Bu makale hakkında ondalık sayılar. Burada kesirli sayıların ondalık gösterimi ile ilgileneceğiz, ondalık kesir kavramını tanıtacağız ve ondalık kesirlere örnekler vereceğiz. Ardından, ondalık kesirlerin basamakları hakkında konuşalım, basamak adlarını verelim. Bundan sonra, periyodik ve periyodik olmayan kesirler hakkında, sonsuz ondalık kesirlere odaklanacağız. Ardından, ana eylemleri ondalık kesirlerle listeleriz. Sonuç olarak, koordinat ışını üzerindeki ondalık kesirlerin konumunu belirleriz.

Sayfa gezintisi.

Bir kesirli sayının ondalık gösterimi

Ondalık sayıları okuma

Ondalık kesirleri okuma kuralları hakkında birkaç söz söyleyelim.

Doğru adi kesirlere karşılık gelen ondalık kesirler de bu adi kesirlerle aynı şekilde okunur, önceden sadece “sıfır tam” eklenir. Örneğin, 0.12 ondalık kesir 12/100 sıradan kesre karşılık gelir ("on iki yüzüncü" olarak okunur), bu nedenle 0.12 "sıfır noktası on iki yüzüncü" olarak okunur.

Karışık sayılara karşılık gelen ondalık kesirler, bu karışık sayılarla tam olarak aynı şekilde okunur. Örneğin, ondalık 56.002 şuna karşılık gelir: karışık numara bu nedenle, 56.002 ondalık kesri "elli altı virgül iki binde biri" olarak okunur.

ondalık basamaklar

Ondalık kesirlerin gösteriminde ve doğal sayıların gösteriminde, her basamağın değeri konumuna bağlıdır. Gerçekten de, ondalık 0.3'teki 3 sayısı, ondalık olarak 0.0003 - on binde üç ve ondalık olarak 30.000.152 - üç on binlerce anlamına gelir. Böylece, hakkında konuşabiliriz ondalık sayılar, doğal sayılardaki rakamlar hakkında olduğu gibi.

Ondalık kesirden ondalık basamağa kadar olan basamak adları, doğal sayılardaki basamak adlarıyla tamamen örtüşür. Ve virgülden sonraki ondalık kesirdeki rakamların isimleri aşağıdaki tablodan görülebilir.

Örneğin, 37.051 ondalık kesirde 3 sayısı onlar basamağında, 7 birim basamağında, 0 onuncu sırada, 5 yüzüncü sırada, 1 bininci sırada.

Ondalık kesirdeki rakamlar da kıdem bakımından farklılık gösterir. Ondalık gösterimde soldan sağa doğru basamaktan basamağa geçersek, o zaman kıdemli ile genç rütbeler. Örneğin, yüzler basamağı onuncular basamağından daha eskidir ve milyonlar basamağı yüzler basamağından daha küçüktür. Bu son ondalık kesirde, en anlamlı ve en az anlamlı rakamlardan bahsedebiliriz. Örneğin, ondalık olarak 604.9387 kıdemli (en yüksek) rakam yüzler rakamıdır ve genç (en düşük)- on bininci yer.

Ondalık kesirler için, rakamlara genişleme gerçekleşir. Doğal sayıların basamaklarındaki genişlemeye benzer. Örneğin, 45.6072'nin ondalık açılımı: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . Ve bir ondalık kesrin basamaklara genişletilmesinden toplama özellikleri, bu ondalık kesrin diğer temsillerine gitmenize izin verir, örneğin, 45.6072=45+0.6072 veya 45.6072=40.6+5.007+0.0002 veya 45.6072= 45.0072+0.6 .

Son ondalık sayılar

Bu noktaya kadar, kaydında ondalık noktadan sonra sonlu sayıda basamak bulunan ondalık kesirlerden bahsettik. Bu tür kesirlere son ondalık kesirler denir.

Tanım.

Son ondalık sayılar- Bunlar, kayıtları sınırlı sayıda karakter (rakam) içeren ondalık kesirlerdir.

İşte son ondalık sayıların bazı örnekleri: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Bununla birlikte, her ortak kesir, sonlu bir ondalık kesir olarak temsil edilemez. Örneğin, 5/13 kesri, paydalardan 10, 100, ... biriyle eşit bir kesir ile değiştirilemez, bu nedenle, son ondalık kesre dönüştürülemez. Sıradan kesirleri ondalık kesirlere dönüştürmenin teori bölümünde bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Sonsuz ondalık sayılar: periyodik kesirler ve periyodik olmayan kesirler

Bir ondalık noktadan sonra bir ondalık kesir yazarken, şeytanların mevcudiyeti olasılığı kabul edilebilir. son miktar rakamlar. Bu durumda, sözde sonsuz ondalık kesirler konusuna geleceğiz.

Tanım.

Sonsuz ondalık sayılar- Bunlar, kaydında sonsuz sayıda basamak bulunan ondalık kesirler.

Sonsuz ondalık kesirleri tam olarak yazamayacağımız açıktır, bu nedenle kayıtlarında ondalık noktadan sonra yalnızca belirli bir sonlu basamak sayısıyla sınırlıdırlar ve sonsuz devam eden bir basamak dizisini gösteren bir üç nokta koyarlar. İşte sonsuz ondalık kesirlere bazı örnekler: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Son iki sonsuz ondalık kesire yakından bakarsanız, o zaman 2.111111111 ... fraksiyonunda sonsuz tekrar eden 1 sayısı açıkça görülebilir ve 69.74152152152 ... fraksiyonunda üçüncü ondalık basamaktan başlayarak, yinelenen sayı grubu 1, 5 ve 2 açıkça görülebilir. Bu tür sonsuz ondalık kesirlere periyodik denir.

Tanım.

Periyodik ondalık sayılar(ya da sadece periyodik kesirler) sonsuz ondalık kesirler, kayıtlarında belirli bir ondalık basamaktan başlayarak, adı verilen bir basamak veya basamak grubu kesir dönemi.

Örneğin, periyodik kesrin 2.111111111…'in periyodu 1 sayısıdır ve 69.74152152152… kesrin periyodu 152 gibi bir sayı grubudur.

Sonsuz periyodik ondalık kesirler için özel bir gösterim benimsenmiştir. Kısaca, parantez içine alarak dönemi bir kez yazmayı kabul ettik. Örneğin, periyodik kesir 2.111111111… 2,(1) olarak yazılır ve periyodik kesir 69.74152152152… 69.74(152) olarak yazılır.

Aynı periyodik ondalık kesir için farklı periyotlar belirtebileceğinizi belirtmekte fayda var. Örneğin, periyodik ondalık 0.73333…, periyodu 3 olan 0.7(3)'lük bir kesir ve 33'lük bir periyotlu 0.7(33) kesri ve 0.7(333), 0.7 (3333) olarak kabul edilebilir. ), ... Periyodik kesir 0.73333'e de bakabilirsiniz ... bunun gibi: 0.733(3) veya bunun gibi 0.73(333), vb. Burada, belirsizlik ve tutarsızlıklardan kaçınmak için, ondalık basamağa en yakın konumdan başlayarak, olası tüm tekrar eden basamak dizilerinin en kısasını ondalık kesrin periyodu olarak kabul ediyoruz. Yani, 0.73333… ondalık kesrinin periyodu bir basamaklı 3 dizisi olarak kabul edilecektir ve periyodiklik ondalık noktadan sonraki ikinci konumdan, yani 0.73333…=0.7(3) . Başka bir örnek: 4.7412121212… periyodik kesrinin periyodu 12'dir, periyodiklik ondalık noktadan sonraki üçüncü basamaktan başlar, yani 4.7412121212…=4.74(12) .

Sonsuz ondalık periyodik kesirler, paydaları 2 ve 5'ten farklı asal çarpanları içeren sıradan kesirlerin ondalık kesirlerine dönüştürülerek elde edilir.

Burada periyodu 9 olan periyodik kesirlerden bahsetmeye değer. İşte bu tür kesirlere örnekler: 6.43(9) , 27,(9) . Bu kesirler, 0 periyoduna sahip periyodik fraksiyonlar için başka bir gösterimdir ve bunları 0 periyoduna sahip periyodik fraksiyonlarla değiştirmek gelenekseldir. Bunu yapmak için, nokta 9, nokta 0 ile değiştirilir ve bir sonraki en yüksek basamağın değeri bir artırılır. Örneğin, 7.24(9) biçimindeki 9. noktalı bir kesir, 7.25(0) biçimindeki 0. Başka bir örnek: 4,(9)=5,(0)=5 . Periyodu 9 olan bir kesrin eşitliği ve periyodu 0 olan kesrin eşitliği, bu ondalık kesirleri eşit adi kesirleriyle değiştirdikten sonra kolayca kurulur.

Son olarak, sonsuz sayıda yinelenen basamak dizisine sahip olmayan sonsuz ondalık sayılara daha yakından bakalım. Periyodik olmayan olarak adlandırılırlar.

Tanım.

Yinelenmeyen ondalık sayılar(ya da sadece periyodik olmayan kesirler) nokta içermeyen sonsuz ondalık sayılardır.

Bazen periyodik olmayan kesirler, periyodik kesirlerinkine benzer bir forma sahiptir, örneğin, 8.02002000200002 ... periyodik olmayan bir kesirdir. Bu durumlarda, farkı fark etmek için özellikle dikkatli olmalısınız.

Periyodik olmayan kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmediğini, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerin irrasyonel sayıları temsil ettiğini unutmayın.

Ondalık sayılarla işlemler

Ondalık sayılarla yapılan işlemlerden biri karşılaştırmadır ve ayrıca dört temel aritmetik tanımlanmıştır. ondalık sayılarla işlemler: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Ondalık kesirli eylemlerin her birini ayrı ayrı düşünün.

Ondalık Karşılaştırma esas olarak, karşılaştırılan ondalık kesirlere karşılık gelen sıradan kesirlerin karşılaştırmasına dayanır. Bununla birlikte, ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek oldukça zahmetli bir işlemdir ve sonsuz tekrarlanmayan kesirler sıradan bir kesir olarak temsil edilemez, bu nedenle ondalık kesirlerin bit düzeyinde karşılaştırmasını kullanmak uygundur. Ondalık sayıların bit düzeyinde karşılaştırılması, doğal sayıların karşılaştırılmasına benzer. Daha ayrıntılı bilgi için, ondalık kesirlerin, kuralların, örneklerin, çözümlerin makale malzeme karşılaştırmasını incelemenizi öneririz.

Bir sonraki adıma geçelim - ondalık sayıları çarpma. Son ondalık kesirlerin çarpımı, ondalık kesirlerin, kuralların, örneklerin, bir doğal sayılar sütunu ile çarpma çözümlerinin çıkarılmasına benzer şekilde gerçekleştirilir. Periyodik kesirler durumunda, çarpma, sıradan kesirlerin çarpımına indirgenebilir. Buna karşılık, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerin yuvarlamalarından sonra çarpımı, sonlu ondalık kesirlerin çarpımına indirgenir. Ondalık kesirlerin, kuralların, örneklerin, çözümlerin çarpımı makalesinin materyali hakkında daha fazla çalışma yapmanızı öneririz.

Koordinat ışınındaki ondalık sayılar

Noktalar ve ondalık sayılar arasında bire bir yazışma vardır.

Belirli bir ondalık kesire karşılık gelen koordinat ışını üzerinde noktaların nasıl oluşturulduğunu bulalım.

Sonlu ondalık kesirleri ve sonsuz periyodik ondalık kesirleri kendilerine eşit sıradan kesirler ile değiştirebilir ve sonra koordinat ışını üzerinde karşılık gelen sıradan kesirleri oluşturabiliriz. Örneğin, bir ondalık kesir 1.4, 14/10 sıradan bir kesre karşılık gelir, bu nedenle, 1.4 koordinatlı nokta, orijinden pozitif yönde, tek bir segmentin onda birine eşit 14 segment ile çıkarılır.

Ondalık kesirler, bu ondalık kesrin basamaklara genişletilmesinden başlayarak koordinat demeti üzerinde işaretlenebilir. Örneğin, 16.3007 koordinatlı bir nokta oluşturmamız gerektiğini varsayalım, çünkü 16.3007=16+0.3+0.0007 , sonra verilen nokta orijinden 16 birim parçanın, uzunluğu birim parçanın onda birine eşit olan 3 parçanın ve uzunluğu bir birim parçanın on binde birine eşit olan 7 parçanın ardışık olarak döşenmesiyle ulaşılabilir. .

Koordinat demeti üzerinde ondalık sayılar oluşturmaya yönelik bu yöntem, sonsuz bir ondalık kesire karşılık gelen noktaya istediğiniz kadar yaklaşmanıza olanak tanır.

Bazen sonsuz bir ondalık basamağa karşılık gelen bir noktayı doğru bir şekilde çizmek mümkündür. Örneğin, , o zaman bu sonsuz ondalık kesir 1.41421... 1 birim parçanın bir kenarına sahip bir karenin köşegen uzunluğu ile orijinden uzak olan koordinat ışınının noktasına karşılık gelir.

Koordinat ışını üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelen ondalık kesir elde etmenin tersi işlemi, sözde bir segmentin ondalık ölçümü. Nasıl yapıldığını görelim.

Görevimiz, orijinden koordinat çizgisi üzerinde belirli bir noktaya gitmek (veya ona ulaşmak imkansızsa sonsuzca yaklaşmak) olsun. Bir segmentin ondalık ölçümüyle, herhangi bir sayıdaki birim segmenti orijinden sırayla erteleyebiliriz, ardından uzunluğu tek bir segmentin onda birine eşit olan segmentleri, ardından uzunluğu tek bir segmentin yüzde birine eşit olan segmentleri vb. . Her uzunlukta çizilen bölümlerin sayısını yazarak, koordinat ışını üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelen ondalık kesri elde ederiz.

Örneğin, yukarıdaki şekilde M noktasına ulaşmak için 1 birim parça ve uzunluğu birimin onda birine eşit olan 4 parça ayırmanız gerekir. Böylece M noktası ondalık kesir 1.4'e karşılık gelir.

Ondalık ölçüm sırasında ulaşılamayan koordinat ışınının noktalarının sonsuz ondalık kesirlere karşılık geldiği açıktır.

Bibliyografya.

• Matematik: çalışmalar. 5 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - E.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematik. 6. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, Rev. - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Bu yazıda ondalık kesrin ne olduğunu, hangi özelliklere ve özelliklere sahip olduğunu anlayacağız. Gitmek! 🙂

Ondalık adi kesirlerin özel bir durumudur (burada payda 10'un katıdır).

Tanım

Ondalık sayılar, paydaları bir ve kendisinden sonra gelen belirli sayıda sıfırdan oluşan sayılar olan kesirlerdir. Yani bunlar paydası 10, 100, 1000 vb. olan kesirler. Aksi takdirde, bir ondalık kesir, paydası 10 olan bir kesir veya on kuvvetlerden biri olarak nitelendirilebilir.

Kesir örnekleri:

, ,

Bir ondalık kesir, ortak bir kesirden farklı yazılır. Bu kesirlerle yapılan işlemler de sıradan olanlardan farklıdır. Bunlar üzerindeki işlemlere ilişkin kurallar, büyük ölçüde tamsayılar üzerindeki işlemlere ilişkin kurallara yakındır. Bu, özellikle, pratik problemlerin çözümündeki alaka düzeyini belirler.

Bir kesrin ondalık gösterimde gösterimi

Ondalık gösterimde payda yoktur, payın numarasını gösterir. AT Genel görünüm Ondalık kesir aşağıdaki gibi yazılır:

burada X kesrin tamsayı kısmıdır, Y kesir kısmıdır, "," ondalık noktadır.

Sıradan bir kesrin ondalık sayı olarak doğru temsili için doğru olması, yani tamsayı kısmı (mümkünse) vurgulanmış ve payda paydadan küçük olması gerekir. Daha sonra ondalık gösterimde tamsayı kısmı ondalık noktadan (X) önce yazılır ve adi kesrin payı ondalık noktadan (Y) sonra yazılır.

Pay, paydadaki sıfır sayısından daha az basamaklı bir sayıyı temsil ediyorsa, Y bölümünde, ondalık gösterimdeki eksik basamak sayısı, payın basamaklarının önüne sıfırlarla doldurulur.

Örnek:

Sıradan kesir 1'den küçükse, yani. bir tamsayı kısmı yoksa, X için 0 ondalık biçimde yazılır.

Kesirli kısımda (Y), son önemli (sıfır dışında) basamaktan sonra isteğe bağlı sayıda sıfır girilebilir. Kesrin değerini etkilemez. Ve tam tersi: ondalık kesrin kesirli kısmının sonundaki tüm sıfırlar atlanabilir.

Ondalık sayıları okuma

Bölüm X, genel durumda şu şekilde okunur: "X tamsayıları."

Y kısmı paydadaki sayıya göre okunur. Payda 10 için şunu okumalısınız: "Y ondalık", payda 100 için: "Y yüzüncü", payda 1000 için: "Y binde biri" vb. 😉

Okumaya yönelik başka bir yaklaşım, kesirli kısmın basamak sayısını saymaya dayalı olarak daha doğru kabul edilir. Bunu yapmak için, kesirli rakamların, kesrin tamsayı kısmının rakamlarına göre ayna görüntüsünde bulunduğunu anlamanız gerekir.

Doğru okuma için isimler tabloda verilmiştir:

Buna dayanarak, okuma, kesirli kısmın son basamağının kategorisinin ismine karşılık gelmelidir.

• 3.5 "üç nokta beş" okur
• 0.016, "sıfır noktası on altı binde biri" gibi okur

Rasgele sıradan bir kesri ondalık sayıya dönüştürme

Sıradan bir kesrin paydası 10 veya on'un bir kuvveti ise, kesir yukarıda açıklandığı gibi dönüştürülür. Diğer durumlarda, ek dönüşümler gereklidir.

Çevirmenin 2 yolu vardır.

Çeviri yapmanın ilk yolu

Pay ve payda öyle bir tam sayı ile çarpılmalıdır ki payda 10 veya on'un üslerinden biridir. Ve sonra kesir ondalık gösterimde temsil edilir.

Bu yöntem, paydası yalnızca 2 ve 5'e ayrıştırılan kesirler için geçerlidir. Yani, önceki örnekte. . Genişlemede başka asal faktörler varsa (örneğin, ), o zaman 2. yönteme başvurmanız gerekecektir.

Çeviri yapmanın ikinci yolu

2. yöntem, payı bir sütunda veya hesap makinesinde paydaya bölmektir. Tamsayı kısmı, varsa, dönüşüme dahil değildir.

Ondalık kesir ile sonuçlanan uzun bölme kuralı aşağıda açıklanmıştır (bkz. Ondalık Sayıları Bölme).

Ondalık sayıyı sıradan sayıya dönüştür

Bunun için kesirli kısmı (virgülün sağında) pay olarak, kesirli kısmı okuma sonucu paydada karşılık gelen sayı olarak yazılmalıdır. Ayrıca, mümkünse, ortaya çıkan fraksiyonu azaltmanız gerekir.

Son ve Sonsuz Ondalık

Ondalık kesir, kesirli kısmı sonlu sayıda basamaktan oluşan nihai olarak adlandırılır.

Yukarıdaki örneklerin tümü tam olarak son ondalık kesirleri içerir. Ancak, her sıradan kesir son ondalık sayı olarak temsil edilemez. Belirli bir kesir için 1. öteleme yöntemi uygulanamıyorsa ve 2. yöntem bölmenin tamamlanamayacağını gösteriyorsa, yalnızca sonsuz bir ondalık kesir elde edilebilir.

Sonsuz bir kesri tam biçiminde yazmak imkansızdır. Eksik bir biçimde, bu tür kesirler temsil edilebilir:

1. istenen ondalık basamak sayısına indirgemenin bir sonucu olarak;
2. periyodik bir kesir şeklinde.

Bir kesir, ondalık noktadan sonra sonsuz tekrar eden bir basamak dizisinin ayırt edilebildiği periyodik olarak adlandırılır.

Kalan kesirlere periyodik olmayan denir. Periyodik olmayan kesirler için yalnızca 1. gösterim yöntemine (yuvarlama) izin verilir.

Periyodik kesre bir örnek: 0.8888888 ... Burada, aksini varsaymak için hiçbir neden olmadığı için, açıkça süresiz olarak tekrarlanacak olan tekrar eden bir 8 rakamı var. Bu numara denir kesir dönemi.

Periyodik kesirler saf ve karışıktır. Ondalık kesir, noktanın ondalık noktadan hemen sonra başladığı saftır. Karışık bir kesrin ondalık noktasından önce 1 veya daha fazla basamağı vardır.

54.33333 ... - periyodik saf ondalık kesir

2.56212121 ... - periyodik karışık kesir

Sonsuz ondalık sayılar yazma örnekleri:

2. örnek, periyodik bir kesirde bir periyodun nasıl düzgün bir şekilde oluşturulacağını gösterir.

Periyodik ondalık sayıları sıradan sayılara dönüştürme

Saf bir periyodik kesri sıradan bir periyoda dönüştürmek için, payda yazın ve paydada, periyottaki basamak sayısına eşit miktarda dokuzdan oluşan bir sayı yazın.

Karışık bir yinelenen ondalık sayı aşağıdaki gibi çevrilir:

1. noktadan önceki ondalık noktadan sonraki sayıdan ve ilk noktadan oluşan bir sayı oluşturmanız gerekir;
2. sonuçtaki sayıdan, noktadan önceki ondalık noktadan sonraki sayıyı çıkarın. Sonuç, sıradan bir kesrin payı olacaktır;
3. paydada, dönemin basamak sayısına eşit dokuzlardan oluşan bir sayı, ardından sayı, sayının ondalık noktadan sonraki basamak sayısına eşit olan sıfırlardan oluşan bir sayı girmeniz gerekir. 1. Dönem.

Ondalık Karşılaştırma

Ondalık kesirler başlangıçta bütün kısımlarıyla karşılaştırılır. Daha büyük, tamsayı kısmı daha büyük olan kesirdir.

Tamsayı kısımları aynıysa, o zaman kesirli kısmın karşılık gelen basamaklarının basamakları, ilkinden başlayarak (onda birlik) karşılaştırılır. Aynı ilke burada da geçerlidir: daha büyük bir ondalık derecesine sahip olan kesirlerin daha büyüğü; onuncu basamaklar eşitse, yüzüncü basamaklar karşılaştırılır, vb.

Çünkü

, kesirli kısımda eşit tamsayı kısımları ve eşit onda biri ile, 2. kesir daha fazla yüzdeye sahiptir.

Ondalık sayıları toplama ve çıkarma

Ondalık sayılar, tam sayılarla aynı şekilde toplanır ve çıkarılır, karşılık gelen basamaklar alt alta yazılır. Bunu yapmak için, birbirinin altında ondalık noktaların olması gerekir. Daha sonra tamsayı bölümünün birimleri (onlar vb.) ile kesirli bölümün ondalıkları (yüzdeler vb.) eşleşecektir. Kesirli kısmın eksik rakamları sıfırlarla doldurulur. Direkt olarak Toplama ve çıkarma işlemi tam sayılarda olduğu gibi yapılır.

ondalık çarpma

Ondalık kesirleri çarpmak için, ondalık sayıların konumuna dikkat etmeden, son basamağa hizalı olarak alt alta yazmanız gerekir. Ardından, tamsayıları çarparken olduğu gibi sayıları çarpmanız gerekir. Sonucu aldıktan sonra, her iki kesirde de ondalık noktadan sonraki basamak sayısını yeniden hesaplamalı ve elde edilen sayıdaki toplam kesirli basamak sayısını virgülle ayırmalısınız. Yeterli rakam yoksa, bunlar sıfırlarla değiştirilir.

Ondalık sayıları 10 n ile çarpma ve bölme

Bu eylemler basittir ve ondalık noktayı hareket ettirmek için aşağı iner. P Çarpma sırasında, virgül, 10 n'deki sıfır sayısına eşit basamak sayısı kadar sağa hareket eder (kesir artar), burada n, keyfi bir tamsayı gücüdür. Yani, kesirli kısımdan tam sayıya belirli sayıda basamak aktarılır. Sırasıyla bölerken virgül sola aktarılır (sayı azalır) ve bazı rakamlar tamsayı kısmından kesirli kısma aktarılır. Aktarılacak yeterli basamak yoksa, eksik basamaklar sıfırlarla doldurulur.

Bir ondalık sayı ve bir tam sayıyı bir tam sayı ve bir ondalık sayıya bölme

Ondalık sayıyı bir tam sayıya bölmek, iki tam sayıyı bölmekle aynıdır. Ek olarak, yalnızca ondalık noktanın konumu dikkate alınmalıdır: virgülle takip edilen basamağın basamağını yıkarken, oluşturulan cevabın mevcut basamağından sonra virgül koymak gerekir. O zaman sıfır olana kadar bölmeye devam etmelisin. Tam bölme için temettüde yeterli işaret yoksa, onlar olarak sıfırlar kullanılmalıdır.

Benzer şekilde, 2 tam sayı, temettünün tüm basamakları yıkılmışsa ve tam bölme henüz tamamlanmamışsa bir sütuna bölünür. Bu durumda, temettünün son basamağının yıkılmasından sonra, ortaya çıkan cevaba bir ondalık nokta yerleştirilir ve yıkılan basamaklar olarak sıfırlar kullanılır. Şunlar. Buradaki temettü, aslında, sıfır kesirli kısmı olan bir ondalık kesir olarak temsil edilir.

Bir ondalık kesri (veya bir tam sayıyı) bir ondalık sayıya bölmek için, temettü ve böleni 10 n sayısıyla çarpmak gerekir; buradaki sıfır sayısı, ondalık noktadan sonraki basamak sayısına eşittir. bölen. Bu şekilde bölmek istediğiniz kesirdeki ondalık noktadan kurtulurlar. Ayrıca, bölme işlemi yukarıda açıklananla aynıdır.

Ondalık sayıların grafiksel gösterimi

Grafiksel olarak, ondalık kesirler bir koordinat çizgisi aracılığıyla temsil edilir. Bunun için, tıpkı bir cetvelde aynı anda santimetre ve milimetrenin biriktirilmesi gibi, tekli segmentler ek olarak 10 eşit parçaya bölünür. Bu, ondalık sayıların doğru bir şekilde görüntülenmesini ve nesnel olarak karşılaştırılabilmesini sağlar.

Tek parçalar üzerindeki uzunlamasına bölümlerin aynı olması için, tek parçanın kendisinin uzunluğu dikkatlice düşünülmelidir. Ek bölme kolaylığı sağlanabilecek şekilde olmalıdır.

Bu materyali ondalık kesirler gibi önemli bir konuya ayıracağız. İlk olarak, temel tanımları tanımlayalım, örnekler verelim ve ondalık gösterim kurallarının yanı sıra ondalık kesirlerin basamaklarının ne olduğu üzerinde duralım. Ardından, ana türleri vurgulayacağız: sonlu ve sonsuz, periyodik ve periyodik olmayan kesirler. Son bölümde kesirli sayılara karşılık gelen noktaların koordinat ekseninde nasıl konumlandığını göstereceğiz.

Kesirli sayılar için ondalık gösterim nedir

Kesirli sayılar için sözde ondalık gösterim, hem doğal hem de kesirli sayılar için kullanılabilir. Aralarında virgül bulunan iki veya daha fazla sayıdan oluşan bir kümeye benziyor.

Ondalık nokta, tamsayı kısmı kesirli kısımdan ayırmak için kullanılır. Kural olarak, ondalık nokta ilk sıfırdan hemen sonra olmadıkça, ondalık sayının son basamağı asla sıfır değildir.

Ondalık gösterimde kesirli sayıların bazı örnekleri nelerdir? 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 vb. olabilir.

Bazı ders kitaplarında virgül yerine nokta kullanımını bulabilirsiniz (5. 67, 6789. 1011, vb.) Bu seçenek eşdeğer kabul edilir, ancak İngilizce kaynaklar için daha tipiktir.

ondalık sayıların tanımı

Yukarıdaki ondalık gösterim kavramına dayanarak, aşağıdaki ondalık kesir tanımını formüle edebiliriz:

tanım 1

Ondalık sayılar, ondalık gösterimdeki kesirli sayılardır.

Neden bu biçimde kesirler yazmamız gerekiyor? Özellikle paydanın 1000, 100, 10 vb. veya karışık bir sayı olduğu durumlarda, örneğin daha kompakt bir gösterim gibi sıradan olanlara göre bize bazı avantajlar sağlar. Örneğin, 6 10 yerine 512 3 100 - 512 , 03 yerine 25 10000 - 0 , 0023 yerine 0 , 6 belirtebiliriz.

Paydada ondalık biçimde onlarca, yüzlerce, binlerce olan sıradan kesirlerin nasıl doğru bir şekilde temsil edileceği ayrı bir materyalde açıklanacaktır.

Ondalık sayılar nasıl doğru okunur

Ondalık sayıların kayıtlarını okumak için bazı kurallar vardır. Böylece, doğru sıradan eşdeğerlerine karşılık gelen ondalık kesirler hemen hemen aynı şekilde okunur, ancak başlangıçta "sıfır ondalık" kelimelerinin eklenmesiyle. Bu nedenle, 14 100'e karşılık gelen 0 , 14 girişi "sıfır noktası on dört yüzüncüler" olarak okunur.

Bir ondalık kesir karışık bir sayı ile ilişkilendirilebilirse, bu sayı ile aynı şekilde okunur. Bu nedenle, 56 2 1000'e karşılık gelen 56, 002 kesirimiz varsa, "elli altı nokta iki binde biri" gibi bir girişi okuruz.

Ondalık gösterimdeki bir basamağın değeri, bulunduğu yere bağlıdır (tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi). Yani, ondalık kesirde 0, 7, yedi ondalıktır, 0, 0007'de on bindedir ve 70,000, 345 kesirinde yedi on binlerce tam birim anlamına gelir. Bu nedenle, ondalık kesirlerde bir sayı basamağı kavramı da vardır.

Virgülden önceki rakamların isimleri, doğal sayılarda bulunanlara benzer. Daha sonra bulunanların isimleri tabloda açıkça sunulmuştur:

Bir örnek alalım.

örnek 1

43, 098 ondalık basamağımız var. Onlarcalar basamağında dört, birler basamağında üç, onuncu sırada sıfır, yüzüncü sırada 9 ve bininci sırada 8 vardır.

Ondalık kesirlerin basamaklarını kıdeme göre ayırt etmek gelenekseldir. Rakamlar arasında soldan sağa doğru hareket edersek, yüksek rakamlardan düşük rakamlara gideceğiz. Yüzlercesinin onlardan daha yaşlı ve milyonda birinin yüzde birinden daha genç olduğu ortaya çıktı. Yukarıda örnek olarak verdiğimiz bu son ondalık kesri alırsak, o zaman onda üst veya en yüksek rakam yüzlerce, en düşük veya en düşük 10 binde bir rakam olacaktır.

Herhangi bir ondalık kesir, ayrı rakamlara ayrıştırılabilir, yani toplam olarak temsil edilebilir. Bu işlem doğal sayılarda olduğu gibi yapılır.

Örnek 2

56, 0455 kesirini rakamlara genişletmeye çalışalım.

Şunları yapabileceğiz:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Toplamanın özelliklerini hatırlarsak, bu kesri başka şekillerde temsil edebiliriz, örneğin 56 + 0, 0455 veya 56, 0055 + 0, 4, vb.

Sondaki ondalık sayılar nedir

Yukarıda bahsettiğimiz tüm kesirler sondaki ondalık sayılardır. Bu, ondalık noktadan sonraki basamak sayısının sonlu olduğu anlamına gelir. tanımını alalım:

tanım 1

Sondaki ondalık sayılar, virgülden sonra sonlu sayıda basamağa sahip bir ondalık sayı türüdür.

Bu tür kesirlerin örnekleri 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, vb. olabilir.

Bu kesirlerden herhangi biri ya karışık bir sayıya (eğer kesirli kısımlarının değeri sıfırdan farklıysa) ya da sıradan bir kesre (tamsayı kısmı sıfır ise) dönüştürülebilir. Bunun nasıl yapıldığına ayrı bir materyal ayırdık. Burada sadece birkaç örneğe dikkat çekelim: örneğin, son ondalık kesir 5 , 63'ü 5 63 100 biçimine getirebiliriz ve 0 , 2 2 10'a karşılık gelir (veya buna eşit herhangi bir kesir, örneğin, 4 20 veya 1 5 .)

Ancak ters işlem, yani. sıradan bir kesri ondalık biçimde yazmak her zaman gerçekleştirilemeyebilir. Bu nedenle, 5 13, paydası 100, 10, vb. olan eşit bir kesir ile değiştirilemez, bu da son ondalık kesrin bundan çıkmadığı anlamına gelir.

Sonsuz ondalık kesirlerin ana türleri: periyodik ve periyodik olmayan kesirler

Yukarıda, sonlu kesirlerin, ondalık noktadan sonra sonlu sayıda basamakları olduğu için böyle adlandırıldığına işaret etmiştik. Bununla birlikte, pekala sonsuz olabilir, bu durumda kesirlerin kendilerine de sonsuz denilecektir.

tanım 2

Sonsuz ondalık sayılar, ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamağa sahip olanlardır.

Açıkçası, bu tür sayılar tamamen yazılamaz, bu yüzden sadece bir kısmını işaret edip üç nokta koyuyoruz. Bu işaret, ondalık basamak dizisinin sonsuz bir devamını gösterir. Sonsuz ondalık sayılara örnekler 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... olabilir. vb.

Böyle bir kesrin "kuyruğunda", yalnızca görünüşte rastgele sayı dizileri değil, aynı karakterin veya karakter grubunun sürekli tekrarı olabilir. Ondalık noktadan sonra değişen kesirlere periyodik denir.

tanım 3

Periyodik ondalık kesirler, ondalık noktadan sonra bir veya birkaç basamaktan oluşan bir grubun tekrarlandığı sonsuz ondalık kesirlerdir. Tekrar eden kısma kesrin periyodu denir.

Örneğin, 3, 444444 ... fraksiyonu için. periyot 4 sayısı olacak ve 76 için 134134134134 ... - 134 grubu olacak.

Periyodik bir kesirde izin verilen minimum karakter sayısı nedir? Periyodik kesirler için tüm periyodu parantez içinde bir kez yazmak yeterli olacaktır. Yani, kesir 3, 444444 ... . 3, (4) ve 76, 134134134134 ... - 76, (134) şeklinde yazmak doğru olacaktır.

Genel olarak, parantez içinde birden fazla nokta bulunan girişler tam olarak aynı anlama sahip olacaktır: örneğin, 0,677777 periyodik kesir, 0,6 (7) ve 0,6 (77) ile aynıdır, vb. 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) ve diğerleri gibi girişlere de izin verilir.

Hatalardan kaçınmak için, gösterimin tekdüzeliğini tanıtıyoruz. Ondalık basamağa en yakın noktayı (mümkün olan en kısa basamak dizisi) yazmayı ve parantez içine almayı kabul edelim.

Yani, yukarıdaki kesir için 0, 6 (7) girişini ana olarak kabul edeceğiz ve örneğin 8, 9134343434 kesri durumunda 8, 91 (34) yazacağız.

Sıradan bir kesrin paydası, 5 ve 2'ye eşit olmayan asal çarpanlar içeriyorsa, ondalık gösterime dönüştürüldüğünde, onlardan sonsuz kesirler elde edilecektir.

Prensip olarak, herhangi bir sonlu kesri periyodik olarak yazabiliriz. Bunu yapmak için, sağa sonsuz sayıda sıfır eklememiz yeterlidir. Kayıtta nasıl görünüyor? Diyelim ki 45, 32'lik bir son kesirimiz var. Periyodik formda 45 , 32 (0) gibi görünecektir. Bu işlem mümkündür, çünkü herhangi bir ondalık kesrin sağına sıfır eklemek, sonuç olarak bize buna eşit bir kesir verir.

Ayrı olarak, 9, örneğin 4, 89 (9), 31, 6 (9) periyodu olan periyodik kesirler üzerinde durmak gerekir. 0 periyoduna sahip benzer kesirler için alternatif bir gösterimdir, bu nedenle sıfır noktalı kesirler ile yazarken sıklıkla değiştirilirler. Aynı zamanda, bir sonraki basamağın değerine bir eklenir ve parantez içinde (0) gösterilir. Ortaya çıkan sayıların eşitliği, onları sıradan kesirler olarak sunarak kontrol etmek kolaydır.

Örneğin, 8, 31 (9) fraksiyonu, ilgili fraksiyon 8, 32 (0) ile değiştirilebilir. Veya 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Sonsuz ondalık periyodik kesirler rasyonel sayılar. Başka bir deyişle, herhangi bir periyodik kesir sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Ondalık noktadan sonra sonsuz tekrar eden bir dizinin olmadığı kesirler de vardır. Bu durumda, periyodik olmayan kesirler olarak adlandırılırlar.

Tanım 4

Periyodik olmayan ondalık kesirler, ondalık noktadan sonra bir nokta içermeyen sonsuz ondalık kesirleri içerir, yani. yinelenen sayı grubu.

Bazen periyodik olmayan kesirler periyodik olanlara çok benzer. Örneğin, 9 , 03003000300003 ... ilk bakışta bir nokta var gibi görünüyor, ancak ondalık basamakların ayrıntılı bir analizi, bunun hala periyodik olmayan bir kesir olduğunu doğrular. Bunun gibi sayılara çok dikkat etmelisiniz.

Periyodik olmayan kesirler irrasyonel sayılar. Sıradan kesirlere dönüştürülmezler.

Ondalık sayılarla temel işlemler

Ondalık kesirlerle şu işlemler yapılabilir: karşılaştırma, çıkarma, toplama, bölme ve çarpma. Her birini ayrı ayrı analiz edelim.

Ondalık sayıları karşılaştırmak, orijinal ondalık sayılara karşılık gelen sıradan kesirleri karşılaştırmaya indirgenebilir. Ancak sonsuz periyodik olmayan kesirler bu forma indirgenemez ve ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek genellikle zahmetli bir iştir. Sorunu çözme sürecinde yapmamız gerekirse, hızlı bir şekilde bir karşılaştırma eylemi nasıl yapılır? Doğal sayıları karşılaştırdığımız gibi, ondalık kesirleri de rakamlarla karşılaştırmak uygundur. Bu yönteme ayrı bir makale ayıracağız.

Bir ondalık kesri diğerine eklemek için, doğal sayılarda olduğu gibi sütun toplama yöntemini kullanmak uygundur. Periyodik ondalık kesirler eklemek için önce bunları sıradan olanlarla değiştirmeli ve standart şemaya göre saymalısınız. Problemin şartlarına göre sonsuz periyodik olmayan kesirleri toplamamız gerekiyorsa, bunları önce belirli bir basamağa yuvarlamalı, sonra toplamalıyız. Yuvarladığımız rakam ne kadar küçük olursa, hesaplamanın doğruluğu o kadar yüksek olur. Sonsuz kesirlerde çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri için ön yuvarlama da gereklidir.

Ondalık kesirlerin farkını bulmak toplama işleminin tersidir. Aslında, çıkarma yardımıyla, çıkarılan kesir ile toplamı bize azaltılmış olanı verecek bir sayı bulabiliriz. Bunu ayrı bir makalede daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Ondalık kesirlerin çarpımı, doğal sayılarda olduğu gibi yapılır. Bir sütunla hesaplama yöntemi de bunun için uygundur. Periyodik kesirlerle bu eylemi, daha önce çalışılan kurallara göre sıradan kesirlerin çarpımına indirgiyoruz. Sonsuz kesirler, hatırladığımız gibi, saymadan önce yuvarlanmalıdır.

Ondalık sayıları bölme işlemi çarpma işleminin tersidir. Problemleri çözerken sütun sayılarını da kullanırız.

Son ondalık sayı ile koordinat eksenindeki bir nokta arasında tam bir yazışma ayarlayabilirsiniz. Gerekli ondalık kesre tam olarak karşılık gelecek bir noktanın eksen üzerinde nasıl işaretleneceğini bulalım.

Sıradan kesirlere karşılık gelen noktaların nasıl oluşturulacağını zaten inceledik ve ondalık kesirler bu forma indirgenebilir. Örneğin, sıradan bir kesir 14 10, 1 , 4 ile aynıdır, dolayısıyla ona karşılık gelen nokta, orijinden pozitif yönde tam olarak aynı mesafede kaldırılacaktır:

Ondalık kesri sıradan bir kesirle değiştirmeden yapabilir ve basamak genişletme yöntemini temel alabilirsiniz. Yani, koordinatı 15,4008'e eşit olacak bir noktayı işaretlememiz gerekirse, bu sayıyı önce 15 + 0, 4 +, 0008 toplamı olarak göstereceğiz. Başlangıç ​​olarak, orijinden pozitif yönde 15 tam birim segmenti, ardından bir segmentin onda 4'ünü ve sonra bir segmentin on binde 8'ini ayırdık. Sonuç olarak, 15, 4008 fraksiyonuna karşılık gelen bir koordinat noktası elde edeceğiz.

Sonsuz bir ondalık kesir için, bu özel yöntemi kullanmak daha iyidir, çünkü istediğiniz noktaya istediğiniz kadar yaklaşmanıza izin verir. Bazı durumlarda, koordinat ekseninde sonsuz bir kesrin tam denkliğini oluşturmak mümkündür: örneğin, 2 = 1, 41421. . . , ve bu kesir koordinat ışını üzerindeki bir nokta ile ilişkilendirilebilir, karenin köşegen uzunluğu ile 0'dan uzak, kenarı bir birim segmente eşit olacaktır.

Eksen üzerinde bir nokta değil, ona karşılık gelen bir ondalık kesir bulursak, bu eyleme segmentin ondalık ölçümü denir. Nasıl doğru yapılacağını görelim.

Koordinat ekseninde sıfırdan belirli bir noktaya gitmemiz gerektiğini (veya sonsuz bir kesir durumunda mümkün olduğunca yaklaşmamız gerektiğini) varsayalım. Bunu yapmak için, istenen noktaya gelinceye kadar koordinatların orijininden birim segmentleri kademeli olarak bir kenara koyarız. Tüm segmentlerden sonra, yazışmaların mümkün olduğunca doğru olması için gerekirse ondalık, yüzdelik ve daha küçük parçaları ölçeriz. Sonuç olarak, karşılık gelen bir ondalık kesir elde ettik. verilen nokta koordinat ekseninde.

Yukarıda M noktalı bir resim verdik. Tekrar bakın: bu noktaya ulaşmak için, sıfırdan ve onda dördünden bir birim segmenti ölçmeniz gerekir, çünkü bu nokta 1, 4 ondalık kesire karşılık gelir.

Ondalık ölçüm işleminde bir noktaya ulaşamıyorsak, bu, sonsuz bir ondalık kesrin ona karşılık geldiği anlamına gelir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ondalık kesirlerle ilgili ilk derste, ondalık kesirler olarak gösterilemeyen sayısal kesirler olduğunu söylediğimi hatırlayın (“Ondalık Kesirler” dersine bakın)? 2 ve 5'ten başka sayı olup olmadığını kontrol etmek için kesirlerin paydalarını nasıl çarpanlarına ayıracağımızı da öğrendik.

Yani: yalan söyledim. Ve bugün kesinlikle herhangi bir sayısal kesrinin ondalık sayıya nasıl çevrileceğini öğreneceğiz. Aynı zamanda, sonsuz önemli bir kısmı olan bütün bir kesir sınıfı ile tanışacağız.

Yinelenen bir ondalık, aşağıdakilere sahip herhangi bir ondalık sayıdır:

1. Önemli kısım sonsuz sayıda basamaktan oluşur;
2. Belirli aralıklarla anlamlı kısımdaki sayılar tekrarlanır.

Anlamlı kısmı oluşturan yinelenen rakamlar kümesine kesrin periyodik kısmı denir ve bu kümedeki basamak sayısı kesrin periyodudur. Önemli kısmın tekrar etmeyen kalan kısmına periyodik olmayan kısım denir.

Birçok tanım olduğu için, bu kesirlerden birkaçını ayrıntılı olarak ele almaya değer:

Bu fraksiyon en sık problemlerde ortaya çıkar. Periyodik olmayan kısım: 0; periyodik kısım: 3; dönem uzunluğu: 1.

Periyodik olmayan kısım: 0,58; periyodik kısım: 3; periyot uzunluğu: tekrar 1.

Periyodik olmayan kısım: 1; periyodik kısım: 54; dönem uzunluğu: 2.

Periyodik olmayan kısım: 0; periyodik kısım: 641025; periyot uzunluğu: 6. Kolaylık sağlamak için, tekrar eden parçalar birbirinden bir boşlukla ayrılır - bu çözümde bunun yapılması gerekli değildir.

Periyodik olmayan kısım: 3066; periyodik kısım: 6; dönem uzunluğu: 1.

Gördüğünüz gibi, periyodik bir kesirin tanımı kavramına dayanmaktadır. bir sayının önemli kısmı. Bu nedenle, ne olduğunu unuttuysanız, tekrar etmenizi öneririm - "" dersine bakın.

Periyodik ondalık basamağa geçiş

a / b formunun sıradan bir kesirini düşünün. Paydasını basit çarpanlara ayıralım. İki seçenek var:

1. Açılımda sadece 2 ve 5 çarpanları mevcuttur.Bu kesirler kolaylıkla ondalık sayılara indirgenebilir - "Ondalık Kesirler" dersine bakın. Biz bunlarla ilgilenmiyoruz;
2. Açılımda 2 ve 5'ten başka bir şey daha var. Bu durumda kesir ondalık sayı olarak gösterilemez, ancak periyodik bir ondalık sayıya dönüştürülebilir.

Periyodik bir ondalık kesir ayarlamak için periyodik ve periyodik olmayan kısmını bulmanız gerekir. Nasıl? Kesri yanlış olana çevirin ve sonra payı paydaya "köşe" ile bölün.

Bunu yaparken, aşağıdakiler olacaktır:

1. önce böl tüm parça varsa;
2. Ondalık noktadan sonra birkaç sayı olabilir;
3. Bir süre sonra sayılar başlayacak tekrar et.

Bu kadar! Ondalık noktadan sonra tekrar eden rakamlar, periyodik kısım ve öndeki - periyodik olmayan ile gösterilir.

Bir görev. Sıradan kesirleri periyodik ondalık sayılara dönüştürün:

Tamsayı kısmı olmayan tüm kesirler, bu yüzden payı paydaya "köşe" ile böleriz:

Gördüğünüz gibi, kalıntılar tekrarlanıyor. Kesri "doğru" biçimde yazalım: 1.733 ... = 1.7(3).

Sonuç bir kesirdir: 0,5833 ... = 0,58(3).

Normal formda yazıyoruz: 4.0909 ... = 4, (09).

Bir kesir elde ederiz: 0.4141 ... = 0, (41).

Periyodik ondalıktan normale geçiş

Periyodik bir ondalık X = abc (a 1 b 1 c 1) düşünün. Klasik "iki katlı" ye aktarmak gerekiyor. Bunu yapmak için dört basit adımı izleyin:

1. Kesrin periyodunu bulun, yani. periyodik kısımda kaç basamak olduğunu sayın. k sayısı olsun;
2. X · 10 k ifadesinin değerini bulun. Bu, ondalık noktayı tam bir noktayı sağa kaydırmaya eşdeğerdir - " Ondalık kesirlerin çarpımı ve bölünmesi»;
3. Orijinal ifadeyi elde edilen sayıdan çıkarın. Bu durumda, periyodik kısım “yanmış” ve kalır ortak kesir;
4. Ortaya çıkan denklemde X'i bulun. Tüm ondalık kesirler sıradan dönüştürülür.

Bir görev. Bir sayının sıradan bir uygunsuz kesrine dönüştürün:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

İlk kesirle çalışmak: X = 9,(6) = 9.666 ...

Köşeli parantezler yalnızca bir basamak içerir, bu nedenle k = 1 periyodu vardır. Ardından, bu kesri 10 k = 10 1 = 10 ile çarparız.

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

Orijinal kesri çıkarın ve denklemi çözün:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Şimdi ikinci kesirle ilgilenelim. Yani X = 32,(39) = 32.393939 ...

Periyot k = 2, yani her şeyi 10 k = 10 2 = 100 ile çarpıyoruz:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Orijinal kesri tekrar çıkarın ve denklemi çözün:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Gelelim üçüncü kısma: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Şema aynı, bu yüzden sadece hesaplamaları vereceğim:

Dönem k = 1 ⇒ her şeyi 10 k = 10 1 = 10 ile çarpın;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Son olarak son kesir: X = 0,(2475) = 0.2475 2475 ... Yine kolaylık olması açısından periyodik parçalar birbirinden boşluklarla ayrılmıştır. Sahibiz:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10.000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

zaten ilkokulöğrenciler kesirlerle uğraşıyor. Ve sonra her konuda görünürler. Bu sayılarla eylemleri unutmak imkansızdır. Bu nedenle, adi ve ondalık kesirler hakkında tüm bilgileri bilmeniz gerekir. Bu kavramlar basittir, asıl şey her şeyi sırayla anlamaktır.

Kesirler neden gereklidir?

Çevremizdeki dünya bütün nesnelerden oluşur. Bu nedenle, hisselere gerek yoktur. Fakat gündelik Yaşam insanları sürekli olarak nesnelerin ve şeylerin parçalarıyla çalışmaya iter.

Örneğin, çikolata birkaç dilimden oluşur. Karosunun on iki dikdörtgenden oluştuğu durumu düşünün. İkiye bölersen 6 parça elde edersin. İyice üçe bölünecektir. Ancak beşli, bir sürü çikolata dilimi veremeyecek.

Bu arada, bu dilimler zaten kesirlerdir. Ve onların daha fazla bölünmesi, daha karmaşık sayıların ortaya çıkmasına neden olur.

"Kesir" nedir?

Bu, birin parçalarından oluşan bir sayıdır. Dıştan, yatay veya eğik çizgi ile ayrılmış iki sayı gibi görünüyor. Bu özelliğe kesirli denir. Üstte (solda) yazılan sayıya pay denir. Alttaki (sağdaki) paydadır.

Aslında, kesirli çubuk bir bölme işaretidir. Yani, pay bölen olarak adlandırılabilir ve payda bölen olarak adlandırılabilir.

Kesirler nelerdir?

Matematikte sadece iki tür vardır: adi ve ondalık kesirler. Okul çocukları, ilköğretim sınıflarında ilklerle tanışır ve onlara basitçe “kesirler” adını verir. İkincisi 5. sınıfta öğreniyor. İşte o zaman bu isimler ortaya çıkıyor.

Ortak kesirler, bir çubukla ayrılmış iki sayı olarak yazılanların hepsidir. Örneğin, 4/7. Ondalık, kesirli kısmın konumsal bir gösterime sahip olduğu ve tam sayıdan virgülle ayrıldığı bir sayıdır. Örneğin, 4.7. Öğrencilerin, verilen iki örneğin tamamen farklı sayılar olduğu konusunda net olmaları gerekir.

Her basit kesir ondalık olarak yazılabilir. Bu ifade neredeyse her zaman doğrudur ters yön. Sıradan bir kesir olarak ondalık kesir yazmanıza izin veren kurallar vardır.

Bu tür kesirlerin hangi alt türleri vardır?

Çalışıldıkları için kronolojik sırayla başlamak daha iyidir. Ortak kesirler önce gelir. Bunlar arasında 5 alt tür ayırt edilebilir.

Doğru. Payı her zaman paydadan küçüktür.

Yanlış. Pay, paydadan büyük veya ona eşittir.

İndirgenebilir / indirgenemez. Doğru veya yanlış olabilir. Bir diğer önemli nokta ise pay ve paydanın ortak çarpanları olup olmadığıdır. Varsa, kesrin her iki parçasını da bölmeleri, yani azaltmaları gerekir.

Karışık. Her zamanki doğru (yanlış) kesirli kısmına bir tamsayı atanır. Ve her zaman solda durur.

Kompozit. Birbirine bölünmüş iki kesirden oluşur. Yani, aynı anda üç kesirli özelliğe sahiptir.

Ondalık sayıların yalnızca iki alt türü vardır:

nihai, yani, kesirli kısmın sınırlı olduğu (bir sonu vardır);

sonsuz - ondalık noktadan sonraki basamakları bitmeyen bir sayı (sonsuz olarak yazılabilirler).

Ondalık sıradan nasıl dönüştürülür?

Bu sonlu bir sayıysa, kurala dayalı bir ilişkilendirme uygulanır - duyduğum gibi yazıyorum. Yani, doğru okumanız ve yazmanız gerekir, ancak virgül olmadan, ancak kesirli bir satırla.

Gerekli payda hakkında bir ipucu olarak, her zaman bir ve birkaç sıfır olduğunu unutmayın. İkincisi, söz konusu sayının kesirli kısmındaki rakamlar kadar yazılmalıdır.

Tüm bölümleri eksikse, yani sıfıra eşitse, ondalık kesirler sıradan olanlara nasıl dönüştürülür? Örneğin, 0,9 veya 0,05. Belirtilen kuralı uyguladıktan sonra, sıfır tamsayı yazmanız gerektiği ortaya çıkıyor. Ama belirtilmemiş. Geriye sadece kesirli kısımları yazmak kalıyor. İlk sayı için payda, ikinci - 100 için 10 olacaktır. Yani, belirtilen örneklerde cevap olarak sayılar olacaktır: 9/10, 5/100. Ayrıca, ikincisi 5'e indirilebilir. Bu nedenle sonuç 1/20 olarak yazılmalıdır.

Tamsayı kısmı sıfırdan farklıysa, ondalık sayıdan sıradan bir kesir nasıl yapılır? Örneğin, 5.23 veya 13.00108. Her iki örnek de tamsayı kısmını okur ve değerini yazar. İlk durumda, bu 5, ikincide 13'tür. O zaman kesirli kısma geçmeniz gerekir. Onlarla aynı işlemi yapmak gerekir. İlk sayı 23/100, ikincisi 108/100000. İkinci değerin tekrar düşürülmesi gerekir. Cevap karışık kesirler: 5 23/100 ve 13 27/25000.

Sonsuz bir ondalık sayı ortak bir kesire nasıl dönüştürülür?

Periyodik değilse, böyle bir işlem yapılamaz. Bu gerçek, her ondalık kesrin her zaman ya son ya da periyodik hale dönüştürülmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Böyle bir kesirle yapılmasına izin verilen tek şey onu yuvarlamaktır. Ama o zaman ondalık sayı yaklaşık olarak bu sonsuzluğa eşit olacaktır. Zaten sıradan birine dönüştürülebilir. Ancak tersi işlem: ondalık sayıya dönüştürme - asla ilk değeri vermez. Yani sonsuz periyodik olmayan kesirler sıradan kesirlere çevrilmez. Bu hatırlanmalıdır.

Sıradan şeklinde sonsuz bir periyodik kesir nasıl yazılır?

Bu sayılarda, yinelenen ondalık noktadan sonra her zaman bir veya daha fazla basamak görünür. Bunlara dönem denir. Örneğin, 0.3(3). Burada "3" döneminde. Sıradan kesirlere dönüştürülebildiklerinden rasyonel olarak sınıflandırılırlar.

Periyodik kesirlerle karşılaşanlar, bunların saf veya karışık olabileceğini bilirler. İlk durumda, nokta virgülden hemen başlar. İkincisinde, kesirli kısım herhangi bir sayı ile başlar ve ardından tekrar başlar.

Sıradan bir kesir biçiminde sonsuz bir ondalık sayı yazmanız gereken kural, bu iki sayı türü için farklı olacaktır. Saf periyodik kesirleri sıradan kesirler olarak yazmak oldukça kolaydır. Son olanlarda olduğu gibi, dönüştürülmeleri gerekir: periyodu paya yazın ve 9 sayısı payda olacak, periyotta rakam olduğu kadar tekrar edecek.

Örneğin, 0,(5). Sayının tamsayı kısmı yoktur, bu nedenle hemen kesirli kısma geçmeniz gerekir. Payda 5, paydada 9 yazın, yani cevap 5/9 kesri olacaktır.

Karışık bir kesir olan ortak bir ondalık kesrin nasıl yazılacağına dair bir kural.

Dönemin uzunluğuna bakın. Yani 9'un bir paydası olacak.

Paydayı yazın: önce dokuzlar, sonra sıfırlar.

Payı belirlemek için iki sayının farkını yazmanız gerekir. Ondalık noktadan sonraki tüm rakamlar nokta ile birlikte azaltılacaktır. Çıkarılabilir - noktasızdır.

Örneğin, 0,5(8) - periyodik ondalık kesri ortak bir kesir olarak yazın. Noktadan önceki kesirli kısım bir basamaktır. Yani sıfır bir olacak. Ayrıca periyotta sadece bir rakam var - 8. Yani, sadece bir dokuz var. Yani paydaya 90 yazmanız gerekiyor.

58'den pay belirlemek için 5 çıkarmanız gerekir. 53 çıkıyor. Örneğin, cevap olarak 53/90 yazmanız gerekecek.

Ortak kesirler ondalık sayılara nasıl dönüştürülür?

En basit seçenek, paydası 10, 100 vb. olan bir sayıdır. Daha sonra payda basitçe atılır ve kesirli ve tamsayı kısımları arasına bir virgül konur.

Paydanın kolayca 10, 100 vb.'ye dönüştüğü durumlar vardır. Örneğin, 5, 20, 25 sayıları. Bunları sırasıyla 2, 5 ve 4 ile çarpmak yeterlidir. Sadece paydayı değil, aynı zamanda payı da aynı sayı ile çarpmak gerekir.

Diğer tüm durumlar için basit bir kural işe yarayacaktır: payı paydaya bölün. Bu durumda, iki yanıt alabilirsiniz: son veya periyodik bir ondalık kesir.

Ortak kesirli işlemler

Toplama ve çıkarma

Öğrenciler onları diğerlerinden daha erken tanır. Ve ilk başta kesirlerin paydaları aynı, sonra farklı. Genel kurallar böyle bir plana indirgenebilir.

Paydaların en küçük ortak katını bulun.

Tüm adi kesirlere ek çarpanlar yazın.

Payları ve paydaları, onlar için tanımlanan faktörlerle çarpın.

Kesirlerin paylarını ekleyin (çıkarın) ve ortak paydayı değiştirmeden bırakın.

Eksinin payı, çıkarılandan küçükse, o zaman karışık bir sayıya mı yoksa uygun bir kesre mi sahip olduğumuzu bulmanız gerekir.

İlk durumda, tamsayı kısmı bir tane almalıdır. Bir kesrin payına bir payda ekleyin. Ve sonra çıkarma işlemini yapın.

İkincisinde - daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıya çıkarma kuralını uygulamak gerekir. Yani, çıkarmanın modülünden eksinin modülünü çıkarın ve yanıt olarak “-” işaretini koyun.

Toplama (çıkarma) sonucuna dikkatlice bakın. Yanlış bir kesir alırsanız, o zaman bütün kısmı seçmesi gerekir. Yani, payı paydaya bölün.

Çarpma ve bölme

Uygulanmaları için kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekmez. Bu, harekete geçmeyi kolaylaştırır. Ama yine de kurallara uymak zorundalar.

Adi kesirleri çarparken pay ve paydalardaki sayıları dikkate almak gerekir. Herhangi bir pay ve paydanın ortak bir çarpanı varsa, bunlar azaltılabilir.

Sayıları çarpın.

Paydaları çarpın.

Eğer indirgenebilir bir kesir elde ederseniz, tekrar basitleştirilmesi gerekir.

Bölerken, önce bölmeyi çarpma ile, böleni (ikinci kesir) karşılıklı olarak değiştirmelisiniz (pay ve paydayı değiştirin).

Ardından çarpma işlemindeki gibi devam edin (1. noktadan başlayarak).

Bir tamsayı ile çarpmanız (bölmeniz) gereken görevlerde, ikincisinin uygun olmayan bir kesir olarak yazılması gerekir. Yani paydası 1'dir. Ardından yukarıda açıklandığı gibi ilerleyin.



Ondalık sayılarla işlemler

Toplama ve çıkarma

Elbette, bir ondalık basamağı her zaman ortak bir kesire çevirebilirsiniz. Ve daha önce açıklanan plana göre hareket edin. Ancak bazen bu çeviri olmadan hareket etmek daha uygundur. O zaman toplama ve çıkarma kuralları tamamen aynı olacaktır.

Sayının kesirli kısmındaki, yani ondalık noktadan sonraki basamak sayısını eşitleyin. İçinde eksik olan sıfır sayısını atayın.

Kesirleri virgül virgülün altına gelecek şekilde yazın.

Doğal sayılar gibi ekleyin (çıkarın).

Virgülü kaldırın.

Çarpma ve bölme

Burada sıfır eklemenize gerek olmaması önemlidir. Kesirler örnekte verildiği gibi bırakılmalıdır. Ve sonra plana göre gidin.

Çarpma için virgüllere dikkat etmeden kesirleri alt alta yazmanız gerekir.

Doğal sayılar gibi çarpın.

Cevabın sağ ucundan her iki faktörün kesirli kısımlarında olduğu kadar basamak sayarak cevaba bir virgül koyun.

Bölmek için önce böleni dönüştürmeniz gerekir: onu doğal bir sayı yapın. Yani, bölenin kesirli kısmında kaç basamak olduğuna bağlı olarak onu 10, 100 vb. ile çarpın.

Temettü payını aynı sayı ile çarpın.

Ondalık bir sayıyı doğal bir sayıya bölün.

Tüm parçanın bölünmesi sona erdiğinde cevaba virgül koyun.



Bir örnekte her iki tür kesir varsa ne olur?

Evet, matematikte genellikle sıradan ve ondalık kesirlerde işlem yapmanız gereken örnekler vardır. Bu sorunlara iki olası çözüm vardır. Rakamları objektif olarak tartmanız ve en iyisini seçmeniz gerekir.

İlk yol: sıradan ondalık sayıları temsil edin

Bölme veya dönüştürme sırasında son kesirler elde edilirse uygundur. En az bir sayı periyodik bir bölüm veriyorsa, bu teknik yasaktır. Bu nedenle sıradan kesirlerle çalışmaktan hoşlanmasanız bile onları saymak zorunda kalacaksınız.

İkinci yol: ondalık kesirleri sıradan olarak yazın

Bu teknik, ondalık noktadan sonraki kısımda 1-2 basamak varsa uygundur. Daha fazlası varsa, çok büyük bir sıradan kesir ortaya çıkabilir ve ondalık girişler, görevi daha hızlı ve daha kolay hesaplamanıza olanak tanır. Bu nedenle, görevi ayık bir şekilde değerlendirmek ve en basit çözüm yöntemini seçmek her zaman gereklidir.