Inegalitățile algebrice sau sistemele lor cu coeficienți raționali ale căror soluții se caută în numere întregi sau întregi. De regulă, numărul de necunoscute în ecuațiile diofantine este mai mare. Astfel, ele sunt cunoscute și ca inegalități nedefinite. În matematica modernă, conceptul de mai sus este aplicat ecuațiilor algebrice ale căror soluții sunt căutate în numere întregi algebrice de o anumită extensie a câmpului variabilelor Q-raționale, câmpului variabilelor p-adice etc.

Originile acestor inegalități

Studiul ecuațiilor diofantine se află la granița dintre teoria numerelor și geometria algebrică. Găsirea de soluții în variabile întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul mileniului II î.Hr. babilonienii antici au reușit să rezolve sisteme de ecuații cu două necunoscute. Această ramură a matematicii cel mai a înflorit în Grecia antică. Aritmetica lui Diophantus (cca. secolul al III-lea d.Hr.) este o sursă semnificativă și principală care conține diverse tipuri și sisteme de ecuații.

În această carte, Diophantus a prevăzut o serie de metode de studiu a inegalităților de gradul doi și trei, care au fost pe deplin dezvoltate în secolul al XIX-lea. Crearea teoriei numere rationale acest cercetător al Greciei antice a condus la analiză decizii logice sisteme nedefinite, care sunt urmărite sistematic în cartea sa. Deși lucrarea sa conține soluții la anumite ecuații diofantine, există motive să credem că era familiarizat și cu câteva metode generale.

Studiul acestor inegalități este de obicei asociat cu dificultăți serioase. Datorită faptului că conțin polinoame cu coeficienți întregi F (x, y1,…, y n). Pe baza acestui fapt, s-au tras concluzii că nu există un singur algoritm prin care ar fi posibil ca orice x dat să determine dacă ecuația F (x, y 1 ,…., y n) este satisfăcută. Situația este rezolvabilă pentru y 1 , …, y n . Exemple de astfel de polinoame pot fi scrise.

Cea mai simplă inegalitate

ax + by = 1, unde a și b sunt relativ întregi și numere prime, există un număr mare de execuții pentru acesta (dacă x 0, y 0 se formează rezultatul, atunci perechea de variabile x = x 0 + b n și y = y 0 -an , unde n este arbitrar, va fi de asemenea considerat ca îndeplinind inegalitatea). Un alt exemplu de ecuații diofantine este x 2 + y 2 = z 2 . Soluțiile integrale pozitive ale acestei inegalități sunt lungimile laturilor mici x, y și triunghiurilor dreptunghiulare, precum și ipotenuza z cu dimensiunile laturilor întregi. Aceste numere sunt cunoscute ca numere pitagorice. Toate tripletele cu privire la variabilele simple menționate mai sus sunt date de formulele x=m 2 - n 2 , y = 2mn, z = m 2 + n 2 , unde m și n sunt numere întregi și prime (m>n>0 ).

Diophantus, în aritmetica sa, caută soluții raționale (nu neapărat integrale) ale unor tipuri speciale ale inegalităților sale. O teorie generală pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine de gradul întâi a fost dezvoltată de C. G. Baschet în secolul al XVII-lea. Alți oameni de știință în începutul XIX secolul, a studiat în principal astfel de inegalități de tip ax 2 +bxy + cy 2 + dx +ey +f = 0, unde a, b, c, d, e și f sunt comune, neomogene, cu două necunoscute ale gradul doi. Lagrange a folosit fracții continue în studiul său. Gauss pentru formele pătratice a dezvoltat o teorie generală care stă la baza unor tipuri de soluții.

În studiul acestor inegalități de gradul doi s-au înregistrat progrese semnificative abia în secolul al XX-lea. A. Thue a descoperit că ecuația diofantină a 0 x n + a 1 x n-1 y +…+a n y n =c, unde n≥3, a 0 ,…,a n ,c sunt numere întregi și a 0 t n + … + a n nu poate avea imp cantitatea finală soluții întregi. Cu toate acestea, metoda lui Thue nu a fost dezvoltată corespunzător. A. Baker a creat teoreme eficiente care dau estimări asupra performanței unor ecuații de acest fel. BN Delaunay a propus o altă metodă de investigare aplicabilă unei clase mai restrânse a acestor inegalități. În special, forma ax 3 + y 3 = 1 este complet rezolvabilă în acest fel.

Ecuații diofantine: metode de rezolvare

Teoria lui Diophantus are multe direcții. Astfel, o problemă binecunoscută în acest sistem este conjectura că nu există o soluție netrivială a ecuațiilor diofante x n + y n = z n dacă n ≥ 3 (întrebarea lui Fermat). Studiul împlinirilor întregi ale inegalității este o generalizare firească a problemei tripleților pitagoreici. Euler a obținut o soluție pozitivă a problemei lui Fermat pentru n = 4. În virtutea acestui rezultat, se referă la dovada unor studii întregi lipsă, non-nule ale ecuației dacă n este un număr prim impar.

Studiul privind decizia nu a fost finalizat. Dificultățile cu implementarea sa sunt legate de faptul că simpla factorizare în inelul numerelor întregi algebrice nu este unică. Teoria divizorilor din acest sistem pentru multe clase de exponenți primi n face posibilă confirmarea validității teoremei lui Fermat. Astfel, ecuația diofantină liniară cu două necunoscute este îndeplinită de metodele și tehnicile existente.

Tipuri și tipuri de sarcini descrise

Aritmetica inelelor de numere întregi algebrice este folosită și în multe alte probleme și soluții ale ecuațiilor diofante. De exemplu, astfel de metode au fost aplicate la îndeplinirea inegalităților de forma N(a 1 x 1 +…+ a n x n) = m, unde N(a) este norma lui a, iar x 1 , …, x n se găsesc variabile raționale integrale . Această clasă include ecuația lui Pell x 2- dy 2 =1.

Valorile a 1, ..., un n care apar, aceste ecuații sunt împărțite în două tipuri. Primul tip - așa-numitele forme complete - includ ecuații în care între a există m numere liniar independente peste câmpul variabilelor raționale Q, unde m = , în care există un grad de exponenți algebrici Q (a1,..., a n) peste Q. Speciile incomplete sunt cele la care numărul maxim de a i este mai mic de m.

Formularele complete sunt mai simple, studiul lor este complet și toate soluțiile pot fi descrise. Al doilea tip - specia incompletă - este mai complicat, iar dezvoltarea unei astfel de teorii nu a fost încă finalizată. Astfel de ecuații sunt studiate folosind aproximații diofantine, care includ inegalitatea F(x,y)=C, unde F (x,y) - un polinom de grad n≥3 este ireductibil, omogen. Astfel, putem presupune că y i → ∞. În consecință, dacă y i este suficient de mare, atunci inegalitatea va contrazice teorema lui Thue, Siegel și Roth, din care rezultă că F(x,y)=C, unde F este o formă de gradul trei sau mai mare, ireductibilă nu poate au un număr infinit de soluții.

Acest exemplu este o clasă destul de restrânsă printre toate. De exemplu, în ciuda simplității lor, x 3 + y 3 + z 3 = N, precum și x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = N nu sunt incluse în această clasă. Studiul soluțiilor este o ramură destul de atent studiată a ecuațiilor diofantine, unde baza este reprezentarea prin forme pătratice a numerelor. Lagrange a creat o teoremă care spune că împlinirea există pentru tot N natural. Orice număr natural poate fi reprezentat ca sumă a trei pătrate (teorema lui Gauss), dar nu trebuie să fie sub forma 4 a (8K-1), unde a și k sunt scoruri întregi nenegative.

Soluții raționale sau integrale ale unui sistem de ecuații diofantine de tip F (x 1 , …, x n) = a, unde F (x 1 , …, x n) este o formă pătratică cu coeficienți întregi. Astfel, conform teoremei Minkowski-Hasse, inegalitatea ∑a ij x i x j = b unde a ij și b sunt raționale, are soluție integrală în numere reale și p-adice pentru fiecare număr prim p numai dacă este rezolvabil în această structură. .

Din cauza dificultăților inerente, studiul numerelor cu forme arbitrare de gradul al treilea și mai sus a fost studiat într-o măsură mai mică. Principala metodă de execuție este metoda sumelor trigonometrice. În acest caz, numărul de soluții ale ecuației este scris explicit în termenii integralei Fourier. După aceea, metoda mediului este utilizată pentru a exprima numărul de îndeplinire a inegalității congruențelor corespunzătoare. Metoda sumelor trigonometrice depinde de caracteristicile algebrice ale inegalităților. Există un număr mare de metode elementare pentru rezolvarea ecuațiilor liniare diofantine.

Analiza diofantină

Ramură a matematicii, al cărei subiect este studiul soluțiilor integrale și raționale ale sistemelor de ecuații ale algebrei prin metode de geometrie, din același domeniu. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, apariția acestei teorii a numerelor a condus la studiul ecuațiilor diofantine dintr-un câmp arbitrar cu coeficienți, iar soluțiile au fost luate în considerare fie în acesta, fie în inelele sale. Sistemul de funcții algebrice s-a dezvoltat în paralel cu numerele. Analogia de bază dintre cele două, care a fost subliniată de D. Hilbert și, în special, de L. Kronecker, a condus la construcția uniformă a diferitelor concepte aritmetice, care sunt de obicei numite globale.

Acest lucru este vizibil mai ales dacă funcțiile algebrice studiate pe un câmp finit de constante sunt o variabilă. Concepte precum teoria câmpului de clasă, divizorul și ramificarea și rezultatele sunt o bună ilustrare a celor de mai sus. Acest punct de vedere a fost adoptat în sistemul inegalităților diofantine abia mai târziu, iar cercetările sistematice nu numai cu coeficienți numerici, ci și cu coeficienți care sunt funcții, au început abia în anii 1950. Unul dintre factorii decisivi în această abordare a fost dezvoltarea geometriei algebrice. Studiul concomitent al câmpurilor numerelor și funcțiilor, care apar ca două aspecte la fel de importante ale aceluiași subiect, nu numai că a dat rezultate elegante și convingătoare, dar a condus la îmbogățirea reciprocă a celor două subiecte.

În geometria algebrică, noțiunea de varietate este folosită pentru a înlocui o mulțime neinvariantă de inegalități peste un câmp dat K, iar soluțiile acestora sunt înlocuite cu puncte raționale cu valori în K sau în extensia sa finită. În consecință, se poate spune că problema fundamentală a geometriei diofantine este studierea punctelor raționale ale mulțimii algebrice X(K), unde X sunt anumite numere din câmpul K. Execuția întregului are sens geometricîn ecuaţii liniare diofantine.

Studii și opțiuni privind inegalitatea

În studiul punctelor raționale (sau integrale) asupra varietăților algebrice se pune prima problemă, care este existența lor. A zecea problemă a lui Hilbert este formulată ca problema găsirii unei metode generale de rezolvare a acestei probleme. În procesul de creare a unei definiții precise a algoritmului și după ce s-a dovedit că execuții similare pentru un numar mare problemele nu există, problema a căpătat un rezultat negativ evident, iar cea mai interesantă întrebare este definirea claselor de ecuații diofantine pentru care există sistemul de mai sus. Cea mai firească abordare, din punct de vedere algebric, este așa-numitul principiu Hasse: câmpul inițial K este studiat împreună cu completările sale K v pentru toate estimările posibile. Deoarece X(K) = X(K v) sunt o condiție necesară pentru existență, iar punctul K ia în considerare faptul că mulțimea X(K v) nu este goală pentru toate v.

Importanța constă în faptul că reunește două probleme. Al doilea este mult mai simplu, este rezolvabil printr-un algoritm cunoscut. În cazul particular în care varietatea X este proiectivă, lema lui Hansel și generalizările sale fac posibilă o reducere suplimentară: problema poate fi redusă la studiul punctelor raționale pe un câmp finit. Apoi decide să construiască conceptul, fie prin cercetări consistente, fie prin metode mai eficiente.

Ultima considerație importantă este că mulțimile X(K v) sunt nevide pentru toate, cu excepția unui număr finit de v, astfel încât numărul de condiții este întotdeauna finit și pot fi testate eficient. Totuși, principiul lui Hasse nu se aplică curbelor de grade. De exemplu, 3x 3 + 4y 3 =5 are puncte în toate câmpurile numerice p-adice și în sistem, dar nu are puncte raționale.

Această metodă a servit ca punct de plecare pentru construirea unui concept care descrie clase de spații omogene principale ale soiurilor abeliene pentru a efectua o „abatere” de la principiul lui Hasse. Este descrisă în termenii unei structuri speciale care poate fi asociată cu fiecare varietate (grupul Tate-Shafarevich). Principala dificultate a teoriei constă în faptul că metodele de calcul a grupurilor sunt greu de obținut. Acest concept a fost extins și la alte clase de varietăți algebrice.

Căutați un algoritm pentru îndeplinirea inegalităților

O altă idee euristică folosită în studiul ecuațiilor diofantiene este că, dacă numărul de variabile implicate într-un set de inegalități este mare, atunci sistemul are de obicei o soluție. Cu toate acestea, acest lucru este foarte dificil de demonstrat pentru orice caz anume. Abordarea generală a problemelor de acest tip utilizează teoria analitică a numerelor și se bazează pe estimări pentru sume trigonometrice. Această metodă a fost aplicată inițial unor tipuri speciale de ecuații.

Totuși, s-a dovedit ulterior cu ajutorul ei că dacă o formă de grad impar este F, în variabile d și n și cu coeficienți raționali, atunci n este suficient de mare în comparație cu d, astfel încât hipersuprafața proiectivă F = 0 are un punct rațional. Conform conjecturii Artin, acest rezultat este adevărat chiar dacă n > d 2 . Acest lucru a fost dovedit doar pentru formele pătratice. Probleme similare pot fi solicitate și pentru alte câmpuri. Problema centrală a geometriei diofantine este structura mulțimii de puncte întregi sau raționale și studiul acestora, iar prima întrebare care trebuie clarificată este dacă această mulțime este finită. În această problemă, situația are de obicei un număr finit de execuții dacă gradul sistemului este mult mai mare decât numărul de variabile. Aceasta este ipoteza principală.

Inegalități pe linii și curbe

Grupul X(K) poate fi reprezentat ca o sumă directă a unei structuri libere de rang r și a unui grup finit de ordinul n. Începând cu anii 1930, a fost studiată întrebarea dacă aceste numere sunt mărginite pe mulțimea tuturor curbelor eliptice pe un anumit câmp K. Mărginirea torsiunei n a fost demonstrată în anii șaptezeci. Există curbe de rang înalt arbitrar în cazul funcțional. În cazul numeric, nu există încă un răspuns la această întrebare.

În cele din urmă, conjectura lui Mordell afirmă că numărul de puncte integrale este finit pentru o curbă de genul g>1. În cazul funcțional, acest concept a fost demonstrat de Yu. I. Manin în 1963. Instrumentul principal folosit în demonstrarea teoremelor de finitate în geometria diofantină este înălțimea. Dintre varietățile algebrice de dimensiune mai mare decât una, varietățile abeliene, care sunt analogii multidimensionali ai curbelor eliptice, au fost cele mai amănunțite studiate.

A. Weyl a generalizat teorema asupra caracterului finit al numărului de generatori ai grupului de puncte raționale la varietăți abeliene de orice dimensiune (conceptul Mordell-Weil), extinzând-o. În anii 1960, a apărut conjectura lui Birch și Swinnerton-Dyer, îmbunătățind aceasta și funcțiile de grup și zeta ale varietății. Dovezile numerice susțin această ipoteză.

Problemă de decidebilitate

Problema este de a găsi un algoritm care să poată fi utilizat pentru a determina dacă vreo ecuație diofantică are o soluție. O caracteristică esențială a problemei puse este căutarea unei metode universale care să fie potrivită oricărei inegalități. O astfel de metodă ar permite și rezolvarea sistemelor de mai sus, deoarece este echivalentă cu P21+⋯+P2k=0.p1= 0 , ... , PK= 0p = 0,...,pK = 0 sau p21+ ⋯ + P2K= 0 . n12+⋯+pK2=0. Problema găsirii unui astfel de mod universal de a găsi soluții pentru inegalitățile liniare în numere întregi a fost pusă de D. Gilbert.

La începutul anilor 1950 au apărut primele studii menite să demonstreze inexistența unui algoritm de rezolvare a ecuațiilor diofante. În acest moment, a apărut conjectura Davis, care spunea că orice set enumerabil aparține și omului de știință grec. Deoarece sunt cunoscute exemple de mulțimi indecidabile din punct de vedere algoritmic, dar sunt enumerabile recursiv. Rezultă că conjectura lui Davis este adevărată și problema solubilității acestor ecuații are o îndeplinire negativă.

După aceea, pentru conjectura lui Davis, rămâne de demonstrat că există o metodă de transformare a unei inegalități care de asemenea (sau nu a avut) în același timp o soluție. S-a demonstrat că o astfel de modificare a ecuației diofantine este posibilă dacă are cele două proprietăți indicate: 1) în orice soluție de acest tip v≤uu; 2) pentru orice k există o execuție în care există o creștere exponențială.

Un exemplu de ecuație diofantină liniară a acestei clase a completat demonstrația. Problema existenței unui algoritm de rezolvare și recunoaștere a acestor inegalități în numere raționale este încă considerată o întrebare importantă și deschisă, care nu a fost studiată suficient.

Ministerul Educației și Științei al Republicii Kazahstan

Regiunea Kazahstanului de Est

Direcţia: modelarea matematică a proceselor economice şi sociale.

Sectiunea: matematica

Tema: Rezolvarea ecuațiilor diofante de gradul I și II

Zhumadilov Eldar,

Burkutova Amina,

Instituția de Stat „Liceul Economic”

supraveghetor:

Drannaia Natalia Alexandrovna

Instituția de Stat „Liceul Economic”

Consultant:

Șef al Departamentului de matematică și metode de predare a matematicii al Institutului Pedagogic de Stat din Semipalatinsk, candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat

Zholymbaev Oraltai Murathanovich

Ust-Kamenogorsk

Introducere……………………………………………………………………………….3

Capitolul 1. Despre ecuațiile diofantine.................................................. ... ...........patru

Capitolul 2. Metode de rezolvare ................................................ ... ...............................6

2.1.Algoritmul lui Euclid.............................................. .........................6

2.2.Continuare fotografie ............................................. .......... .................................opt

2.3.Metoda de factorizare ............................................. ................ .9

2.4.Utilizarea parității.............................................. ............. .............zece

2.5.Alte metode de rezolvare a ecuaţiilor diofante..................................10

Concluzie................................................. ..............................................12

Bibliografie................................................ . .................................13

Aplicație............................................................. ............................................paisprezece

Introducere

„Venerabil Dionisie, știind că vrei cu râvnă să înveți cum să rezolvi problemele referitoare la numere, am încercat să explic natura și puterea lor, plecând de la bazele pe care se sprijină această știință.

Poate că acest subiect ți se va părea dificil, deoarece încă nu ești familiarizat cu el, iar începătorii nu sunt înclinați să spere la succes. Dar îți va deveni de înțeles datorită sârguinței tale și explicațiilor mele, pentru că o dragoste pasionată pentru știință te ajută să percepi rapid doctrina.

Această dedicație deschide „Aritmetica” lui Diofant din Alexandria.

Diophantus prezintă una dintre ghicitoarele fascinante din istoria matematicii. Nu știm cine a fost Diofant, anii exacti ai vieții sale, nu-i cunoaștem pe predecesori care ar fi lucrat în același domeniu cu el.

Pe mormântul lui Diophantus se află o poezie de ghicitori, rezolvând care este ușor de calculat că Diophantus a trăit 84 de ani. Putem judeca timpul vieții lui Diophantus din lucrările cercetătorului francez al științei, Paul Tannri, și acesta este probabil mijlocul secolului al III-lea d.Hr.

Cea mai interesantă este opera lui Diophantus. Am ajuns la 7 cărți din 13, care au fost combinate în „Aritmetică”.

În această carte, Diophantus (secolul al III-lea) a rezumat și extins experiența acumulată înaintea sa în rezolvarea ecuațiilor algebrice nedefinite în numere întregi sau raționale. De atunci, aceste ecuații au fost numite diofantine.

Iată exemple de astfel de ecuații: x 2 + y 2 \u003d z 2, x 2 \u003d y 3 + 5y + 7.

Interesul pentru ecuațiile diofantine este aparent asociat cu însăși natura omului - documentele supraviețuitoare dezvăluie urme ale lui în adâncul mileniilor. Chiar și în Babilonul antic, ei căutau triple pitagoreene - soluții întregi ale ecuației

x 2 + y 2 \u003d z 2.

Ecuațiile diofante permit rezolvarea problemelor algebrice în numere întregi. „Aritmetica” lui Diophantus a stat la baza teoriei numerelor din timpurile moderne.

Scopul acestui studiu: găsirea diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor nedefinite.

Obiectivele cercetării: să învețe cum să rezolvi ecuații nedefinite de gradul I și II folosind algoritmul Euclid, folosind fracții continue sau factorizarea ecuației

Capitolul 1. Despre ecuațiile diofantine.

Ecuațiile diofante se numesc ecuații algebrice sau sisteme de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, pentru care este necesar să se găsească soluții întregi sau raționale. În acest caz, numărul de necunoscute din ecuații trebuie să fie de cel puțin două (dacă nu este limitat doar la numere întregi). Ecuațiile diofante au de obicei multe soluții, motiv pentru care sunt numite ecuații nedefinite.

Problemele duc la ecuații diofantine, după semnificația cărora valorile necunoscute ale cantităților pot fi doar numere întregi.

Luați în considerare o problemă: trebuie să plătiți 1700 de ruble pentru o achiziție. Cumpărătorul are bancnote doar pentru 200 și 500 de ruble. Cum poate plăti? Pentru a răspunde la această întrebare, este suficient să rezolvi ecuația 2x + 5y = 17 cu două necunoscute x și y. Astfel de ecuații au un număr infinit de soluții. În special, orice pereche de numere din formă
. Pentru sarcina noastră practică, sunt potrivite numai valorile întregi nenegative ale lui x și y (nu merită să rupeți facturile în bucăți). Prin urmare, ajungem la formularea problemei: găsiți toate soluțiile întregi nenegative ale ecuației 2x + 5y \u003d 17. Răspunsul nu mai conține un număr infinit, ci doar două perechi de numere (1; 3) și ( 6; 1).

Astfel, caracteristicile problemelor diofantine sunt că: 1) sunt reduse la ecuații sau sisteme de ecuații cu coeficienți întregi; 2) soluțiile trebuie găsite numai întregi, adesea naturale.

Înainte de a lua în considerare metodele de rezolvare a ecuațiilor nedefinite, prezentăm câteva definiții și enunțuri necesare pentru prezentarea ulterioară.

Divizibilitate

Definiție Fie a, b  Z, b ≠ 0. Numerele q  Zși r  (0,1,...,|b|-1) se numesc, respectiv, câtul incomplet și restul împărțirii a la b, dacă egalitatea

Mai mult, dacă r = 0, atunci spunem că a este divizibil cu b, sau că b este un divizor al lui a (notația a b sau b| a).

Ecuațiile diofantine pot fi scrise ca

P(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0,

unde P(x 1 , ..., x n) este un polinom cu coeficienți întregi.

Când se studiază ecuațiile diofantine, se pun de obicei următoarele întrebări:

dacă ecuația are soluții întregi;

multimea solutiilor sale intregi este finita sau infinita;

rezolvați ecuația pe mulțimea numerelor întregi, adică găsiți toate soluțiile sale întregi;

rezolvați ecuația pe mulțimea numerelor întregi pozitive;

Rezolvați ecuația pe mulțimea numerelor raționale.

Rețineți că problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi a fost rezolvată complet doar pentru ecuațiile cu o necunoscută, pentru ecuațiile de gradul I și pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Pentru ecuațiile de peste gradul doi cu două sau mai multe necunoscute, chiar și problema existenței soluțiilor întregi este destul de dificilă. De exemplu, nu se știe dacă ecuația are

x 3 + y 3 + z 3 = 30

cel puțin o soluție întreagă. Mai mult, s-a dovedit că, în principiu, nu există un algoritm unificat care să permită rezolvarea unor ecuații diofantine arbitrare în numere întregi într-un număr finit de pași.

Capitolul 2. Metode de rezolvare.

2.1 Algoritmul lui Euclid.

Puteți găsi cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a și b fără a factoriza aceste numere în factori primi, ci aplicând procesul de împărțire cu rest. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți cel mai mare dintre aceste numere la cel mai mic, apoi cel mai mic dintre numere la restul de la prima diviziune, apoi restul de la prima diviziune cu restul de la a doua diviziune și continuați acest lucru proces până când apare diviziunea fără rest (deoarece reziduurile scad, atunci acest lucru se va întâmpla la un pas). Ultimul rest diferit de zero este mcd-ul necesar (a, b).

Pentru a demonstra această afirmație, reprezentăm procesul descris sub forma următorului lanț de egalități: dacă a>b, atunci

Aici r 1 , …, r n sunt resturi pozitive care descresc cu creșterea numărului. Din prima egalitate rezultă că divizorul comun al numerelor a și b împarte r 1 și divizorul comun al lui b și r 1 împarte a, deci mcd (a, b) = mcd (b, r 1). Trecând la următoarele egalități ale sistemului, obținem:

gcd(a, b) \u003d mcd (b, r 1) \u003d mcd (r 1, r 2) \u003d ...

…= GCD (r n -1 , r n) = GCD (r n , 0) = r n .

Astfel, la rezolvarea ecuațiilor diofantine de gradul I ax + by = c, se pot aplica următoarele teoreme:

Teorema 1. Dacă mcd (a, b) = 1, atunci ecuația ax + by = 1 are cel puțin o pereche (x, y) de soluție întreagă.

Teorema 2. Dacă mcd (a, b) = d > 1, iar numărul c nu este divizibil cu d, atunci ecuația ax + by = c nu are soluție integrală.

Dovada. Să presupunem că ecuația ax + by = c are o soluție întreagă (x 0, y 0). Din moment ce, a d, bd, atunci obținem c = (ax + by)d. Acest lucru contrazice condițiile teoremei și astfel teorema este demonstrată.

Teorema 3. Dacă mcd (a, b) = 1, atunci toate soluțiile întregi ale ecuației ax + by = c sunt determinate de formula:

x \u003d x 0 c + bt

Aici (x 0 , y 0) este o soluție întreagă a ecuației ax + by = 1, iar t este un întreg arbitrar.

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 54x + 37y = 1 în numere întregi.

Conform algoritmului Euclid, a = 54, b = 37. Înlocuiți datele din algoritm și obțineți:

54=371+17, modulo 17 = 54-371

37 = 172+3 , 3 = 37-172

17 = 35+2 , 2 = 17- 35

3 = 21+1 , 1 = 3 - 21

După găsirea unității, exprimăm valorile lui a și b prin ea:

1 = 3 – (17-35);

1 = 17 - (37- 172) 4;

1 = 17 - 374+178;

1 = 179 – 374;

1 = (54- 371) 9 - 374;

1 = 549 - 379 - 374;

Prin urmare, x 0 \u003d 9, y 0 \u003d -13. Deci această ecuație are următoarea soluție
.

Exemplul 2 Este necesar să se găsească o soluție întreagă a ecuației 15x + 37y = 1.

1a metoda. Să folosim descompunerea unității:

1 = 15*5 + 37*(-2).Răspuns: x = 5, y = -2.

a 2-a metoda. Folosind algoritmul Euclid, avem: 37 = 15*2 + 7, 15 = 2*7 + 1. Prin urmare 1 = 15 - 2*7 = 15 - 2(37 - 15*2) = 15*5 + (- 2) *37. Atunci x o \u003d 5, y o \u003d - 2. Soluția generală a ecuației este un sistem.

Exemplul 3. În ecuația 16x + 34y = 7, mcd (16, 34) = 2 și 7 nu este divizibil cu 2, atunci nu există soluții întregi.

2.2 Lovitură continuă

O aplicație a algoritmului lui Euclid este reprezentarea unei fracții la fel de

Unde q 1 este un număr întreg și q 2 , … ,q n- numere întregi. O astfel de expresie se numește fracție continuă (finită continuă).

Ecuația:

cu coeficienți coprimi A și b are o solutie

,
,

Unde
- penultima convergentă la fracția continuă, în care se descompune fracția.

Dovada:

Dacă pentru o fracție continuă dată cu parțiale succesive q 1 , q 2 ,…,q n fracțiile ireductibile

, , …,

sunt rezultatele convolurii convergentelor
,
, etc. , de ordinul 1, 2, …, respectiv n, atunci

,
, …, n.

La k= n primim:

,

Unde este ultima fracție potrivită pentru fracția continuă în care este descompusă fracția. Deoarece fracțiile și sunt ireductibile, atunci , și

.

Înmulțind ambele părți ale ultimei egalități cu (-1) n , avem

Adică, o pereche de numere , , unde n este ordinea fracției continue, este o soluție a ecuației .

Exemplu. Au fost alocate camioane de trei tone pentru transportul unui număr mare de containere de 170 kg și 190 kg fiecare. Este posibil să încărcați mașinile complet cu ele?

Soluţie:

Lăsa Xși la numărul de containere de 170, respectiv 190 kg, atunci avem ecuația

170x+190y=3000

După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:

Pentru a găsi o anumită soluție, folosim expansiunea fracției într-o lovitură de lanț

După ce a prăbușit penultima fracție potrivită pentru ea într-un obișnuit

O anumită soluție a acestei ecuații are forma

X 0 = (-1) 4 300*9=2700, y 0 =(-1) 5 300*8=-2400,

iar generalul este dat de formula

x=2700-19k, y=-2400+17k.

de unde obținem condiția asupra parametrului k

Acestea. k=142, x=2, y=14. .

2.3 Metoda de factorizare

Această metodă și toate cele ulterioare sunt aplicate la soluția ecuațiilor diofantine de gradul doi.

Sarcina 1.

Soluţie. Scriem ecuația sub forma

(x - 1)(y - 1) = 1.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai dacă ambele sunt egale cu 1. Adică, ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea

cu soluțiile (0,0) și (2,2).

2.4 Folosind paritatea

Sarcina 2. Rezolvați ecuația în numere prime

Soluţie. Să luăm în considerare două cazuri în funcție de paritatea variabilei x.

a) Fie x un număr impar. Substituția x = 2t + 1 aduce ecuația inițială la forma

(2t + 1) 2 - 2y 2 = 1,

2y 2 = 4t(t + 1).

Prin urmare, 2 | y2. Deoarece y este un număr prim, atunci y = 2. Prin urmare

b) Fie x un număr par. Deoarece x este un număr prim, atunci x = 2. Prin urmare, adică, ecuația este de nerezolvat în numere prime.

În consecință, ecuația are o soluție unică (3;2) în clasa numerelor prime.

2.5 Alte metode de rezolvare a ecuațiilor diofante

Sarcina 3. Demonstrați că ecuația

are infinit de soluții în numere naturale.

Soluţie. Este ușor de observat că (3.2) este una dintre soluțiile ecuației inițiale. Pe de altă parte, din identitate

(x 2 + 2y 2) 2 - 2(2xy) 2 = (x 2 - 2y 2) 2

rezultă că dacă (x, y) este o soluție a acestei ecuații, atunci perechea (x 2 + 2y 2 , 2xy) este și ea soluție. Folosind acest fapt, definim recursiv o succesiune infinită (x n , y n) de soluții diferite la ecuația originală:

(x 1 , y 1) = (3,2) și x n +1 = x n 2 + 2y n 2 , y n +1 = 2x n y n , n  N * .

Sarcina 4. Demonstrați că ecuația

x(x + 1) = 4y(y + 1)

de nerezolvat în numere întregi pozitive.

Soluţie. Este ușor de observat că ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

x 2 + x + 1 = (2y + 1) 2 .

Prin urmare, x 2

Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi

x + y \u003d x 2 - xy + y 2.

Soluţie. Fie t = x + y. pentru că

atunci inegalitatea trebuie să se țină de unde t  .

Concluzie:

Notația modernă pentru fracțiile continuate a fost propusă de remarcabilul om de știință Christian Huygens (1629-1695).

Huygens s-a orientat către fracții continue atunci când a construit un planetariu la Paris. El a vrut să obțină cea mai bună aproximare a raportului dintre perioadele orbitale ale planetelor. Aceste rapoarte și rapoartele numărului de dinți ai angrenajelor interconectate corespunzătoare ale planetariului trebuiau să se potrivească. Însă numărul dinților angrenajului, din motive tehnice, nu poate fi foarte mare. A fost necesar să le selectăm în așa fel încât rapoartele rezultate să difere cât mai puțin de cele adevărate. Huygens a apelat la fracții continue și cu ajutorul lor a găsit o soluție la problema cu care se confrunta.

În concluzie, remarcăm avantajele și dezavantajele fracțiilor continuate în comparație, de exemplu, cu zecimale. Comoditatea constă în faptul că proprietățile lor nu sunt asociate cu niciun sistem numeric. Din acest motiv, fracțiile continuate sunt utilizate eficient în studiile teoretice. Dar nu au primit o aplicare practică largă, deoarece nu există reguli convenabile pentru efectuarea operațiilor aritmetice pentru ei, care sunt disponibile pentru fracțiile zecimale.

Acest subiect este relevant deoarece ecuațiile diofantine sunt folosite și în inginerie, biologie etc. De exemplu, la numărarea cromozomilor din prima generație.

Pentru început, alegem cinci soluții aleatorii: 1=

Cromozom

Prima generație de cromozomi și conținutul acestora.

Principala proprietate a ecuațiilor diofantine este că nu parcurgem toate soluțiile la rând, ci abordăm de la soluțiile alese aleatoriu la cele mai bune.

Bibliografie

Revista „Quantum” 1970 #7

„Enciclopedia unui tânăr matematician” 520 p.

Vilenkin N.Ya. „În spatele paginilor unui manual de matematică” (clasele 10-11). - Moscova: „Prosveshchenie” 1996-320 p.

http://festival.1 Septembrie. ro/ articole/417558/

Shynybekov N.A. „Algebra 8” Almaty „Atamura” 2004-272 p.

I.N. Sergeev „Aplicați matematica” 1989 - 240 p.

1. http://ilib. oglindă1. mccme. ro/ djvu/ serp- int_ echivalentul. htm

   Kozhegeldinov S.Sh. „Câteva elemente ale teoriei ecuațiilor diofantine în exerciții și sarcini”

   Pichugin L.F. „În spatele paginilor manualului de algebră”, M., 1990, 224p.

   Glazer G.I. „Istoria matematicii la școala 10-11”, 351s

   Gusev V.A., Orlov A.I. etc. „Lucrări extracurriculare la matematică în clasele 6-8”, M., 1984, 286 p.

   Petrakov I.A. „Matematică pentru curioși”, M., 2000. 256s.

   http://bse.sci-lib.com/article028554.html

   http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Aplicație

Rezolvați în numere întregi ecuația 127x - 52y + 1 = 0. Răspuns: x = 9 + 52t, y = 22 + 127t, t  Z.

Rezolvați în numere întregi ecuația 107x + 84y = 1.

Rezolvați ecuația 3x 2 + 4xy - 7y 2 = 13 în numere întregi. Aplicați factorizarea.
Răspuns: (2,1), (-2,-1).

Demonstrați că ecuația y 2 = 5x 2 + 6 nu are soluții întregi.
Instruire. Luați în considerare ecuația modulo 4.

Demonstrați că ecuația x 2 - 3y 2 = 1 are infinite de soluții întregi.
Instruire. Utilizați relația recurentă între soluții.

Rezolvați ecuația: 17x + 13y = 5.

Demonstrați că orice sumă de bani exprimată ca un număr întreg de ruble mai mare de 7 poate fi plătită fără modificare, având doar bancnote de trei ruble și cinci ruble în cantitate suficientă.

Este necesar să turnați 20,5 litri de suc în borcane de 0,7 litri și 0,9 litri, astfel încât toate borcanele să fie pline. De câte conserve ai nevoie să prepari? Care este cel mai mic număr de borcane de care poate fi nevoie?

Mai mult, cu trei necunoscute, ei decid și...

1. Algoritmi genetici și aplicarea lor practică

   Sarcină >> Informatică

   Strategii). mai aproape de al doilea pol - sisteme care ... idei de adaptare și evoluție. grad mutaţii în acest caz.. matematica lui Diophantus.26 Consideraţi diofantina ecuația: a+2b+3c+4d ... Rate de supraviețuire primul generații de cromozomi (set decizii) Asa de...

2. Rolul remarcabil al lui Leonhard Euler în dezvoltarea algebrei geometriei și a teoriei numerelor

   Teza >> Figuri istorice

   ... decizie ecuații. El a subliniat că soluţie ecuații al doilea, al treilea și al patrulea grade redus la ecuații respectiv primul, al doilea iar al treilea grad; acestea din urmă ecuații... întreg decizie sisteme diofantina ecuații superior gradeși...

3. Modelarea echilibrului vapori-lichid într-un amestec cu patru componente de acetonă-toluen-butanolddimetilformamidă

   Lucrări de diplomă >> Chimie

   Ele fac parte dintr-un singur sistem diofantina ecuațiiși se completează reciproc... Eficacitatea celor adoptate deciziiîn mare măsură grad definit de caracteristici... o moleculă primul componentă, cealaltă - o moleculă al doilea componentă. Conform ecuaţie ...

Bugetul municipal instituție educațională

in medie şcoală cuprinzătoare №1

Pavlovo.

Muncă de cercetare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diofantine.

Departamentul: Fizică și Matematică

Sectiunea: matematica

Efectuat:

Elevul din clasa a VIII-a Nikolai Trukhin (14 ani)

Consilier stiintific:

profesor de matematică

Lefanova N. A.

Pavlovo

2013

Cuprins

I Introducere……………………………………………………………………………………………3

II Revizuirea literaturii……………………………………………………………………...5

III Partea principală………………………………………………………………………6

IV Concluzia………………………………………………………………………………….15

V Lista de referințe…………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………….

Anexa VI…………………………………………………………………..17

Introducere.

În 2011-2012 am concertat muncă de cercetare pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor în Grecia antică și India”. În timp ce lucram la el, m-am familiarizat cu lucrările lui Diophantus din Alexandria și Muhammad al-Khwarizmi. În lucrarea mea anterioară, am luat în considerare câteva metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul I cu două necunoscute, m-am familiarizat cu câteva probleme vechi care duc la rezolvarea ecuațiilor de gradul I cu două necunoscute.

Mohammed Ben Mussa al-Khwarizmi, sau Mohammed fiul lui Moise din Khorezm, care este membru al „casei înțelepciunii” din Iran, a scris o carte în jurul anului 820 din cronologia noastră, în care a predat să rezolve întrebări simple și complexe de aritmetică. de care oamenii au nevoie la împărțirea moștenirii, întocmirea testamentelor, împărțirea proprietății și cauzele în justiție, în comerț, tot felul de tranzacții. Cu numele de al - Khorezmi, sunt asociate conceptele de „algebră”, „numere arabe”, „algoritm”. A separat algebra de geometrie, a adus o mare contribuție la matematica Evului Mediu islamic. Muhammad al-Khwarizmi a fost cunoscut și respectat atât în ​​timpul vieții, cât și după moartea sa.

Dar am vrut să aflu mai multe despre Diophantus. Și subiectul cercetării mele din acest an este: Metode de rezolvare a ecuațiilor diofantine»

Diophantus din Alexandria este unul dintre cei mai ciudați matematicieni greci antici, ale cărui lucrări au fost mare importanță pentru algebră și teoria numerelor. Dintre lucrările lui Diofant, cea mai importantă este „Aritmetica”, dintre cele 13 cărți dintre care doar 6 au supraviețuit până în prezent. Cărțile supraviețuitoare conțin 189 de probleme cu soluții. Prima carte conține probleme care duc la anumite ecuații de gradul I și II. Celelalte cinci cărți conțin în mare parte ecuații nedeterminate (ecuațiile nedeterminate se numesc ecuații care conțin mai multe necunoscute). Aceste cărți nu au încă o teorie sistematică a ecuațiilor nedefinite, metodele de rezolvare variază de la caz la caz. Diophantus se mulțumește cu o singură soluție, întreagă sau fracționată, atâta timp cât este pozitivă. Cu toate acestea, metodele de rezolvare a ecuațiilor nedefinite constituie principala contribuție a lui Diophantus la matematică. În simbolismul lui Diophantus exista un singur semn pentru necunoscut. La rezolvarea ecuațiilor nedefinite, el a folosit numere arbitrare ca mai multe necunoscute, în loc de care puteau fi luate oricare altele, ceea ce a păstrat natura generalității soluțiilor sale.

Scopul muncii mele:

1. Continuați cunoașterea ecuațiilor diofantine.

2. Investigați metodele de enumerare și dispersie (măcinare) la rezolvarea ecuațiilor diofante.

3. Explorați posibilitatea utilizării ecuațiilor diofantine pentru a rezolva unele probleme practice.

II. Revizuire de literatura.

Când am scris lucrarea, am folosit următoarea literatură:

Am folosit informații despre Diophantus și al-Khwarizmi.

Cartea este dedicată metodelor lui Diophantus în rezolvarea ecuațiilor nedefinite. Povestește despre viața lui Diophantus însuși. Aceste informații sunt folosite de mine în munca mea.

Cartea spune despre istoria algebrei din cele mai vechi timpuri. Am folosit informații despre teoria ecuațiilor încă din antichitate.

Această carte conține aproximativ 200 de articole despre conceptele de bază ale matematicii și aplicațiile acesteia. Am folosit materialele articolelor „Algebră”, „Ecuații”, „Ecuații diofantine”

Textele sarcinilor pentru uz practic sunt preluate din carte.

La subiect am folosit site-ul:

http :// ro . wikipedia . org (informații despre al-Khorezmi și Diophantus. Despre metode de rezolvare a ecuațiilor diofantine).

Parte principală

În zilele noastre, toți cei care au făcut matematică au auzit de ecuații diofantine. Ecuațiile algebrice cu coeficienți întregi, rezolvate în mulțimea numerelor întregi (mai rar raționale), au intrat în istoria matematicii ca Diofantine . Ecuațiile diofantine de gradul I și II sunt cele mai studiate. Conținutul lucrării mele include probleme care se reduc la rezolvarea unei ecuații de gradul întâi cu două necunoscute

(1)

Să luăm în considerare problema.

Sarcina 1. În celulă este X fazani si la iepuri. Câți fazani și iepuri sunt într-o cușcă dacă numărul total de picioare este de 62.

Numărul total picioarele pot fi scrise folosind ecuația 2x + 4y \u003d 62 (2)

Această egalitate, pe care am făcut-o în funcție de condiția problemei, se numește ecuație cu două variabile. Această ecuație se numește ecuație liniară. Ecuațiile liniare joacă un rol important în rezolvarea diferitelor probleme. Permiteți-mi să vă reamintesc principalele prevederi asociate acestui concept.

O ecuație liniară cu două variabile este o ecuație de forma ax + cu \u003d c, unde x și y sunt variabile, a, b și c sunt unele numere.

Determinați fără ambiguitate din ecuația (2) valorile X și y este interzis. Chiar dacă ne limităm la valorile naturale ale variabilelor, pot exista astfel de cazuri: 1 și 15, 3 și 14, 5 și 13 etc.

O pereche de numere ( a , b ) se numește soluție a unei ecuații cu două variabile dacă, la înlocuirea lui x cu a și y cu b, obținem egalitate adevărată.

Fiecare ecuație cu două variabile corespunde mulțimii soluțiilor sale, adică mulțimii formată din toate perechile de numere (a, b), înlocuindu-le în ecuație, se obține o egalitate adevărată. În acest caz, desigur, dacă seturile X și Y sunt specificate în avans, care poate accepta necunoscute x și y, atunci trebuie să luați numai astfel de perechi (a, b), pentru care a aparține lui X și b aparține lui Y .

Câteva numere ( a, b) poate fi reprezentat în plan prin punctul M, care are coordonatele Ași b, M \u003d M (a, b). Luând în considerare imaginile tuturor punctelor din mulțimea soluției unei ecuații cu două necunoscute, obținem o anumită submulțime a planului. Se numește graficul ecuației .

Se poate arăta că graficul ecuație liniară cu două variabile, în care cel puțin unul dintre coeficienți nu este egal cu zero, este o linie dreaptă. Pentru a reprezenta această ecuație, este suficient să luați două puncte cu coordonate și să trasați o linie dreaptă prin ele. Metoda grafică soluții pe care le-am folosit în lucrările anterioare.

Se spune că două ecuații din două variabile care au aceleași soluții sunt echivalente.

De exemplu, ecuațiile x + 2y = 5 și 3x + 6y = 15 sunt echivalente - orice pereche de numere care satisface una dintre aceste ecuații o satisface și pe a doua.

Ecuațiile cu două variabile au aceleași proprietăți ca și ecuațiile cu o variabilă:

1) dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, atunci obținem o ecuație echivalentă cu cea dată;

2) dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se obține o ecuație care este echivalentă cu cea dată.

Există mai multe moduri de a rezolva ecuațiile diofantine:

Metoda de alegere

Folosind algoritmul Euclid

Folosind shot-ul continuat

Metoda de împrăștiere (măcinare).

Folosind limbajul de programare Pascal

În munca mea, am explorat metode - enumerarea opțiunilor și dispersia (măcinare)

Având în vedere modul de enumerare a opțiunilor, este necesar să se țină cont de număr solutii posibile ecuații. De exemplu, această metodă poate fi aplicată prin rezolvarea următoarei probleme:

Sarcina 2. Andrei lucrează într-o cafenea vara. Pentru fiecare oră el este plătit cu 10 ruble. Și calculează 2 r. pentru fiecare farfurie spartă. Săptămâna trecută a câștigat 180 de lei. Stabiliți câte ore a lucrat și câte plăci a spart, dacă se știe că nu lucrează mai mult de 3 ore pe zi.

Soluţie.

Lăsa X ore în care a lucrat într-o săptămână, atunci 10x R. a fost plătit, dar a rupt la plăci și s-au scăzut din ea 2 ani R. Avem ecuația 10x - 2y \u003d 180, și X mai mic sau egal cu 21. Se obține: 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

pentru că X întreg, atunci la trebuie să fie divizibil egal cu 5 pentru a obține un număr întreg în partea dreaptă. Sunt patru cazuri

y=0, x=18, adică soluția este perechea - (18, 0);

y=5, x=19, (19, 5);

y=10, x=20, (20, 10);

y=15, x=21, (21, 15).

Am rezolvat această problemă folosind metoda de enumerare a opțiunilor. Răspunsul conține patru opțiuni posibile. Am încercat să rezolv încă câteva probleme în acest fel.

Sarcina 3. Suma de 23 de ruble a fost făcută din monede de două și cinci ruble. Câte dintre aceste monede de două ruble există?

Soluţie.

Lăsa X - numărul de monede de două ruble, y - numărul de monede de cinci ruble. Să facem și să rezolvăm ecuația: 2x+5y=23; 2x=23–5y; x \u003d (23 - 5y): 2; x \u003d (22 + 1 - 5y): 2, împărțim 22 la 2 și (1 - 5y) la 2 termen cu termen, obținem: x \u003d 11 + (1 - 5y): 2.

pentru că X și y numere naturale în funcție de starea problemei, atunci partea stângă a ecuației este un număr natural, ceea ce înseamnă că și partea dreaptă trebuie să fie un număr natural. În plus, pentru a obține un număr natural în partea dreaptă, este necesar ca expresia (1 - 5y) să fie complet divizibilă cu 2. Să enumerăm opțiunile.

y =1, x=9, adică pot exista 9 monede de două ruble;

y=2, în timp ce expresia (1 - 5y) nu este divizibil cu 2;

y=3, x=4, adică pot exista 4 monede de două ruble;

când y este mai mare sau egal cu 4, x nu este un număr natural.

Astfel, răspunsul în problemă este următorul: printre monede sunt 9 sau 4 monede de două ruble.

Sarcina 4. Șeherazade îi spune poveștile marelui domnitor. În total, ea trebuie să spună 1001 de basme. De câte nopți îi va trebui lui Șeherazade să-și spună toate poveștile dacă X nopți ea va spune 3 povești, iar restul poveștilor 5 pt la nopti

Soluţie.

Povestitorul are nevoie de x + y nopti , unde x și y - rădăcinile naturale ale ecuației 3x + 5y \u003d 1001

x \u003d (1001 - 5y): 3; deoarece X este un număr natural, atunci partea dreaptă a egalității trebuie să conțină și un număr natural, ceea ce înseamnă că expresia (1001 - 5y) trebuie să fie complet divizibilă cu 3.

Să trecem peste opțiuni.

y=1, 1001 - 5y=1001-5= 996, 996 este divizibil cu 3, deci x=332; decizie(332;1);

y=2, 1001– 10=991, 991 nu este divizibil cu 3;

y=3, 1001 - 15 = 986; 986 nu e divizibil cu 3;

y \u003d 4, 1001 - 20 \u003d 981, 981 este divizibil cu 3, prin urmare, x \u003d 327, soluția este (327; 4), etc.

Există 67 de perechi de rădăcini posibile în această problemă, nu am arătat toate soluțiile la această problemă, pentru că durează mult.

Ecuația topor + de = c (1) în problemele de mai sus am rezolvat metoda de enumerare a opțiunilor. Mi-am dat seama că metoda de enumerare a opțiunilor nu este întotdeauna eficientă pentru rezolvarea acestei probleme, deoarece este nevoie de o perioadă semnificativă de timp pentru a găsi toate soluțiile ecuației. Și, după părerea mea, în prezent este irelevant.

Prin urmare, am rezolvat problema Scheherazade folosind metoda dispersiei (măcinare).

Metoda împrăștierii este o metodă generală de rezolvare a ecuațiilor nedefinite de gradul I cu coeficienți întregi în numere întregi.

Deci, să rezolvăm problema despre Scheherazade prin metoda de împrăștiere:

Să trecem la ecuația 3x + 5y = 1001.

Să o rescriem diferit: 3x = 1001 - 5y; 3x \u003d 1001 - 2y - 3y;

x = -y +
si denota X l= y + X

Ca rezultat, ecuația va lua forma 3x 1 = 1001 - 2y sau

y = - X l
.

Dacă înlocuim din nou y 1 \u003d y + x 1, atunci ajungem la ecuație

x 1 + 2y 1 \u003d 1001. Rețineți că coeficienții pentru necunoscute au scăzut - au fost mărunțiți.

Aici coeficientul de la x 1 este egal cu 1 și, prin urmare, pentru orice număr întreg y 1 \u003d t, numărul x 1 este, de asemenea, un număr întreg. Rămâne să exprimăm variabilele originale în termeni de t :

x 1 \u003d 1001 - 2 t, prin urmare, y \u003d - 1001 + 3 t și x \u003d 2002 - 5 t. Deci, obținem o succesiune infinită (2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) de soluții întregi . Aspectul formulelor de găsire a valorilor variabilelor diferă de soluțiile obținute mai devreme, dar ținând cont de starea problemei, rădăcinile sunt aceleași. Deci, perechea (332;1) se obține la t =334.

După părerea mea, această metodă nu este doar mai convenabilă (are un algoritm de acțiuni), ci și interesantă. Această metodă este cunoscutăîn aplicat mai întâi la începutVIîn. matematician indian Aryabhatta.

Anul trecut am arătat soluția vechii probleme indiene Brahmagupta la metodele de împrăștiere propuse de Brahmagupta însuși. Decizia a fost irațională.

Este prezentat mai jos:

„Găsiți două numere întregi, știind că diferența dintre produsele primului cu 19 și ale celui de-al doilea cu 8 este 13.”

În problemă este necesar să se găsească toate soluțiile întregi ale ecuațiilor.

Soluţie:

(1) 19X – 8y = 13

exprim y este necunoscuta cu cea mai mică valoare absolută a coeficientului prin X, Eu iau:

(2) y = (19X – 13)/8

Acum trebuie să aflăm pentru ce valori întregi X valorile corespunzătoare y sunt de asemenea numere întregi. Voi rescrie ecuația (2) după cum urmează:

(3) y = 2X + (3X – 13)/8

Din (3) rezultă că y cu un număr întreg x ia o valoare întreagă numai dacă expresia (3 X-13)/8 este un număr întreg, să spunem y 1 . Presupunând

(4) (3X - 13)/8 = y 1 ,

întrebarea se reduce la rezolvarea ecuaţiei (4) în numere întregi cu două necunoscute x şi y 1 ; se poate scrie asa:

(5) 3X – 8y 1 = 13.

Această ecuație are avantajul față de ecuația inițială (1) că 3 - cea mai mică dintre valorile absolute ale coeficienților pentru necunoscute - este mai mică decât în ​​(1), adică. 8. Acest lucru a fost realizat prin înlocuirea coeficientului de la x (19) cu restul de 8.

Continuând în același mod, obținem din (5):

(6) X= (8 ani 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

Deci, necunoscutul x cu întreg y 1 ia numai valori întregi atunci când (2 y 1 + 13)/3 este un număr întreg, să zicem y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

sau

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

Presupunând

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

obține

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

Aceasta este cea mai simplă dintre toate ecuațiile nedefinite considerate, deoarece unul dintre coeficienți este egal cu 1.

Din (11) primesc:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

Acest lucru arată că y 2 ia valori întregi pentru orice valori întregi ale lui y 3 . Din egalitățile (6), (9), (12), (3) prin substituții succesive, putem găsi următoarele expresii pentru ecuațiile necunoscute x și y (1):

X= 2y 1 +y 2 = 2(y 2 +y 3 ) + y 2 = 3y2 + 2 y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

la= 2X + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

Deci formulele

x=8 y 3 + 39,

y=19 y 3 + 91.

La y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, … dați toate soluțiile întregi ale ecuației (1).

Următorul tabel oferă exemple de astfel de soluții.

Tabelul 1.

y3

X

y

Să rezolvăm această problemă rațional. Soluția folosește un algoritm specific.

Sarcina 5.

Găsiți două numere dacă diferența dintre produsele primului cu 19 și ale celui de-al doilea cu 8 este 13.

Soluţie. Este necesar să se rezolve ecuația 19x - 8y \u003d 13

Să o rescriem altfel: 8y =19x –13; 8y =16x +3x -13; y = 2x +

si denota y 1 \u003d y - 2x.

Ca rezultat, ecuația va lua forma 8y 1 = Zx - 13 sau x = 2y 1
.

Dacă înlocuim din nou x 1 \u003d x - 2y 1, atunci ajungem la ecuație

3x l - 2y 1 \u003d 13.

Coeficienții pentru necunoscute au scăzut - au fost zdrobiți. Măcinarea ulterioară: y 1 = x l +
, atunci obținem y 2 \u003d y 1 -x 1.

Ca rezultat, ultima ecuație este convertită în forma x 1 - 2y 2: \u003d 13. Aici coeficientul de la x 1 este egal cu 1 și, prin urmare, pentru orice număr întreg y 2 \u003d t, numărul x 1 este de asemenea un număr întreg.

Rămâne să exprimăm variabilele originale în termeni de t :

mai întâi exprimăm x 1 \u003d 2t +13, y 1 \u003d 3t +13; și apoi x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Deci, obținem o succesiune infinită (39 + 8t, 91 + 19 t) soluții întregi. Ecuația topor + de = c (1) în problemele de mai sus, am rezolvat metoda de dispersie (măcinare).

IV. Concluzie.

Studiind ecuațiile diofante pentru a le rezolva, am folosit metodele de enumerare a opțiunilor și împrăștiere (șlefuire). Cu aceste metode, am rezolvat atât problemele moderne, cât și cele vechi. Conținutul muncii mele a inclus sarcini care se rezumă la rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi cu două variabile ax + b y \u003d c (1)

În timpul muncii mele, am ajuns la următoarele concluzii:

Metoda de enumerare necesită costuri semnificative de timp, ceea ce înseamnă că nu este foarte convenabilă și rațională.

Mai rațională, după părerea mea, este metoda de împrăștiere. Când rezolvam o veche problemă indiană cu această metodă, mi-am dat seama că există un anumit algoritm de soluție. Am avut destule cunoștințe acumulate la școală. Eram convins că metodele de rezolvare a ecuațiilor dofantice sunt în mod constant îmbunătățite odată cu dezvoltarea matematicii.

Anul viitor vreau să studiez în continuare metode de rezolvare a ecuațiilor diofante.

V. Bibliografie

G. I. Glazer „Istoria matematicii la școală” M.: ed. „Iluminismul” 1964 376s.

I. G. Bashmakova „Ecuații diofantine și diofantine” M.: ed. „Știință” 1972 68s.

V. A. Nikiforovsky „În lumea ecuațiilor” M.: ed. „Știință” 1987 176s.

A. P. Savin „Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician” M .: ed. „Pedagogie” 1985

G. M. Voznyak, V. F. Gusev „Probleme aplicate pentru extrema” M.: ed. „Iluminismul” 1985 144s.

http :// ro . wikipedia . org

VI. Aplicație.

La fermă este necesar să se realizeze un sistem de alimentare cu apă cu o lungime de 167m. Conductele sunt disponibile în lungimi de 5m și 7m. Câte țevi ar trebui folosite pentru a face cel mai mic număr de conexiuni (nu tăiați țevile)?

Având în vedere că numărul atât al uneia, cât și al celorlalte țevi poate varia, numărul țevilor de 7 metri este notat cu x,5- metru - prin la

Atunci 7x este lungimea țevilor de 7 metri, 5y este lungimea țevilor de 5 metri.

De aici obținem ecuația nedefinită:

7x+5y=167

După ce am scos, de exemplu, o variabilă la printr-o variabilă X, primim:

Este ușor să găsiți perechi de valori potrivite prin iterare Xși la, care satisfac ecuația 7x+5y=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Dintre aceste soluții, ultima este cea mai avantajoasă, adică x=21; y=4.

Multe moduri antice de a ghici numerele și datele de naștere se bazează pe rezolvarea ecuațiilor diofantine. Deci, de exemplu, pentru a ghici data nașterii (luna și ziua) a interlocutorului, este suficient să aflați de la el suma primită din adăugarea a două produse: numărul datei (X ) cu 12 și numere de luni (la ) la 31.

2. Fie suma lucrărilor în cauză 330. Aflați data nașterii.

Să rezolvăm ecuația nedefinită

12 X + 31 la = 330.

Folosind metoda de împrăștiere, obținem:

X = 43 – 31 la 4 ,

la = 6 – 12 la 4 .

Având în vedere limitările, este ușor de afirmat că singura solutie este

la 4 = 1, X = 12, la = 6.

Deci, data nașterii: a 12-a zi a lunii a 6-a, i.e. 12 iunie.

Liniar ecuații diofantine

Lucrări de cercetare în algebră

MOU pentru elev de clasa a IX-a „Upshinskaya OOSh”

Antonov Yuri

„Dacă vrei să înveți să înoți, atunci

intră cu îndrăzneală în apă, iar dacă vrei

invata sa rezolvi problemele, apoi rezolva-le.

D.Poya

Şef - Sofronova N.A. .

O sarcină

Pentru pardoseli cu lățimea de 3 metri există plăci cu lățimea de 11 cm și 13 cm.De câte plăci de ambele dimensiuni aveți nevoie?

În cazul în care un X - numărul de scânduri de 11 cm lățime, și la - numărul de plăci de 13 cm lățime, atunci trebuie să rezolvăm ecuația:

11 X + 13 y = 300

Caracteristicile ecuației 11 x + 13 y \u003d 300: ▪ Coeficienții 11, 13, 300 sunt numere întregi. ▪ Numărul de necunoscute depășește numărul de ecuații. ▪ Soluțiile acestei ecuații x și y trebuie să fie întregi numere pozitive

Ecuațiile algebrice sau sistemele de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, în care numărul de necunoscute depășește numărul de ecuații și pentru care trebuie găsite soluții întregi, se numesc nedefinite sau diofantina, numit după un matematician grec Diophantus .

Exemple de ecuații diofantine

1 . Găsiți toate perechile de numere întregi

X , y , pentru care este adevărat egalitate

2 . Arătați că ecuația

are un număr infinit de soluții

numere întregi

Obiectiv:

A descoperi:

• Ce fel metode Cu exista pentru soluții la ecuațiile diofante?

Sarcini:

• Găsiți și și invata metode de rezolvare liniar Ecuații diofantine în două variabile.

• Luați în considerare posibilitățile teoriei ecuațiilor diofantine liniare.

tripleți pitagoreici

• Ecuațiile nedefinite în numere întregi au fost rezolvate chiar înainte de Diophantus. De mare interes a fost, de exemplu, ecuația algebrică X 2 + y 2 = z 2 , părți obligatorii X , la , z triunghi dreptunghic. numere întregi X , y și z , care sunt soluții ale acestei ecuații, se numesc „Tripleți pitagoreici” .

Ecuația lui Fermat

• Lucrările lui Diophantus sunt, de asemenea, direct legate de cercetările matematice ale matematicianului francez Pierre de Fermat. Se crede că opera lui Fermat a început un nou val în dezvoltarea teoriei numerelor. Iar una dintre problemele lui este celebra ecuație a lui Fermat

X n +y n =z n

Nici un matematician important nu a trecut de teoria ecuațiilor diofantine.

Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Cebyshev au lăsat o amprentă de neșters asupra acestei teorii interesante.

Exemple de ecuații nedefinite rezolvate de mari matematicieni Secolele al XIX-lea și al XX-lea: X 2 − ny 2 = 1 , Unde n nu este un pătrat exact (Fermat, Pell); X z − y t = 1 , Unde z , t 1, (catalana); Oh 2 + b.xy + su 2 + dx + ei + f = 0 , Unde A , b , Cu , d , e , f - numere întregi, adică o ecuație generală neomogenă de gradul doi cu două necunoscute (P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange și K. Gauss)

Ecuații diofantine în secolul al XX-lea

1900 Congresul Internațional de Matematică.

A 10-a problemă a lui Hilbert

Având în vedere o ecuație diofantică cu un anumit număr de necunoscute și coeficienți întregi raționali. Este necesar să se vină cu o procedură care ar putea determina într-un număr finit de operații dacă ecuația este rezolvabilă în numere întregi raționale.

matematician rus Yuri Matiyasevici demonstrat :

A 10-a problemă a lui Hilbert este de nerezolvat - algoritmul necesar nu există.

Este întotdeauna posibil să găsiți toate soluțiile întregi pentru o anumită ecuație nedefinită sau să dovediți absența unei astfel de ecuații?

• Problema rezolvării ecuațiilor în numere întregi a fost complet rezolvată doar pentru ecuațiile de gradul I cu două sau trei necunoscute.
• DE de gradul II cu două necunoscute este deja rezolvată cu mare dificultate.
• DE de gradul doi cu mai mult de două necunoscute sunt rezolvate numai în unele cazuri speciale, de exemplu, ecuația X 2 + y 2 = z 2 .
• DE de grad mai mare decât al doilea au, de regulă, doar un număr finit de soluții (în numere întregi).
• Pentru ecuațiile de peste gradul doi cu două sau mai multe necunoscute, chiar și problema existenței soluțiilor întregi este destul de dificilă. De exemplu, nu se știe dacă ecuația are

X 3 + y 3 + z 3 = 30 cel puțin o soluție întreagă.

• Pentru a rezolva ecuații diferențiale individuale și, uneori, pentru ecuații specifice, trebuie să inventăm noi metode. Evident, nu există un algoritm care să permită găsirea de soluții la DE arbitrar.

Ecuații liniare diofantine

Forma generala:

LDE cu două variabile:

A X + prin = c

LDE cu trei variabile:

A X + prin + cz = d

LDE cu două necunoscute

LDE cu două variabile:

A X + prin = c

Solutii:

X = x 0 - bt

la = la 0 + la

Omogen:

A X + prin = 0

Solutii:

X = - bt

la = la

Găsirea unei soluții private

Metode de rezolvare:

• Metoda multiplă.
• Aplicarea algoritmului Euclid.
• Metoda iterației.
• Metoda de coborâre.

• Metoda de considerare a resturilor din diviziune

Metoda multiplă

rezolva ecuatia 11 x + 2 y = 69

Căutăm o sumă egală cu 69: 55 + 14 = 69 Soluție particulară a ecuației

X 0 = 5, y 0 = 7

Aplicarea algoritmului Euclid

rezolva ecuatia 4 x + 7 y = 16

• Să găsim mcd-ul numerelor 4 și 7 folosind algoritmul Euclid: mcd(4,7) = 1

• Să exprimăm numărul 1 prin coeficienți A = 4 și b =7 folosind teorema expansiunii liniare GCD:

GCD ( A, b ) = au+bv .

• Se obține: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1

• Soluție particulară a ecuației: X 0 = 2 ∙ 16 = 32,

la 0 = -1 ∙ 16 = -16

metoda de enumerare

rezolva ecuatia 7 x + 12 y = 100

• 7x + 12y = 100
• 7x \u003d 100 - 12y
• 100 - 12 ani multiplu de 7

Soluție particulară a ecuației: X 0 = 4, y 0 = 6

100-12u

Metoda de eliberare: 3x+8y=60

Expres

variabil X

prin la

Expres

variabil X

prin t

Răspuns:

Examinare:

Metoda de considerare a resturilor din diviziune

• Rezolvați ecuația în numere întregi 3x - 4y \u003d 1
• 3 x = 4 y + 1
• Partea stângă a ecuației este divizibilă cu 3, deci partea dreaptă trebuie să fie divizibilă cu 3. Împărțirea cu 3 poate avea ca rezultat resturile 0, 1 și 2.
• Să luăm în considerare 3 cazuri.

3x = 4 ∙ 3p + 1 = 12p + 1

y=3p+1

Nu este divizibil cu 3

3x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12p + 3

y=3p+2

Nu este divizibil cu 3

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12p + 9

3x=3(4p+3)

x = 4 p + 3

Răspuns:

Divizibil cu 3

x = 4 p + 3 ; y=3p+2

Posibilitățile teoriei LDE Găsiți toate soluțiile întregi ale unei ecuații X 2 + 5 ani 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0

Ce mi-a oferit proiectul?

• Am obținut informații despre lucrul la un proiect de cercetare.
• S-a familiarizat cu istoria dezvoltării ecuațiilor diofantine și cu biografia lui Diophantus.
• Metode studiate pentru rezolvarea LDE-urilor cu două și trei necunoscute.
• a rezolvat un grup de probleme care sunt de natură practică și apar și la olimpiade, examene pentru cursul școlar de bază
• Dobândirea abilităților de a rezolva probleme non-standard.

Cred că în viitor voi continua să studiez ecuațiile diofantine de gradul doi și metodele de rezolvare a acestora.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

• Matematică în concepte, definiții și termeni. Partea 1. Un ghid pentru profesori. Ed. L.V. Sabinina. M., „Iluminismul”, 1978. -320 p. (Biblioteca unui profesor de matematică.) Pe spatele cărții de titlu: O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorokin, N.G. Fedin.
• Nagibin F.F., Kanin E.S. Math Box: Un ghid pentru elev. – Ed. a IV-a, revizuită. si suplimentare - M.: Iluminismul, 1984. - 160s., ill.
• N.P. Tuchnin. Cum să pun o întrebare? (Despre creativitatea matematică a școlarilor): O carte pentru elevi. - M .: Educaţie, 1993. - 192 p., ill.
• S.N.Olekhnik, Yu.V.Nesterenko, M.K.Potapov Probleme de divertisment antice. –M.: Butard, 2002. -176s., ill.
• Ya.I. Perelman. Algebră distractivă. - M.: Nauka, 1975. - 200 de ani, bolnav.
• Resursa electorala: http :// www.yugzone.ru /X/ diofant-i-diofantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova „Ecuații diofantine și diofantine”.
• Resursa electorala: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_eng.html A 10-a problemă a lui Hilbert: istoria unei descoperiri matematice (Diophantus, Fermat, Hilbert, Julia Robinson, Nikolai Vorobyov, Yuri Matiyasevich).
• Resursa electorală: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Ecuații diofantine.
• Resursa electorala: http :// revolution.allbest.ru / matematică /d00013924.html Belov Denis Vladimirovici Ecuații Diofantine Liniare.
• Resursa electorala: http :// revolution.allbest.ru / matematică /d00063111.html Ecuații liniare diofantine
• Resursa electorala: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 Zyuryukina Olga. Ecuații nedefinite în numere întregi sau ecuații diofantine.
• Resursa electorala: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 Arapov Alexandru. Diophantus și ecuațiile sale.
• Resursa electorala: http :// en.wikipedia.org / wiki / algoritmul lui Euclid.

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Instituție de învățământ superior de stat

învăţământul profesional

„Academia Socială și Pedagogică de Stat din Tobolsk

lor. DI. Mendeleev"

Departamentul de Matematică, TIMOM

Câteva ecuații diofantine

Lucrări de curs

Student în anul III FMF

Mataev Evgheni Viktorovici

Consilier stiintific:

Candidat la științe fizice și matematice A.I. Valitskas

Nota: ____________

Tobolsk - 2011

Introducere……………………………………………………………………........2

§ 1. Ecuații diofantine liniare……………………………………………..3

§ 2. Ecuaţia diofantinăX 2 – y 2 = A………………………………….....9

§ 3. Ecuaţia diofantinăX 2 + y 2 = A…………………………………... 12

§ 4. Ecuaţia x 2 + x + 1 = 3y 2 …………………………………………….. 16

§ 5. Triple pitagorice…………………………………………………….. 19

§ 6. Ultima Teoremă a lui Fermat…………………………………………………………23

Concluzie……………………………………………………………………….…….29

Bibliografie...........………………………………………………..30

INTRODUCERE

O ecuație diofantină este o ecuație de formă P(X 1 , … , X n ) = 0 , unde partea stângă este un polinom în variabile X 1 , … , X n cu coeficienți întregi. Orice set comandat (u 1 ; … ; u n ) numere întregi cu proprietate P(u 1 , … , u n ) = 0 se numește soluție (parțială) a ecuației diofantine P(X 1 , … , X n ) = 0 . A rezolva o ecuație diofantină înseamnă a găsi toate soluțiile ei, adică. soluția generală a acestei ecuații.

Scopul nostru va fi să învățăm cum să găsim soluții la unele ecuații diofante, dacă aceste soluții sunt disponibile.

Pentru a face acest lucru, trebuie să răspundeți la următoarele întrebări:

A. Ecuația diofantină are întotdeauna o soluție, găsiți condițiile existenței unei soluții.

b. Există un algoritm care permite găsirea unei soluții la o ecuație diofantină.

Exemple: 1. Ecuația diofantină 5 X – 1 = 0 nu are solutii.

2. Ecuația diofantină 5 X – 10 = 0 are o solutie X = 2 , care este singurul.

3. Ecuația ln X – 8 X 2 = 0 nu este diofantina.

4. Adesea ecuații de formă P(X 1 , … , X n ) = Q(X 1 , … , X n ) , Unde P(X 1 , … , X n ) , Q(X 1 , … , X n ) sunt polinoame cu coeficienți întregi, numite și Diofantine. Ele pot fi scrise sub formă P(X 1 , … , X n ) – Q(X 1 , … , X n ) = 0 , care este standard pentru ecuațiile diofantine.

5. X 2 – y 2 = A este o ecuație diofantină de gradul doi cu două necunoscute x și y pentru orice număr întreg a. Are solutii pt A = 1 , dar nu are soluții pentru A = 2 .

§ 1. Ecuaţii liniare diofantine

Lăsa A 1 , … , A n , CuZ . Tip ecuație A 1 X 1 + … + a n X n = c se numește ecuație diofantină liniară cu coeficienți A 1 , … , A n , partea dreaptă c și necunoscută X 1 , … , X n . Dacă partea dreaptă c a unei ecuații diofantine liniare este zero, atunci o astfel de ecuație diofantină se numește omogenă.

Scopul nostru imediat este să învățăm cum să găsim soluții particulare și generale ale ecuațiilor liniare diofantine în două necunoscute. Evident, orice ecuație diofantină omogenă A 1 X 1 + … + a n X n = 0 are întotdeauna o soluție specială (0; … ; 0).

Este evident că o ecuație diofantină liniară, ai cărei toți coeficienții sunt egali cu zero, are soluție numai în cazul în care latura sa dreaptă este egală cu zero. În general, avem următoarele

Teoremă (cu privire la existența unei soluții la o ecuație diofantină liniară). Ecuația diofantică liniară A 1 X 1 + … + a n X n = c, ai cărui coeficienți nu sunt toți egali cu zero, are o soluție dacă și numai dacă GCD (a 1 , … , A n ) | c.

Dovada. Necesitatea afecțiunii este evidentă: GCD (a 1 , … , A n ) | A i (1 i n) , asa de GCD (a 1 , … , A n ) | (A 1 X 1 + … + A n X n ) , ceea ce înseamnă că împarte și

c = A 1 X 1 + … + A n X n .

Lăsa D= gcd(A 1 , … , A n ) , c =Dt și A 1 u 1 + … + a n u n = D – extinderea liniară a celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 , … , A n. Înmulțirea ambelor părți cu t, primim A 1 (u 1 t) + … + a n (u n t) = Dt = c, adică întreg

n-ka (X 1 t; … ; X n t) este o soluție a ecuației inițiale cu n necunoscut.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă oferă un algoritm constructiv pentru găsirea unor soluții particulare la ecuațiile liniare diofantine.

Exemple: 1. Ecuația diofantică liniară 12x+21y=5 nu are solutie pentru ca mcd(12, 21) = 3 nu se împarte 5 .

2. Găsiți o anumită soluție a ecuației diofantine 12x+21y = 6.

Evident acum mcd(12, 21) = 3 | 6, deci solutia exista. Scriem expansiunea liniară mcd(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1). Prin urmare, un cuplu (2; –1) este o soluție particulară a ecuației 12x+21y = 3, și un cuplu (4; –2) este o soluție particulară a ecuației inițiale 12x+21y = 6.

3. Găsiți o anumită soluție a unei ecuații liniare 12x + 21y - 2z = 5.

pentru că (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , atunci soluția există. În urma demonstrației teoremei, găsim mai întâi o soluție a ecuației (12.21)x–2y=5, iar apoi, înlocuind expansiunea liniară a celui mai mare divizor comun din problema anterioară, obținem soluția ecuației inițiale.

Pentru a rezolva ecuația 3x - 2y = 5 notează expansiunea liniară mcd(3, -2) = 1 = 31 - 21 evident. Deci câteva numere (1; 1) este o soluție a ecuației 3 X – 2 y = 1 , și un cuplu (5; 5) este o soluție particulară a ecuației diofantine 3x - 2y = 5.

Asa de, (12, 21)5 – 25 = 5 . Înlocuind aici expansiunea liniară găsită anterior (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , primim (122+21(–1))5 – 25 = 5 , sau 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , adică triplet de numere întregi (10; –5; 5) este o soluție particulară a ecuației diofantine originale 12x + 21y - 2z = 5.

Teoremă (asupra structurii soluției generale a unei ecuații diofantine liniare). Pentru o ecuație diofantină liniară A 1 X 1 + … + a n X n = c următoarele afirmații sunt adevărate:

(1) dacă = (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; … ; v n ) sunt soluțiile sale particulare, apoi diferența (u 1 –v 1 ; … ; u n –v n ) este o soluție particulară a corespunzătoare ecuație omogenă A 1 X 1 + … + a n X n = 0 ,

(2) mulţimea soluţiilor particulare ale ecuaţiei liniare omogene diofantine A 1 X 1 + … + a n X n = 0 închis la adunare, scădere și înmulțire cu numere întregi,

(3) dacă M este soluția generală a ecuației Diofantine liniare dată și L este soluția generală a ecuației diofantine omogene corespunzătoare, apoi pentru orice soluție particulară = (u 1 ; … ; u n ) a ecuației inițiale, egalitatea M = +L .

Dovada. Scăderea egalității A 1 v 1 + … + A n v n = c din egalitate A 1 u 1 + … +a n u n = c, primim A 1 (u 1 –v 1 ) + … + a n (u n –v n ) = 0 , adică setul

(u 1 –v 1 ; … ; u n –v n ) este o soluție particulară a ecuației Diofantine liniare omogene A 1 X 1 + … + a n X n = 0 . Astfel, s-a dovedit că

= (u 1 ; … ; u n ), = (v 1 ; … ; v n ) ML .

Aceasta dovedește afirmația (1).

Afirmația (2) se dovedește în mod similar:

, L z Z L z L .

Pentru a demonstra (3), notăm mai întâi că M+L. Aceasta rezultă din cea precedentă: M+L .

În schimb, dacă = (l 1 ; … ; l n ) L și = (u 1 ; … ; u n ) M, apoi M:

A 1 (u 1 +l 1 )+ …+a n (u n +l n ) = (a 1 u 1 + … + a n u n )+(a 1 l 1 + … + a n l n ) = c + 0 = c.

În acest fel, + LM, si eventual M = +L .

Teorema a fost demonstrată.

Teorema demonstrată are un sens geometric clar. Dacă luăm în considerare ecuația liniară A 1 X 1 + … + a n X n = c, Unde X i R, apoi, după cum se știe din geometrie, determină în spațiu R n hiperplan obținut din avion L cu ecuație omogenă A 1 X 1 + … +a n X n =0 trecând prin originea coordonatelor printr-o deplasare de către vreun vector R n. Suprafața de vedere + L numită și colectoare liniară cu spațiu de ghidare Lși vector de deplasare . Astfel, se demonstrează că soluţia generală M ecuația diofantină A 1 X 1 + … + a n X n = c constă din toate punctele unei varietăți liniare având coordonate întregi. În acest caz, coordonatele vectorului de deplasare sunt, de asemenea, numere întregi, iar mulțimea L soluţii ale ecuaţiei diofante omogene A 1 X 1 + … + a n X n = 0 constă din toate punctele din spațiul de ghidare cu coordonate întregi. Din acest motiv, se spune adesea că mulțimea soluțiilor unei ecuații diofantine arbitrare formează o varietate liniară cu un vector de deplasare. și spațiu de conducere L.

Exemplu: pentru ecuația diofantină x - y \u003d 1 decizie comună M are forma (1+y; y), unde yZ, soluția sa particulară = (1; 0) , și soluția generală L ecuație omogenă x – y = 0 va fi scris în formular (y; y), Unde laZ. Astfel, putem desena următoarea imagine, în care soluțiile ecuației diofantine originale și ale ecuației diofantine omogene corespunzătoare sunt prezentate prin puncte groase în varietatea liniară M si spatiu L respectiv.

2. Aflați soluția generală a ecuației diofantine 12x + 21y - 2z = 5.

Soluție privată (10; –5; 5) această ecuație a fost găsită mai devreme, găsim soluția generală a ecuației omogene 12x + 21y - 2z = 0, echivalent cu ecuația diofantină 12 X + 21 y = 2 z.

Pentru ca această ecuație să fie rezolvabilă, este necesar și suficient ca condiția mcd(12, 21) = 3 | 2z, acestea. 3 | z sau z = 3t pentru un număr întreg t. Reducerea ambelor părți la 3 , primim 4x + 7y = 2t. Soluție particulară (2; –1) a ecuației diofantine 4x+7y= 1 găsite în exemplul anterior. De aceea (4t; -2t) este o soluție particulară a ecuației 4x + 7y = 2t pentru orice

t Z. Rezolvarea generală a ecuației omogene corespunzătoare

(7 u ; –4 u) găsit deja. Astfel, soluția generală a ecuației 4x + 7y = 2t se pare ca: (4t + 7u; -2t - 4u) , și soluția generală a ecuației omogene 12x + 21y - 2z = 0 va fi scris astfel:

(4t + 7u; -2t - 4u; 3t).

Este ușor de verificat că acest rezultat corespunde teoremei enunțate mai sus fără dovezi pe soluții ale ecuației diofante omogene. A 1 X 1 + … + a n X n = 0 : dacă P = , apoi Rși

(u; t) P este soluția generală a ecuației omogene considerate.

Deci, soluția generală a ecuației diofantine 12x + 21y - 2z = 5 arata asa: (10 + 4t + 7u; –5 – 2t – 4u; 5+3t).

3. Pe exemplul ecuației anterioare, ilustrăm o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor diofantine în multe necunoscute, care constă în scăderea succesivă a valorii maxime a modulelor coeficienților săi.

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

Astfel, soluția generală a ecuației considerate poate fi scrisă după cum urmează: (x; 5 - 12x + 2u; 50 - 120x + 21u), Unde x, u sunt parametri întregi arbitrari.

§ 2. Ecuaţia diofantinăX 2 – y 2 = A

Exemple: 1. La A = 0 obținem un număr infinit de soluții: X = y sau X = – y pentru oricine y Z.

2. La A = 1 avem X 2 – y 2 = 1 (X + y)(X – y) = 1 . Astfel, numărul 1 este descompus în produsul a doi factori întregi X + yși X – y(important, asta X, y- întreg!). Pentru că numărul 1 doar două expansiuni în produsul factorilor întregi 1 = 11 și 1 = (–1)(–1) , avem două posibilități: .

3. Pentru A = 2 avem X 2 – y 2 = 2 (X + y)(X – y) = 2. Procedând în mod similar cu cel precedent, luăm în considerare expansiunile

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), compunem sisteme:, care, spre deosebire de exemplul precedent, nu au soluții. Deci nu există soluții pentru ecuația diofantină considerată X 2 – y 2 = 2.

4. Considerațiile anterioare conduc la unele concluzii. Soluții de ecuație X 2 – y 2 = A sunt în descompunere A = kmîn produsul numerelor întregi din sistem . Acest sistem are soluții întregi dacă și numai dacă k + m și k – m sunt egale, adică când numerele k și m aceeași paritate (simultan par sau impar). Astfel, ecuația diofantină x 2 – y 2 = a are o soluție dacă și numai dacă a poate fi extins într-un produs de doi factori întregi de aceeași paritate. Rămâne doar să găsim toate astfel de .

Teorema (asupra ecuațieiX 2 – y 2 = A ). (1) Ecuația X 2 – y 2 = 0 are un număr infinit de soluții .

(2) Orice soluție a ecuației se obține ca , Unde A = km este descompunerea numărului a în produsul a doi factori întregi de aceeași paritate.

(3) Ecuația X 2 – y 2 = A are o soluție dacă și numai dacă A 2 (mod 4).

Dovada.(1) a fost deja dovedit.

(2) a fost deja dovedit.

(3) () Să fie mai întâi ecuația diofantină X 2 – y 2 = A are o solutie. Să demonstrăm asta A 2 (mod 4) . În cazul în care un A = km este expansiunea într-un produs de numere întregi de aceeași paritate, apoi pentru par kși m avem k = 2 l, m = 2 nși A = km = 4 ln 0 (mod 4) . În cazul imparului k, m munca lor A de asemenea ciudat, diferență A – 2 impar și nedivizibil cu 4 , adică din nou

A 2 (mod 4).

() Dacă acum A 2 (mod 4) , atunci putem construi o soluție a ecuației X 2 – y 2 = A. Într-adevăr, dacă a este impar, atunci A = 1 A este o descompunere produs de numere întregi impare, astfel încât este soluția ecuației diofantine. Dacă a este par, atunci având în vedere A 2 (mod 4) înţelegem asta 4 | A, A = 4 b = 2(2 b) este o descompunere de produs a numerelor întregi pare, astfel încât este soluția ecuației diofantine.

Teorema a fost demonstrată.

Exemple: 1. Ecuația diofantină X 2 – y 2 = 2012 nu are solutii, de vreme ce 2010 = 4502 + 2 2 (mod 4).

2. Ecuația diofantină X 2 – y 2 = 2011 are soluții, pentru că

2011 3 (mod 4). Avem expansiuni evidente

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

pentru fiecare dintre ele găsim soluții (orice combinație de caractere). Nu există alte soluții, pentru că număr 2011 simplu (?!).

§ 3. Ecuaţia diofantinăX 2 + y 2 = A

Exemple: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , k 2 = 0 2 + k 2 . Astfel, este evident că orice pătrat poate fi reprezentat trivial ca o sumă a două pătrate.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. Fara solutii pt A = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

O analiză a rezultatelor de mai sus poate sugera că absența soluțiilor este într-un fel legată de numerele prime de formă

4 n+3 prezente în factorizarea numerelor care nu pot fi reprezentate ca sume a două pătrate.

Teoremă (despre reprezentarea numerelor naturale prin sume a două pătrate). Un număr natural a poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate dacă și numai dacă, în extinderea sa canonică, numere prime de forma 4 n + 3 au chiar exponenți.

Dovada. Mai întâi demonstrăm că dacă un număr natural a poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate, atunci în extinderea sa canonică toate numerele prime de forma 4 n + 3 trebuie să aibă chiar exponenți. Să presupunem, contrar a ceea ce s-a dovedit, că A= p 2 k +1 b = X 2 + y 2 , Unde

R - număr prim al formei 4 n+3 și b p. Imaginați-vă numerele Xși la la fel de

x =Dz, y = Dt, UndeD= gcd(X, y) = p s w, p w; z, t, s N 0 . Atunci obținem egalitatea R 2 k +1 b = D 2 (z 2 + t 2 ) = p 2 s w 2 (z 2 + t 2 ) , adică R 2( k – s )+1 b = w 2 (z 2 + t 2 ) . Există p în partea stângă a egalității (puterea impară nu este egală cu zero), ceea ce înseamnă că unul dintre factorii din partea dreaptă este divizibil cu numărul prim p. Pentru că p w, apoi p | (z 2 + t 2 ) , unde numerele z, t reciproc simple. Aceasta contrazice următoarea lemă (?!).

Lema (cu privire la divizibilitatea sumei a două pătrate cu un număr prim de forma

4 n + 3 ). Dacă un număr prim p = 4n+3 împarte suma pătratelor a două numere naturale, apoi împarte fiecare dintre aceste numere.

Dovada. Din contra. Lăsa X 2 + y 2 0(mod p) , dar X0(mod p) sau y 0 (mod p) . Pentru că Xși y sunt simetrice, pot fi interschimbate, deci putem presupune că X p.

Lema (cu privire la reversibilitate modulop ). Pentru orice număr întreg X, nedivizibil cu un număr prim p, există un element invers modulo p – un astfel de număr întreg 1 u < p, ce xi 1 (mod p).

Dovada. Număr X coprime cu p, deci putem scrie o expansiune liniară GCD(X, p) = 1 = xi + pv (u, v Z) . Este clar că xi1(modp) , adică u- element invers la X modulo p. În cazul în care un u nu satisface constrângerea 1 u < p, apoi împărțind u cu restul pornit p, primim restul r u (mod p) , pentru care xr xi 1 (mod p) și 0 r < p.

Lema de reversibilitate a modulului p dovedit.

Comparația înmulțitoare X 2 + y 2 0 (mod p) pe pătrat u 2 element invers la X modulo p, primim 0 = 0u 2 X 2 u 2 +y 2 u 2 = (xu) 2 + (yu) 2 1+t 2 (mod p).

Prin urmare t = da comparatie facuta t 2 –1 (mod p) , pe care o aducem într-o contradicție. Este clar că t p: in caz contrar t 0 (mod p) și 0 t 2 –1 (mod p) , ceea ce este imposibil. Prin teorema lui Fermat avem t p –1 1 (mod p), care împreună cu t 2 –1 (mod p) și p = 4 n + 3 duce la o contradicție:

1 t p–1 = t 4n+3–1 = t 2(2n+1) = (t 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (modp).

Contradicţia obţinută arată că ipoteza despre X 0 (mod p) nu a fost corect.

Lema privind divizibilitatea sumei a două pătrate cu un număr prim 4 n+3 dovedit.

Astfel, se demonstrează că numărul a cărui descompunere canonică include un număr prim p = 4 n + 3 la o putere impară, nu poate fi reprezentată ca suma a două pătrate.

Să demonstrăm acum că orice număr în a cărui expansiune canonică sunt numere prime p = 4 n + 3 participa numai la puteri pare, reprezentabile ca suma a două pătrate.

Ideea dovezii se bazează pe următoarea identitate:

(A 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (anunț + bc) 2 ,

care poate fi obținută din proprietatea binecunoscută a modulului numerelor complexe - modulul produsului este egal cu produsul modulelor. Într-adevăr,

| z|| t| = | zt| | A + bi|| c + di| = |(A + bi)(c + di)|

|a+bi| 2 |c + di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(A 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (anunț + bc) 2 .

Din această identitate rezultă că dacă două numere u, v pot fi reprezentate ca suma a două pătrate: u = X 2 + y 2 , v = z 2 + t 2 , atunci produsul lor uv poate fi reprezentat și ca suma a două pătrate: UV = (xz – YT) 2 + (xt + yz) 2 .

Orice număr natural A > 1 poate fi scris sub forma A= p 1 … R k m 2 , Unde R i sunt numere prime distincte în perechi, m N . Pentru a face acest lucru, este suficient să găsim descompunerea canonică , notează fiecare grad al formei r sub formă de pătrat (r) 2 pentru chiar = 2, sau în formă r = r(r) 2 pentru ciudat = 2 + 1 , și apoi grupați separat pătratele și numerele prime unice rămase. De exemplu,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , m = 15.

Număr m 2 are o reprezentare banală ca sumă a două pătrate: m 2 = 0 2 + m 2 . Dacă demonstrăm reprezentabilitatea ca sumă a două pătrate ale tuturor numerelor prime R i (1 i k) , apoi folosind identitatea se va obține și reprezentarea numărului a. După condiție, printre numere R 1 , … , R k se poate întâlni doar 2 = 1 2 + 1 2 și numere prime de formă 4 n + 1 . Astfel, rămâne să obținem o reprezentare ca sumă a două pătrate ale unui număr prim p = 4m + 1. Separăm această afirmație într-o teoremă separată (vezi mai jos)

De exemplu, pentru A = 29250 = 2513(15) 2 succesiv obținem:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

Teorema a fost demonstrată.

§ 4. Ecuaţiax + x + 1 = 3y

Să ne ocupăm acum de ecuație x+x+1=Zu. Are deja istoria lui. În 1950, R. Oblat a sugerat că, pe lângă rezolvarea

X=y=1. nu are alte soluții în numere naturale X y unde x este un număr impar. În același an, T. Nagel a subliniat soluția X= 313, y = 181. O metodă similară cu cea de mai sus pentru ecuație x+x-2y=0, ne va permite să determinăm toate soluțiile ecuației X+x+1=3y (1)

în numere naturale X, la. Să ne prefacem că (X y) este o soluție a ecuației (1) în numere naturale și x > 1. Se poate observa cu ușurință că ecuația (18) nu are soluții în numere naturale X, y, Unde x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9; asa ar trebui sa fie x10.

Să arătăm asta 12 ani<7 X+3, 7y>4X+ 2. 4y > 2X+1 . (2)

Dacă ar fi 12 ani> 7x+3, am avea 144 ani> 49 X+42 X+9 . și întrucât, având în vedere (18), 144y= 48X+ 48 X + 48 , atunci ar fi X< 6 X +3 9, de unde

(x-z)< 48 şi, prin urmare, având în vedere că X> 10, 7 < 148 , ceea ce este imposibil. Astfel, se demonstrează prima dintre inegalitățile (2).

Dacă ar fi 7 ani< 4 X+2 , am avea 49 ani< 16 X+ 16 X+4 , și întrucât, având în vedere (1), 16 X+ 16 X+ 16 = 48y, atunci ar fi 49 ani< 48u- 12, ceea ce este imposibil. Astfel, se demonstrează a doua dintre inegalitățile (2), din care urmează direct a treia. Deci, inegalitățile (2) sunt adevărate.

Să punem acum

w\u003d 7x - 12y + 3,h = -4 X+ 7u-2. (3)

Pe baza (2), constatăm că w > 0 , h > 0 și X -w=3(4 y-2 X-1)>0 prin urmare, w<х . Conform (3), avem w 2 + w+1=3 h 2 de unde, având în vedere (1), acceptăm g(x, y) = (7x - 12y + 3, -4x + 7y -2).

Deci, putem spune că, pe baza oricărei soluții (X y) ecuațiile (1) în numere naturale, unde x > 1, obținem o nouă soluție (w, h) = g(x, y) ecuațiile (1) în numere naturale w, h Unde w < х (și de aici soluția în numere naturale mai mici). Prin urmare, procedând ca mai sus, constatăm că pentru fiecare soluție a ecuației (1) în numere naturale X y, Unde x > 1, există un număr natural n astfel încât g(x, y) = (l, 1).

După ce a acceptat f(x, y) = (7X+12 ani + 3, 4X+ 7 ani + 2), (4) putem găsi cu ușurință că f(g(x, y)) = (x, y)și, prin urmare (X, y) = f(1,1) Pe de altă parte, este ușor să verifici dacă (X y) este o soluție a ecuației (1) în numere naturale, atunci f(X, y) există și o soluție a ecuației (1) în numere naturale (respectiv, mai mari decât Xși la).

După ce a acceptat x=y=1(x, y) = f(1, 1) pentru n=2,3,…..,

obținem secvența { X, y} pentru n= 1, 2,….., conţinând toate soluţiile ecuaţiei (1) în numere naturale şi numai astfel de soluţii.

Aici avem (X,y)= f(1,1)= f(X y), prin urmare, datorită (4), obținem

x=7X+12y+3,y=4x+7y+2 (5) (n=1, 2, ...)

Formule care vă permit să determinați în mod constant toate soluțiile (X y) ecuațiile (1) în numere naturale. În acest fel, obținem cu ușurință soluții (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

Există, evident, un număr infinit de aceste soluții. Din egalităţi

x=y=1și (4) prin inducție găsim cu ușurință că numerele X cu indici impari sunt impari, cu indici pare sunt pare, iar numerele y esență ciudată pentru n = 1, 2, ... Pentru a obține toate soluțiile ecuației (1) în numere întregi X y, așa cum este ușor de demonstrat, s-ar urma soluțiilor deja obținute (X y) a te alatura (X y)și (-x-1,±y) pentru n=1, 2, .. .

Deci aici avem, de exemplu, mai multe astfel de soluții: (-2,1) (-23,13), (-314,181). A. Rotkevich a notat că din toate soluțiile ecuației (1) în numere naturale x > 1și y poate obține toate soluțiile ecuației (z+1)-z=y (6)

în numere naturale z, y.Într-adevăr, să presupunem că numerele naturale z, y satisfac ecuația (5). Punând x=3z+l, obținem, deoarece este ușor de verificat, numere naturale x > 1și la ecuația satisfăcătoare (1).

Pe de altă parte, dacă numere naturale x > 1și la satisface ecuația (1), atunci avem, deoarece este ușor de verificat, (x-1)= 3(y-x), de unde rezultă că numărul (natural) x-1 impartit de 3 , Prin urmare x-1=3 z, unde z este un număr natural, iar egalitatea 3z=y-X=y3z-1 , ceea ce demonstrează că numerele zși la satisface ecuația (6). Astfel, pe baza deciziilor (22,13),(313,181), (4366,2521) ecuația (1), obținem soluții (7,13),(104,181),(1455,2521) ecuațiile (6). Mai notăm aici că dacă numerele naturale z, y satisface ecuația (6), se demonstrează că la este suma a două pătrate consecutive, de exemplu 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . În mod similar, ca și înainte pentru ecuația (1), am putea găsi toate soluțiile ecuației X+(X+1)= yîn numere naturale X y, luând pentru x > 3 g (x. y) \u003d (3x -2y + 1, 3y - 4x - 2) si pentru X> 1 f(x, y) = (3X+ 2y+l, 4x + Zu + 2), care duce la formula ( X y)f(3,5) și la concluzia că toate soluțiile ecuației (6) în numere naturale x, y sunt conținute în șirul { X, y} pentru n= 1, 2,…., Unde x=3, y=5 șiX=3 X+2 y+1 . y = 4 X+3 y+2 (n=1, 2, ...). De exemplu, x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;X=119, y=169:X=69b, y=985;X=4059, y=5741.

Sensul geometric al ecuației luate în considerare este că dă toate triunghiurile pitagoreice (dreptunghiulare cu laturile naturale), ale căror catete sunt exprimate prin numere naturale succesive. Există un număr infinit de astfel de triunghiuri (*).

Ecuația este X+(X+1)= y, s-a dovedit că nu are soluții în numere naturale X y.