Yukarıda belirtildiği gibi, basit düz şekiller arasında üç şekil vardır: bir dikdörtgen, bir üçgen ve bir daire. Bu rakamlar basit kabul edilir çünkü bu şekillerin ağırlık merkezlerinin konumu önceden bilinir. Diğer tüm figürler bu basit figürlerden oluşabilir ve karmaşık olarak kabul edilir. Basit şekillerin merkez eksenlerine göre eksenel atalet momentlerini hesaplayalım.

1. Dikdörtgen. Boyutları olan dikdörtgen bir profilin bir bölümünü düşünün (Şekil 4.6). Bir mesafede iki sonsuz yakın bölümle bir bölüm elemanı seçin merkezi eksenden
.

Eksen etrafındaki dikdörtgen bir bölümün atalet momentini hesaplayın:

. (4.10)

Bir eksen etrafındaki dikdörtgen kesitin eylemsizlik momenti
benzer şekilde bulun. Çıktı burada gösterilmez.

. (4.11)


ve
eksenler sıfır olduğundan
ve
simetri eksenleridir ve dolayısıyla asal eksenlerdir.

2. İkizkenar üçgen. Boyutları olan üçgen bir profilin bir bölümünü düşünün
(Şek.4.7). Bir mesafede iki sonsuz yakın bölümle bir bölüm elemanı seçin merkezi eksenden
. Bir üçgenin ağırlık merkezi uzaktadır
tabandan. Üçgenin ikizkenar olduğu varsayılır, böylece eksen
bölüm simetri eksenidir.

Eksen etrafındaki bölümün atalet momentini hesaplayın
:

. (4.12)

değer üçgenlerin benzerliğinden tanımlarız:

; nerede
.

ifadeleri yerine koyma (4.12)'de ve entegre ederek şunları elde ederiz:

. (4.13)

Bir eksen etrafında bir ikizkenar üçgen için eylemsizlik momenti
aynı şekilde bulunur ve şuna eşittir:

(4.14)

Eksenler etrafında merkezkaç atalet momenti
ve
sıfır çünkü eksen
bölümün simetri eksenidir.

3. Bir daire. Çapı olan dairesel bir profilin bir bölümünü düşünün (Şek.4.8). Bir mesafede bulunan iki sonsuz yakın eşmerkezli daire ile bölümün elemanını seçelim. dairenin ağırlık merkezinden .

(4.5) ifadesini kullanarak dairenin polar atalet momentini hesaplayalım:

. (4.15)

Birbirine dik iki eksen (4.6) etrafındaki eksenel atalet momentlerinin toplamı için değişmezlik koşulunu kullanarak ve simetriden dolayı bir daire için bunu hesaba katarak
, eksenel atalet momentlerinin değerini belirleriz:

. (4.16)

. (4.17)

Eksenler etrafında merkezkaç atalet momenti ve eksenler sıfır olduğundan
ve
bölümün simetri eksenleridir.

4.4. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasındaki ilişkiler

Karmaşık rakamlar için atalet momentlerini hesaplarken, bir kural hatırlanmalıdır: atalet momentlerinin değerleri eklenebilir, aynı eksene göre hesaplanırlarsa. Karmaşık figürler için, çoğu zaman bireysel basit figürlerin ağırlık merkezleri ve tüm figür örtüşmez. Ayrı basit şekiller ve tüm şekil için merkezi eksenler sırasıyla çakışmaz. Bu bağlamda, atalet momentlerini bir eksene, örneğin tüm şeklin merkezi eksenine getirmek için yöntemler vardır. Bunun nedeni atalet eksenlerinin paralel ötelenmesi ve ek hesaplamalar olabilir.

Şekil 4.9'da gösterilen paralel atalet eksenleri hakkındaki atalet momentlerinin tanımını düşünün.

Şekil 4.9'da gösterilen eksenel ve merkezkaç atalet momentleri olsun. keyfi olarak seçilen eksenlerle ilgili rakamlar
ve
noktada orijini ile bilinen. Şeklin keyfi paralel eksenlere göre eksenel ve merkezkaç atalet momentlerini hesaplamak gerekir.
ve
noktada orijini ile . eksenler
ve
mesafelerde gerçekleştirilen ve eksenlerden sırasıyla
ve
.

Eksenel eylemsizlik momentleri (4.4) ve merkezkaç eylemsizlik momenti (4.7) için ifadeleri kullanalım. Mevcut koordinatlar yerine bu ifadelerde değiştirin
ve
sonsuz küçük koordinat alanına sahip eleman
ve
içinde yeni sistem koordinatlar. Alırız:

Elde edilen ifadeleri analiz ederek, ilk atalet eksenlerine göre hesaplanan atalet momentlerine paralel eksenlere göre atalet momentlerini hesaplarken, ek terimler şeklinde eklemeler eklemenin gerekli olduğu sonucuna varıyoruz. başlangıç ​​eksenlerine göre atalet momenti değerlerinden çok daha büyük olmalıdır. Bu nedenle, bu ek terimler hiçbir durumda ihmal edilmemelidir.

Ele alınan durum, keyfi atalet eksenleri başlangıç ​​eksenleri olarak alındığında, eksenlerin paralel transferinin en genel durumudur. Çoğu hesaplamada, atalet momentlerini belirlemek için özel durumlar vardır.

İlk özel durum . Referans eksenleri, şeklin merkezi atalet eksenleridir. Daha sonra, alanın statik momenti için ana özelliği kullanarak, şeklin alanının statik momentini içeren denklemlerin üyelerini (4.18)-(4.20) denklemlerinden çıkarmak mümkündür. Sonuç olarak şunları elde ederiz:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Burada eksenler
ve
- atalet merkezi ekseni.

İkinci özel durum. Referans eksenleri, eylemsizliğin ana eksenleridir. Ardından, merkezkaç atalet momentinin ana atalet eksenlerine göre sıfır olduğu göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Burada eksenler
ve
- Ana eylemsizlik eksenleri.

Elde edilen ifadeleri kullanalım ve düzlem şekilleri için atalet momentlerini hesaplamanın birkaç örneğini ele alalım.

Örnek 4.2.Şekil l'de gösterilen şeklin eksenel atalet momentlerini belirleyin. 4.10, merkezi eksenlere göre ve .

Önceki örnek 4.1'de, Şekil 4.10'da gösterilen şekil için ağırlık merkezinin konumu C belirlendi, ağırlık merkezinin koordinatı eksenden çizildi. ve yapılmış
. mesafeleri hesaplayalım ve akslar arasında ve ve eksenler ve . Bu mesafeler sırasıyla
ve
. Orijinal eksenlerden beri ve şeklin eksen etrafındaki atalet momentini belirlemek için dikdörtgen şeklindeki basit figürlerin merkezi eksenleridir. türevleri ilk özel durum için, özellikle formül (4.21) için kullanırız.

Eksene göre eylemsizlik momenti basit şekillerin aynı eksen etrafındaki atalet momentlerinin eklenmesiyle elde edilir, çünkü eksen basit figürler ve tüm figür için ortak bir merkezi eksendir.

cm4.

Eksenler etrafında merkezkaç atalet momenti ve eylemsizlik ekseni sıfır olduğundan ana eksendir (şeklin simetri ekseni).

Örnek 4.3. Boyutu nedir b(cm olarak) Şekil 2'de gösterilen şekil. 4.11, şeklin eksene göre atalet momenti ise 1000 cm 4'e eşit mi?

Eksene göre eylemsizlik momentini ifade ediyoruz bilinmeyen bir bölüm boyutu aracılığıyla , formül (4.21) kullanılarak, eksenler arasındaki mesafe dikkate alınarak ve 7 cm'ye eşittir:

cm4. (a)

(a) ifadesini kesit boyutuna göre çözme , şunu elde ederiz:

santimetre.

Örnek 4.4.Şekil 4.12'de gösterilen şekillerden hangisinin eksen etrafında daha büyük bir atalet momenti vardır? her iki şekil de aynı alana sahipse
cm2?

1. Şekillerin alanlarını boyutlarına göre ifade eder ve şunları belirleriz:

a) için kesit çapı yuvarlak bölüm:

cm2; Neresi
santimetre.

b) karenin kenar ölçüsü:

; Neresi
santimetre.

2. Dairesel bir bölüm için atalet momentini hesaplayın:

cm4.

3. Kare kesit için atalet momentini hesaplayın:

cm4.

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak, aynı alana sahip yuvarlak bir kesite kıyasla en büyük atalet momentinin kare bir kesite sahip olacağı sonucuna varıyoruz.

Örnek 4.5. Kesit genişliği ise, dikdörtgen bir bölümün ağırlık merkezine göre polar atalet momentini (cm 4 olarak) belirleyin.
cm, kesit yüksekliği
santimetre.

1. Yatay kesite göre bölümün atalet momentlerini bulun ve dikey atalet merkezi eksenleri:

cm4;
cm4.

2. Kesitin polar atalet momentini eksenel atalet momentlerinin toplamı olarak belirleyin:

cm4.

Örnek 4.6. Merkez eksene göre Şekil 4.13'te gösterilen üçgen şeklin atalet momentini belirleyin. , şeklin eksene göre eylemsizlik momenti ise 2400 cm4'e eşittir.

Eylemsizliğin ana ekseni etrafındaki üçgen kesitin eylemsizlik momenti eksene göre atalet momentinden daha az olacaktır miktara göre
. Bu nedenle, ne zaman
eksen etrafındaki bölümün atalet momentini görün aşağıdaki şekilde bulunuz.

gövde m kare mesafe başına d akslar arasında:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

nerede m- toplam vücut ağırlığı.

Örneğin, ucundan geçen bir eksene göre çubuğun eylemsizlik momenti:

J \u003d J c + m d 2 \u003d 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 \u003d 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\sağ)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri

eylemsizlik momentleri bazı dönme eksenlerine göre en basit formdaki homojen cisimler
Gövde Tanım Eksen konumu a eylemsizlik momenti J bir
Malzeme kütle noktası m Mesafede r bir noktadan sabit
İçi boş ince duvarlı silindir veya yarıçap halkası r ve kitleler m Silindir ekseni m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Katı silindir veya disk yarıçapı r ve kitleler m Silindir ekseni 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
İçi boş kalın duvarlı kütle silindiri m dış yarıçaplı r 2 ve iç yarıçap r 1 Silindir ekseni m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Katı silindir uzunluğu ben, yarıçap r ve kitleler m 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \4'ün üzerinde)m\cdot r^(2)+(1 \ 12)m\cdot l^(2))
İçi boş ince duvarlı silindir (halka) uzunluğu ben, yarıçap r ve kitleler m Eksen silindire diktir ve kütle merkezinden geçer. 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \üzerinde 2)m\cdot r^(2)+(1 \üzerinde 12)m\cdot l^(2))
Düz ince çubuk uzunluğu ben ve kitleler m Eksen çubuğa diktir ve kütle merkezinden geçer 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Düz ince çubuk uzunluğu ben ve kitleler m Eksen çubuğa diktir ve ucundan geçer 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
İnce duvarlı yarıçap küresi r ve kitleler m Eksen kürenin merkezinden geçer 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
top yarıçapı r ve kitleler m Eksen topun merkezinden geçer 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
koni yarıçapı r ve kitleler m koni ekseni 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Yüksekliği olan ikizkenar üçgen h, temel a ve ağırlık m Eksen üçgenin düzlemine diktir ve tepe noktasından geçer 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Kenarlı sağ üçgen a ve ağırlık m Eksen üçgenin düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Kenarlı kare a ve ağırlık m Eksen kare düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer 1 6 m 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Kenarları olan dikdörtgen a ve b ve ağırlık m Eksen dikdörtgenin düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
Yarıçapın normal n-gon'u r ve ağırlık m Eksen düzleme diktir ve kütle merkezinden geçer m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
Kılavuz daire yarıçaplı Torus (içi boş) R, üreten dairenin yarıçapı r ve ağırlık m Eksen, torusun kılavuz dairesinin düzlemine diktir ve kütle merkezinden geçer. I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\sol((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\sağ))

formüllerin türetilmesi

İnce duvarlı silindir (halka, çember)

formül türetme

vücudun eylemsizlik momenti toplamına eşittir kurucu parçalarının atalet momentleri. İnce duvarlı silindiri kütlesi olan elemanlara ayıralım. dm ve eylemsizlik momentleri DJ ben. O zamanlar

J = ∑ d J ben = ∑ R ben 2 d m . (bir) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

İnce duvarlı bir silindirin tüm elemanları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğundan, formül (1) forma dönüştürülür.

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\toplam R^(2)dm=R^(2)\toplam dm=mR^(2).)

Kalın duvarlı silindir (halka, çember)

formül türetme

Dış yarıçaplı homojen bir halka olsun R, iç yarıçap R 1, kalın h ve yoğunluk ρ. Kalınlığı olan ince halkalara ayıralım doktor. İnce bir yarıçap halkasının kütlesi ve atalet momenti r olacak

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Kalın bir halkanın atalet momentini integral olarak buluyoruz

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\sol.(\frac (r^(4))(4))\sağ|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\sağ)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2 )-R_(1)^(2)\sağ)\sol(R^(2)+R_(1)^(2)\sağ).)

Halkanın hacmi ve kütlesi eşit olduğundan

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\sağ)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \sol(R^(2)-R_(1)^(2)\sağ)h,)

halkanın eylemsizlik momenti için son formülü elde ederiz

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\sol(R^(2)+R_(1)^(2)\sağ).)

Homojen disk (katı silindir)

formül türetme

Silindiri (disk) sıfır iç yarıçaplı bir halka olarak ele almak ( R 1 = 0 ), silindirin (disk) atalet momenti formülünü elde ederiz:

J = 1 2 m R2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

katı koni

formül türetme

Koniyi ince kalınlıkta disklere bölün gün koninin eksenine diktir. Böyle bir diskin yarıçapı

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)))

nerede R koninin tabanının yarıçapı, H koninin yüksekliği, h koninin tepesinden diske olan mesafedir. Böyle bir diskin kütlesi ve atalet momenti

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \sol((\frac (Rh)(H))\sağ)^(4)dh;)

Entegrasyon, elde ederiz

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(hizalanmış)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \sağ)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \sol((\frac (R)(H) )\sağ)^(4)\sol.(\frac (h^(5))(5))\sağ|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\sağ)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(hizalanmış)))

Katı üniforma top

formül türetme

Topu ince disklere bölün gün, dönme eksenine dik. Bir yükseklikte bulunan böyle bir diskin yarıçapı h kürenin merkezinden formülle buluruz

r = R 2 - h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2)))

Böyle bir diskin kütlesi ve atalet momenti

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \sol(R^(2)-h^(2)\sağ)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \sol(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\sağ)dh.)

Topun eylemsizlik momenti integrasyon ile bulunur:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 sa 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(hizalanmış)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R) )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\sağ)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\sağ)\sağ|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\sağ) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \sağ) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(hizalanmış)))

ince duvarlı küre

formül türetme

Türetme için, homojen bir yarıçap topunun eylemsizlik momenti formülünü kullanırız. R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Sabit bir ρ yoğunluğunda, topun yarıçapı sonsuz küçük bir değerle artarsa, topun eylemsizlik momentinin ne kadar değişeceğini hesaplayalım. dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R2 . (\displaystyle (\begin(hizalanmış)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\sağ)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\sol(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\sağ)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\son(hizalanmış)))

İnce çubuk (eksen merkezden geçer)

formül türetme

Çubuğu küçük uzunlukta parçalara ayıralım doktor. Böyle bir parçanın kütlesi ve atalet momenti

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l))).)

Entegrasyon, elde ederiz

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\sol.(\frac (r^(3))(3))\sağ|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)

İnce çubuk (eksen uçtan geçer)

formül türetme

Dönme eksenini çubuğun ortasından ucuna hareket ettirirken, çubuğun ağırlık merkezi eksene göre bir mesafe kadar hareket eder. ⁄2. Steiner teoremine göre, yeni eylemsizlik momenti şuna eşit olacaktır:

J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 \u003d 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 \u003d 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\sağ)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Gezegenlerin ve uyduların boyutsuz eylemsizlik momentleri

Gezegenlerin ve uydularının iç yapısı çalışmaları için büyük önem taşıyan boyutsuz eylemsizlik momentleridir. Yarıçaplı bir cismin boyutsuz atalet momenti r ve kitleler m dönme ekseni etrafındaki atalet momentinin eylemsizlik momentine oranına eşittir maddi nokta belirli bir mesafede bulunan sabit bir dönme eksenine göre aynı kütle r(eşittir Bay 2). Bu değer, kütlenin derinlikteki dağılımını yansıtır. Gezegenler ve uydular için ölçme yöntemlerinden biri, belirli bir gezegen veya uydu etrafında uçan AMS tarafından iletilen radyo sinyalinin Doppler kaymasını belirlemektir. İnce duvarlı bir küre için, boyutsuz atalet momenti 2/3'e (~0.67) eşittir, homojen bir top için - 0.4 ve genel olarak ne kadar küçükse, cismin kütlesi merkezinde yoğunlaşır. Örneğin, Ay 0,4'e yakın (0,3991'e eşit) boyutsuz bir atalet momentine sahiptir, bu nedenle nispeten homojen olduğu varsayılır, yoğunluğunun derinlikle çok az değiştiği varsayılır. Dünya'nın boyutsuz atalet momenti, içinde yoğun bir çekirdeğin varlığı lehine bir argüman olan homojen bir topunkinden (0.335'e eşit) daha azdır.

merkezkaç atalet momenti

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerine göre bir cismin merkezkaç atalet momentleri aşağıdaki niceliklerdir:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

nerede x , y ve z- hacim ile vücudun küçük bir elemanının koordinatları dV, yoğunluk ρ ve kütle dm .

OX ekseni denir vücudun eylemsizlik ana ekseni merkezkaç atalet momentleri ise Jxy ve Jxz aynı anda sıfırdır. Vücudun her noktasından üç ana atalet ekseni çizilebilir. Bu eksenler karşılıklı olarak birbirine diktir. Vücudun eylemsizlik momentleri keyfi bir noktada çizilen üç ana eylemsizlik eksenine göre Ö bedenler denir ana eylemsizlik momentleri bu vücudun.

Cismin kütle merkezinden geçen asal eylemsizlik eksenlerine ne ad verilir? vücudun ana merkezi atalet eksenleri, ve bu eksenler hakkındaki eylemsizlik momentleri onun ana merkezi atalet momentleri. Homojen bir cismin simetri ekseni her zaman onun ana atalet eksenlerinden biridir.

Geometrik atalet momentleri

Hacmin geometrik atalet momenti

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

nerede, daha önce olduğu gibi r- elemandan uzaklık dV eksene a .

Alanın geometrik atalet momenti eksene göre - vücudun geometrik özelliği, formülle ifade edilir:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

yüzey üzerinde entegrasyonun yapıldığı yer S, a dS bu yüzeyin bir elemanıdır.

Boyut J Sa- dördüncü güce uzunluk ( d ben m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (loş) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), sırasıyla, SI birimi 4'tür. İnşaat hesaplamalarında, literatürde ve haddelenmiş metal çeşitlerinde, genellikle cm 4 olarak belirtilir.

Alanın geometrik atalet momenti ile kesit direnci momenti şu şekilde ifade edilir:

W = J S a r m bir x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(maks))).)

Burada maksimum- yüzeyden eksene maksimum mesafe.

Bazı şekillerin alanının geometrik atalet momentleri
Dikdörtgen Yüksekliği h (\görüntüleme stili h) ve genişlik b (\görüntüleme stili b): J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))

J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Dış konturlar boyunca dikdörtgen kutu kesiti yüksekliği ve genişliği H (\görüntüleme stili H) ve B (\görüntüleme stili B), ve dahili için h (\görüntüleme stili h) ve b (\görüntüleme stili b) sırasıyla J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))

J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Daire çapı d (\görüntüleme stili d) J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Bir düzlem hakkında eylemsizlik momenti

eylemsizlik momenti sağlam vücut Belirli bir düzleme göre, cismin her noktasının kütlesinin çarpımlarının toplamına ve bu noktadan söz konusu düzleme olan mesafenin karesine eşit bir skaler nicelik denir.

Eğer keyfi bir noktadan geçerse O (\görüntüleme stili O) koordinat eksenlerini çiz x , y , z (\displaystyle x,y,z), sonra koordinat düzlemleri hakkındaki atalet momentleri x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) ve zO x (\displaystyle zOx) formüllerle ifade edilecektir:

J x O y = ∑ ben = 1 n m ben z ben 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ ben = 1 n m ben x ben 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ ben = 1 n m ben y ben 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

Katı bir gövde durumunda, toplamanın yerini integrasyon alır.

Merkezi atalet momenti

Merkezi atalet momenti (O noktası etrafında eylemsizlik momenti, kutup etrafında eylemsizlik momenti, kutupsal eylemsizlik momenti) J O (\displaystyle J_(O)) ifade tarafından belirlenen değerdir:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Merkezi atalet momenti, ana eksenel atalet momentleri ve ayrıca düzlemler hakkındaki atalet momentleri aracılığıyla ifade edilebilir:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \Sağ),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Eylemsizlik tensörü ve eylemsizlik elipsoidi

Bir cismin kütle merkezinden geçen ve yönü birim vektör tarafından verilen keyfi bir eksen etrafındaki eylemsizlik momenti s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\sağ\vert=1), ikinci dereceden (çizgisel) bir form olarak temsil edilebilir:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad ) (1)

atalet tensörü nerede. Atalet tensörünün matrisi simetriktir, boyutları vardır 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3) ve merkezkaç momentlerinin bileşenlerinden oluşur:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(dizi) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(dizi))\sağ\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\dört )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Uygun bir koordinat sistemi seçerek, eylemsizlik tensörünün matrisi köşegen bir forma indirgenebilir. Bunu yapmak için, tensör matrisi için özdeğer problemini çözmemiz gerekiyor. J ^ (\displaystyle (\hat(J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot(\hat(Q))) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(dizi)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(dizi))\sağ\Vert ,)

nerede Q ^ (\displaystyle (\hat(Q)))- eylemsizlik tensörünün kendi temeline geçişin ortogonal matrisi. Kendi temelinde, koordinat eksenleri, eylemsizlik tensörünün ana eksenleri boyunca yönlendirilir ve ayrıca eylemsizlik tensör elipsoidinin ana yarı eksenleriyle çakışır. Miktarları J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z)) eylemsizliğin ana momentleridir. (1) ifadesi kendi koordinat sisteminde şu şekildedir:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

elipsoidin özkoordinatlardaki denklemi buradan elde edilir. Denklemin her iki tarafını da bölerek Ben s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\sağ)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\sağ)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\sağ)^(2)\cdot J_(Z)=1)

ve değiştirmeleri yapmak:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s))))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s))))\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))))

koordinatlarda elipsoid denklemin kanonik formunu elde ederiz ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Elipsoidin merkezinden bazı noktalarına olan uzaklık, elipsoidin merkezinden geçen düz bir çizgi ve bu nokta boyunca cismin eylemsizlik momentinin değeri ile ilgilidir.

Geçerli sayfa: 3 (toplam kitap 9 sayfadır) [erişilebilir okuma alıntısı: 7 sayfa]

Yazı tipi:

100% +

22. Kesitin statik momenti

Mukavemet hesaplamaları, katı bir gövdede meydana gelen gerilme ve şekil değiştirmenin, iç kuvvet faktörlerine ve kesitin geometrik özelliklerine bağlı olduğunu göstermektedir. Gerilimde, örneğin, gerilim kesit alanına bağlıdır ve bu durumda gerilim bölüm üzerinde düzgün bir şekilde dağıldığından, bölümün şekline bağlı değildir. Burulma sırasında, gerilmelerin eşit olmayan dağılımı nedeniyle gerilmeler, bölümün boyutuna ve şekline bağlıdır. Burulmadaki kirişin hesaplama formülleri şunları içerir: polar atalet momenti ben p ve kutupsal direnç momenti W p- bölümün geometrik özellikleri. Bir kirişin eğilmedeki mukavemetini hesaplarken, kirişin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini ve kesit direnç momentlerini bilmek gerekir. Alanı olan bir kirişin belirli bir bölümünü dikkate alalım. A ve bu cismin ağırlık merkezinden geçen bir eksen. Bir düzlem bölümünün statik momenti bazı eksenler hakkında x kesiti oluşturan elementer alanların alanlarının, bu alanların ağırlık merkezinden geçen eksene olan uzaklıkları ile çarpımlarının toplamıdır. Benzer şekilde eksen için y.



Statik moment metreküp cinsinden ölçülür. Seçilen eksene bağlı olarak pozitif, negatif veya sıfır olabilir. Statik momentler ve kesit alanı biliniyorsa, ağırlık merkezinin koordinatları, statik momentin kesit alanına oranı olarak belirlenebilir. Ve bunun tersi, bölümün ağırlık merkezinin koordinatları biliniyorsa - xc, yc, statik moment, kesit alanının ürününe ve ağırlık merkezinden eksene olan mesafeye eşittir.

Sx=ay c

sy=balta

Elde edilen bağıntılardan, eksenin ağırlık merkezinden geçtiği durumda statik momentin sıfır olduğu görülmektedir.

Kesit olarak kabul edilebilecek durumda n- bilinen alanlara sahip bileşen parçalarının sayısı A i ve ağırlık merkezlerinin koordinatları x ben, y i, tüm ağırlık merkezinin konumu, ürünlerin toplamı olarak tanımlanabilir:



Paydaki her terim, seçilen eksene göre bu bölümün statik momentini belirler.

23. Bölümün atalet momenti

Bir düzlem bölümünün eksenel (veya ekvator) atalet momenti bazı eksenler hakkında x enkesiti oluşturan temel alanların alanlarının, bu alanların ağırlık merkezinden geçen eksene olan uzaklığının karesi ile çarpımlarının toplamıdır. Böylece eksenel momentler tüm kesit alanı üzerinde integraldir.



Polar atalet momenti bir noktaya göre (kutup), kesiti oluşturan temel alanların alanlarının çarpımlarının, bu alanların seçilen noktaya olan uzaklığının karesi ile toplamıdır.



merkezkaç atalet momenti birbirine dik bazı iki eksene göre, kesiti oluşturan temel alanların çarpımlarının, bu alanların bu eksenlere olan uzaklıklarıyla toplamıdır.



Eylemsizlik momentleri m 4 olarak ölçülür. Eksenel ve kutupsal eylemsizlik momentleri sadece pozitif olabilir, çünkü koordinatın herhangi bir işareti için bu koordinatın karesi formülde alınır. Merkezkaç atalet momenti pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

Birbirine dik iki eksen etrafındaki eksen atalet momentlerinin toplamı, bu eksenlerin kesiştiği nokta etrafındaki kutupsal atalet momentine eşittir.

ben ρ = ben x +ben y

Gerçekten de, ρ, bölümün temel alanından bir noktaya olan mesafedir, kenarları olan bir üçgenin hipotenüsü olarak tanımlanır. x ve y.

ρ 2 = x 2 + y 2

Bu bağıntıyı kutupsal eylemsizlik momenti ifadesiyle değiştiririz ve şunu elde ederiz:


24. Basit bölümlerin eylemsizlik momentleri

Bazı basit şekillerin atalet momentlerini düşünün.

Bir daire. ben ρ = ben x +ben y. Daire simetrik bir şekil olduğundan, o zaman ben x = ben y. Sonuç olarak, ben p = 2 ben x. Kutupsal eylemsizlik momentinin tanımına ve bir daire durumunda kutupsal eylemsizlik momenti ile eksenel eylemsizlik momentleri arasındaki ilişkiye dayanarak, elimizde:



İçin yüzüklerçap d ve iç çap d 0



Yarım daire. Ana merkez eksenler, bu yarım dairenin simetri ekseni ve ona dik olan eksendir. Bir yarım daire için eylemsizlik momenti, aynı eksen için bir daireninkinin yarısıdır. tayin edersek x 1 taban ekseni, daha sonra



Biri merkezi olan paralel eksenlerin atalet momentlerini birbirine bağlayan ve yarım dairenin ağırlık merkezinin ordinatının değerini bilen ilişkiden y c ≈ 0.424r yarım dairenin atalet momentlerini belirleyebilirsiniz:



Dikdörtgen. Eylemsizlik momentini tanımlayalım ben x1, dikdörtgenin tabanına denk gelen ve bölümü göz önünde bulundurun A genişlikteki temel dikdörtgenlerin toplamı olarak b ve yükseklik ölmek 1 , A=bdy 1



Biri merkezi olan paralel eksenlerin eylemsizlik momentleri için, ben x =ben x1 – bir 2A. Bu durumda, mesafe a=h/ 2, A=bh eksenlere göre eylemsizlik momenti x ve y

ben x = 3 / 12

ben y = hb 3 / 12

Bir karenin özel durumunda

ben x =ben = 4 / 12

İçin üçgen eylemsizlik momentini hesapla ben x1, eksene göre x 1 , tabanla çakışıyor ve bunun için bölümü temel genişlik dikdörtgenlerinin toplamı olarak görüyoruz. b. Matematiksel dönüşümleri yaptıktan sonra değeri buluyoruz. ben x = bh 3 / 12. Merkez eksene göre eylemsizlik momenti ben x =Ix1-bir 2 b, bu durumda a=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Sonuç olarak şunları elde ederiz:

ben x =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= 3 / 36

Genel olarak eksen x ana değil

ben y= 3 / 48

25. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasındaki ilişki

Biri merkezi olan paralel eksenler etrafındaki atalet momentleri arasındaki ilişkiyi kuralım. Bunu yapmak için, alanı olan bir kesit düşünün ANCAK. (Şek. 10) Kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarının bilindiğini varsayalım. C ve eylemsizlik momentleri ben xc, ben yc merkezi eksenlere göre x c, y c. Bu durumda eksenlere göre atalet momentlerini belirlemek mümkündür. x ve y, merkeze paralel ve merkezden uzak mesafede a ve b sırasıyla. Paralel eksenlerin koordinatları için ilişkiyi yazıyoruz:

x= x c+b

y= y c+a

Daha sonra eksen etrafındaki bölümün atalet momenti xşeklinde yazılacaktır:



Bu ifadede birinci terim eksene göre atalet momentidir. x c, ikinci terimde integral statik momenti temsil eder (ve merkezi eksene göre statik moment her zaman sıfırdır), üçüncü terim eksenler arasındaki mesafenin karesi ile çarpılan kesit alanıdır a. Böylece:

ben x = ben xc + a 2 A

ben y = ben yc + b 2 A

Herhangi bir eksen etrafındaki atalet momenti, verilen eksene paralel olan merkezi eksen etrafındaki atalet momentinin toplamına ve şeklin kesit alanının ürünün uzaklığın karesi ile çarpımına eşittir. eksenler arasında.

Kendilerine paralel merkezi olmayan eksenlere geçişte merkez eksenler etrafındaki atalet momentleri için bir bağıntı elde ettik. Bu ilişkilere paralel transfer formülleri de denir.

Elde edilen formüllerden, merkez eksen etrafındaki atalet momentinin, ona paralel olan herhangi bir merkezi olmayan atalet momentinden her zaman daha küçük olduğu açıktır.


26. Asal atalet eksenleri ve asal atalet momentleri

Kesit düzleminin herhangi bir noktasından sonsuz sayıda karşılıklı olarak dik eksen çifti çizilebilir. Kesitin iki eksenel atalet momentinin toplamı bir polar moment olduğundan ve sabit değer, daha sonra koordinat sistemini hareket ettirerek, seçilen atalet momentlerinden birinin maksimum ve ikinci minimum olacağı eksenlerin böyle bir konumunu seçmek mümkündür. Eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasındaki ilişkiyi düşünün. x 0 , y 0 ve eksenlere göre eylemsizlik momentleri x ve y göre bir α açısı boyunca döndürülmüş x 0 , y 0 . Dik eksenlerin atalet momentlerinin maksimum ve minimum değerlerini alacağı α açısının bu tür değerlerini bulalım. Bunu yapmak için, dönme açısına göre birinci türevi buluyoruz. ben x , BEN y ve sıfıra eşitleyin ( matematiksel kural fonksiyonun ekstremumunu bulma).



Dönüşümlerden sonra oran şu şekilde olacaktır:



Ortaya çıkan formül, birbirine dik iki eksenin konumunu belirler, birine göre atalet momenti maksimum, diğerine göre atalet momenti minimumdur. Bu tür eksenler denir ana eylemsizlik eksenleri. Bu eksenlere göre eylemsizlik momentlerine denir. ana eylemsizlik momentleri. Bu durumda merkezkaç momenti sıfırdır.

Kesitin ağırlık merkezinden geçen eksenlere merkezi eksenler denir. Pratik hesaplamalarda, merkezi eksenlerle ilgili ana atalet momentleri ilgi çekicidir, bunlara denir. ana merkezi atalet momentleri ve bu tür eksenler ana merkez eksenler. Sadece merkezi eksenler ilgilendirdiği için, bunlara basitçe kısalık için ana eksenler denir ve bu eksenlere göre hesaplanan eksenel atalet momentleri basitçe ana atalet momentleri olarak adlandırılır.

Eylemsizliğin ana eksenlerinden biri, kesit düzleminin simetri merkezinden geçen eksendir, ikincisi ona diktir. Simetri ekseni ve ona dik olan herhangi bir eksen, bir asal eksenler sistemi oluşturur. Kesitin birkaç simetri ekseni varsa (örneğin, bir daire, bir kare, bir eşkenar üçgen), o zaman tüm merkezi eksenler asaldır ve tüm merkezi momentler eşittir.

27. Karmaşık bölümlerin atalet momentlerinin hesaplanması

Alanı olan karmaşık bir bölümün atalet momentini bulmak için A bölüm basit ayrılmıştır A 1 , A 2 , … A n atalet momentleri hazır formüllere veya tablolara göre bulunur.

Karmaşık bir şeklin eylemsizlik momenti, basit şekilleri oluşturan eylemsizlik momentlerinin toplamı olarak bulunur.

ben x = ben x 1 + ben x 2 +… + ben xn

Eylemsizlik momenti, kesit alanı üzerindeki integraldir,



integral için doğrudur:



Bu nedenle şu şekilde yazılabilir:



Başka bir deyişle, bir kompozit bölümün bir eksene göre eylemsizlik momenti, bu bölümün bileşenlerinin aynı eksene göre eylemsizlik momentlerinin toplamıdır.

Bu tür problemler çözülürken aşağıdaki algoritma izlenir. Düz bir bölümün ağırlık merkezini bulun ve ana merkezi eksenleri belirleyin. Tablolardan veya hazır formüller kullanılarak, bileşen parçaların atalet momentlerinin değerleri, bölümün ana merkez eksenlerine paralel olarak kendi merkez eksenlerine göre hesaplanır. Paralel transfer formüllerini kullanarak, bölümün ana eksenlerine göre bölümü oluşturan bölümlerin atalet momentlerinin değerleri hesaplanır. Toplama ile, ana merkezi atalet momentlerinin değerleri belirlenir.

Bu kural merkezkaç atalet momenti için de geçerlidir.

28. Tork kavramı

Burulma, kirişin enine kesitinde bir iç kuvvet faktörünün meydana geldiği kiriş deformasyon türlerinden biridir. tork mk. Bu tür deformasyon, kirişe bir çift kuvvet etki ettiğinde meydana gelir. burulma momentleri M boyuna eksenine dik olarak uygulanır.

Torklarla yüklü bir çubuğa mil denir. Şaft düzgün bir şekilde dönüyorsa, mile etkiyen torkların toplamı sıfırdır. Aktarılan gücün bilinmesi koşuluyla tork formülle belirlenebilir. P ve açısal hız w.



Bilinen bir mil dönüş frekansı ile açısal hız şu şekilde yazılabilir:



Bu nedenle, tork ifadesi şu şekilde yazılabilir:



Pratik hesaplamalarda, gerçek bir nesne bir hesaplama şeması ile değiştirilir. Problemi basitleştirmek için, dönme momentlerinin parçaların orta bölümünde yoğunlaştığı ve yüzeylerine dağılmadığı varsayılmaktadır. İsteğe bağlı bir şaft bölümünde, şaft bir düzlem tarafından zihinsel olarak kesildiğinde tork, bölümler yöntemi kullanılarak belirlenebilir. Parçalardan biri atılır ve etkisi Mk torku ile değiştirilir, daha sonra denge denklemlerinden belirlenir. Torkun sayısal değeri, bölümün bir tarafında bulunan torkların toplamıdır.

Burulma sırasında kirişin enine kesitlerinde sadece teğetsel gerilmeler ortaya çıkar, normal kuvvetler kirişin boyuna eksenine paraleldir ve momentleri sıfıra eşittir. Bu nedenle, tork tanımı şu şekilde formüle edilebilir: tork, kirişin boyuna eksenine göre enine kesitinde ortaya çıkan iç teğetsel kuvvetlerin ortaya çıkan momentidir.

Kirişin burulması durumunda mukavemet hesaplanırken kirişin tehlikeli bölümünün bulunması gerekir. Kiriş ekseni boyunca enine kesitin boyutları değişmezse, maksimum torka sahip bölümler tehlikeli olarak kabul edilir. Tehlikeli bölümleri bulmak için tork diyagramları oluşturulur (kiriş uzunluğu boyunca tork değişim grafikleri). Diyagramları oluştururken, çizilen bölüme bakarsanız, yönü saat yönü ile çakışıyorsa, torkun pozitif olduğunu varsaymak gelenekseldir. Bu varsayım keyfidir, çünkü torkun işaretinin fiziksel bir anlamı yoktur.

29. Yuvarlak bir milin burulması sırasında gerilmelerin belirlenmesi

Millerin burulmasını incelerken aşağıdaki varsayımlar gerçekleşir:

- düz kesitler hipotezi: deformasyondan sonra kirişin düz enine kesitleri de düz kalır ve ekseninin normali boyunca bu eksene göre bir açıyla dönerek yönlendirilir;

- kesitlerin yarıçapları kavisli değildir ve uzunlukları sabit kalır;

- kiriş ekseni boyunca, kesitler arasındaki mesafeler sabit kalır.

Yukarıdaki varsayımlara dayanarak, yuvarlak bir şaftın burulması saf kesme olarak kabul edilebilir. Bu varsayımlara dayalı olarak elde edilen formüller deneysel olarak doğrulanmıştır.

Yarıçaplı dairesel bir kirişin bir bölümünün burulmasını düşünün r uzun dz. Uçlardan biri sabit kabul edilecektir.



Kesitte bir a açısı boyunca döndürüldüğünde, böyle bir şaftın yüzeyinde yatan kesme açısı aşağıdaki formülle belirlenir:



Davranış tam açı milin kesitinde uzunluğuna kadar olan bükülmeye bağıl bükülme açısı denir.

Milin dikkate alınan bölümünde ρ yarıçaplı bir silindiri zihinsel olarak seçelim, bu silindirin yüzeyi için kesme açısı benzer şekilde belirlenir:



Hooke yasasına göre, kesme durumunda kesme gerilmeleri şuna eşittir:



Böylece, burulma sırasında kesme gerilmeleri, kesitin ağırlık merkezine olan uzaklığı ile doğru orantılıdır ve ağırlık merkezinde kesme gerilmeleri sıfıra eşittir. Mil yüzeyine yaklaştıkça maksimum değerlerini alırlar.

30. Şafta iletilen momentlerin hesaplanması

Çapı olan yuvarlak bir şaftın bir bölümünün burulmasını düşünün r ve uzunluk dz. İçinde ρ çapında bir silindir seçiyoruz. Burulma saf kesme olduğundan, normal gerilmeler sıfırdır ve α açısı boyunca döndürüldüğünde kesme gerilmeleri aşağıdaki gibi dağıtılır:



Tork şu şekilde tanımlanır:



ANCAK- kesit alanı. Bu ifadeye kayma gerilmesini koymak ve kesit alanı üzerindeki yarıçapın integralinin bölümün polar atalet momenti olduğunu hesaba katmak , şunu elde ederiz:



Bu ifadeyi kesme gerilmeleri formülünde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:



Böylece kesme gerilmeleri, kesitin polar momentine bölünen tork ve yarıçapın ürünü olarak tanımlanır. Eksenden eşit uzaklıkta bulunan noktalar için kayma gerilmelerinin eşit olduğu, maksimum gerilme değerlerinin mil yüzeyinde bulunan noktalarda olduğu açıktır.



Burada kutupsal burulma direnci momentidir.

Yuvarlak bölüm için



Burulma mukavemeti durumu aşağıdaki gibidir:



[τ] izin verilen maksimum kesme gerilimidir.

Bu formül ayrıca izin verilen torku belirlemenize veya izin verilen mil çapını seçmenize olanak tanır.

31, Burulma deformasyonu. Potansiyel enerji

Burulma sürecinde, torklar kesit ile birlikte bir açıyla döner ve aynı zamanda, diğer deformasyon türlerinde olduğu gibi, vücutta belirli bir potansiyel enerji rezervi oluşturmak için harcanan iş yapar. deformasyon ve formül ile belirlenir:



Bu oran aşağıdakilerden doğrusal bağımlılık tork M ile dönme açısından φ.



Bir yük uygulandığında, tork kademeli olarak artarken, Hooke yasasına göre dönme açısı orantılı olarak artar. Tork tarafından yapılan iş, enerjinin korunumu yasasına göre potansiyel deformasyon enerjisine eşittir, bu nedenle,



Büküm açısı için bilinen formülü elde edilen orana koyarsak, ifade şu şekilde olur:



Kirişin torkunda veya kesitinde bir adım değişikliği ile potansiyel enerji toplamıdır:



Tork veya polar momentler (veya her ikisi aynı anda) kiriş bölümlerinin uzunluğu boyunca sürekli değişiyorsa, potansiyel enerji uzunluk boyunca bir integraldir.


32. Helisel helezon yayların hesaplanması

Makine mühendisliği ve enstrümantasyonda, silindirik, koni şeklinde veya şekilli olabilen sarmal yaylar yaygın olarak kullanılmaktadır. En yaygın kullanılan yaylar silindirik olup, yuvarlak kesitli telden yapılmıştır: uzatma yayları (bobinler arasında boşluk olmadan yapılmış) ve sıkıştırma yayları (boşluklu). Yayların sertlik ve mukavemet hesaplamasını basitleştirmek için, bobinlerin eğim açısının ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu ve yay ekseni boyunca bölümün bobin için enine olarak kabul edildiğini varsayacağız. Yayın kesme kısmı için denge koşullarından, kesitte iki iç kuvvet faktörünün ortaya çıktığı açıktır: enine kuvvet Q y = F ve tork M ile = FD / 2, yani, bobin bölümünde sadece teğetsel gerilimler ortaya çıkar. Enine kuvvetle ilişkili kesme gerilmelerinin kesit üzerinde düzgün bir şekilde dağıldığını ve bir torkun varlığı ile ilişkili kesme kuvvetlerinin doğrusal bir yasaya göre dağıldığını ve maksimum değerlerine en uç noktalarında ulaştığını varsayacağız. bölüm. Yayın eksenine en yakın nokta en çok gerilecek, bunun için stres şuna eşittir:



Yay çapının tel çapına oranına yay indeksi denir,

c n =G/g



Ortaya çıkan formül, enine kuvvetin etkisinin ihmal edilmesi ve bobinlerin eğriliğinin dikkate alınmaması nedeniyle yaklaşıktır. Bir düzeltme faktörü sunalım İle, yayın indeksine ve bobinlerin eğim açısına bağlı olarak. Daha sonra mukavemet durumu şu şekli alır:



Bir yük uygulandığında, yay uzunluğunu değiştirir. Bu değişiklik denir bahar taslağıλ. Bobinler sadece burulma yaşıyorsa, çekişin neye eşit olduğunu belirleyelim. Clapeyron formülüne göre, dış statik kuvvetlerin işi:



Potansiyel gerinim enerjisi



Bu durumda



nerede ben- yayın dikkate alınan bölümünün uzunluğu;

n- dönüş sayısı.

İkame ve matematiksel dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz:


33. Sarmal yaylarda yer değiştirmeler ve gerilmeler

Sarmal yaylar, makine mühendisliğinde şok emici cihazlar veya ters besleme cihazları olarak yaygın olarak kullanılmaktadır. Helisel yayların hesaplanması, yer değiştirmeleri belirleme yöntemini iyi bir şekilde göstermektedir. Sarmal yaylar çekme, sıkıştırma ve burulma yaylarına ayrılır. Çekme ve basma yayları, yay ekseni boyunca hareket eden kuvvetler tarafından yüklenir, burulma yayları, yay eksenine dik bir düzlemde bulunan momentler tarafından yüklenir.

Bükümlü bir yay, sarmal eksenli uzamsal olarak bükülmüş bir çubuk olarak düşünülebilir. Yayın şekli aşağıdaki parametrelerle karakterize edilir: yay çapı D, dönüş sayısı n, yükseklik açısı θ ve yay sahası s formülle tanımlanır:

s= π dtgθ

Genellikle yay aralığı π'den çok daha küçüktür. Dθ açısı oldukça küçüktür (5°'den az).

Bir gerilim-sıkıştırma yayı düşünün. Dış yükün etkisi altında R her bir kesitte elde edilen bir manevi güç R ve an M=PD / 2, kuvvetlerin etki düzleminde yatan R. Şek. Şekil 13, yayın enine kesitine etki eden kuvvetleri göstermektedir.



projeksiyonlar tam güç ve bölümle ilişkili koordinat sistemine göre moment, aşağıdaki ilişkilerle tanımlanır:

M ile = (PD/ 2) × cosθ,

M dışarı= (PD / 2) × günahθ,

Q=P× cosθ,

N=P× günahθ.

gücü varsayalım R 1'e eşitse, kuvvet ve moment oranları şu şekilde olur:

M k1 = (D/ 2) × cosθ,

M izg1 = (D/ 2) × günahθ,

Q 1 = cosθ,

N 1 = günahθ.

Mohr integralini kullanarak yaydaki eksenel yer değiştirmeyi bulalım. Normal ve enine kuvvetlerin neden olduğu yer değiştirmelerin küçüklüğünü ve ayrıca eksenel yer değiştirmeyi dikkate alarak, bu durumda Mohr integrali aşağıdaki gibi yazılır:



paydadaki ürün, yayın burulma sertliği olduğunda;

l, yayın çalışan kısmının uzunluğudur;

ben≈ π Dn

Dönüşlerin eğim açısının küçük olması nedeniyle θ olduğunu varsayıyoruz çünkü θ = 1, o zaman



Basma-gerilme veya burulma ile çalışan sarmal yaylardaki gerilmeler aşağıdaki gibi belirlenir.

Hesaplamaların sonucu sadece kesit alanına bağlı değildir, bu nedenle, malzemelerin mukavemeti ile ilgili problemleri çözerken, belirlemeden yapamazsınız. şekillerin geometrik özellikleri: statik, eksenel, kutupsal ve merkezkaç atalet momentleri. Bölümün ağırlık merkezinin konumunu belirleyebilmek zorunludur (listelenen geometrik özellikler ağırlık merkezinin konumuna bağlıdır). Ek olarak basit şekillerin geometrik özellikleri: dikdörtgen, kare, ikizkenar ve dik üçgenler, daire, yarım daire. Ağırlık merkezi ve ana merkez eksenlerin konumu belirtilir ve kiriş malzemesinin homojen olması şartıyla geometrik özellikler bunlara göre belirlenir.

Dikdörtgen ve karenin geometrik özellikleri

Bir dikdörtgenin eksenel atalet momentleri (kare)

Bir dik üçgenin geometrik özellikleri

Bir dik üçgenin eksenel eylemsizlik momentleri

Bir ikizkenar üçgenin geometrik özellikleri

Bir ikizkenar üçgenin eksenel eylemsizlik momentleri

05-12-2012: Adolf Stalin

Benim gibi özellikle yetenekli olanlar için atalet momentinin ne olduğunu ve ne ile yendiğini net bir örnekle açıklamak güzel olurdu. Özel sitelerde, her şey bir şekilde çok kafa karıştırıcıdır ve Doc, belki de en karmaşık değil, ancak çok yetkin ve net bir şekilde bilgi getirmek için açık bir yeteneğe sahiptir.

05-12-2012: Doktor Lom

Prensip olarak, atalet momentinin ne olduğu ve nereden geldiği "Malzemelerin mukavemetinin temelleri, hesaplama formülleri" makalesinde yeterince ayrıntılı olarak açıklanmaktadır, burada sadece tekrar edeceğim: "W, kiriş çaprazının direnç momentidir. kesit, başka bir deyişle, kiriş bölümünün sıkıştırılabilir veya çekilebilir kısmının alanı, bileşke kuvvetin kolu ile çarpılır. Yapının mukavemet hesapları için direnç momenti bilinmelidir, yani. Sınır gerilmeleri için. Enine kesitin dönüş açılarını ve kesitin ağırlık merkezinin sapmasını (yer değiştirmesini) belirlemek için atalet momenti bilinmelidir, çünkü maksimum deformasyonlar bükme yapısının en üst ve en alt katmanlarında meydana gelir, daha sonra Atalet momenti, direnç momentinin ağırlık merkezi bölümünden üst veya alt katmana olan mesafeyle çarpılmasıyla belirlenebilir, bu nedenle dikdörtgen kesitler için I=Wh/2. Karmaşık geometrik şekillerin bölümlerinin atalet momenti belirlenirken, önce karmaşık şekil basit olanlara bölünür, daha sonra bu şekillerin kesit alanları ve en basit şekillerin atalet momentleri belirlenir, daha sonra en basit şekillerin alanları belirlenir. şekiller, kesitin ortak ağırlık merkezinden en basit şeklin ağırlık merkezine olan uzaklığın karesi ile çarpılır. Karmaşık bir bölümün bileşimindeki en basit şeklin eylemsizlik momenti, şeklin eylemsizlik momenti + uzaklığın karesinin alanla çarpımına eşittir. Daha sonra elde edilen atalet momentleri toplanır ve karmaşık bir bölümün atalet momenti elde edilir. Ancak bunlar en basitleştirilmiş formülasyonlardır (her ne kadar katılıyorum, yine de oldukça zor görünüyor). Zamanla, ayrı bir makale yazacağım.

20-04-2013: petr

Sitelerde verilen bilgilere tamamen güvenmeniz gerekmez. Kimse onu gerçekten kontrol etmiyor. Ve bununla ilgili hiçbir bağlantı yok. Bu nedenle Tablo 1'de ince cidarlı bir boru için "Oldukça basit geometrik şekillerdeki yapılar için kesit şekilleri, kesit alanları, atalet momentleri ve direnç momentleri"nde, çapın borunun kalınlığına oranı belirlenir. kabuk 10'dan fazla olmalıdır. Diğer kaynaklara göre - 20'den fazla olmalıdır! !! (N.M. Belyaev. Malzemelerin direnci. M.1996. s.160. veya N.I. Bezukhov. Elastikiyet, plastisite ve sürünme teorisinin temelleri. M.1961.p.390)

21-04-2013: Doktor Lom

Doğru. Güvenilir olamaz. Fakat mantıksal düşünmeşimdiye kadar kimse iptal etmedi. En doğru seçenek, herhangi bir borunun atalet momentini veya direnç momentini sıradan bir boru için verilen formülleri (1 puan daha yüksek) kullanarak hesaplamaktır. İnce cidarlı bir boru için verilen formüller her durumda yaklaşık olacaktır ve sadece ilk hesaplama için uygundur ve bu unutulmamalıdır.
Ancak, izin verilen maksimum duvar kalınlığı parametreleri düzeltildi.

25-06-2013: Sanya

standart olmayan karmaşık bir bölüm için atalet momentini belirlemek gerekir. bölüm: iki oluklu dikdörtgen. "S" harfine benziyor. herhangi bir bilgi bulamıyor. herhangi bir bilgi için minnettar olurum

25-06-2013: Doktor Lom

"Alçıpan için tavan profilinin mukavemetinin hesaplanması" makalesine bakın (http://website/item249.html)
orada, özellikle, oldukça basit bir bölüm olmayan atalet momenti belirlenir.

04-11-2014: Doktor Lom

Alıntıladığınız kaynaktaki formül yanlış (sadece yaklaşık hesaplamalar için kullanılabilir) ve bunu kontrol etmek kolaydır.
Boru bölümünün atalet momentini belirlemek için, yuvarlak çubuğun atalet momentinden (burada hesaplamalarda borunun dış çapı kullanılır) deliğin atalet momentini (iç çap, çünkü iç çap) çıkarmak yeterlidir. borunun içinde malzeme yoktur, bu yüzden borudur). En basit matematiksel dönüşümlerden sonra, tabloda gösterilen borunun eylemsizlik momenti formülünü elde edeceğiz.
Ve direnç momentini belirlemek için, atalet momentini ağırlık merkezinden bölümün en uzak noktasına kadar olan maksimum mesafeye sırasıyla D / 2'ye bölmeniz veya 2 / D ile çarpmanız gerekir.
Sonuç olarak, belirttiğiniz formülü elde etmek imkansızdır ve boru duvarı ne kadar kalın olursa, bu formülü kullanırken hata o kadar büyük olur.

04-11-2014: Radikal

Teşekkürler doktor!

11-11-2014: Ilgam

Formüllerdeki tüm değerlerin olduğu birimler (mm, cm, m) hakkında bilgi bulamadım.
210x90mm'lik bir köşe için Wz'yi hesaplamaya çalıştım (24P kanalı için üst rafı keserseniz), tüm değerlerin cm cinsinden olması şartıyla 667.5 cm3 çıktı.
Örneğin, bir kanal çubuğu için 24P (rafı kesmeden önce) Wx (Wz) \u003d 243 cm3.

11-11-2014: Doktor Lom

BT genel formüller. Değerleri hangi birimlerde değiştirirseniz, böyle ve sonucu zaten kübik olarak alırsınız. Ancak, örneğin santimetre cinsinden değiştirmeye başladıysanız, böyle devam etmelisiniz.
Flanşsız bir kanal için, direnç modülü varsayılan olarak tüm kanaldan daha büyük olamaz. Flanşsız bir kanalın direnç momentinin yaklaşık bir tespiti için, eşit olmayan bir açı için formülleri kullanabilirsiniz (sadece Wz'yi belirlemek için, bu formüller Wy için çalışmayacaktır).

04-01-2015: Valerij

Borunun kesiti birkaç önemli delik nedeniyle zayıflarsa, atalet momenti ve direnç momenti hesaplanırken bu nasıl dikkate alınır? 32.39cm boru ve 9 delik. enine kesitte 2,8 cm çap (borunun uzunluğu boyunca 10 cm adım).

05-01-2015: Doktor Lom

Eylemsizlik momentini belirlemek için, borunun eylemsizlik anından deliğinizin eylemsizlik momentini çıkarmanız gerekir. Bunu yapmak için, deliğin kesit alanını belirlemeniz ve ardından bunu borunun merkezine olan mesafenin karesi artı deliğin kendi atalet momenti ile çarpmanız gerekir. "Kesitlerin atalet momentleri" makalesinde daha fazla ayrıntı.
Hesaplama özel bir doğruluk gerektirmiyorsa ve delik çapı boru çapından 5 veya daha fazla kat daha küçükse (sizin durumunuzda olduğu gibi, 32.39 dış çap ise), delik segmenti bir dikdörtgene indirgenebilir. Delik geçmemişse, daha sonra direnç momentinin yeni bir değerini hesaplamak için borunun delik ile ağırlık merkezinin konumu ek olarak belirlenmelidir.
Ama hepsi bu değil. Deliklerin yakınında önemli yerel gerilmelerin meydana geldiğini hesaba katmalısınız.

09-10-2015: Boris

Eşit olmayan bir köşe Wy hesaplanırken y değil, H-y

09-10-2015: Doktor Lom

Ne demek istediğini anlamıyorum. Y eksenine göre direnç momentinin tanımı tablolarda hiç verilmemiştir.

09-10-2015: bors

Wzp h kare hesaplanırken üçgenler için.

09-10-2015: Boris

09-10-2015: Doktor Lom

Tamam. Şimdi ne demek istediğini anlıyorum. Direnç anını bölümün üst ve alt kısımları için belirtmek daha doğru olur ama ben sadece alt kısım için belirttim. Eh, üçgenlerin direnç momentini belirlerken, bir kare kesinlikle kaçırılır.
Düzeltildi. İlginiz için teşekkür ederiz.

28-04-2016: Jama

Merhaba! Hesaplamanın doğruluğu konusunda kim yardımcı olabilir http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/19.pdf
Direniş anından itibaren değerin nereden alındığını anlayamıyorum. Bana yardım et lütfen! 21-03-2017: igor

merhaba Sergey. Bazı makalelerinizi okudum, çok ilginç ve anlaşılır (çoğunlukla).Bir I-ışını hesaplamak istiyorum ama Ix ve Wx'i bulamıyorum. Gerçek şu ki standart değil tahtadan kendim yapacağım yardımcı olur musunuz? Ödeyeceğim, sadece elektronik yollarla ödeme yapamayacağım. Nasıl kullanacağımı bilmiyorum.

21-03-2017: Doktor Lom

Igor, sana bir mektup gönderdim.

30-08-2017: Ali

Sevgili doktor, hepinize en iyisini diliyorum. Lütfen aşağıdaki bölümlerden bir kirişin gücünü seçmek ve test etmek için hangi formüllerin gerekli olduğuna yardımcı olun: İzin verilen direnç momentine sahip kanal, açı ve ampul profili W = 58.58cm3. çok teşekkür ederim ve yardımlarınızı bekliyorum.

31-08-2017: Doktor Lom

"SP 16.13330.2011'e göre bükülmede menteşeli desteklerle tek açıklıklı çelik kirişlerin hesaplanması" makalesine bakın, orada her şey yeterince ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

13-11-2017: Abduahad

Merhaba, lütfen bana neden Ql ^ 2/8 neden 8'e bölündüğünü ve neden bazen 6 ve 24'e böldüğümüzü söyleyin, vb. söyleyin lütfen, ama anlamadım