İstatistikte boş hipotez: bir örnek. Boş hipotez testi
Hipotezlerin formülasyonu, araştırmacının varsayımlarını sistematize eder ve bunları açık ve özlü bir şekilde sunar. Araştırmacının vermesi gereken karar, istatistiksel hipotezin doğruluğu veya yanlışlığı ile ilgilidir. İki tür hipotez vardır: bilimsel ve istatistiksel. İlmi Bir hipotez, bir problem için önerilen bir çözümdür (teorem olarak ifade edilir). istatistiksel hipotez, genel popülasyonun bilinmeyen bir parametresi (rastgele bir değişkenin veya olayın özelliği) hakkında, ilişkinin güvenilirliğini test etmek için formüle edilmiş ve bilinen örnek istatistiklere (araştırma sonuçları, mevcut ampirik veriler) karşı doğrulanabilen bir ifadedir. ).
istatistiksel hipotezler sıfır ve alternatif, yönlü ve yönsüz olarak alt bölümlere ayrılmıştır. Boş hipotez (H 0) bu, farklılıkların yokluğu, bir faktörün etkisinin yokluğu, bir etkinin yokluğu vb. hakkında bir hipotezdir.. Farklılıkların önemini kanıtlama göreviyle karşı karşıya kalırsak, çürütülmesi gereken şey budur. Alternatif hipotez (H 1) farklılıkların önemi hakkında bir hipotezdir. Kanıtlanması gereken budur, bu yüzden bazen deneysel veya çalışan bir hipotez olarak adlandırılır.
kendini Bazı istatistiksel özelliklerin ve sıfır hipotezinin test edilmesine izin veren tahminlerin hesaplanmasından oluşan elde edilen nicel verileri işleme prosedürüne istatistiksel analiz denir..
Boş ve alternatif hipotezler yönlü veya yönsüz olabilir. Hipotez denir yönlendirilmiş farklılıkların yönünün bir göstergesini içeriyorsa. Bu tür hipotezler, örneğin, gruplardan birinde, deneklerin herhangi bir özellik için bireysel değerlerinin daha yüksek ve diğerinde daha düşük olması durumunda veya gruplardan birinde kanıtlanması gerektiğinde formüle edilmelidir. herhangi bir deneysel etkinin etkisi altında, diğer gruptan daha belirgin değişiklikler. Hipotez denir yönlü olmayan, ifadesi yalnızca farklılıkların veya farklılık olmayanların tanımını gerektiriyorsa (farkların yönünü belirtmeden). Örneğin ispat etmek gerekirse, iki farklı gruplarözelliğin dağılım biçimleri farklıdır.
Hipotez oluşturma örnekleri.
İstatistiksel bir hipotezin geçerliliğine karar vermek için kullanılan yönteme denir. hipotez testi. Hipotez testinin temel prensibi, boş hipotezin ortaya konmasıdır. H 0, onu çürütmeye çalışmak ve böylece alternatif hipotezi doğrulamak için H1.
Herhangi bir istatistiksel hipotezi test ederken, her zaman yanlış karar verme riski olduğundan, araştırmacının kararı hiçbir zaman kesin olarak verilmez.
Genellikle kullanılan örnekler küçüktür ve bu durumlarda hata olasılığı önemli olabilir. sözde var güven düzeyi (önem düzeyi) farklılıklar. Bu, farklılıkların önemli kabul edilme olasılığıdır, ancak aslında rastgeledir. Yani sapma olasılığı sıfır hipotezi, doğru iken.
Farklılıkların %5 anlamlılık düzeyinde veya p£0,05 düzeyinde anlamlı olduğu ifade edildiğinde, bunların anlamlı olmama olasılığının 0,05 (en düşük seviye) olduğu kastedilmektedir. İstatistiksel anlamlılık). Bir farkın %1 anlamlılık düzeyinde veya p£0.01 düzeyinde anlamlı olduğu belirtilirse, bu, sonuçta anlamlı olmama olasılığının 0,01 (yeterli bir istatistiksel anlamlılık düzeyi) olduğu anlamına gelir. Farklılıkların %0,1 anlamlılık düzeyinde veya p£0,001 düzeyinde anlamlı olduğu belirtilirse, bu, onların hâlâ anlamlı olmama olasılığının 0,001 olduğu anlamına gelir ( en yüksek seviyeİstatistiksel anlamlılık).
Reddetme kuralı H 0 ve kabul H 1:
Kriterin ampirik değeri, p £ 0.05'e karşılık gelen kritik değere eşit veya onu aşarsa, o zaman H 0 reddedildi, ancak henüz kesin olarak kabul edilmedi H1.
Kriterin ampirik değeri, p £ 0.01'e karşılık gelen kritik değere eşit veya onu aşarsa, o zaman H 0 reddedildi kabul edildi H1.
Karar kuralını görselleştirmek için "önem ekseni" denen şeyi kullanabilirsiniz.
Güven düzeyi aşılmadıysa, ortaya çıkan farkın gerçekten popülasyondaki durumu yansıtması muhtemel kabul edilebilir. Her istatistiksel yöntem için bu seviye, ilgili kriterlerin kritik değerlerinin dağılım tablolarında bulunabilir.
T - Öğrenci kriteri
Bu, normal dağılıma ve aynı varyansa sahip popülasyonlardaki nicel verileri analiz ederken ortalamalardaki farklılığın geçerliliğine ilişkin hipotezleri test etmek için kullanılan parametrik bir yöntemdir. Kontrol ve deney gruplarında ölçülen özelliğin ortalama rastgele değerlerinin karşılaştırılması durumunda iyi uygulanabilir, farklı cinsiyet ve yaş gruplarında, diğer farklı özelliklere sahip gruplar.
İstatistiksel hipotezleri kanıtlamak için Student t-testi de dahil olmak üzere parametrik yöntemlerin uygulanabilirliği için bir ön koşul, alt sıralamadır. ampirik dağılım normal dağılım yasasına incelenen özelliğin.
Öğrencinin yöntemi, bağımsız ve bağımlı örnekler için farklıdır.
Bağımsız iki farklı denek grubu (örneğin, kontrol ve deney grupları) çalışılarak örnekler elde edilir. İle bağımlıörnekler, örneğin, bağımsız değişkene maruz kalmadan önce ve sonra aynı denek grubunun sonuçlarını içerir.
Test edilen H 0 hipotezi, iki örneğin ortalamaları arasındaki farkın sıfıra ( = 0) eşit olmasıdır, başka bir deyişle, bu, araçların eşitliği () hakkındaki hipotezdir. Alternatif hipotez H 1, bu farkın sıfır olmadığı ( ¹ 0) veya örnek ortalamalarda bir fark olduğudur ().
Ne zaman bağımsız örnekler araçlardaki farkı analiz etmek için formül kullanılır: 
n 1 , n 2 > 30 için
ve formül 
n 1 , n 2 için< 30, где
İlk örneğin aritmetik ortalaması;
İkinci örneğin aritmetik ortalaması;
1 - ilk numune için standart sapma;
2 - ikinci numune için standart sapma;
n 1 ve n 2, birinci ve ikinci örneklerdeki eleman sayısıdır.
t'nin kritik değerini bulmak için serbestlik derecesi sayısını belirleriz:
n \u003d n 1 - 1 + n 2 - 1 \u003d (n 1 + n 2) - 2 \u003d n - 2.
Eğer |t em | > t cr, sonra boş hipotezi atarız ve alternatifi kabul ederiz, yani ortalamalardaki farkın güvenilir olduğunu düşünürüz. Eğer |t em |< t кр, то разница средних недостоверна.
Ne zaman bağımlı örnekler araçlardaki farkın güvenilirliğini belirlemek için aşağıdaki formül kullanılır: 
, nerede
d– her bir çiftteki sonuçlar arasındaki fark (х i – y i);
å d bu kısmi farkların toplamıdır;
å d2 kare kısmi farkların toplamıdır;
n veri çiftlerinin sayısıdır.
t kriterini belirlemek için bağımlı örnekler durumunda serbestlik derecesi sayısı n = n - 1'e eşit olacaktır.
Hipotezleri test etmek için hem parametrik hem de parametrik olmayan başka istatistiksel kriterler de vardır. Örneğin, Rastgele değişkenlerin dağılımlarındaki benzerlikleri ve farklılıkları yargılamaya izin veren matematiksel-istatistiksel bir kritere Fisher kriteri denir.
En genel haliyle, "korelasyon"un anlamı karşılıklı bir ilişkiyi ifade eder. Korelasyondan bahsetmişken, genellikle eşanlamlı olarak kullanılan "korelasyon" ve "korelasyon bağımlılığı" terimleri de kullanılır.
Altında korelasyon iki veya daha fazla özelliğin koordineli değişikliklerini anlamak, ör. bir özelliğin değişkenliği, diğerinin değişkenliği ile bir ölçüde örtüşmektedir.
korelasyon bağımlılığı bir özelliğin değerlerinin, başka bir özelliğin farklı değerlerinin ortaya çıkma olasılığında yaptığı değişikliklerdir.
Bu nedenle, özelliklerdeki koordineli değişiklikler ve bunlar arasındaki bunu yansıtan korelasyon, bu özelliklerin kendi aralarında bağımlılığını değil, bu özelliklerin her ikisinin de çalışmada dikkate alınmayan üçüncü bir özelliğe veya özellik kombinasyonuna bağımlılığını gösterebilir.
Hipotez testinde kullanılan terminolojiyi tanıyalım.
Ama - boş hipotez (şüphecinin hipotezi) bir hipotezdir hiçbir fark hakkında karşılaştırılan örnekler arasında Şüpheci, araştırma sonuçlarından elde edilen örnek tahminler arasındaki farkların rastgele olduğuna inanmaktadır.
· H 1 – alternatif bir hipotez (iyimser hipotezi), karşılaştırılan örnekler arasında farklılıkların varlığı hakkında bir hipotezdir. İyimser, örnek tahminler arasındaki farklılıkların nesnel nedenlerden kaynaklandığına ve farklılıklara karşılık geldiğine inanır. popülasyonlar
İstatistiksel hipotezlerin sınanması, yalnızca karşılaştırılan örneklerin unsurları bazılarını oluşturmak için kullanılabildiğinde mümkündür. değer(ölçüt), geçerlilik durumunda dağıtım yasası bilinen H 0 . Daha sonra, bu miktar için belirtilebilir güven aralığı, hangi verilen olasılık R d değerine ulaşır. Bu aralığa denir kritik bölge. Kriterin değeri kritik bölge içindeyse, H 0 hipotezi kabul edilir. Aksi takdirde H 1 hipotezi kabul edilir.
Tıbbi araştırmalarda P d = 0.95 veya P d = 0.99 kullanılır. Bu değerler karşılık gelir önem seviyeleri a = 0,05 veya a = 0,01.
İstatistiksel hipotezleri test ederken önem düzeyi(a) doğru olduğunda sıfır hipotezini reddetme olasılığıdır.
Özünde, hipotez test prosedürünün farklılıkları bulmaya yönelik yokluğunu onaylamak yerine. Kriter değeri kritik alanın ötesine geçtiğinde, saf bir kalple “şüpheci” diyebiliriz - peki, başka ne istiyorsunuz?! Fark olmasaydı, %95 (veya %99) olasılıkla hesaplanan değer belirtilen sınırlar içinde olurdu. Yani hayır!...
Eh, eğer kriterin değeri kritik bölgeye düşerse, o zaman H 0 hipotezinin doğru olduğuna inanmak için hiçbir sebep yoktur. Bu büyük olasılıkla iki olası nedenden birine işaret ediyor.
a) Örnek boyutları farklılıkları tespit edecek kadar büyük değil. Devam eden denemelerin başarı getirmesi muhtemeldir.
b) Farklılıklar vardır. Ancak o kadar küçüktürler ki pratik bir önemi yoktur. Bu durumda, deneylerin devamı mantıklı değildir.
Tıbbi araştırmalarda kullanılan bazı istatistiksel hipotezleri ele almaya devam edelim.
§ 3.6. Varyansların eşitliği ile ilgili hipotezlerin test edilmesi,
F - Fisher kriteri
Bazı klinik çalışmalarda, olumlu bir etkinin çok fazla kanıtlanmadığı kanıtlanmıştır. büyüklük incelenen parametre, ne kadar stabilizasyon, dalgalanmalarını azaltır. Bu durumda, bir örnek anketin sonuçlarına dayalı olarak iki genel varyansı karşılaştırma sorusu ortaya çıkar. Bu görev kullanılarak çözülebilir Fisher kriteri.
Sorunun formülasyonu
normal hukuk dağıtım. Örnek boyutları n 1 ve n 2 , ve örnek varyanslar sırasıyla eşittir. Karşılaştırılması gerekiyor genel farklılıklar.
Test edilen hipotezler:
H 0– genel dağılımlar aynıdır;
H1 - genel farklılıklar farklı.
Örnekler popülasyonlardan alınırsa gösterilir: normal hukuk dağılımı, o zaman eğer H 0 hipotezi doğruysa, örnek varyanslarının oranı Fisher dağılımına uyar. Bu nedenle, H 0'ın geçerliliğini kontrol etmek için bir kriter olarak, değer F, formülle hesaplanır
örnek varyanslar nerede.
Bu oran, payın n 1 = serbestlik derecesi sayısı ile Fisher dağılımına uyar. n 1 -1 ve paydanın serbestlik derecesi sayısı n 2 = n 2-1. Kritik bölgenin sınırları Fisher dağıtım tabloları kullanılarak veya FDISP bilgisayar işlevi kullanılarak bulunur.
Tabloda sunulan örnek için. 3.4, şunu elde ederiz: n 1 \u003d n 2 \u003d 20 - 1 \u003d 19; F = 2.16/4.05 = 0.53. a = 0.05'te, kritik bölgenin sınırları sırasıyla eşittir: F sol = 0.40, F sağ = 2.53.
Kriterin değeri kritik bölgeye düştü, bu nedenle H 0 hipotezi kabul edildi: örneklerin genel varyansları aynıdır.
§ 3.7. Araçların eşitliği ile ilgili hipotezlerin test edilmesi,
t-Öğrenci testi
Karşılaştırma sorunu orta olduğunda iki genel popülasyon ortaya çıkar. büyüklük incelenen özellik. Örneğin, iki farklı yöntemle tedavi süresini veya bunları kullanırken ortaya çıkan komplikasyon sayısını karşılaştırırken. Bu durumda Student t testi kullanılabilir.
Sorunun formülasyonu.
Popülasyonlardan iki örnek (X 1 ) ve (X 2 ) elde edilir. normal hukuk dağıtım ve eşit varyanslar. Örnek boyutları n 1 ve n 2 , örnek araçlar eşittir ve örnek varyanslar- , sırasıyla. Karşılaştırılması gerekiyor genel ortalamalar.
Test edilen hipotezler:
H 0– genel ortalamalar aynıdır;
H1 - genel ortalamalar farklı.
H 0 hipotezinin geçerliliği durumunda, değerin t, formülle hesaplanır
, (3.10)
Serbestlik derecesi sayısı ile Öğrenci yasasına göre dağıtılır n= n 1 + n 2 - 2.
Burada n 1 = n 1 - 1 - ilk numune için serbestlik derecesi sayısı; n2 = n 2 – 1, ikinci örnek için serbestlik derecesi sayısıdır.
Kritik bölgenin sınırları tablolardan bulunur. t-dağıtım veya bilgisayar fonksiyonu STUDRASP yardımıyla. Student dağılımı sıfır civarında simetriktir, bu nedenle kritik bölgenin sol ve sağ sınırları mutlak değerde aynıdır ve işarette zıttır: - t gr ve t gr.
Tabloda sunulan örnek için. 3.4, şunu elde ederiz: n 1 \u003d n 2 \u003d 20 - 1 \u003d 19; t= –2.51, n= 38. a = 0.05 tgr = 2.02'de.
Kriterin değeri kritik bölgenin sol sınırının ötesine geçer, bu nedenle H 1: genel ortalamalar hipotezini kabul ederiz. farklı. Aynı zamanda, genel nüfusun ortalaması ilk örnek az.
İSTATİSTİKSEL KONTROL
İstatistiksel hipotez kavramı.
Hipotez türleri. Birinci ve ikinci tür hatalar
Hipotez- bu, incelenen fenomenlerin bazı özellikleri hakkında bir varsayımdır. Altında istatistiksel hipotez Rastgele bir örneklemdeki gözlemlerin sonuçlarına dayanarak, istatistiksel olarak doğrulanabilen genel popülasyon hakkında herhangi bir ifadeyi anlayın. İki tür istatistiksel hipotez düşünülür: hipotezler dağıtım yasaları hakkında genel nüfus ve hipotezler parametreler hakkında bilinen dağılımlar
Bu nedenle, aynı adı taşıyan ve yaklaşık olarak aynı teknik ve ekonomik üretim koşullarına sahip olan bir grup makine atölyesinde bir makine aksamını monte etmek için harcanan zamanın normal yasaya göre dağıldığı hipotezi, kanunla ilgili bir hipotezdir. dağıtım. Ve aynı koşullarda aynı işi yapan iki takımdaki işçilerin üretkenliklerinin farklı olmadığı hipotezi (her takımdaki işçilerin üretkenliği normal bir dağılım yasasına sahipken) dağılım parametreleriyle ilgili bir hipotezdir.
Test edilecek hipotez denir hükümsüz, veya temel, ve belirtilen H 0 . Sıfır hipotezi karşı çıkıyor rekabet veya alternatif olan hipotez, H bir . Kural olarak, rekabet eden hipotez H 1 ana hipotezin mantıksal bir olumsuzlamasıdır H 0.
Boş hipoteze bir örnek, normal olarak dağılmış iki popülasyonun araçlarının eşit olması olabilir, o zaman rekabet eden hipotez, araçların eşit olmadığı varsayımından oluşabilir. Sembolik olarak şöyle yazılır:
H 0: M(X) = M(Y); H 1: M(X) M(Y) .
Boş (önerilen) hipotez reddedilirse, rekabet eden bir hipotez vardır.
Basit ve karmaşık hipotezler vardır. Bir hipotez yalnızca bir varsayım içeriyorsa, o zaman - basit hipotez. karmaşık bir hipotez, sonlu veya sonsuz sayıda basit hipotezden oluşur.
Örneğin, hipotez H 0: p = p 0 (bilinmeyen olasılık p varsayımsal olasılığa eşit p 0 ) basittir ve hipotez H 0: p < p 0 - karmaşık, formun sayısız basit hipotezinden oluşur H 0: p = p i, nerede p i- herhangi bir sayıdan küçük p 0 .
Önerilen istatistiksel hipotez doğru veya yanlış olabilir, bu nedenle Doğrulayın rastgele bir örneklemdeki gözlemlerin sonuçlarına dayanarak; doğrulama yapılır istatistiksel yöntemler, bu yüzden istatistiksel olarak adlandırılır.
İstatistiksel bir hipotezi test ederken, özel olarak oluşturulmuş bir rastgele değişken kullanılır. istatistiksel kriter(veya İstatistik). Hipotezin doğruluğu (veya yanlışlığı) hakkında kabul edilen sonuç, bu rastgele değişkenin örnek verilere göre dağılımının çalışmasına dayanmaktadır. Bu nedenle, hipotezlerin istatistiksel olarak test edilmesi, doğası gereği olasılıksaldır: bir hipotezi kabul ederken (reddederken) her zaman bir hata yapma riski vardır. Bu durumda, iki tür hata mümkündür.
Tip I hatası sıfır hipotezinin gerçekte doğru olmasına rağmen reddedileceğidir.
Tip II hata Rakip olan aslında doğru olmasına rağmen sıfır hipotezinin kabul edileceğidir.
Çoğu durumda, bu hataların sonuçları eşit değildir. Neyin daha iyi ya da daha kötü olduğu, problemin özel formülasyonuna ve sıfır hipotezinin içeriğine bağlıdır. Örnekleri düşünün. İşletmede ürünlerin kalitesinin seçici kontrol sonuçlarıyla değerlendirildiğini varsayalım. Örnek evlilik fraksiyonu önceden belirlenmiş bir değeri aşmıyorsa p 0 , daha sonra parti kabul edilir. Başka bir deyişle, boş hipotez ileri sürülür: H 0: p p 0 . Bu hipotezi test ederken bir Tip I hata yapılırsa, iyi ürünü reddedeceğiz. İkinci tür bir hata yapılırsa, ret tüketiciye gönderilir. Açıkçası, Tip II hatanın sonuçları çok daha ciddi olabilir.
Bir başka örnek de hukuk alanından verilebilir. Yargıçların çalışmalarını, sanığın masumiyet karinesini doğrulamak için yapılan eylemler olarak ele alacağız. Test edilecek ana hipotez hipotezdir. H 0 : sanık masumdur. Daha sonra alternatif hipotez H 1 hipotez şudur: sanık bir suçtan suçludur. Mahkemenin sanığı cezalandırırken birinci veya ikinci tür hatalar yapabileceği açıktır. Birinci türden bir hata yapılırsa, bu, mahkemenin masumu cezalandırdığı anlamına gelir: sanık, aslında suç işlemediği halde hüküm giymiştir. Yargıçlar ikinci tür bir hata yaptıysa, bu, aslında sanık bir suçtan suçluyken, mahkemenin suçsuz olduğuna dair bir karar verdiği anlamına gelir. Açıktır ki, birinci tür bir hatanın sonuçları sanık için çok daha ciddi olurken, toplum için ikinci tür bir hatanın sonuçları en tehlikelidir.
olasılık işlemek hata birinci tür aranan önem düzeyi kriterler ve belirtmek.
Çoğu durumda, kriterin anlamlılık düzeyi 0,01 veya 0,05 olarak alınır. Örneğin, anlamlılık düzeyi 0,01 olarak alınırsa, bu, yüzde bir durumda bir tip I hata yapma (yani, doğru boş hipotezi reddetme) riskinin olduğu anlamına gelir.
olasılık işlemek tip II hata belirtmek. olasılık 
Tip II hata yapmamak, yani yanlış olduğunda boş hipotezi reddetmek denir. kriterin gücü.
İstatistiksel kriter.
Kritik alanlar
İstatistiksel bir hipotez, kesin veya yaklaşık dağılımı bilinen özel olarak seçilmiş bir rastgele değişken kullanılarak test edilir (bunu şu şekilde belirtiriz: İle). Bu rastgele değişken denir istatistiksel kriter(ya da sadece kriter).
Uygulamada kullanılan çeşitli istatistiksel kriterler vardır: sen- ve Z-kriter (bu rastgele değişkenler normal bir dağılıma sahiptir); F-kriter ( rastgele değer Fisher-Snedekor yasasına göre dağıtılır); t- kriter (Öğrenci yasasına göre); - kriter ("ki-kare" yasasına göre), vb.
Kriterin tüm olası değerleri kümesi, örtüşmeyen iki alt kümeye ayrılabilir: bunlardan biri, sıfır hipotezinin kabul edildiği kriterin değerlerini, diğeri ise reddedildiği kriterleri içerir.
Sıfır hipotezinin reddedildiği test değerleri kümesine denir. kritik bölge. Kritik bölgeyi şu şekilde belirteceğiz W.
Sıfır hipotezinin kabul edildiği ölçüt değerleri kümesine denir. hipotez kabul alanı(veya kriterin kabul edilebilir değer aralığı). Bu alana şu şekilde değineceğiz: 
.
Boş hipotezin geçerliliğini test etmek için örnek verilere göre gözlenen kriter değeri. onu belirteceğiz İle obs.
İstatistiksel hipotezleri test etmenin temel ilkesi aşağıdaki gibi formüle edilebilir: kriterin gözlenen değeri kritik bölgeye düşerse (yani, 
), sonra boş hipotez reddedilir; kriterin gözlenen değeri hipotezi kabul etme alanına girerse (yani, 
), o zaman boş hipotezi reddetmek için hiçbir neden yoktur.
Kritik bir bölge inşa edilirken hangi ilkelere uyulmalıdır? W ?
Varsayalım ki hipotez H 0
aslında doğrudur. Daha sonra kritere ulaşmak 
İstatistiksel hipotezleri test etmenin temel ilkesi sayesinde kritik bölgeye girmek, doğru hipotezin reddedilmesini gerektirir. H 0
, bu da Tip I hatası yapmak anlamına gelir. Bu nedenle, çarpma olasılığı 
bölgeye W hipotez doğruysa H 0
kriterin anlamlılık düzeyine eşit olmalıdır, yani.
.
Tip I hata yapma olasılığının yeterince küçük seçildiğine dikkat edin (kural olarak, 
). Daha sonra kritere ulaşmak 
kritik bölgeye W hipotez doğruysa H 0
neredeyse imkansız bir olay olarak kabul edilebilir. Örnekleme verilerine göre, olay 
yine de gerçekleşti, o zaman hipotezle uyumsuz olarak kabul edilebilir. H 0
(sonuç olarak reddedilir), ancak hipotezle uyumludur H 1
(ki sonunda kabul edilir).
Şimdi varsayımın doğru olduğunu varsayalım. H 1
. Daha sonra kritere ulaşmak 
hipotezin kabul alanına 
yanlış bir hipotezin benimsenmesine yol açar H 0
bu da Tip II hata yapmak anlamına gelir. Bu yüzden 
.
olaylardan beri 
ve 
karşılıklı olarak zıt ise, o zaman kritere ulaşma olasılığı 
kritik bölgeye W hipotez varsa kriterin gücüne eşit olacaktır H 1
doğru, yani
.
Açıkçası, kritik bölge, belirli bir önem düzeyinde, kriterin gücü olacak şekilde seçilmelidir. 
maksimum oldu. Testin gücünü maksimize etmek, Tip II hata yapma olasılığını minimuma indirecektir.
Önemlilik düzeyinin değeri ne kadar küçük olursa olsun, kritik bölgeye düşen kriterin yalnızca olası olmayan bir olay olduğu, ancak kesinlikle imkansız olmadığı belirtilmelidir. Bu nedenle, gerçek bir sıfır hipotezi ile, örnek verilerden hesaplanan kriterin değerinin kritik bölgede kalması mümkündür. Bu durumda hipotezi reddetmek H 0 , olasılıklı bir Tip I hata yaparız . Ne kadar küçükse, Tip I hatası yapma olasılığı o kadar düşüktür. Bununla birlikte, bir azalma ile kritik bölge azalır, bu da gözlemlenen değerin içine düşmesinin daha az olası olduğu anlamına gelir. İle obs, hipotez olsa bile H 0 Hata. =0 hipotezinde H 0 numune sonuçları ne olursa olsun her zaman kabul edilecektir. Bu nedenle, bir azalma, yanlış bir sıfır hipotezini kabul etme, yani bir Tip II hata yapma olasılığında bir artışa neden olur. Bu anlamda, birinci ve ikinci tür hatalar rekabet halindedir.
Birinci ve ikinci türden hataları dışlamak imkansız olduğundan, en azından her bir özel durumda bu hatalardan kaynaklanan kayıpları en aza indirmek için çaba sarf etmek gerekir. Elbette her iki hatayı da aynı anda azaltmak arzu edilir, ancak rekabet halinde oldukları için birini yapma olasılığının azalması diğerini yapma olasılığının artmasına neden olur. Tek yol eşzamanlı azalmak hata riski yatıyor örnek boyutunu artırmak.
Rakip hipotezin türüne bağlı olarak H 1
Inşa ediliyorlar tek taraflı (sağ taraflı ve sol taraflı) ve iki taraflı kritik bölgeler. Kritik bölgeyi ayıran noktalar 
hipotezin kabul edildiği alandan 
, aranan kritik noktalar ve belirtmek k Girit. İçin kritik bölgeyi bulma kritik noktaları bilmeniz gerekir.
sağ el kritik bölge eşitsizlik ile tanımlanabilir 
İle>k Girit. pr, burada doğru kritik noktanın olduğu varsayılır k Girit. pr >0. Böyle bir bölge, kritik noktanın sağ tarafında bulunan noktalardan oluşur. k Girit. pr, yani, kriterin bir dizi pozitif ve yeterince büyük değerlerini içerir. İLE. Bulmak için k Girit. pr önce kriterin anlamlılık düzeyini belirler. Ardından, doğru kritik nokta k Girit. pr koşulundan bulunur. Bu gereksinim neden tam olarak sağ elini kullanan bir kritik bölgeyi tanımlar? Bir olayın olasılığı olduğundan (İLE>k Girit. vb )
küçük ise, olası olmayan olayların pratik olarak imkansızlığı ilkesi nedeniyle, tek bir denemede sıfır hipotezi doğruysa bu olay meydana gelmemelidir. Yine de geldiyse, yani örneklerin verilerinden hesaplanan kriterin gözlenen değeri 
daha fazla olduğu ortaya çıktı k Girit. pr, bu, boş hipotezin gözlemsel verilerle tutarlı olmadığı ve bu nedenle reddedilmesi gerektiği gerçeğiyle açıklanabilir. Böylece gereksinim 
sıfır hipotezinin reddedildiği kriterin bu tür değerlerini belirler ve sağ kritik bölgeyi oluştururlar.
Eğer 
kriterin kabul edilebilir değerleri aralığına düştü 
, yani 
<
k Girit. pr, o zaman ana hipotez reddedilmez, çünkü gözlemsel verilerle uyumludur. Kriterlere ulaşma olasılığına dikkat edin. 
kabul edilebilir değerler aralığında 
sıfır hipotezi doğruysa, (1-)'e eşittir ve 1'e yakındır.
Unutulmamalıdır ki kriter değerlerinin isabeti 
kabul edilebilir değerler aralığına girmek, boş hipotezin geçerliliğinin kesin bir kanıtı değildir. Yalnızca önerilen hipotez ile numunenin sonuçları arasında önemli bir farklılık olmadığını gösterir. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, gözlemsel verilerin sıfır hipotezi ile tutarlı olduğunu ve reddetmek için bir neden olmadığını söylüyoruz.
Diğer kritik bölgeler de benzer şekilde inşa edilmiştir.
Yani, bensol taraf kritik bölge eşitsizlik ile tanımlanır 
İle<k Girit. ben, nerede k kritik.l<0.
Такая область состоит из точек, находящихся
по левую сторону от левой критической
точки k crit.l, yani, kriterin negatif, ancak yeterince büyük modülo değerleri kümesidir. kritik nokta k crit.l koşuldan bulunur 
(İle<k Girit. ben) 
, yani kriterin değerinden daha küçük bir değer alma olasılığı k crit.l, sıfır hipotezi doğruysa, kabul edilen anlamlılık düzeyine eşittir.
iki taraflı kritik bölge 
aşağıdaki eşitsizliklerle tanımlanır: ( İle<
k kritik.l veya İle>k Girit. pr), olduğu varsayıldığında k kritik.l<0
и k Girit. pr >0. Böyle bir alan, kriterin yeterince büyük modülo değerleri kümesidir. Kritik noktalar gereksinimden bulunur: Kriterin değerinden daha düşük bir değer alacağı olasılıkların toplamı. k Girit. l veya daha fazla k Girit. pr, sıfır hipotezi doğruysa, yani kabul edilen anlamlılık düzeyine eşit olmalıdır.
(İLE<
k Girit. ben )+
(İLE>k Girit. vb )=
.
Kriter dağılımı ise İle orijine göre simetrik, o zaman kritik noktalar sıfıra göre simetrik olarak yerleştirilecektir, yani k Girit. ben = - k Girit. vb. Sonra iki taraflı kritik bölge simetrik hale gelir ve aşağıdaki eşitsizlikle tanımlanabilir: > k Girit. dw, nerede k Girit. dw = k Girit. pr Kritik nokta k Girit. dw koşulundan bulunabilir
P(K< -k Girit. dvd )=P(K>k Girit. dvd )= .
Açıklama 1. Her kriter için İle belirli bir önem düzeyinde kritik noktalar 
durumundan bulunabilir 
sadece sayısal olarak. Sayısal hesaplamaların sonuçları
k ilgili tablolarda verilmiştir (örneğin, "Ekler" dosyasındaki ek 4 - 6'ya bakınız).
Açıklama 2. Yukarıda açıklanan istatistiksel bir hipotezi test etme ilkesi, henüz onun doğruluğunu veya yanlışlığını kanıtlamaz. Hipotezin Kabulü H 0 karşılaştırıldı alternatif hipotez ile H 1 hipotezin mutlak doğruluğundan emin olduğumuz anlamına gelmez. H 0 - sadece bir hipotez H 0 sahip olduğumuz gözlemsel verilerle aynı fikirdedir, yani deneyimle çelişmeyen oldukça makul bir ifadedir. Örneklem büyüklüğünün artmasıyla mümkün n hipotez H 0 reddedilecektir.
5. Uygulanan istatistiklerin ana sorunları - veri tanımı, hipotezlerin tahmini ve test edilmesi
Hipotez Testinde Kullanılan Anahtar Kavramlar
İstatistiksel hipotez - rastgele değişkenlerin (elemanların) bilinmeyen dağılımına ilişkin herhangi bir varsayım. İşte birkaç istatistiksel hipotezin formülasyonları:
1. Gözlemlerin sonuçları normal dağılım sıfır ile matematiksel beklenti.
2. Gözlem sonuçlarının bir dağılım işlevi vardır N(0,1).
3. Gözlem sonuçları normal bir dağılıma sahiptir.
4. İki bağımsız numunedeki gözlemlerin sonuçları aynı normal dağılıma sahiptir.
5. İki bağımsız örneklemdeki gözlemlerin sonuçları aynı dağılıma sahiptir.
Boş ve alternatif hipotezler vardır. Boş hipotez, test edilecek hipotezdir. Alternatif bir hipotez, boş hipotez dışındaki her geçerli hipotezdir. Sıfır hipotezi 0 , alternatif - H1(Hipotezden - “hipotez” (İngilizce)).
Bir veya daha fazla boş veya alternatif hipotezin seçimi, yönetici, ekonomist, mühendis, araştırmacının karşılaştığı uygulamalı görevlerle belirlenir. Örnekleri düşünün.
Örnek 11. Boş hipotez, yukarıdaki listeden hipotez 2 ve alternatif hipotez hipotez 1 olsun. Bu, gerçek durumun, gözlem sonuçlarının bağımsız özdeş dağıtılmış rastgele değişkenlerin gerçekleşmeleri olarak kabul edildiği bir olasılık modeli tarafından tanımlandığı anlamına gelir. dağıtım fonksiyonu ile N(0,σ), burada σ parametresi istatistikçi tarafından bilinmiyor. Bu modelde sıfır hipotezi şu şekilde yazılır:
H 0: σ = 1,
ve bunun gibi bir alternatif:
H 1: σ ≠ 1.
Örnek 12. Boş hipotez yukarıdaki listedeki hipotez 2 olsun ve alternatif hipotez aynı listedeki hipotez 3 olsun. Daha sonra, yönetimsel, ekonomik veya üretim durumunun olasılıklı bir modelinde, gözlem sonuçlarının normal dağılımdan bir örnek oluşturduğu varsayılır. N(m, σ) bazı değerler için m ve σ. Hipotezler şöyle yazılır:
H 0: m= 0, σ = 1
(her iki parametre de sabit değerler alır);
H 1: m≠ 0 ve/veya σ ≠ 1
(yani ya m≠ 0 veya σ ≠ 1 veya her ikisi m≠ 0 ve σ ≠ 1).
Örnek 13İzin vermek H 0, yukarıdaki listeden hipotez 1'dir ve H 1 - aynı listeden hipotez 3. O zaman olasılık modeli, örnek 12'deki ile aynıdır,
H 0: m= 0, σ keyfidir;
H 1: m≠ 0, σ keyfidir.
Örnek 14İzin vermek H 0, yukarıdaki listeden hipotez 2'dir ve buna göre H 1 gözlemsel sonucun bir dağıtım işlevi vardır F(x), standart normal dağılım işleviyle eşleşmiyor F(x). O zamanlar
H 0: F(x) = F(x) hepsi için X(olarak yazılır F(x) ≡ F(x));
H 1: F(x 0) ≠ F (x 0) bazı x 0(yani bu doğru değil F(x) ≡ F(x)).
Not. Burada ≡, fonksiyonların aynı tesadüfünün işaretidir (yani, argümanın tüm olası değerleri için tesadüf X).
Örnek 15İzin vermek H 0, yukarıdaki listeden hipotez 3'tür ve buna göre H 1 gözlemsel sonucun bir dağıtım işlevi vardır F(x), normal olmamak. O zamanlar
Bazı m, σ;
H 1: herhangi biri için m, σ var x 0 = x 0(m, σ) öyle ki 
.
Örnek 16İzin vermek H 0 - yukarıdaki listeden hipotez 4, olasılık modeline göre, dağılım fonksiyonlarına sahip popülasyonlardan iki örnek alınır F(x) ve G(x), parametrelerle normal olan m 1 , σ 1 ve m 2 , σ 2 sırasıyla ve H 1 - olumsuzlama H 0 . O zamanlar
H 0: m 1 = m 2 , σ 1 = σ 2 , ve m 1 ve σ 1 keyfidir;
H 1: m 1 ≠ m 2 ve/veya σ 1 ≠ σ 2 .
Örnek 17.Örnek 16'nın koşulları altında ayrıca σ 1 = σ 2 olduğu bilinsin. O zamanlar
H 0: m 1 = m 2 , σ > 0 ve m 1 ve σ keyfidir;
H 1: m 1 ≠ m 2 , σ > 0.
Örnek 18.İzin vermek H 0 - yukarıdaki listeden hipotez 5, olasılık modeline göre, dağılım fonksiyonlarına sahip popülasyonlardan iki örnek alınır F(x) ve G(x) sırasıyla ve H 1 - olumsuzlama H 0 . O zamanlar
H 0: F(x) ≡ G(x) , nerede F(x)
H 1: F(x) ve G(x) keyfi dağıtım fonksiyonlarıdır ve
F(x) ≠ G(x) bazılarıyla X.
Örnek 19.Örnek 17'nin koşullarında ayrıca dağıtım fonksiyonlarının F(x) ve G(x) sadece vardiyada farklılık gösterir, yani. G(x) = F(x- a) bazı a. O zamanlar
H 0: F(x) ≡ G(x) ,
nerede F(x) keyfi bir dağıtım işlevidir;
H 1: G(x) = F(x- a), bir ≠ 0,
nerede F(x) keyfi bir dağıtım işlevidir.
Örnek 20.Örnek 14'ün koşullarında, durumun olasılık modeline göre ayrıca bilindiği gibi F(x) birim varyanslı bir normal dağılım fonksiyonudur, yani forma sahip N(m, bir). O zamanlar
H 0: m = 0 (şunlar. F(x) = F(x)
hepsi için X); (olarak yazılır F(x) ≡ F(x));
H 1: m ≠ 0
(yani bu doğru değil F(x) ≡ F(x)).
Örnek 21. Teknolojik, ekonomik, yönetsel veya diğer süreçlerin istatistiksel olarak düzenlenmesinde, normal dağılıma ve bilinen varyansa sahip bir popülasyondan alınan bir örneklem ve hipotezler düşünün.
H 0: m = m 0 ,
H 1: m= m 1 ,
parametre değeri nerede m = m 0 sürecin yerleşik seyrine ve geçiş sürecine karşılık gelir. m= m 1 bir bozulmayı gösterir.
Örnek 22.İstatistiksel kabul kontrolü ile numunedeki kusurlu ürün birimlerinin sayısı hipergeometrik bir dağılıma uyar, bilinmeyen parametre p = D/ N kusur seviyesidir, burada N- ürün partisinin hacmi, D – toplam sayısı bir partideki kusurlu ürünler. Düzenleyici, teknik ve ticari belgelerde (standartlar, tedarik sözleşmeleri vb.) kullanılan kontrol planları genellikle bir hipotezi test etmeyi amaçlar.
H 0: p < AQL
H 1: p > LQ,
nerede AQL - kusurluluğun kabul seviyesi, LQ kusurların kusurluluk seviyesidir (tabii ki, AQL < LQ).
Örnek 23. Teknolojik, ekonomik, yönetsel veya diğer bir sürecin istikrarının göstergeleri olarak, kontrollü göstergelerin dağılımının bir takım özellikleri, özellikle de varyasyon katsayısı kullanılır. v = σ/ M(X). Sıfır hipotezini test etme ihtiyacı
H 0: v < v 0
alternatif hipotez altında
H 1: v > v 0 ,
nerede v 0 önceden belirlenmiş bir sınır değeridir.
Örnek 24.İki örneğin olasılık modeli Örnek 18'deki ile aynı olsun, birinci ve ikinci örneklerdeki gözlem sonuçlarının matematiksel beklentilerini belirtelim. M(X) ve M(saat) sırasıyla. Bazı durumlarda sıfır hipotezi test edilir.
H 0: M(X) = M(Y)
alternatif hipoteze karşı
H 1: M(X) ≠ M(Y).
Örnek 25. Yukarıda not edildi büyük önem içinde matematiksel istatistik 0'a göre simetrik olan dağıtım fonksiyonları. Simetriyi kontrol ederken
H 0: F(- x) = 1 – F(x) hepsi için x, aksi halde F keyfi;
H 1: F(- x 0 ) ≠ 1 – F(x 0 ) bazı x 0 , aksi halde F keyfi.
Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde, istatistiksel hipotezleri test etmek için birçok başka problem formülasyonu da kullanılır. Bazıları aşağıda tartışılmaktadır.
Eğer boş ve alternatif hipotezler verilirse, istatistiksel bir hipotezi test etmenin özel görevi tam olarak açıklanmıştır. İstatistiksel bir hipotezi test etmek için bir yöntemin seçimi, yöntemlerin özellikleri ve özellikleri hem boş hem de alternatif hipotezler tarafından belirlenir. Aynı sıfır hipotezini farklı alternatif hipotezler altında test etmek için, genel olarak konuşursak, farklı yöntemler kullanılmalıdır. Dolayısıyla, örnek 14 ve 20'de, sıfır hipotezi aynıdır, alternatif olanlar farklıdır. Bu nedenle, örnek 14'ün koşullarında, parametrik bir aileye (Kolmogorov tipi veya omega-kare tipi) sahip uygunluk kriterlerine dayalı yöntemler ve örnek 20'nin koşullarında Student testi veya Cramer-Welch testine dayalı yöntemler kullanılmalıdır. Örnek 14'ün koşullarında Öğrenci kriteri kullanılırsa, o zaman belirlenen görevleri çözmeyecektir. Örnek 20'nin koşullarında, Kolmogorov tipi bir uyum iyiliği kriteri kullanırsak, o zaman, tam tersine, bu durum, Öğrenci'nin bu durum için özel olarak uyarlanmış kriterinden belki de daha kötü olmasına rağmen, belirlenen görevleri çözecektir.
Gerçek verileri işlerken, doğru hipotez seçimi büyük önem taşımaktadır. H 0 ve H bir . Dağılımın normalliği gibi yapılan varsayımlar dikkatli bir şekilde gerekçelendirilmelidir, özellikle, istatistiksel yöntemler. Belirli uygulanan ayarların büyük çoğunluğunda, gözlem sonuçlarının dağılımının normalden farklı olduğuna dikkat edin.
Boş hipotezin biçimi, uygulanan problemin formülasyonundan sonra geldiğinde ve alternatif hipotezin biçimi net olmadığında genellikle bir durum ortaya çıkar. Bu gibi durumlarda, alternatif bir hipotez düşünülmelidir. Genel görünüm ve sorunu mümkün olan her şey için çözen yöntemler kullanın. H bir . Özellikle, hipotez 2'yi (yukarıdaki listeden) boş olarak test ederken, alternatif bir hipotez olarak kullanılmalıdır. H Alternatif hipotez altında gözlem sonuçlarının dağılımının normalliği için özel bir gerekçe yoksa, örnek 14'ten 1, örnek 20'den değil.
| Öncesi |
Toplananlara göre istatistiksel çalışmalar işlendikten sonra veriler, incelenen fenomenler hakkında sonuçlar çıkarılır. Bu sonuçlar, istatistiksel hipotezler ileri sürülerek ve test edilerek yapılır.
istatistiksel hipotez Deneyde gözlenen rastgele değişkenlerin dağılımının şekli veya özellikleri ile ilgili herhangi bir ifadeye denir. İstatistiksel hipotezler istatistiksel yöntemlerle test edilir.
Test edilecek hipotez denir ana (sıfır) ve belirtilen H 0 . Sıfıra ek olarak, alternatif (rakip) hipotez H 1, ana olanı reddetmek . Böylece test sonucunda hipotezlerden sadece biri kabul edilmiş olacaktır. , ve ikincisi reddedilecektir.
Hata türleri. Öne sürülen hipotez, genel popülasyondan elde edilen bir örneklem çalışması temelinde test edilir. Numunenin rastgele olması nedeniyle, test her zaman doğru sonucu çıkarmaz. Bu durumda, aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:
1. Ana hipotez doğrudur ve kabul edilir.
2. Ana hipotez doğrudur, ancak reddedilir.
3. Ana hipotez doğru değildir ve reddedilir.
4. Ana hipotez doğru değil ama kabul ediliyor.
2. durumda, biri konuşuyor birinci tür hata, ikinci durumda ikinci tür hata.
Böylece, bazı örnekler için doğru karar verilirken, diğerleri için yanlış karar verilir. Karar, adı verilen bazı örnekleme fonksiyonunun değerine göre verilir. istatistiksel karakteristik
, istatistiksel kriter ya da sadece İstatistik. Bu istatistiğin değer kümesi, örtüşmeyen iki alt kümeye ayrılabilir:
- H 0 kabul edilir (reddedilmez), denir hipotez kabul alanı (izin verilen alan);
- hipotezin olduğu istatistik değerlerinin alt kümesi H 0 reddedilir (reddedilir) ve hipotez kabul edilir H 1 denir kritik bölge.
Sonuçlar:
- kriter H0 boş hipotezini kabul etmenize veya reddetmenize izin veren rastgele değişken K olarak adlandırılır.
- Hipotezler test edilirken 2 çeşit hata yapılabilir.
Tip I hatası hipotezi reddetmektir H 0 doğruysa ("hedefi atla"). Tip I hata yapma olasılığı α ile gösterilir ve önem düzeyi. Çoğu zaman pratikte α = 0.05 veya α = 0.01 olduğu varsayılır.
Tip II hata yanlışsa ("yanlış pozitif") H0 hipotezinin kabul edilmesidir. Bu tür bir hatanın olasılığı β ile gösterilir.
hipotez sınıflandırması
Ana hipotez H 0, dağılımın bilinmeyen q parametresinin değeri hakkında genellikle şöyle görünür:H 0: q \u003d q 0.
rekabet hipotezi H 1 şöyle görünebilir:
H 1: q < q 0 , H 1:q> q 0 veya H 1: q ≠ q 0 .
Buna göre, ortaya çıkıyor sol taraf, sağ taraf veya iki taraflı kritik alanlar. Kritik bölgelerin sınır noktaları ( kritik noktalar) ilgili istatistiklerin dağılım tablolarından belirlenir.
Bir hipotezi test ederken, yanlış karar verme olasılığını azaltmak mantıklıdır. İzin Verilen Tip I Hata Olasılığı genellikle belirtilir a ve aradı önem düzeyi. Değeri genellikle küçüktür ( 0,1, 0,05, 0,01, 0,001
...). Ancak tip 1 hata olasılığındaki bir azalma, tip 2 hata olasılığında bir artışa yol açar ( b), yani sadece doğru hipotezleri kabul etme arzusu, reddedilen doğru hipotezlerin sayısında bir artışa neden olur. Bu nedenle, önem düzeyi seçimi, ortaya çıkan sorunun önemi ve yanlış bir kararın sonuçlarının ciddiyeti ile belirlenir.
İstatistiksel bir hipotezi test etmek aşağıdaki adımlardan oluşur:
1) hipotezlerin tanımı H 0 ve H 1 ;
2) istatistiklerin seçimi ve önem düzeyinin atanması;
3) tanım kritik noktalar k cr ve kritik alan;
4) örnekten istatistik değerinin hesaplanması eski;
5) istatistik değerinin kritik bölge ile karşılaştırılması ( k cr ve eski);
6) karar verme: istatistiğin değeri kritik bölgeye dahil değilse, hipotez kabul edilir H 0 ve hipotezi reddet H 1 ve kritik bölgeye girerse, hipotez reddedilir. H 0 ve hipotez kabul edildi H bir . Aynı zamanda, istatistiksel hipotezin test edilmesinin sonuçları şu şekilde yorumlanmalıdır: hipotez kabul edilirse H 1 ,
o zaman kanıtlanmış olduğunu düşünebiliriz ve hipotezi kabul edersek H 0 ,
daha sonra gözlemlerin sonuçlarıyla çelişmediği anlaşıldı, ancak bu özellik ile birlikte H 0'ın başka hipotezleri olabilir.
Hipotez Testi Sınıflandırması
Bunları test etmek için birkaç farklı istatistiksel hipotezi ve mekanizmayı daha fazla ele alalım.BEN) Varyansı Bilinmeyen Normal Dağılımın Genel Ortalamasının Hipotezi. Genel popülasyonun normal bir dağılıma sahip olduğunu, ortalamasının ve varyansının bilinmediğini varsayıyoruz, ancak genel ortalamanın a'ya eşit olduğuna inanmak için nedenler var. α anlamlılık düzeyinde, hipotezi test etmek gerekir. H 0: x=a. Alternatif olarak, yukarıda tartışılan üç hipotezden biri kullanılabilir. Bu durumda istatistik, Student dağılımına sahip rastgele bir değişkendir. n– 1 serbestlik derecesi. Karşılık gelen deneysel (gözlenen) değer belirlenir eski t cr H 1: x >a, α önem düzeyi ve serbestlik derecesi sayısı ile bulunur. n– 1. Eğer eski < t cr H 1: x ≠a kritik değer α/2 önem düzeyinden ve aynı sayıda serbestlik derecesinden bulunur. Boş hipotez, eğer | eski |
,
normal dağılıma sahip ve M(Z) = 0, D(Z) = 1. Karşılık gelen deneysel değer belirlenir z eski. Laplace fonksiyonunun tablosundan kritik değer bulunur. z cr. Alternatif hipotez altında H 1: x >y koşulundan bulunur F(z cr) = 0,5 – a. Eğer bir z eski< z кр ise boş hipotez kabul edilir, aksi halde reddedilir. Alternatif hipotez altında H 1: x ≠ y koşulundan kritik değer bulunur F(z cr) = 0,5×(1 – a). Boş hipotez, eğer | z eski |< z кр .
III) Varyansları bilinmeyen ve aynı olan normal dağılımlı genel popülasyonların iki aracının eşitliği hipotezi (küçük bağımsız örnekler). α anlamlılık düzeyinde, ana hipotezi test etmek gerekir. H 0: x=y . İstatistik olarak rastgele bir değişken kullanıyoruz
,
( ile Öğrenci dağılımına sahip olan nx + n– 2) serbestlik derecesi. Karşılık gelen deneysel değer belirlenir eski. Öğrenci dağılımının kritik noktaları tablosundan kritik değer bulunur. t cr. Her şey hipotez (I)'e benzer şekilde çözülür.
IV) Normal dağılmış popülasyonların iki varyansının eşitliği hipotezi. Bu durumda anlamlılık düzeyinde a hipotezi test etmen gerek H 0: D(X) = D(Y). İstatistik, Fisher-Snedecor dağılımına sahip rastgele bir değişkendir. f 1 = n b– 1 ve f 2 = n m- 1 serbestlik derecesi (S 2 b - büyük varyans, örneğinin hacmi n b). Karşılık gelen deneysel (gözlenen) değer belirlenir kadın. kritik değer F cr alternatif hipotez altında H 1: D(X) > D(Y) önem düzeyine göre Fisher-Snedecor dağılımının kritik noktaları tablosundan bulunur a ve serbestlik derecesi sayısı f 1 ve f 2. Boş hipotez kabul edilirse kadın < F cr.
Talimat. Hesaplama için kaynak verilerin boyutunu belirtmelisiniz.
V) Aynı büyüklükteki örnekler üzerinde normal olarak dağılmış popülasyonların çeşitli varyanslarının eşitliği hipotezi. Bu durumda anlamlılık düzeyinde a hipotezi test etmen gerek H 0: D(X 1) = D(X 2) = …= D(XL). İstatistik rastgele bir değişkendir 
serbestlik dereceli Cochran dağılımına sahip olan , f = n– 1 ve ben (n- her numunenin boyutu, benörnek sayısıdır). Bu hipotez öncekiyle aynı şekilde test edilir. Cochran dağılımının kritik noktaları tablosu kullanılır.
vi) Korelasyonun önemi hakkında hipotez. Bu durumda anlamlılık düzeyinde a hipotezi test etmen gerek H 0: r= 0. (Korelasyon katsayısı sıfıra eşitse, karşılık gelen nicelikler birbiriyle ilişkili değildir). Bu durumda, istatistik rastgele bir değişkendir. 
,
ile bir Öğrenci dağıtımına sahip olmak f = n– 2 serbestlik derecesi. Bu hipotezin doğrulanması, hipotezin (I) doğrulanmasına benzer şekilde gerçekleştirilir.
Talimat. Kaynak veri miktarını belirtin.
VII) Bir olayın meydana gelme olasılığının değeri hakkında hipotez. Yeterince fazla sayıda n olayın gerçekleştiği bağımsız denemeler ANCAK olmuş m bir Zamanlar. Bu olayın bir denemede meydana gelme olasılığının şuna eşit olduğuna inanmak için sebep vardır. p 0. Önem düzeyinde gerekli a Bir olayın olasılığının hipotezini test etmek ANCAK varsayımsal olasılığa eşit p 0. (Olasılık göreli sıklık tarafından tahmin edildiğinden, test edilen hipotez başka bir şekilde formüle edilebilir: gözlemlenen göreli sıklık ve varsayımsal olasılık önemli ölçüde farklılık gösterir veya değildir).
Deneme sayısı oldukça fazladır, bu nedenle olayın göreceli sıklığı ANCAK normal yasaya göre dağıtılır. Sıfır hipotezi doğruysa, beklenen değeri p 0, ve varyans . Buna göre istatistik olarak rastgele bir değişken seçiyoruz. 
,
sıfır matematiksel beklenti ve birim varyans ile yaklaşık olarak normal yasaya göre dağıtılır. Bu hipotez, (I) durumundakiyle tamamen aynı şekilde test edilir.
Talimat. Hesaplama için ilk verileri doldurmanız gerekir.
