DERS No. 3. İŞ. GÜÇ. ENERJİ

1. ÇEVİRİ VE DÖNER HAREKETTE İŞ VE GÜÇ

Zorla çalışma maddi bir cisim üzerindeki bir kuvvetin etkisinin ölçüsünü karakterize eden skaler bir fiziksel niceliktir. Bir kuvvetin işi, kuvvetin büyüklüğüne, kuvvet vektörünün yönüne ve kuvvetin uygulama noktasının yer değiştirmesine bağlıdır.

Cismin üzerine etkiyen kuvvetin büyüklüğü ve yönü sabit ise ve yer değiştirme cisim doğrusal bir yörünge boyunca meydana gelir (Şekil 1), bu durumda kuvvetin işi basit bir formülle hesaplanır:

kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörü arasındaki açı nerede : .

Uluslararası Birimler Sisteminde iş, joule cinsinden ölçülür:

Formülden de anlaşılacağı gibi, bir kuvvetin işi hem pozitif hem de negatif olabilir.

Kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörü arasındaki açı dar ise (Şekil 1), kuvvet pozitif iş yapar:

Kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörü arasındaki açı geniş ise, kuvvet negatif iş yapar, bu durumda işin kuvvete karşı yapıldığını söyleriz:

Kuvvet vektörü yer değiştirme vektörüne dik ise ve bu durumda kuvvet iş yapmaz:

Genel durumda, kuvvet vektörü büyüklük veya yönde değişirse ve vücut eğrisel bir yörünge boyunca hareket ederse (Şekil 2), temel iş kavramı ortaya çıkar:

vücudun temel yer değiştirme vektörü nerede, kuvvet vektörü ile temel yer değiştirme vektörü arasındaki açıdır, yani: . Temel yer değiştirmenin büyüklüğü, bu yer değiştirme sırasında cisme etki eden kuvvetin hem büyüklük hem de yön olarak sabit kalmasıyla belirlenir.

Eğrisel bir yörünge boyunca bir noktadan noktaya bir maddesel cismin son hareketi üzerindeki kuvvetin toplam işi, temel işlerin toplamına eşittir, yani formun bir integrali:

Vücut bir kuvvetin etkisi altında kapalı bir yol boyunca hareket ederse, bu durumda kuvvetin işi aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

Doğada, herhangi bir kapalı yörünge boyunca çalışmaları her zaman (özdeş olarak) sıfıra eşit olan kuvvetler vardır, bu tür kuvvetlere muhafazakar veya potansiyel denir:

Muhafazakar kuvvetlere örnek olarak yerçekimi kuvveti, elastik kuvvet, Coulomb kuvveti ve diğer bazı kuvvetler verilebilir.

Herhangi bir kapalı yörünge boyunca çalışmaları aynı şekilde sıfır olmayan kuvvetlere korunumsuz veya korunumsuz denir. potansiyel olmayan:

Muhafazakar olmayan kuvvetlerin örnekleri, kayma sürtünme kuvveti, direnç kuvvetidir.

İş yapma oranını karakterize etmek için güç kavramı tanıtıldı.

Ortalama güç, belirli bir süre boyunca yapılan işin bu sürenin değerine oranına eşit olan skaler bir fiziksel niceliktir:

Zaman aralığını azaltırsak, oran belirli bir sınıra yönelecektir. Bu sınıra kuvvetin anlık gücü denir:

Böylece, bir kuvvetin gücü, kuvvetin yaptığı işin zamana göre türevidir.

Mekanik işin tanımını kullanarak, sorunları çözmek için uygun bir formül elde edebilirsiniz:

kuvvet vektörünün yönü ile hız vektörü arasındaki açı nerede, yani. . Böylece, kuvvet tarafından geliştirilen anlık güç, kuvvet vektörünün skaler ürününe ve bu kuvvetin uygulama noktasının hareket ettiği hız vektörüne eşittir.

Uluslararası Birimler Sistemindeki güç birimleri - watt:

Şimdi dönme hareketini düşünün. Herhangi bir noktada cismin yörüngesine dik (yani çembere dik) yönlendirilen bir kuvvetin etkisi altında cismin yarıçaplı bir daire içinde dönmesine izin verin (Şekil 3). Bu durumda, cismin kuvveti ve temel yer değiştirmesi her zaman doğru olacaktır, yani bu vektörler arasındaki açı her zaman sıfır olacaktır. Bu nedenle, kuvvetin temel işi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Öte yandan, geometriden yarıçaplı bir dairenin yayının uzunluğunun eşit olduğunu biliyoruz. , bu yayın dayandığı açı nerede.

Böylece, temel iş için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

Bizim durumumuzda kuvvetin büyüklüğünün dairenin yarıçapı ile çarpımının, dairenin merkezinden geçen dönme eksenine göre kuvvet momentinin büyüklüğüne eşit olduğunu görmek kolaydır:

Son olarak, temel iş için ifadeyi yazabiliriz:

Cisim daire etrafında bir açıyla döndüğünde kuvvetin yaptığı toplam işi bulmak için yukarıdaki ifadeyi entegre etmek gerekir:

Kuvvet momenti sabit bir değerse (ki bu hiç gerekli değildir), dönme hareketi sırasında kuvvet işinin formülü basit bir biçim alır:

Elde edilen formülleri kullanarak, dönme hareketi sırasındaki gücün, kuvvet momentinin ürününe ve kuvvetin uygulama noktasının açısal hızına eşit olduğunu görmek kolaydır:

2. MEKANİK ENERJİ

Mekanik iş kavramı, mekanik enerji kavramıyla yakından ilişkilidir. Bilindiği gibi enerji, bu hareketin tüm tezahürlerinde maddenin hareketinin tek bir nicel ölçüsüdür. Ve iş, sistemin enerjisindeki değişimin bir ölçüsüdür. Eğer bir mekanik sistem dış cisimler üzerinde pozitif iş yaparsa, sistemin enerjisi kaçınılmaz olarak azalır. Bu durumda, sistemin enerji kaybından dolayı iş yapıldığını ve işin yapıldığını söylüyoruz. Iç kuvvetler sistemler:

Yani

Tersine, eğer dış cisimler mekanik bir sistem üzerinde çalışıyorsa, enerjisi artar:

Yani

Mekanik enerji iki tiptir - kinetik ve potansiyel. Bir sistemin kinetik enerjisi, bu sistemin mekanik hareketinden kaynaklanır, yani kinetik enerji, bu sistemin mekanik hareketinin bir ölçüsüdür.

Sistemin kinetik enerjisini açıklayan bir formül türetelim. ileri hareket. Cisme büyüklüğü ve yönü sabit bir kuvvet etki etsin.

Bu kuvvetin etkisi altında, bilindiği gibi, vücut düz bir çizgide hareket edecek ve düzgün bir şekilde hızlanacaktır. Bir cismin ivmesi Newton'un ikinci yasası tarafından belirlenir:

Vücudun ilk hızı sıfıra eşit olsun, o zaman hareketin başlangıcından belirli bir süre sonra, vücudun hızı eşit olacaktır, vücudun yer değiştirmesi nerede veya aynıdır, kuvvetin uygulama noktasının yer değiştirmesidir. Hareketi hız cinsinden ifade ederiz, şunu elde ederiz: .

Şimdi, cismi sonsuz küçük bir mesafeye hareket ettirirken kuvvetin yaptığı temel iş için bir ifade yazabilirsiniz:

Hız vektörü ile vektör arasındaki açı nerede, öteleme hareketinde bu açı her zaman sıfır dereceye eşittir, bu nedenle .

Böylece, öteleme hareketindeki temel iş şu formülle ifade edilir:

Cisim durgun halden belirli bir hıza çıkarken kuvvetin yaptığı toplam işi bulmak için, ilk hız değerinden elde edilen ifadeyi son hız değerine entegre etmek gerekir:

Yukarıda belirtildiği gibi, iş bir dış kuvvet tarafından yapılıyorsa, sistemin enerjisi artar, ayrıca dış kuvvetin işi değişime eşittir. kinetik enerji sistemler, yani:

Aynı nicelik için iki ifadeyi karşılaştırarak, cismin ikinci durumundaki kinetik enerjisinin şöyle olduğu sonucuna varabiliriz:

Buna göre, birinci durumdaki kinetik enerji benzer bir formülle tanımlanır:

Vücut dinlenme halindeyse, kinetik enerjisi aynı şekilde sıfıra eşittir.

Genel olarak, bir hızla hareket eden bir cismin kinetik enerjisi:

Elde edilen formülden de anlaşılacağı gibi, kinetik enerji yalnızca cismin kütlesine (klasik fizikte sabit bir değer) ve cismin anlık hızına bağlıdır, dolayısıyla kinetik enerji sistemin durumunun bir fonksiyonudur. ve sistemin bu duruma nasıl geldiğine bağlı değildir.

Ortaya çıkan formülün boyutunu kontrol edelim:

Sistemin hızı farklı olduğundan atalet sistemleri referans farklıdır, bu nedenle sistemin kinetik enerjisi de referans çerçevesinin seçimine bağlıdır.

Vücut dönme hareketine dahilse, kinetik enerjisi de vardır. Dönen bir cismin kinetik enerjisi için bir formül elde ederiz.

Kütlesi olan bir malzeme noktasının yarıçapı ve açısal hızı olan bir daire etrafında dönmesine izin verin. Bildiğiniz gibi, hat hızı maddi nokta açısal hız ile aşağıdaki ilişki ile ilişkilidir:

Bu oranı kinetik enerji formülüne koyarsak, şunu elde ederiz:

,

malzeme noktasının dönme ekseni etrafındaki atalet momenti nerede.

Kinetik enerji için elde edilen formül sadece maddesel bir nokta için değil, aynı zamanda herhangi bir mutlak dönüş için de geçerlidir. sağlam vücut dönme ekseni etrafında bir atalet momentine sahip olan .

Cisim hem öteleme hem de dönme hareketine aynı anda katılırsa, kinetik enerjisi, öteleme hareketinin kinetik enerjisi ile kinetik enerjisinin toplamıdır. döner hareket:

Bir örnek, yivli bir silahtan ateşlenen uçan bir mermidir (mermi). Dönme hareketinin varlığından dolayı, merminin kinetik enerjisi ve dolayısıyla öldürücü kuvveti, yivsiz bir silahtan ateşlenen aynı merminin kinetik enerjisine kıyasla artar.

Potansiyel enerji sistemler - enerji koşullu karşılıklı düzenleme Sistemi oluşturan cisimler ve bunlar arasındaki etkileşimin doğası.

Potansiyel enerji kavramı, yalnızca yukarıda bahsedilen korunumlu kuvvetlerin hareket ettiği sistemler için anlamlıdır. Bu tür sistemlerdeki potansiyel enerji, sistem belirli bir konumdan sistemin potansiyel enerjisinin anlaşma ile sıfır olduğu bir konuma hareket ettiğinde sistemin iç (korunumlu) kuvvetleri tarafından yapılan işe eşittir.

Bu nedenle, keyfi bir sistemin potansiyel enerjisini hesaplamak için evrensel bir formül yoktur; her belirli sistem için belirli bir şekilde elde edilmelidir.

Örneğin, Dünya yüzeyinin üzerinde yükselen bir cisim için potansiyel enerji formülünü elde ederiz. Her şeyden önce, böyle bir sistemde etki eden kuvvetlerin korunumlu olduğunu ve potansiyel enerji kavramının gerçekten mantıklı olduğunu kanıtlamak gerekir. Böylece, Dünya yüzeyinin üzerinde yükselen herhangi bir cisim ile Dünya arasında, Dünya'nın merkezine dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilen serbest düşüş ivme vektörünün olduğu yere eşit bir yerçekimi kuvveti. Bir cismi Dünya yüzeyinin üzerindeki bir noktadan diğerine hareket ettirirken yerçekimi kuvvetinin ne yaptığını bulalım. İlk nokta Dünya yüzeyinin üzerinde bir yükseklikte olsun ve ikinci nokta sırasıyla bir yükseklikte olsun ve . Vücudun birinci durumdan ikinci duruma olan yörüngesi bir çizgidir.

Her şeyden önce, cismin sonsuz küçük bir yer değiştirmesi ile yerçekimi kuvvetinin yaptığı temel iş için bir ifade yazalım:

Temel yer değiştirme vektörü ile yerçekimi ivme vektörü arasındaki açı nerede ve vücudun sonsuz küçük bir dikey yer değiştirmesidir.

Gövdeyi birinci durumdan ikinci duruma taşırken toplam yerçekimi işini bulmak için, temel iş için ifadeyi entegre etmek gerekir:

Sonucu analiz edelim - tam iş yerçekimi, yalnızca vücudun yer seviyesinin üzerindeki konumu ile belirlenir ve vücut yörüngesinin türünden tamamen bağımsızdır. Bu gerçek, yerçekiminin tutucu bir kuvvet olduğunun kanıtıdır, yani potansiyel enerji kavramının “beden-Dünya” sistemi için anlamlı olduğu anlamına gelir.Tutarlı yerçekiminin hareket ettiği uzay bölgesine denir. potansiyel alan Yerçekimi.

İş, sistemin iç kuvveti tarafından yapıldığından - yerçekimi kuvveti, sistemin enerjisi azalır. Başka bir deyişle, sistemin potansiyel enerjisinin kaybı nedeniyle iş yapılır, yani

Yerçekimi işi için iki ifadeyi karşılaştırarak, birinci durumdaki, yani Dünya'nın üzerinde bir yükseklikte bulunan cismin, eşit potansiyel enerjiye sahip olduğu sonucuna varabiliriz. , ikinci durumda cismin potansiyel enerjisi sırasıyla, . Bir cismin Dünya yüzeyindeki potansiyel enerjisi sıfırdır.

Yani, genel durumda, Dünya yüzeyinin üzerinde bir yüksekliğe yükseltilmiş bir cismin potansiyel enerjisi şuna eşittir:

.

Gördüğümüz gibi, potansiyel enerji sadece cismin kütlesine ve Dünya yüzeyinden yüksekliğine bağlıdır, yani potansiyel enerji sistemin durumunun bir fonksiyonudur ve sistemin nasıl geldiğine bağlı değildir. bu devlet.

Benzer akıl yürütme bizi yayın elastik kuvvetinin de korunumlu bir kuvvet olduğu sonucuna götürür.

Bilindiği gibi elastik kuvvet, Hooke yasası ile tanımlanır: ,

yayın sertlik katsayısı nerede, boyutu olan bu yayın özelliği, yayın deformasyonu yani yayın boyutundaki değişimdir.

Hooke yasasındaki eksi işareti, deforme olmuş bir yayda üretilen kuvvetin yönünün her zaman yayın deformasyonunun tersi olduğunu gösterir. Gerçekten de, bir yay gerilirse, o zaman yayı orijinal durumuna geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvet ortaya çıkar ve bunun tersi de geçerlidir.

Böylece, elastik olarak deforme olmuş bir yay bir potansiyel enerji rezervine sahiptir, yani, bir miktar performans gösterebilir. mekanik iş, daha doğrusu, iş yayda ortaya çıkan elastik kuvvet tarafından yapılır.

Deforme olmuş bir yayda depolanan potansiyel enerjinin değeri şuna eşittir:

Deforme olmamış bir yayın () potansiyel enerjisi aynı şekilde sıfıra eşittir.

Tamamlamak mekanik enerji sistem kinetik ve potansiyel enerjinin toplamına eşittir: veya

Mekanik sistem kapalıysa ve sistemde yalnızca korunumlu kuvvetler etki ediyorsa, bu sistemi oluşturan cisimler arasındaki herhangi bir etkileşim için tüm sistemin toplam mekanik enerjisi değişmeden kalır. Bu ifade, mekanik enerjinin korunumu yasasının özünü ifade eder. Sistemin her bir gövdesinin enerjisinin değişebileceği, yalnızca tüm sistemin toplam mekanik enerjisinin değişmeden kaldığı belirtilmelidir.

Matematiksel olarak, mekanik enerjinin korunumu yasası birkaç şekilde yazılabilir:

etkileşimden önce tüm sistemin potansiyel ve kinetik enerjileri ve etkileşimden sonra tüm sistemin potansiyel ve kinetik enerjileri nerede.

Sistemde korunumlu olmayan kuvvetler (sürtünme kuvveti vb.) yerine getirilmemiş. Bu durumda toplam mekanik enerjideki değişim, sistemin bir durumdan diğerine geçişi sırasında korunumsuz kuvvetler veya dış kuvvetlerin ürettiği işe eşit olacaktır.

Matematiksel olarak, bu gerçek şu şekilde yazılmıştır:

veya ,

sistemde açığa çıkan ısı miktarı nerede.

Sistemin toplam mekanik enerjisinin korunumu yasasının karşılandığı etkileşimlere bir örnek: kesinlikle elastikçarpma veya çarpışma. Çarpışma (darbe), iki veya daha fazla cismin, bu cisimlerin küçük mesafelerde yaklaştığında çok kısa süren etkileşimidir. Kesinlikle elastik etki - cisimlerin çarpışmadığı cisimlerin çarpışması deforme olmuş (fo cisimlerin rma'sı değişmez) ve cisimler sisteminin toplam kinetik enerjisi sabit kalır. saat kesinlikle elastik etki, hem sistemin mekanik enerjisinin korunumu yasası hem de sistemin momentumunun korunumu yasası karşılanır.

tam tersi kesinlikle elastikçarpma, çarpışan cisimlerin birleştirildiği ve ardından bir bütün olarak hareket ettiği cisimlerin çarpışmasıdır. Böyle bir etkileşime kesinlikle esnek olmayan etki denir. Kesinlikle esnek olmayan bir etkide, sistemin enerji korunumu yasası sağlanmaz, ancak sistemin momentum korunumu yasası geçerli kalır.

3. "İŞ, GÜÇ, ENERJİ" KONUSUNDA SORUN ÇÖZME ÖRNEKLERİ

GÖREV No. 1. 2,8 kg ağırlığındaki bir AZP-57 otomatik uçaksavar silah mermisi, saniyede 800 metre hızla 1 km yükseklikte uçar ve saniyede 500 devirde döner. Merminin sürekli homojen bir silindir olduğunu göz önünde bulundurarak toplam mekanik enerjisini bulun.

Merminin çapının çapına eşit olduğu göz önüne alındığında, "Verilen" başlığı altındaki değerin problem durumundaki verileri yazarak bu sorunun çözümüne başlıyoruz.

VERİLEN:

Bul: E

Çözüm: Bildiğiniz gibi sistemin toplam mekanik enerjisi, potansiyel ve kinetik enerjinin toplamına eşittir. Problemimizde mermi-yer sistemi ele alınmıştır. Bu sistemdeki merminin potansiyel enerjisi . Bir merminin kinetik enerjisi, öteleme hareketinin kinetik enerjisi ile dönme hareketinin kinetik enerjisinin toplamıdır: . Gerekli tüm miktarları bildiğimiz için öteleme hareketinin kinetik enerjisi hemen hesaplanabilir. Dönme hareketinin kinetik enerjisini hesaplamak için merminin eylemsizlik momentini ve açısal hızını bilmemiz gerekir. Mermi katı homojen bir silindir olarak kabul edildiğinden, eylemsizlik momenti eşit olacaktır. . Merminin dönüş hızını bildiğimiz için açısal hızı da bulmak kolaydır: .

Böylece, "mermi-zemin" sistemindeki merminin toplam mekanik enerjisi şuna eşit olacaktır: aşağıdaki ifade: - Sorunun sorusuna cevap verdiği ve sadece bilinen miktarları içerdiği için çalışan bir formülümüz var. Çalışma formülünün boyutunu kontrol edelim: - boyut doğrudur, böylece sayısal değerleri değiştirebilirsiniz. .

Sorun çözüldü, ancak bu durumda merminin dönme hareketinin kinetik enerjisinin, öteleme hareketinin kinetik enerjisinden çok daha az olduğu belirtilmelidir. Merminin dönüşü, mermiye stabilite vererek isabetin doğruluğunu arttırır. Bu problemde, merminin dönme ve öteleme hareketinin hiçbir şekilde birbiriyle bağlantılı olmadığı ve birbirinden bağımsız olarak gerçekleştiği unutulmamalıdır.

Problem numarası 2. 400 gram ağırlığındaki katı bir silindir, yatay bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanıyor. Silindirin ekseninin doğrusal hızı saniyede 1 metredir. Silindirin toplam kinetik enerjisini belirleyin.

VERİLEN:

BUL: K

ÇÖZÜM: Bu sorun, önceki soruna çok benzer. Silindir aynı anda iki harekete dahil olduğu için kinetik enerjisi, öteleme hareketinin kinetik enerjisi ile dönme hareketinin kinetik enerjisinin toplamına eşit olacaktır.Ancak bu hareketler bağımsız değildir, silindirin doğrusal hızı eksen ayrıca formüle göre silindirin açısal dönüş hızını da belirleyecektir. Ayrıca, silindirin eylemsizlik momentinin bilindiği kabul edilir: . Bu aşamada, sorunun durumu silindirin yarıçapı hakkında hiçbir şey söylemediğinden, öğrencilerin zorluklarla karşılaşacağından emin olabilirsiniz. Bu nedenle, öğretmenin problemi genel bir alfabetik biçimde çözmenin önemini bir kez daha vurgulaması tavsiye edilir, bu nedenle yukarıdaki ifadeleri kinetik enerji formülünde değiştirirken yarıçap azalacak ve son formülde bulunmayacaktır. : - Çalışan bir formül aldık, sadece problemin durumunda belirtilen miktarları içerir: kütle ve hız. Çalışan formülün boyutu açıktır ve doğrulama gerektirmez. Kinetik enerjinin sayısal değeri: .

Görev numarası 3. Dönen bir volanın kinetik enerjisi 1 Kilojoule'dür. Sabit bir frenleme torkunun etkisi altında, volan eşit olarak dönmeye başladı ve 80 devir yaptıktan sonra durdu. Fren kuvvetinin momentini belirleyin.

Bilinen miktarları, son durumda sistemin durağan olduğunu, yani bu durumda enerjisinin sıfıra eşit olduğunu dikkate alarak "Verilen" başlığı altına yazıyoruz.

VERİLEN:

Bul: M

Çözüm: Frenleme kuvvetinin momentini bulmak için dönme hareketi sırasındaki işi hesaplama formülünü yazmamız gerekiyor: - burada işin eşit yapıldığını dikkate aldık. Açısal yer değiştirme, boyutun gerçeğe karşılık geldiği bilinerek hesaplanabilir, bu nedenle, bilinen niceliklerin sayısal değerlerini değiştirmek mümkündür: . Sonuçtaki eksi işareti, işin gövde tarafından yapıldığını, volanın karşı olduğunu gösterir. dış güç volanın enerjisinin sıfıra indirgenmesiyle sonuçlanır.

Problem numarası 4 Volan, denklem tarafından ifade edilen yasaya göre döner , burada A \u003d 2 rad, B \u003d 16 rad / s, C \u003d -2 rad / s 2. Volan atalet momenti 50 kgm 2 . Hareket başladıktan 3 saniye sonra volanın kinetik enerjisini ve gücünü bulunuz.

Verilen:

Bul: K, N

Çözüm: İlk önce volanın dönme hareketinin kinetik enerjisini buluyoruz, bildiğiniz gibi . Volanın açısal hızını açısal yer değiştirmenin birinci türevi olarak buluyoruz: , elde edilen ifadeyi volanın kinetik enerjisi formülüne koyarsak, şunu elde ederiz:

- bu formülde yer alan tüm miktarlar, sorunun durumundan bize bilinmektedir. Ortaya çıkan formülün boyutunu kontrol edelim: - boyut doğru, bilinen miktarların sayısal değerlerini değiştiriyoruz : . Açısal ivme, açısal hızın zamana göre türevi olarak bulunabilir: . Tüm bu ifadeleri, kuvvetin kuvveti için yukarıda elde ettiğimiz formülde yerine koyuyoruz:

Bu çalışan bir formüldür, problemin sorusuna cevap verir ve sadece problemin durumundan bilinen miktarları içerir. Bu formülün boyutunu kontrol edelim: - çalışma formülünün boyutu, güç boyutuna karşılık gelir, bu da çalışma formülünün doğru olduğu anlamına gelir, bu nedenle bu miktarın sayısal değerini hesaplamaya başlayabiliriz: .

Sonucu inceleyelim, eksi işareti volanın yavaşladığını ve dış kuvvetlere karşı çalıştığını gösteriyor.

3.4. mekanik enerji

3.4.1. Kinetik enerji

Kinetik enerji ileri hareket vücut formül tarafından belirlenir

m hareketli cismin kütlesidir; v hızının modülüdür.

Bir cismin öteleme hareketi sırasındaki kinetik enerjiyi hesaplamak için başka bir formül daha vardır:

burada P = mv hareketli cismin momentum modülüdür.

Kinetik enerji döner hareket vücut formül tarafından belirlenir

W k = m ω 2 R 2 2 ,

m hareketli cismin kütlesidir; ω açısal hızın değeridir (döngüsel frekans); R, vücudun hareket ettiği dairenin yarıçapıdır.

Vücudun dönme hareketi sırasındaki kinetik enerjiyi hesaplamak için başka bir formül var:

W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,

burada ν cismin dönüş frekansıdır.

Bir cisim sisteminin kinetik enerjisini hesaplama problemlerini çözerken, bunun cisimlerin her birinin kinetik enerjilerinden oluştuğunu hatırlamakta fayda var:

W k sys = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,

burada W k 1 , W k 2 , ..., W kN her cismin kinetik enerjileridir.

Dönme hareketinin kinetik enerjisini hesaplama problemlerini çözerken aşağıdaki formüller faydalı olabilir:

• lineer v ve açısal hızlar arasındaki ilişki ω:

v = ωR ,

burada R, vücudun hareket ettiği dairenin yarıçapıdır;

• döngüsel frekans ω ve frekans ν arasındaki ilişki:

• döngüsel frekans ω (veya frekans ν) ile vücudun T çevresi etrafındaki dönüş süresi arasındaki ilişki:

ωT = 2π veya ν = 1 T .

Örnek 24. Eksen boyunca hareket eden bir cismin koordinatı, koordinatın metre cinsinden verildiği x (t) \u003d 8.0 - 2.0t + t 2 yasasına göre zamana bağlıdır, zaman saniyedir. Hareketin üçüncü saniyesinden dördüncü saniyesinin sonuna kadar cismin kinetik enerjisindeki değişimi belirleyin. Vücut ağırlığı 3,0 kg'dır.

Çözüm. Bir cismin kinetik enerjisi aşağıdaki formüllerle belirlenir:

W k 1 \u003d m v 2 (t 1) 2;

W k 2 \u003d m v 2 (t 2) 2,

burada v (t 1), üçüncü saniyenin başında vücudun hızının modülüdür; v (t 2) - dördüncü saniyenin sonunda vücut hızı modülü.

vücut hareket denklemi

x (t) = 8,0 − 2,0 t + t2

Ox eksenindeki hız projeksiyonunun zaman içindeki değişim yasasını şu şekilde ayarlamanıza olanak tanır:

v x (t) = v 0 x + bir x t ,

burada v 0 x \u003d -2.0 m / s, ilk hızın Ox ekseni üzerindeki izdüşümüdür; a x = = 2,0 m/s 2 - belirtilen eksende hızlanma projeksiyonu.

Böylece, hız projeksiyonunun zamana bağımlılığı, açıkça yazılmış

v x (t) = − 2,0 + 2,0 t ,

karşılık gelen hız projeksiyonlarının elde edilmesini sağlar:

• hareketin üçüncü saniyesinin başında (t 1 \u003d 2 s)

v x (t 1) \u003d - 2.0 + 2.0 t 1 \u003d - 2.0 + 2.0 ⋅ 2 \u003d 2.0 m / s;

• hareketin dördüncü saniyesinin sonunda (t 2 \u003d 4 s)

v x (t 2) \u003d - 2.0 + 2.0 t 2 \u003d - 2.0 + 2.0 ⋅ 4 \u003d 6.0 m / s.

Vücudun kinetik enerjisinin zaman içinde belirtilen noktalarda değerleri:

• hareketin üçüncü saniyesinin başında (t 1 \u003d 2 s)

W k 1 \u003d 3.0 ⋅ (2.0) 2 2 \u003d 6.0 J,

• hareketin dördüncü saniyesinin sonunda (t 2 \u003d 4 s)

W k 2 \u003d 3.0 ⋅ (6.0) 2 2 \u003d 54 J.

Kinetik enerjilerde istenen fark,

Δ W k \u003d W k ​​​​2 - W k 1 \u003d 54 - 6.0 \u003d 48 J.

Böylece belirlenen zaman aralığında cismin kinetik enerjisi 48 J arttı.

Örnek 25. Bir cisim xOy düzleminde, değeri 50 N olan bir merkezcil kuvvetin etkisi altında x 2 + y 2 \u003d 25 şeklindeki bir yörünge boyunca hareket eder. Vücudun kütlesi 2.0 kg'dır. x ve y koordinatları metre cinsindendir. Vücudun kinetik enerjisini bulun.

Çözüm. Vücut hareketinin yörüngesi 5.0 m yarıçaplı bir dairedir.Sorunun durumuna göre, bu dairenin merkezine doğru yönlendirilen vücuda sadece bir kuvvet etki eder.

Söz konusu kuvvetin modülü sabit değer bu nedenle, vücut, vücudun hızının büyüklüğünü etkilemeyen sabit bir merkezcil ivmeye sahiptir; bu nedenle, vücut sabit bir hızla bir daire içinde hareket eder.

Şekil bu durumu göstermektedir.

Merkezcil kuvvetin büyüklüğü formülle belirlenir.

F c. c \u003d m v 2 R,

nerede m - vücut ağırlığı; v vücudun hızının modülüdür; R, vücudun hareket ettiği dairenin yarıçapıdır.

Vücudun kinetik enerjisinin ifadesi şu şekildedir:

denklemlerin ilişkisi

F c. W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R ile

istenen kinetik enerjiyi hesaplamak için bir formül elde etmenizi sağlar:

Kinetik enerji mekanik bir sistemin enerjisi, bu sistemin mekanik hareketinin enerjisidir.

Kuvvet F , hareketsiz bir cisme etki eden ve hareketine neden olan, iş yapar ve hareket eden cismin enerjisi, harcanan iş miktarı kadar artar. Böylece iş dA kuvvet F 0'dan hıza artış sırasında vücudun kat ettiği yolda  , kinetik enerjiyi artırmaya gider dE ile vücut, yani

Newton'un ikinci yasasını kullanma ve yer değiştirme ile çarpma doktor , şunu elde ederiz:

O zamandan beri

Böylece bir kütle kütlesi m , hızla hareket etmek  kinetik enerjiye sahiptir

Potansiyel enerji- karşılıklı düzenlemeleri ve aralarındaki etkileşim kuvvetlerinin doğası ile belirlenen bir vücut sisteminin mekanik enerjisi.

Bir cismi bir konumdan diğerine hareket ettirirken, cismi bir konumdan diğerine hareket ettirirken etki eden kuvvetlerin yaptığı iş, bu hareketin meydana geldiği yörüngeye bağlı değildir, sadece başlangıç ​​ve son konumlara bağlıdır. Bu tür alanlara denir potansiyel ve bunlara etki eden kuvvetler tutucu.

Kapalı bir yörüngede korunumlu kuvvetlerin işi sıfırdır.. Bu ifade Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.1.

Muhafazakarlığın özelliği, yerçekimi kuvveti ve esneklik kuvveti tarafından ele geçirilir. Bu kuvvetler için potansiyel enerji kavramını tanıtabiliriz.

Muhafazakar bir gücün işi A 12a= A 12b. Kapalı bir yolda çalışın A = A 12a + A 21b= A 12a- A 12b = 0.

Potansiyel bir kuvvet alanında olan vücut potansiyel enerjiye sahiptir.E P . Konjonktürde temel (sonsuz derecede küçük) bir değişiklikle muhafazakar kuvvetlerin işisistemin figürasyonu, bir işaretle alınan potansiyel enerji artışına eşittir.eksi, iş potansiyel enerji kaybı nedeniyle yapıldığından:

İş dA kuvvetin skaler ürünü olarak ifade edilir F taşımak doktor ve (2.2) ifadesi şu şekilde yazılabilir:

Bu nedenle, eğer fonksiyon biliniyorsa E P (r ), sonra formül (2.3)'ten kuvvet bulunabilir F modulo ve yön.

Potansiyel enerji (2.3)'ten şu şekilde belirlenebilir:

nerede C integrasyon sabitidir.

Bir cisim Dünya yüzeyine yakın hareket ederse, büyüklüğü ve yönü sabit olan bir yerçekimi kuvvetinden etkilenir. Bu kuvvetin işi sadece cismin düşey yer değiştirmesine bağlıdır. Yolun herhangi bir bölümünde, yerçekimi işi, yer değiştirme vektörünün eksen üzerindeki izdüşümlerinde yazılabilir.OY:

yerçekimi izdüşümü nerede,Δ S y yer değiştirme vektör projeksiyonudur. Vücut yükseklikte bulunan bir noktadan hareket ettiyseh 1 , yükseklikte bir noktayah 2 koordinat ekseninin orijininden OY (pilav. 2.2.),yerçekimi kuvveti iş yaptı:

Bu iş, zıt işaretle alınan bazı fiziksel niceliklerdeki değişime eşittir. Bu fiziksel niceliğe denir potansiyel enerji yerçekimi alanındaki cisimler

E p = mgh .

Vücut sıfır seviyesine indirildiğinde yerçekimi tarafından yapılan işe eşittir.

Yerçekimi işi, zıt işaretle alınan vücudun potansiyel enerjisindeki değişime eşittir.

A = –(E p2- E p1).

Elastik olarak deforme olmuş bir cismin (yay) potansiyel enerjisini bulalım. Kuvvetesneklik deformasyonla orantılıdır:

nerede F eski - elastik kuvvetin eksene yansıması X,

k - esneklik katsayısı (yay sertliği için),

eksi işareti bunu gösterirF eski tarafa yönlendirilmişters deformasyon x.

Newton'un üçüncü yasasına göre, deforme edici kuvvet mutlak değerde yn kuvvetine eşittir.pürüzlülük ve buna zıt, yani.

temel iş dA , zorla F x sonsuz küçük deformasyonda dx , eşittir:

tam bir iş

.

yayın potansiyel enerjisini artırmaya gider. Böylece, elastik olarak deforme olmuş bir cismin potansiyel enerjisi:

Sistemin toplam mekanik enerjisi:

şunlar. kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamına eşittir.

Keyfi bir mekanik sistemin parçacıklardan oluşmasına izin verin;

- ağırlık, - hız - onlardan biri. O zamanlar:

değer

kinetik enerji denir -bu parçacık ve

-

dikkate alınan mekanik sistemin kinetik enerjisi.

Tüm noktaların aynı hızda olması nedeniyle

ötelemeli olarak hareket eden bir cismin kinetik enerjisi formülle belirlenir

, nerede

onun kütlesi ve - hız modülü.

Dönen bir gövde için:

dönerek hareket eden bir cismin kinetik enerjisi formülle belirlenir

30.20, Nerede

- vücudun dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti ve açısal hızıdır.

30.6*. Küresel olarak hareket eden bir cismin kinetik enerjisini hesaplama formülü

İzin vermek küresel hareketin merkezidir ve

- vücutla ilişkili koordinat sistemi; dahası, eksenleri vücudun ana atalet eksenleridir.

Genel formülde -

-

ifade etmek cismin açısal hızı ve geometrik özellikleri aracılığıyla:

Çünkü

, sonra sahip olduğumuz indekslerin permütasyon yöntemiyle:

Fakat

, yani vektör kendisi ile skaler olarak çarpılır. Ortogonal vektörlerin skaler çarpımlarının sıfıra eşit olduğunu hesaba katarız ve şunu elde ederiz:

Kare alırken, orta terimler farklı koordinatların ikili ürünlerini içerecektir. Formülde yerine koyarken ( a) merkezkaç atalet momentleri verecektir. Varsayılan eksenler asaldır ve bu nedenle vücudun tüm merkezkaç eylemsizlik momentleri sıfıra eşittir. yani sadece karelerin toplamı korunmalıdır:

Formüle girdikten sonra ( a) ifade ( b), şunu elde ederiz:

Parantez içindeki ifadeler şu şekilde sonuçlanır: eksenel momentler eylemsizlik -

. Böylece ortaya çıkıyor

küresel olarak hareket eden bir cismin kinetik enerjisini hesaplama formülü:

30.7*. Serbest ve düzlemsel hareket eden cisimlerin kinetik enerjisini hesaplamak için formüller

Toplama yasasını kullanarak, hız -bu parçacık iki bileşenin toplamı ile temsil edilir -

, nerede

- kütle merkezi referans çerçevesinin hızı (ataletsel olana göre);

- hız merkez kütle sistemine göre -inci parçacık.

Önceki iki alt bölümden ilk iki bileşenin (

) ifade ( b) değiştirirken içinde Genel formül kinetik enerjiyi hesaplamak için toplam kinetik enerjinin öteleme ve küresel bileşenlerini verecekler -

, , nerede

- vücut kütlesi;

- ana merkezi atalet eksenlerine göre vücudun atalet momentleri;

- kütle merkezi referans sistemine göre cismin küresel hareketindeki açısal hızının izdüşümleri.

İfadenin üçüncü bileşeninin ne olduğunu bulun ( b) değiştirirken kinetik enerjiyi hesaplamak için genel bir formüle.

kütle merkezi kavramına göre =

Serbest hareket eden bir cismin kinetik enerjisi, iki terimin toplamı olarak hesaplanabilir - öteleme hareketinin kinetik enerjisi (cismin kütle merkezinin hızında hareket eden ve kütlesine sahip olan bir madde noktası için hesaplanır) ve kütle merkezi referans sistemine göre küresel hareketinde cismin kinetik enerjisi:

.

Sonucu kendi başımıza almayı öneriyoruz:

bir düzlem hareketli cismin kinetik enerjisi iki terimin toplamı olarak hesaplanabilir - kütle merkezinin hızı ile öteleme hareketinin kinetik enerjisi ve bu cismin merkez kütleye göre dönme hareketindeki kinetik enerji referans çerçevesi:

.