Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë.

Ekuacionet e pacaktuara janë ekuacione që përmbajnë më shumë se një të panjohur. Një zgjidhje e vetme për një ekuacion të pacaktuar kuptohet si një grup vlerash të të panjohurave, të cilat e kthejnë ekuacionin e dhënë në një barazi të vërtetë.

Për të zgjidhur në numra të plotë ekuacionet e formës ah + nga = c , ku a, b , c janë numra të plotë të ndryshëm nga zero, ne paraqesim një sërë dispozitash teorike që do të na lejojnë të vendosim një rregull vendimi. Këto dispozita bazohen gjithashtu në fakte të njohura teoria e pjesëtueshmërisë.

Teorema 1.Nëse GCD (a, b ) = d , atëherë ka numra të tillë të plotë X dhe në, se barazia ah + b y= d . (Kjo barazi quhet një kombinim linear, ose një paraqitje lineare e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave për sa i përket vetë numrave.)

Vërtetimi i teoremës bazohet në përdorimin e barazisë së algoritmit Euklidian për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave (pjesëtuesi më i madh i përbashkët shprehet me koeficientët e pjesshëm dhe mbetjet, duke filluar me barazinë e fundit në algoritmin Euklidian).

Shembull.

Gjeni paraqitjen lineare të pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numrave 1232 dhe 1672.

Zgjidhje.

1. Përpiloni barazitë e algoritmit të Euklidit:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, d.m.th. (1672.352) = 88.

2) Shprehim 88 në mënyrë sekuenciale në terma të koeficientëve dhe mbetjeve jo të plota, duke përdorur barazitë e marra më sipër, duke filluar nga fundi:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, d.m.th. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Nëse ekuacioni ah + b y = 1 nëse gcd (a, b ) = 1 , mjafton të paraqitet numri 1 si një kombinim linear i numrave a dhe b.

Vlefshmëria e kësaj teoreme rrjedh nga teorema 1. Kështu, për të gjetur një zgjidhje të vetme me numër të plotë të ekuacionit ah + b y = 1, nëse gcd(a, c) = 1, mjafton të përfaqësohet numri 1 si një kombinim linear i numrave a dhe në .

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e plotë të ekuacionit 15x + 37y = 1.

Zgjidhje.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Nëse në ekuacion ah + b y = me gcd(a, b ) = d >1 dhe Me nuk ndahet me d , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Për të vërtetuar teoremën, mjafton të supozojmë të kundërtën.

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e plotë të ekuacionit 16x - 34y = 7.

Zgjidhje.

(16.34)=2; 7 nuk është i pjesëtueshëm me 2, ekuacioni i zgjidhjeve me numra të plotë ka nr

Teorema 4. Nëse në ekuacion ah + b y = me gcd(a, b ) = d > 1 dhe me d , pastaj atë

Gjatë vërtetimit të teoremës, duhet të tregohet se një zgjidhje arbitrare me numër të plotë të ekuacionit të parë është gjithashtu një zgjidhje e ekuacionit të dytë dhe anasjelltas.

Teorema 5. Nëse në ekuacion ah + b y = me gcd(a, b ) = 1, atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni përmbahen në formulat:

t është çdo numër i plotë.

Kur vërtetohet teorema, duhet të tregohet, së pari, se formulat e mësipërme në të vërtetë japin zgjidhje për ekuacionin e dhënë dhe, së dyti, se një zgjidhje arbitrare me numër të plotë të këtij ekuacioni gjendet në formulat e mësipërme.

Teoremat e mësipërme na lejojnë të vendosim rregullin e mëposhtëm për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë ah+ b y = me gcd(a, b ) = 1:

1) Gjendet një zgjidhje me numër të plotë të ekuacionit ah + b y = 1 duke paraqitur 1 si një kombinim linear numrash a dheb (ka mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje me numra të plotë për këtë ekuacion, për shembull, duke përdorur thyesa të vazhdueshme);

Një formulë e përgjithshme për të gjitha zgjidhjet e dhëna

Dhënia t disa vlera të plota, është e mundur të merren zgjidhje të veçanta të këtij ekuacioni: më e vogla në vlerë absolute, më e vogla pozitive (nëse është e mundur), etj.

Shembull.

Gjeni zgjidhje të tëra të ekuacionit 407x - 2816y = 33.

Zgjidhje.

1. Ne thjeshtojmë këtë ekuacion, duke e sjellë atë në formën 37x - 256y \u003d 3.

2. Ne zgjidhim ekuacionin 37x - 256y \u003d 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Forma e përgjithshme e të gjitha zgjidhjeve me numra të plotë të ekuacionit të dhënë:

x \u003d -83 ∙ 3 - 256 t \u003d -249 - 256 t,

y \u003d -12 ∙ 3 ​​- 37 t \u003d -36 - 37 t.

Metoda e numërimit shterues të të gjitha vlerave të mundshme të variablave,

përfshirë në ekuacion.

Gjeni bashkësinë e të gjithë çifteve të numrave natyrorë që janë zgjidhje të ekuacionit 49x + 51y = 602.

Zgjidhja:

Ndryshoren x e shprehim nga ekuacioni në terma y x =Meqenëse x dhe y janë numra natyrorë, x =602 - 51 vjeç ≥ 49, 51 y≤553, 1≤y≤10.

Një numërim i plotë i opsioneve tregon se zgjidhjet natyrore të ekuacionit janë x=5, y=7.

Përgjigje: (5;7).

Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e faktorizimit.

Diofanti, së bashku me ekuacionet lineare, konsideroi ekuacione të pacaktuara kuadratike dhe kubike. Zgjidhja e tyre është zakonisht e vështirë.

Le të shqyrtojmë një rast të tillë kur formula e diferencës së katrorëve ose një metodë tjetër faktorizimi mund të zbatohet në ekuacione.

Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë: x 2 + 23 = y 2

Zgjidhja:

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën: y 2 - x 2 \u003d 23, (y - x) (y + x) \u003d 23

Meqenëse x dhe y janë numra të plotë dhe 23 është një numër i thjeshtë, rastet e mëposhtme janë të mundshme:

Duke zgjidhur sistemet që rezultojnë, gjejmë:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Shprehja e një ndryshoreje në terma të tjetrës dhe përzgjedhja e pjesës së plotë të thyesës.

Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë: x 2 + xy - y - 2 = 0.

Zgjidhja:

Ne e shprehim nga ky ekuacion y në terma x:

y (x - 1) \u003d 2 - x 2,

1. Ekuacione të shkallës së parë me dy të panjohura

1. Shembuj ekuacionesh të shkallës së dytë me tre të panjohura

1. Rasti i përgjithshëm i ekuacionit të shkallës së dytë në dy të panjohura

ZHVILLIMI I SOFTWAREVE

1. Programi nr. 1 (ekuacionet me një të panjohur)

PREZANTIMI

Projekti im i kursit i kushtohet një prej seksioneve më interesante të teorisë së numrave - zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë.

Zgjidhja në numra të plotë të ekuacioneve algjebrike me koeficientë të plotë në më shumë se një të panjohur është një nga problemet më të vështira në teorinë e numrave.

Problemi i zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë është zgjidhur plotësisht vetëm për ekuacionet e shkallës së dytë me dy të panjohura. Vëmë re se për ekuacionet e çdo shkalle me një të panjohur, nuk ka interes të rëndësishëm, pasi ky problem mund të zgjidhet duke përdorur një numër të kufizuar provash. Për ekuacionet mbi shkallën e dytë me dy ose më shumë të panjohura, jo vetëm problemi i gjetjes së të gjitha zgjidhjeve në numra të plotë është shumë i vështirë, por edhe problemi më i thjeshtë i vërtetimit të ekzistencës së një grupi të fundëm ose të pafundmë zgjidhjesh të tilla.

Në projektin tim jam përpjekur të paraqes disa nga rezultatet kryesore të marra në teori; zgjidhje ekuacionesh në numra të plotë. Teoremat e formuluara në të pajisen me prova në rastet kur këto prova janë mjaftueshëm të thjeshta.

1. EKUACIONET ME NJË TË PANJOHUR

Konsideroni një ekuacion të shkallës së parë me një të panjohur

Lërini koeficientët e ekuacionit

dhe janë numra të plotë. Është e qartë se zgjidhja e këtij ekuacioni

do të jetë një numër i plotë vetëm nëse

është plotësisht i pjesëtueshëm me . Kështu, ekuacioni (1) nuk është gjithmonë i zgjidhshëm në numra të plotë; kështu, për shembull, të dy ekuacioneve dhe i pari ka një zgjidhje me numër të plotë, dhe i dyti në numra të plotë është i pazgjidhshëm.

Të njëjtën rrethanë e hasim edhe në rastin e ekuacioneve shkalla e të cilave është më e lartë se e para: ekuacioni kuadratik

ka zgjidhje të tëra , ; ekuacioni në numra të plotë është i pazgjidhshëm, pasi rrënjët e tij janë irracionale.

Çështja e gjetjes së rrënjëve të plota të një ekuacioni të shkallës së n-të me koeficientë të plotë

(2)

zgjidhet lehtësisht. Në të vërtetë, le

është rrënja e këtij ekuacioni. Pastaj

, .

Nga barazia e fundit shihet se

ndahet pa mbetje; prandaj, çdo rrënjë numër i plotë i ekuacionit (2) është pjesëtues i termit të lirë të ekuacionit. Për të gjetur zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit, duhet të zgjidhni ata pjesëtues që, kur zëvendësohen në ekuacion, e kthejnë atë në një identitet. Kështu, për shembull, nga numrat 1, -1, 2 dhe -2, të cilët janë të gjithë pjesëtues të termit të lirë të ekuacionit

,

vetëm -1 është rrënja. Prandaj, ky ekuacion ka një rrënjë të vetme numër të plotë

. Me të njëjtën metodë është e lehtë të tregohet se ekuacioni

në numra të plotë është i pavendosur.

Me interes shumë më të madh është zgjidhja në numra të plotë për një ekuacion me shumë të panjohura.

2. EKUACIONET E PARA TË FUQISË ME DY TË PANJOHUR

Konsideroni një ekuacion të shkallës së parë me dy të panjohura

,

(3)

dhe janë numra të plotë të ndryshëm nga zero, dhe është një numër i plotë arbitrar. Supozojmë se koeficientët dhe nuk kanë pjesëtues të përbashkët përveç unitetit. Në të vërtetë, nëse pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre koeficientëve është i ndryshëm nga uniteti, atëherë barazitë, ; ekuacioni (3) merr formën

dhe mund të ketë zgjidhje të tëra vetëm nëse

i ndarë nga . Kështu, në rastin - të gjithë koeficientët e ekuacionit (3) duhet të pjesëtohen me , dhe, duke reduktuar (3) me , arrijmë në ekuacionin

,

koeficientët e të cilëve

dhe reciprokisht kryeministër.

Konsideroni së pari rastin kur

Bashkiake institucion arsimor

Savrush mesatare shkollë gjithëpërfshirëse

Rrethi Pokhvistnevsky Rajoni Samara

Ese për matematikën me temën:

"Ekuacionet me dy

i panjohur

në numra të plotë »

Përfundoi: Kolesova Tatiana

Staroverova Nina

në nxënësit e klasës së 10-të

MOU shkolla e mesme Savrushskaya

Rrethi Pokhvistnevsky

Rajoni i Samara.

Mbikëqyrësi: Yatmankina Galina Mikhailovna

mësues i matematikës.

Savruha 2011

Hyrje.________________________________________________________________3

1. Sfondi historik ______________________________________5

1.1 Teorema mbi numrin e zgjidhjeve të ekuacioneve lineare të Diofantinës___6

1.2 Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë _________________ 6

1.3 Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve________________________________ 7

Kapitulli 2. Zbatimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve.

1. Zgjidhja e problemit _________________________________________________ 8

2.1 Zgjidhja e problemeve duke përdorur algoritmin e Euklidit ________________ 8

2.2 Mënyra për të numëruar opsionet________________________________ 9

2.3 Metoda e faktorizimit ________________________ 9

2.4 Metoda e mbetur ________________________________________________ 12

2. Detyrat e nivelit të provimit ______________________ 13

Përfundim________________________________________________ 16

Lista e literaturës së përdorur _________________________________ 17

“Kush i kontrollon numrat,

Ai sundon botën"

Pitagora.

Prezantimi.

Analiza e situatës: Ekuacionet diofantine janë një temë e rëndësishme në kohën tonë, sepse zgjidhja e ekuacioneve, pabarazive, problemeve që zvogëlohen në zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë duke përdorur vlerësime për variabla gjenden në koleksione të ndryshme matematikore dhe koleksione të provimit.

Pasi kemi studiuar mënyra të ndryshme të zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik me një ndryshore në mësime, ishte interesante për ne të kuptonim se si zgjidhen ekuacionet me dy ndryshore. Detyra të tilla gjenden në olimpiada dhe në materialet e provimit.

Në atë vit akademik Nxënësit e klasës së njëmbëdhjetë do të duhet t'i nënshtrohen Provimit të Unifikuar të Shtetit në Matematikë, ku KIM-të përpilohen sipas një strukture të re. Nuk ka pjesë "A", por në pjesën "B" dhe "C" janë shtuar detyrat. Përpiluesit shpjegojnë shtimin e C6 me faktin se për pranim në universiteti teknik duhet të jetë në gjendje për të zgjidhur problemet nivel të lartë vështirësitë.

Problem: Duke zgjidhur variantet e përafërta të detyrave USE, vumë re se detyrat më të zakonshme në C6 janë detyrat për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë dhe të dytë në numra të plotë. Por ne nuk dimë si të zgjidhim ekuacione të tilla. Në këtë drejtim, u bë i nevojshëm studimi i teorisë së ekuacioneve të tilla dhe algoritmi për zgjidhjen e tyre.

Synimi: Mësoni si të zgjidhni ekuacionet me dy të panjohura të shkallës së parë dhe të dytë në numra të plotë.

Detyrat: 1) Studion literaturën edukative dhe referuese;

2) Mbledhja e materialit teorik për mënyrën e zgjidhjes së ekuacioneve;

3) Analizoni algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji;

4) Përshkruani zgjidhjen.

5) Shqyrtoni një numër shembujsh duke përdorur këtë teknikë.

6) Zgjidh ekuacionet me dy ndryshore në numra të plotë nga

materialet USE-2010 C6.

Objekti i studimit : Zgjidhja e ekuacioneve

Lënda e studimit : Ekuacione me dy ndryshore në numra të plotë.

Hipoteza: Kjo temë ka një rëndësi të madhe praktike. AT kursi shkollor Matematikanët studiojnë në detaje ekuacionet me një variabël dhe mënyra të ndryshme për t'i zgjidhur ato. Nevojat procesi arsimor kërkojnë që nxënësit të dinë dhe të jenë në gjendje të zgjidhin ekuacione të thjeshta në dy ndryshore. Prandaj, vëmendja e shtuar ndaj kësaj teme nuk është vetëm e justifikuar, por edhe e rëndësishme në kursin e matematikës shkollore.

kjo pune mund të përdoret për të studiuar këtë temë në klasa me dëshirë nga studentët, në përgatitje për diplomim dhe provimet pranuese. Shpresojmë që materiali ynë do t'i ndihmojë nxënësit e shkollave të mesme të mësojnë se si të zgjidhin ekuacione të këtij lloji.

Kapitulli 1. Teoria e ekuacioneve me dy ndryshore në numra të plotë.

1. Referenca historike.

Diofantina dhe historia e ekuacioneve diofantine .

Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë është një nga problemet më të vjetra matematikore. Kjo fushë e matematikës arriti lulëzimin e saj më të madh në Greqia e lashte. Burimi kryesor që ka ardhur deri në kohën tonë është vepra e Diofantit - "Aritmetika". Diofanti përmblodhi dhe zgjeroi përvojën e grumbulluar para tij në zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara në numra të plotë.

Historia ka ruajtur për ne disa veçori të biografisë së algjebristit të shquar Aleksandri Diophantus. Sipas disa burimeve, Diofanti jetoi deri në vitin 364 pas Krishtit. Dihet me siguri vetëm një biografi e veçantë e Diofantit, e cila, sipas legjendës, ishte gdhendur në gurin e varrit të tij dhe përfaqësonte një enigmë:

“Perëndia e zbriti për të qenë djalë një të gjashtën e jetës së tij; duke shtuar kësaj të dymbëdhjetën, i mbuloi faqet me push; pas pjesës së shtatë i ndezi dritën e martesës dhe pesë vjet pas martesës i dha një djalë. Mjerisht! Një fëmijë i ndjerë fatkeq, pasi kishte arritur masën e gjysmës së jetës së plotë të babait të tij, ai u rrëmbye nga fati i pamëshirshëm. Katër vjet më vonë, duke ngushëlluar pikëllimin e tij me shkencën e numrave, ai [Diophantus] i dha fund jetës së tij ”(rreth 84 vjeç).

Ky enigmë është një shembull i problemeve që zgjidhi Diofanti. Ai u specializua në zgjidhjen e problemeve në numra të plotë. Probleme të tilla tani njihen si probleme diofantine.

Më i famshmi, i zgjidhur nga Diofanti, është problemi i "zbërthimit në dy katrorë". Ekuivalenti i saj është teorema e njohur e Pitagorës. Kjo teoremë ishte e njohur në Babiloni, ndoshta ajo ishte e njohur në Egjipti i lashte, por për herë të parë u vërtetua në shkollën Pitagoriane. Ky ishte emri i një grupi filozofësh të interesuar në matematikë, me emrin e themeluesit të shkollës, Pitagorës (rreth 580-500 p.e.s.)

Jeta dhe vepra e Diofantit vazhdoi në Aleksandri, ai mblodhi dhe zgjidhi probleme të njohura dhe shpiku probleme të reja. Më vonë ai i kombinoi ato në një vepër të madhe të quajtur Aritmetika. Nga trembëdhjetë librat që përbënin Aritmetikën, vetëm gjashtë mbijetuan deri në Mesjetë dhe u bënë burim frymëzimi për matematikanët e Rilindjes.

1.1 Teorema mbi numrin e zgjidhjeve të një ekuacioni linear Diofantin.

Këtu japim formulimet e teoremave, në bazë të të cilave mund të përpilohet një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara të shkallës së parë në dy ndryshore në numra të plotë.

Teorema 1. Nëse në ekuacionin , , atëherë ekuacioni ka të paktën një zgjidhje.

Teorema 2. Nëse në ekuacionin , dhe Me nuk është i pjesëtueshëm me , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Teorema 3. Nëse në ekuacionin , dhe , atëherë është ekuivalente me ekuacionin në të cilin .

Teorema 4. Nëse në ekuacionin , , atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni përmbahen në formulat:

ku x 0, y 0

1.2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë.

Teoremat e formuluara na lejojnë të hartojmë sa vijon algoritmi zgjidhje në numra të plotë të një ekuacioni të formës .

1. Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a dhe b ,

nëse dhe Me nuk është i pjesëtueshëm me , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numra të plotë;

nëse dhe atëherë

2. Pjestoni term me term ekuacionin në , duke marrë kështu një ekuacion në të cilin .

3. Gjeni një zgjidhje me numër të plotë ( x 0, y 0) ekuacionet duke paraqitur 1 si një kombinim linear i numrave dhe ;

4. Kompozoni formulë e përgjithshme zgjidhje të tëra të këtij ekuacioni

ku x 0, y 0është një zgjidhje e plotë e ekuacionit , - çdo numër i plotë.

1.3 Mënyrat për të zgjidhur ekuacionet

Kur zgjidhim ekuacione në numra të plotë dhe natyror, mund të dallojmë me kusht metodat e mëposhtme:

1. Një mënyrë për të numëruar opsionet.

2. Algoritmi i Euklidit.

3. Thyesat e vazhdueshme.

4. Mënyra e faktorizimit.

5. Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë si katrorë në lidhje me disa ndryshore.

6. Metoda e mbetjeve.

7. Metoda e zbritjes së pafundme.

Kapitulli 2

1. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve.

2.1 Algoritmi i Euklidit.

Detyra 1 . Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë 407 X – 2816y = 33.

Le të përdorim algoritmin e përpiluar.

1. Duke përdorur algoritmin e Euklidit, gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 407 dhe 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prandaj (407.2816) = 11, me 33 të pjesëtueshëm me 11

2. Ndani të dyja anët e ekuacionit origjinal me 11 për të marrë ekuacionin 37 X – 256y= 3, dhe (37, 256) = 1

3. Duke përdorur algoritmin Euklidian, gjejmë një paraqitje lineare të numrit 1 përmes numrave 37 dhe 256.

256 = 37 6 + 34;

Le të shprehim 1 nga barazia e fundit, pastaj duke u ngjitur radhazi barazive do të shprehim 3; 34 dhe zëvendësoni shprehjet që rezultojnë në shprehjen për 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Kështu, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, pra çifti i numrave x 0= – 83 dhe në 0= – 12 është zgjidhja e ekuacionit 37 X – 256y = 3.

4. Shkruani formulën e përgjithshme për zgjidhjet e ekuacionit origjinal

ku t- çdo numër i plotë.

2.2 Mënyra për të numëruar opsionet.

Detyra 2. Lepujt dhe fazanët ulen në një kafaz, ata kanë gjithsej 18 këmbë. Zbuloni sa prej tyre dhe të tjerëve janë në qeli?

Zgjidhja: Përpilohet një ekuacion me dy ndryshore të panjohura, në të cilat x është numri i lepujve, y është numri i fazanëve:

4x + 2y = 18, ose 2x + y = 9.

shprehin në përmes X : y \u003d 9 - 2x.

Kështu, problemi ka katër zgjidhje.

Përgjigje: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda e faktorizimit.

Numërimi i opsioneve gjatë gjetjes së zgjidhjeve natyrore të një ekuacioni me dy ndryshore rezulton të jetë shumë i mundimshëm. Gjithashtu, nëse ekuacioni është e tërë zgjidhjet, është e pamundur t'i numërojmë ato, pasi ka një numër të pafund të zgjidhjeve të tilla. Prandaj, ne do të tregojmë një mashtrim tjetër - metoda e faktorizimit.

Detyra 3. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë y 3 - x 3 = 91.

Zgjidhje. 1) Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, ne zbërthejmë anën e djathtë të ekuacionit në faktorë:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Shkruani të gjithë pjesëtuesit e numrit 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Ne kryejmë kërkime. Vini re se për çdo numër të plotë x dhe y numri

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

prandaj, të dy faktorët në anën e majtë të ekuacionit duhet të jenë pozitivë. Atëherë ekuacioni (1) është i barabartë me një grup sistemesh ekuacionesh:

; ; ;

4) Pasi kemi zgjidhur sistemet, marrim: sistemi i parë ka zgjidhje (5; 6), (-6; -5); e treta (-3; 4), (-4; 3); zgjidhjet e dyta dhe të katërta në numra të plotë nuk kanë.

Përgjigje: ekuacioni (1) ka katër zgjidhje (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Detyra 4. Gjeni të gjitha çiftet e numrave natyrorë që plotësojnë ekuacionin

Zgjidhje. Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe e shkruajmë ekuacionin si

.

Sepse pjesëtuesit e numrit 69 janë numrat 1, 3, 23 dhe 69, atëherë 69 mund të merret në dy mënyra: 69=1 69 dhe 69=3 23. Duke pasur parasysh këtë, marrim dy sisteme ekuacionesh, duke i zgjidhur të cilat mund të gjejmë numrat e dëshiruar:

Sistemi i parë ka një zgjidhje dhe sistemi i dytë ka një zgjidhje.

Përgjigje: .

Detyra 5.

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë

.

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Marr

.

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 1 vetëm në dy raste: nëse të dy janë të barabartë me 1 ose -1. Ne marrim dy sisteme:

Sistemi i parë ka zgjidhjen x=2, y=2, dhe sistemi i dytë ka zgjidhjen x=0, y=0.

Përgjigje: .

Detyra 6. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë

.

Zgjidhje. Këtë ekuacion e shkruajmë në formë

Ne zbërthejmë anën e majtë të ekuacionit në faktorë me metodën e grupimit, marrim

.

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 7 në rastet e mëposhtme:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Kështu, marrim katër sisteme:

Ose , ose , ose .

Zgjidhja e sistemit të parë është një çift numrash x = - 5, y = - 6. Duke zgjidhur sistemin e dytë, marrim x = 13, y = 6. Për sistemin e tretë, zgjidhja janë numrat x = 5, y = 6. Sistemi i katërt ka një zgjidhje x = - 13, y = - 6.

Detyra 7. Vërtetoni se ekuacioni ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 jo

ka zgjidhje me numra të plotë.

Zgjidhje. 1) Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe ndajmë të dy anët e ekuacionit me 3, si rezultat marrim ekuacionin:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) Pjesëtuesit e 10 janë numrat ±1, ±2, ±5, ±10. Vini re gjithashtu se shuma e faktorëve në anën e majtë të ekuacionit (2) është e barabartë me 0. Është e lehtë të kontrollohet se shuma e çdo tre numrash nga bashkësia e pjesëtuesve të numrit 10, duke dhënë një produkt prej 10, nuk do të jetë e barabartë me 0. Prandaj, ekuacioni origjinal nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Detyra 8. Zgjidheni ekuacionin: x 2 - y 2 \u003d 3 në numra të plotë.

Zgjidhja:

1. zbatoni formulën për shumëzimin e shkurtuar x 2 - y 2 \u003d (x-y) (x + y) \u003d 3

2. gjeni pjesëtuesit e numrit 3 = -1;-3;1;3

3. Ky ekuacion është i barabartë me një grup prej 4 sistemesh:

x-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Përgjigje: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Metoda e mbetjeve.

Detyra 9 .Zgjidheni ekuacionin: x 2 + xy \u003d 10

Zgjidhja:

1. Shprehni variablin y në terma x: y= 10-ta 2

Y = - X

2. Thyesë do të jetë numër i plotë nëse x ±1;±2; ±5;±10

3. Gjeni 8 vlera y.

Nëse x=-1 atëherë y=-9 x=-5 atëherë y=3

x=1 pastaj y=9 x=5 pastaj y=-3

x=-2 pastaj y=-3 x=-10 pastaj y=9

x=2 pastaj y=3 x=10 pastaj y=-9

Detyra 10. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë:

2x 2 -2xy + 9x + y \u003d 2

Zgjidhja:

ne shprehim nga ekuacioni të panjohurën që hyn në të vetëm në shkallën e parë - në këtë rast në:

2x 2 + 9x-2=2xy-y

Y =

zgjedhim pjesën e plotë të thyesës duke përdorur rregullën e pjesëtimit të një polinomi me një "kënd" polinom. Ne marrim:

Prandaj, diferenca 2x-1 mund të marrë vetëm vlerat -3, -1,1,3.

Mbetet për të numëruar këto katër raste.

Përgjigju : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Detyrat e nivelit të provimit

Pasi kemi shqyrtuar disa mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë me dy ndryshore në numra të plotë, kemi vërejtur se më shpesh përdoret metoda e faktorizimit dhe metoda e mbetur.

Ekuacionet që jepen në variantet e Provimit të Unifikuar Shtetëror -2011 zgjidhen kryesisht me metodën reziduale.

1. Zgjidheni ekuacionin me numra natyrorë: , ku m>n

Zgjidhja:

Le të shprehim variablin P përmes një ndryshoreje t

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Përgjigje: (12; -8)

konkluzioni.

Zgjidhje lloj te ndryshme ekuacionet është një nga linjat e përmbajtjes së lëndës së matematikës shkollore, por në të njëjtën kohë, praktikisht nuk merren parasysh metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me disa të panjohura. Në të njëjtën kohë, zgjidhja e ekuacioneve në disa të panjohura në numra të plotë është një nga problemet më të vjetra matematikore. Shumica e metodave për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla bazohen në teorinë e pjesëtueshmërisë së numrave të plotë, interesi në të cilin aktualisht përcaktohet nga zhvillimi i shpejtë i teknologjitë e informacionit. Në këtë drejtim, do të jetë interesante që nxënësit e shkollave të mesme të njihen me metodat e zgjidhjes së disa ekuacioneve në numra të plotë, veçanërisht pasi olimpiadat e niveleve të ndryshme shumë shpesh ofrojnë detyra që përfshijnë zgjidhjen e një ekuacioni në numra të plotë dhe këtë vit përfshihen ekuacione të tilla. më shumë dhe në materialet e provimit.

Në punën tonë, ne morëm parasysh vetëm ekuacione të pacaktuara të shkallës së parë dhe të dytë. Ekuacionet e shkallës së parë, siç e pamë, zgjidhen mjaft thjesht. Ne kemi identifikuar llojet e ekuacioneve të tilla dhe algoritme për zgjidhjet e tyre. U gjet gjithashtu një zgjidhje e përgjithshme e ekuacioneve të tilla.

Ekuacionet e shkallës së dytë janë më të ndërlikuara, kështu që kemi shqyrtuar vetëm raste të veçanta: teorema e Pitagorës dhe rastet kur një pjesë e ekuacionit ka formën e një produkti, dhe e dyta është e faktorizuar.

Matematikanët e mëdhenj janë të angazhuar në ekuacione të shkallëve të treta dhe më shumë, sepse zgjidhjet e tyre janë shumë të ndërlikuara dhe të rënda.

Në të ardhmen, ne planifikojmë të thellojmë kërkimin tonë në studimin e ekuacioneve me disa ndryshore, të cilat përdoren në zgjidhjen e problemeve.

Letërsia.

1. Berezin V.N. Mbledhja e detyrave për aktivitete me dëshirë dhe jashtëshkollore në matematikë. Moskë "Iluminizmi" 1985

2. Galkin E.G. Detyra jo standarde në matematikë. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

3. Galkin E.G. Probleme me numrat e plotë. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

4. Glazer E.I. Historia e matematikës në shkollë. Moskë "Iluminizmi" 1983

5. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimi i analizes 10-11 klasa. Moskë 2003

6. Matematikë. PËRDORIMI 2010. Instituti Federal

matjet pedagogjike.

7. Sharygin I. F. Kurs me dëshirë në matematikë. Zgjidhje

detyrat. Moskë 1986

Teksti i veprës vendoset pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Skedarët e punës" në formatin PDF

Prezantimi.

Objekti i studimit.

Hulumtimi ka të bëjë me një nga degët më interesante të teorisë së numrave - zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë.

Lënda e studimit.

Zgjidhja në numra të plotë të ekuacioneve algjebrike me koeficientë të plotë në më shumë se një të panjohur është një nga problemet më të vështira dhe më të lashta matematikore dhe nuk është e përfaqësuar mjaftueshëm thellë në lëndën e matematikës shkollore. Në punën time, unë do të paraqes një analizë mjaft të plotë të ekuacioneve në numra të plotë, një klasifikim të këtyre ekuacioneve sipas metodave për zgjidhjen e tyre, një përshkrim të algoritmeve për zgjidhjen e tyre, si dhe shembuj praktikë të aplikimit të secilës metodë për zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë.

Synimi.

Mësoni si të zgjidhni ekuacionet në numra të plotë.

Detyrat:

Studimi i literaturës arsimore dhe referencës;

Mblidhni material teorik për mënyrën e zgjidhjes së ekuacioneve;

Të analizojë algoritme për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji;

Përshkruani zgjidhjet;

Shqyrtoni shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur këto metoda.

Hipoteza:

Përballë ekuacioneve në numra të plotë në detyrat e Olimpiadës, supozova se vështirësitë në zgjidhjen e tyre janë për faktin se jo të gjitha mënyrat për t'i zgjidhur ato janë të njohura për mua.

Rëndësia:

Kur zgjidhja variantet e përafërta të detyrave USE, vura re se shpesh ka detyra për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë dhe të dytë në numra të plotë. Përveç kësaj, detyrat e Olimpiadës nivele të ndryshme përmbajnë gjithashtu ekuacione në numra të plotë ose probleme që zgjidhen duke përdorur aftësitë për të zgjidhur ekuacionet në numra të plotë. Rëndësia e të diturit se si të zgjidhen ekuacionet në numra të plotë përcakton rëndësinë e kërkimit tim.

Metodat e kërkimit

Analiza teorike dhe përgjithësimi i informacionit literaturë shkencore rreth ekuacioneve në numra të plotë.

Klasifikimi i ekuacioneve në numra të plotë sipas metodave të zgjidhjes së tyre.

Analiza dhe përgjithësimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë.

Rezultatet e hulumtimit

Punimi përshkruan metodat për zgjidhjen e ekuacioneve, shqyrton materialin teorik të teoremës së Fermatit, teoremës së Pitagorës, algoritmit të Euklidit, paraqet shembuj të zgjidhjes së problemeve dhe ekuacioneve të niveleve të ndryshme të kompleksitetit.

2.Historia e ekuacioneve në numra të plotë

Diofanti - një shkencëtar - algjebrist i Greqisë së Lashtë, sipas disa burimeve, ai jetoi deri në vitin 364 pas Krishtit. e. Ai u specializua në zgjidhjen e problemeve në numra të plotë. Prandaj emri i ekuacioneve diofantine. Më i famshmi, i zgjidhur nga Diofanti, është problemi i "zbërthimit në dy katrorë". Ekuivalenti i saj është teorema e njohur e Pitagorës. Jeta dhe vepra e Diofantit vazhdoi në Aleksandri, ai mblodhi dhe zgjidhi probleme të njohura dhe shpiku probleme të reja. Më vonë ai i kombinoi ato në një vepër të madhe të quajtur Aritmetika. Nga trembëdhjetë librat që përbënin Aritmetikën, vetëm gjashtë mbijetuan deri në Mesjetë dhe u bënë burim frymëzimi për matematikanët e Rilindjes.Aritmetika e Diofantit është një koleksion problemesh, secila përfshin një zgjidhje dhe një shpjegim të nevojshëm. Koleksioni përfshin një sërë problemesh dhe zgjidhja e tyre shpesh është shumë e zgjuar. Diofanti është i interesuar vetëm për zgjidhjet me numra të plotë dhe racionalë. Zgjidhjet irracionale i quan “të pamundura” dhe zgjedh me kujdes koeficientët në mënyrë që të fitohen zgjidhjet e dëshiruara pozitive, racionale.

Teorema e Fermatit përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë. Historia e vërtetimit të së cilës është mjaft interesante. Shumë matematikanë të shquar punuan në një vërtetim të plotë të Teoremës së Madhe, dhe këto përpjekje çuan në shumë rezultate në teorinë moderne të numrave. Besohet se teorema është në vendin e parë për sa i përket numrit të provave të pasakta.

Matematikani i shquar francez Pierre Fermat deklaroi se ekuacioni për numrin e plotë n ≥ 3 nuk ka zgjidhje në numrat e plotë pozitivë x, y, z (xyz = 0 përjashtohet nga pozitiviteti i x, y, z. Për rastin n = 3, kjo Teorema u provua në shekullin X e vërtetuar nga matematikani i Azisë Qendrore al-Khojandi, por prova e tij nuk është ruajtur. Disi më vonë, vetë Fermat publikoi një provë të një rasti të veçantë për n = 4.

Euler në 1770 vërtetoi teoremën për n = 3, Dirichlet dhe Lezhandre në 1825 për n = 5, dhe Lame për n = 7. Kummer tregoi se teorema është e vërtetë për të gjithë n-të e thjeshtë më pak se 100, me përjashtim të mundshëm të 37, 59, 67.

Në vitet 1980 kishte qasje e re për zgjidhjen e problemit. Nga hamendja e Mordell-it, e vërtetuar nga Faltings në 1983, rrjedh se ekuacioni

për n > 3 mund të ketë vetëm një numër të fundëm zgjidhjesh të dyfishta.

Hapi i fundit por më i rëndësishëm në vërtetimin e teoremës u ndërmor në shtator 1994 nga Wiles. Prova e tij prej 130 faqesh u botua në Annals of Mathematics. Prova bazohet në supozimin e matematikanit gjerman Gerhard Frei se teorema e fundit e Fermatit është pasojë e hipotezës Taniyama-Shimura (ky supozim u vërtetua nga Ken Ribet me pjesëmarrjen e J.-P. Serra). Wiles botoi të parën versioni i provës së tij në 1993 (pas 7 vitesh punë të palodhur), por shpejt u zbulua një hendek serioz në të; me ndihmën e Richard Lawrence Taylor, hendeku u mbyll shpejt. Versioni përfundimtar u botua në 1995. 15 Mars 2016 Andrew Wiles merr çmimin Abel. Aktualisht, primi është 6 milion korona norvegjeze, domethënë afërsisht 50 milion rubla. Sipas Wiles, çmimi erdhi si një "surprizë e plotë" për të.

3.Ekuacionet lineare në numra të plotë

Ekuacionet lineare janë më të thjeshtat nga të gjitha ekuacionet diofantine.

Një ekuacion i formës ax=b, ku a dhe b janë disa numra dhe x është një ndryshore e panjohur, quhet ekuacioni linear me një të panjohur. Këtu kërkohet të gjenden vetëm zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit. Mund të shihet se nëse a ≠ 0, atëherë ekuacioni do të ketë një zgjidhje numër të plotë vetëm nëse b është plotësisht i pjesëtueshëm me a dhe kjo zgjidhje është x = b / f. Nëse a=0, atëherë ekuacioni do të ketë një zgjidhje të plotë kur b=0 dhe në këtë rast x është çdo numër.

sepse Atëherë 12 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 4

Sepse a=o dhe b=0, atëherë x është çdo numër

Sepse 7 as nuk pjesëtohet me 10, atëherë nuk ka zgjidhje.

4. Mënyra për të numëruar opsionet.

Në metodën e numërimit të opsioneve, është e nevojshme të merren parasysh shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave, të merren parasysh të gjitha opsionet e mundshme barazia e numërimit të fundëm. Kjo metodë mund të përdoret për të zgjidhur këto probleme:

№1 Gjeni bashkësinë e të gjithë çifteve të numrave natyrorë që janë zgjidhje e ekuacionit 49x+69y=602

Ne shprehemi nga ekuacioni x =,

Sepse x dhe y janë numra natyrorë, atëherë x = ≥ 1, shumëzojeni të gjithë ekuacionin me 49 për të hequr qafe emëruesin:

Zhvendosni 602 në anën e majtë:

51y ≤ 553, shprehni y, y= 10

Një numërim i plotë i opsioneve tregon se zgjidhjet natyrore të ekuacionit janë x=5, y=7.

Përgjigje: (5,7).-

№2 Zgjidheni problemin

Nga numrat 2, 4, 7 duhet bërë një numër treshifror, në të cilin asnjë numër i vetëm nuk mund të përsëritet më shumë se dy herë.

Le të gjejmë numrin e të gjithë numrave treshifrorë që fillojnë me numrin 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - janë 8 prej tyre.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjithë numrat treshifrorë që fillojnë me numrat 4 dhe 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ata janë gjithashtu 8 numra secili. Ka vetëm 24 numra.

Përgjigje: 24.

5. Thyesa e vazhduar dhe algoritmi i Euklidit

Një thyesë e vazhdueshme është një shprehje e një thyese të zakonshme në formë

ku q 1 është një numër i plotë, dhe q 2 , … ,qn janë numra natyrorë. Një shprehje e tillë quhet thyesë e vazhdueshme (e fundme e vazhdueshme). Ka thyesa të fundme dhe të pafundme të vazhdueshme.

Për numrat racionalë thyesa e vazhdueshme ka pamje fundore. Veç kësaj, sekuenca a i është pikërisht sekuenca e herësve që përftohet duke aplikuar algoritmin Euklidian në numëruesin dhe emëruesin e një thyese.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa të vazhdueshme, unë përpilova një algoritëm të përgjithshëm veprimesh për këtë metodë të zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë.

Algoritmi

1) Përpiloni raportin e koeficientëve për të panjohurat në formën e një thyese

2) Shndërroni shprehjen në thyesë jo të duhur

3) Zgjidhni pjesën e plotë të një thyese të papërshtatshme

4) Zëvendësoni një thyesë të duhur me një thyesë të barabartë

5) Bëni 3.4 me thyesën e gabuar të marrë në emërues

6) Përsëriteni 5 deri në rezultatin përfundimtar

7) Në shprehjen që rezulton, hidhni lidhjen e fundit të thyesës së vazhdueshme, kthejeni thyesën e re të vazhdueshme që rezulton në një të thjeshtë dhe zbrisni atë nga thyesa origjinale.

Shembull#1 Zgjidh ekuacionin 127x- 52y+ 1 = 0 në numra të plotë

Le të transformojmë raportin e koeficientëve në të panjohurat.

Para së gjithash, ne zgjedhim pjesën e plotë të fraksionit të papërshtatshëm; = 2 +

Zëvendësoni një thyesë të duhur me një thyesë të barabartë.

Ku = 2+

Le të bëjmë të njëjtat shndërrime me thyesën e gabuar të marrë në emërues.

Tani thyesa origjinale do të marrë formën: Duke përsëritur të njëjtin arsyetim për thyesën, marrim

Ne morëm një shprehje të quajtur thyesa përfundimtare e vazhduar ose e vazhduar. Pasi të kemi hedhur poshtë lidhjen e fundit të kësaj thyese të vazhdueshme - një të pestën, ne e kthejmë thyesën e re të vazhdueshme që rezulton në një të thjeshtë dhe e zbresim atë nga fraksioni origjinal:

Le ta sjellim shprehjen që rezulton në një emërues të përbashkët dhe ta hedhim poshtë.

Nga 127∙9-52∙22+1=0. Nga krahasimi i barazisë së fituar me ekuacionin 127x- 52y + 1 = 0, del se atëherë x= 9, y= 22 është zgjidhje e ekuacionit fillestar dhe sipas teoremës, të gjitha zgjidhjet e tij do të përmbahen në progresionet x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , ku t=(0; ±1; ±2....).

Për të vërtetuar këtë supozim, do të na duhen disa veti të thyesave të vazhdueshme.

Konsideroni një fraksion të pakalueshëm. Shënoni me q 1 herësin dhe me r 2 pjesën e mbetur të pjesëtimit të a me b. Pastaj marrim:

Atëherë b=q 2 r 2 +r 3,

I ngjashëm

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Madhësitë q 1 , q 2 ,… quhen herës jo të plotë. Procesi i mësipërm i formimit të herësit jo të plotë quhet Algoritmi i Euklidit. Mbetjet nga pjesëtimi r 2 , r 3 ,…plotësojnë pabarazitë

ato. formojnë një seri numrash jonegativë në rënie.

Shembulli #2 Zgjidheni ekuacionin 170x+190y=3000 në numra të plotë

Pas zvogëlimit me 10, ekuacioni duket si ky,

Për të gjetur një zgjidhje të veçantë, ne përdorim zgjerimin e një thyese në një fraksion të vazhdueshëm

Duke e shembur fraksionin e parafundit të përshtatshëm për të në një të zakonshme

Një zgjidhje e veçantë e këtij ekuacioni ka formën

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

dhe e përgjithshme jepet me formulë

x=2700-19k, y=-2400+17k.

prej nga fitojmë kushtin në parametrin k

Ato. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda e faktorizimit

Metoda e numërimit të opsioneve është një mënyrë e papërshtatshme, pasi ka raste kur është e pamundur të gjenden zgjidhje të plota me numërim, pasi ka një numër të pafund të zgjidhjeve të tilla. Metoda e faktorizimit është një teknikë shumë interesante dhe gjendet si në matematikën elementare ashtu edhe në matematikën e lartë.

Thelbi konsiston në transformimin identik. Kuptimi i çdo transformimi identik është të shkruani një shprehje në një formë të ndryshme duke ruajtur thelbin e saj. Konsideroni shembuj të aplikimit të kësaj metode.

№1 Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë y 3 -x 3 = 91.

Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, ne zbërthejmë anën e djathtë të ekuacionit në faktorë:

(y - x) (y 2 + xy + x 2) = 91

Ne shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e numrit 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Vini re se për çdo numër të plotë x dhe y numri

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prandaj, të dy faktorët në anën e majtë të ekuacionit duhet të jenë pozitivë. Atëherë ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin e sistemeve të ekuacioneve:

Pasi të kemi zgjidhur sistemet, ne zgjedhim ato rrënjë që janë numra të plotë.

Marrim zgjidhje të ekuacionit origjinal: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (-4; 3).

Përgjigje: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Gjeni të gjitha çiftet e numrave natyrorë që plotësojnë ekuacionin x 2 -y 2 = 69

Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe e shkruajmë ekuacionin si

Sepse pjesëtuesit e numrit 69 janë numrat 1, 3, 23 dhe 69, atëherë 69 mund të merret në dy mënyra: 69=1 69 dhe 69=3 23. Duke marrë parasysh se x-y > 0, marrim dy sisteme ekuacionesh, duke i zgjidhur të cilat mund të gjejmë numrat e dëshiruar:

Pasi kemi shprehur një ndryshore dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin e dytë, gjejmë rrënjët e ekuacioneve: Sistemi i parë ka zgjidhje x=35;y=34 , dhe sistemi i dytë ka zgjidhje x=13, y=10.

Përgjigje: (35; 34), (13; 10).

№3 Zgjidheni ekuacionin x + y \u003d xy në numra të plotë:

E shkruajmë ekuacionin në formë

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Marr

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 1 vetëm në dy raste: nëse të dy janë të barabartë me 1 ose -1. Ne marrim dy sisteme:

Sistemi i parë ka zgjidhje x=2, y=2, dhe sistemi i dytë ka zgjidhje x=0, y=0. Përgjigje: (2; 2), (0; 0).

№4 Vërtetoni se ekuacioni (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 3, si rezultat marrim ekuacionin:

(x - y) (y - z) (z - x) = 10

Pjesëtuesit e 10 janë numrat ±1, ±2, ±5, ±10. Vini re gjithashtu se shuma e faktorëve në anën e majtë të ekuacionit është e barabartë me 0. Është e lehtë të kontrollohet se shuma e çdo tre numrash nga bashkësia e pjesëtuesve të numrit 10, duke dhënë 10 në produkt, nuk do të baraz me 0. Prandaj, ekuacioni origjinal nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

7. Metoda e mbetjeve

Detyra kryesore e metodës është të gjejë pjesën e mbetur të ndarjes së të dy pjesëve të ekuacionit me një numër të plotë, bazuar në rezultatet e marra. Shpesh informacioni i marrë zvogëlon mundësitë e grupeve të zgjidhjeve të ekuacionit. Konsideroni shembuj:

№1 Vërtetoni se ekuacioni x 2 = 3y + 2 nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Dëshmi.

Konsideroni rastin kur x, y ∈ N. Konsideroni mbetjet e të dyja anëve të pjesëtuara me 3. Ana e djathtë e ekuacionit jep një mbetje prej 2 kur pjesëtohet me 3 për çdo vlerë të y. Ana e majtë, e cila është katrori i një numri natyror, kur pjesëtohet me 3, gjithmonë jep një mbetje prej 0 ose 1. Bazuar në këtë, arrijmë në përfundimin se nuk ka zgjidhje për këtë ekuacion në numrat natyrorë.

Shqyrtoni rastin kur njëri nga numrat është i barabartë me 0. Atëherë, padyshim, nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Rasti kur y është një numër i plotë negativ nuk ka zgjidhje, sepse ana e djathtë do të jetë negative dhe ana e majtë pozitive.

Rasti kur x është numër i plotë negativ gjithashtu nuk ka zgjidhje, sepse bie në një nga rastet e shqyrtuara më parë për faktin se (-x) 2 = (x) 2 .

Rezulton se ekuacioni i treguar nuk ka zgjidhje në numra të plotë, gjë që kërkohej të vërtetohej.

№2 Zgjidh në numra të plotë 3 X = 1 + y 2 .

Nuk është e vështirë të shihet se (0; 0) është zgjidhja e këtij ekuacioni. Mbetet të vërtetohet se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera numër të plotë.

Konsideroni rastet:

1) Nëse x∈N, y∈N, atëherë Z pjesëtohet me tre pa mbetje, dhe 1 + y 2 kur pjesëtohet me 3 jep

pjesa e mbetur është ose 1 ose 2. Prandaj, barazia për numrat e plotë pozitivë

vlerat e x, y është e pamundur.

2) Nëse x është një numër i plotë negativ, y∈Z , atëherë 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

barazia është gjithashtu e pamundur. Prandaj, (0; 0) është e vetmja

Përgjigje: (0; 0).

№3 Zgjidheni ekuacionin 2x 2 -2xy+9x+y=2 në numra të plotë:

Le të shprehim nga ekuacioni të panjohurën që hyn në të vetëm në shkallën e parë, pra variablin y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, prej nga

Ne zgjedhim pjesën e plotë të thyesës duke përdorur rregullin e pjesëtimit të një polinomi me një "kënd" polinom. Ne marrim:

Natyrisht, një ndryshim 2x-1 mund të marrë vetëm vlerat -3, -1, 1 dhe 3.

Mbetet të numërojmë këto katër raste, si rezultat i të cilave marrim zgjidhje: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Përgjigje: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve me dy ndryshore në numra të plotë si katrorë në lidhje me një nga variablat

№1 Zgjidheni ekuacionin 5x në numra të plotë 2 +5v 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Ky ekuacion mund të zgjidhet me metodën e faktorizimit, megjithatë, kjo metodë, siç zbatohet në këtë ekuacion, është mjaft e mundimshme. Le të shqyrtojmë një mënyrë më racionale.

E shkruajmë ekuacionin në formën e një kuadrati në lidhje me ndryshoren x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Ne gjejmë rrënjët e saj.

Ky ekuacion ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse diskriminuesi

i këtij ekuacioni është i barabartë me zero, d.m.th. - 9(y+1) 2 =0, pra y= - 1.

Nëse y=-1, atëherë x=1.

Përgjigje: (1; - 1).

9. Një shembull i zgjidhjes së problemave duke përdorur ekuacione në numra të plotë.

№ 1. Zgjidhe ekuacionin me numra natyrorë : ku n>m

Le ta shprehim variablin n në terma të ndryshores m:

Le të gjejmë pjesëtuesit e numrit 625: ky është 1; 5; 25; 125; 625

1) nëse m-25 =1, atëherë m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, pastaj m=30, n=150

3) m-25 =25, pastaj m=50, n=50

4) m-25 =125, pastaj m=150, n=30

5) m-25 =625, pastaj m=650, n=26

Përgjigje: m=150, n=30

№ 2. Zgjidhe ekuacionin me numra natyrorë: mn +25 = 4m

Zgjidhje: mn +25 = 4m

1) shprehni variablin 4m në terma n:

2) gjeni pjesëtuesit natyrorë të numrit 25: kjo është 1; 5; 25

nëse 4-n=1, atëherë n=3, m=25

4-n=5, pastaj n=-1, m=5; 4-n =25, pastaj n=-21, m=1 (rrënjët e huaja)

Përgjigje: (25;3)

Përveç detyrave për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë, ekzistojnë detyra për të vërtetuar faktin se ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Kur zgjidhni probleme të tilla, është e nevojshme të mbani mend vetitë e mëposhtme të pjesëtueshmërisë:

1) Nëse n Z; n pjesëtohet me 2, pastaj n = 2k, k ∈ Z.

2) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 2, atëherë n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Nëse n ∈ Z; n pjesëtohet me 3, pastaj n = 3k, k ∈ Z.

4) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 3, atëherë n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 4, atëherë n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Nëse n ∈ Z; n(n+1) pjesëtohet me 2, pastaj n (n+1)(n+2) pjesëtohet me 2;3;6.

7) n; n+1 janë të dyfishta.

№3 Vërtetoni se ekuacioni x 2 - 3y = 17 nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Dëshmi:

Le të jetë x; y - zgjidhjet e ekuacionit

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z atëherë y+6 ∈ Z , pra 3(y+6) plotpjesëtohet me 3, pra 3(y+6)-1 nuk pjesëtohet me 3, pra x 2 nuk pjesëtohet me 3, pra x nuk është plotpjesëtohet me 3, pra x = 3k±1, k ∈ Z.

Zëvendësoni këtë në ekuacionin origjinal.

Kemi një kontradiktë. Kjo do të thotë se ekuacioni nuk ka zgjidhje të tëra, gjë që kërkohej të vërtetohej.

10.Formula e kulmit

Formula e Pick u zbulua nga matematikani austriak Georg Pick në 1899. Formula lidhet me ekuacionet në numra të plotë në atë që vetëm nyjet me numra të plotë merren nga shumëkëndëshat, si dhe numrat e plotë në ekuacione.

Duke përdorur këtë formulë, mund të gjeni sipërfaqen e një figure të ndërtuar në një fletë në një qelizë (trekëndësh, katror, ​​trapezoid, drejtkëndësh, shumëkëndësh).

Në këtë formulë, do të gjejmë pika të plota brenda poligonit dhe në kufirin e tij.

Në detyrat që do të jenë në provim, ka një grup të tërë detyrash në të cilat jepet një shumëkëndësh i ndërtuar në një fletë në një qelizë dhe ka një pyetje për gjetjen e zonës. Shkalla e qelizave është një centimetër katror.

Shembulli #1

M - numri i nyjeve në kufirin e trekëndëshit (në anët dhe kulmet)

N është numri i nyjeve brenda trekëndëshit.

*Me “nyje” nënkuptojmë kryqëzimin e vijave. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit:

Vini re nyjet:

M = 15 (treguar me të kuqe)

N = 34 (shënuar me blu)

Shembulli #2

Gjeni sipërfaqen e shumëkëndëshit: Vini re nyjet:

M = 14 (treguar me të kuqe)

N = 43 (shënuar me blu)

12. Metoda e zbritjes

Një nga metodat për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë - metoda e zbritjes - bazohet në teoremën e Fermatit.

Metoda e zbritjes është një metodë që konsiston në ndërtimin e një zgjidhjeje në një sekuencë të pafund zgjidhjesh me z pozitiv pafundësisht në rënie.

Ne do të shqyrtojmë algoritmin e kësaj metode duke përdorur shembullin e zgjidhjes së një ekuacioni specifik.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë 5x + 8y = 39.

1) Le të zgjedhim të panjohurën që ka koeficientin më të vogël (në rastin tonë, është x) dhe ta shprehim atë me një të panjohur tjetër:

2) Zgjidhni pjesën e plotë: Natyrisht, x do të jetë numër i plotë nëse shprehja rezulton të jetë numër i plotë, i cili, nga ana tjetër, do të ndodhë kur numri 4 - 3y pjesëtohet me 5 pa mbetje.

3) Le të prezantojmë një variabël shtesë z si më poshtë: 4 -3y = 5z. Si rezultat, marrim një ekuacion të të njëjtit lloj si ai origjinal, por me koeficientë më të vegjël.

4) Ne e zgjidhim atë tashmë në lidhje me ndryshoren y, duke argumentuar saktësisht njësoj si në paragrafët 1, 2: Duke zgjedhur pjesën e plotë, marrim:

5) Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, ne prezantojmë një ndryshore të re u: 3u = 1 - 2z.

6) Shprehni të panjohurën me koeficientin më të vogël, në këtë rast ndryshoren z: . Duke kërkuar që ai të jetë një numër i plotë, marrim: 1 - u = 2v, prej nga u = 1 - 2v. Nuk ka më thyesa, zbritja ka mbaruar (vazhdojmë procesin derisa të mos ketë mbetur asnjë thyesë në shprehjen për variablin tjetër).

7) Tani ju duhet të "shkoni lart". Shprehni përmes ndryshores v fillimisht z, pastaj y dhe më pas x:

8) Formulat x = 3+8v dhe y = 3 - 5v, ku v është një numër i plotë arbitrar, paraqesin zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit origjinal në numra të plotë.

Kështu, metoda e zbritjes përfshin fillimisht shprehjen sekuenciale të një ndryshoreje përmes një tjetre, derisa të mos mbeten fraksione në paraqitjen e ndryshores, dhe më pas, "ngjitja" vijuese përgjatë zinxhirit të barazive për të marrë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit.

12.Përfundim

Si rezultat i studimit, u konfirmua hipoteza se vështirësitë në zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë janë për faktin se jo të gjitha metodat e zgjidhjes së tyre ishin të njohura për mua. Gjatë hulumtimit, arrita të gjej dhe të përshkruaj mënyra pak të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë, t'i ilustroj ato me shembuj. Rezultatet e hulumtimit tim mund të jenë të dobishme për të gjithë studentët e interesuar në matematikë.

13. Bibliografi

Burimet e librit:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algjebra dhe analiza matematikore / Klasa 10, Klasa 11 / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov etj., Matematikë. Materiale edukative dhe trajnimi për përgatitjen për provimin // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matematika, teoria e numrave// Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë// Shtëpia e Librit LIBROCOM

Burimet e internetit:

4. Opsionet Demo kontrollin materialet matëse Provimi i unifikuar i shtetit në matematikë http://fipi.ru/

5. Shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve në numra të plotë http://reshuege.ru

6. Shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve në numra të plotë http://mat-ege.ru

7. Historia e Ekuacioneve Diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Historia e Diofantit http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Historia e Ekuacioneve Diofantinehttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Historia e Diofantit http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

Ekuacionet jolineare në dy të panjohura

Përkufizimi 1 . Le të jetë A disa grup çiftesh numrash (x; y) . Thuhet se është dhënë bashkësia A funksioni numerik z nga dy variabla x dhe y, nëse specifikohet një rregull, me ndihmën e të cilit çdo çift numrash nga bashkësia A i caktohet një numër i caktuar.

Ushtrimi funksioni numerik z nga dy ndryshore x dhe y shpesh caktoj Kështu që:

ku f (x , y) - çdo funksion tjetër përveç funksionit

f (x , y) = sëpatë+nga+c ,

ku a, b, c jepen numra.

Përkufizimi 3 . Zgjidhja e ekuacionit (2). emërtoni një çift numrash x; y), për të cilën formula (2) është një barazi e vërtetë.

Shembulli 1 . zgjidhin ekuacionin

Meqenëse katrori i çdo numri është jonegativ, nga formula (4) rezulton se të panjohurat x dhe y plotësojnë sistemin e ekuacioneve

zgjidhja e të cilit është një çift numrash (6 ; 3) .

Përgjigje: (6; 3)

Shembulli 2. zgjidhin ekuacionin

Prandaj, zgjidhja e ekuacionit (6) është një numër i pafund çiftesh numrash lloj

(1 + y ; y) ,

ku y është çdo numër.

lineare

Përkufizimi 4 . Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve

emërtoni një çift numrash x; y), duke i zëvendësuar në secilin prej ekuacioneve të këtij sistemi, marrim barazinë e saktë.

Sistemet e dy ekuacioneve, njëri prej të cilëve është linear, kanë formën

g(x , y)

Shembulli 4. Zgjidh një sistem ekuacionesh

Zgjidhje . Le të shprehim të panjohurën y nga ekuacioni i parë i sistemit (7) në termat e të panjohurës x dhe të zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit:

Zgjidhja e ekuacionit

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Rrjedhimisht,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sistemet e dy ekuacioneve, njëra prej të cilave është homogjene

Sistemet e dy ekuacioneve, njëra prej të cilave është homogjene, kanë formën

ku a , b , c jepen numra dhe g(x , y) është funksion i dy ndryshoreve x dhe y.

Shembulli 6 . Zgjidh një sistem ekuacionesh

Zgjidhje . Le të zgjidhim ekuacionin homogjen

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

duke e trajtuar atë si një ekuacion kuadratik në lidhje me të panjohurën x:

.

Në rastin kur x = - 5y, nga ekuacioni i dytë i sistemit (11) fitojmë ekuacionin

5y 2 = - 20 ,

që nuk ka rrënjë.

Në rastin kur

nga ekuacioni i dytë i sistemit (11) fitojmë ekuacionin

,

rrënjët e të cilit janë numrat y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Duke gjetur për secilën nga këto vlera y vlerën përkatëse x, marrim dy zgjidhje për sistemin: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Përgjigje: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve të llojeve të tjera

Shembulli 8. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (MIPT)

Zgjidhje . Ne prezantojmë të panjohura të reja u dhe v, të cilat shprehen në terma x dhe y me formulat:

Për të rishkruar sistemin (12) në termat e të panjohurave të reja, fillimisht shprehim të panjohurat x dhe y në terma u dhe v. Nga sistemi (13) rezulton se

Sistemin linear (14) e zgjidhim duke përjashtuar variablin x nga ekuacioni i dytë i këtij sistemi. Për këtë qëllim, ne kryejmë transformimet e mëposhtme në sistemin (14).