Matematica este mai mult decât știință este limbajul științei.

Fizicianul și personajul public danez Niels Bohr

Ecuații logaritmice

Printre sarcinile tipice, oferite la probele de admitere (competitive)., sunt sarcini, legate de soluția ecuațiilor logaritmice. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, este necesar să aveți o bună cunoaștere a proprietăților logaritmilor și să aveți abilități în aplicarea acestora.

În acest articol, prezentăm mai întâi conceptele și proprietățile de bază ale logaritmilor, iar apoi sunt luate în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice.

Concepte și proprietăți de bază

Inițial, prezentăm principalele proprietăți ale logaritmilor, a cărui utilizare permite rezolvarea cu succes a ecuațiilor logaritmice relativ complexe.

Identitatea logaritmică de bază este scrisă ca

, (1)

Cele mai cunoscute proprietăți ale logaritmilor includ următoarele egalități:

1. Dacă , , și , atunci , ,

2. Dacă , , , și , atunci .

3. Dacă , , și , atunci .

4. Dacă , , și numar natural, apoi

5. Dacă , , și numar natural, apoi

6. Dacă , , și , atunci .

7. Dacă , , și , atunci .

Proprietățile mai complexe ale logaritmilor sunt formulate prin următoarele afirmații:

8. Dacă , , , și , atunci

9. Dacă , , și , atunci

10. Dacă , , , și , atunci

Dovada ultimelor două proprietăți ale logaritmilor este dată în manualul autorului „Matematică pentru liceeni: Secțiuni suplimentare de matematică școlară” (M.: Lenand / URSS, 2014).

De asemenea, trebuie remarcat acea funcție creste, dacă , și descrescătoare dacă .

Luați în considerare exemple de probleme pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice, aranjate în ordinea complexității crescânde.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. rezolva ecuatia

. (2)

Soluţie. Din ecuația (2) avem . Să transformăm ecuația după cum urmează: , sau .

Pentru că , atunci rădăcina ecuației (2) este.

Răspuns: .

Exemplul 2. rezolva ecuatia

Soluţie. Ecuația (3) este echivalentă cu ecuațiile

Sau .

De aici obținem.

Răspuns: .

Exemplul 3. rezolva ecuatia

Soluţie. Ecuația (4) implică, ce . Utilizarea identității logaritmice de bază (1), poate fi scris

sau .

Daca punem, apoi de aici obținem ecuația pătratică, care are două rădăciniși . Cu toate acestea, prin urmare și o rădăcină adecvată a ecuației este doar . De când , atunci sau .

Răspuns: .

Exemplul 4. rezolva ecuatia

Soluţie.Interval valid al unei variabileîn ecuația (5) sunt.

Lasă și . Din moment ce funcţiape domeniul definiţiei este în scădere, și funcția crește pe toată axa numerelor, apoi ecuația nu poate avea mai mult de o rădăcină.

Prin selecție găsim singura rădăcină.

Răspuns: .

Exemplul 5. rezolva ecuatia.

Soluţie. Dacă ambele părți ale ecuației sunt luate ca logaritmi la baza 10, atunci

Sau .

Rezolvând ecuația pătratică pentru , obținem și . Prin urmare, aici avem și .

Răspuns: , .

Exemplul 6. rezolva ecuatia

. (6)

Soluţie.Folosim identitatea (1) și transformăm ecuația (6) după cum urmează:

Sau .

Răspuns: , .

Exemplul 7. rezolva ecuatia

. (7)

Soluţie. Luând în considerare proprietatea 9, avem . În acest sens, ecuația (7) ia forma

De aici obținem sau .

Răspuns: .

Exemplul 8. rezolva ecuatia

. (8)

Soluţie.Să folosim proprietatea 9 și să rescriem ecuația (8) în forma echivalentă.

Dacă atunci desemnăm, atunci obținem ecuația pătratică, Unde . Din moment ce ecuațiaare o singură rădăcină pozitivă, apoi sau . Asta implică .

Răspuns: .

Exemplul 9. rezolva ecuatia

. (9)

Soluţie. Deoarece rezultă din ecuația (9), apoi aici . Conform proprietății 10, poate fi notat.

În acest sens, ecuația (9) va fi echivalentă cu ecuațiile

Sau .

De aici obținem rădăcina ecuației (9).

Exemplul 10. rezolva ecuatia

. (10)

Soluţie. Intervalul de valori acceptabile pentru variabila din ecuația (10) este . Conform proprietății 4, aici avem

. (11)

Deoarece , atunci ecuația (11) ia forma unei ecuații pătratice , unde . Rădăcinile ecuației pătratice sunt și .

De când , atunci și . De aici obținem și .

Răspuns: , .

Exemplul 11. rezolva ecuatia

. (12)

Soluţie. Să notăm atunci iar ecuația (12) ia forma

Sau

. (13)

Este ușor de observat că rădăcina ecuației (13) este . Să arătăm că această ecuație nu are alte rădăcini. Pentru a face acest lucru, împărțim ambele părți și obținem ecuație echivalentă

. (14)

Deoarece funcția este în scădere, iar funcția este în creștere pe toată axa reală, ecuația (14) nu poate avea mai mult de o rădăcină. Deoarece ecuațiile (13) și (14) sunt echivalente, ecuația (13) are o singură rădăcină.

De când , atunci și .

Răspuns: .

Exemplul 12. rezolva ecuatia

. (15)

Soluţie. Să notăm și . Deoarece funcția este în scădere pe domeniul definiției, iar funcția este în creștere pentru orice valoare a lui , atunci ecuația nu poate avea o singură rădăcină Bode. Prin selecție directă, stabilim că rădăcina dorită a ecuației (15) este .

Răspuns: .

Exemplul 13. rezolva ecuatia

. (16)

Soluţie. Folosind proprietățile logaritmilor, obținem

De atunci și avem inegalitatea

Inegalitatea rezultată coincide cu ecuația (16) numai dacă sau .

Înlocuirea valoriiîn ecuația (16) ne asigurăm că, ce este rădăcina sa.

Răspuns: .

Exemplul 14. rezolva ecuatia

. (17)

Soluţie. Deoarece aici , atunci ecuația (17) ia forma .

Dacă punem , atunci de aici obținem ecuația

, (18)

Unde . Ecuația (18) implică: sau . Deoarece , atunci ecuația are o rădăcină potrivită. Totuși, prin urmare.

Exemplul 15. rezolva ecuatia

. (19)

Soluţie. Notăm , atunci ecuația (19) ia forma . Dacă luăm logaritmul acestei ecuații în baza 3, obținem

Sau

Din aceasta rezultă că și . De când , atunci și . În acest sens, și

Răspuns: , .

Exemplul 16. rezolva ecuatia

. (20)

Soluţie. Să introducem parametrulși rescrieți ecuația (20) ca o ecuație pătratică în raport cu parametrul, adică

. (21)

Rădăcinile ecuației (21) sunt

sau ,. Deoarece , avem ecuații și . De aici obținem și .

Răspuns: , .

Exemplul 17. rezolva ecuatia

. (22)

Soluţie. Pentru a stabili domeniul de definire al variabilei din ecuația (22), este necesar să se considere o mulțime de trei inegalități: , și .

Aplicarea proprietății 2, din ecuația (22) obținem

Sau

. (23)

Dacă în ecuația (23) punem, atunci obținem ecuația

. (24)

Ecuația (24) va fi rezolvată după cum urmează:

Sau

De aici rezultă că și , adică ecuația (24) are două rădăcini: și .

Din moment ce , atunci , sau , .

Răspuns: , .

Exemplul 18. rezolva ecuatia

. (25)

Soluţie. Folosind proprietățile logaritmilor, transformăm ecuația (25) după cum urmează:

, , .

De aici obținem.

Exemplul 19. rezolva ecuatia

. (26)

Soluţie. De atunci .

În continuare, avem . Prin urmare , egalitatea (26) este satisfăcută numai dacă, când ambele părți ale ecuației sunt egale cu 2 în același timp.

În acest fel , ecuația (26) este echivalentă cu sistemul de ecuații

Din a doua ecuație a sistemului obținem

Sau .

Este ușor de văzut Care este sensul satisface si prima ecuatie a sistemului.

Răspuns: .

Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, vă puteți referi la mijloace didactice din lista literaturii recomandate.

1. Kushnir A.I. Capodopere ale matematicii școlare (probleme și soluții în două cărți). – Kiev: Astarte, cartea 1, 1995. - 576 p.

2. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.

3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare curiculumul scolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

4. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: sarcini de complexitate crescută. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

5. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Algebră clasa a 11-a

Subiect: „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice”

Obiectivele lecției:

educațional: formarea cunoștințelor despre diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, capacitatea de a le aplica în fiecare situație specifică și de a alege orice metodă de rezolvare;

dezvoltarea: dezvoltarea abilităților de observare, comparare, aplicarea cunoștințelor într-o situație nouă, identificarea tiparelor, generalizarea; formarea deprinderilor de control reciproc și autocontrol;

educațional: educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, percepția atentă a materialului din lecție, acuratețea evidenței.

Tipul de lecție: o lecție de familiarizare cu material nou.

„Invenția logaritmilor, prin scurtarea muncii astronomului, i-a prelungit viața.”
Matematicianul și astronomul francez P.S. Laplace

În timpul orelor

I. Stabilirea scopului lecției

Definiția studiată a logaritmului, proprietățile logaritmilor și a funcției logaritmice ne vor permite să rezolvăm ecuații logaritmice. Toate ecuațiile logaritmice, indiferent cât de complexe sunt, sunt rezolvate folosind aceiași algoritmi. Vom lua în considerare acești algoritmi astăzi în lecție. Sunt puțini dintre ei. Dacă le stăpânești, atunci orice ecuație cu logaritmi va fi fezabilă pentru fiecare dintre voi.

Scrieți în caiet tema lecției: „Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice”. Îi invit pe toți la cooperare.

II. Actualizați cunostinte de baza

Să ne pregătim să studiem subiectul lecției. Rezolvi fiecare sarcină și notează răspunsul, nu poți scrie condiția. Lucrați în perechi.

1) Pentru ce valori ale lui x are sens funcția:

(Răspunsurile sunt verificate pentru fiecare diapozitiv și erorile sunt sortate)

2) Se potrivesc graficele funcțiilor?

3) Rescrieți egalitățile ca egalități logaritmice:

4) Scrieți numerele ca logaritmi cu baza 2:

5) Calculați:

6) Încercați să restaurați sau să completați elementele lipsă din aceste egalități.

III. Introducere în material nou

Declarația este afișată pe ecran:

„Ecuația este cheia de aur care deblochează tot susanul matematic.”
Matematicianul polonez modern S. Koval

Încercați să formulați definiția unei ecuații logaritmice. (O ecuație care conține necunoscutul sub semnul logaritmului).

Considera cea mai simplă ecuație logaritmică:ButurugaAx = b(unde a>0, a ≠ 1). Deoarece funcția logaritmică crește (sau descrește) pe mulțimea numerelor pozitive și ia toate valorile reale, din teorema rădăcinii rezultă că pentru orice b, această ecuație are, și mai mult, o singură soluție, și una pozitivă.

Amintiți-vă definiția unui logaritm. (Logaritmul numărului x față de baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul x). Din definiţia logaritmului rezultă imediat că Aîn este o astfel de solutie.

Notează titlul: Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice

1. Prin definiția logaritmului.

Așa se rezolvă ecuații simple de formă.

Considera nr. 514(a): Rezolvați ecuația

Cum iti propui sa o rezolvi? (După definiția logaritmului)

Soluţie. , Prin urmare 2x - 4 = 4; x = 4.

În această sarcină, 2x - 4 > 0, deoarece > 0, prin urmare, rădăcinile străine nu pot apărea și nu este nevoie să se verifice. Condiția 2x - 4 > 0 nu este necesară pentru a scrie în această sarcină.

2. Potenționare(tranziție de la logaritmul expresiei date la această expresie în sine).

Considera Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Ce caracteristică ai observat? (Bazele sunt aceleași și logaritmii celor două expresii sunt egali). Ce se poate face? (potenția).

În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că orice soluție este conținută printre toate x pentru care expresiile logaritmice sunt pozitive.

Soluție: ODZ:

X2+8>0 inegalitate suplimentară

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potențiază ecuația inițială

obținem ecuația x2+8= 8x+8

Rezolvăm: x2-8x=0

Răspuns: 0; opt

În general trecerea la un sistem echivalent:

Ecuația

(Sistemul conține o condiție redundantă - una dintre inegalități poate fi ignorată).

Întrebare pentru clasă: Care dintre aceste trei soluții ți-a plăcut cel mai mult? (Discuție despre metode).

Ai dreptul de a decide în orice fel.

3. Introducerea unei noi variabile.

Considera nr. 520(g). .

Ce ai observat? (Aceasta este o ecuație pătratică pentru log3x) Orice sugestii? (Introduceți o nouă variabilă)

Soluţie. ODZ: x > 0.

Fie , atunci ecuația va lua forma:. Discriminant D > 0. Rădăcini după teorema lui Vieta:.

Să revenim la înlocuitor: sau .

Rezolvând cele mai simple ecuații logaritmice, obținem:

Raspuns: 27;

4. Logaritmul ambelor părți ale ecuației.

Rezolvați ecuația:.

Rezolvare: ODZ: x>0, luați logaritmul ambelor părți ale ecuației din baza 10:

Aplicați proprietatea logaritmului gradului:

(lgx + 3) lgx = 4

Fie lgx = y, atunci (y + 3)y = 4

, (D > 0) rădăcinile conform teoremei Vieta: y1 = -4 și y2 = 1.

Să revenim la înlocuire, obținem: lgx = -4,; logx = 1, .

Răspuns: 0,0001; zece.

5. Reducere la o bază.

Nr. 523(c). Rezolvați ecuația:

Rezolvare: ODZ: x>0. Să trecem la baza 3.

6. Metoda functional-grafica.

№ 509(d). Rezolvați grafic ecuația: = 3 - x.

Cum iti propui sa rezolvi? (Construiți grafice a două funcții y \u003d log2x și y \u003d 3 - x prin puncte și căutați abscisa punctelor de intersecție ale graficelor).

Vezi soluția ta pe diapozitiv.

Există vreo modalitate de a evita complotul . Este după cum urmează : dacă una dintre funcţii y = f(x) crește și celălalt y = g(x) scade pe intervalul X, apoi ecuația f(x)=g(x) are cel mult o rădăcină în intervalul X.

Dacă există o rădăcină, atunci poate fi ghicită.

În cazul nostru, funcția crește pentru x>0, iar funcția y \u003d 3 - x scade pentru toate valorile lui x, inclusiv x>0, ceea ce înseamnă că ecuația nu are mai mult de o rădăcină. Rețineți că pentru x = 2, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată, deoarece .

« Utilizare corectă metodele pot fi învățate
doar aplicându-le la diverse exemple.
Istoricul danez al matematicii G. G. Zeiten

euv. Teme pentru acasă

P. 39 luați în considerare exemplul 3, rezolvați nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Rezumând lecția

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice am luat în considerare în lecție?

În lecțiile următoare, ne vom uita la ecuații mai complexe. Pentru rezolvarea acestora sunt utile metodele studiate.

Afișarea ultimului diapozitiv:

„Ce este mai mult decât orice în lume?
Spaţiu.
Care este cel mai înțelept?
Timp.
Care este cel mai plăcut?
Obține ceea ce îți dorești.”
Thales

Vreau ca fiecare să obțină ceea ce își dorește. Vă mulțumim pentru cooperare și înțelegere.

Acest articol conține o prezentare sistematică a metodelor de rezolvare a ecuațiilor logaritmice cu o variabilă. Acest lucru îl va ajuta pe profesor, în primul rând în sens didactic: selecția exercițiilor vă permite să creați sarcini individuale pentru elevi, ținând cont de capacitățile acestora. Aceste exerciții pot fi folosite pentru o lecție de generalizare și pentru pregătirea pentru examen.
Scurte informații teoretice și rezolvarea de probleme permit elevilor să dezvolte în mod independent abilitățile și abilitățile de a rezolva ecuații logaritmice.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Ecuații logaritmice - ecuații care conțin necunoscutul sub semn logaritm. La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, se folosesc adesea informații teoretice:

De obicei, soluția ecuațiilor logaritmice începe cu definiția ODZ. În ecuațiile logaritmice, se recomandă ca toți logaritmii să fie convertiți astfel încât bazele lor să fie egale. Apoi, ecuațiile fie sunt exprimate în termeni de un singur logaritm, care este notat cu o nouă variabilă, fie ecuația este convertită într-o formă convenabilă pentru potențare.
Transformările expresiilor logaritmice nu ar trebui să conducă la o îngustare a ODZ, dar dacă metoda aplicată de soluție îngustează ODZ, eliberând numerele individuale din considerare, atunci aceste numere de la sfârșitul problemei trebuie verificate prin substituție în ecuația originală, deoarece la îngustarea ODZ, este posibilă pierderea rădăcinilor.

1. Ecuații de formă este o expresie care conține un număr necunoscut și numărul .

1) utilizați definiția logaritmului: ;
2) faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori valide pentru data necunoscutași selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare.
În cazul în care un ) .

2. Ecuații de gradul I în raport cu logaritmul, în soluția cărora se folosesc proprietățile logaritmilor.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1) folosind proprietățile logaritmilor, transformați ecuația;
2) rezolvați ecuația rezultată;
3) verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare acestora.
).

3. Ecuația gradului doi și superior relativ la logaritm.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1. efectuați o schimbare de variabilă;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. efectuați o înlocuire inversă;
4. rezolvați ecuația rezultată;
5. verificați sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați rădăcinile (soluțiile) corespunzătoare acestora.

4. Ecuații care conțin necunoscutul în bază și în exponent.

Pentru a rezolva aceste ecuații, aveți nevoie de:

1. luați logaritmul ecuației;
2. rezolvați ecuația rezultată;
3. faceți o verificare sau găsiți intervalul de valori acceptabile pentru un număr necunoscut și selectați-le pe cele corespunzătoare
   rădăcini (soluții).

5. Ecuații care nu au soluție.

1. Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesar să găsim ecuația ODZ.
2. Analizați părțile stânga și dreaptă ale ecuației.
3. Trageți concluziile adecvate.

Ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

Demonstrați că ecuația nu are soluție.

Ecuația ODZ este definită de inegalitatea x ≥ 0. Pe ODZ avem

Suma unui număr pozitiv și a unui număr nenegativ nu este egală cu zero, deci ecuația inițială nu are soluții.

Răspuns: Nu există soluții.

Doar o rădăcină x \u003d 0 intră în ODZ. Răspuns: 0.

Să facem un înlocuitor.

Rădăcinile găsite aparțin ODZ.

Ecuația ODZ este mulțimea tuturor numerelor pozitive.

Pentru că

Aceste ecuații sunt rezolvate într-un mod similar:

Sarcini pentru soluție independentă:

Cărți uzate.

1. Bechetnov V.M. Matematica. Demiurgul Moscovei 1994
2. Borodulya I.T. Funcții exponențiale și logaritmice. (sarcini și exerciții). „Iluminismul” de la Moscova 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Sarcini în matematică. Ecuații și inegalități. Moscova „Știință” 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Antrenor algebric. Moscova "Ileksa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme în algebră și principii de analiză. „Iluminismul” de la Moscova 2003

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” conform bazei sale „a” este considerat puterea lui „c”. ", la care este necesar să se ridice baza "a", pentru ca în final să se obțină valoarea "b". Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Se află trei anumite tipuri expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule, se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că, în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile cu probleme și sunt, de asemenea, incluse în parte obligatorie examene de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece testele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, totuși, anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la vedere generala. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru solutii logaritmi naturali trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea în examen de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice în Examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte de testare examen), dar și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și rezolvarea problemelor sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

proprietăți de bază.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aceleași temeiuri

log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple de logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.

3.

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în toate modurile posibile. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Pe baza acestui fapt, mulți hârtii de test. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul.

Formule de logaritmi. Logaritmii sunt exemple de soluții.

Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul numărului b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o astfel de putere x () la care egalitatea este adevărată

Proprietățile de bază ale logaritmului

Proprietățile de mai sus trebuie cunoscute, deoarece, pe baza lor, aproape toate problemele și exemplele sunt rezolvate pe baza logaritmilor. Proprietățile exotice rămase pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

La calcularea formulelor pentru suma și diferența logaritmilor (3.4) sunt întâlnite destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul de bază zece este de obicei numit logaritm de bază zece și se notează simplu lg(x).

Din înregistrare se poate observa că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Logaritmul natural este logaritmul a cărui bază este exponentul (notat ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important de bază doi este

Derivata logaritmului funcției este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de dependență

Materialul de mai sus este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a asimila materialul, voi da doar câteva exemple comune din programa școlară și universități.

Exemple de logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.
Prin proprietatea de diferență a logaritmilor, avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

După privire expresie complexă utilizarea unei serii de reguli este simplificată la forma

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm proprietățile 5 și 13 până la ultimul termen

Înlocuiește în evidență și plânge

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Luați logaritmul variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor

Acesta este doar începutul cunoașterii logaritmilor și proprietăților lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele dobândite pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele pentru un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice ...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în toate modurile posibile. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.