Tema lecției: „Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor in spatiu"

GBPOU KK STTT

Profesor de matematica

IVANKOVA NADEZHDA PETROVNA

În clasă, vom face...

Găsi...

Intrebarea 1. Care drepte din spațiu se numesc perpendiculare?

Liniile din spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 0

A

b

A

α

Intrebarea 2.

Formulați o lemă pe perpendicularitatea a două drepte paralele pe o treime

A

b

Cu

M

A

C

α

Întrebarea 3 .

Care dreptă se numește perpendiculară pe plan?

Întrebarea 4. Formulați un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

A

Date: a r, a q

Demonstrați: a α

A

l

P

q

Q

p

m

α

L

B

Întrebarea 5 .

Ce este distanța

din punct in plan?

Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei de la un punct dat la un plan

A

A

b

LA

α

Întrebarea 6 .

Care este distanța dintre o linie și

un plan paralel cu el?

A

b

Cu

α

Întrebarea 7 .

Care este distanta intre

planuri paralele?

A

La

Întrebare 8 .

Care linii se numesc intersectare?

b

α

A



Răspuns: Liniile de încrucișare sunt linii care nu se află în același plan.

Întrebarea 9. Cum se măsoară distanța dintre liniile care se intersectează?

Distanţă este egală cu distanța de la orice punct al uneia dintre aceste drepte până la planul care trece prin a doua dreaptă, paralelă cu prima.

Distanţă între două linii care se intersectează este egală cu distanța dintre două plane paralele care conțin aceste drepte.

Distanța dintre două linii care se intersectează este egală cu lungimea perpendicularei lor comune (există doar un astfel de segment).

Demonstrați teorema celor trei perpendiculare

AN - perpendicular pe plan

AB - oblic

VH - proiecția lui AB pe un plan

Dacă un BH, atunci un AB

A

Demonstrați o teoremă inversă cu teorema celor trei perpendiculare

α

A nu zace într-un avion

Și D este perpendicular pe planul α

AB - oblic

B D este proiecția lui AB pe planul α

Dacă un AB, atunci un B D

A

α

Dat: MS ┴ ABC

Găsiți: AC

ABCD este un romb.

Demonstrați: MO ┴ ABC

Dat: DA ┴ ABC

Dat: ABCD - paralelogram, MB ┴ ABC

Demonstrați: ABCD este un dreptunghi

A

Întrebarea 10:

Cum se numeste unghiul dintre o dreapta si un plan?

Definiți un unghi diedru.

Cum se măsoară unghiul diedric?

A

Întrebarea 11 : Cum se numesc avioanele

perpendicular?

Întrebarea 12 : Formulați și dovediți semnul

perpendicularitatea a două plane.

α

Întrebarea 13: Ce paralelipiped

numit dreptunghiular?

Întrebarea 14: Enumerați proprietățile unui dreptunghi

paralelipiped.

Întrebarea 15:

Formulează și

demonstrați teorema diagonalei

dreptunghiular

paralelipiped.

Rezolva problema:

Dat: ABC D - dreptunghi,

MV ⊥ (ABC).

Demonstrați: (AMV) ⊥ (MVS)

în piramidă DABC se cunosc lungimile nervurilor: AB=AC= DB=DC =10, BC= DA =12. găsiți distanța dintre linii DA și VS.

triunghiuri bdc și ABC isoscel

D M – înălțimea ∆ bdc , D M - mediana,

A.M – ∆ mediană AB C → A.M - înălțime.

∆ DAR î.Hr = ∆ bdc pe trei laturi D M = A.M → ∆ AMD isoscel

MK – mediana și înălțimea.

DOMNIȘOARĂ ⊥ AMD → DOMNIȘOARĂ ⊥ MK,

ANUNȚ ⊥ MK , MK este perpendiculara comună a dreptelor care se intersectează

ANUNȚ și soare

∆ AVM dreptunghiular, AB=10,

VM=6, AM=8.

∆ AKM dreptunghiular, AM=8,

AK=6, MK=2 √ 7.

Rezolvați problema (conform figurii):

A

Să desenăm BE ⊥ AC, CE = EA, deoarece ΔABC este isoscel și înălțimea este, de asemenea, mediană.

apoi prin teorema 3-perpendiculară DE ⊥ AC.

Este adevărată afirmația?

Drept A este perpendiculară pe planul α, iar dreapta b

nu perpendicular pe acest plan. Pot ei

Drept Ași b fi paralel?

b ?

A



Este adevărată afirmația?

Linia a este paralelă cu planul α, iar dreapta b

perpendicular pe acest plan. Există oare

o dreaptă perpendiculară pe liniile a și b?

b

A

α

Este adevărată afirmația?

Toate liniile perpendiculare pe un plan dat

iar intersectarea liniei date se află în aceeași

avioane.

A

b

Cu

d

α

Este adevărată afirmația?

Este posibil să desenezi trei

avioane, fiecare dintre ele fiind reciproc

perpendicular?

SURSE:

Manual Geometrie Clasa 10 AtanasyanL.S. etc M.: Iluminismul. 2001

http://5terka.com/node/7155

http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Drepte perpendiculare în spațiu Două drepte se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 o a b c a  b c  b α

Lema Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă. A C a α M b c Dat: a || b, a  c Demonstrați: b  c Demonstrați:

O dreaptă se numește perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan α a a  α

Teorema 1 Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acest plan. α x Dat: a || a 1; a  α Demonstrați: a 1  α Demonstrați: a a 1

Teorema 2 α Demonstrați: a || b Demonstrație: a Dacă două drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci sunt paralele. β b 1 Având în vedere: a  α ; b  α b M c

Un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acest plan. α q Demonstrați: a  α Demonstrați: a p m O Dat: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Dovada: L a) cazul special A

α q a p m O Dovada: a) cazul general a 1

Teorema 4 Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe planul dat și, în plus, doar una. α a β М b с Demonstrați: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) cu - ! Dovada: Dat: α ; M  α

Găsirea sarcinii: MD A B D M Rezolvare: Dat:  ABC ; MBBC; MBBA; MB = BD = a Demonstrați: M B  BD C a a

Problema 128 Demonstrați: O M  (ABC) Având în vedere: ABCD este un paralelogram; AC ∩ BD = O ; M  (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Dovada:

Sarcina 12 2 Găsiți: AD; BD; AK; B.K. A B D C O K Rezolvare: Dat:  ABC – r/s; O - centru  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

Perpendicular și înclinat M A B N α MN  α A  α B  α

Teoremă pe trei perpendiculare O dreaptă trasată într-un plan prin baza unei linii înclinate perpendiculară pe proiecția sa pe acest plan este perpendiculară pe dreapta înclinată însăși. A N M α β a Dat: a  α , AN  α , AM este oblic, a  NM, M  a Demonstrați: a  AM Demonstrarea:

Teorema inversă cu teorema pe trei perpendiculare O dreaptă trasată într-un plan prin baza unei perpendiculare înclinate pe ea este, de asemenea, perpendiculară pe proiecția sa. A N M α β a Dat: a  α , AN  α , AM este oblic, a  AM, M  a Demonstrați: a  HM Demonstrarea:

Unghiul dintre linia dreaptă și planul A H α β a O φ (a; α) =  AON = φ

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Prezentarea pe tema „Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan” corespunde materialului teoretic studiat în această secțiune de geometrie solidă....

Se prezintă desfăşurarea unei lecţii în clasa a 10-a, la geometrie pentru materiale didactice: Geometrie pentru clasele 10-11, autori L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții. Aceasta este o lecție de învățare a materialelor noi folosind ...

Secțiuni: Matematica

Obiectivele lecției:

• să identifice nivelul de stăpânire a unui complex de cunoștințe și abilități pentru a rezolva probleme pe o anumită temă,
• dezvolta imaginația spațială, gândirea logică, atenția și memoria,
• educați activitatea, capacitatea de a asculta.

Echipament pentru lecție:

• manualul L.S. Atanasyan și alții „Geometrie 10-11”;
• registru de lucru;
• Calculator personal;
• proiector multimedia;
• tabla interactiva;
• prezentarea autorului pregătită folosind Microsoft Power Point ( Atasamentul 1 )

Structura lecției:

1. Organizarea timpului.
2. Actualizarea cunoștințelor elevilor pe această temă.
3. Consolidarea cunoștințelor dobândite anterior și dezvoltarea deprinderilor și abilităților de aplicare a acestor cunoștințe în rezolvarea problemelor.
4. Rezumând lecția.
5. Teme pentru acasă.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Momentul organizatoric al lecției: salutare, verificarea pregătirii pentru lecție.

2. Actualizarea cunoștințelor obținute de elevi la lecția anterioară:

- conceptul de drepte perpendiculare în spațiu;
- perpendicularitatea unei drepte și a unui plan;
– proprietăţile dreptelor paralele perpendiculare pe plan.

Pentru a actualiza cunoștințele un elev merge la tablă și notează soluția problemei nr. 119a), al doilea elev este demonstrarea teoremei pe drepte paralele perpendiculare pe plan.

În timp ce se pregătesc, un sondaj frontal de clasă:

Care este poziția relativă a celor două linii în spațiu?
- În ce interval se măsoară unghiul dintre liniile drepte în spațiu?
Ce drepte din spațiu se numesc perpendiculare?
- Formulați o lemă despre două drepte paralele perpendiculare pe a treia.
– Stabiliți succesiunea corectă de acțiuni în demonstrarea lemei.

După executarea validării online.

Profesor: Definiți perpendicularitatea unei drepte și a unui plan.

Profesor: Formulați teorema inversă.

Verificarea corectitudinii soluției problemei de acasă nr. 119a (folosind egalitatea triunghiurilor).

3. Dezvoltarea deprinderilor și abilităților de aplicare a cunoștințelor teoretice la rezolvarea problemelor

1) Exerciții orale.

№1 Linia AB este perpendiculară pe plan, punctele M și K aparțin acestui plan. Demonstrați că dreapta AB este perpendiculară pe dreapta MK.

2) Exerciții de scriere .

№2 În pătratul ABCD, t.O este punctul de intersecție al diagonalelor sale. MO directă este perpendiculară pe planul pătratului. Demonstrați că MA = MB = MC = MD.

№3 Latura AB a paralelogramului ABCD este perpendiculară pe plan. Aflați BD dacă AC = 10 cm.

4. Verificarea asimilării cunoştinţelor dobândite în timpul testului

5. Rezumând lecția

Notează o temă pentru acasă: itemii 15-16, nr. 118 nr. 120

Prezentarea „Linii perpendiculare în spațiu” este un ajutor vizual pentru demonstrarea materialului educațional atunci când studiați subiectul cu același nume la școală. Este dificil să reprezentați figuri în spațiu folosind o tablă sau alte instrumente standard ale profesorului. O prezentare este una dintre cele mai preferate forme de demonstrare a materialului vizual, în care este necesar să se înfățișeze corpuri în spațiu. La crearea unei prezentări, se poate folosi animația, reprezentarea în culori a figurilor. De asemenea, prezentarea animată contribuie la o înțelegere mai profundă a proceselor și transformărilor demonstrate, concentrează atenția elevilor asupra subiectului studiat.

În timpul prezentării, elevii își fac o idee despre drepte perpendiculare în spațiu, se formulează și se demonstrează o lemă importantă despre perpendicularitatea unei drepte la ambele drepte paralele atunci când una dintre ele este perpendiculară, soluția problemei este descrisă folosind modelul studiat. material. Cu ajutorul prezentării, profesorului îi este mai ușor să-și formeze capacitatea elevilor de a rezolva probleme geometrice, de a-și da o idee despre proprietățile celor din spațiu. Materialul demonstrat în timpul prezentării este mai ușor de înțeles și de reținut.

Prezentarea începe cu o reamintire a ce unghi poate fi format între două linii drepte situate pe un plan și care se intersectează una cu cealaltă. Figura prezintă un anumit plan pe care sunt construite liniile a și b. Când aceste drepte se intersectează, se formează un unghi α. Valoarea unghiului poate fi de la 0° la 90°. Unghiurile verticale formate de intersecția liniilor sunt egale, iar unghiul adiacent este determinat de formula 180°-α. Acestea sunt cunoștințe teoretice pe care elevul trebuie să le amintească înainte de a studia proprietățile liniilor drepte perpendiculare pe spațiu. În diapozitivul următor, pentru a demonstra mai bine poziția reciprocă a liniilor în spațiu, este prezentat un paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, pe care muchiile AA 1 și AB sunt perpendiculare. Se formulează definiția liniilor perpendiculare, care se numesc așa dacă unghiul dintre ele este de 90 °. De asemenea, se observă că într-un paralelipiped dreptunghiular, liniile D 1 C 1 și DD 1 vor fi de asemenea perpendiculare între ele. Amintim și notația perpendicularității dreptelor D 1 C 1 ┴ DD 1 . În continuare, sunt marcate perechi de linii în paralelipiped, care vor fi paralele și perpendiculare între ele. Se observă că AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD vor fi perpendiculare, iar AA 1 și DD 1 sunt paralele.

Este prezentată următoarea lemă, care afirmă că, dacă una dintre drepte paralele este perpendiculară pe o a treia dreaptă, atunci a doua dreaptă paralelă va fi și ea perpendiculară. Formularea lemei se evidențiază pentru memorare într-un cadru și cu ajutorul culorii. Dovada lemei este demonstrată. Figura prezintă două drepte paralele a și b, precum și o dreaptă c, despre care se știe că este perpendiculară pe a. este necesar să se demonstreze că b şi c sunt de asemenea perpendiculare. Pentru a demonstra această afirmație, se construiește un punct suplimentar M, care nu aparține nici lui a și nici lui b. Prin acest punct este trasată o dreaptă MA, paralelă cu a. Se efectuează și MS, paralel cu. Perpendicularitatea lui a la c înseamnă că ∠AMS=90°. Din paralelismul lui a și b, precum și paralelismul lui a la MA, urmează paralelismul lui b la MA. Deoarece b este paralel cu MA și c este paralel cu MC și unghiul ∠AMC=90°, atunci b este perpendicular pe c. Afirmația a fost dovedită.

Ultimul diapozitiv prezintă o descriere a soluției problemei în care se cere să se dovedească perpendicularitatea muchiei tetraedrului AM și a dreptei PQ. În problemă, este dat un tetraedru MABC, în care AM este perpendicular pe BC. Pe muchia AB este marcat un punct P. Se știe că AP/AB=2/3. Iar pe muchia Ac este marcat un punct Q, care împarte muchia în raportul AQ/QC=2/1. Din relația AQ/QC=2/1 rezultă relația Δ/AC=2/3. Din AQ/AC găsit, relația cunoscută АР/АВ și faptul că unghiul ∠А este comun, rezultă că triunghiurile ΔARQ și ΔABS sunt similare. În același timp, din egalitatea unghiurilor ∠ARQ=∠ABS, ∠AQP=∠ABC, dreptele PQ și BC sunt paralele. Știind că laturile Am și BC sunt perpendiculare, iar PQ este paralelă cu BC, folosind lema binecunoscută, putem afirma că AM este perpendiculară pe PQ. Problema rezolvata.

Prezentarea „Linii perpendiculare în spațiu” îl va ajuta pe profesor în desfășurarea unei lecții de geometrie la școală. De asemenea, materialul vizual este util pentru un profesor care conduce formarea de la distanță. Prezentarea poate fi recomandată unui student care studiază în mod independent subiectul sau necesită material suplimentar pentru o înțelegere mai profundă.