Kesirlerin eşitliği nedir? Bir kesrin temel özelliği. Kesir azaltma. Kesirlerin eşitliği. Yeni bilginin keşfi

"Eğer birini bölmek istersen, matematikçiler seninle alay eder ve bunu yapmana izin vermezler" -

Atina Akademisi'nin kurucusu Platon'u yazdı.

Ancak tüm antik Yunan matematikçileri Platon ile aynı fikirde değildi. Kesirler, Arşimet ve İskenderiyeli Heron tarafından serbestçe ele alındı.

Belge içeriğini görüntüle
"Kesirlerin eşitliği."

Dersin teknolojik haritası.

Ders

Matematik

Sınıf

ders konusu

Kesirlerin eşitliği.

ders türü

Yeni materyal öğrenmek

Hedefler

eğitici - kesirleri aynı ikamelerle, farklı ikamelerle karşılaştırma kuralı hakkında bilgi edinin;

gelişmekte - gelişim mantıksal düşünme, açıklayıcı matematiksel konuşma, gözlem, yaratıcılık;

eğitici - karşılıklı saygı, amaçlılık, bağımsızlık eğitimi; uygun koşulların yaratılması, duygusal ve psikolojik iklim eğitim materyallerinin algılanması için sınıfta.

Planlanan eğitim sonuçları

ders

metakonu

Kişiye özel

Kavramları bilir: eşit kesirler, indirgenebilir kesirler, indirgenemez kesirler, kesirleri ortak paydaya getirebilme, en küçük ortak payda kavramını bilme, kesirleri en küçük ortak paydaya getirebilme;

Sıradan bir kesrin ana özelliğini harfler yardımıyla formüle edin ve yazın,

Sıradan kesirleri dönüştürün, karşılaştırın ve sıralayın,

Verilene eşit bir kesir bulun.

Çevredeki yaşamda, diğer disiplinlerdeki bir problem durumu bağlamında bir matematik problemini görme yeteneğini geliştirmek; gruplar halinde çalışma yeteneğini geliştirmek.

Dinleme becerilerini geliştirin; düşüncelerini sözlü ve yazılı konuşmada açık, doğru, yetkin bir şekilde ifade eder; matematik problemlerini çözmede yaratıcı düşünme, inisiyatif, beceriklilik, aktivite geliştirmek; İnsan kültürünün bir parçası olarak dünyayı bilmenin, korumanın ve uyumlu gelişiminin bir yolu olarak matematik hakkında, medeniyetin ve modern toplumun gelişiminde matematiğin önemi hakkında fikirler oluşturmak.

Örgütsel yapı ders

ders aşaması

Aktivite

Zaman

öğretmenler

öğrenciler

organizasyonel

iletişimsel:öğretmen ve akranlarla eğitim işbirliğini planlamak.

Düzenleyici:öğrenme aktivitelerinizi organize etmek

Kişiye özel:öğrenme motivasyonu.

Selamlama, derse hazır olup olmadığını kontrol etme, çocukların dikkatini düzenleme.

Dersin iş ritmine dahildir.

Motivasyon ve

gerçekleştirme

İletişimsel: öğretmen ve akranlarla eğitimsel işbirliğinin planlanması;

Bilişsel:

bilişsel bir hedefin bağımsız seçimi ve formülasyonu.

Mantıksal: - sorunun formülasyonu

Sözlü sayma:

sözlü egzersizler

2. Eşit sayıları bulunuz ve açıklayınız: ; ; bir; ; ; ; ; ; .

3. Sayıların LCM'sini bulun (rasyonel bir şekilde): a) 4 ve 8; b) 12 ve 16; c) 12 ve 11; d) 5; on; on bir.

4. 6 numaralı üründe şu sayıyı verecek bir doğal sayı var mı:

a) 18; b) 27; 3'te? Cevabı gerekçelendirin.

Sorulan soruları cevaplayın

Yeni bilginin keşfi

iletişimsel:

bilgi almak ve iletmek için dil ve konuşma araçlarını kullanmak, verimli bir diyaloga katılmak;

bilişsel: analiz, mantıksal akıl yürütme, en çok seçme etkili yollar problem çözme.

Bir kesrin payını ve paydasını ve kesirleri çarpın

Ne görülebilir? (Kesirler aynı paydaya sahiptir.)

Kesirlerin ortak bir paydası olduğunu söylüyorlar.

Ve 3 ve 5 sayıları için bu payda nedir (Çoklu)

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir, ancak kesirler genellikle en küçük paydayla sonuçlanır.

LCM(3,5)=15'i bulalım. Kesirleri payda 15'e getiriyoruz.

Bunun için ne gerekli?

Bir kesri 3 ile ve bir kesri 5 ile çarpın.

3 ve 5'e ek çarpanlar denir.

Kesirleri ortak bir paydaya indirgeme kuralını çıkarmaya çalışalım. (...)

Kesirleri en düşük ortak paydaya (LCD) indirgeme

Birden çok kesri en düşük ortak paydaya getirmek için:

1) bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, onların en küçük ortak paydası olacaktır;

2) en küçük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun;

3) her kesrin payını ve paydasını ek çarpanı ile çarpın.

Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına indirgeriz
Çözüm. 4 ve 6'nın en küçük ortak katı 12'dir.
12'lik bir paydaya bir kesir getirmek için, bu kesrin payını ve paydasını bir ek ile çarpmak gerekir.
çarpan 3 (12:4 = 3). Almak
12'lik bir paydaya bir kesir getirmek için, bu kesrin payını ve paydasını bir ek ile çarpmak gerekir. faktör 2 (12:6=2).

Almak

Yaz, tartış, yorum yap

Bilgi ve becerilerin konsolidasyonu

Bilişsel: analiz, mantıksal akıl yürütme, sorunları çözmenin en etkili yollarını seçme.

Düzenleyici: bilişsel inisiyatif göster

iletişimsel:

bilgi almak ve iletmek için dil ve konuşma araçlarını kullanarak üretken bir diyaloga katılın.

№ 803 (1.2 st)

Çözüm:

b) 15/20 ve 18/24; 90/120 = 90/120;

c) 20/35 ve 16/28; 80/140=80/140;

f) 30/48 ve 36/56; 210/336 216/336

g) 56/84 ve 82/108; 504/756 574/756

1 öğrenci karatahtada, çeliğe kendim karar veririm.

Bağımsız iş

Kişiye özel: öz değerlendirme yapmak

Bilişsel:

iletişimsel:

seçenek 1

Çözüm: 65:5*13=169 kg.

Çözüm: 117/9*4= 13*4=52 kız.

117-52=65 erkek.

seçenek 2

Çözüm: 36:2*9=162 s.

Çözüm: 136:8*5=17*5=85 kolay. arabalar

136-85=51 yük. arabalar

Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

Özetleme. Ev ödevi.

Kişiye özel: öz değerlendirme yapmak

Bilişsel:ödevi doğru yapma alışkanlığını oluşturdu

iletişimsel: işbirliği planlayın, kimin yardıma ihtiyacı olduğunu belirleyin

Her ev ödevi numarasının kısa bir açıklamasını verir.

№ 803 (3.4 st), 793 (yazılı olarak)

yazmak ev ödevi günlükte gerekli notları almak.

Refleks

Kişiye özel: öz değerlendirme yapın, başarının nedenlerini yeterince kabul etmeyi öğrenin (başarısızlık)

Bilişsel: eylemlerinin yöntem ve koşulları üzerinde düşünmek

iletişimsel: işbirliğini planlayın, kararlarını haklı çıkarmak için kriterleri kullanın

Soru sormak:

O zordu …

İlginçti …

Öğrendim …

beni şaşırttı

Öğrenciler tarafından daha önce öğrenilmiş olan ve hala öğrenilecek olan şeyleri vurgulama ve anlama, özümseme kalitesi ve düzeyi hakkında farkındalık

Düşüncelerini ifade et

seçenek 1

Gün içerisinde mağazaya getirilen tüm elmaların ağırlığının 5/13'ü olan 65 kg elma satıldı. Kaç kilo elma teslim edildi?

Beşinci sınıfta 117 öğrenci var, bunların 4/9'u kız. Beşinci sınıfta kaç erkek var?

Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

seçenek 2

İki gün içinde, daktilo, tüm el yazmasının 2/9'u olan 36 sayfa yazdırdı. Bu el yazması kaç sayfadır?

Filoda 5/8'i kamyon, geri kalanı otomobil olmak üzere 136 araç vardı. Filoda kaç araba vardı.

Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

seçenek 1

Gün içerisinde mağazaya getirilen tüm elmaların ağırlığının 5/13'ü olan 65 kg elma satıldı. Kaç kilo elma teslim edildi?

Beşinci sınıfta 117 öğrenci var, bunların 4/9'u kız. Beşinci sınıfta kaç erkek var?

Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

seçenek 2

İki gün içinde, daktilo, tüm el yazmasının 2/9'u olan 36 sayfa yazdırdı. Bu el yazması kaç sayfadır?

Filoda 5/8'i kamyon, geri kalanı otomobil olmak üzere 136 araç vardı. Filoda kaç araba vardı.

Kesirleri ortak bir paydaya getirin.

Bu konu kesirlerin temel özellikleri üzerinde oldukça önemlidir, diğer tüm matematik ve cebir temellidir. Kesirlerin dikkate alınan özellikleri, önemlerine rağmen çok basittir.

Anlamak kesirlerin temel özellikleri bir daire düşünün.

Çember üzerinde, olası sekiz parçadan 4'ünün veya gölgeli olduğu görülebilir. Elde edilen kesri \(\frac(4)(8)\) yazın

Bir sonraki daire, iki olası kısımdan birinin gölgeli olduğunu göstermektedir. Elde edilen kesri \(\frac(1)(2)\) yazın

Yakından bakarsak, ilk durumda, ikinci durumda, dairenin yarısının gölgeli olduğunu, dolayısıyla elde edilen kesirlerin \(\frac(4)(8) = \frac(1)'e eşit olduğunu göreceğiz. (2)\), yani aynı sayı.

Bu matematiksel olarak nasıl kanıtlanabilir? Çok basit, çarpım tablosunu hatırlayın ve ilk kesri çarpanlara yazın.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(kırmızı) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(kırmızı)(1) = \frac(1)(2)\)

Ne yaptık? Pay ve payda \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\) çarpanlarına ayırdık ve sonra kesirleri \(\frac(1) böldük ) (2) \cdot \color(kırmızı) (\frac(4)(4))\). Dört bölü dörde 1'dir ve herhangi bir sayı ile çarpılan sayının kendisidir. Yukarıdaki örnekte yaptığımız şeye denir. kesirlerin azaltılması.

Başka bir örneğe bakalım ve kesri azaltalım.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(kırmızı) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(kırmızı) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(kırmızı)(1) = \frac(3)(5)\)

Pay ve paydayı yine çarpanlara boyadık ve aynı sayıları pay ve paydalara indirgedik. Yani ikiye bölünen iki bir, herhangi bir sayı ile çarpılan bir aynı sayıyı verir.

Bir kesrin temel özelliği.

Bu, bir kesrin ana özelliğini ifade eder:

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayı ile (sıfır hariç) çarpılırsa, kesrin değeri değişmez.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Ayrıca pay ve paydayı aynı anda aynı sayıya bölebilirsiniz.
Bir örnek düşünün:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(kırmızı) (2))(8 \div \color(kırmızı) (2)) = \frac(3)(4)\)

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya bölünürse (sıfır hariç), kesrin değeri değişmez.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Hem paylarında hem de paydalarında asal bölenleri ortak olan kesirlere denir iptal edilebilir kesirler.

İptal örneği: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Ayrıca birde şu var indirgenemez kesirler.

indirgenemez kesir pay ve paydalarında ortak asal bölenleri olmayan bir kesirdir.

İndirgenemez bir kesir örneği: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Herhangi bir sayı bir kesir olarak temsil edilebilir, çünkü herhangi bir sayı bire bölünebilir.örneğin:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Konuyla ilgili sorular:
Herhangi bir kesrin azaltılabileceğini düşünüyor musunuz?
Cevap: Hayır, indirgenebilir kesirler ve indirgenemez kesirler vardır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol edin: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Cevap: kesir yaz \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) evet adil.

Örnek 1:
a) Paydası 15 olan kesre eşit olan bir kesir bulunuz. \(\frac(2)(3)\).
b) Kesre eşit, payı 8 olan bir kesir bulun \(\frac(1)(5)\).

Çözüm:
a) Paydanın 15 sayısına ihtiyacımız var. Şimdi payda 3'tür. 15'i elde etmek için 3 sayısı hangi sayı ile çarpılmalıdır? 3⋅5 çarpım tablosunu hatırlayın. Kesirlerin temel özelliğini kullanmamız ve kesrin hem payını hem de paydasını çarpmamız gerekir. \(\frac(2)(3)\) 5 tarafından

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Payda 8 sayısına ihtiyacımız var.Şimdi 1 sayısı payda.8'i elde etmek için 1 sayısı hangi sayı ile çarpılmalıdır? Tabii ki, 1⋅8. Kesirlerin temel özelliğini kullanmamız ve kesrin hem payını hem de paydasını çarpmamız gerekir. \(\frac(1)(5)\) 8. Alırız:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Örnek #2:
Bir kesre eşit indirgenemez bir kesir bulun: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Çözüm:
a) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Örnek #3:
Sayıyı kesir olarak yazın: a) 13 b) 123

Çözüm:
a) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Ders özeti 5. Sınıfta Kesirlerin Eşitliği

Federal Devlet çerçevesinde eğitim standardı

UMK "S. M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

matematik öğretmenleri

Omsk Halk Eğitim Kurumu "Lyceum No. 149"

Spirina Vera Nikolaevna

Başlık : kesir eşitliği ders türü: Yeni bilginin birincil sunumu dersi
Planlanan sonuçlar: Kişisel (LR): - okul yaşamının normlarını ve gereksinimlerini, öğrencinin hak ve yükümlülüklerini yerine getirme hazırlığı ve yeteneği.-sürdürülebilir eğitimsel ve bilişsel ilginin ifadesi.Metakonu (MPR): Düzenleyici 1. Pratik bir görevin bilişsel bir göreve dönüştürülmesine dayalı eğitim faaliyetinin hedefini belirleyin:Eylemleri gerçekleştirin: - bilgi ve cehalet arasındaki ayrım;- cehaletin içeriği hakkındaki soruya bir cevap formüle etmek;- bir problem durumunda bir öğretmenin rehberliğinde modele göre hedefler formüle etmek.2. Hedefe ulaşmanın yollarını planlayın;3. Sonuç ve eylem yöntemi üzerinde kesinleştirici ve ileriye dönük kontrol yapmak;4. Eylemin performansının doğruluğunu bağımsız olarak değerlendirin ve performansta gerekli düzeltmeleri yapın. bilişsel 1. Görev metnini analiz edin ve anlayın;2. Kavramları tanımlayın;iletişimsel 1 . Yeterli kullanın dil araçları duygu, düşünce, güdü ve ihtiyaçlarını sergilemek;2. Kuruluşla ilgili sorular sorun kendi faaliyetleri ve bir ortakla işbirliği içinde.Konu (PR): - kavramları bilir: eşit kesirler, indirgenebilir kesirler, indirgenemez kesirler,- sıradan bir kesrin ana özelliğini harfler yardımıyla formüle edin ve yazın,- sıradan kesirleri dönüştürmek, karşılaştırmak ve düzenlemek,- verilene eşit bir kesir bulun.

Dersin amacı: 1. Kavramların asimilasyonunu sağlayın: eşit kesirler; kesrin temel özelliği.2. Eşit kesirleri belirleme, kesrin temel özelliklerini kullanma, yeni kavramlar kullanarak görevleri tamamlama becerisini geliştirmek;3. Dikkat, gözlem, doğruluk eğitimi.
Temel konseptler: doğal sayı, rasyonel sayı, kesir, eşit kesirler, bir kesrin temel özelliği, kesirlerin indirgenmesi,
Disiplinlerarası bağlantılar: biyoloji, edebiyat
Dersin bölümdeki yeri : ikinci ders, 4. Bölüm: Ortak Kesirler Toplam saat 65
Teçhizat: interaktif tahta Akıllı tahta + 5. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları, YazarlarS.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin,M. Aydınlanma. 2012.

Sahne

ders

Torunlar Vanya, Petya ve Kolya, yatakları otlatmaya yardım etmek için büyükannenin kulübesine geldi. Yatakların hepsi eşit, tamamen aynı. Büyükanne torunlarına bir görev verdi: Vanya ot olmalı 4/6 havuçlu yataklar, Petya ot olmalı 6/9 soğanlı yataklar, Kolya ot olmalı 8/12 sarımsaklı yataklar Bir saat sonra büyükannem sonucu gördü. Hangisi Çiftler halinde çalışma, her torunun yaptığı işin çizim (yatak düzeni) kısmını gösterin 1 sıra: Vanya 2 sıra: Petey 3 sıra: Kolya

Ne aldın? Hangi torun işin çoğunu yaptı?Her bir torun bahçenin ne kadarını otladı? Hangi sonuca varabiliriz?

Fakat kesirler eşitse, neden farklı şekilde eşit değil gibi görünüyorlar? Her biri 2/3 olarak nasıl temsil edilir? Her kesrin payının ve paydasının EBOB'unu bulun

Her kesrin pay ve paydası ile neler yapılabilir? (slayda yaz) Hangi kesirleri elde ettiniz Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölmeye denir fraksiyonların azaltılması. 2/3 kesirini farklı bir pay ve payda olarak tekrar yapmak mümkün müdür? Nasıl?
Böylece herhangi bir kesir, pay ve paydayı aynı sayı ile çarpma veya bölme özelliğine sahiptir (KESİNİN TEMEL ÖZELLİĞİ) Metindeki boşlukları doldurarak kesrin ana özelliğini oluşturur.

Kullanılan kaynaklar ve literatür:
http://www.google.ru/imgres?imgurl=http://zastroyka.biz/uploads/posts/2012-01/1326074803_6.jpg&imgrefurl=http://zastroyka.biz/dachnye-domiki/62-dachnyy- domik.html&h=413&w=500&sz=70&tbnid=ZQyK05o0M1NHuM:&tbnh=97&tbnw=118&zoom=1&usg=__jT6xMOoH6ufZsnbdZaE8VzvIctU=&docid=peVXU9NJz5rvZM&hl=ru&sa=X&ei=EOkUUZiuI6mj4gSFgIF4&sqi=2&ved=0CEQQ9QEwAA&dur=195

Detaylı olarak demonte kesrin temel özelliği, formülasyonu verilmiş, ispatı ve açıklayıcı örneği verilmiştir. Kesirlerin indirgenmesinde bir kesrin ana özelliğinin uygulanması ve kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi de dikkate alınır.

Sayfa gezintisi.

Bir kesrin ana özelliği - formülasyon, ispat ve açıklayıcı örnekler

Tüm sıradan kesirlerin, bir kesrin temel özelliği olarak adlandırılan çok önemli bir özelliği vardır. formüle edelim kesrin temel özelliği: Bir kesrin pay ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilen sayıya eşit bir kesir elde edilir.

Bir kesrin ana özelliğini tam anlamıyla yazalım: a, b ve m doğal sayıları için eşitlikler ve geçerlidir.

hadi getirelim bir kesrin temel özelliğinin kanıtı. (a m) b=(b m) a ve (a: m) b=(b: m) a eşitlikleri, doğal sayıların çarpımı ve doğal sayıların bölünmesi, ardından kesirler ve , ve ayrıca tanım gereği eşittir (bkz. eşit ve eşit olmayan kesirler).

Bir kesrin temel özelliğini gösteren bir örneğe bakalım. Diyelim ki 9 "büyük" kareye bölünmüş bir karemiz var ve bu "büyük" karelerin her biri 4 "küçük" kareye bölünmüş. Böylece orijinal karenin 4·9=36 "küçük" karelere bölündüğünü de söyleyebiliriz. 5 "büyük" kareyi boyayalım. Bu durumda 4 5 = 20 “küçük” kare doldurulacaktır. Örneğimize karşılık gelen bir şekil sunuyoruz.

Gölgeli kısım orijinal karenin 5/9'udur veya aynı olan orijinal karenin 20/36'sıdır, yani 5/9 ve 20/36 kesirleri eşittir: veya . Bu eşitliklerden, ayrıca 20=5 4 , 36=9 4 , 20:4=5 ve 36:4=9 eşitliklerinden ve .

Demonte edilen malzemeyi birleştirmek için örneğin çözümünü düşünün.

Sıradan bir kesrin payı ve paydası 62 ile çarpıldı, ardından elde edilen kesrin payı ve paydası 2'ye bölündü. Ortaya çıkan kesir orijinaline eşit mi?

Bir kesrin payını ve paydasını herhangi bir doğal sayı ile, özellikle 62 ile çarpmak, kesrin temel özelliğinden dolayı orijinaline eşit olan bir kesir verir. Bir kesrin ana özelliği, elde edilen kesrin payını ve paydasını 2'ye böldükten sonra, orijinal kesre eşit olacak bir kesrin elde edileceğini iddia etmemize de izin verir.

Evet, elde edilen kesir orijinaline eşittir.

Bir kesrin temel özelliğinin uygulanması

Bir kesrin temel özelliği esas olarak iki durumda uygulanır: birincisi, kesirleri yeni bir paydaya indirirken ve ikincisi, kesirleri azaltırken.

Bir kesri yeni bir paydaya indirgemek, orijinal kesri ona eşit bir kesirle, ancak daha büyük bir pay ve payda ile değiştirmektir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, kesrin hem payı hem de paydası bir doğal sayı ile çarpılır ve kesrin temel özelliğine göre aslına eşit, ancak farklı bir pay ve payda. Sıradan kesirlerle işlem yaparken kesirleri yeni bir paydaya indirmeden yapamazsınız.

Bir kesrin ana özelliği, kesirleri azaltmanıza ve sonuç olarak, orijinal kesirden ona eşit, ancak daha küçük bir pay ve payda ile bir kesre geçmenize izin verir. Bir kesrin azaltılması, orijinal kesrin payını ve paydasını, pay ve paydanın bir dışında herhangi bir pozitif ortak bölenine bölmekten oluşur (eğer böyle bir ortak bölen yoksa, orijinal kesir indirgenemez, yani indirgenemez. ). Özellikle, en büyük ortak bölen ile bölme, orijinal kesri indirgenemez bir forma getirecektir.

www.cleverstudents.ru

Bir kesrin temel özelliği

Farklı paydalara sahip adi kesirleri karşılaştırmak, eklemek veya çıkarmak için önce aynı (aynı) paydaya indirgenmeleri gerekir.

Bunu yapmak için, paylarda payın alındığı sayı (sayıdaki pay sayısı paydayı belirler) bölünür. daha fazla kesirler öyle ki kesirlerin tüm paydaları birbirinin katı olsun.

Örneğin, kesirleri karşılaştırmanız, toplamanız veya çıkarmanız gerekir. Şekilde paylara bölünmeyi (1 4 parçaya ve 1 2 parçaya bölünmüştür), 1 bir bütün olarak alındığını düşünün.

2 paya bölerek görsel bir karşılaştırma elde ederiz.

Bunun anlamı, hisseler 2 hisse içerdiğinden Let's yazalım: . Aritmetik kurallarına göre: Pay ve paydadaki asal çarpanları seçelim:

Yukarıdaki rakamlar, adı verilen bir kuralı türetmemize izin verir. kesrin temel özelliği.

Kural. Bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği aynı doğal sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

Yeni kesrin payı, birinci kesrin ve herhangi bir doğal sayının çarpımı (veya bölümü) ile temsil ediliyorsa ve yeni kesrin paydası, birinci kesrin paydasının çarpımı (veya bölümü) ve aynı sayı ise , sonra yeni kesir, orijinal kesrin çarpımlarını (veya bölümlerini) hesaplarken değeri (değeri) korur, böylece verilen ve alınan kesirler arasına bir eşit işareti koyabilirsiniz.

yazılabilir kesrin temel özelliği bir kesrin pay ve paydasını bir sayı ile çarparken:

yazılabilir kesrin temel özelliği bir kesrin payını ve paydasını bir sayıya bölerken:

kesir azaltma

Kesirler yardımıyla, bütün bir nesnenin aynı kısmı farklı şekillerde yazılabilir.

Şekilde dairenin yarısı gölgeli

Böylece, tüm bu kesirler eşittir.

kesir

Kolaylık sağlamak için, kesrin üzerinde sağdaki eğik çizgiye ek bir faktör yazılır.

Kesirlerimize geri dönelim ve onları farklı bir sırayla yazalım.

Kesrin payı ve paydası aynı anda sıfıra eşit olmayan aynı sayıya bölünürse, verilen bir kesir elde edilebilir.

Bir kesrin bu dönüşümüne denir kesir azaltma.

Bir kesrin indirgenmesi genellikle aşağıdaki gibi yazılır.

Pay ve payda tire ile çizilir ve yanlarında pay ve paydanın aynı sayıya bölünmesinin (bölümlerin) sonuçları yazılır.

Pay ve paydanın bölündüğü sayı akılda tutulur.

Örneğimizde, aklımızda tuttuğumuz kesri ikiye indirdik (yani hem payı hem de paydayı böldük).

Kesir azaltma sıralı olarak gerçekleştirilebilir.

Bir kesrin ana özelliğini formüle ediyoruz.

Bir kesrin payı ve paydası, sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilen sayıya eşit bir kesir elde edilir.

Bu özelliği literal ifadeler şeklinde yazalım.

, burada "a", "b" ve "k" doğal sayılardır.

Bir kesrin temel özelliği. Kesir azaltma. Kesirlerin eşitliği.

Kesirlerin eşitliği.

Bu konu kesirlerin temel özellikleri üzerinde oldukça önemlidir, diğer tüm matematik ve cebir temellidir. Kesirlerin dikkate alınan özellikleri, önemlerine rağmen çok basittir.

Anlamak kesirlerin temel özellikleri bir daire düşünün.

Çemberde, olası sekiz parçadan 4'ünün veya payın gölgeli olduğu görülebilir. Ortaya çıkan kesri \(\frac \) yazın

Bir sonraki daire, iki olası kısımdan birinin gölgeli olduğunu göstermektedir. Elde edilen kesri \(\frac \) yazın

Daha yakından bakarsak, ilk durumda, ikinci durumda, dairenin yarısının gölgeli olduğunu, dolayısıyla elde edilen kesirlerin \(\frac = \frac \), yani bu aynı sayıdır.

Bu matematiksel olarak nasıl kanıtlanabilir? Çok basit, çarpım tablosunu hatırlayın ve ilk kesri çarpanlara yazın.

Ne yaptık? Pay ve paydayı \(\frac > >\) çarpanlarına boyadık ve sonra kesirleri \(\frac \cdot \color \) böldük. Dört bölü dörde 1'dir ve herhangi bir sayı ile çarpılan sayının kendisidir. Yukarıdaki örnekte yaptığımız şeye denir. kesirlerin azaltılması.

Başka bir örneğe bakalım ve kesri azaltalım.

Pay ve paydayı yine çarpanlara boyadık ve aynı sayıları pay ve paydalara indirgedik. Yani ikiye bölünen iki bir, herhangi bir sayı ile çarpılan bir aynı sayıyı verir.

Bir kesrin temel özelliği.

Bu, bir kesrin ana özelliğini ifade eder:

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayı ile (sıfır hariç) çarpılırsa, kesrin değeri değişmez.

Ayrıca pay ve paydayı aynı anda aynı sayıya bölebilirsiniz.
Bir örnek düşünün:

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıya bölünürse (sıfır hariç), kesrin değeri değişmez.

Hem paylarında hem de paydalarında asal bölenleri ortak olan kesirlere denir iptal edilebilir kesirler.

İndirgenmiş kesir örneği: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)

Ayrıca birde şu var indirgenemez kesirler.

indirgenemez kesir pay ve paydalarında ortak asal bölenleri olmayan bir kesirdir.

İndirgenemez kesre bir örnek: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)

Herhangi bir sayı bir kesir olarak temsil edilebilir, çünkü herhangi bir sayı bire bölünebilir.örneğin:

Konuyla ilgili sorular:
Herhangi bir kesrin azaltılabileceğini düşünüyor musunuz?
Cevap: Hayır, indirgenebilir kesirler ve indirgenemez kesirler vardır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını kontrol edin: \(\frac = \frac \)?
Cevap: kesir yaz \(\frac = \frac = \frac \) evet adil.

Örnek 1:
a) Paydası 15 olan kesre eşit olan bir kesir bulunuz. \(\frak\).
b) Kesre eşit, payı 8 olan bir kesir bulun \(\frak\).

Örnek #2:
Bir kesre eşit indirgenemez bir kesir bulun: a) \(\frak\), b) \(\frak\).

Örnek #3:
Sayıyı kesir olarak yazın: a) 13 b) 123

Kesirlerin eşitliği konulu ders, 5. sınıf, ders kitabı Nikolsky S.M. ve diğerleri.

Infourok kurslarında %50'ye varan indirimlerden yararlanın

Bir öğretmenin mesleki standardına uygun olarak (Rusya Çalışma Bakanlığı Emri ile onaylanmıştır), öğretilen konuya karşılık gelen bir eğitiminiz yoksa, o zaman hatırlatırız. Profilde profesyonel yeniden eğitimden geçmeniz gerekiyor pedagojik aktivite . Bunu "Infourok" projesinin web sitesinde uzaktan yapabilir ve 2 ay içinde nitelikli bir diploma alabilirsiniz!

Sadece şimdi çalışıyor 50 İNDİRİM 111 profesyonel yeniden eğitim kursunun tamamı için tüm öğretmenler için! Sadece %10 peşinatla taksit imkanı sunulurken, taksit kullanımından dolayı kursun fiyatı artmıyor!

için kart pratik iş.docx

1. kart

2. kart

Egzersiz yapmak. Resimlere bakın ve kesirlerin eşitliği hakkında bir sonuç çıkarın.

İpucu 1. Dairelerin ve karelerin kaç tanesi gölgeli?

İpucu 1. Her şeklin gölgeli kısmını temsil eden kesirleri yazın.

İpucu 2. Ortaya çıkan kesirlerin eşitliği hakkında bir sonuç çıkarın.

Görüntülemek için seçilen belge 5.docx matematik dersinin teknolojik haritası

5. sınıf bir matematik dersinin teknolojik haritası

Ders konusu: "Kesirlerin eşitliği" ("Matematik 5" ders kitabı, Nikolsky S.M., Potapov M.K. ve diğerleri)

Dersin hedefleri (görevleri):

— öğrencileri bir kesrin temel özelliğiyle tanıştırmak, kesirleri azaltmak için uygulamasını göstermek;

- kesirleri azaltmayı ve indirgenemez belirlemeyi öğrenin;

- pratik problemleri çözmek için matematiksel bilgiyi uygulama becerisini geliştirmek;

- grup çalışmasında bir davranış kültürü geliştirmek;

- konuya ilgi geliştirmek.

- kesrin temel özelliklerini, kesirlerin indirgenmesinin tanımını ve indirgenemez kesirleri bilir;

- kesirleri yeni bir paydaya getirebilmek, kesirleri azaltmak;

görevin anlamını anlamak; inisiyatif, beceriklilik, matematik problemlerini çözme etkinliği;

- bir problem durumu bağlamında bir matematik problemini görme yeteneği;

- algoritmik reçetelerin özünü ve önerilen algoritmaya göre hareket etme becerisini anlama.

Ders türü, pedagojik teknoloji

Yeni, sorunlu diyalog teknolojisini öğrenmek.

Karatahta, tebeşir, multimedya projektörlü bilgisayar, interaktif beyaz tahta, çalışma kağıtları, beden eğitimi videosu, öz değerlendirme kağıtları

Temel kavramlar, terimler

Yeni kavramlar ve aralarındaki bağlantılar

İndirgenebilir kesir, indirgenemez kesir

Kontrol, sınıfta kendini kontrol etme

Kullanılan yöntemler, teknikler, formlar

Evrensel öğrenme etkinlikleri

ben. Organizasyon zamanı.

Defterleri teneffüste aldınız, çünkü herkes ödevi tamamladı ve bu konuda soru gelmedi.

Nazik ilgi gösteriliyor.

Öğretim yardımcılarının mevcudiyetini kontrol etme, sıraya rasyonel yerleştirme

Karşılıklı selamlaşma, hazır bulunanların kontrolü, sınıfın derse hazır olup olmadığının kontrol edilmesi.

Öğrencilerin öğrenmeye hazır olmaları, etkinlikler

II. Bilgi güncellemesi

Önceki derslerde öğrendiklerimizi hatırlayalım. Ne okuduk? (kesirler)

1. Kesir satırının altına ne yazılır?

2. Ne gösteriyor?

3. Kesir satırının üstünde ne yazıyor?

4. Ne gösteriyor?

5. Kesirdeki tirenin yerini hangi eylem alır?

6. 120'nin ¼'ünü bulun.

(bütün kaç parçaya bölünür)

(bu parçalardan kaç tanesini aldınız)

Test görevleri, cevaplar farklı renkteki sinyaller kullanılarak verilir

Düzenleyici: gönüllü öz-düzenleme.

Kişiye özel : anlam oluşturma eylemi, öğrenme motivasyonu

öğretmen ve akranlarla eğitim işbirliğini planlamak.

Yeni bir açılış için hazır

III . Sorunun formülasyonu

Şimdi size böyle bir problem peri masalını çözmenizi öneriyorum. problemli görev

Belli bir krallıkta, belli bir devlette yaşadı - bir kral vardı ve üç oğlu vardı. Her nasılsa oğullarını bir araya topladı ve şöyle dedi: “Siz benim sevgili oğullarımsınız, benim için emekli olma zamanı geldi. Aranızda mirası paylaştırmak için sizi topladım, bizim krallığımız devlettir. Evet, sorun bu - bilim adamlarımız bir şeyleri karıştırmış gibi görünüyor. Sana, büyük oğlum, devletimiz silindi, sana orta oğlum, - ve sana, en küçüğüm -. En küçük oğlu kızdı: “Neden aldatıldım?” Ve kardeşler kendi aralarında tartıştı. Ve kral bir kararname yayınladı: “Kim bir hata bulup oğullarımı barıştırırsa, onu kraliyet ödülü bekliyor. ”

Beyler, kral ve oğullarını uzlaştırabilir miyiz? Bunun için neyi öğrenmemiz gerekiyor?

Peki bugünün dersinde muhtemelen ne öğreneceğiz?

Ve dersimizin konusunu formüle etmeye çalışalım.

Defterlerinizi açın, onlara sayı, sınıf çalışması ve “Kesirlerin eşitliği” dersinin konusunu yazın.

(Kesirler eşit midir, değil midir)

(Kesirlerin eşit olup olmadığını öğrenin)

dersin amacını formüle etmek

Problemin ifadesi, hedefin formülasyonu, dersin konuları

IV. Bir öğrenme problemini çözmek için planlama

Şimdi dersi planlamama, yani ne yapacağımızı belirlememe yardım et.

(1. Kesirlerin eşit olup olmadığını belirlemeyi öğrenin.

Düzenleyici: bilişsel aktivitenin planlanması

Bir ders planı hazırlamak

Eski bir Çin atasözü der ki: "Duyuyorum ve unutuyorum, görüyorum ve hatırlıyorum, yapıyorum ve anlıyorum." Ve bugünkü dersin konusunu anlamak için pratik çalışmalar yapacağız.

Her birinizin masada kartları var.

1. kartı al.

Bir kare ile çalışalım. Kareyi dört eşit parçaya bölün ve üçünü renklendirin. Hangi kısım

kare gölgeli çıktı?

Karenin her çeyreğini 4 parçaya bölün. Şimdi kaç bölüm

Ve karenin gölgeli üç çeyreğinde böyle kaç parça var?

Meydanın hangi kısmı gölgeli?

¾ ve 12/16 kesirleri hakkında ne söyleyebilirsiniz?

2. kartı alın ve soruları cevaplayın:

1. Çizimlerde bütünün hangi kısmı tasvir edilmiş ve üzeri boyanmıştır? Her dairenin altına hangi kısmının gölgeli olduğunu yazın.

Bu kesirler hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Bu, aynı bölümün farklı şekillerde yazılabileceği anlamına gelir.

Bu kesirlere daha yakından bakalım. Bir kesirden nasıl başka bir kesir elde edebilirsiniz, örneğin, ¾'den nasıl 12/16 elde edebilirsiniz?

Ve 4/8'den 2/4, ½ nasıl alınır?

Sonuçlandırıyoruz, kuralı formüle ediyoruz:

Beyler, az önce formüle ettiğimiz özellik çok önemlidir ve buna kesrin ana özelliği denir.

Lütfen kuralları ve formülleri tahtadan yazınız.

a,b,c doğaldır. Buna dikkat edin, çok önemli çünkü 0'a bölemezsiniz.

(pay ve paydayı 4 ile çarpın)

(pay ve paydayı 2'ye, 4'e bölün)

(Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile (0 hariç) çarparken ve bölerken değeri değişmez .)

Bilişsel: karşılaştırma, genelleme, bir sonucun formülasyonu

Pratik çalışma yapmak. Bir kesrin temel özelliğinin formülasyonu

VI . Eylem modunu şekillendirme

Aşağıdaki kesirleri paydası 12 olan bir kesir olarak ifade edin.

Aşağıdaki kesirleri hayal edin: paydası 3 olan bir kesir olarak.

Yazılı: kesirleri değiştirin paydaları daha küçük olan eşit kesirler. Beyler, az önce yaptığımız dönüşümün adı kesirlerin azaltılması.

Kesirdeki azalmanın ne olduğunu ekrandan yazın.

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölmek kesmek.

Bir kesrin payı ve paydasının ortak asal böleni yoksa kesir denir indirgenemez.

Görevleri gerçekleştirin. Kesirlerin indirgenmesinin ve indirgenemez kesrin ne olduğunu bir deftere yazın.

Düzenleyici: eylemlerin ve sonuçların düzeltilmesi

Bir kesrin temel özelliğinin birincil özümsenmesi ve uygulanması, kesirlerin indirgenmesinin tanımları, indirgenemez kesir

VII . Yeni bilgi ve eylem biçimlerinin oluşumu

Şimdi ders planımıza dönelim. Biz zaten ne yaptık? Başka ne yapılması gerekiyor?

Harika. Şimdi biraz oynamanızı öneririm.

İki gruba ayrılalım. Önerilen tüm kesirlerin ilk grubu (satır)

1/2'ye eşit kesirler seçecek ve ikinci grup (II satır) 1/3'e eşit kesirler seçecektir.

Ve şimdi görevle nasıl başa çıktığınızı kontrol edelim.

Şimdi dersin başında zorluklara neden olan muhteşem soruna dönelim. Söyle bana, şimdi sorunun sorusuna cevap verebilirsin: Kralın danışmanları bir şeyleri karıştırdı mı?

Ve şimdi biraz daha pratik yapalım. Eğitim alıştırmaları içeren broşürleri alın, görevleri dikkatlice okuyun ve tamamlayın.

(Kesirlerin eşit olup olmadığını belirlemeyi öğrendik. Pratik yapmak gerekiyor)

(Şimdi yapabiliriz. Miras eşit olarak bölündü, çünkü sunulan kesirler eşit)

Kartlar üzerinde eğitim alıştırmaları

Etkileşimli bir beyaz tahta ile çalışma. Grup çalışması

iletişimsel: gruptaki katılımcıların amaç ve işlevlerinin belirlenmesi; girişim işbirliği; ortağın eylemlerinin kontrolü, düzeltilmesi, değerlendirilmesi.

Yeni bilgi ve eylem yöntemlerinin uygulanması ve geliştirilmesi

VIII . Dersi özetleme, yansıma, ödev

kesir eşitliği

Herhangi bir kesir için istediğiniz kadar eşit kesir belirtebilirsiniz.

Örneğin, veya

Bu, şu şekilde açıklanabilir: Parça yarıya bölünürse ve yarı yarıya bölünürse, parçanın yarısının dörtte ikisine eşit olduğu açıktır, yani yarının eşit olduğu da gösterilebilir. altıda üçe, vb. (Şekil 4.4).

Kesirlerin aynı sayıyı belirlediği de söylenebilir; kaydedilmiş değişik formlar. Kesirler ve aynı zamanda farklı şekillerde yazılmış aynı sayıyı tanımlar vb.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılırsa, verilene eşit bir kesir, yani eşitlik elde ederiz.

Bu özellik denir kesrin temel özelliği. Bununla, belirli bir kesre eşit kesirler elde edebilirsiniz.

Örneğin,

Eşitlik (1) ters sırada da yazılabilir:

Bu formda eşitliğin sol tarafı, payı ve paydası ortak çarpan n olan bir kesirdir.

Eğer n > 1 ise kesri n kadar azaltıp bir kesir elde edebileceğinizi söylerler. Ayrıca pay ve paydayı ortak bir n çarpanına bölebileceğinizi söylüyorlar.

Bu nedenle, kesirlerin ana özelliği farklı şekilde formüle edilebilir:

Bir kesrin pay ve paydasının 1'den farklı bir ortak çarpanı varsa, o kesrin payı o çarpan kadar azaltılabilir. Bu, verilene eşit bir kesir ile sonuçlanacaktır.

Örnek. Kesirleri azalt

p bir doğal sayı ise eşitlik

Yok canım,

kesir denir indirgenemez payı ve paydasının ortak asal böleni yoksa.

Örneğin, kesirler indirgenemez kesirler çünkü 1 ve 2, 3 ve 4, b ve 7, 11 ve 8 sayıları ortak asal bölenlere sahip değildir.

Her kesir için, ona eşit olan yalnızca bir indirgenemez kesir vardır.

Örneğin,

Eşitliklerin sol kısımlarına kesirler verilir ve bunlara eşit olan sağ kısımlar indirgenemez kesirler.

Belirli bir kesre eşit indirgenemez bir kesir elde etmek için, verilen kesri pay ve paydasının en büyük ortak böleni ile azaltmak gerekir. Genellikle pay ve paydanın en büyük ortak böleni belirlemek zordur. Bu durumda, fraksiyonun azaltılması kademeli olarak gerçekleştirilir.

Örnek. Kesri azalt