Paradoxul lui Bertrand Russell. rezolvarea problemelor de paradoxuri logice. Frizerul cu barbă - soluție la paradoxul lui B. Russell Frizerul i-a bărbierit pe toți cei care nu s-au bărbierit singur

Toate seturile care nu se conțin ca element. Se conține ca element? Dacă da, atunci, prin definiție, nu ar trebui să fie un element - o contradicție. Dacă nu - atunci, prin definiție, trebuie să fie un element - din nou o contradicție.

Contradicția din paradoxul lui Russell provine din utilizarea în raționament a conceptului contradictoriu intern seturi din toate seturileși idei despre posibilitatea aplicării nelimitate a legilor logicii clasice atunci când se lucrează cu mulțimi. Au fost propuse mai multe căi pentru a depăși acest paradox. Cea mai faimoasă este prezentarea unei formalizări consistente pentru teoria mulțimilor, în raport cu care toate modurile „cu adevărat necesare” (într-un anumit sens) de a opera cu mulțimi ar fi acceptabile. În cadrul unei astfel de formalizări, afirmația despre existență seturi din toate seturile ar fi ireductibil.

Într-adevăr, să presupunem că mulțimea tuturor mulțimilor există. Apoi, conform axiomei de selecție, trebuie să existe și o mulțime ale cărei elemente sunt acele și numai acele mulțimi care nu se conțin ca element. Cu toate acestea, presupunerea existenței unui set conduce la paradoxul lui Russell. Prin urmare, ținând cont de consistența teoriei, afirmația despre existența unei mulțimi nu este derivabilă în această teorie, care trebuia să fie demonstrată.

În cursul implementării programului descris de „salvare” a teoriei mulțimilor, au fost propuse câteva posibile axiomatizări ale acesteia (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria Neumann-Bernays-Gödel NBG etc.), dar nicio dovadă. s-a găsit până acum consistență pentru oricare dintre aceste teorii. Mai mult, așa cum a arătat Gödel prin dezvoltarea unui număr de teoreme de incompletitudine, o astfel de demonstrație nu poate exista (într-un anumit sens).

O altă reacție la descoperire Paradoxul lui Russell a apărut intuiţionismul lui L. E. Ya. Brouwer.

Opțiuni de redactare

Există multe formulări populare ale acestui paradox. Unul dintre ei este numit în mod tradițional paradoxul frizerului și spune așa:

Un frizer din sat a fost comandat „Rărbierește pe oricine nu se rade singur și nu rade pe nimeni care se rade singur”. Cum ar trebui să se descurce cu el însuși?

Altă opțiune:

O țară a emis un decret: „Primarii tuturor orașelor nu ar trebui să locuiască în propriul oraș, ci într-un oraș special al primarilor”. Unde ar trebui să locuiască Primarul Orașului Primarilor?

Si inca una:

O anumită bibliotecă a decis să alcătuiască un catalog bibliografic care să includă toate acele cataloage bibliografice și numai acele cataloage bibliografice care nu conțin referințe la ele însele. Un astfel de director ar trebui să includă un link către el însuși?

Vezi si

Literatură

Courant R, Robbins G. Ce este matematica? - Ch. II, § 4.5
Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. - SPb., 2000. - S. 512-514.
Katrechko S.L. Paradoxul lui Russell al frizerului și dialectica lui Platon - Aristotel // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicații în știință. - Sankt Petersburg, 2002. - S. 239-242.
Martin Gardner Ei bine, ghici ce! = Ah! am inteles. Paradoxuri pentru puzzle și încântare. - M .: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 p.

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Paradoxul Russell” în alte dicționare:

- (paradoxuri grecești neașteptate, ciudate) în sens larg: o afirmație care este puternic în contradicție cu opinia general acceptată, stabilită, negarea a ceea ce pare a fi „fără îndoială corect”; într-un sens mai restrâns, două afirmații opuse, pentru ...... Enciclopedie filosofică

Paradoxul lui Russell, o antinomie teoretică a mulțimilor descoperită în 1903 de Bertrand Russell și redescoperită mai târziu independent de E. Zermelo, care demonstrează imperfecțiunea limbajului teoriei naive a mulțimilor a lui G. Cantor, și nu inconsecvența acesteia. Antinomie ...... Wikipedia

paradox- PARADOX (din greaca para afara si doxa parere). 1) Într-un sens larg (nelogic), tot ceea ce într-un fel sau altul intră în conflict (diverge) de la opinia general acceptată, confirmată de tradiție, lege, regulă, normă sau bun simț. ... ... Enciclopedia Epistemologiei și Filosofia Științei

Poziția, care la început nu este încă evidentă, însă, contrar așteptărilor, exprimă adevărul. În logica antică, un paradox era o afirmație a cărei ambiguitate se referă în primul rând la corectitudinea sau incorectitudinea sa. LA… … Enciclopedie filosofică

- (paradoxul clasei tuturor claselor bine întemeiate) un paradox în teoria mulţimilor, care este o generalizare a paradoxului lui Burali Forti. Numit după matematicianul rus D. Mirimanov. Cuprins 1 Formulare ... Wikipedia

Demonstrează că presupunerea existenței unei mulțimi a tuturor numerelor ordinale duce la contradicții și, prin urmare, teoria mulțimilor, în care este posibilă construcția unei astfel de mulțimi, este contradictorie. Cuprins 1 Formulare 2 Istorie ... Wikipedia

- (din grecescul paradoxuri neașteptat, ciudat) judecată (afirmație, propoziție) neașteptată, neobișnuită (cel puțin în formă), puternic în contradicție cu opinia tradițională, general acceptată, pe această problemă. În acest sens, epitetul „paradoxal”... Marea Enciclopedie Sovietică

Paradoxul lui Cantor este un paradox al teoriei mulțimilor, care demonstrează că presupunerea existenței unei mulțimi a tuturor mulțimilor duce la contradicții și, prin urmare, este inconsistentă o teorie în care construcția unei astfel de mulțimi ... ... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Paradox (sensuri). Robert Boyle. Schemă de dovadă că o mașină cu mișcare perpetuă nu există Paradox... Wikipedia

Cărți

Prăbușirea conceptului metafizic al universalității domeniului subiectului în logică. Controversa Frege-Schroeder, B. V. Biryukov. LA această carte este luată în considerare istoria dramatică a logicii matematice, legată de conceptul de „univers al raționamentului” - domeniul de studiu în logică. Conflictul de opinii dintre doi...

Frizerul îi rade pe cei și numai pe cei care nu se rad,
Se va rade frizerul?

Răspuns: Frizerul va efectua actul de bărbierit până când
până când își dă seama ce face. de exemplu
tăiați cel puțin un păr. Acestea. ceva sa întâmplat
rezultatul, evaluând pe care, frizerul va putea face
deducție logică dacă se rade sau nu. După care el
nu mai rade steagul si cand ajunge la el
faptul că în acest moment nu se rade, repeta el
acțiunile lor. ca urmare, viteza de bărbierit va fi
depind de viteza cu care frizerul insusi
funcționează ca un sistem analitic. Și până la urmă decizia
paradoxul va fi în timp, adică. bărbierit nu bărbierit
ras nu ras etc. adică ciclu, dar
generatorul nostru.

Deci, frizerul se va rade ca urmare?

Depinde de criteriul de adevăr pentru termenul de bărbierit (în
sarcina, nu este specificată, drept urmare sarcina nu este
setat corect).

așa că mi-am luat libertatea de a-l instala, astfel încât sarcina
a luat o decizie și a introdus definiția „barbierit”
faptul de a te bărbieri este tunsul câte un fir de păr
timpul t1-t2.

copy-lipit de pe alt forum:

"Să punem toate punctele pe Yo!"
Ei bine, adevărul bărbieritului este cu siguranță cool! Și cine îl va instala de fapt?

Frizerul însuși, desigur!
La urma urmei, el determină singur dacă îndeplinește condiția sarcinii la un moment dat sau nu.
Dacă nu se bărbierește în acest moment, atunci poate începe să se bărbierească cu calm. În acest moment, el nu este un frizer pentru el însuși.
Condiția nu spune că este interzis să se apuce de bărbierit sau să fie bărbierit.
Nu trebuie să aibă faptul că el însuși este conștient de procesul de bărbierit, altfel va încălca condiția.
Acestea. daca nu-si poate da seama, atunci NU incalca starea problemei!
Și în cadrul său de referință, conform legii mijlocului exclus, acest lucru nu se poate întâmpla.

Pentru că pur și simplu nu are timp să realizeze acțiunea de a tăia părul la momentul t1-t2.

Se pare că acțiunea s-a întâmplat, iar frizerul nu este de vină. Da, este conștient că a finalizat actul de bărbierit, dar în momentul în care încă nu îl efectuase, avea tot dreptul să înceapă procedura de bărbierit conform stării! Nu era frizer în ISO-ul său. Și când s-a bărbierit, conștiința îi este din nou curată, pentru că nu se mai rade. Și chiar faptul acțiunii de bărbierit în ISO lui nu este definit deloc.
Din punctul de vedere al oricărui sătean, frizerul nu a încălcat nici condițiile, pentru că tot ceea ce a făcut într-un interval de timp atât de scurt nu este determinat din ISO-ul lor și cu atât mai mult. Amândoi văd doar rezultatul: nu a fost bărbierit, iar acum este bărbierit.

Dacă luăm un „frizer rapid” care este capabil să stabilească faptul că s-a bărbierit în momentul tăierii jumătate din păr, atunci se va opri pur și simplu pentru a nu încălca condiția și va continua imediat să se bărbierească, deoarece va încetează din nou să mai fii frizer.

În orice caz, frizerul va fi bărbierit și conștientizarea că a încălcat condiția nu îi va veni, în ciuda faptului.

Nu vă trece prin cap că corpul se mișcă în linie dreaptă și accelerat uniform în vid dintr-un motiv ulterior? O iei de la sine înțeles, nu-i așa? hopa! Corpul s-a mișcat, energia nu a fost cheltuită, dar cine l-a mișcat? Cine a cheltuit energia?
La fel, frizerul va fi confruntat cu un fapt. Hopa! Pabrilsi! Cum s-a întâmplat? Asta, desigur, dacă memoria i-a fost zdrobită și nu își amintește ce a făcut acum o clipă.

Și în cazul primei legi a lui Newton, pur și simplu nu o faci, asta-i tot.

Și numai datorită faptului că frizerul își amintește ce a făcut acum o clipă și, de asemenea, că nu a fost bărbierit, poate face o PREZUMIE deductivă că s-a bărbierit singur și că a încălcat condiția.
Faptul de bărbierit nu a putut fi stabilit, dar cu siguranță a fost.
Aplicam legea logicii inversarii cauzalitatii:
o concluzie deductivă se transformă într-una inductivă în cazul dovezii că nu poate exista o altă concluzie deductivă, dar nu poate exista, nu era nimeni în apropiere, de aceea frizerul însuși s-a bărbierit și nu l-a bărbierit un miracol, iar faptul încălcării a fost deja stabilit inductiv.
(O să vă rog să simțiți acest moment, pentru că v-am arătat aici cum funcționează legea inversării cauzalității pentru conceptul de inducție și deducție, unde mai pot arăta)

Dar acest lucru din nou nu încalcă condițiile problemei, deoarece problema nu spune nimic despre dacă frizerul ar trebui să sufere de asta după fapt. Era o întrebare să te bărbierești sau să nu te bărbierești.

Chiar dacă frizerul ajunge la concluzia că încalcă condiția după ce a bărbierit un păr și că încercarea de a se bărbieri din nou îl va duce la următoarea încălcare a stării problemei, acest lucru din nou nu schimbă nimic, deoarece problema nu a fost instruit să ia în considerare feedback-urile negative la timp, de exemplu. implicit, le neglijăm prin convenție.

"Observator? Acesta este un alt ISO."

La urma urmei, sarcina este stabilită pentru frizer, și nu pentru un fel de observator din exterior, care poate măsura procedura de bărbierit cuantificând această acțiune chiar mai detaliată decât frizerul în componente într-un alt ISO (încet), realizați procesul de bărbierit pe jumătate din păr și spuneți că frizerul încalcă condiția. Ei bine, da, din postura lui, frizerul o va rupe, dar asta nu contrazice starea problemei.

Proprietarul unei frizerii dintr-un sat a postat următorul anunț: „Îi rad pe cei și numai pe acei locuitori ai satului care nu se rad”. Întrebarea este cine îl rade pe frizer?

Dezvoltare logica matematica intensificată mai ales în secolul al XX-lea în legătură cu dezvoltarea tehnologiei informatice și a programării.

Ø Definiție Logica matematică este o formă modernă de logică care se bazează în întregime pe formal metode matematice. Studiază doar inferențe cu obiecte și judecăți strict definite pentru care este posibil să se decidă fără ambiguitate dacă sunt adevărate sau false.

Conceptul de bază (nedefinit) al logicii matematice este conceptul de " afirmație simplă". O afirmație, care este o singură declarație, este de obicei numită simplă sau elementară.

Ø Declarație de definiție este o propoziție declarativă despre care se poate spune că este adevărată sau falsă.

Afirmațiile pot fi adevărate I sau false L.

Exemplu: Planeta Pământ sistem solar. (Adevărat); Fiecare paralelogram este un pătrat (fals)

Există afirmații despre care este imposibil să spunem cu certitudine dacă sunt adevărate sau false. „Azi vremea este bună” (i place oricui)

Exemplu afirmație "Ploua"- simplu, și adevărat sau fals depinde de cum este vremea acum în afara ferestrei. Dacă într-adevăr plouă, atunci afirmația este adevărată, iar dacă este soare și este inutil să așteptați să plouă, atunci afirmația este "Ploua" va fi fals.

Exemplu„ ” nu este o afirmație (nu se știe ce valori ia).

„Student al doilea” nu este o vorbă

Ø DefinițieElementar enunţurile nu pot fi exprimate în termenii altor enunţuri.

Ø DefinițieCompozit propozițiile sunt propoziții care pot fi exprimate folosind propoziții elementare.

Exemplu„Numărul 22 este par” este o afirmație elementară.

Există două abordări principale pentru stabilirea adevărului afirmațiilor: empiric (experimental) și logică.

La abordare empirică adevărul afirmației se stabilește cu ajutorul observațiilor, măsurătorilor, experimentelor.

abordare logica constă în faptul că adevărul unei afirmații se stabilește pe baza adevărului altor afirmații, adică fără a se referi la fapte, la conținutul acestora, adică în mod formal. Această abordare se bazează pe identificarea și utilizarea conexiunilor logice între afirmațiile incluse în argument.

2.2 Logica propozițională

În primul rând, trebuie să definiți conceptele, deoarece aceeași secțiune este adesea numită diferit: logică matematică, logică propozițională (propoziție), logică simbolică, logică cu două valori, logică propozițională, algebră booleană ...

Ø DefinițieLogica propozițională- o secțiune de logică în care chestiunea adevărului sau falsității afirmațiilor este luată în considerare și decisă pe baza studierii metodei de construire a enunțurilor din e elementar(în continuare nu descompuse și neanalizate) enunțuri cu ajutorul operațiilor logice de conjuncție ("și"), disjuncție ("sau"), negație ("nu"), implicare ("dacă... atunci...") , etc.

Ø Definiție Calcul propozițional este un sistem logic axiomatic, a cărui interpretare este algebra propozițiilor.

De cel mai mare interes este construirea unui sistem formal, care, dintre toate enunțurile posibile, le distinge pe cele care sunt legi logice (raționament corect construit, concluzii logice, tautologii, enunțuri general valabile).

Teoriile formale, care nu folosesc limbajul natural (colocvial), au nevoie de un limbaj formal propriu în care sunt scrise expresiile întâlnite în el.

Ø Definiție Se numește sistemul formal care generează enunțuri care sunt tautologii și numai ele calculul propozițional(IV).

Sistemul formal IoT este definit de:

Ce simboluri sunt cel mai bine folosite pentru a indica conexiunile logice?

Să ne oprim asupra următoarelor notații: negație, conjuncție, disjuncție, implicație și echivalență. De obicei, valorile logice ale rezultatelor aplicării conectivului sunt scrise sub formă de tabele (așa-numitele tabele de adevăr).

2.3 Conexiuni logice.............................................................. ............. ...

În limbajul natural, rolul conectivului în compunere propoziții complexe dintre cele simple joacă următoarele mijloace gramaticale:

sindicate „și”, „sau”, „nu”;

cuvintele „dacă..., atunci”, „ori... sau”,

„dacă și numai dacă”, etc.

În logica propozițională, conectivele logice folosite pentru alcătuirea propozițiilor complexe trebuie definite cu precizie.

Să luăm în considerare conexiunile logice (operații) asupra enunțurilor, în care valorile de adevăr ale enunțurilor compuse sunt determinate numai de valorile de adevăr ale enunțurilor constitutive, și nu de sensul lor.

Există cinci conexiuni logice utilizate pe scară largă.

negație (reprezentată printr-un semn),

conjuncție (semn),

disjuncție (semnul v),

implicație (semn)

echivalență (semn).

Ø DefinițieNegare afirmațiile P este o afirmație care este adevărată dacă și numai dacă afirmația P este falsă.

Ø DefinițieConjuncție două propoziții P și Q - o propoziție care este adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții sunt adevărate.

Ø DefinițieDisjuncție două propoziții P și Q - o propoziție care este falsă dacă și numai dacă ambele propoziții sunt false.

Ø Definițieimplicare două afirmații P și Q - o afirmație care este falsă dacă și numai dacă P este adevărat și Q este fals. Enunțul P se numește colet implicații și afirmația Q - concluzie implicatii.

Ø DefinițieEchivalenţă două propoziții P și Q - o propoziție care este adevărată dacă și numai dacă valorile de adevăr ale lui P și Q sunt aceleași.

Utilizarea cuvintelor „dacă...” „atunci...” în algebra logicii diferă de utilizarea lor în vorbirea de zi cu zi, unde, de regulă, credem că dacă enunțul X este falsă, atunci afirmația „Dacă X, apoi la' nu are deloc sens. În plus, construirea unei propoziții de forma „dacă X, apoi la» în vorbirea de zi cu zi, ne referim întotdeauna la propoziţia la rezultă din propunere X. Folosirea cuvintelor „dacă, atunci” în logica matematică nu necesită acest lucru, deoarece sensul propozițiilor nu este luat în considerare în ea.

2.4 Operații logice

Baza tehnologiei digitale sunt trei operații logice care stau la baza tuturor ieșirilor computerului. Acestea sunt trei operații logice: AND, OR, NOT, care sunt numite „trei piloni ai logicii mașinii”.

Conjunctive logice sau operații logice cunoscute din cursul matematicii discrete pot fi aplicate enunțurilor. Aceasta are ca rezultat formule. Formulele devin propoziții prin înlocuirea tuturor semnificațiilor literelor.

Tabele de adevăr ale operațiilor logice de bază.

Mai multe variabile legate între ele prin operații logice sunt numite funcție logică.

Descrierea oricărui calcul include o descriere a simbolurilor acestui calcul (alfabet), formule, care sunt configurațiile finale ale simbolurilor și definirea formulelor derivabile.

2.5 Alfabetul de calcul propozițional

Alfabetul de calcul al enunțului este format din simboluri din trei categorii:

Primul dintre ele este semnul disjuncției sau al adunării logice, al doilea este semnul conjuncției sau al înmulțirii logice, al treilea este semnul implicației sau consecinței logice, iar al patrulea este semnul negației.

Calculul propozițional nu are alte simboluri.

2.6 Formule.Tautologie

Formulele de calcul propozițional sunt secvențe de simboluri din alfabetul de calcul propozițional.

Literele majuscule ale alfabetului latin sunt folosite pentru a desemna formule. Aceste litere nu sunt simboluri de calcul. Sunt doar simboluri ale formulelor.

Ø Formula de definiție– enunț compus bine format:

1) Fiecare scrisoare este formulă.

2) Dacă , sunt formule, atunci , , , , sunt și formule.

Evident, cuvintele nu sunt formule: ) (al treilea dintre aceste cuvinte nu conține paranteze închise, iar al patrulea nu conține paranteze).

Rețineți că conceptul de conexiuni logice nu este concretizat aici. De obicei, în formule sunt introduse unele simplificări. De exemplu, parantezele sunt omise în notarea formulelor conform acelorași reguli ca și în algebra propozițională.

Ø Definiție. Formula se numește tautologie, dacă ia numai valori adevărate pentru orice valoare a literelor.

Ø Definiție Se numește o formulă care este falsă pentru orice valoare a literelor contradicţie

Ø Definiție Formula se numește realizabil, dacă pe un set de distribuție a valorilor de adevăr ale variabilelor ia valoarea ȘI.

Ø Definiție Formula se numește refutabil, dacă pentru o anumită distribuție a valorilor de adevăr ale variabilelor ia valoarea L.

Exemplu sunt formule conform clauzei 2 din definiție.

Din același motiv, cuvintele vor fi formule:

Concomitent cu conceptul de formulă, conceptul subformule sau parte dintr-o formulă.

1. subformula formula elementară este însăși.

2. Dacă formula are forma , atunci subformulele sale sunt: ea însăși, formula A și toate subformulele cu formula A.

3. Dacă formula are forma (A * B) (în continuare, sub simbolul * vom înțelege oricare dintre cele trei simboluri), atunci subformulele sale sunt: ea însăși, formulele A și B și toate subformulele de formule A și B.

Exemplu Pentru formula subformulele sale vor fi:

- subformula adâncimii zero,

Subformulele primei adâncimi,

Subformulele celei de-a doua adâncimi,

Subformulele celei de-a treia adâncimi,

Subformula a patra adâncime.

Astfel, pe măsură ce „ne scufundăm adânc în structura formulei”, evidențiem toate subformulele adâncime mai mare

Din cursul matematicii discrete se cunosc principalele echivalențe logice (echivalențe), care sunt exemple de tautologii. Toate legile logice trebuie să fie tautologii.

Uneori se numesc legi reguli de retragere, care determină concluzia corectă din premise.

2.7 Legile logicii propoziționale

Algebra logicii are legi comutative și asociative cu privire la operațiile de conjuncție și disjuncție și o lege distributivă a conjuncției față de disjuncție, aceleași legi au loc și în algebra numerelor.

Prin urmare, peste formulele algebrei logicii, este posibil să se efectueze aceleași transformări care se efectuează în algebra numerelor (paranteze de deschidere, bracketing, bracketing factorul comun).

Luați în considerare legile de bază ale logicii propoziționale.

1. Comutativitate:

, .

2. Asociativitate:

3. Distributivitatea:

4. Idempotenta: , .

5. Legea dublei negaţii: .

6. Legea excluderii celui de-al treilea:.

7. Legea contradictiei: .

8. Legile lui de Morgan:

9. Legile idempotentei(proprietăți ale operațiilor cu constante logice)

Nu există exponenți și coeficienți în algebra logicii. Conjuncția de „factori” identici este echivalentă cu unul dintre ei

Aici și sunt orice scrisori.

Exemple. formula tautologică.

Nu inconsecvența ei.

Antinomia lui Russell este formulată după cum urmează:

Lăsa K este mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin ca element al lor. Conține Kîn sine ca element? Dacă da, atunci prin definiție K, nu trebuie să fie un element K- o contradicție. Dacă nu, atunci prin definiție K, trebuie să fie un element K- din nou o contradicție.

Contradicția în antinomia lui Russell provine din utilizarea conceptului seturi din toate seturileși idei despre posibilitatea aplicării nelimitate a legilor logicii clasice atunci când se lucrează cu mulțimi. Au fost propuse mai multe căi pentru a depăși această antinomie. Cea mai faimoasă este prezentarea unei formalizări consistente pentru teoria mulțimilor, în raport cu care toate modurile „cu adevărat necesare” (într-un anumit sens) de a opera cu mulțimi ar fi acceptabile. În cadrul unei astfel de formalizări, afirmația despre existență seturi din toate seturile ar fi ireductibil.

Într-adevăr, să presupunem că setul U dintre toate seturile există. Apoi, conform axiomei de selecție, trebuie să existe și o mulțime K, ale căror elemente sunt acele și numai acele mulțimi care nu se conțin ca element. Cu toate acestea, presupunerea existenței unui set K duce la antinomia lui Russell. Prin urmare, având în vedere consistența teoriei, afirmația despre existența unei mulțimi U nu este deductibil în această teorie, care urma să fie demonstrată.

În cursul implementării programului descris de „salvare” a teoriei mulțimilor, au fost propuse mai multe posibile axiomatizări ale acesteia (teoria Zermelo-Fraenkel ZF, teoria Neumann-Bernays-Gödel NBG etc.), totuși, pentru nici una dintre aceste teorii, până acum nicio dovadă de inconsecvență. Mai mult, așa cum a arătat Gödel prin dezvoltarea unui număr de teoreme de incompletitudine, o astfel de demonstrație nu poate exista (într-un anumit sens).

O altă reacție la descoperire Paradoxul lui Russell a apărut intuiţionismul lui L. E. Ya. Brouwer.

Ei cred în mod eronat că acest paradox demonstrează inconsecvența teoriei mulțimilor a lui G. Cantor. Pentru a respinge aceste opinii, N. Vavilov citează următorul paradox - „Paradoxul purcelui”:

Lăsa n este un număr întreg care este și mai mare și mai mic decât zero. Apoi n este pozitivă dacă și numai dacă este negativă.

Este evident că din ea rezultă doar inexistența numărului asumat de noi n, și nu inconsecvența teoriei numerelor în general - aceeași metodă este folosită în demonstrații prin contradicție.

Structura acestui paradox este identică cu structura paradoxului lui Russell, ceea ce ne permite să tragem concluzii doar despre inconsecvența conceptului de „mulțime a tuturor mulțimilor”, dar nu și a teoriei mulțimilor în ansamblu.

Opțiuni de redactare

Există multe formulări populare ale acestui paradox. Unul dintre ei este numit în mod tradițional paradoxul frizerului și spune așa:

Un frizer din sat a fost comandat „Rărbierește pe oricine nu se rade singur și nu rade pe nimeni care se rade singur” cum ar trebui să se descurce cu el însuși?

Altă opțiune:

O țară a emis un decret: „Primarii tuturor orașelor nu ar trebui să locuiască în propriul oraș, ci într-un oraș special al primarilor” unde sa locuiasca primarul Orasului Primarilor?

Si inca una:

Literatură

R. Courant, G. Robbins. Ce este matematica? cap. II, § 4.5
Miroshnichenko P.N. Ce a distrus paradoxul lui Russell în sistemul lui Frege? // Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. SPb., 2000. pp.512-514.
Katrechko S.L. Paradoxul lui Russell al frizerului și dialectica lui Platon-Aristotel //Logica modernă: probleme de teorie, istorie și aplicare în știință. SPb., 2002. pp.239-242.

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vezi ce este „Paradoxul Bărbierului” în alte dicționare:

Paradoxul lui Russell, descoperit în 1901 de Bertrand Russell și redescoperit mai târziu în mod independent de E. Zermelo, este un paradox teoretic de set care demonstrează inconsecvența sistemului logic al lui Frege, care a fost o încercare timpurie de formalizare ... ... Wikipedia

Matematica este de obicei definită prin enumerarea numelor unora dintre ramurile sale tradiționale. În primul rând, aceasta este aritmetica, care se ocupă de studiul numerelor, a relațiilor dintre ele și a regulilor de lucru cu numerele. Faptele de aritmetică admit diverse ...... Enciclopedia Collier

Ouroboros „Șarpele care se devorează pe sine”. Auto-referința (autoreferința) este un fenomen care apare în sistemele de propoziții în acele cazuri în care un anumit concept se referă la el însuși. Cu alte cuvinte, dacă există... Wikipedia

- ... Wikipedia

O listă de servicii de articole create pentru a coordona lucrările privind dezvoltarea subiectului. Acest avertisment nu este instalat pe articole informative, liste și glosare... Wikipedia

Bărbierul, după ce a primit ordinul, a fost la început încântat, pentru că mulți soldați știau să se radă, i-au bărbierit pe cei care nu știau să se radă, apoi s-a așezat pe un ciot și s-a gândit: ce să facă cu el însuși? La urma urmei, dacă se rade singur, va încălca ordinul comandantului de a nu-i rade pe cei care se rad. Frizerul hotărâse deja că nu se va rade singur. Dar apoi i-a venit gândul că, dacă nu se rade singur, se va dovedi că nu se rade și, la ordinul comandantului, trebuie să se radă în continuare ...

Ce sa întâmplat cu el, istoria tace.

Și cum rămâne cu teoria mulțimilor? Și iată ce: comandantul a încercat să determine setul de oameni pe care frizerul trebuie să-i radă, în acest fel:

cei si numai cei care nu se rad.

S-ar părea că un set obișnuit este descris în mai multe cuvinte rusești, de ce este mai rău, de exemplu, seturi

toti elevii din scoala?

Dar cu acest set, apare imediat o problemă: nu este clar dacă frizerii aparțin acestui set.

Iată o altă versiune a acestui paradox.

Să numim adjectivul limbii ruse reflectorizant dacă are o proprietate care defineşte. De exemplu, adjectivul „rusă” este reflexiv, iar adjectivul „engleză” este non-reflexiv, adjectivul „trei silabe” este reflexiv (acest cuvânt este format din trei silabe), iar adjectivul „patru silabe” este non -reflexiv (constă din cinci silabe). Se pare că nimic nu ne împiedică să definim setul

toate adjectivele reflexive.

Dar să luăm în considerare adjectivul „nereflexiv”. Este reflectorizant sau nu?

Se poate afirma că adjectivul „non-reflexiv” nu este nici reflexiv, nici non-reflexiv. Dar cum să fii cu o astfel de vrajă:

Este adevărată afirmația sau negația adevărată?

(Această incantație se numește legea mijlocului exclus, iar metoda contradicției se bazează, de fapt, pe ea.)

În cele din urmă, a treia versiune a paradoxului. Luați în considerare setul

Seturi astfel încât

Includem în set doar acele seturi care le aparțin. Există seturi care conțin alte seturi. De exemplu, lasa

o mulțime conține numere, iar o mulțime are două elemente: o mulțime și un număr. Revenind la cutii, se poate spune asa: unele cutii pot fi puse in alte cutii. (Se pare că fiecare astfel de secvență de casete imbricate are întotdeauna un număr finit de elemente - există motive profunde pentru aceasta.)

Setul considerat este un fel de „frizer”. Dacă presupunem că , tragem imediat concluzia că . Dacă presupunem că - obținem asta.

În fața acestor paradoxuri, teoreticienii seturilor și-au dat seama că nu puteți specifica seturi cu fraze arbitrare. După aceea, au început să se ocupe de paradoxuri în două moduri.

Prima cale este cea a lui Cantor, care a venit cu „teoria multimii naive”, în care sunt interzise toate acțiunile și operațiunile care duc la paradoxuri. Ideea este aceasta: este permis să se lucreze cu mulțimi care „apar în natură”, se poate lucra și cu mulțimi care sunt obținute din ele prin operații rezonabile de teorie a mulțimilor. Să, de exemplu,

Mulți elevi de școală
= set de funcții continue

(aceste multimi „se gasesc in natura”), din ele se poate obtine unire, intersectie. Se poate chiar înmulți set cu mulțime: prin definiție

Un set de perechi în care primul element este din primul set și al doilea este din al doilea. În cazul nostru, acesta este un set de perechi în care primul element este un elev al școlii, iar al doilea este un fel de funcție continuă.

Un alt mod este axiomatic. Acest mod de a depăși paradoxurile a fost dezvoltat de Zermelo și Frenkel (sistemul de axiome Zermelo–Frenkel), Gödel și Bernays (sistemul de axiome Godel–Bernays). Conform acestei teorii, o mulțime este ceva care satisface axiome precum următoarele.

Înregistrările Axiom sunt duplicate în „limbajul cuantificatorilor”. Iată semnificațiile cuantificatorilor utilizați:
- pentru oricine ;
- există;
- există doar unul;
- este un set;
- ansamblul celor si numai al celor care indeplinesc conditia ;
- „sau” logic;
- „și” logic.

1. Axioma volumului. O mulțime este definită de elementele sale: mulțimile formate din aceleași elemente sunt egale.

2. Axioma unificării. Unirea tuturor elementelor unei mulțimi este o mulțime.

3. Axioma selecției. Pentru fiecare set și fiecare condiție există un set

O submulțime de elemente ale mulțimii care îndeplinesc condiția .

Cu alte cuvinte, nu putem lua setul tuturor crocodililor zburători din întreaga lume sau setul acelor seturi care nu se conțin, dar putem, luând un anumit set, să selectăm o „piesă” în el - un set de elementele sale care satisfac o anumită condiție.

4. Axioma gradului. Mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime dată este o mulțime.

5. Axioma de substituție. Fie o mulțime și fie o formulă arbitrară. Atunci, dacă pentru fiecare există și este unic așa că este adevărat, atunci există un set de toate pentru care există așa că este adevărat.

6. Axioma finanțării. Nu există o succesiune infinită de mulțimi imbricate: fiecare lanț de mulțimi

7. Axioma infinitului. Există mulțimi infinite, adică astfel de mulțimi care sunt echivalente ca mărime cu .

8. Axioma alegerii. O altă axiomă foarte complexă, dar și foarte evidentă - despre ea mai târziu.

Pentru mai multe despre axiomatica teoriei mulțimilor, consultați cartea.