Ky artikull ka të bëjë me dhjetore. Këtu do të merremi me shënimin dhjetor të numrave thyesorë, do të prezantojmë konceptin e një thyese dhjetore dhe do të japim shembuj të thyesave dhjetore. Më pas, le të flasim për shifrat e thyesave dhjetore, jepni emrat e shifrave. Pas kësaj, ne do të përqendrohemi në thyesat dhjetore të pafundme, le të themi për thyesat periodike dhe jo periodike. Më pas, renditim veprimet kryesore me thyesa dhjetore. Si përfundim, vendosim pozicionin e thyesave dhjetore në rrezen e koordinatave.

Navigimi i faqes.

Shënimi dhjetor i një numri thyesor

Leximi i numrave dhjetorë

Le të themi disa fjalë për rregullat e leximit të thyesave dhjetore.

Thyesat dhjetore, të cilat korrespondojnë me thyesat e sakta të zakonshme, lexohen në të njëjtën mënyrë si këto thyesa të zakonshme, paraprakisht shtohet vetëm "zero e tërë". Për shembull, thyesa dhjetore 0.12 korrespondon me thyesën e zakonshme 12/100 (lexohet "dymbëdhjetë të qindtat"), prandaj, 0.12 lexohet si "pika zero e dymbëdhjetë të qindtat".

Dhjetorët, që u përgjigjen numrave të përzier, lexohen saktësisht në të njëjtën mënyrë si këta numra të përzier. Për shembull, numri dhjetor 56.002 korrespondon me numër i përzier, pra, thyesa dhjetore 56.002 lexohet si "pesëdhjetë e gjashtë pikë dymijtë".

Vendet në numra dhjetorë

Në shënimin e thyesave dhjetore, si dhe në shënimin e numrave natyrorë, vlera e secilës shifër varet nga pozicioni i saj. Në të vërtetë, numri 3 në dhjetor 0.3 do të thotë tre të dhjetat, në dhjetor 0.0003 - tre të dhjetë të mijët, dhe në dhjetor 30,000.152 - tre dhjetëra mijëra. Kështu, ne mund të flasim për shifra në dhjetore, si dhe rreth shifrave në numra natyrorë.

Emrat e shifrave në thyesën dhjetore deri në pikën dhjetore përputhen plotësisht me emrat e shifrave në numra natyrorë. Dhe emrat e shifrave në thyesën dhjetore pas pikës dhjetore janë të dukshme nga tabela e mëposhtme.

Për shembull, në thyesën dhjetore 37.051, numri 3 është në vendin e dhjetësheve, 7 është në vendin e njësive, 0 është në vendin e dhjetë, 5 është në vendin e qindtë, 1 është në vendin e mijë.

Shifrat në thyesën dhjetore ndryshojnë edhe në vjetërsi. Nëse lëvizim nga shifra në shifër nga e majta në të djathtë në shënimin dhjetor, atëherë do të lëvizim nga i lartë te gradat e vogla. Për shembull, shifra e qindësheve është më e vjetër se shifra e dhjetave, dhe shifra e miliontëve është më e re se shifra e qindësheve. Në këtë thyesë dhjetore përfundimtare, mund të flasim për shifrat më domethënëse dhe më pak të rëndësishme. Për shembull, në dhjetor 604.9387 i moshuar (më i larti) shifra është shifra e qindra, dhe i vogël (më i ulëti)- vendi i dhjetëmijë.

Për thyesat dhjetore, bëhet zgjerimi në shifra. Është analoge me zgjerimin në shifra të numrave natyrorë. Për shembull, zgjerimi dhjetor i 45.6072 është: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . Dhe vetitë e mbledhjes nga zgjerimi i një thyese dhjetore në shifra ju lejojnë të shkoni në paraqitje të tjera të kësaj thyese dhjetore, për shembull, 45.6072=45+0.6072, ose 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , ose 45.6072=45+0.6072 .

Dhjetë fundore

Deri në këtë pikë, kemi folur vetëm për thyesat dhjetore, në regjistrin e të cilave ka një numër të kufizuar shifrash pas presjes dhjetore. Thyesat e tilla quhen thyesa dhjetore përfundimtare.

Përkufizimi.

Dhjetë fundore- Këto janë thyesa dhjetore, rekordet e të cilave përmbajnë një numër të kufizuar karakteresh (shifrash).

Këtu janë disa shembuj të dhjetoreve përfundimtare: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230 032.45.

Megjithatë, jo çdo thyesë e zakonshme mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore e fundme. Për shembull, thyesa 5/13 nuk mund të zëvendësohet me një thyesë të barabartë me një nga emëruesit 10, 100, ..., prandaj, nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare. Ne do të flasim më shumë për këtë në seksionin teorik të konvertimit të thyesave të zakonshme në thyesa dhjetore.

Dhjetrat e pafundme: thyesat periodike dhe thyesat jo periodike

Kur shkruani një thyesë dhjetore pas një presje dhjetore, mund të pranoni mundësinë e pranisë së demonëve. sasia përfundimtare shifra. Në këtë rast, do të vijmë në shqyrtimin e të ashtuquajturave thyesa dhjetore të pafundme.

Përkufizimi.

Dhjetore pa fund- Këto janë thyesa dhjetore, në regjistrin e të cilave ka një numër të pafund shifrash.

Është e qartë se ne nuk mund t'i shkruajmë plotësisht thyesat dhjetore të pafundme, prandaj, në regjistrimin e tyre ato janë të kufizuara vetëm në një numër të caktuar të fundëm të shifrave pas pikës dhjetore dhe vendosin një elipsë që tregon një sekuencë shifrash pafundësisht të vazhdueshme. Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore të pafundme: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Nëse shikoni me vëmendje dy thyesat e fundit dhjetore të pafundme, atëherë në thyesën 2.111111111 ... shihet qartë numri 1 që përsëritet pafundësisht, dhe në thyesën 69.74152152152 ..., duke filluar nga numri i tretë dhjetor, grupi përsëritës i numrave. 1, 5 dhe 2 janë qartë të dukshme. Thyesat dhjetore të tilla të pafundme quhen periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore periodike(ose thjesht thyesat periodike) janë thyesa dhjetore të pafundme, në regjistrin e të cilave, duke filluar nga një numër dhjetor i caktuar, një shifër ose grup shifrash, që quhet periudha e fraksionit.

Për shembull, periudha e thyesës periodike 2.111111111… është numri 1, dhe periudha e thyesës 69.74152152152… është një grup numrash si 152.

Për thyesat dhjetore periodike të pafundme, është miratuar një shënim i veçantë. Për shkurtësi, ne ramë dakord që të shkruajmë një herë periudhën, duke e vendosur në kllapa. Për shembull, thyesa periodike 2.111111111... shkruhet si 2,(1) dhe thyesa periodike 69.74152152152... shkruhet si 69.74(152).

Vlen të përmendet se për të njëjtën fraksion dhjetor periodik, mund të specifikoni periudha të ndryshme. Për shembull, dhjetori periodik 0,73333… mund të konsiderohet si një thyesë 0,7 (3) me një periudhë 3, si dhe një thyesë 0,7 (33) me një periudhë 33, dhe kështu me radhë 0,7 (333), 0,7 (3333 ), ... Mund ta shikoni edhe thyesën periodike 0.73333 ... si kjo: 0.733(3) , ose si kjo 0.73(333) etj. Këtu, për të shmangur paqartësitë dhe mospërputhjet, ne pranojmë të konsiderojmë si periudhën e një thyese dhjetore më të shkurtër nga të gjitha sekuencat e mundshme të përsëritjeve të shifrave, dhe duke filluar nga pozicioni më i afërt në pikën dhjetore. Kjo do të thotë, periudha e thyesës dhjetore 0,73333… do të konsiderohet një sekuencë me një shifër 3, dhe frekuenca fillon nga pozicioni i dytë pas pikës dhjetore, pra 0,73333…=0,7(3) . Një shembull tjetër: thyesa periodike 4.7412121212... ka një periudhë 12, periodiciteti fillon nga shifra e tretë pas presjes dhjetore, pra 4.7412121212…=4.74(12) .

Thyesat periodike dhjetore të pafundme fitohen duke konvertuar në thyesa dhjetore të thyesave të zakonshme, emëruesit e të cilëve përmbajnë faktorë të thjeshtë të ndryshëm nga 2 dhe 5.

Këtu vlen të përmenden thyesat periodike me një periudhë 9. Këtu janë shembuj të thyesave të tilla: 6.43 (9) , 27, (9) . Këto thyesa janë një tjetër shënim për thyesat periodike me periudhë 0, dhe është zakon që ato të zëvendësohen me thyesa periodike me periodë 0. Për ta bërë këtë, periudha 9 zëvendësohet me periodën 0, dhe vlera e shifrës tjetër më të lartë rritet me një. Për shembull, një thyesë me pikën 9 të formës 7.24(9) zëvendësohet nga një thyesë periodike me pikën 0 të formës 7.25(0) ose një thyesë dhjetore e barabartë përfundimtare prej 7.25. Një shembull tjetër: 4,(9)=5,(0)=5 . Barazia e një thyese me një periudhë 9 dhe e thyesës përkatëse me një periudhë 0 përcaktohet lehtësisht pasi të zëvendësohen këto thyesa dhjetore me thyesat e tyre të zakonshme të barabarta.

Së fundi, le t'i hedhim një vështrim më të afërt dhjetoreve të pafundme, të cilat nuk kanë një sekuencë shifrash pafundësisht të përsëritur. Ato quhen jo periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore jo të përsëritura(ose thjesht thyesat jo periodike) janë dhjetore të pafundme pa pikë.

Ndonjëherë thyesat jo periodike kanë një formë të ngjashme me atë të thyesave periodike, për shembull, 8.02002000200002 ... është një thyesë jo periodike. Në këto raste, duhet të jeni veçanërisht të kujdesshëm për të vënë re ndryshimin.

Vini re se thyesat jo periodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme, thyesat dhjetore joperiodike të pafundme përfaqësojnë numra irracionalë.

Veprimet me dhjetore

Një nga veprimet me dhjetore është krahasimi, dhe janë përcaktuar edhe katër aritmetikë bazë veprimet me dhjetore: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Shqyrtoni veçmas secilin nga veprimet me thyesa dhjetore.

Krahasimi dhjetor në thelb bazuar në krahasimin e thyesave të zakonshme që u korrespondojnë thyesave dhjetore të krahasuara. Sidoqoftë, konvertimi i thyesave dhjetore në ato të zakonshme është një operacion mjaft kohë, dhe fraksionet e pafundme jo periodike nuk mund të përfaqësohen si një fraksion i zakonshëm, kështu që është e përshtatshme të përdoret një krahasim bit i thyesave dhjetore. Krahasimi bit i numrave dhjetorë është i ngjashëm me krahasimin e numrave natyrorë. Për informacion më të detajuar, ju rekomandojmë që të studioni krahasimin e materialit të artikullit të thyesave dhjetore, rregullave, shembujve, zgjidhjeve.

Le të kalojmë në hapin tjetër - duke shumëzuar numrat dhjetorë. Shumëzimi i thyesave dhjetore përfundimtare kryhet në mënyrë të ngjashme me zbritjen e thyesave dhjetore, rregullave, shembujve, zgjidhjeve të shumëzimit me një kolonë numrash natyrorë. Në rastin e thyesave periodike, shumëzimi mund të reduktohet në shumëzimin e thyesave të zakonshme. Nga ana tjetër, shumëzimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike pas rrumbullakimit të tyre reduktohet në shumëzimin e thyesave dhjetore të fundme. Ne rekomandojmë studim të mëtejshëm të materialit të artikullit shumëzimi i thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Dhjetorët në rreze koordinative

Ekziston një korrespondencë një-për-një midis pikave dhe numrave dhjetorë.

Le të kuptojmë se si janë ndërtuar pikat në rrezen koordinative që i korrespondon një fraksioni dhjetor të caktuar.

Mund të zëvendësojmë thyesat dhjetore të fundme dhe thyesat dhjetore periodike të pafundme me thyesa të zakonshme të barabarta me to, dhe më pas të ndërtojmë thyesat e zakonshme përkatëse në rrezen e koordinatave. Për shembull, një thyesë dhjetore 1.4 korrespondon me një fraksion të zakonshëm 14/10, prandaj, pika me koordinatë 1.4 hiqet nga origjina në drejtim pozitiv me 14 segmente të barabarta me një të dhjetën e një segmenti të vetëm.

Thyesat dhjetore mund të shënohen në rrezen e koordinatave, duke u nisur nga zgjerimi i kësaj thyese dhjetore në shifra. Për shembull, le të themi se duhet të ndërtojmë një pikë me koordinatën 16.3007, pasi 16.3007=16+0.3+0.0007, pastaj në pikë e dhënë mund të arrihet duke vendosur në mënyrë sekuenciale 16 segmente njësi nga origjina, 3 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një të dhjetën e një segmenti njësi dhe 7 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një pjesë të dhjetëmijë të një segmenti njësi. .

Kjo metodë e ndërtimit të numrave dhjetorë në rrezen e koordinatave ju lejon të afroheni sa të doni me pikën që i korrespondon një fraksioni dhjetor të pafund.

Ndonjëherë është e mundur të vizatohet me saktësi një pikë që korrespondon me një dhjetor të pafund. Për shembull, , atëherë kjo thyesë dhjetore e pafundme 1.41421... i përgjigjet pikës së rrezes së koordinatave, e largët nga origjina për nga gjatësia e diagonales së një katrori me brinjë prej 1 segmenti njësi.

Procesi i kundërt i marrjes së një thyese dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në rrezen e koordinatave është i ashtuquajturi matja dhjetore e një segmenti. Le të shohim se si bëhet.

Le të jetë detyra jonë të arrijmë nga origjina në një pikë të caktuar në vijën koordinative (ose t'i afrohemi pafundësisht nëse është e pamundur të arrish në të). Me një matje dhjetore të një segmenti, ne mund të shtyjmë në mënyrë sekuenciale çdo numër segmentesh njësi nga origjina, pastaj segmentet gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e një segmenti të vetëm, pastaj segmentet gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të qindtën e një segmenti të vetëm, etj. . Duke shkruar numrin e segmenteve të vizatuara të secilës gjatësi, marrim thyesën dhjetore që i korrespondon një pike të caktuar në rrezen koordinative.

Për shembull, për të arritur në pikën M në figurën e mësipërme, duhet të lini mënjanë 1 segment njësi dhe 4 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me të dhjetën e njësisë. Kështu, pika M i përgjigjet thyesës dhjetore 1.4.

Është e qartë se pikat e rrezes së koordinatave, të cilat nuk mund të arrihen gjatë matjes dhjetore, korrespondojnë me fraksione dhjetore të pafundme.

Bibliografi.

• Matematika: studime. për 5 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është një thyesë dhjetore, cilat veçori dhe veti ka. Shkoni! 🙂

dhjetoreështë një rast i veçantë i thyesave të zakonshme (në të cilat emëruesi është shumëfish i 10-ës).

Përkufizimi

Dhjetorët janë thyesa, emërtuesit e të cilëve janë numra të përbërë nga një dhe një numër i caktuar zerosh pas tij. Kjo është, këto janë thyesa me një emërues 10, 100, 1000, etj. Përndryshe, një thyesë dhjetore mund të karakterizohet si një thyesë me emërues 10 ose një nga fuqitë e dhjetë.

Shembuj të thyesave:

, ,

Një thyesë dhjetore shkruhet ndryshe nga një thyesë e zakonshme. Veprimet me këto fraksione janë gjithashtu të ndryshme nga veprimet me ato të zakonshme. Rregullat për veprimet mbi to janë në një masë të madhe afër rregullave për operacionet në numra të plotë. Kjo, në veçanti, përcakton rëndësinë e tyre në zgjidhjen e problemeve praktike.

Paraqitja e një thyese në shënimin dhjetor

Nuk ka emërues në shënimin dhjetor, ai tregon numrin e numëruesit. AT pamje e përgjithshme Thyesa dhjetore shkruhet si më poshtë:

ku X është pjesa e plotë e thyesës, Y është pjesa e saj thyesore, "," është pika dhjetore.

Për paraqitjen e saktë të një thyese të zakonshme si dhjetore, kërkohet që ajo të jetë e saktë, domethënë me një pjesë të plotë të theksuar (nëse është e mundur) dhe një numërues që është më i vogël se emëruesi. Pastaj, në shënimin dhjetor, pjesa e plotë shkruhet para presjes dhjetore (X), dhe numëruesi i thyesës së zakonshme shkruhet pas presjes dhjetore (Y).

Nëse numëruesi paraqet një numër me një numër shifrash më të vogël se numri i zerove në emërues, atëherë në pjesën Y, numri i shifrave që mungojnë në shënimin dhjetor plotësohet me zero para shifrave të numëruesit.

Shembull:

Nëse thyesa e zakonshme është më e vogël se 1, d.m.th. nuk ka një pjesë të plotë, atëherë 0 shkruhet në formë dhjetore për X.

Në pjesën thyesore (Y), pas shifrës së fundit domethënëse (përveç zeros), mund të futet një numër arbitrar zerosh. Nuk ndikon në vlerën e fraksionit. Dhe anasjelltas: të gjitha zerat në fund të pjesës thyesore të thyesës dhjetore mund të hiqen.

Leximi i numrave dhjetorë

Pjesa X lexohet në rastin e përgjithshëm si më poshtë: "X numra të plotë".

Pjesa Y lexohet sipas numrit në emërues. Për emëruesin 10, duhet të lexoni: "Y të dhjetat", për emëruesin 100: "Y të qindtat", për emëruesin 1000: "Y të mijëtat" e kështu me radhë ... 😉

Një qasje tjetër ndaj leximit konsiderohet më e saktë, bazuar në numërimin e numrit të shifrave të pjesës thyesore. Për ta bërë këtë, duhet të kuptoni se shifrat e pjesshme janë të vendosura në një imazh pasqyre në lidhje me shifrat e pjesës së plotë të fraksionit.

Emrat për lexim të saktë janë dhënë në tabelë:

Bazuar në këtë, leximi duhet të bazohet në korrespondencën me emrin e kategorisë së shifrës së fundit të pjesës thyesore.

• 3.5 lexon "tre pika pesë"
• 0.016 lexohet si "pika zero gjashtëmbëdhjetë e mijëta"

Shndërrimi i një thyese të zakonshme arbitrare në një dhjetore

Nëse emëruesi i një thyese të zakonshme është 10 ose disa fuqi dhjetë, atëherë thyesa konvertohet siç përshkruhet më sipër. Në situata të tjera, nevojiten transformime shtesë.

Ka 2 mënyra për të përkthyer.

Mënyra e parë e përkthimit

Numëruesi dhe emëruesi duhet të shumëzohen me një numër të tillë të plotë që emëruesi të jetë 10 ose një nga fuqitë e dhjetë. Dhe pastaj thyesa përfaqësohet në shënim dhjetor.

Kjo metodë është e zbatueshme për thyesat, emëruesi i të cilave zbërthehet vetëm në 2 dhe 5. Pra, në shembullin e mëparshëm . Nëse ka faktorë të tjerë kryesorë në zgjerim (për shembull, ), atëherë do të duhet të drejtoheni në metodën e dytë.

Mënyra e dytë e përkthimit

Metoda e dytë është pjesëtimi i numëruesit me emëruesin në një kolonë ose në një kalkulator. Pjesa e plotë, nëse ka, nuk është e përfshirë në transformim.

Rregulli i ndarjes së gjatë që rezulton në një thyesë dhjetore përshkruhet më poshtë (shih Pjesëtimi i numrave dhjetorë).

Shndërroni dhjetorin në të zakonshëm

Për ta bërë këtë, pjesa e saj thyesore (në të djathtë të presjes) duhet të shkruhet si numërues, dhe rezultati i leximit të pjesës thyesore duhet të shkruhet si numri përkatës në emërues. Më tej, nëse është e mundur, duhet të zvogëloni fraksionin që rezulton.

Fund dhe dhjetor i pafund

Thyesa dhjetore quhet përfundimtare, pjesa thyesore e së cilës përbëhet nga një numër i kufizuar shifrash.

Të gjithë shembujt e mësipërm përmbajnë saktësisht thyesat dhjetore përfundimtare. Megjithatë, jo çdo thyesë e zakonshme mund të përfaqësohet si një dhjetore përfundimtare. Nëse metoda e parë e përkthimit për një thyesë të caktuar nuk është e zbatueshme dhe metoda e dytë tregon se ndarja nuk mund të kryhet, atëherë mund të merret vetëm një thyesë dhjetore e pafundme.

Është e pamundur të shkruhet një thyesë e pafundme në formën e saj të plotë. Në një formë jo të plotë, fraksione të tilla mund të përfaqësohen:

1. si rezultat i reduktimit në numrin e dëshiruar të numrave dhjetorë;
2. në formën e një thyese periodike.

Një thyesë quhet periodike, në të cilën, pas pikës dhjetore, mund të dallohet një sekuencë shifrash pafundësisht e përsëritur.

Thyesat e mbetura quhen jo periodike. Për thyesat jo periodike, lejohet vetëm metoda e parë e paraqitjes (rrumbullakimi).

Një shembull i një thyese periodike: 0.8888888 ... Këtu është një figurë e përsëritur 8, e cila, padyshim, do të përsëritet pafundësisht, pasi nuk ka arsye për të supozuar ndryshe. Ky numër quhet periudha e fraksionit.

Thyesat periodike janë të pastra dhe të përziera. Një thyesë dhjetore është e pastër, në të cilën periudha fillon menjëherë pas pikës dhjetore. Një thyesë e përzier ka 1 ose më shumë shifra përpara pikës dhjetore.

54.33333 ... - thyesë dhjetore e pastër periodike

2.5621212121 ... - thyesë e përzier periodike

Shembuj të shkrimit të numrave dhjetorë të pafund:

Shembulli i dytë tregon se si të formohet siç duhet një pikë në një fraksion periodik.

Shndërrimi i numrave dhjetorë periodikë në të zakonshëm

Për të kthyer një thyesë të pastër periodike në një periudhë të zakonshme, shkruajeni atë në numërues dhe shkruani në emërues një numër të përbërë nga nëntë në një sasi të barabartë me numrin e shifrave në periudhë.

Një dhjetore e përzier përsëritëse përkthehet si më poshtë:

1. ju duhet të formoni një numër që përbëhet nga numri pas pikës dhjetore para periudhës dhe perioda e parë;
2. nga numri që rezulton zbritni numrin pas presjes dhjetore para pikës. Rezultati do të jetë numëruesi i një thyese të zakonshme;
3. në emërues, duhet të futni një numër që përbëhet nga numri i nëntëve të barabartë me numrin e shifrave të periudhës, i ndjekur nga zero, numri i të cilave është i barabartë me numrin e shifrave të numrit pas presjes dhjetore para Periudha e 1.

Krahasimi dhjetor

Thyesat dhjetore krahasohen fillimisht me pjesët e tyre të tëra. Sa më e madhe është thyesa që ka pjesën e plotë më të madhe.

Nëse pjesët e plota janë të njëjta, atëherë krahasohen shifrat e shifrave përkatëse të pjesës thyesore, duke filluar nga e para (nga të dhjetat). I njëjti parim vlen edhe këtu: më i madhi i thyesave, i cili ka një rang më të madh prej të dhjetave; nëse shifrat e të dhjetave janë të barabarta, krahasohen shifrat e të qindtave, e kështu me radhë.

Sepse

, pasi me pjesë të plota të barabarta dhe të dhjeta të barabarta në pjesën thyesore, thyesa e dytë ka më shumë të qindtat.

Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë

Dhjetorët mblidhen dhe zbriten në të njëjtën mënyrë si numrat e plotë, duke shkruar shifrat përkatëse njëra nën tjetrën. Për ta bërë këtë, duhet të keni pika dhjetore nën njëra-tjetrën. Atëherë do të përputhen njësitë (dhjetëshet etj.) të pjesës së plotë, si dhe të dhjetat (të qindtat etj.) të pjesës thyesore. Shifrat që mungojnë të pjesës thyesore plotësohen me zero. Direkt Procesi i mbledhjes dhe zbritjes kryhet në të njëjtën mënyrë si për numrat e plotë.

Shumëzimi dhjetor

Për të shumëzuar thyesat dhjetore, duhet t'i shkruani ato njëra nën tjetrën, të rreshtuara me shifrën e fundit dhe duke mos i kushtuar vëmendje vendndodhjes së pikave dhjetore. Pastaj ju duhet të shumëzoni numrat në të njëjtën mënyrë si kur shumëzoni numra të plotë. Pas marrjes së rezultatit, duhet të rillogaritni numrin e shifrave pas pikës dhjetore në të dy fraksionet dhe të ndani numrin e përgjithshëm të shifrave thyesore në numrin që rezulton me një presje. Nëse nuk ka shifra të mjaftueshme, ato zëvendësohen me zero.

Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave dhjetorë me 10 n

Këto veprime janë të thjeshta dhe vijnë në lëvizjen e presjes dhjetore. P Kur shumëzohet, presja zhvendoset në të djathtë (fraksioni rritet) me numrin e shifrave të barabartë me numrin e zerove në 10 n, ku n është një fuqi e plotë arbitrare. Kjo do të thotë, një numër i caktuar shifrash transferohen nga pjesa e pjesshme në numrin e plotë. Me rastin e ndarjes, respektivisht, presja transferohet në të majtë (numri zvogëlohet), dhe disa nga shifrat transferohen nga pjesa e plotë në pjesën e pjesshme. Nëse nuk ka shifra të mjaftueshme për të transferuar, atëherë shifrat që mungojnë plotësohen me zero.

Pjesëtimi i një dhjetori dhe një numri të plotë me një numër të plotë dhe një dhjetor

Pjesëtimi i një dhjetori me një numër të plotë është njësoj si pjesëtimi i dy numrave të plotë. Për më tepër, duhet të merret parasysh vetëm pozicioni i pikës dhjetore: kur prishni shifrën e shifrës së ndjekur nga një presje, është e nevojshme të vendosni një presje pas shifrës aktuale të përgjigjes së gjeneruar. Pastaj ju duhet të vazhdoni të ndani derisa të merrni zero. Nëse nuk ka shenja të mjaftueshme në divident për ndarje të plotë, zero duhet të përdoren si to.

Në mënyrë të ngjashme, 2 numra të plotë ndahen në një kolonë nëse të gjitha shifrat e dividentit janë prishur dhe ndarja e plotë nuk është përfunduar ende. Në këtë rast, pas prishjes së shifrës së fundit të dividentit, në përgjigjen që rezulton vendoset një pikë dhjetore dhe si shifra të prishura përdoren zerat. Ato. dividenti këtu, në fakt, paraqitet si një thyesë dhjetore me një pjesë thyesore zero.

Për të pjesëtuar një thyesë dhjetore (ose një numër të plotë) me një numër dhjetor, është e nevojshme të shumëzoni dividentin dhe pjesëtuesin me numrin 10 n, në të cilin numri i zeros është i barabartë me numrin e shifrave pas pikës dhjetore në pjesëtues. Në këtë mënyrë, ata heqin qafe pikën dhjetore në thyesën me të cilën dëshironi të ndani. Më tej, procesi i ndarjes është i njëjtë me atë të përshkruar më sipër.

Paraqitja grafike e numrave dhjetorë

Grafikisht, thyesat dhjetore paraqiten me anë të një vije koordinative. Për këtë, segmentet e vetme ndahen gjithashtu në 10 pjesë të barabarta, ashtu si centimetra dhe milimetra depozitohen në një sundimtar në të njëjtën kohë. Kjo siguron që numrat dhjetorë të shfaqen me saktësi dhe mund të krahasohen në mënyrë objektive.

Në mënyrë që ndarjet gjatësore në segmente të vetme të jenë të njëjta, duhet të merret parasysh me kujdes gjatësia e vetë segmentit të vetëm. Duhet të jetë e tillë që të sigurohet komoditeti i ndarjes shtesë.

Ne do t'ia kushtojmë këtë material një teme kaq të rëndësishme si thyesat dhjetore. Së pari, le të përcaktojmë përkufizimet bazë, të japim shembuj dhe të ndalemi te rregullat e shënimit dhjetor, si dhe të cilat janë shifrat e thyesave dhjetore. Më tej, ne veçojmë llojet kryesore: thyesat e fundme dhe të pafundme, periodike dhe jo periodike. Në pjesën e fundit, ne do të tregojmë se si pikat që u korrespondojnë numrave thyesorë janë të vendosura në boshtin koordinativ.

Çfarë është shënimi dhjetor për numrat thyesorë

I ashtuquajturi shënim dhjetor për numrat thyesorë mund të përdoret si për numrat natyrorë ashtu edhe për ata thyesorë. Duket si një grup prej dy ose më shumë numrash me një presje midis tyre.

Pika dhjetore përdoret për të ndarë pjesën e plotë nga pjesa thyesore. Si rregull, shifra e fundit e një dhjetore nuk është kurrë zero, përveç nëse pika dhjetore është menjëherë pas zeros së parë.

Cilët janë disa shembuj të numrave thyesorë në shënimet dhjetore? Mund të jetë 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etj.

Në disa tekste mund të gjeni përdorimin e pikës në vend të presjes (5. 67, 6789. 1011, etj.) Ky opsion konsiderohet ekuivalent, por është më tipik për burimet në gjuhën angleze.

Përkufizimi i numrave dhjetorë

Bazuar në konceptin e mësipërm të shënimit dhjetor, ne mund të formulojmë përkufizimin e mëposhtëm të thyesave dhjetore:

Përkufizimi 1

Dhjetorët janë numra thyesorë në shënimet dhjetore.

Pse duhet të shkruajmë thyesat në këtë formë? Ai na jep disa avantazhe ndaj atyre të zakonshëm, për shembull, një shënim më kompakt, veçanërisht në rastet kur emëruesi është 1000, 100, 10, etj. ose një numër i përzier. Për shembull, në vend të 6 10 mund të specifikojmë 0 , 6 , në vend të 25 10000 - 0 , 0023 , në vend të 512 3 100 - 512 , 03 .

Si të paraqiten saktë thyesat e zakonshme me dhjetëra, qindra, mijëra në emërues në formë dhjetore do të përshkruhet në një material të veçantë.

Si të lexoni saktë numrat dhjetorë

Ekzistojnë disa rregulla për leximin e shënimeve të numrave dhjetorë. Pra, ato thyesa dhjetore që u përgjigjen ekuivalentëve të tyre të zakonshëm të saktë lexohen pothuajse njësoj, por me shtimin e fjalëve "zero të dhjetat" në fillim. Pra, hyrja 0 , 14 , e cila korrespondon me 14 100 , lexohet si "pika zero e katërmbëdhjetë të qindtat."

Nëse një thyesë dhjetore mund të shoqërohet me një numër të përzier, atëherë ai lexohet në të njëjtën mënyrë si ky numër. Pra, nëse kemi një fraksion 56, 002, që korrespondon me 56 2 1000, ne lexojmë një hyrje të tillë si "pesëdhjetë e gjashtë pikë dy mijëshe".

Vlera e një shifre në një shënim dhjetor varet nga vendi ku ndodhet (ashtu si në rastin e numrave natyrorë). Pra, në thyesën dhjetore 0, 7, shtatë është e dhjeta, në 0, 0007 është dhjetë mijëshe dhe në thyesë 70,000, 345 do të thotë shtatë dhjetëra mijëra njësi të tëra. Kështu, në thyesat dhjetore ekziston edhe koncepti i një shifre numri.

Emrat e shifrave të vendosura përpara presjes janë të ngjashëm me ato që ekzistojnë në numrat natyrorë. Emrat e atyre që ndodhen më pas janë paraqitur qartë në tabelë:

Le të marrim një shembull.

Shembulli 1

Ne kemi dhjetore 43, 098. Ajo ka katër në vendin e dhjetësheve, një tre në vendin e njësive, zero në vendin e dhjetë, 9 në vendin e qindtë dhe 8 në vendin e mijë.

Është zakon të dallohen shifrat e thyesave dhjetore sipas vjetërsisë. Nëse kalojmë nëpër numra nga e majta në të djathtë, atëherë do të kalojmë nga shifrat e larta në ato të ulëta. Rezulton se qindra janë më të vjetër se dhjetëshet, dhe të miliontat janë më të rinj se të qindtat. Nëse marrim atë thyesë dhjetore përfundimtare, të cilën e përmendëm si shembull më lart, atëherë në të, më e larta, ose më e larta, do të jetë shifra e qindësheve, dhe më e ulëta, ose më e ulëta, do të jetë shifra e 10 mijëshave.

Çdo thyesë dhjetore mund të zbërthehet në shifra të veçanta, domethënë të përfaqësohet si një shumë. Ky veprim kryhet në të njëjtën mënyrë si për numrat natyrorë.

Shembulli 2

Le të përpiqemi të zgjerojmë thyesën 56, 0455 në shifra.

Ne do të jemi në gjendje të:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Nëse kujtojmë vetitë e mbledhjes, mund ta paraqesim këtë thyesë në forma të tjera, për shembull, si shuma 56 + 0, 0455, ose 56, 0055 + 0, 4, etj.

Cilat janë numrat dhjetorë pasardhës

Të gjitha thyesat për të cilat folëm më sipër janë dhjetore pasuese. Kjo do të thotë se numri i shifrave pas presjes dhjetore është i fundëm. Le të marrim përkufizimin:

Përkufizimi 1

Dhjetorët pasues janë një lloj dhjetori që ka një numër të fundëm shifrash pas presjes.

Shembuj të fraksioneve të tilla mund të jenë 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, etj.

Secila prej këtyre thyesave mund të shndërrohet ose në një numër të përzier (nëse vlera e pjesës së tyre thyesore është e ndryshme nga zero), ose në një fraksion të zakonshëm (nëse pjesa e plotë është zero). Ne i kemi kushtuar një material të veçantë se si bëhet kjo. Le të theksojmë vetëm disa shembuj këtu: për shembull, ne mund ta sjellim thyesën dhjetore përfundimtare 5 , 63 në formën 5 63 100 , dhe 0 , 2 korrespondon me 2 10 (ose ndonjë fraksion tjetër të barabartë me të, për shembull, 4 20 ose 1 5 .)

Por procesi i kundërt, d.m.th. shkrimi i një thyese të zakonshme në formë dhjetore mund të mos kryhet gjithmonë. Pra, 5 13 nuk mund të zëvendësohet me një thyesë të barabartë me një emërues 100, 10, etj., që do të thotë se thyesa dhjetore përfundimtare nuk do të funksionojë prej saj.

Llojet kryesore të thyesave dhjetore të pafundme: thyesat periodike dhe jo periodike

Më sipër theksuam se thyesat e fundme quhen kështu sepse kanë një numër të kufizuar shifrash pas presjes dhjetore. Sidoqoftë, mund të jetë e pafundme, në këtë rast edhe vetë thyesat do të quhen të pafundme.

Përkufizimi 2

Dhjetore të pafundme janë ato që kanë një numër të pafund shifrash pas presjes dhjetore.

Natyrisht, numra të tillë thjesht nuk mund të shkruhen plotësisht, kështu që ne tregojmë vetëm një pjesë të tyre dhe më pas vendosim elipsë. Kjo shenjë tregon një vazhdimësi të pafundme të sekuencës së numrave dhjetorë. Shembuj të numrave dhjetorë të pafund do të ishin 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 66666666666 ..., 69, 74876815 ... etj.

Në "bishtin" e një fraksioni të tillë, mund të ketë jo vetëm sekuenca në dukje të rastësishme numrash, por një përsëritje e vazhdueshme e të njëjtit karakter ose grup karakteresh. Thyesat me alternim pas presjes dhjetore quhen periodike.

Përkufizimi 3

Thyesat dhjetore periodike janë thyesa dhjetore të tilla të pafundme në të cilat një shifër ose një grup prej disa shifrash përsëritet pas presjes dhjetore. Pjesa që përsëritet quhet perioda e thyesës.

Për shembull, për thyesën 3, 444444 ... . periudha do të jetë numri 4, dhe për 76, 134134134134 ... - grupi 134.

Cili është numri minimal i karaktereve të lejuara në një fraksion periodik? Për thyesat periodike, do të jetë e mjaftueshme të shkruhet e gjithë periudha një herë në kllapa. Pra, thyesa është 3, 444444 ... . do të jetë e saktë të shkruhet si 3, (4) , dhe 76, 134134134134 ... - si 76, (134) .

Në përgjithësi, hyrjet me periudha të shumta në kllapa do të kenë saktësisht të njëjtin kuptim: për shembull, fraksioni periodik 0.677777 është i njëjtë me 0.6 (7) dhe 0.6 (77), etj. Regjistrimet si 0 , 67777 (7), 0 , 67 (7777) dhe të tjera janë gjithashtu të lejuara.

Për të shmangur gabimet, ne prezantojmë uniformitetin e shënimit. Le të biem dakord të shkruajmë vetëm një pikë (sekuenca më e shkurtër e mundshme e shifrave), e cila është më afër presjes dhjetore dhe ta vendosim në kllapa.

Kjo do të thotë, për thyesën e mësipërme, ne do të konsiderojmë hyrjen 0, 6 (7) si kryesore, dhe, për shembull, në rastin e fraksionit 8, 9134343434, do të shkruajmë 8, 91 (34) .

Nëse emëruesi i një fraksioni të zakonshëm përmban faktorë të thjeshtë që nuk janë të barabartë me 5 dhe 2, atëherë kur shndërrohen në shënim dhjetor, ata do të rezultojnë të jenë thyesa të pafundme.

Në parim, ne mund të shkruajmë çdo thyesë të fundme si periodike. Për ta bërë këtë, thjesht duhet të shtojmë një numër të pafund zerosh në të djathtë. Si duket në procesverbal? Le të themi se kemi një thyesë përfundimtare 45, 32. Në formë periodike, do të duket si 45 , 32 (0) . Ky veprim është i mundur sepse duke shtuar zero në të djathtë të çdo thyese dhjetore na jep një thyesë të barabartë me të si rezultat.

Më vete, duhet të ndalemi në thyesat periodike me një periudhë 9, për shembull, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ato janë një shënim alternativ për thyesat e ngjashme me periodë 0, kështu që shpesh zëvendësohen kur shkruhet me thyesa me periodë zero. Në të njëjtën kohë, një i shtohet vlerës së shifrës tjetër dhe (0) tregohet në kllapa. Barazia e numrave që rezultojnë është e lehtë të kontrollohet duke i paraqitur ato si thyesa të zakonshme.

Për shembull, fraksioni 8, 31 (9) mund të zëvendësohet nga fraksioni përkatës 8, 32 (0) . Ose 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

I referohen thyesave periodike dhjetore të pafundme numrat racionalë. Me fjalë të tjera, çdo thyesë periodike mund të përfaqësohet si një fraksion i zakonshëm, dhe anasjelltas.

Ka edhe thyesa në të cilat nuk ka një sekuencë pafundësisht të përsëritur pas presjes dhjetore. Në këtë rast, ato quhen thyesa jo periodike.

Përkufizimi 4

Thyesat dhjetore jo periodike përfshijnë ato thyesa dhjetore të pafundme që nuk përmbajnë një pikë pas presjes dhjetore, d.m.th. duke përsëritur grupin e numrave.

Ndonjëherë thyesat jo periodike duken shumë të ngjashme me ato periodike. Për shembull, 9 , 03003000300003 ... në shikim të parë duket se ka një periudhë, por një analizë e detajuar e numrave dhjetorë konfirmon se kjo është ende një fraksion jo periodik. Duhet të jeni shumë të kujdesshëm me numra të tillë.

Thyesat jo periodike janë numrat irracionalë. Ato nuk shndërrohen në fraksione të zakonshme.

Veprimet bazë me dhjetore

Me thyesa dhjetore mund të kryhen veprimet e mëposhtme: krahasimi, zbritja, mbledhja, pjesëtimi dhe shumëzimi. Le të analizojmë secilën prej tyre veç e veç.

Krahasimi i numrave dhjetorë mund të reduktohet në krahasimin e thyesave të zakonshme që korrespondojnë me dhjetoret origjinale. Por thyesat e pafundme jo periodike nuk mund të reduktohen në këtë formë, dhe shndërrimi i thyesave dhjetore në ato të zakonshme është shpesh një detyrë e mundimshme. Si të kryejmë shpejt një veprim krahasimi nëse duhet ta bëjmë atë gjatë zgjidhjes së problemit? Është e përshtatshme për të krahasuar thyesat dhjetore me shifra në të njëjtën mënyrë siç krahasojmë numrat natyrorë. Ne do t'i kushtojmë një artikull të veçantë kësaj metode.

Për të shtuar një thyesë dhjetore në një tjetër, është e përshtatshme të përdoret metoda e mbledhjes së kolonës, si për numrat natyrorë. Për të shtuar thyesa dhjetore periodike, së pari duhet t'i zëvendësoni me ato të zakonshme dhe të numëroni sipas skemës standarde. Nëse, sipas kushteve të problemit, duhet të mbledhim thyesa të pafundme jo periodike, atëherë fillimisht duhet t'i rrumbullakojmë ato në një shifër të caktuar dhe pastaj t'i mbledhim. Sa më e vogël të jetë shifra në të cilën rrumbullakojmë, aq më e lartë do të jetë saktësia e llogaritjes. Për zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave të pafundme, është gjithashtu i nevojshëm rrumbullakimi paraprak.

Gjetja e ndryshimit të thyesave dhjetore është e kundërta e mbledhjes. Në fakt, me ndihmën e zbritjes, mund të gjejmë një numër, shuma e të cilit me thyesën e zbritur do të na japë atë të reduktuar. Ne do të flasim për këtë në mënyrë më të detajuar në një artikull të veçantë.

Shumëzimi i thyesave dhjetore bëhet në të njëjtën mënyrë si për numrat natyrorë. Metoda e llogaritjes nga një kolonë është gjithashtu e përshtatshme për këtë. Ne përsëri e zvogëlojmë këtë veprim me thyesat periodike në shumëzimin e thyesave të zakonshme sipas rregullave të studiuara tashmë. Thyesat e pafundme, siç kujtojmë, duhet të rrumbullakosen përpara se të numërohen.

Procesi i pjesëtimit të numrave dhjetorë është e kundërta e procesit të shumëzimit. Kur zgjidhim probleme, ne përdorim edhe numërimin e kolonave.

Ju mund të vendosni një korrespondencë të saktë midis dhjetorit fundor dhe një pike në boshtin koordinativ. Le të kuptojmë se si të shënojmë një pikë në bosht që do të korrespondojë saktësisht me fraksionin dhjetor të kërkuar.

Ne kemi studiuar tashmë se si të ndërtojmë pikat që korrespondojnë me thyesat e zakonshme, dhe thyesat dhjetore mund të reduktohen në këtë formë. Për shembull, një fraksion i zakonshëm 14 10 është i njëjtë me 1, 4, kështu që pika që i korrespondon do të hiqet nga origjina në drejtim pozitiv me saktësisht të njëjtën distancë:

Mund të bëni pa zëvendësuar thyesën dhjetore me një të zakonshme dhe të merrni metodën e zgjerimit të shifrave si bazë. Pra, nëse duhet të shënojmë një pikë, koordinata e së cilës do të jetë e barabartë me 15 , 4008 , atëherë fillimisht do ta paraqesim këtë numër si një shumë 15 + 0 , 4 + , 0008 . Për të filluar, ne lëmë mënjanë 15 segmente të njësive të plota në drejtim pozitiv nga origjina, pastaj 4 të dhjetat e një segmenti dhe më pas 8 të dhjetë të mijëtat e një segmenti. Si rezultat, do të marrim një pikë koordinative, e cila korrespondon me fraksionin 15, 4008.

Për një fraksion dhjetor të pafund, është më mirë të përdorni këtë metodë të veçantë, pasi ju lejon t'i afroheni pikës së dëshiruar sa më afër që dëshironi. Në disa raste, është e mundur të ndërtohet një korrespondencë e saktë e një fraksioni të pafund në boshtin koordinativ: për shembull, 2 = 1, 41421. . . , dhe kjo fraksion mund të shoqërohet me një pikë në rreze koordinative, e larguar nga 0 për nga gjatësia e diagonales së katrorit, brinja e së cilës do të jetë e barabartë me një segment njësi.

Nëse nuk gjejmë një pikë në bosht, por një thyesë dhjetore që i përgjigjet, atëherë ky veprim quhet matje dhjetore e segmentit. Le të shohim se si ta bëjmë atë siç duhet.

Supozoni se duhet të arrijmë nga zero në një pikë të caktuar në boshtin koordinativ (ose të afrohemi sa më shumë që të jetë e mundur në rastin e një fraksioni të pafund). Për ta bërë këtë, gradualisht i lëmë mënjanë segmentet e njësive nga origjina e koordinatave derisa të arrijmë në pikën e dëshiruar. Pas segmenteve të tëra, nëse është e nevojshme, masim të dhjetat, të qindtat dhe pjesët më të vogla në mënyrë që korrespondenca të jetë sa më e saktë. Si rezultat, ne morëm një fraksion dhjetor, i cili korrespondon me pikë e dhënë në boshtin koordinativ.

Më sipër kemi dhënë një foto me një pikë M. Shikoni përsëri: për të arritur në këtë pikë, duhet të matni një segment njësi nga zero dhe katër të dhjetat e tij, pasi kjo pikë korrespondon me fraksionin dhjetor 1, 4.

Nëse nuk mund të godasim një pikë në procesin e matjes dhjetore, atëherë do të thotë se një fraksion dhjetor i pafundëm korrespondon me të.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Mbani mend se si në mësimin e parë për thyesat dhjetore, thashë se ka thyesa numerike që nuk mund të përfaqësohen si dhjetore (shihni mësimin " Thyesa dhjetore")? Mësuam gjithashtu se si të faktorizojmë emëruesit e thyesave për të kontrolluar nëse ka ndonjë numër tjetër përveç 2 dhe 5.

Pra: gënjeva. Dhe sot do të mësojmë se si të përkthejmë absolutisht çdo fraksion numerik në një dhjetore. Në të njëjtën kohë, do të njihemi me një klasë të tërë thyesash me një pjesë domethënëse të pafundme.

Një dhjetore e përsëritur është çdo dhjetore që ka:

1. Pjesa domethënëse përbëhet nga një numër i pafund shifrash;
2. Në intervale të caktuara, numrat në pjesën domethënëse përsëriten.

Bashkësia e shifrave të përsëritura që përbëjnë pjesën domethënëse quhet pjesa periodike e thyesës dhe numri i shifrave në këtë grup është perioda e thyesës. Segmenti i mbetur i pjesës domethënëse, i cili nuk përsëritet, quhet pjesa jo periodike.

Meqenëse ka shumë përkufizime, ia vlen të merren parasysh në detaje disa nga këto fraksione:

Ky fraksion shfaqet më shpesh në probleme. Pjesa jo periodike: 0; pjesa periodike: 3; kohëzgjatja e periudhës: 1.

Pjesa jo periodike: 0,58; pjesa periodike: 3; kohëzgjatja e periudhës: përsëri 1.

Pjesa jo periodike: 1; pjesa periodike: 54; kohëzgjatja e periudhës: 2.

Pjesa jo periodike: 0; pjesa periodike: 641025; kohëzgjatja e periudhës: 6. Për lehtësi, pjesët përsëritëse ndahen nga njëra-tjetra me një hapësirë ​​- në këtë zgjidhje nuk është e nevojshme të bëhet kjo.

Pjesa jo periodike: 3066; pjesa periodike: 6; kohëzgjatja e periudhës: 1.

Siç mund ta shihni, përkufizimi i një fraksioni periodik bazohet në koncept pjesë e rëndësishme e një numri. Prandaj, nëse keni harruar se çfarë është, unë rekomandoj ta përsërisni - shihni mësimin "".

Kalimi në dhjetor periodik

Konsideroni një fraksion të zakonshëm të formës a/b. Le ta zbërthejmë emëruesin e tij në faktorë të thjeshtë. Ka dy opsione:

1. Në zgjerim janë të pranishëm vetëm faktorët 2 dhe 5. Këto thyesa reduktohen lehtësisht në dhjetore - shikoni mësimin " Thyesa dhjetore". Ne nuk jemi të interesuar për të tilla;
2. Në zgjerim ka edhe diçka tjetër përveç 2 dhe 5. Në këtë rast, thyesa nuk mund të paraqitet si dhjetore, por mund të bëhet dhjetore periodike.

Për të vendosur një thyesë dhjetore periodike, duhet të gjeni pjesën e saj periodike dhe jo periodike. Si? Shndërroni thyesën në një të pahijshme dhe më pas ndani numëruesin me emëruesin me një "qoshe".

Duke vepruar kështu, do të ndodhë sa vijon:

1. Ndani së pari pjesë e tërë nëse ekziston;
2. Mund të ketë disa numra pas presjes dhjetore;
3. Pas një kohe numrat do të fillojnë përsëritni.

Kjo eshte e gjitha! Shifrat e përsëritura pas pikës dhjetore shënohen me pjesën periodike, dhe ajo që është përpara - jo periodike.

Një detyrë. Shndërroni thyesat e zakonshme në dhjetore periodike:

Të gjitha thyesat pa një pjesë të plotë, kështu që ne thjesht e ndajmë numëruesin me emëruesin me një "qoshe":

Siç mund ta shihni, mbetjet përsëriten. Le ta shkruajmë thyesën në formën "e saktë": 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultati është një fraksion: 0,5833 ... = 0,58 (3).

Shkruajmë në formë normale: 4.0909 ... = 4, (09).

Marrim një fraksion: 0,4141 ... = 0, (41).

Kalimi nga dhjetore periodike në të zakonshme

Konsideroni një dhjetor periodik X = abc (a 1 b 1 c 1). Kërkohet transferimi i tij në "dykatëshin" klasik. Për ta bërë këtë, ndiqni katër hapa të thjeshtë:

1. Gjeni periodën e thyesës, d.m.th. numëroni sa shifra ka në pjesën periodike. Le të jetë numri k;
2. Gjeni vlerën e shprehjes X · 10 k . Kjo është e barabartë me zhvendosjen e pikës dhjetore të një periudhe të plotë në të djathtë - shihni mësimin " Shumëzimi dhe ndarja e thyesave dhjetore";
3. Zbrisni shprehjen origjinale nga numri që rezulton. Në këtë rast, pjesa periodike "digjet" dhe mbetet thyesë e zakonshme;
4. Gjeni X në ekuacionin që rezulton. Të gjitha thyesat dhjetore shndërrohen në të zakonshme.

Një detyrë. Shndërroni në një thyesë të zakonshme të pasaktë të një numri:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Duke punuar me thyesën e parë: X = 9,(6) = 9,666 ...

Kllapat përmbajnë vetëm një shifër, pra perioda k = 1. Më pas, e shumëzojmë këtë thyesë me 10 k = 10 1 = 10. Kemi:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Zbrisni thyesën origjinale dhe zgjidhni ekuacionin:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Tani le të merremi me thyesën e dytë. Pra, X = 32, (39) = 32,393939 ...

Periudha k = 2, kështu që ne shumëzojmë gjithçka me 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Zbrisni përsëri thyesën origjinale dhe zgjidhni ekuacionin:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Le të arrijmë te thyesa e tretë: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Skema është e njëjtë, kështu që unë do të jap vetëm llogaritjet:

Periudha k = 1 ⇒ shumëzo çdo gjë me 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Së fundi, thyesa e fundit: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Përsëri, për lehtësi, pjesët periodike ndahen nga njëra-tjetra me hapësira. Ne kemi:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Tashmë në Shkolla fillore nxënësit kanë të bëjnë me thyesat. Dhe pastaj shfaqen në çdo temë. Është e pamundur të harrosh veprimet me këto numra. Prandaj, duhet të dini të gjitha informacionet për thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Këto koncepte janë të thjeshta, gjëja kryesore është të kuptoni gjithçka në rregull.

Pse nevojiten thyesat?

Bota rreth nesh përbëhet nga objekte të tëra. Prandaj, nuk ka nevojë për aksione. Por jeta e përditshme vazhdimisht i shtyn njerëzit të punojnë me pjesë të sendeve dhe sendeve.

Për shembull, çokollata përbëhet nga disa feta. Merrni parasysh situatën kur pllaka e saj formohet nga dymbëdhjetë drejtkëndësha. Nëse e ndani në dysh, merrni 6 pjesë. Do të ndahet mirë në tre. Por të pestët nuk do të jenë në gjendje të japin një numër të plotë fetash çokollatë.

Nga rruga, këto feta janë tashmë fraksione. Dhe ndarja e tyre e mëtejshme çon në shfaqjen e numrave më kompleksë.

Çfarë është një "fraksion"?

Ky është një numër i përbërë nga pjesë të një. Nga pamja e jashtme, duket si dy numra të ndarë nga një horizontale ose e pjerrët. Kjo veçori quhet fraksionale. Numri i shkruar në krye (majtas) quhet numërues. Ai në fund (djathtas) është emëruesi.

Në fakt, shiriti thyesor rezulton të jetë një shenjë ndarjeje. Kjo do të thotë, numëruesi mund të quhet dividend, dhe emëruesi mund të quhet pjesëtues.

Cilat janë thyesat?

Në matematikë, ekzistojnë vetëm dy lloje të tyre: thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Nxënësit e shkollës njihen me të parët në klasat fillore, duke i quajtur thjesht "fraksione". E dyta mësohet në klasën e 5-të. Pikërisht atëherë shfaqen këta emra.

Thyesat e zakonshme janë të gjitha ato që shkruhen si dy numra të ndarë me një shirit. Për shembull, 4/7. Dhjetor është një numër në të cilin pjesa thyesore ka një shënim pozicionor dhe ndahet nga numri i plotë me presje. Për shembull, 4.7. Nxënësit duhet ta kenë të qartë se dy shembujt e dhënë janë numra krejtësisht të ndryshëm.

Çdo thyesë e thjeshtë mund të shkruhet si dhjetore. Kjo deklaratë është pothuajse gjithmonë e vërtetë në drejtim i kundërt. Ka rregulla që ju lejojnë të shkruani një thyesë dhjetore si një thyesë e zakonshme.

Çfarë nënllojesh kanë këto lloj fraksionesh?

Është më mirë të fillohet sipas rendit kronologjik, pasi ato janë duke u studiuar. Thyesat e zakonshme janë të parat. Midis tyre, mund të dallohen 5 nënspecie.

E sakte. Numëruesi i tij është gjithmonë më i vogël se emëruesi.

E gabuar. Numëruesi i tij është më i madh ose i barabartë me emëruesin.

E reduktueshme / e pareduktueshme. Mund të jetë ose e drejtë ose e gabuar. Një gjë tjetër është e rëndësishme, nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët. Nëse ka, atëherë ata supozohet të ndajnë të dy pjesët e fraksionit, domethënë ta zvogëlojnë atë.

Të përziera. Një numër i plotë i caktohet pjesës së tij të zakonshme të saktë (të pasaktë) thyesore. Dhe gjithmonë qëndron në të majtë.

Kompozit. Formohet nga dy fraksione të ndara në njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ai ka tre veçori të pjesshme në të njëjtën kohë.

Dhjetorët kanë vetëm dy nëngrupe:

fundore, pra ajo në të cilën pjesa thyesore është e kufizuar (ka fund);

i pafund - një numër, shifrat e të cilit pas presjes dhjetore nuk mbarojnë (ato mund të shkruhen pafundësisht).

Si të konvertohet dhjetori në të zakonshëm?

Nëse ky është një numër i fundëm, atëherë zbatohet një lidhje e bazuar në rregull - siç dëgjoj, kështu shkruaj. Kjo do të thotë, duhet ta lexoni saktë dhe ta shkruani, por pa presje, por me një rresht të pjesshëm.

Si një sugjerim për emëruesin e kërkuar, mbani mend se ai është gjithmonë një dhe disa zero. Këto të fundit duhet të shkruhen aq sa shifrat në pjesën thyesore të numrit në fjalë.

Si të shndërroni thyesat dhjetore në ato të zakonshme nëse mungon e gjithë pjesa e tyre, domethënë e barabartë me zero? Për shembull, 0.9 ose 0.05. Pas aplikimit të rregullit të specifikuar, rezulton se ju duhet të shkruani zero numra të plotë. Por nuk tregohet. Mbetet të shënohen vetëm pjesët e pjesshme. Për numrin e parë, emëruesi do të jetë 10, për të dytin - 100. Kjo do të thotë, shembujt e treguar do të kenë numra si përgjigje: 9/10, 5/100. Për më tepër, kjo e fundit rezulton të jetë e mundur të zvogëlohet me 5. Prandaj, rezultati për të duhet të shkruhet 1/20.

Si të bëni një thyesë të zakonshme nga një dhjetor nëse pjesa e saj e plotë është e ndryshme nga zero? Për shembull, 5.23 ose 13.00108. Të dy shembujt lexojnë pjesën e plotë dhe shkruajnë vlerën e saj. Në rastin e parë, kjo është 5, në të dytën, 13. Pastaj duhet të kaloni në pjesën e pjesshme. Me ta është e nevojshme të kryhet i njëjti operacion. Numri i parë ka 23/100, i dyti ka 108/100000. Vlera e dytë duhet të reduktohet përsëri. Përgjigja është thyesat e përziera: 5 23/100 dhe 13 27/25000.

Si të konvertohet një dhjetore e pafundme në një thyesë të zakonshme?

Nëse është jo periodike, atëherë një operacion i tillë nuk mund të kryhet. Ky fakt është për faktin se çdo thyesë dhjetore shndërrohet gjithmonë në fund ose periodik.

E vetmja gjë që lejohet të bëhet me një fraksion të tillë është rrumbullakimi i saj. Por atëherë numri dhjetor do të jetë afërsisht i barabartë me atë të pafundme. Ajo tashmë mund të kthehet në një të zakonshme. Por procesi i kundërt: konvertimi në dhjetor - nuk do të japë kurrë vlerën fillestare. Kjo do të thotë, thyesat e pafundme jo periodike nuk përkthehen në thyesa të zakonshme. Kjo duhet mbajtur mend.

Si të shkruani një thyesë periodike të pafundme në formën e një të zakonshme?

Në këta numra, një ose më shumë shifra shfaqen gjithmonë pas presjes dhjetore, të cilat përsëriten. Ato quhen periudha. Për shembull, 0.3 (3). Këtu "3" në periudhën. Ato klasifikohen si racionale, pasi mund të shndërrohen në fraksione të zakonshme.

Ata që kanë hasur në thyesa periodike e dinë se ato mund të jenë të pastra ose të përziera. Në rastin e parë, pika fillon menjëherë nga presja. Në të dytën, pjesa thyesore fillon me çdo numër, dhe më pas fillon përsëritja.

Rregulli me të cilin duhet të shkruani një dhjetore të pafundme në formën e një thyese të zakonshme do të jetë i ndryshëm për këto dy lloje numrash. Është mjaft e lehtë të shkruash thyesat periodike të pastra si thyesa të zakonshme. Ashtu si me ato të fundit, ato duhet të konvertohen: shkruani periudhën në numërues dhe numri 9 do të jetë emëruesi, duke përsëritur aq herë sa shifra ka në pikë.

Për shembull, 0, (5). Numri nuk ka një pjesë të plotë, kështu që duhet të vazhdoni menjëherë në pjesën e pjesshme. Shkruani në numërues 5 dhe në emërues 9. Pra përgjigja do të jetë thyesa 5/9.

Një rregull se si të shkruhet një thyesë dhjetore e zakonshme që është një thyesë e përzier.

Shikoni gjatësinë e periudhës. Pra, 9 do të ketë një emërues.

Shkruani emëruesin: fillimisht nëntë, pastaj zero.

Për të përcaktuar numëruesin, duhet të shkruani ndryshimin e dy numrave. Të gjitha shifrat pas presjes dhjetore do të reduktohen, së bashku me pikën. E zbritshme - është pa periudhë.

Për shembull, 0.5 (8) - shkruani thyesën dhjetore periodike si një thyesë e zakonshme. Pjesa thyesore para pikës është njëshifrore. Pra zero do të jetë një. Ekziston gjithashtu vetëm një shifër në periudhën - 8. Kjo do të thotë, ka vetëm një nëntë. Kjo do të thotë, duhet të shkruani 90 në emërues.

Për të përcaktuar numëruesin nga 58, duhet të zbritni 5. Rezulton 53. Për shembull, do të duhet të shkruani 53/90 si përgjigje.

Si shndërrohen thyesat e zakonshme në dhjetore?

Opsioni më i thjeshtë është një numër, emëruesi i të cilit është numri 10, 100, e kështu me radhë. Pastaj emëruesi thjesht hidhet poshtë dhe vendoset një presje midis pjesëve thyesore dhe të plota.

Ka situata kur emëruesi kthehet lehtësisht në 10, 100, etj. Për shembull, numrat 5, 20, 25. Mjafton t'i shumëzoni me 2, 5 dhe 4, përkatësisht. Vetëm është e nevojshme të shumëzoni jo vetëm emëruesin, por edhe numëruesin me të njëjtin numër.

Për të gjitha rastet e tjera, një rregull i thjeshtë do të jetë i dobishëm: ndani numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, mund të merrni dy përgjigje: një thyesë dhjetore përfundimtare ose periodike.

Veprimet me thyesat e zakonshme

Mbledhja dhe zbritja

Nxënësit i njohin më herët se të tjerët. Dhe në fillim thyesat kanë emërues të njëjtë, dhe më pas të ndryshëm. Rregulla të përgjithshme mund të reduktohet në një plan të tillë.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve.

Shkruani faktorë shtesë për të gjitha thyesat e zakonshme.

Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit me faktorët e përcaktuar për ta.

Shtoni (zbrisni) numëruesit e thyesave dhe lini emëruesin e përbashkët të pandryshuar.

Nëse numëruesi i minuendit është më i vogël se nëntrupi, atëherë duhet të zbuloni nëse kemi një numër të përzier apo një thyesë të duhur.

Në rastin e parë, pjesa e plotë duhet të marrë një. Shtoni një emërues në numëruesin e një thyese. Dhe pastaj bëni zbritjen.

Në të dytën - është e nevojshme të zbatohet rregulli i zbritjes nga një numër më i vogël në një më të madh. Kjo do të thotë, zbrit modulin e minuendit nga moduli i subtrahend dhe vendos shenjën "-" në përgjigje.

Shikoni me kujdes rezultatin e mbledhjes (zbritjes). Nëse merret një fraksion jo i duhur, atëherë është e nevojshme të zgjidhni të gjithë pjesën. Domethënë, ndani numëruesin me emëruesin.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Për zbatimin e tyre, thyesat nuk kanë nevojë të reduktohen në një emërues të përbashkët. Kjo e bën më të lehtë marrjen e masave. Por ata ende duhet të respektojnë rregullat.

Gjatë shumëzimit të thyesave të zakonshme, është e nevojshme të merren parasysh numrat në numërues dhe emërues. Nëse ndonjë numërues dhe emërues ka një faktor të përbashkët, atëherë ato mund të reduktohen.

Shumëzoni numëruesit.

Shumëzoni emëruesit.

Nëse merrni një fraksion të reduktueshëm, atëherë supozohet se do të thjeshtohet përsëri.

Kur ndani, së pari duhet të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim, dhe pjesëtuesin (pjesën e dytë) me një reciproke (ndërroni numëruesin dhe emëruesin).

Pastaj vazhdoni si në shumëzim (duke filluar nga hapi 1).

Në detyrat ku duhet të shumëzoni (pjestoni) me një numër të plotë, ky i fundit supozohet të shkruhet si një fraksion i papërshtatshëm. Kjo do të thotë, me një emërues 1. Pastaj vazhdoni siç përshkruhet më sipër.



Veprimet me dhjetore

Mbledhja dhe zbritja

Sigurisht, gjithmonë mund ta ktheni një dhjetore në një fraksion të përbashkët. Dhe veproni sipas planit të përshkruar tashmë. Por ndonjëherë është më e përshtatshme të veprosh pa këtë përkthim. Atëherë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e tyre do të jenë saktësisht të njëjta.

Barazoni numrin e shifrave në pjesën thyesore të numrit, domethënë pas presjes dhjetore. Cakto numrin e zerave që mungojnë në të.

Shkruani thyesat në mënyrë që presja të jetë nën presje.

Shtoni (zbrisni) si numra natyrorë.

Hiq presjen.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Është e rëndësishme që nuk keni nevojë të shtoni zero këtu. Thyesat supozohet të lihen siç janë dhënë në shembull. Dhe pastaj shkoni sipas planit.

Për shumëzim, duhet të shkruani thyesa njëra nën tjetrën, duke mos i kushtuar vëmendje presjeve.

Shumëzoni si numra natyrorë.

Vendosni një presje në përgjigje, duke numëruar nga fundi i djathtë i përgjigjes aq shifra sa janë në pjesët thyesore të të dy faktorëve.

Për të pjesëtuar, së pari duhet të konvertoni pjesëtuesin: ta bëni atë një numër natyror. Kjo do të thotë, shumëzojeni atë me 10, 100, etj., në varësi të numrit të shifrave në pjesën thyesore të pjesëtuesit.

Shumëzoni dividentin me të njëjtin numër.

Ndani një dhjetore me një numër natyror.

Vendos presje në përgjigje në momentin kur mbaron pjesëtimi i të gjithë pjesës.



Po sikur të ketë të dy llojet e thyesave në një shembull?

Po, në matematikë ka shpesh shembuj në të cilët duhet të kryeni veprime në thyesa të zakonshme dhe dhjetore. Ekzistojnë dy zgjidhje të mundshme për këto probleme. Ju duhet të peshoni objektivisht numrat dhe të zgjidhni më të mirën.

Mënyra e parë: përfaqësoni numrat dhjetorë të zakonshëm

Është i përshtatshëm nëse, gjatë pjesëtimit ose konvertimit, fitohen fraksionet përfundimtare. Nëse të paktën një numër jep një pjesë periodike, atëherë kjo teknikë është e ndaluar. Prandaj, edhe nëse nuk ju pëlqen të punoni me fraksione të zakonshme, do t'ju duhet t'i numëroni ato.

Mënyra e dytë: shkruaj thyesat dhjetore si të zakonshme

Kjo teknikë është e përshtatshme nëse ka 1-2 shifra në pjesën pas pikës dhjetore. Nëse ka më shumë prej tyre, mund të dalë një fraksion i zakonshëm shumë i madh dhe shënimet dhjetore do t'ju lejojnë të llogarisni detyrën më shpejt dhe më lehtë. Prandaj, është gjithmonë e nevojshme të vlerësoni me maturi detyrën dhe të zgjidhni metodën më të thjeshtë të zgjidhjes.