafında bulunur
yüzlerine dışbükey çokyüzlü denir
açı. Aksi takdirde, çokyüzlü açı
konveks olmayan denir.

Bir polihedron bir cisimdir, bir yüzeydir.
sonlu sayıdan oluşan
düz çokgenler.

çokyüzlü öğeleri
Bir çokyüzlülüğün yüzleri
çokgenler
biçim.
Çokyüzlülerin kenarları kenarlardır
çokgenler.
Çokyüzlülerin köşeleri
çokgen köşeleri.
Bir çokyüzlülüğün köşegeni
2 köşeyi birleştiren doğru parçası
aynı yüze ait değil.

çokyüzlü
dışbükey
dışbükey olmayan

Çokyüzlü dışbükey olarak adlandırılır,
bir tarafta ise
üzerindeki her çokgenin düzlemi
yüzeyler.

DIŞ YUVARLAK ÇOK YÖNLÜ AÇILAR

Çokyüzlü açıya dışbükey ise dışbükey denir.
şekil, yani herhangi iki noktasıyla birlikte, tamamen içerir ve
onları bağlayan çizgi.
Şekil örnekleri gösterir
dışbükey
ve
dışbükey olmayan
çokyüzlü köşeler.
Teorem. Bir dışbükey çokyüzlü açının tüm düzlem açılarının toplamı 360°'den küçüktür.

KONVEKS POLİTOPLAR

Bir açı polihedron, dışbükey bir şekil ise dışbükey olarak adlandırılır,
yani, herhangi iki noktasıyla birlikte, bağlantıyı tamamen içerir.
onların segmenti.
Küp, paralel yüzlü, üçgen prizma ve piramit dışbükeydir
çokyüzlü.
Şekil, dışbükey ve dışbükey olmayan piramit örneklerini göstermektedir.

MÜLK 1

Özellik 1. Bir dışbükey çokyüzlüde, tüm yüzler
dışbükey çokgenler.
Gerçekten de, F çokyüzlülüğün bir yüzü olsun
M ve A, B noktaları F yüzüne aittir. Dışbükeylik koşulundan
polihedron M, AB segmentinin tamamen içerdiğini takip eder
polihedron M'de. Bu segment düzlemde yer aldığından
poligon F, tamamen bu kısımda yer alacak
çokgen, yani F bir dışbükey çokgendir.

MÜLK 2

Özellik 2. Herhangi bir dışbükey polihedron şunlardan oluşabilir:
tabanları bir yüzey oluşturan ortak bir tepe noktasına sahip piramitler
çokyüzlü.
Gerçekten, M bir dışbükey çokyüzlü olsun. biraz alalım
çokyüzlü M'nin bir iç noktası S, yani onun olmayan bir noktası
çokyüzlü M'nin hiçbir yüzüne ait değildir. S noktasını şuna bağlarız:
çokyüzlü M'nin köşeleri segmentler olarak. Dışbükeylik nedeniyle unutmayın
polihedron M, tüm bu segmentler M'de bulunur.
tabanları çokyüzlü M'nin yüzleri olan S köşesi. Bunlar
piramitler tamamen M'de bulunur ve birlikte çokyüzlü M'yi oluştururlar.

düzenli çokyüzlü

Çokyüzlülerin yüzleri ise
bir ve ile düzgün çokgenler
aynı sayıda kenar ve her köşede
polihedron aynı sayıya yakınsar
kenarlar, daha sonra bir dışbükey çokyüzlü
doğru denir.

Çokyüzlülerin isimleri

gelen Antik Yunan,
yüzlerin sayısını gösterirler:
"hedra" yüzü;
"tetra" 4;
"heksa" 6;
"okta" 8;
"ikosa" 20;
dodeca 12.

düzenli tetrahedron

Pirinç. bir
Dört kişiden oluşur
eşkenar
üçgenler. Her biri
onun üstü
üçün üstünde
üçgenler.
Bu nedenle, toplam
düz köşeler
her köşe eşittir
180º.

düzenli oktahedron
Pirinç. 2
sekizden oluşan
eşkenar
üçgenler. Her biri
oktahedronun tepe noktası
en üst
dört üçgen.
Bu nedenle, toplam
düz köşeler
her köşe 240º.

Düzenli ikosahedron
Pirinç. 3
yirmi kişiden oluşur
eşkenar
üçgenler. Her biri
ikosahedron tepe noktası
ilk beş
üçgenler.
Bu nedenle, toplam
düz köşeler
her köşe eşittir
300º.

Küp (altı yüzlü)

Pirinç.
4
Altıdan oluşan
kareler. Her biri
küpün üst kısmı
üç karenin üstü.
Bu nedenle, toplam
her biri için düz köşeler
üst 270º'dir.

Düzenli dodekahedron
Pirinç. 5
On ikiden oluşan
doğru
beşgenler. Her biri
dodecahedron apeks
üçün zirvesidir
doğru
beşgenler.
Bu nedenle, toplam
düz köşeler
her köşe eşittir
324º.

Tablo No. 1
Doğru
çokyüzlü
Sayı
yüzler
zirveler
pirzola
dörtyüzlü
4
4
6
Küp
6
8
12
oktahedron
8
6
12
on iki yüzlü
12
20
30
ikosahedron
20
12
30

Euler formülü
Herhangi birinin yüzlerinin ve köşelerinin toplamı
çokyüzlü
kenar sayısı artı 2'ye eşittir.
G+W=R+2
Yüz sayısı artı köşe sayısı eksi sayı
pirzola
herhangi bir polihedronda 2'dir.
Y+G R=2

Tablo numarası 2
Sayı
Doğru
çokyüzlü
dörtyüzlü
yüzler ve
zirveler
(G+D)
pirzola
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Küp
6 + 8 = 14
12
"heksa"
6;
oktahedron
8 + 6 = 14
12
"okta"
on iki yüzlü
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"ikosa"
20
ikosahedron
20 + 12 = 32
8

Düzenli çokyüzlülerin dualitesi

Altı yüzlü (küp) ve oktahedron formu
ikili çokyüzlü çifti. Sayı
bir polihedronun yüzleri sayıya eşittir
diğerinin köşeleri ve tersi.

Herhangi bir küpü alın ve bir polihedron düşünün.
yüzlerinin ortasındaki köşeler. Ne kadar kolay
bir oktahedron aldığımızdan emin olun.

Oktahedronun yüzlerinin merkezleri, küpün köşeleri olarak işlev görür.

Doğada, kimyada ve biyolojide çokyüzlüler
Bildiğimiz bazı maddelerin kristalleri düzenli çokyüzlüler biçimindedir.
Kristal
pirit-
doğal
model
on iki yüzlü.
kristaller
yemek pişirme
tuzlar geçer
küp şekli.
monokristal
antimon
Kristal
alüminosülfat
(prizma)
potasyum şap sodyum - tetrahedron.
forma sahip
oktahedron.
bir molekülde
metan var
biçim
doğru
tetrahedron.
İkosahedron, şekil konusundaki anlaşmazlıklarında biyologların ilgi odağı olmuştur.
virüsler. Virüs önceden düşünüldüğü gibi tam anlamıyla yuvarlak olamaz. İle
şeklini oluşturmak için çeşitli çokyüzlüler aldılar, onlara ışık yönelttiler.
atomların virüse akışıyla aynı açılarda. Sadece bir tane olduğu ortaya çıktı
polihedron tam olarak aynı gölgeyi verir - ikosahedron.
Yumurta bölünmesi sürecinde önce dört hücreli bir tetrahedron oluşur, daha sonra
oktahedron, küp ve son olarak gastrulanın dodecahedral-icosahedral yapısı. Ve sonunda
belki de en önemli şey - yaşamın genetik kodunun DNA yapısı -
dönen bir dodekahedronun (zaman ekseni boyunca) dört boyutlu taraması!

sanatta çokyüzlü
"Monna Lisa'nın Portresi"
Çizimin bileşimi altın rengine dayanmaktadır.
parça olan üçgenler
düzenli yıldız şeklinde beşgen.
gravür "Melankoli"
Resmin ön planında
tasvir edilen dodecahedron.
"Geçen akşam yemeği"
İsa, öğrencileriyle birlikte tasvir edilmiştir.
büyük bir şeffaf dodecahedron'un arka planı.

mimaride çokyüzlü
Meyve Müzeleri
Yamanashi'deki Meyve Müzesi yardımı ile oluşturuldu.
3D modelleme.
piramitler
İskenderiye deniz feneri
Spasskaya Kulesi
Kremlin.
Kurtarıcı Kilisesi ile dört katmanlı Spasskaya Kulesi
Elle yapılmadı - Kazan Kremlin'in ana girişi.
16. yüzyılda Pskov mimarları Ivan tarafından dikildi
Shiryayem ve Postnik Yakovlev, lakaplı
"Barma". Kulenin dört katı
küp, çokyüzlü ve piramit.

Küp, top, piramit, silindir, koni - geometrik cisimler. Bunlar arasında polihedronlar vardır. çokyüzlü yüzeyi sonlu sayıda çokgenden oluşan geometrik cisim olarak adlandırılır. Bu çokgenlerin her birine çokyüzlü yüzü, bu çokgenlerin kenarlarına ve köşelerine sırasıyla çokyüzlülerin kenarları ve köşeleri denir.

Bitişik yüzler arasındaki dihedral açılar, yani. ortak bir tarafı olan yüzler - bir çokyüzlü kenarı - aynı zamanda çokyüzlülerin iki yüzlü zihinleri.Çokgenlerin açıları - dışbükey bir çokgenin yüzleri - çokyüzlülerin düz zihinleri. Düz ve dihedral açılara ek olarak, bir dışbükey çokyüzlü ayrıca çokyüzlü açılar. Bu açılar, ortak bir tepe noktasına sahip yüzler oluşturur.

Çokyüzlüler arasında, prizmalar ve piramitler.

prizma - yüzeyi iki eşit çokgen ve tabanların her biri ile ortak kenarları olan paralelkenarlardan oluşan bir çokyüzlüdür.

iki eşit çokgen denir zemin ggrzmg ve paralelkenarlar - onu yanal yüzler. Yan yüzler formu yan yüzey prizmalar. Tabanda yatmayan kenarlara denir yan kaburgalar prizmalar.

prizma denir p-kömür,üsleri n-gon ise. Şek. 24.6 dörtgen bir prizmayı gösterir ABCDA"B"C"D".

prizma denir dümdüz, yan yüzleri dikdörtgen ise (Şek. 24.7).

prizma denir doğru , düz ise ve tabanları düzenli çokgenler.

Dörtgen prizma denir paralel yüzlü tabanları paralelkenar ise.

Paralel uçlu denir dikdörtgen, tüm yüzleri dikdörtgen ise.

Kutunun köşegeni zıt köşelerini birleştiren bir doğru parçasıdır. Paralel yüzün dört köşegeni vardır.

Kanıtlandı paralelyüzün köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktayı ikiye böler. Dikdörtgen paralel yüzün köşegenleri eşittir.

Piramit- bu, yüzeyi bir çokgenden oluşan bir çokyüzlüdür - piramidin tabanı ve piramidin yan yüzleri olarak adlandırılan ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler. Bu üçgenlerin ortak köşesine denir. toplantı piramitler, tepeden çıkan kenarlar - yan kaburgalar piramitler.

Piramidin tepesinden tabana bırakılan dikme ve bu dikmenin uzunluğuna denir. yükseklik piramitler.

En basit piramit üçgensel veya bir tetrahedron (Şekil 24.8). Üçgen piramidin bir özelliği, herhangi bir yüzün taban olarak kabul edilebilmesidir.

piramit denir doğru, tabanı normal bir çokgen ise ve tüm yan kenarlar birbirine eşitse.

ayırt etmemiz gerektiğini unutmayın. düzenli tetrahedron(yani, tüm kenarların birbirine eşit olduğu bir tetrahedron) ve düzenli üçgen piramit(tabanında düzenli bir üçgen bulunur ve yan kenarlar birbirine eşittir, ancak uzunlukları, prizmanın tabanı olan üçgenin kenarının uzunluğundan farklı olabilir).

Ayırt etmek Dışa şişkin ve dışbükey olmayançokyüzlü. Bir dışbükey geometrik gövde kavramını kullanırsanız bir dışbükey çokyüzlü tanımlayabilirsiniz: bir çokyüzlü denir dışbükey. dışbükey bir şekil ise, yani. herhangi iki noktasıyla birlikte, onları birbirine bağlayan parçayı tamamen içerir.

Bir dışbükey polihedron başka bir şekilde tanımlanabilir: polihedron denir dışbükey sınırlayıcı çokgenlerinin her birinin tamamen bir tarafında yer alıyorsa.

Bu tanımlar eşdeğerdir. Bu gerçeğin kanıtını sunmuyoruz.

Şimdiye kadar ele alınan tüm çokyüzlüler dışbükeydir (küp, paralelyüz, prizma, piramit vb.). Şekilde gösterilen polihedron. 24.9 dışbükey değildir.

Kanıtlandı bir dışbükey çokyüzlüde, tüm yüzler dışbükey çokgenlerdir.

Birkaç dışbükey çokyüzlü düşünün (Tablo 24.1)

Bu tablodan, dikkate alınan tüm dışbükey çokyüzlüler için eşitlik B - P + G= 2. Herhangi bir dışbükey çokyüzlü için de geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu özellik ilk olarak L. Euler tarafından ispatlandı ve Euler teoremi olarak adlandırıldı.

Dışbükey çokyüzlü denir doğru yüzleri eşit düzgün çokgenlerse ve her köşede aynı sayıda yüz birleşirse.

Bir dışbükey çokyüzlü açının özelliğini kullanarak, şu kanıtlanabilir: Çeşitli türler Beşten fazla düzenli çokyüzlü yoktur.

Gerçekten de, fan ve polihedron düzenli üçgenlerse, 3, 4 ve 5'i 60 "3'ten beri bir tepe noktasında birleşebilir.< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Eğer polifanın her bir köşesinde üç düzgün üçgen birleşirse, o zaman şunu elde ederiz: sağ/inci tetrahedron, Fech'ten çeviride “tetrahedral” anlamına gelir (Şekil 24.10, a).

Dört düzgün üçgen polihedronun her bir köşesinde birleşirse, o zaman şunu elde ederiz: oktahedron(Şek. 24.10, içinde). Yüzeyi sekiz düzenli üçgenden oluşur.

Eğer polihedronun her bir köşesinde beş düzgün üçgen birleşirse, o zaman şunu elde ederiz: ikosahedron(Şek. 24.10, d). Yüzeyi yirmi düzenli üçgenden oluşur.

Bir polifanın yüzleri kare ise, 90° 3 olduğundan, bunlardan sadece üçü bir tepe noktasında yakınsayabilir.< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также altı yüzlü(Şek. 24.10, b).

Bir polifanın yüzleri düzgün beşgenlerse, 108° 3 olduğundan, yalnızca phi bunların bir köşesinde yakınsayabilir.< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется on iki yüzlü(Şek. 24.10, e). Yüzeyi on iki düzenli beşgenden oluşur.

Bir polihedronun yüzleri altıgen veya daha fazla olamaz, çünkü altıgen için bile 120° 3 = 360°.

Üç boyutlu Öklid uzayında tam olarak beş farklı düzenli çokyüzlü türü olduğu geometride kanıtlanmıştır.

Bir çokyüzlü model yapmak için, onu yapmanız gerekir. süpürmek(daha doğrusu, yüzeyinin gelişimi).

Bir polihedronun gelişimi, çokyüzlü yüzeyinin bazı kenarlar boyunca kesilmesi ve bu yüzeye dahil edilen tüm çokgenlerin aynı düzlemde uzanması için açılması durumunda elde edilen bir düzlem üzerindeki bir şekildir.

Bir çokyüzlü, hangi kenarları kestiğimize bağlı olarak birkaç farklı gelişmeye sahip olabilir. Şekil 24.11, düzgün bir dörtgen piramidin, yani tabanında bir kare bulunan ve tüm yan kenarları birbirine eşit olan bir piramidin farklı gelişimleri olan şekilleri göstermektedir.

Düzlemdeki bir şeklin dışbükey bir çokyüzlü olması için, çokyüzlülerin özellikleriyle ilgili bir takım gereksinimleri karşılaması gerekir. Örneğin, Şekil 1'deki rakamlar. 24.12, düzenli bir dörtgen piramidin taramaları değildir: Şek. 24.12, a, tepede M dört yüz birleşir, bu doğru olamaz dörtgen piramit; ve Şekil 2'de gösterilen şekilde. 24.12, b, yan kaburgalar bir B ve Güneş eşit değil.

Genel olarak, bir polihedron gelişimi, sadece kenarlar boyunca değil, yüzeyi kesilerek elde edilebilir. Böyle bir küp taramasının bir örneği Şekil 2'de gösterilmektedir. 24.13. Bu nedenle, bir polihedronun açılması, bu polihedronun yüzeyinin üst üste binmeden yapılabileceği düz bir çokgen olarak daha kesin olarak tanımlanabilir.

Devrimin katıları

Döndürme gövdesi bir şeklin (genellikle düz) düz bir çizgi etrafında döndürülmesi sonucu elde edilen gövde olarak adlandırılır. Bu hat denir dönme ekseni.

silindir- bir dikdörtgenin kenarlarından birinin etrafında dönmesi sonucu elde edilen ego gövdesi. Bu durumda söz konusu taraf, silindirin ekseni.Şek. 24.14 eksenli bir silindiri gösterir OO', bir dikdörtgenin dönmesinden kaynaklanan AA "O" O düz bir çizgi etrafında ÖÖ". puan Ö ve Ö" silindirin tabanlarının merkezleridir.

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindire silindir denir. doğrudan dairesel bir silindir, çünkü tabanları paralel düzlemlerde bulunan iki eşit dairedir, böylece dairelerin merkezlerini birleştiren segment bu düzlemlere dik olur. Silindirin yan yüzeyi, silindirin eksenine paralel dikdörtgenin kenarına eşit parçalardan oluşur.

süpürmek bir dik dairesel silindirin yan yüzeyi, eğer generatrix boyunca kesilirse, bir tarafı generatrix'in uzunluğuna ve diğer tarafı tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgendir.

koni- bu, bir dik üçgenin bacaklardan birinin etrafında dönmesi sonucu elde edilen gövdedir.

Bu durumda belirtilen bacak hareketsizdir ve koni ekseni.Şek. 24.15, SOA dik üçgeninin S0 ayağı etrafında O dik açısıyla döndürülmesinin bir sonucu olarak elde edilen SO eksenine sahip bir koniyi göstermektedir. S noktası denir koninin üstü, OA tabanının yarıçapıdır.

Bir dik üçgenin bacaklarından birinin etrafında dönmesiyle oluşan koniye denir. düz dairesel koni tabanı bir daire olduğundan ve üst kısım bu dairenin merkezine yansıtılmıştır. Koninin yan yüzeyi, dönüşü sırasında koninin oluştuğu üçgenin hipotenüsüne eşit segmentlerden oluşur.

Koninin yan yüzeyi generatrix boyunca kesilirse, bir düzleme "açılabilir". süpürmek dik dairesel koninin yan yüzeyi, yarıçaplı dairesel bir sektördür, uzunluğa eşit generatrix.

Bir silindir, koni veya herhangi bir dönüş gövdesi, dönüş eksenini içeren bir düzlemle kesiştiğinde, eksenel bölüm. Silindirin eksenel bölümü bir dikdörtgendir, koninin eksenel bölümü bir ikizkenar üçgendir.

Top- bu, yarım daire a'nın çapı etrafında dönmesi sonucu elde edilen gövdedir. Şek. 24.16, bir çap etrafında yarım daire döndürülerek elde edilen bir bilyeyi gösterir. AA". puan Ö aranan topun merkezi ve dairenin yarıçapı topun yarıçapıdır.

Kürenin yüzeyine denir küre. Bir küre düzleştirilemez.

Bir kürenin bir düzlem tarafından herhangi bir bölümü bir dairedir. Uçak topun merkezinden geçerse, topun kesitinin yarıçapı en büyük olacaktır. Bu nedenle, topun merkezinden geçen bir düzlemin topun kesitine denir. büyük daire top, ve onu sınırlayan daire - büyük daire.

DÜĞMEDEKİ GEOMETRİK GÖVDELERİN GÖRÜNTÜSÜ

Düz şekillerin aksine, geometrik cisimler örneğin bir kağıt yaprağı üzerinde doğru şekilde gösterilemez. Bununla birlikte, bir uçaktaki çizimlerin yardımıyla, mekansal figürlerin oldukça net bir görüntüsünü elde edebilirsiniz. Bunun için, bu tür figürleri bir düzlemde göstermenin özel yöntemleri kullanılır. Onlardan biri paralel tasarım

Bir düzlem a ve onu kesen bir doğru verilsin a.Çizgiye ait olmayan keyfi bir A" noktasını uzayda alalım. a, ve geçelim X doğrudan a", düz bir çizgiye paralel a(Şek. 24.17). Düz a" düzlemi bir noktada keser X", hangi denir X noktasının a düzlemine paralel izdüşümü.

A noktası bir doğru üzerindeyse a, sonra paralel izdüşümle X"çizginin geldiği noktadır a uçağı geçer a.

Eğer nokta X a düzlemine ait, sonra nokta X" nokta ile çakışıyor x.

Böylece, eğer bir düzlem a ve onu kesen bir düz çizgi verilirse a. sonra her nokta X boşluk tek bir A noktası ile ilişkilendirilebilir - noktanın paralel bir izdüşümü X a düzleminde (düz bir çizgiye paralel tasarlarken a). uçak a aranan projeksiyon düzlemi. Doğrudan hakkında a havladığını söylüyorlar tasarım yönü - ggri doğrudan değiştirme a buna paralel tasarımın başka herhangi bir doğrudan sonucu değişmeyecektir. Tüm doğrular bir doğruya paralel a, aynı tasarım yönünü ayarlayın ve düz bir çizgi ile birlikte çağrılır a projeksiyon hatları.

projeksiyon rakamlar F denilen küme F' tüm ızgara noktalarının projeksiyonu. Her noktaya haritalama X rakamlar F"paralel izdüşümü bir noktadır X" rakamlar F", aranan paralel tasarım rakamlar F(Şek. 24.18).

Gerçek bir nesnenin paralel izdüşümü, güneş ışınları paralel olarak kabul edilebileceğinden, güneş ışığında düz bir yüzeye düşen gölgesidir.

Paralel tasarım, bir düzlemde geometrik cisimleri tasvir ederken bilgisi gerekli olan bir takım özelliklere sahiptir. Kanıtlarını vermeden başlıcalarını formüle edelim.

Teorem 24.1. Paralel mühendislikte, tasarım yönüne paralel olmayan düz çizgiler ve üzerlerinde yatan segmentler için aşağıdaki özellikler sağlanır:

1) düz bir çizginin izdüşümü düz bir çizgidir ve bir segmentin izdüşümü bir segmenttir;

2) paralel çizgilerin çıkıntıları paralel veya çakışıyor;

3) aynı düz çizgi veya paralel çizgiler üzerinde uzanan bölümlerin uzantılarının uzunluklarının oranı, bölümlerin uzunluklarının oranına eşittir.

Bu teoremden aşağıdaki sonuçlar: paralel projeksiyonda, segmentin ortası, projeksiyonunun ortasına yansıtılır.

Geometrik cisimleri bir düzlemde tasvir ederken, bu özelliklerin uygulanmasını izlemek gerekir. Aksi takdirde keyfi olabilir. Bu nedenle, paralel olmayan bölümlerin uzunluklarının açıları ve oranları keyfi olarak değişebilir, yani, örneğin paralel izdüşümdeki bir üçgen, keyfi bir üçgen ile temsil edilir. Ancak üçgen eşkenarsa, medyanlarının izdüşümleri üçgenin tepe noktasını karşı tarafın orta noktasıyla birleştirmelidir.

Ve uzaysal cisimleri bir düzlemde tasvir ederken, onlar hakkında doğru bir fikrin yaratılmasına katkıda bulunmak için bir gereksinime daha uyulmalıdır.

Örneğin, tabanları kare olan eğimli bir prizmayı tasvir edelim.

Önce prizmanın alt tabanını yapalım (üstten başlayabilirsiniz). Paralel tasarım kurallarına göre, oggo keyfi bir ABCD paralelkenarı ile temsil edilecektir (Şekil 24.19, a). Prizmanın kenarları paralel olduğundan, oluşturulan paralelkenarın köşelerinden geçen paralel çizgiler oluşturuyoruz ve üzerlerine uzunlukları isteğe bağlı olan eşit AA", BB ', CC", DD" segmentlerini koyuyoruz. ", B", C", D dizisinde ", prizmanın üst tabanını gösteren bir dörtgen A "B" C "D" elde ederiz. Bunu kanıtlamak kolaydır. A"B"C"D"- paralelkenara eşit paralelkenar ABCD ve bu nedenle, tabanları eşit kareler ve kalan yüzler paralelkenar olan bir prizmanın görüntüsüne sahibiz.

Tabanları kare olan düz bir prizmayı tasvir etmeniz gerekiyorsa, bu prizmanın yan kenarlarının, Şekil 2'de olduğu gibi tabana dik olduğunu gösterebilirsiniz. 24.19, b.

Ayrıca, Şekil 1'deki çizim. 24.19, b tabanı bir kare olduğu için düzenli bir prizmanın görüntüsü olarak kabul edilebilir - normal bir dörtgen ve ayrıca tüm yüzleri dikdörtgen olduğu için dikdörtgen bir paralel yüzlü.

Şimdi uçakta nasıl piramit çizileceğini öğrenelim.

Düzenli bir piramidi tasvir etmek için, önce tabanda uzanan bir düzgün çokgen çizin ve merkezi bir noktadır. Ö. Sonra dikey bir çizgi çizilir İŞLETİM SİSTEMİ, piramidin yüksekliğini temsil eder. Segmentin dikeyliğine dikkat edin işletim sistemi daha fazla görsel netlik sağlar. Son olarak, S noktası tabanın tüm köşelerine bağlıdır.

Örneğin, tabanı olan düzenli bir piramidi gösterelim. düzenli altıgen.

Paralel tasarımda normal bir altıgeni doğru bir şekilde tasvir etmek için aşağıdakilere dikkat etmeniz gerekir. ABCDEF bir düzgün altıgen olsun. O zaman BCEF bir dikdörtgendir (Şekil 24.20) ve bu nedenle paralel izdüşümle, keyfi bir paralelkenar B "C" E "F" ile temsil edilecektir. AD köşegeni, ABCDEF poligonunun merkezi olan O noktasından geçtiğinden ve segmentlere paralel olduğundan. BC ve EF ve AO \u003d OD, daha sonra paralel tasarımla keyfi bir A "D" segmenti ile temsil edilecektir. , bir noktadan geçmek Ö" paralel M.Ö" ve E"F" ve ek olarak, Bir "O" \u003d O "D".

Böylece, altıgen piramidin tabanını oluşturma sırası aşağıdaki gibidir (Şekil 24.21):

§ keyfi bir paralelkenarı tasvir edin B"C"E"F" ve köşegenleri; kesiştikleri noktayı işaretleyin Ö";

§ bir noktadan Ö" paralel düz bir çizgi çiz VS"(veya E "F');

§ inşa edilmiş hat üzerinde keyfi bir nokta seçin ANCAK" ve bir noktayı işaretleyin D"öyle ki Ah "D" = bir "O" ve noktayı birleştir ANCAK" noktalarla AT" ve F" ve bir nokta D" - ile noktalar İTİBAREN" ve E".

Piramidin yapımını tamamlamak için dikey bir segment çizilir. işletim sistemi(uzunluğu keyfi olarak seçilir) ve S noktasını tabanın tüm köşeleriyle birleştirin.

Paralel izdüşümde top, aynı yarıçapa sahip bir daire olarak tasvir edilir. Topun görüntüsünü daha görsel hale getirmek için, düzlemi projeksiyon düzlemine dik olmayan büyük bir dairenin izdüşümü çizilir. Bu projeksiyon bir elips olacaktır. Topun merkezi, bu elipsin merkezi ile gösterilecektir (Şekil 24.22). Şimdi karşılık gelen kutupları bulabilirsiniz. N ve S, onları birleştiren parçanın ekvator düzlemine dik olması şartıyla. Bunu yapmak için, nokta aracılığıyla Ö dik bir çizgi çizmek AB ve C noktasını işaretleyin - bu çizginin elips ile kesişimi; sonra C noktasından ekvatoru temsil eden elipse bir teğet çizeriz. mesafe olduğu kanıtlanmıştır. SANTİMETRE topun merkezinden kutupların her birine olan uzaklığa eşittir. Bu nedenle, segmentleri bir kenara koymak ÜZERİNDE ve İŞLETİM SİSTEMİ, eşit SANTİMETRE, direkleri al N ve S.

Bir elips oluşturma yöntemlerinden birini düşünün (sıkıştırma adı verilen bir düzlem dönüşümüne dayanır): çapı olan bir daire oluşturur ve çapa dik kirişler çizerler (Şekil 24.23). Akorların her birinin yarısı yarıya bölünür ve elde edilen noktalar düzgün bir eğri ile bağlanır. Bu eğri, ana ekseni segment olan bir elipstir. AB, ve merkez bir nokta Ö.

Bu teknik, düz bir dairesel silindir (Şekil 24.24) ve düz bir dairesel koni (Şekil 24.25) düzlemde çizilirken kullanılabilir.

Düz dairesel bir koni aşağıdaki gibi gösterilmiştir. Önce bir elips yapılır - taban, sonra tabanın merkezi bulunur - nokta Ö ve dik bir çizgi çizin İŞLETİM SİSTEMİ, hangi koninin yüksekliğini temsil eder. S noktasından, elipse teğetler çizilir (bu, bir cetvel uygulanarak “gözle” yapılır) ve segmentler seçilir SC ve SD bu çizgiler S noktasından temas noktalarına C ve D. Segmenti not edin CD koninin tabanının çapına uymuyor.

Dersin amacı:

Düzenli çokyüzlü kavramını tanıtın.
Düzenli çokyüzlü türlerini düşünün.
Problem çözme.
Konuya ilgi uyandırmak, geometrik bedenlerde güzelliği görmeyi öğretmek, mekansal hayal gücünün gelişimi.
Konular arası iletişim.

Görünürlük: tablolar, modeller.

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an. Dersin konusunu bildirin, dersin amaçlarını formüle edin.

II. Yeni materyal öğrenmek/

Okul geometrisinde, inanılmaz derecede güzel materyallerle bir buluşma bekleyerek beklediğiniz özel konular var. Bu konular arasında “Düzenli çokyüzlüler” bulunmaktadır. Burada sadece benzersiz özelliklere sahip harika geometrik cisimler dünyası değil, aynı zamanda ilginç bilimsel hipotezler de açılıyor. Ve sonra geometri dersi, olağan okul konusunun beklenmedik yönleriyle ilgili bir tür çalışma haline gelir.

Geometrik cisimlerin hiçbiri düzenli çokyüzlüler kadar mükemmelliğe ve güzelliğe sahip değildir. L. Carroll bir keresinde, "Düzenli çokyüzlüler meydan okurcasına azdır," diye yazmıştı, "ancak sayıca çok az olan bu kopukluk, çeşitli bilimlerin en derinlerine girmeyi başardı."

Düzenli bir çokyüzlü tanımı.

Bir polihedron aşağıdaki durumlarda düzenli olarak adlandırılır:

dışbükeydir;
tüm yüzleri birbirine eşit düzgün çokgenlerdir;
köşelerinin her birinde aynı sayıda kenar birleşir;
tüm dihedral açıları eşittir.

teorem: Beş farklı (benzerliğe kadar) düzenli çokyüzlü türü vardır: düzenli dört yüzlü, düzenli altı yüzlü (küp), düzenli sekiz yüzlü, düzenli on iki yüzlü ve düzenli ikosahedron.

Tablo 1.Düzenli çokyüzlülerin bazı özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

yüz tipi	üstte düz köşe	Köşedeki çokyüzlü köşenin görünümü	Köşedeki düz açıların toplamı	AT	R	G	çokyüzlü adı
sağ üçgen	60º	3 taraflı	180º	4	6	4	düzenli tetrahedron
sağ üçgen	60º	4 taraflı	240º	6	12	8	düzenli oktahedron
sağ üçgen	60º	5 taraflı	300º	12	30	20	Düzenli ikosahedron
Meydan	90º	3 taraflı	270º	8	12	6	Düzenli altı yüzlü (küp)
sağ üçgen	108º	3 taraflı	324º	20	30	12	Düzenli dodekahedron

Çokyüzlü türlerini düşünün:

düzenli tetrahedron

<Рис. 1>

düzenli oktahedron

<Рис. 2>

Düzenli ikosahedron

<Рис. 3>

Düzenli altı yüzlü (küp)

<Рис. 4>

Düzenli dodekahedron

<Рис. 5>

Tablo 2. Düzenli çokyüzlülerin hacimlerini bulmak için formüller.

çokyüzlü türü	çokyüzlü hacmi
düzenli tetrahedron
düzenli oktahedron
Düzenli ikosahedron
Düzenli altı yüzlü (küp)
Düzenli dodekahedron

"Platonik katılar".

Küp ve oktahedron ikili, yani. Birinin yüzlerinin ağırlık noktaları diğerinin köşeleri olarak alınırsa ve bunun tersi de birbirinden elde edilir. Dodecahedron ve icosahedron benzer şekilde ikilidir. Tetrahedron kendisine dualdir. Bir küpten, yüzlerine “çatılar” oluşturularak (Öklid'in yöntemi) düzenli bir onikiyüzlü elde edilir, bir dört yüzlünün köşeleri, küpün bir kenar boyunca çift olarak bitişik olmayan herhangi dört köşesidir. Küpten diğer tüm düzenli çokyüzlüler bu şekilde elde edilir. Sadece beş gerçekten düzenli polihedranın varlığı şaşırtıcıdır - sonuçta, düzlemde sonsuz sayıda düzenli çokgen vardır!

Tüm düzenli çokyüzlüler antik Yunanistan'da biliniyordu ve ünlü Öklid ilkelerinin son XII kitabı onlara adanmıştır. Bu çokyüzlüler genellikle aynı Platonik katılar büyük antik Yunan düşünür Platon tarafından verilen dünyanın idealist resminde. Bunlardan dördü dört elementi kişileştirdi: tetrahedron-ateş, küp-toprak, ikosahedron-su ve oktahedron-hava; beşinci polihedron, dodecahedron, tüm evreni simgeliyordu. Latince'de ona quinta essentia (“beşinci öz”) demeye başladılar.

Görünüşe göre, doğru tetrahedron, küp, oktahedron bulmak zor değildi, özellikle bu formlar doğal kristallere sahip olduğundan, örneğin: bir küp bir monokristal sodyum klorürdür (NaCl), bir oktahedron tek bir potasyum şap kristalidir ((KAISO 4) 2 l2H20). Antik Yunanlıların dodekahedron şeklini pirit kristallerini (kükürtlü pirit FeS) dikkate alarak elde ettikleri varsayımı vardır. Aynı oniki yüzlüye sahip olmak, bir ikosahedron inşa etmek zor değildir: köşeleri on iki yüzlünün 12 yüzünün merkezleri olacaktır.

Bu muhteşem bedenleri başka nerede görebilirsiniz?

Yüzyılımızın başındaki Alman biyolog E. Haeckel'in "Doğadaki Formların Güzelliği" adlı çok güzel bir kitabında şu satırlar okunabilir: güzellik ve çeşitlilikte insan sanatının yarattığı tüm formları geride bırakın. ” Bu kitaptaki doğanın yarattıkları güzel ve simetriktir. Bu, doğal uyumun ayrılmaz bir özelliğidir. Ancak burada tek hücreli organizmalar görülebilir - şekli icosahedron'u doğru bir şekilde taşıyan feodarii. Bu doğal geometriye ne sebep oldu? Belki de tüm çokyüzlülerin aynı sayıda yüze sahip olması nedeniyle, en büyük hacme ve en küçük yüzey alanına sahip olan ikosahedrondur. Bu geometrik özellik, deniz mikroorganizmasının su kolonunun basıncını aşmasına yardımcı olur.

Ayrıca ilginçtir ki, biyologların virüslerin şekliyle ilgili anlaşmazlıklarında ilgi odağı haline gelen ikosahedron olmuştur. Virüs önceden düşünüldüğü gibi tam anlamıyla yuvarlak olamaz. Şeklini oluşturmak için çeşitli polihedronlar aldılar, onlara atomların virüse akışıyla aynı açılarda ışık yönlendirdiler. Yukarıda bahsedilen özelliklerin genetik bilginin saklanmasını mümkün kıldığı ortaya çıktı. Düzenli çokyüzlüler en karlı rakamlardır. Ve doğa bundan yararlanır. Düzenli çokyüzlüler, bazılarının kristal kafeslerinin şeklini belirler. kimyasal maddeler. Bir sonraki görev bu fikri gösterecek.

Bir görev. CH4 metan molekülünün modeli, dört köşesinde hidrojen atomları ve merkezde bir karbon atomu bulunan düzenli bir tetrahedron şekline sahiptir. İki CH bağı arasındaki bağ açısını belirleyin.

<Рис. 6>

Çözüm. Düzgün bir tetrahedronun altı eşit kenarı olduğundan, yüzlerinin köşegenleri düzgün bir tetrahedronun kenarları olacak şekilde bir küp seçmek mümkündür. Küpün merkezi aynı zamanda tetrahedronun da merkezidir, çünkü tetrahedronun dört köşesi de küpün köşeleridir ve bunların etrafında tanımlanan küre, aynı düzlemde yer almayan dört nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

AOC üçgeni ikizkenardır. Bu nedenle, a küpün kenarıdır, d, tetrahedronun yan yüzünün veya kenarının köşegeninin uzunluğudur. Yani, a = 54.73561 0 ve j = 109.47 0

Bir görev. Bir tepe noktası (D) olan bir küpte, DA, DB ve DC yüzlerinin köşegenleri çizilir ve uçları düz çizgilerle bağlanır. Bu doğrulardan geçen dört düzlemin oluşturduğu politop DABC'nin düzgün bir dörtyüzlü olduğunu kanıtlayın.

<Рис. 7>

Bir görev. Küpün kenarı a.İçinde yazılı düzgün bir oktahedronun yüzeyini hesaplayın. Aynı küpte yazılı düzgün bir dörtyüzlü yüzeyi ile ilişkisini bulun.

<Рис. 8>

Çokyüzlü kavramının genelleştirilmesi.

Bir çokyüzlü, sonlu sayıda düzlem çokgen topluluğudur, öyle ki:

çokgenlerden herhangi birinin her bir kenarı aynı zamanda diğerinin bir kenarıdır (ancak bu kenar boyunca yalnızca bir tanesi (birincisine bitişik olarak adlandırılır);
polihedronu oluşturan çokgenlerin herhangi birinden, kendisine bitişik olana ve buradan da ona bitişik olana vb. geçerek herhangi birine ulaşılabilir.

Bu çokgenlere yüz, kenarlarına kenar ve köşelerine çokyüzlülerin köşeleri denir.

Aşağıdaki polihedronun tanımı, çokgenin nasıl tanımlandığına bağlı olarak farklı bir anlam kazanır:

- bir çokgen düz kapalı kırık çizgiler olarak anlaşılırsa (kendilerini kesseler bile), o zaman gelirler bu tanımçokyüzlü;

- Çokgen, kesik çizgilerle sınırlanmış bir düzlemin parçası olarak anlaşılırsa, bu açıdan çokyüzlü, çokgen parçalardan oluşan bir yüzey olarak anlaşılır. Bu yüzey kendisiyle kesişmiyorsa, o zaman çokyüzlü olarak da adlandırılan bazı geometrik cisimlerin tam yüzeyidir. Buradan, geometrik cisimler olarak çokyüzlüler üzerinde üçüncü bir bakış açısı ortaya çıkar ve bu cisimlerde sınırlı sayıda düz yüzle sınırlı “deliklerin” varlığına da izin verilir.

Çokyüzlülerin en basit örnekleri prizmalar ve piramitlerdir.

polihedron denir n- kömür piramit, yüzlerinden birine (tabana) sahipse, n- bir kare ve kalan yüzler, taban düzleminde yer almayan ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerdir. Üçgen piramit ayrıca tetrahedron olarak da adlandırılır.

polihedron denir n- iki yüzü (tabanı) eşitse kömür prizması n-gonlar (aynı düzlemde yer almayan), birbirinden paralel öteleme ile elde edilir ve kalan yüzler, karşı tarafları tabanların karşılık gelen tarafları olan paralelkenarlardır.

Sıfır cinsinin herhangi bir politopu için, Euler karakteristiği (köşe sayısı eksi kenar sayısı artı yüz sayısı) ikiye eşittir; sembolik olarak: V - P + G = 2 (Euler teoremi). cinsin bir çokyüzlü için p B - R + G \u003d 2 - 2 ilişkisi p.

Bir dışbükey çokyüzlü, yüzlerinden herhangi birinin düzleminin bir tarafında yer alan bir çokyüzlüdür. En önemlileri aşağıdaki dışbükey çokyüzlülerdir:

<Рис. 9>

düzenli çokyüzlüler (Platon'un katıları) - tüm yüzleri aynı düzenli çokgenler olan ve köşelerdeki tüm çokyüzlü açılar düzenli ve eşit olan bu tür dışbükey çokyüzlüler<Рис. 9, № 1-5>;
izogonlar ve izohedra - tüm çokyüzlü açıları eşit (izogonlar) veya tüm yüzlere eşit (izohedra) olan dışbükey çokyüzlüler; dahası, bir izogonun (izohedron) ağırlık merkezi etrafındaki dönüşleri (yansımalarla birlikte) grubu, köşelerinden (yüzlerinden) herhangi birini diğer köşelerinden (yüzlere) alır. Bu şekilde elde edilen çokyüzlülere yarı düzenli çokyüzlüler (Arşimet katıları) denir.<Рис. 9, № 10-25>;
paralelhedronlar (dışbükey) - gövdeler olarak kabul edilen, tüm sonsuz alanı doldurmanın mümkün olduğu, birbirlerine girmemeleri ve kendi aralarında boşluk bırakmamaları için çokyüzlüler, yani. bir uzay bölümü oluşturdu<Рис. 9, № 26-30>;
Bir çokgen ile düz kapalı kesik çizgiler kastediliyorsa (kendileriyle kesişiyor olsalar bile), o zaman dışbükey olmayan (yıldız şeklinde) 4 tane daha düzenli çokyüzlü (Poinsot gövdeleri) belirtilebilir. Bu çokyüzlülerde ya yüzler birbiriyle kesişir ya da yüzler kendi kendini kesen çokgenlerdir.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Ev ödevi.

IV. 279, 281 numaralı sorunları çözme.

V. Özetleme.

Kullanılan literatür listesi:

Düzenleyen “Matematiksel Ansiklopedi” I.M. Vinogradova, Yayın Evi " Sovyet Ansiklopedisi”, Moskova, 1985. Cilt 4, sayfa 552–553 Cilt 3, sayfa 708–711.
“Küçük Matematik Ansiklopedisi”, E. Fried, I. Papaz, I. Reiman ve diğerleri Macar Bilimler Akademisi Yayınevi, Budapeşte, 1976. Pp. 264-267.
M.I. tarafından düzenlenen iki kitapta “Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması”. Scanavi, 2. kitap - Geometri, yayınevi " Yüksek Lisans”, Moskova, 1998. Pp. 45-50.
“Matematikte uygulamalı dersler: öğretici teknik okullar için”, yayınevi “Vysshaya Shkola”, Moskova, 1979. Pp. 388–395, s. 405.
“Tekrar Matematik”, baskı 2-6, ek, Üniversitelere başvuranlar için ders kitabı, “Vysshaya Shkola” yayınevi, Moskova, 1974. Pp. 446-447.
Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü, A.P. Savin, yayınevi "Pedagoji", Moskova, 1989. Pp. 197–199.
“Çocuklar için ansiklopedi. T.P. Matematik”, genel yayın yönetmeni M.D. Akşenova; yöntem ve res. editör V. A. Volodin, Avanta+ yayınevi, Moskova, 2003. Pp. 338-340.
Geometri, 10–11: Ders Kitabı Eğitim Kurumları/ LS Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - 10. baskı - M.: Eğitim, 2001. Pp. 68-71.
“Kvant” No. 9, 11 - 1983, No. 12 - 1987, No. 11, 12 - 1988, No. 6, 7, 8 - 1989. SSCB Bilimler Akademisi'nin popüler bilim fiziği ve matematik dergisi ve SSCB Pedagojik Bilimler Akademisi. "Bilim" yayınevi. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana baskısı. Sayfa 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Geometride artan karmaşıklık problemlerini çözme: 11. sınıf - M.: ARKTI, 2002. Pp. 9, 19-20.

makalenin içeriği

polihedron, uzayın, herhangi bir çokgenin her bir tarafı tam olarak bir başka çokgenin (bitişik çokgen olarak adlandırılır) bir tarafı olacak şekilde bağlanmış sonlu sayıda düzlemsel çokgenin bir koleksiyonuyla sınırlanmış ve çevresinde tam olarak bir çokgen döngüsü vardır. her köşe. Bu çokgenlere yüz, kenarlarına kenar ve köşelerine çokyüzlülerin köşeleri denir.

Şek. 1, birkaç iyi bilinen çokyüzlü sunar. İlk ikisi örnek R-kömür piramitleri, yani oluşan çokyüzlü R-gon, üs olarak adlandırılır ve R tabana bitişik ve ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler (piramidin tepesi olarak adlandırılır). saat R = 3 (santimetre. pilav. bir, a) piramidin herhangi bir yüzü taban görevi görebilir. Tabanı düzenli bir şekle sahip olan piramit R-gon düzenli olarak adlandırılır R- kömür piramidi. Yani kare, düzgün beşgen vb. hakkında konuşabiliriz. piramitler. Şek. bir, içinde, 1,G ve 1, d köşeleri aynı sayıda noktadan oluşan iki kümeye bölünebilen belirli bir çokyüzlü sınıfının örnekleri verilmiştir; bu kümelerin her birinin noktaları köşelerdir R-gon ve her ikisinin de uçakları p-gonlar paraleldir. Eğer bu ikisi R-gonlar (tabanlar) uyumludur ve köşeleri aynı olacak şekilde yerleştirilmiştir. R R-paralel düz çizgi parçaları ile gon, o zaman böyle bir çokyüzlü denir R- kömür prizması. İki R-açısal prizmalar üçgen prizma işlevi görebilir ( R= 3) şek. bir, içinde ve bir beşgen prizma ( R= 5) şek. bir, G. Tabanlar, birinin köşeleri olacak şekilde yerleştirilmişse R-gon diğerinin köşelerine bağlanır R 2'den oluşan bir zikzak kesikli çizginin -gonu R düz çizgi parçaları, Şek. bir, d, o zaman böyle bir çokyüzlü denir R-kömür antiprizmi.

İki neden dışında, R- karbon prizması mevcut R yüzler paralelkenarlardır. Paralelkenarlar dikdörtgen şeklindeyse, prizmaya düz çizgi denir ve ayrıca tabanlar düzgünse R-gons, o zaman prizmaya düz bir çizgi denir R- kömür prizması. R-kömür antiprizmi vardır (2 p+ 2) yüzler: 2 Rüçgen yüzler ve iki p- kömür bazları. Bazlar uyumlu ise düzgün R-gons ve merkezlerini birleştiren çizgi düzlemlerine dik ise, o zaman antiprizma düzenli bir çizgi olarak adlandırılır. R-kömür antiprizmi.

Bir polihedron tanımında, ortak bir tepe noktasına sahip iki piramit gibi anormallikleri dikkate almamak için son rezervasyon yapılır. Şimdi, Şekil 2'de olduğu gibi, hiçbir iki yüzün kesişmemesini gerektirerek, kabul edilebilir çokyüzlüler kümesine ek bir kısıtlama getiriyoruz. bir, e. Bu gereksinimi karşılayan herhangi bir çokyüzlü, uzayı biri sonlu olan ve "iç" olarak adlandırılan iki parçaya böler. Diğer, kalan kısım ise dış kısım olarak adlandırılır.

Bir polihedron, iki noktasından herhangi birini birleştiren düz bir doğru parçasının dış uzaya ait noktaları içermemesi durumunda dışbükey olarak adlandırılır. Şek. bir, a, 1,b, 1,içinde ve 1, d dışbükey ve Şekil l'deki beşgen prizma. bir, G dışbükey değil, çünkü örneğin segment PQ prizmanın dış uzayında yatan noktaları içerir.

DÜZENLİ POLİTOPLAR

Bir dışbükey çokyüzlü, aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa düzenli olarak adlandırılır:

283(i) tüm yüzleri uyumlu düzenli çokgenlerdir;

(ii) her tepe noktası aynı sayıda yüze bitişiktir.

Tüm kenarlar doğruysa R-gonlar ve q bunlardan her bir köşeye bitişiktir, daha sonra böyle bir düzenli çokyüzlü ( p, q). Bu gösterim, geometri ve matematiksel analizde birçok zarif sonuç üreten İsviçreli bir matematikçi olan L. Schläfli (1814-1895) tarafından önerildi.

Yüzleri kesişen ve "düzenli yıldız çokyüzlü" olarak adlandırılan dışbükey olmayan çokyüzlüler vardır. Bu tür çokyüzlüleri dikkate almamayı kabul ettiğimize göre, düzenli çokyüzlüler ile sadece dışbükey düzenli çokyüzlüleri kastediyoruz.

Platonik Katılar.

Şek. 2 düzenli çokyüzlüleri gösterir. Bunların en basiti, yüzleri dört eşkenar üçgen olan ve her köşeye üç yüz bitişik olan düzenli bir tetrahedrondur. Tetrahedron (3, 3) gösterimine karşılık gelir. başka bir şey değil özel durumÜçgen piramit. Düzenli çokyüzlülerin en ünlüsü küptür (bazen düzenli altı yüzlü olarak adlandırılır) - altı yüzü de kare olan düz bir kare prizma. Her köşeye bitişik 3 kare olduğundan, küp (4, 3) ile gösterilir. Yüzleri eşkenar üçgen şeklinde olan iki uyumlu kare piramit tabanlarla birleştirilirse, düzenli oktahedron adı verilen bir çokyüzlü elde edilir. Sekiz eşkenar üçgenle sınırlandırılmıştır, her köşeye dört üçgen bitişiktir ve bu nedenle (3, 4) gösterimine karşılık gelir. Düzenli bir oktahedron, sağ düzenli üçgen antiprizmanın özel bir durumu olarak da düşünülebilir. Şimdi, yüzleri eşkenar üçgenler biçiminde olan düz bir düzgün beşgen antiprizma ve tabanları antiprizmanın tabanına uyumlu ve yüzleri eşkenar üçgenler biçiminde olan iki düzgün beşgen piramit düşünün. Bu piramitler tabanlarını hizalayarak bir antiprizmaya bağlanırsa, başka bir düzenli çokyüzlü elde edilir. Yüzlerinin yirmisi, her köşeye beş yüz bitişik olan eşkenar üçgenler şeklindedir. Böyle bir çokyüzlüye düzenli ikosahedron denir ve (3, 5) ile gösterilir. Yukarıda bahsedilen dört düzenli çokyüzlüye ek olarak, bir tane daha var - on iki beşgen yüzle sınırlı düzenli bir onikiyüzlü; köşelerinin her birine üç yüz bitişiktir, bu nedenle dodekahedron (5, 3) olarak gösterilir.

Yukarıda listelenen ve genellikle "Platon'un katı cisimleri" olarak da adlandırılan beş düzenli çokyüzlü, iki bin yıldan daha uzun bir süre önce matematikçilerin, mistiklerin ve antik çağın filozoflarının hayal gücünü ele geçirdi. Antik Yunanlılar, tetrahedron, küp, oktahedron ve ikosahedron ile dört doğal ilke - ateş, toprak, hava ve su arasında mistik bir yazışma bile kurdular. Beşinci düzenli çokyüzlüye, dodekahedron'a gelince, onu evrenin şekli olarak kabul ettiler. Bu fikirler sadece geçmişin mirası değildir. Ve şimdi, iki bin yıl sonra, çoğu, onların altında yatan estetik ilkeden etkileniyor. Bu güne kadar çekiciliğini kaybetmemiş olmaları, İspanyol sanatçı Salvador Dali'nin resmiyle çok inandırıcı bir şekilde kanıtlanmıştır. Son Akşam Yemeği.

Antik Yunanlılar ayrıca Platonik katıların geometrik özelliklerinin birçoğunu da incelediler; araştırmalarının meyveleri 13. kitapta bulunabilir BaşlamakÖklid. Platonik katılar ve ilgili figürlerin incelenmesi bu güne kadar devam ediyor. Ve ana motifler olmasına rağmen çağdaş araştırma güzellik ve simetri hizmet eder, ayrıca özellikle kristalografide bazı bilimsel değerlere sahiptirler. Adi tuz, sodyum tiyoantimonid ve kromik şap kristalleri, sırasıyla bir küp, tetrahedron ve oktahedron şeklinde doğal olarak meydana gelir. Icosahedron ve dodecahedron kristal formlar arasında bulunmaz, ancak radyolaryalılar olarak bilinen mikroskobik deniz organizmalarının formları arasında gözlemlenebilirler.

Düzenli çokyüzlü sayısı.

Platonik katılardan başka düzgün çokyüzlülerin olup olmadığını sormak doğaldır. Aşağıdaki basit düşüncelerin gösterdiği gibi, cevap hayır olmalıdır. İzin vermek ( p, q) keyfi bir düzenli çokyüzlüdür. Yüzleri doğru olduğundan R-gonlar, iç açıları, gösterilmesi kolay olduğu için eşittir (180 - 360 / R) veya 180 (1 – 2/ R) derece. Çokyüzlü olduğundan ( p, q) dışbükey ise, köşelerinden herhangi birine bitişik yüzler boyunca tüm iç açıların toplamı 360 dereceden az olmalıdır. Ama her köşeye bitişik q yüzler, yani eşitsizlik

bunu görmek kolay p ve q 2'den büyük olmalıdır (1) R= 3, sadece geçerli değerlerin olduğunu buluyoruz q bu durumda 3, 4 ve 5, yani. (3, 3), (3, 4) ve (3, 5) politoplarını elde ederiz. saat R= 4 tek geçerli değerdir q 3, yani çokyüzlü (4, 3), ile R= 5 eşitsizliği (1) de sadece q= 3, yani çokyüzlü (5, 3). saat p> 5 izin verilen değer q bulunmuyor. Bu nedenle, Platon'un katıları dışında başka düzgün çokyüzlüler yoktur.

Beş düzenli çokyüzlülüğün tümü aşağıdaki tabloda listelenmiştir. Son üç sütun şunları gösterir: N 0 - köşe sayısı, N 1 kenar sayısıdır ve N 2, her polihedronun yüz sayısıdır.

Ne yazık ki, birçok geometri ders kitabında verilen düzenli bir çokyüzlü tanımı eksiktir. Yaygın bir hata, tanımın yalnızca yukarıdaki (i) koşulunun yerine getirilmesini gerektirmesi, ancak (ii) koşulunu atlamamasıdır. Bu arada, koşul (ii) kesinlikle gereklidir; bu, (i) koşulunu sağlayan ancak (ii) koşulunu sağlamayan bir dışbükey çokyüzlü göz önüne alarak doğrulanması en kolay olanıdır. Bu türün en basit örneği, düzgün bir tetrahedronun bir yüzü ile birincisine uyumlu başka bir tetrahedronun yüzü belirlenerek oluşturulabilir. Sonuç olarak, altı yüzü eş eşkenar üçgen olan dışbükey bir çokyüzlü elde ederiz. Ancak, (ii) koşulunu ihlal eden üç yüz bazı köşelere, dört yüz diğerlerine bitişiktir.

BEŞ DÜZENLİ POLİTOP
İsim	Schläfli'nin girişi	N 0 (köşe sayısı)	N 1 (kaburga sayısı)	N 2 (yüz sayısı)
dörtyüzlü
Küp
oktahedron
ikosahedron
on iki yüzlü

Düzenli çokyüzlülerin özellikleri.

Herhangi bir düzgün çokyüzlülüğün köşeleri bir küre üzerinde bulunur (herhangi bir düzgün çokgenin köşelerinin bir daire üzerinde olduğu düşünüldüğünde, bu pek şaşırtıcı değildir). "Sınırlı küre" olarak adlandırılan bu kürenin yanı sıra iki önemli alan daha vardır. Bunlardan biri, "orta küre", tüm kenarların orta noktalarından geçer ve diğeri, "yazılı küre", merkezlerindeki tüm yüzlere dokunur. Her üç kürenin de polihedronun merkezi olarak adlandırılan ortak bir merkezi vardır.

Çift çokyüzlü.

Düzenli bir çokyüzlü düşünün ( p, q) ve medyan küresi S. Her kenarın orta noktası küreye dokunur. Her bir kenarı, doğruya teğet olan doğruya dik bir parça ile değiştirmek S aynı noktada, elde ederiz N Politopun 1 kenarı politopa ikili ( p, q). İkili çokyüzlülerin yüzlerinin düzenli olduğunu göstermek kolaydır. q-gons ve her bir köşenin bitişik olduğu R yüzler. Bu nedenle, çokyüzlü ( p, q) normal polihedron çifttir ( q, p). Politop (3, 3), orijinal olana uyumlu başka bir politopa (3, 3) ikilidir (bu nedenle (3, 3) kendi kendine çift politop olarak adlandırılır), politop (4, 3) politopa ikilidir (3, 4) ve politop (5, 3) çokyüzlüdür (3, 5). Şek. 3 çokyüzlü (4, 3) ve (3, 4) birbirine dualite konumunda gösterilmiştir. Ek olarak, polihedronun her köşesi, her kenarı ve her yüzü ( p, q) ikili politopun tek bir yüzüne, tek bir kenarına ve tek bir tepe noktasına karşılık gelir ( q, p). Bu nedenle, eğer ( p, q) sahip N 0 köşe, N 1 kaburga ve N 2 yüz, sonra ( q, p) sahip N 2 üst, N 1 kaburga ve N 0 yüz.

her biri beri N Düzenli bir polihedronun 2 yüzü ( p, q) sınırlı R kenarlar ve her kenar tam olarak iki yüz için ortaktır, o zaman pN 2/2 kaburga, yani N 1 = pN 2/2. çift çokyüzlü ( q, p) kenarları da N 1 ve N 0 kenar, yani N 1 = qN 0/2. yani sayılar N 0 , N 1 ve N 2 herhangi bir düzenli çokyüzlü için ( p, q) ilişki ile ilişkilidir

Simetri.

Düzenli çokyüzlülere olan temel ilgi, Büyük sayı sahip oldukları simetriler. Bir çokyüzlülüğün simetrisi (veya simetri dönüşümü) ile hareketini şu şekilde kastediyoruz: sağlam vücut uzayda (örneğin, belirli bir düz çizgi etrafında dönme, belirli bir düzlem hakkında yansıma, vb.), çokyüzlülerin köşeleri, kenarları ve yüzleri kümesini değiştirmeden bırakır. Başka bir deyişle, bir simetri dönüşümünün etkisi altında, bir tepe noktası, kenar veya yüz ya orijinal konumunu korur ya da başka bir tepe noktasının, başka bir kenarın veya başka bir yüzün orijinal konumuna aktarılır.

Tüm çokyüzlüler için ortak olan bir simetri vardır. Hakkında herhangi bir noktayı orijinal konumunda bırakan özdeş dönüşüm hakkında. Düz bir çizgi durumunda daha az önemsiz bir simetri örneğiyle karşılaşırız. R-kömür prizması. İzin vermek ben- tabanların merkezlerini birleştiren düz bir çizgi. arkanı dön ben 360/ açısının herhangi bir tamsayı katına R derece simetridir. İzin ver, daha fazla, p- onlara paralel üslerin ortasından geçen bir düzlem. Bir uçak hakkında yansıma p(herhangi bir noktayı çeviren hareket P kesinlikle Pў, öyle ki p segmenti geçer PP¢ dik açıda ve onu ikiye böler) başka bir simetridir. Bir düzleme göre yansımayı birleştirme p düz bir çizgi etrafında bir dönüş ile ben, başka bir simetri elde ederiz.

Bir polihedronun herhangi bir simetrisi, yansımaların bir ürünü olarak temsil edilebilir. Burada katı bir cisim olarak bir polihedronun birkaç hareketinin ürünü, belirli bir önceden belirlenmiş sırada bireysel hareketlerin yürütülmesi anlamına gelir. Örneğin, yukarıda bahsedilen 360 döndürme R düz bir çizgi etrafında derece ben içeren herhangi iki düzleme göre yansımaların ürünüdür. ben ve birbirine göre 180 / 'lik bir açı oluşturan R derece. Çift sayıda yansımanın ürünü olan simetriye doğrudan, aksi halde ters denir. Bu nedenle, düz bir çizgi etrafındaki herhangi bir döndürme, doğrudan bir simetridir. Herhangi bir yansıma ters simetridir.

Tetrahedronun simetrilerini daha ayrıntılı olarak ele alalım, yani. düzenli çokyüzlü (3, 3). Tetrahedronun herhangi bir tepe noktasından ve merkezinden geçen herhangi bir doğru, karşı yüzün merkezinden geçer. Bu çizgi etrafında 120 veya 240 derecelik bir dönüş, tetrahedronun simetrilerinden biridir. Tetrahedronun 4 köşesi (ve 4 yüzü) olduğundan, toplam 8 doğrudan simetri elde ederiz. Bir tetrahedronun bir kenarının ortasından ve ortasından geçen herhangi bir düz çizgi, karşı kenarın orta noktasından geçer. Böyle bir düz çizgi etrafında 180 derecelik bir dönüş (yarım dönüş) de bir simetridir. Tetrahedronun 3 çift kenarı olduğundan, 3 tane daha doğrudan simetri elde ederiz. Sonuç olarak, toplam sayısıözdeşlik dönüşümü de dahil olmak üzere doğrudan simetriler 12'ye çıkar. Başka doğrudan simetri olmadığı ve 12 ters simetri olduğu gösterilebilir. Böylece, tetrahedron toplam 24 simetriye izin verir. Anlaşılır olması için, düzenli bir dörtyüzlüden bir karton model oluşturmak ve dörtyüzlüde gerçekten 24 simetriye sahip olduğundan emin olmak yararlıdır. İnce kartondan kesilebilen ve katlanmış, bunlardan beş düzenli çokyüzlü yapıştırılabilen gelişmeler, Şek. dört.

Kalan düzenli çokyüzlülerin doğrudan simetrileri tek tek değil, hep birlikte tanımlanabilir. ( p, q) (3, 3) hariç herhangi bir düzenli çokyüzlü. Merkezden geçen düz çizgi ( p, q) ve herhangi bir tepe noktası karşı tepe noktasından geçer ve herhangi bir döndürme 360/ tamsayı katı ile q Bu çizginin etrafındaki dereceler simetridir. Bu nedenle, kimlik dönüşümü de dahil olmak üzere bu tür her çizgi için vardır, ( q– 1) farklı simetriler. Bu tür her bir hat, iki N 0 köşe; bu nedenle, tüm bu düz çizgiler - N 0/2, verir ( q – 1) > N 0/2 simetri. Ayrıca polihedronun merkezinden geçen çizgi ( p, q) ve herhangi bir yüzün merkezi karşı yüzün merkezinden geçer ve böyle bir düz çizgi etrafındaki herhangi bir dönüş 360/ tamsayı ile çarpılır. R derece simetridir. Bu tür hatların toplam sayısı N 2/2, nerede N 2, polihedronun yüz sayısıdır ( p, q), alırız ( p – 1) N Kimlik dönüşümü dahil 2/2 farklı simetri. Son olarak, polihedronun herhangi bir kenarının merkezinden ve ortasından geçen çizgi ( p, q) karşı kenarın orta noktasından geçer ve simetri bu doğru etrafında yarım turdur. Den beri N 1/2 bu tür çizgiler, nerede N 1, polihedronun kenar sayısıdır ( p, q), daha fazlasını alırız N 1/2 simetri. Özdeş dönüşümü dikkate alarak, elde ederiz

doğrudan simetriler. Başka doğrudan simetri yoktur ve bir o kadar da ters simetri vardır.

Çokyüzlü (3, 3) için formül (3) elde edilmemiş olsa da, onun için de doğru olduğunu doğrulamak kolaydır. Böylece, politop (3, 3) 12 doğrudan simetriye sahiptir, çokyüzlü (4, 3) ve (3, 4) her biri 24 simetriye sahiptir ve çok yüzlü (5, 3) ve (3, 5) her biri 60 simetriye sahiptir. .

Soyut cebire aşina olan okuyucular, polihedronun simetrilerinin ( p, q) yukarıda tanımlanan "çarpma"ya göre bir grup oluşturur. Bu grupta, doğrudan simetriler indeks 2'nin bir alt grubunu oluştururken, ters simetriler, kapatma özelliğini ihlal ettikleri ve kimlik dönüşümünü (grubun kimlik öğesi) içermedikleri için bir grup oluşturmaz. Genellikle, doğrudan simetri grubuna bir çokyüzlü grubu denir ve simetrilerin tam grubuna genişletilmiş grubu denir. Yukarıda ele alınan ikili politopların özelliklerinden, herhangi bir düzenli politopun ve onun ikili politopunun aynı gruba sahip olduğu açıktır. Tetrahedron grubuna tetrahedral grup, küp ve oktahedron grubuna oktahedral grup, dodekahedron ve ikosahedron grubuna ikosahedral grup denir. Alternatif gruba göre izomorfiktirler. ANCAK 4 / dört karakter, simetrik grup S Dört karakterden 4'ü ve alternatif bir grup ANCAK Sırasıyla beş karakterden 5'i.

Euler formülü

Tabloya bakıldığında, köşe sayısı arasında ilginç bir ilişki fark edilebilir. N 0 , kenar sayısı N 1 ve yüz sayısı N 2 herhangi bir dışbükey düzenli politop ( p, q). Oranla ilgili

Elde edilen ifadeleri formül (3) ve (4) ile değiştirerek, polihedronun doğrudan simetri sayısını elde ederiz ( p, q) eşittir

Bu sayı, eşdeğer formlardan birinde de yazılabilir: qN 0 , 2N 1 veya pN 2 .

Euler formülünün kapsamı.

Euler formülünün önemi, sadece Platonik katılara değil, aynı zamanda bir küreye göre herhangi bir çokyüzlü homeomorfik için de geçerli olması gerçeğiyle artar ( santimetre. TOPOLOJİ). Bu iddia şu şekilde kanıtlanmıştır.

İzin vermek P ile bir küreye herhangi bir çokyüzlü homeomorfiktir N 0 üst, N 1 kaburga ve N 2 yüz; İzin Vermek c = N 0 – N 1 + N 2 - Çokyüzlülerin Euler özelliği P. olduğunu kanıtlamak gerekir c= 2. O zamandan beri R bir küreye homeomorfiktir, bir yüzü kaldırabilir ve geri kalanını düzlemde bir konfigürasyona dönüştürebiliriz (örneğin, Şekil 5'te, a ve 5, bön düzlemi çıkarılmış bir prizma görüyorsunuz). Bir "düzlemsel konfigürasyon", sırasıyla "köşeler" ve "kenarlar" olarak adlandırılan ve köşelerin kenarların uçları olarak hizmet ettiği bir noktalar ve düz çizgi parçaları ağıdır. Çok yüzlünün yer değiştirmiş ve deforme olmuş köşeleri ve kenarları olduğunu düşündüğümüz konfigürasyonun köşelerini ve kenarlarını dikkate alıyoruz. Yani bu yapılandırma N 0 köşe ve N 1 kaburga. Dinlenme N Polihedronun 2 - 1 yüzü deforme olur. N Konfigürasyon tarafından tanımlanan düzlemde 2 – 1 örtüşmeyen alan. Bu alanlara konfigürasyonun "yüzleri" diyelim. Konfigürasyonun köşeleri, kenarları ve yüzleri, bu durumda şuna eşit olan Euler karakteristiğini belirler. c – 1.

Şimdi düzleştireceğiz, böylece kaldırılan yüz R-gon, sonra hepsi N 2 - 1 konfigürasyon yüzü içini dolduracak R-gon. İzin vermek ANCAK- içeride bazı köşeler R-gon. içinde olduğunu varsayalım ANCAK birleştirmek r pirzola. eğer silersen ANCAK ve tüm r içinde birleşen kenarlar, daha sonra köşe sayısı 1, kenarlar - r, yüzler açık r – 1 (santimetre. pilav. 5, b ve 5, içinde). Yeni yapılandırma Nў 0 = N 0 - 1 köşe, Nў 1 = N 1 – r kaburgalar ve Nў 2 = N 2 – 1 – (r– 1) yüzler; Sonuç olarak,

Bu nedenle, bir iç tepe noktasının ve ona yaklaşan kenarların kaldırılması, konfigürasyonun Euler karakteristiğini değiştirmez. Bu nedenle, onlara yaklaşan tüm iç köşeleri ve kenarları kaldırarak, konfigürasyonu azaltıyoruz. R-gon ve içi (Şek. 5, G). Ancak Euler karakteristiği eşit kalır c– 1, ve yapılandırma olduğundan beri R zirveler, R kenarlar ve 1 yüz, elde ederiz

Böylece, c= 2, kanıtlanacaktı.

Ayrıca, bir politopun Euler karakteristiği 2 ise, politopun bir küreye homeomorfik olduğu kanıtlanabilir. Başka bir deyişle, bir politopun bir küreye homeomorfik olduğunu, ancak ve ancak Euler özelliği 2 ise göstererek, yukarıdaki sonucu genelleştirebiliriz.

Genelleştirilmiş Euler formülü.

Genelleştirilmiş Euler formülü, diğer çokyüzlüleri sınıflandırmak için kullanılır. Bazı çokyüzlülerin 16 köşesi, 32 kenarı ve 16 yüzü varsa, Euler karakteristiği 16 - 32 + 16 = 0'a eşittir. Bu, bu çokyüzlülüğün bir torus'a homeomorfik çokyüzlüler sınıfına ait olduğunu iddia etmemizi sağlar. Bu sınıfın ayırt edici bir özelliği, sıfıra eşit Euler özelliğidir. Daha genel olarak, izin ver R- çokyüzlü N 0 üst, N 1 kaburga ve N 2 kenar. Belirli bir polihedron, cinsin bir yüzeyine homeomorfik olduğu söylenir. n ancak ve ancak

Son olarak, bir polihedronun iki yüzünün kesişmemesi gerektiğine göre, önceki kısıtlama gevşetilirse, durumun çok daha karmaşık hale geldiği belirtilmelidir. Örneğin, aynı Euler karakteristiğine sahip iki homeomorfik olmayan çokyüzlülerin varlığı olasılığı vardır. Diğer topolojik özelliklerle ayırt edilmelidirler.

Dersin amacı:

Düzenli çokyüzlü kavramını tanıtın.
Düzenli çokyüzlü türlerini düşünün.
Problem çözme.
Konuya ilgi uyandırmak, geometrik bedenlerde güzelliği görmeyi öğretmek, mekansal hayal gücünün gelişimi.
Konular arası iletişim.

Görünürlük: tablolar, modeller.

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an. Dersin konusunu bildirin, dersin amaçlarını formüle edin.

II. Yeni materyal öğrenmek/

Düzenli bir çokyüzlü tanımı.

Bir polihedron aşağıdaki durumlarda düzenli olarak adlandırılır:

dışbükeydir;
tüm yüzleri birbirine eşit düzgün çokgenlerdir;
köşelerinin her birinde aynı sayıda kenar birleşir;
tüm dihedral açıları eşittir.

Tablo 1.Düzenli çokyüzlülerin bazı özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

yüz tipi	üstte düz köşe	Köşedeki çokyüzlü köşenin görünümü	Köşedeki düz açıların toplamı	AT	R	G	çokyüzlü adı
sağ üçgen	60º	3 taraflı	180º	4	6	4	düzenli tetrahedron
sağ üçgen	60º	4 taraflı	240º	6	12	8	düzenli oktahedron
sağ üçgen	60º	5 taraflı	300º	12	30	20	Düzenli ikosahedron
Meydan	90º	3 taraflı	270º	8	12	6	Düzenli altı yüzlü (küp)
sağ üçgen	108º	3 taraflı	324º	20	30	12	Düzenli dodekahedron

Çokyüzlü türlerini düşünün:

düzenli tetrahedron

<Рис. 1>

düzenli oktahedron

<Рис. 2>

Düzenli ikosahedron

<Рис. 3>

Düzenli altı yüzlü (küp)

<Рис. 4>

Düzenli dodekahedron

<Рис. 5>

Tablo 2. Düzenli çokyüzlülerin hacimlerini bulmak için formüller.

çokyüzlü türü	çokyüzlü hacmi
düzenli tetrahedron
düzenli oktahedron
Düzenli ikosahedron
Düzenli altı yüzlü (küp)
Düzenli dodekahedron

"Platonik katılar".

Bu muhteşem bedenleri başka nerede görebilirsiniz?

Ayrıca ilginçtir ki, biyologların virüslerin şekliyle ilgili anlaşmazlıklarında ilgi odağı haline gelen ikosahedron olmuştur. Virüs önceden düşünüldüğü gibi tam anlamıyla yuvarlak olamaz. Şeklini oluşturmak için çeşitli polihedronlar aldılar, onlara atomların virüse akışıyla aynı açılarda ışık yönlendirdiler. Yukarıda bahsedilen özelliklerin genetik bilginin saklanmasını mümkün kıldığı ortaya çıktı. Düzenli çokyüzlüler en karlı rakamlardır. Ve doğa bundan yararlanır. Düzenli polihedra, bazı kimyasalların kristal kafeslerinin şeklini belirler. Bir sonraki görev bu fikri gösterecek.

<Рис. 6>

AOC üçgeni ikizkenardır. Bu nedenle, a küpün kenarıdır, d, tetrahedronun yan yüzünün veya kenarının köşegeninin uzunluğudur. Yani, a = 54.73561 0 ve j = 109.47 0

<Рис. 7>

Bir görev. Küpün kenarı a.İçinde yazılı düzgün bir oktahedronun yüzeyini hesaplayın. Aynı küpte yazılı düzgün bir dörtyüzlü yüzeyi ile ilişkisini bulun.

<Рис. 8>

Çokyüzlü kavramının genelleştirilmesi.

Bir çokyüzlü, sonlu sayıda düzlem çokgen topluluğudur, öyle ki:

çokgenlerden herhangi birinin her bir kenarı aynı zamanda diğerinin bir kenarıdır (ancak bu kenar boyunca yalnızca bir tanesi (birincisine bitişik olarak adlandırılır);
polihedronu oluşturan çokgenlerin herhangi birinden, kendisine bitişik olana ve buradan da ona bitişik olana vb. geçerek herhangi birine ulaşılabilir.

Bu çokgenlere yüz, kenarlarına kenar ve köşelerine çokyüzlülerin köşeleri denir.

Aşağıdaki polihedronun tanımı, çokgenin nasıl tanımlandığına bağlı olarak farklı bir anlam kazanır:

- bir çokgen düz kapalı kırık çizgiler olarak anlaşılırsa (kendilerini kesseler bile), o zaman bu çokyüzlü tanımına gelirler;

Çokyüzlülerin en basit örnekleri prizmalar ve piramitlerdir.

Bir dışbükey çokyüzlü, yüzlerinden herhangi birinin düzleminin bir tarafında yer alan bir çokyüzlüdür. En önemlileri aşağıdaki dışbükey çokyüzlülerdir:

<Рис. 9>

düzenli çokyüzlüler (Platon'un katıları) - tüm yüzleri aynı düzenli çokgenler olan ve köşelerdeki tüm çokyüzlü açılar düzenli ve eşit olan bu tür dışbükey çokyüzlüler<Рис. 9, № 1-5>;
izogonlar ve izohedra - tüm çokyüzlü açıları eşit (izogonlar) veya tüm yüzlere eşit (izohedra) olan dışbükey çokyüzlüler; dahası, bir izogonun (izohedron) ağırlık merkezi etrafındaki dönüşleri (yansımalarla birlikte) grubu, köşelerinden (yüzlerinden) herhangi birini diğer köşelerinden (yüzlere) alır. Bu şekilde elde edilen çokyüzlülere yarı düzenli çokyüzlüler (Arşimet katıları) denir.<Рис. 9, № 10-25>;
paralelhedronlar (dışbükey) - gövdeler olarak kabul edilen, tüm sonsuz alanı doldurmanın mümkün olduğu, birbirlerine girmemeleri ve kendi aralarında boşluk bırakmamaları için çokyüzlüler, yani. bir uzay bölümü oluşturdu<Рис. 9, № 26-30>;
Bir çokgen ile düz kapalı kesik çizgiler kastediliyorsa (kendileriyle kesişiyor olsalar bile), o zaman dışbükey olmayan (yıldız şeklinde) 4 tane daha düzenli çokyüzlü (Poinsot gövdeleri) belirtilebilir. Bu çokyüzlülerde ya yüzler birbiriyle kesişir ya da yüzler kendi kendini kesen çokgenlerdir.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Ev ödevi.

IV. 279, 281 numaralı sorunları çözme.

V. Özetleme.

Kullanılan literatür listesi:

Düzenleyen “Matematiksel Ansiklopedi” I.M. Vinogradova, yayınevi “Sovyet Ansiklopedisi”, Moskova, 1985. Cilt 4, sayfa 552–553 Cilt 3, sayfa 708–711.
“Küçük Matematik Ansiklopedisi”, E. Fried, I. Papaz, I. Reiman ve diğerleri Macar Bilimler Akademisi Yayınevi, Budapeşte, 1976. Pp. 264-267.
M.I. tarafından düzenlenen iki kitapta “Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması”. Scanavi, kitap 2 - Geometri, yayınevi "Yüksek Okul", Moskova, 1998. Pp. 45-50.
“Matematikte pratik dersler: Teknik okullar için ders kitabı”, “Vysshaya Shkola” yayınevi, Moskova, 1979. Pp. 388–395, s. 405.
“Tekrar Matematik”, baskı 2-6, ek, Üniversitelere başvuranlar için ders kitabı, “Vysshaya Shkola” yayınevi, Moskova, 1974. Pp. 446-447.
Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü, A.P. Savin, yayınevi "Pedagoji", Moskova, 1989. Pp. 197–199.
“Çocuklar için ansiklopedi. T.P. Matematik”, genel yayın yönetmeni M.D. Akşenova; yöntem ve res. editör V. A. Volodin, Avanta+ yayınevi, Moskova, 2003. Pp. 338-340.
Geometri, 10-11: Eğitim kurumları için ders kitabı / LS Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - 10. baskı - M.: Eğitim, 2001. Pp. 68-71.
“Kvant” No. 9, 11 - 1983, No. 12 - 1987, No. 11, 12 - 1988, No. 6, 7, 8 - 1989. SSCB Bilimler Akademisi'nin popüler bilim fiziği ve matematik dergisi ve SSCB Pedagojik Bilimler Akademisi. "Bilim" yayınevi. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana baskısı. Sayfa 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Geometride artan karmaşıklık problemlerini çözme: 11. sınıf - M.: ARKTI, 2002. Pp. 9, 19-20.