Denklemlerin tam sayılarda çözümü.

Belirsiz denklemler, birden fazla bilinmeyen içeren denklemlerdir. Belirsiz bir denklemin tek bir çözümü, verilen denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenlerin bir dizi değeri olarak anlaşılır.

Formun tamsayılı denklemlerini çözmek için ah + ile = c , nerede a, b , c sıfırdan farklı tamsayılar ise, bir karar kuralı oluşturmamıza izin verecek bir dizi teorik hüküm sunuyoruz. Bu hükümler aynı zamanda bilinen gerçekler bölünebilirlik teorisi.

Teorem 1.Eğer GCD (a, b ) = d , o zaman böyle tam sayılar var X ve de, eşitlik ah + b y= d . (Bu eşitliğe doğrusal kombinasyon veya iki sayının en büyük ortak böleninin sayıların kendileri açısından doğrusal bir temsili denir.)

Teoremin kanıtı, iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasının eşitliğini kullanmaya dayanır (en büyük ortak bölen, Öklid algoritmasındaki son eşitlikten başlayarak, kısmi bölümler ve kalanlar cinsinden ifade edilir).

Örnek.

1232 ve 1672 sayılarının en büyük ortak böleninin doğrusal gösterimini bulun.

Çözüm.

1. Öklid algoritmasının eşitliklerini oluşturun:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, yani (1672.352) = 88.

2) 88'i sondan başlayarak yukarıda elde edilen eşitlikleri kullanarak eksik bölüm ve kalanlar cinsinden sıralı olarak ifade ediyoruz:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, yani. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorem 2. eğer denklem ah + b y = 1 eğer gcd (a, b ) = 1 , numarayı sunmak yeterlidir 1 a ve sayılarının doğrusal bir kombinasyonu olarak b.

Bu teoremin geçerliliği Teorem 1'den kaynaklanmaktadır. Böylece, denklemin tek tamsayılı bir çözümünü bulmak için ah + b y = 1, gcd(a, c) = 1 ise, 1 sayısını sayıların doğrusal bir bileşimi olarak temsil etmek yeterlidir. a ve içinde .

Örnek.

15x + 37y = 1 denkleminin tam çözümünü bulun.

Çözüm.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorem 3. denklemde ise ah + b y = gcd(a, b ) = d >1 ve İle birlikte bölünemez d , o zaman denklemin tamsayı çözümü yoktur.

Teoremi ispatlamak için aksini varsaymak yeterlidir.

Örnek.

16x - 34y = 7 denkleminin tam çözümünü bulun.

Çözüm.

(16.34)=2; 7, 2'ye bölünemez, tamsayılı çözümler denkleminin

teorem 4. denklemde ise ah + b y = gcd(a, b ) = d >1 ve ile d , o zaman

Teoremi ispatlarken, birinci denklemin keyfi bir tamsayı çözümünün aynı zamanda ikinci denklemin bir çözümü olduğu ve bunun tersi gösterilmelidir.

Teorem 5. denklemde ise ah + b y = gcd(a, b ) = 1, o zaman bu denklemin tüm tamsayı çözümleri formüllerde bulunur:

t herhangi bir tamsayıdır.

Teoremi ispatlarken, ilk olarak, yukarıdaki formüllerin verilen denkleme gerçekten çözümler verdiğini ve ikinci olarak, yukarıdaki formüllerde bu denklemin keyfi bir tamsayı çözümünün bulunduğunu göstermelidir.

Yukarıdaki teoremler, denklemi tam sayılarda çözmek için aşağıdaki kuralı oluşturmamıza izin verir. ah+ b y = gcd(a, b ) = 1:

1) Denklemin tamsayılı bir çözümü bulunur ah + b y = 1 1'i sayıların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil ederek a veb (örneğin, sürekli kesirler kullanarak bu denkleme tamsayı çözümleri bulmanın başka yolları da vardır);

Verilenlerin tüm çözümleri için genel bir formül

vermek t belirli tamsayı değerleri, bu denklemin belirli çözümlerini elde etmek mümkündür: mutlak değerdeki en küçük, en küçük pozitif (mümkünse), vb.

Örnek.

Denklemin tüm çözümlerini bulun 407x - 2816y = 33.

Çözüm.

1. Bu denklemi 37x - 256y \u003d 3 biçimine getirerek basitleştiririz.

2. 37x - 256y \u003d 1 denklemini çözüyoruz.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Genel form verilen denklemin tüm tamsayı çözümlerinin:

x \u003d -83 ∙ 3 - 256 t \u003d -249 - 256 t,

y \u003d -12 ∙ 3 ​​​​- 37 t \u003d -36 - 37 t.

Değişkenlerin tüm olası değerlerinin kapsamlı bir şekilde numaralandırılması yöntemi,

denkleme dahil edilmiştir.

49x + 51y = 602 denkleminin çözümleri olan tüm doğal sayı çiftlerinin kümesini bulun.

Çözüm:

x değişkenini denklemden y x = cinsinden ifade ediyoruzx ve y doğal sayılar olduğundan, x =602 - 51y ≥ 49, 51y≤553, 1≤y≤10.

Seçeneklerin eksiksiz bir listesi, denklemin doğal çözümlerinin x=5, y=7 olduğunu gösterir.

Cevap: (5;7).

Denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü.

Diophantus, lineer denklemlerle birlikte, ikinci dereceden ve kübik belirsiz denklemler olarak kabul edildi. Bunları çözmek genellikle zordur.

Kareler farkı formülü veya başka bir çarpanlara ayırma yöntemi denklemlerde uygulanabildiğinde böyle bir durumu ele alalım.

Denklemi tam sayılarda çözün: x 2 + 23 = y 2

Çözüm:

Denklemi şu şekilde yeniden yazalım: y 2 - x 2 \u003d 23, (y - x) (y + x) \u003d 23

x ve y tam sayılar ve 23 asal sayı olduğundan, aşağıdaki durumlar mümkündür:

Ortaya çıkan sistemleri çözerek şunları buluruz:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Bir değişkenin diğeri cinsinden ifadesi ve kesrin tamsayı kısmının seçimi.

Denklemi tam sayılarda çözün: x 2 + xy - y - 2 = 0.

Çözüm:

Bu y denkleminden x cinsinden ifade ederiz:

y (x - 1) \u003d 2 - x 2,

1. İki bilinmeyenli birinci dereceden denklemler

1. Üç bilinmeyenli ikinci dereceden denklem örnekleri

1. İki bilinmeyenli ikinci dereceden denklemin genel durumu

YAZILIM GELİŞTİRME

1. Program No. 1 (bir bilinmeyenli denklemler)

GİRİİŞ

Ders projem, sayılar teorisinin en ilginç bölümlerinden birine - tamsayılarda denklem çözmeye ayrılmıştır.

Birden fazla bilinmeyenli tamsayılı katsayılı cebirsel denklemlerin tam sayılarda çözümü, sayılar teorisindeki en zor problemlerden biridir.

Denklemleri tam sayılarda çözme sorunu, yalnızca iki bilinmeyenli ikinci dereceden denklemler için tamamen çözülmüştür. Bir bilinmeyenli herhangi bir dereceden denklemler için, bu problem sonlu sayıda deneme kullanılarak çözülebileceğinden, bunun önemli bir ilgi olmadığını unutmayın. İki veya daha fazla bilinmeyenli ikinci derecenin üzerindeki denklemler için, yalnızca tüm çözümleri tamsayılarda bulma problemi değil, aynı zamanda bu tür sonlu veya sonsuz bir çözüm kümesinin varlığını belirleme gibi daha basit bir problem de çok zordur.

Projemde teoride elde edilen bazı temel sonuçları sunmaya çalıştım; tamsayılarda denklem çözümleri. İçinde formüle edilen teoremlerin ispatları, bu ispatların yeterince basit olduğu durumlarda verilir.

1. BİLİNMEYEN BİRİ DENKLEMLER

Bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem düşünün

denklemin katsayıları olsun

ve tam sayılardır. Açıktır ki bu denklemin çözümü

sadece bir tamsayı olacak

ile tam bölünebilir. Bu nedenle, denklem (1) her zaman tamsayılarda çözülebilir değildir; yani, örneğin, iki denklemin ve birincisinin bir tamsayı çözümü var ve ikincisinin tamsayılar içinde çözülmesi mümkün değil.

Derecesi birinciden yüksek olan denklemlerde de aynı durumla karşılaşırız: ikinci dereceden denklem

tüm çözümlere sahiptir; tamsayılardaki denklem, kökleri irrasyonel olduğu için çözülemez.

n'inci dereceden bir denklemin tamsayı katsayılı tamsayı köklerini bulma sorunu

(2)

kolayca çözüldü. Gerçekten, izin ver

bu denklemin köküdür. O zamanlar

, .

Son eşitlikten de anlaşılacağı

kalansız bölünür; bu nedenle, denklem (2)'nin her tamsayı kökü, denklemin serbest teriminin bir bölenidir. Denklemin tamsayı çözümlerini bulmak için, denklemde ikame edildiğinde onu bir özdeşliğe dönüştüren bölenler seçilmelidir. Yani, örneğin, hepsi denklemin serbest teriminin bölenleri olan 1, -1, 2 ve -2 sayılarından

,

sadece -1 köktür. Bu nedenle, bu denklemin tek bir tamsayı kökü vardır.

. Aynı yöntemle denklemi göstermek kolaydır.

tamsayılarda karar verilemez.

Çok daha fazla ilgi çekici olan, birçok bilinmeyenli bir denklemin tam sayılardaki çözümüdür.

2. İKİ BİLİNMEYEN İLK KUVVET DENKLEMLERİ

İki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem düşünün

,

(3)

ve sıfırdan farklı tam sayılardır ve isteğe bağlı bir tamsayıdır. Katsayıların ve birlikten başka ortak böleni olmadığını varsayıyoruz. Gerçekten de, bu katsayıların ortak en büyük böleni birden farklıysa, o zaman eşitlikler , ; denklem (3) formunu alır

ve ancak tüm çözümlere sahip olabilir

bölü . Böylece, durumda - denklem (3)'ün tüm katsayıları bölünmelidir ve (3)'ü azaltarak denkleme ulaşırız

,

kimin katsayıları

ve karşılıklı asal.

İlk önce durumu düşünün

belediye Eğitim kurumu

Savruş ortalama Kapsamlı okul

Pokhvistnevsky bölgesi Samara bölgesi

Konuyla ilgili matematik üzerine deneme:

"İki ile denklemler

Bilinmeyen

tamsayılarda »

Tamamlayan: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

de 10. sınıf öğrencileri

MOU Savrushskaya orta öğretim okulu

Pokhvistnevsky bölgesi

Samara bölgesi.

Süpervizör: Yatmankina Galina Mihaylovna

matematik öğretmeni.

Savruha 2011

Giriş.____________________________________________________________3

1. Tarihsel arka plan ________________________________________5

1.1 Doğrusal Diophant denklemlerinin çözüm sayısı ile ilgili teoremler___6

1.2 Denklemi tam sayılarda çözme algoritması _________________ 6

1.3 Denklemleri çözme yöntemleri____________________________________ 7

Bölüm 2. Denklemleri çözmek için yöntemlerin uygulanması.

1. Problem çözme _____________________________________________ 8

2.1 Öklid algoritmasını kullanarak problem çözme ________________ 8

2.2 Seçenekleri sıralamanın yolu ________________________________ 9

2.3 Faktoring yöntemi ____________________________ 9

2.4 Artık yöntem ____________________________ 12

2. Sınav seviyesinin görevleri _______ 13

Sonuç ________________________________________________ 16

Kullanılmış literatür listesi ________________ 17

"Sayıları kim kontrol ediyor,

Dünyayı yönetiyor"

Pisagor.

Giriiş.

Durumun analizi: Diophantine denklemleri zamanımızla ilgili bir konudur, çünkü denklemlerin çözümü, eşitsizlikler, denklemleri tamsayılarda çözmeye indirgeyen problemler, değişkenler için tahminler kullanarak çeşitli matematik koleksiyonlarında ve sınav koleksiyonlarında bulunur.

Derslerde tek değişkenli ikinci dereceden bir denklemi çözmenin farklı yollarını inceledikten sonra, iki değişkenli denklemlerin nasıl çözüldüğünü bulmak bizim için ilginçti. Bu tür görevler olimpiyatlarda ve sınav materyallerinde bulunur.

Şöyle akademik yıl On birinci sınıf öğrencileri, KİM'lerin yeni bir yapıya göre derlendiği Matematikte Birleşik Devlet Sınavı'na girmek zorunda kalacaklar. "A" bölümü yok, ancak "B" bölümüne ve "C" bölümüne görevler eklendi. Derleyiciler, C6'nın eklenmesini, kabul için teknik Üniversite sorunları çözebilmeli yüksek seviye zorluklar.

Sorun: USE görevlerinin yaklaşık değişkenlerini çözerken, C6'daki en yaygın görevlerin birinci ve ikinci dereceden denklemleri tam sayılarda çözmek olduğunu fark ettik. Ancak bu tür denklemleri nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz. Bu bağlamda, bu tür denklemlerin teorisini ve çözümlerinin algoritmasını incelemek gerekli hale geldi.

Hedef: Tam sayılarda birinci ve ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Görevler: 1) Eğitim ve referans literatürünü inceleyin;

2) Denklemlerin nasıl çözüleceğine dair teorik materyal toplayın;

3) Bu tür denklemleri çözmek için algoritmayı analiz edin;

4) Çözümü açıklayın.

5) Bu tekniği kullanan birkaç örnek düşünün.

6) İki değişkenli denklemleri tamsayılarda çözün

malzemeler KULLANIM-2010 C6.

Çalışmanın amacı : Denklemleri Çözme

Çalışma konusu : Tam sayılarda iki değişkenli denklemler.

Hipotez: Bu konu büyük pratik öneme sahiptir. AT okul kursu Matematikçiler, tek değişkenli denklemleri ve bunları çözmenin çeşitli yollarını inceler. ihtiyaçlar Eğitim süreciöğrencilerin iki değişkenli basit denklemleri bilmelerini ve çözebilmelerini gerektirir. Bu nedenle, bu konuya artan ilgi sadece haklı değil, aynı zamanda okul matematik dersinde de geçerlidir.

bu iş Bu konuyu öğrenciler tarafından isteğe bağlı derslerde, mezuniyete hazırlanırken ve Giriş sınavları. Materyalimizin lise öğrencilerinin bu tür denklemleri nasıl çözeceklerini öğrenmelerine yardımcı olacağını umuyoruz.

Bölüm 1. Tam sayılarda iki değişkenli denklemler teorisi.

1. Tarihsel referans.

Diophantus ve Diophant denklemlerinin tarihçesi .

Denklemleri tam sayılarda çözmek en eski matematik problemlerinden biridir. Bu matematik alanı, en büyük refahına M.Ö. Antik Yunan. Zamanımıza gelen ana kaynak Diophantus'un eseridir - "Aritmetik". Diophantus, tamsayılarda belirsiz denklemleri çözme konusunda kendisinden önce biriken deneyimi özetledi ve genişletti.

Tarih, bizim için olağanüstü İskenderiyeli cebirci Diophantus'un biyografisinin birkaç özelliğini korumuştur. Bazı kaynaklara göre Diophantus MS 364 yılına kadar yaşamıştır. Efsaneye göre mezar taşına oyulmuş ve bir bulmacayı temsil eden, yalnızca Diophantus'un kendine özgü bir biyografisi kesin olarak bilinmektedir:

“Allah ona ömrünün altıda birini çocuk olarak indirdi; buna on ikinciyi ekleyerek yanaklarını tüyle kapladı; yedinci bölümden sonra ona evlilik nurunu yaktı ve evlilikten beş yıl sonra ona bir oğul verdi. Yazık! Talihsiz bir geç çocuk, babasının tüm yaşamının yarısına ulaşmış, acımasız kader tarafından sürüklendi. Dört yıl sonra, kederini sayıların bilimi ile teselli ederek [Diophantus] yaşamına son verdi ”(yaklaşık 84 yaşında).

Bu bulmaca, Diophantus'un çözdüğü problemlere bir örnektir. Tamsayılardaki problemleri çözmede uzmanlaştı. Bu tür problemler artık diofantin problemleri olarak bilinmektedir.

Diophantus tarafından çözülen en ünlüsü, "iki kareye ayrıştırma" sorunudur. Eşdeğeri, iyi bilinen Pisagor teoremidir. Bu teorem Babil'de biliniyordu, belki de M.Ö. Antik Mısır, ancak ilk kez Pisagor okulunda kanıtlandı. Bu, okulun kurucusu Pisagor'un (MÖ 580-500) adını taşıyan matematikle ilgilenen bir grup filozofun adıydı.

Diophantus'un hayatı ve çalışmaları İskenderiye'de devam etti, bilinen sorunları topladı ve çözdü ve yeni problemler icat etti. Daha sonra bunları Aritmetik adlı büyük bir çalışmada birleştirdi. Aritmetiği oluşturan on üç kitaptan sadece altısı Orta Çağ'a kadar hayatta kaldı ve Rönesans matematikçileri için bir ilham kaynağı oldu.

1.1 Doğrusal bir Diophant denkleminin çözüm sayısı ile ilgili teoremler.

Burada, birinci dereceden belirsiz denklemleri tamsayılarda iki değişkende çözmek için bir algoritmanın derlenebileceği temelinde teoremlerin formülasyonlarını veriyoruz.

Teorem 1. Denklemde ise , , denklemin en az bir çözümü vardır.

Teorem 2. Eğer denklemde ve İle birlikte ile bölünemezse, denklemin tamsayı çözümü yoktur.

Teorem 3. Denklemde ise ve , o zaman hangi denkleme eşdeğerdir .

Teorem 4. Denklemde ise , , bu denklemin tüm tamsayı çözümleri formüllerde bulunur:

nerede x 0, y 0

1.2. Denklemi tam sayılarda çözmek için algoritma.

Formüle edilmiş teoremler, aşağıdakileri oluşturmamıza izin verir: algoritma şeklinde bir denklemin tamsayılarda çözümleri.

1. Sayıların en büyük ortak bölenini bulun a ve b ,

eğer ve İle birlikte ile bölünemez, bu durumda denklemin tamsayı çözümü yoktur;

eğer ve sonra

2. Denklemi terim terime bölün, böylece içinde .

3. Bir tamsayı çözümü bulun ( x 0, y 0) 1'i sayıların doğrusal bir birleşimi olarak temsil eden denklemler ve ;

4. Oluştur Genel formül bu denklemin tüm çözümleri

nerede x 0, y 0 denklemin bir tamsayı çözümü , - herhangi bir tamsayı.

1.3 Denklemleri çözmenin yolları

Tamsayı ve doğal sayılardaki denklemleri çözerken koşullu olarak ayırt edebiliriz. aşağıdaki yöntemler:

1. Seçenekleri sıralamanın bir yolu.

2. Öklid'in algoritması.

3. Devamlı kesirler.

4. Çarpanlara ayırma yöntemi.

5. Tam sayılardaki denklemleri bazı değişkenlere göre kare şeklinde çözme.

6. Artıkların yöntemi.

7. Sonsuz iniş yöntemi.

Bölüm 2

1. Denklem çözme örnekleri.

2.1 Öklid'in algoritması.

Görev 1 . Denklemi 407 tamsayılarında çözün X – 2816y = 33.

Derlenmiş algoritmayı kullanalım.

1. Öklid algoritmasını kullanarak 407 ve 2816 sayılarının en büyük ortak bölenini buluruz:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Bu nedenle (407.2816) = 11, 33'ün 11'e bölünebilmesi

2. Denklem 37'yi elde etmek için orijinal denklemin her iki tarafını da 11'e bölün X – 256y= 3 ve (37, 256) = 1

3. Öklid algoritmasını kullanarak, 37 ve 256 sayıları aracılığıyla 1 sayısının doğrusal bir temsilini buluruz.

256 = 37 6 + 34;

Son eşitlikten 1'i ifade edelim, ardından art arda artan şekilde 3'ü ifade edeceğiz; 34 ve elde edilen ifadeleri 1 ifadesinin yerine koyun.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Böylece, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, dolayısıyla sayı çifti x 0= – 83 ve 0'da= – 12, Denklem 37'nin çözümüdür X – 256y = 3.

4. Orijinal denklemin çözümleri için genel formülü yazın

nerede t- herhangi bir tam sayı.

2.2 Seçenekleri sıralamanın yolu.

Görev 2. Tavşanlar ve sülünler bir kafeste otururlar, toplam 18 bacakları vardır. Bunlardan ve diğerlerinden kaç tanesinin hücrede olduğunu bul.

Çözüm: x'in tavşan sayısı, y'nin sülün sayısı olduğu iki bilinmeyen değişkenli bir denklem kurulur:

4x + 2y = 18 veya 2x + y = 9.

İfade etmek de vasıtasıyla X : y \u003d 9 - 2x.

Böylece, problemin dört çözümü vardır.

Cevap: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Faktoring yöntemi.

İki değişkenli bir denkleme doğal çözümler bulurken seçeneklerin sıralanması çok zahmetli oluyor. Ayrıca, eğer denklem tüm sonsuz sayıda çözüm olduğu için bunları saymak imkansızdır. Bu nedenle, bir numara daha göstereceğiz - çarpanlara ayırma yöntemi.

Görev 3. Denklemi tam sayılarda çözün y 3 - x 3 = 91.

Çözüm. 1) Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak denklemin sağ tarafını faktörlere ayırırız:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) 91 sayısının tüm bölenlerini yazın: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Araştırma yaparız. Herhangi bir tamsayı için unutmayın x ve y sayı

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

bu nedenle, denklemin sol tarafındaki her iki faktör de pozitif olmalıdır. O zaman denklem (1) bir dizi denklem sistemine eşdeğerdir:

; ; ;

4) Sistemleri çözdükten sonra şunu elde ederiz: birinci sistemin çözümleri (5; 6), (-6; -5); üçüncü (-3; 4),(-4; 3); tamsayılarda ikinci ve dördüncü çözümler yoktur.

Cevap:(1) denkleminin dört çözümü vardır (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Görev 4. Denklemi sağlayan tüm doğal sayı çiftlerini bulun

Çözüm. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemi şu şekilde yazıyoruz.

.

Çünkü 69 sayısının bölenleri 1, 3, 23 ve 69 sayılarıdır, bu durumda 69 iki şekilde elde edilebilir: 69=1 69 ve 69=3 23. Buna göre, istenen sayıları bulabileceğimiz çözerek iki denklem sistemi elde ederiz:

İlk sistemin bir çözümü var ve ikinci sistemin bir çözümü var.

Cevap: .

Görev 5.

Çözüm. Denklemi formda yazıyoruz

.

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Almak

.

İki tamsayının çarpımı yalnızca iki durumda 1'e eşit olabilir: eğer her ikisi de 1 veya -1'e eşitse. İki sistem alıyoruz:

Birinci sistemin çözümü x=2, y=2 ve ikinci sistemin çözümü x=0, y=0.

Cevap: .

Görev 6. Denklemi tam sayılarda çözün

.

Çözüm. Bu denklemi formda yazıyoruz

Denklemin sol tarafını gruplama yöntemiyle faktörlere ayırırız, elde ederiz

.

Aşağıdaki durumlarda iki tamsayının çarpımı 7'ye eşit olabilir:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Böylece dört sistem elde ederiz:

Veya , veya , veya .

Birinci sistemin çözümü bir çift sayı x = - 5, y = - 6. İkinci sistemi çözerek x = 13, y = 6 elde ederiz. Üçüncü sistem için çözüm, x = 5 sayılarıdır, y = 6. Dördüncü sistemin çözümü x = - 13, y = - 6.

Görev 7. Denklemin ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 değil

tamsayı çözümleri vardır.

Çözüm. 1) Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemin her iki tarafını da 3'e bölüyoruz, sonuç olarak denklemi elde ediyoruz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) 10'un bölenleri ±1, ±2, ±5, ±10 sayılarıdır. Ayrıca, denklem (2)'nin sol tarafındaki faktörlerin toplamının 0'a eşit olduğuna dikkat edin. 10 sayısının bölenleri kümesinden herhangi bir üç sayının toplamının 10'un bir çarpımını vererek kontrol etmek kolaydır. 0'a eşit olmayacak. Bu nedenle, orijinal denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

Görev 8. Denklemi çözün: tamsayılarda x 2 - y 2 \u003d 3.

Çözüm:

1. kısaltılmış çarpma x 2 - y 2 \u003d (x-y) (x + y) \u003d 3 için formülü uygulayın

2. 3 = -1;-3;1;3 sayısının bölenlerini bulun

3. Bu denklem 4 sistemlik bir sete eşdeğerdir:

x-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Cevap: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Artıkların yöntemi.

Görev 9 .Denklemi çözün: x 2 + xy \u003d 10

Çözüm:

1. y değişkenini x cinsinden ifade edin: y= 10'lar 2

Y = - X

2. Kesir x Є ±1; ±2 ise tamsayı olacaktır; ±5;±10

3. 8 değer bulun y.

x=-1 ise y=-9 x=-5 ise y=3

x=1 sonra y=9 x=5 sonra y=-3

x=-2 sonra y=-3 x=-10 sonra y=9

x=2 sonra y=3 x=10 sonra y=-9

Görev 10. Denklemi tam sayılarda çözün:

2x 2 -2xy + 9x + y \u003d 2

Çözüm:

denklemden sadece birinci dereceye giren bilinmeyeni ifade ederiz - bu durumda şu adreste:

2x 2 + 9x-2=2xy-y

Y =

bir polinomu bir polinom "açısına" bölme kuralını kullanarak kesrin tamsayı kısmını seçeriz. Alırız:

Bu nedenle, 2x-1 farkı sadece -3, -1,1,3 değerlerini alabilir.

Geriye bu dört vakayı sıralamak kalıyor.

Cevap : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Sınav seviyesinin görevleri

Tam sayılarda iki değişkenli birinci dereceden denklemleri çözmenin birkaç yolunu düşündükten sonra, çarpanlara ayırma yönteminin ve artık yönteminin en sık kullanıldığını fark ettik.

Birleşik Devlet Sınavı -2011 varyantlarında verilen denklemler esas olarak artık yöntemi ile çözülmektedir.

1. Denklemi doğal sayılarda çözün: , burada m>n

Çözüm:

değişkeni ifade edelim P bir değişken aracılığıyla t

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Cevap: (12; -8)

Çözüm.

Çözüm farklı tür denklemler, okul matematik dersinin içerik satırlarından biridir, ancak aynı zamanda, birkaç bilinmeyenli denklemleri çözme yöntemleri pratik olarak dikkate alınmaz. Aynı zamanda, birkaç bilinmeyenli denklemleri tam sayılarda çözmek en eski matematik problemlerinden biridir. Bu tür denklemleri çözme yöntemlerinin çoğu, şu anda ilgi alanının hızlı gelişimi ile belirlenen tamsayıların bölünebilirliği teorisine dayanmaktadır. Bilişim Teknolojileri. Bu bağlamda, lise öğrencilerinin tamsayılarda bazı denklemleri çözme yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmaları ilginç olacaktır, özellikle çeşitli seviyelerdeki Olimpiyatlar genellikle tamsayılarda bir denklem çözmeyi içeren görevler sunduğundan ve bu yıl bu tür denklemler dahil edilmiştir. daha fazla ve sınav materyallerinde.

Çalışmamızda sadece birinci ve ikinci dereceden belirsiz denklemleri ele aldık. Birinci dereceden denklemler, gördüğümüz gibi, oldukça basit bir şekilde çözülür. Çözümleri için bu tür denklem ve algoritma türlerini belirledik. Bu tür denklemlerin genel bir çözümü de bulundu.

İkinci dereceden denklemler daha zordur, bu yüzden sadece özel durumları düşündük: Pisagor teoremi ve denklemin bir bölümünün bir ürün biçiminde olduğu ve ikincisinin çarpanlara ayrıldığı durumlar.

Büyük matematikçiler üçüncü ve daha fazla dereceden denklemlerle uğraşırlar, çünkü çözümleri çok karmaşık ve hantaldır.

Gelecekte, problemlerin çözümünde kullanılan çeşitli değişkenli denklemlerin incelenmesinde araştırmamızı derinleştirmeyi planlıyoruz.

Edebiyat.

1. Berezin V.N. Matematikte isteğe bağlı ve ders dışı etkinlikler için görevlerin toplanması. Moskova "Aydınlanma" 1985

2. Galkin E.G. Matematikte standart olmayan görevler. Çelyabinsk "Vzglyad" 2004

3. Galkin E.G. Tam sayılarla ilgili problemler. Çelyabinsk "Vzglyad" 2004

4. Glazer E.I. Okulda matematik tarihi. Moskova "Aydınlanma" 1983

5. Mordkovich A.G. Cebir ve analizin başlangıcı 10-11 sınıf. Moskova 2003

6. Matematik. 2010 KULLANIN. Federal Enstitü

pedagojik ölçümler.

7. Sharygin I. F. Matematikte seçmeli ders. Çözüm

görevler. Moskova 1986

Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "İş dosyaları" sekmesinde mevcuttur

Giriiş.

Çalışmanın amacı.

Araştırma, sayılar teorisinin en ilginç dallarından biri olan tam sayılardaki denklemlerin çözümü ile ilgilidir.

Çalışma konusu.

Birden fazla bilinmeyende tamsayılı katsayılı cebirsel denklemlerin tam sayılardaki çözümü, en zor ve eski matematik problemlerinden biridir ve okul matematik dersinde yeterince derinlemesine temsil edilmemektedir. Çalışmamda, tamsayılardaki denklemlerin oldukça eksiksiz bir analizini, bu denklemlerin onları çözme yöntemlerine göre bir sınıflandırmasını, bunları çözmek için algoritmaların bir tanımını ve her yöntemin uygulanmasının pratik örneklerini sunacağım. tamsayılarda denklem çözme.

Hedef.

Tam sayılardaki denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Görevler:

Eğitim ve referans literatürünü inceleyin;

Denklemlerin nasıl çözüleceğine dair teorik materyal toplayın;

Bu tür denklemleri çözmek için algoritmaları analiz edin;

Çözümleri açıklayın;

Bu yöntemleri kullanarak denklem çözme örneklerini düşünün.

Hipotez:

Olimpiyat görevlerinde tamsayılı denklemlerle karşı karşıya kaldığımda, onları çözmedeki zorlukların, onları çözmenin tüm yollarının bana bilinmemesinden kaynaklandığını varsaydım.

alaka düzeyi:

USE görevlerinin yaklaşık türevlerini çözerken, genellikle birinci ve ikinci dereceden denklemleri tam sayılarda çözmek için görevler olduğunu fark ettim. Ayrıca olimpiyat görevleri çeşitli seviyeler ayrıca tamsayılı denklemleri veya tamsayılı denklemleri çözme becerileri kullanılarak çözülen problemleri içerir. Tam sayılardaki denklemlerin nasıl çözüleceğini bilmenin önemi, araştırmamın alaka düzeyini belirler.

Araştırma Yöntemleri

Teorik analiz ve bilgilerin genelleştirilmesi Bilimsel edebiyat tamsayılardaki denklemler hakkında.

Tam sayılardaki denklemlerin çözüm yöntemlerine göre sınıflandırılması.

Tam sayılarda denklem çözme yöntemlerinin analizi ve genelleştirilmesi.

Araştırma sonuçları

Makale, denklemleri çözme yöntemlerini açıklar, Fermat teoreminin teorik materyalini, Pisagor teoremi, Öklid'in algoritmasını dikkate alır, problem çözme örnekleri ve çeşitli karmaşıklık seviyelerindeki denklemleri sunar.

2.Tamsayılarda denklemlerin tarihi

Diophantus - bir bilim adamı - Antik Yunanistan'ın cebircisi, bazı kaynaklara göre MS 364'e kadar yaşadı. e. Tamsayılardaki problemleri çözmede uzmanlaştı. Bu nedenle Diophant denklemleri adı. Diophantus tarafından çözülen en ünlüsü, "iki kareye ayrıştırma" sorunudur. Eşdeğeri, iyi bilinen Pisagor teoremidir. Diophantus'un hayatı ve çalışmaları İskenderiye'de devam etti, bilinen sorunları topladı ve çözdü ve yeni problemler icat etti. Daha sonra bunları Aritmetik adlı büyük bir çalışmada birleştirdi. Aritmetiği oluşturan on üç kitaptan sadece altısı Orta Çağ'a kadar hayatta kaldı ve Rönesans matematikçileri için bir ilham kaynağı oldu.Diophantus'un Aritmetiği, her biri bir çözüm ve gerekli bir açıklama içeren bir problemler topluluğudur. Koleksiyon, çeşitli problemler içerir ve bunların çözümü genellikle son derece ustacadır. Diophantus sadece pozitif tam sayılar ve rasyonel çözümlerle ilgilenir. İrrasyonel çözümleri "imkansız" olarak adlandırır ve istenen pozitif, rasyonel çözümlerin elde edilmesi için katsayıları dikkatlice seçer.

Fermat teoremi, tamsayılardaki denklemleri çözmek için kullanılır. Kanıtının tarihi oldukça ilginç. Birçok seçkin matematikçi Büyük Teoremin tam bir kanıtı üzerinde çalıştı ve bu çabalar modern sayılar teorisinde birçok sonuca yol açtı. Yanlış ispat sayısı açısından teoremin ilk sırada olduğuna inanılmaktadır.

Dikkat çekici Fransız matematikçi Pierre Fermat, bir n ≥ 3 tamsayısının denkleminin x, y, z pozitif tamsayılarında hiçbir çözümü olmadığını belirtti (xyz = 0, x, y, z'nin pozitifliği tarafından hariç tutulur. n = 3 durumu için, Bu teorem X yüzyılda Orta Asyalı matematikçi el-Hojandi tarafından ispatlanmış olarak denendi, ancak kanıtı korunmadı. Bir süre sonra, Fermat'ın kendisi n = 4 için belirli bir durumun kanıtını yayınladı.

Euler 1770'de n = 3 durumu için teoremi, 1825'te Dirichlet ve Legendre n = 5 için, Lame n = 7 için kanıtladı. Kummer, teoremin 37 hariç, 100'den küçük tüm asal sayılar için doğru olduğunu gösterdi. , 59, 67.

1980'lerde vardı yeni yaklaşım sorunu çözmek için. Faltings tarafından 1983'te kanıtlanan Mordell varsayımından, denklem şu şekildedir:

n > 3 için yalnızca sonlu sayıda asal çözüm olabilir.

Teoremin ispatında son fakat en önemli adım Eylül 1994'te Wiles tarafından atıldı. 130 sayfalık kanıtı Annals of Mathematics'te yayınlandı. Kanıt, Alman matematikçi Gerhard Frey'in Fermat'ın Son Teoreminin Taniyama-Shimura hipotezinin bir sonucu olduğu varsayımına dayanmaktadır (bu varsayım J.-P. Serra'nın katılımıyla Ken Ribet tarafından kanıtlanmıştır). ispatının 1993'teki versiyonu (7 yıllık sıkı çalışmanın ardından), ancak çok geçmeden içinde ciddi bir boşluk keşfedildi; Richard Lawrence Taylor'ın yardımıyla aradaki fark hızla kapandı. Son versiyonu 1995 yılında yayınlandı. 15 Mart 2016 Andrew Wiles, Abel Ödülü'nü aldı. Şu anda prim 6 milyon Norveç kronu, yani yaklaşık 50 milyon ruble. Wiles'a göre, ödül ona "tam bir sürpriz" olarak geldi.

3. Tamsayılarda Doğrusal Denklemler

Doğrusal denklemler, tüm Diophant denklemlerinin en basitidir.

a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ax=b biçimindeki denkleme denir. Doğrusal Denklem bir bilinmeyenle. Burada denklemin sadece tamsayılı çözümlerinin bulunması gerekmektedir. Görüldüğü gibi a ≠ 0 ise, denklemin tamsayı çözümü ancak b, a ile tam bölünebiliyorsa ve bu çözüm x = b / f ise görülebilir. Eğer a=0 ise, b=0 olduğunda ve bu durumda x herhangi bir sayı olduğunda denklemin bir tamsayı çözümü olacaktır.

çünkü 12, 4'e tam bölünürse

Çünkü a=o ve b=0, o zaman x herhangi bir sayıdır

Çünkü 7, 10'a tam bölünemez, o zaman çözüm yok.

4. Seçenekleri sıralamanın yolu.

Seçeneklerin numaralandırılması yönteminde, sayıların bölünebilirlik işaretlerini dikkate almak, hepsini dikkate almak gerekir. olası seçenekler sonlu numaralandırma eşitliği. Bu yöntem, bu sorunları çözmek için kullanılabilir:

№1 49x+69y=602 denkleminin çözümü olan tüm doğal sayı çiftlerinin kümesini bulun

x = denkleminden ifade ederiz,

Çünkü x ve y doğal sayılardır, sonra x = ≥ 1, paydadan kurtulmak için tüm denklemi 49 ile çarpın:

602'yi sol tarafa taşıyın:

51y ≤ 553, ifade y, y= 10

Seçeneklerin eksiksiz bir listesi, denklemin doğal çözümlerinin x=5, y=7 olduğunu gösterir.

Cevap: (5,7).-

№2 Sorunu çözün

2, 4, 7 sayılarından, tek bir sayının ikiden fazla tekrarlanamayacağı üç basamaklı bir sayı yapılmalıdır.

2 ile başlayan tüm üç basamaklı sayıların sayısını bulalım: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - bunlardan 8 tane var.

Benzer şekilde, 4 ve 7 ile başlayan tüm üç basamaklı sayıları buluruz: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ayrıca her biri 8 sayıdır. Sadece 24 sayı var.

Cevap: 24.

5. Devamlı kesir ve Öklid algoritması

Sürekli bir kesir, sıradan bir kesrin biçimindeki bir ifadesidir.

burada q 1 bir tamsayıdır ve q 2 , … ,qn doğal sayılardır. Böyle bir ifadeye sürekli (sonlu sürekli) kesir denir. Sonlu ve sonsuz sürekli kesirler vardır.

İçin rasyonel sayılar devam eden kesir var son görüş. Ek olarak, a i dizisi tam olarak bir kesrin pay ve paydasına Öklid algoritması uygulanarak elde edilen bölüm dizisidir.

Sürekli kesirli denklemleri çözerek, bu denklemleri tam sayılarda çözme yöntemi için genel bir eylem algoritması derledim.

algoritma

1) Bilinmeyenler için katsayıların oranını kesir biçiminde derleyin

2) İfadeyi uygun olmayan kesre dönüştür

3) Uygun olmayan bir kesrin tamsayı kısmını seçin

4) Uygun bir kesri eşit bir kesirle değiştirin

5) Paydada elde edilen yanlış kesir ile 3.4 yapın

6) Son sonuca kadar 5'i tekrarlayın

7) Elde edilen ifadede, devam eden fraksiyonun son halkasını atın, elde edilen yeni sürekli fraksiyonu basit bir fraksiyona çevirin ve orijinal fraksiyondan çıkarın.

Örnek#1 127x- 52y+ 1 = 0 denklemini tam sayılarda çözün

Katsayıların oranını bilinmeyenlere dönüştürelim.

Her şeyden önce, uygunsuz kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz; = 2 +

Uygun bir kesri eşit bir kesirle değiştirin.

nerede = 2+

Paydada elde edilen yanlış kesir ile aynı dönüşümleri yapalım.

Şimdi orijinal kesir şu şekli alacaktır: Kesir için aynı akıl yürütmeyi tekrarlayarak, şunu elde ederiz:

Son devam eden veya devam eden kesir adı verilen bir ifade aldık. Bu sürekli fraksiyonun son halkasını - beşte birini attıktan sonra, ortaya çıkan yeni sürekli fraksiyonu basit bir fraksiyona çeviririz ve onu orijinal fraksiyondan çıkarırız:

Ortaya çıkan ifadeyi ortak bir paydaya getirelim ve atalım.

Buradan 127∙9-52∙22+1=0. Elde edilen eşitliğin 127x- 52y+1 = 0 denklemi ile karşılaştırılmasından, x= 9, y= 22'nin orijinal denklemin bir çözümü olduğu ve teoreme göre, tüm çözümleri içinde yer alacağı sonucu çıkar. ilerlemeler x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , burada t=(0; ±1; ±2…..) Elde edilen sonuç, genel durumda, denklem ax'ine bir çözüm bulmak için şunu önermektedir: +by+c=0, bilinmeyenlerin katsayılarının oranını sürekli bir kesire genişletmek, son bağlantısını atmak ve yukarıda verilenlere benzer hesaplamalar yapmak gerekir.

Bu varsayımı kanıtlamak için, sürekli kesirlerin bazı özelliklerine ihtiyacımız olacak.

İndirgenemez bir kesir düşünün. q 1 ile bölümü ve r 2 ile a'yı b'ye bölmenin kalanını belirtin. Sonra şunu elde ederiz:

O zaman b=q 2 r 2 +r 3 ,

Benzer

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

q 1 , q 2 ,… niceliklerine eksik bölümler denir. Yukarıdaki tamamlanmamış bölüm oluşturma işlemine denir. Öklid'in algoritması. r 2 , r 3 ,… bölümünden kalanlar eşitsizlikleri sağlıyor

şunlar. azalan negatif olmayan sayılar dizisi oluşturur.

Örnek #2 170x+190y=3000 denklemini tam sayılarla çözün

10'a indirdikten sonra denklem şöyle görünür,

Belirli bir çözüm bulmak için, bir kesrin sürekli kesre genişlemesini kullanırız.

Kendisine uygun sondan bir önceki kesri sıradan bir kesre daraltmak

Bu denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

ve genel formül tarafından verilir

x=2700-19k, y=-2400+17k.

k parametresindeki koşulu nereden elde ederiz

Şunlar. k=142, x=2, y=14. .

6. Faktoring yöntemi

Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi, bu tür sonsuz sayıda çözüm olduğu için, numaralandırma yoluyla tam çözümler bulmanın imkansız olduğu durumlar olduğu için uygunsuz bir yoldur. Çarpanlara ayırma yöntemi çok ilginç bir tekniktir ve hem temel matematikte hem de yüksek matematikte bulunur.

Öz, özdeş dönüşümden oluşur. Herhangi bir özdeş dönüşümün anlamı, bir ifadeyi özünü koruyarak farklı bir biçimde yazmaktır. Bu yöntemin uygulama örneklerini düşünün.

№1 Denklemi y tamsayılarında çözün 3 - x 3 = 91.

Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak denklemin sağ tarafını faktörlere ayırırız:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

91 sayısının tüm bölenlerini yazıyoruz: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Herhangi bir x ve y tamsayıları için sayının

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

bu nedenle, denklemin sol tarafındaki her iki faktör de pozitif olmalıdır. O zaman orijinal denklem, denklem sistemleri kümesine eşdeğerdir:

Sistemleri çözdükten sonra, tamsayı olan kökleri seçiyoruz.

Orijinal denklemin çözümlerini elde ederiz: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Cevap: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 x denklemini sağlayan tüm doğal sayı çiftlerini bulun 2 -y 2 = 69

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemi şu şekilde yazıyoruz.

Çünkü 69 sayısının bölenleri 1, 3, 23 ve 69 sayılarıdır, bu durumda 69 iki şekilde elde edilebilir: 69=1 69 ve 69=3 23. x-y > 0 olduğunu düşünürsek, çözerek istenen sayıları bulabileceğimiz iki denklem sistemi elde ederiz:

Bir değişkeni ifade ettikten ve ikinci denklemde yerine koyarak, denklemlerin köklerini buluyoruz, birinci sistemin çözümü x=35;y=34 ve ikinci sistemin çözümü x=13, y=10.

Cevap: (35; 34), (13; 10).

№3 x + y \u003d xy denklemini tam sayılarda çözün:

Denklemi formda yazıyoruz

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Almak

İki tamsayının çarpımı yalnızca iki durumda 1'e eşit olabilir: eğer her ikisi de 1 veya -1'e eşitse. İki sistem alıyoruz:

Birinci sistemin çözümü x=2, y=2 ve ikinci sistemin çözümü x=0, y=0 Cevap: (2; 2), (0; 0).

№4 Denklemin (x - y) olduğunu kanıtlayın 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30'un tamsayılarda çözümü yoktur.

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz ve denklemin her iki tarafını da 3'e bölüyoruz, sonuç olarak denklemi elde ediyoruz:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

10'un bölenleri ±1, ±2, ±5, ±10 sayılarıdır. Ayrıca, denklemin sol tarafındaki faktörlerin toplamının 0'a eşit olduğuna dikkat edin. 10 sayısının bölenleri kümesinden herhangi bir üç sayının toplamının 10'un çarpımını vermediğini kontrol etmek kolaydır. eşittir 0. Bu nedenle, orijinal denklemin tamsayılarda çözümü yoktur.

7. Artıkların yöntemi

Yöntemin ana görevi, elde edilen sonuçlara dayanarak denklemin her iki bölümünün bir tamsayı ile bölümünden kalanını bulmaktır. Genellikle elde edilen bilgiler, denklemin çözüm kümelerinin olasılıklarını azaltır. Örnekleri düşünün:

№1 denkleminin x olduğunu kanıtlayın 2 = 3y + 2'nin tamsayılarda çözümü yoktur.

Kanıt.

x, y ∈ N olduğu durumu düşünün. Her iki tarafın da 3'e bölümünden kalanları düşünün. Denklemin sağ tarafı, herhangi bir y değeri için 3'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Bir doğal sayının karesi olan sol taraf, 3'e bölündüğünde her zaman 0 veya 1 kalanını verir. Buna dayanarak, doğal sayılarda bu denklemin bir çözümünün olmadığı sonucuna varırız.

Sayılardan birinin 0'a eşit olduğu durumu düşünün. O halde, tamsayılarda çözüm olmadığı açıktır.

y'nin negatif bir tam sayı olduğu durumun çözümü yoktur, çünkü sağ taraf negatif, sol taraf pozitif olacaktır.

x'in negatif bir tam sayı olduğu durumun da çözümü yoktur, çünkü (-x) 2 = (x) 2 olması nedeniyle daha önce ele alınan durumlardan birinin kapsamına girer.

Belirtilen denklemin, ispatlanması gereken tamsayılarda hiçbir çözümü olmadığı ortaya çıktı.

№2 Tam sayılarda çözün 3 X = 1 + y 2 .

(0; 0) bu denklemin çözümü olduğunu görmek zor değil. Denklemin başka tamsayı köklerine sahip olmadığını kanıtlamak için kalır.

Durumları düşünün:

1) x∈N, y∈N ise, Z, kalansız üçe bölünebilir ve 1 + y 2, 3'e bölündüğünde şunu verir:

kalan 1 veya 2'dir. Bu nedenle, pozitif tamsayılar için eşitlik

x, y değerleri imkansızdır.

2) x negatif bir tam sayı ise, y∈Z , o zaman 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

eşitlik de imkansızdır. Bu nedenle, (0; 0) yalnızca

Cevap: (0; 0).

№3 Denklemi 2x çözün 2 -2xy+9x+y=2 tam sayılarda:

Sadece birinci dereceden giren bilinmeyeni, yani y değişkenini denklemden ifade edelim:

2x 2 + 9x-2=2xy-y, nereden

Bir polinomu bir polinom "açısına" bölme kuralını kullanarak kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz. Alırız:

Açıkçası, 2x-1'lik bir fark sadece -3, -1, 1 ve 3 değerlerini alabilir.

Geriye bu dört durumu sıralamak kalıyor, bunun sonucunda çözümler elde ediyoruz: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3).

Cevap: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Tam sayılarda iki değişkenli denklemleri değişkenlerden birine göre kare olarak çözme örneği

№1 5x denklemini tam sayılarda çözün 2 +5y 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Bu denklem çarpanlara ayırma yöntemi ile çözülebilir, ancak bu yöntem, bu denkleme uygulandığında oldukça zahmetlidir. Daha mantıklı bir yol düşünelim.

Denklemi x değişkenine göre ikinci dereceden bir biçimde yazıyoruz:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Köklerini buluyoruz.

Bu denklemin bir çözümü vardır, ancak ve ancak diskriminant

bu denklemin sıfıra eşittir, yani. - 9(y+1) 2 =0, dolayısıyla y= - 1.

y=-1 ise, x=1.

Cevap: (1; - 1).

9. Tam sayılardaki denklemleri kullanarak problem çözme örneği.

№ 1. Denklemi doğal sayılarda çözün : nerede n>m

n değişkenini m değişkeni cinsinden ifade edelim:

625 sayısının bölenlerini bulalım: bu 1; 5; 25; 125; 625

1) m-25 =1 ise m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, sonra m=30, n=150

3) m-25 =25, sonra m=50, n=50

4) m-25 =125, sonra m=150, n=30

5) m-25 =625, sonra m=650, n=26

Cevap: m=150, n=30

№ 2. Denklemi doğal sayılarla çözün: mn +25 = 4m

Çözüm: milyon +25 = 4m

1) 4m değişkenini n cinsinden ifade edin:

2) 25 sayısının doğal bölenlerini bulun: bu 1'dir; 5; 25

4-n=1 ise n=3, m=25

4-n=5, sonra n=-1, m=5; 4-n =25, sonra n=-21, m=1 (yabancı kökler)

Cevap: (25;3)

Denklemi tamsayılarla çözme görevlerine ek olarak, denklemin tamsayı köklerine sahip olmadığını kanıtlama görevleri vardır.

Bu tür problemleri çözerken, bölünebilmenin aşağıdaki özelliklerini hatırlamak gerekir:

1) n Z ise; n 2'ye bölünebilir, sonra n = 2k, k ∈ Z.

2) n ∈ Z ise; n 2'ye bölünemez, o zaman n = 2k+1, k ∈ Z.

3) n ∈ Z ise; n, 3'e bölünebilir, sonra n = 3k, k ∈ Z.

4) n ∈ Z ise; n 3'e bölünemez, o zaman n = 3k±1, k ∈ Z.

5) n ∈ Z ise; n 4'e bölünemez, o zaman n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) n ∈ Z ise; n(n+1) 2'ye bölünebilir, sonra n (n+1)(n+2) 2;3;6'ya bölünebilir.

7) n; n+1 asaldır.

№3 denkleminin x olduğunu kanıtlayın 2 - 3y = 17'nin tamsayı çözümü yoktur.

Kanıt:

x olsun; y - denklemin çözümleri

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z o zaman y+6 ∈ Z , yani 3(y+6) 3 ile bölünebilir, dolayısıyla 3(y+6)-1 3 ile bölünemez, dolayısıyla x 2 3 ile bölünemez, dolayısıyla x 3'e bölünebilir, yani x = 3k±1, k ∈ Z.

Bunu orijinal denklemde yerine koyun.

Bir çelişki yakaladık. Bu, denklemin kanıtlanması gereken tüm çözümleri olmadığı anlamına gelir.

10. Tepe Formülü

Pick'in formülü, 1899'da Avusturyalı matematikçi Georg Pick tarafından keşfedildi. Formül, tamsayılardaki denklemlerle ilgilidir, çünkü çokgenlerden yalnızca tamsayı düğümleri ve denklemlerdeki tamsayılar alınır.

Bu formülü kullanarak, bir hücrede (üçgen, kare, yamuk, dikdörtgen, çokgen) bir sayfa üzerine oluşturulmuş bir şeklin alanını bulabilirsiniz.

Bu formülde çokgenin içinde ve sınırında tamsayı noktaları bulacağız.

Sınavda olacak görevlerde, bir hücre içinde bir levha üzerine inşa edilmiş bir çokgenin verildiği bir grup görev vardır ve alanı bulma ile ilgili bir soru vardır. Hücre ölçeği bir santimetre karedir.

Örnek 1

M - üçgenin sınırındaki düğüm sayısı (yanlarda ve köşelerde)

N, üçgen içindeki düğüm sayısıdır.

*"Düğümler" altında, çizgilerin kesişimini kastediyoruz. Üçgenin alanını bulun:

Düğümlere dikkat edin:

M = 15 (kırmızı ile gösterilir)

N = 34 (mavi ile işaretlenmiştir)

Örnek #2

Çokgenin alanını bulun: Düğümlere dikkat edin:

M = 14 (kırmızı ile gösterilir)

N = 43 (mavi ile işaretlenmiştir)

12.İniş yöntemi

Tam sayılardaki denklemleri çözme yöntemlerinden biri olan iniş yöntemi, Fermat teoremine dayanmaktadır.

İniş yöntemi, sonsuz azalan pozitif z ile sonsuz bir çözüm dizisine tek bir çözüm oluşturmayı içeren bir yöntemdir.

Belirli bir denklemi çözme örneğini kullanarak bu yöntemin algoritmasını ele alacağız.

Örnek 1. Denklemi 5x + 8y = 39 tamsayılarında çözün.

1) Katsayıları en küçük olan bilinmeyeni seçelim (bizim durumumuzda bu x'tir) ve bunu başka bir bilinmeyenle ifade edelim:

2) Tamsayı kısmını seçin: Açıkçası, ifadenin tamsayı olduğu ortaya çıkarsa x tamsayı olacaktır, bu da 4 - 3y sayısı 5'e kalansız bölündüğünde gerçekleşecektir.

3) Aşağıdaki gibi ek bir z tamsayı değişkeni ekleyelim: 4 -3y = 5z. Sonuç olarak, orijinaliyle aynı tipte, ancak daha küçük katsayılara sahip bir denklem elde ederiz.

4) Paragraf 1, 2'dekiyle tamamen aynı şekilde tartışarak, y değişkenine göre zaten çözüyoruz: Tamsayı kısmını seçerek, şunu elde ederiz:

5) Bir öncekine benzer şekilde tartışarak, yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz: 3u = 1 - 2z.

6) Bilinmeyeni en küçük katsayılı, bu durumda z: değişkeni ile ifade edin. Bir tamsayı olmasını şart koşarsak, şunu elde ederiz: 1 - u = 2v, buradan u = 1 - 2v. Kesir kalmadı, iniş bitti (bir sonraki değişken için ifadede kesir kalmayana kadar işleme devam ediyoruz).

7) Şimdi "yukarı çıkmanız" gerekiyor. Önce z, sonra y ve sonra x değişkeni aracılığıyla ifade edin:

8) v'nin keyfi bir tam sayı olduğu x = 3+8v ve y = 3 - 5v formülleri, orijinal denklemin tam sayılardaki genel çözümünü temsil eder.

Bu nedenle, iniş yöntemi, ilk olarak, değişkenin temsilinde hiç kesir kalmayana kadar bir değişkenin bir diğeri aracılığıyla ardışık ifadesini ve ardından denkleme genel bir çözüm elde etmek için eşitlikler zinciri boyunca ardışık “yükselmeyi” içerir.

12.Sonuç

Çalışmanın sonucunda, tamsayılardaki denklemleri çözmedeki zorlukların, onları çözmenin tüm yöntemlerini bilmemesinden kaynaklandığı hipotezi doğrulandı. Araştırma sırasında, tamsayılardaki denklemleri çözmenin az bilinen yollarını bulmayı ve tanımlamayı başardım, bunları örneklerle gösterdim. Araştırmamın sonuçları matematikle ilgilenen tüm öğrenciler için faydalı olabilir.

13. Kaynakça

Kitap Kaynakları:

1. N. Ya. Vilenkin ve diğerleri, Cebir ve matematiksel analiz / 10. Sınıf, 11. Sınıf / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A.F. Ivanov ve diğerleri, Matematik. Sınava hazırlanmak için eğitim ve öğretim materyalleri // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matematik, sayı teorisi// Denklemleri tam sayılarda çözme// LIBROCOM Kitap Evi

İnternet kaynakları:

4. Demo Seçenekleri kontrol ölçüm malzemeleri matematikte birleşik devlet sınavı http://fipi.ru/

5. Tamsayılardaki denklem çözümlerine örnekler http://reshuege.ru

6. Tam sayılardaki denklem çözümlerine örnekler http://mat-ege.ru

7. Diophant Denklemlerinin Tarihi http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Diophantus'un Tarihi http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Diophant Denklemlerinin Tarihihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Diophantus'un Tarihi http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemler

tanım 1. A biraz olsun sayı çiftleri (x; y) . A kümesinin verildiği söylenir. sayısal işlev z iki değişkenden x ve y , bir kural belirtilirse, bunun yardımıyla A kümesindeki her sayı çiftine belirli bir sayı atanır.

Egzersiz yapmak sayısal işlev z iki değişkenden x ve y genellikle atamak Yani:

nerede f (x , y) - fonksiyon dışında herhangi bir fonksiyon

f (x , y) = balta+by+c ,

burada a, b, c sayıları verilmiştir.

Tanım 3. Denklem (2) çözümü bir çift sayı adlandırın x; y) , bunun için formül (2) gerçek bir eşitliktir.

Örnek 1 . denklemi çözün

Herhangi bir sayının karesi negatif olmadığından, formül (4)'ten x ve y bilinmeyenlerinin denklem sistemini sağladığı sonucu çıkar.

çözümü bir çift sayı (6 ; 3) olan .

Cevap: (6; 3)

Örnek 2. denklemi çözün

Bu nedenle, denklem (6)'nın çözümü sonsuz sayıda sayı çifti tür

(1 + y ; y) ,

nerede y herhangi bir sayıdır.

doğrusal

Tanım 4. Denklem sistemini çözme

bir çift sayı adlandırın x; y) ), onları bu sistemin denklemlerinin her birine değiştirerek doğru eşitliği elde ederiz.

Biri lineer olan iki denklem sistemleri şu şekildedir:

g(x , y)

Örnek 4. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm . Bilinmeyen y'yi sistemin (7) birinci denkleminden bilinmeyen x cinsinden ifade edelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:

Denklemi Çözmek

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Sonuç olarak,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Biri homojen olan iki denklem sistemi

Biri homojen olan iki denklem sistemi şu şekildedir:

a , b , c sayıları verildiğinde ve g(x , y) x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonudur.

Örnek 6. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm . homojen denklemi çözelim

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

bilinmeyen x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak ele almak:

.

ne zaman x = - 5y, sistemin ikinci denkleminden (11) denklemi elde ederiz

5y 2 = - 20 ,

hangi kökleri yoktur.

ne zaman

sistemin ikinci denkleminden (11) denklemi elde ederiz

,

kökleri sayılar olan y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Bu değerlerin her biri için karşılık gelen x değerini bularak, sisteme iki çözüm elde ederiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Cevap: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Diğer türdeki denklem sistemlerini çözme örnekleri

Örnek 8. Denklem sistemini çözün (MIPT)

Çözüm . Formüllerle x ve y cinsinden ifade edilen yeni u ve v bilinmeyenlerini sunuyoruz:

Sistemi (12) yeni bilinmeyenler cinsinden yeniden yazmak için, önce x ve y bilinmeyenlerini u ve v cinsinden ifade ediyoruz. Sistemden (13) şu sonucu çıkar:

Lineer sistemi (14) bu sistemin ikinci denkleminden x değişkenini çıkararak çözüyoruz. Bunun için sistem (14) üzerinde aşağıdaki dönüşümleri yapıyoruz.