O ecuație liniară cu o variabilă are forma generală
ax + b = 0.
Aici x este o variabilă, a și b sunt coeficienți. În alt mod, a se numește „coeficientul necunoscutului”, b este „termenul liber”.

Coeficienții sunt niște numere, iar rezolvarea ecuației înseamnă găsirea valorii x pentru care expresia ax + b = 0 este adevărată. De exemplu, avem o ecuație liniară 3x - 6 \u003d 0. Rezolvarea ei înseamnă să găsim cu ce trebuie să fie x, astfel încât 3x - 6 să fie egal cu 0. Efectuând transformări, obținem:
3x=6
x=2

Astfel, expresia 3x - 6 = 0 este adevărată pentru x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 este rădăcina acestei ecuații. Când rezolvi o ecuație, îi găsești rădăcinile.

Coeficienții a și b pot fi orice numere, cu toate acestea, există astfel de valori atunci când există mai mult de o rădăcină a unei ecuații liniare cu o variabilă.

Dacă a = 0, atunci ax + b = 0 se transformă în b = 0. Aici x este „distrus”. Expresia b = 0 însăși poate fi adevărată numai dacă cunoașterea lui b este 0. Adică, ecuația 0*x + 3 = 0 este falsă, deoarece 3 = 0 este o afirmație falsă. Cu toate acestea, 0*x + 0 = 0 este expresia corectă. De aici se ajunge la concluzia că, dacă a \u003d 0 și b ≠ 0, o ecuație liniară cu o variabilă nu are deloc rădăcini, dar dacă a \u003d 0 și b \u003d 0, atunci ecuația are un număr infinit de rădăcini.

Dacă b \u003d 0 și a ≠ 0, atunci ecuația va lua forma ax \u003d 0. Este clar că, dacă a ≠ 0, dar rezultatul înmulțirii este 0, atunci x \u003d 0. Adică, rădăcina acestei ecuații este 0.

Dacă nici a, nici b nu sunt egali cu zero, atunci ecuația ax + b = 0 se transformă în forma
x \u003d -b / a.
Valoarea lui x în acest caz va depinde de valorile lui a și b. Totuși, va fi singurul. Adică, este imposibil să se obțină două sau mai multe valori x diferite pentru aceiași coeficienți. De exemplu,
-8,5x - 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = -2
Nici un număr altul decât -2 nu poate fi obținut prin împărțirea lui 17 la -8,5.

Există ecuații care, la prima vedere, nu arată ca forma generală a unei ecuații liniare cu o variabilă, dar sunt ușor convertite în ea. De exemplu,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Dacă mutam totul în partea stângă, atunci 0 va rămâne în dreapta:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Acum ecuația este redusă la forma standard și o puteți rezolva:
x = 16,8 / 0,2
x=84

Ecuații. Cu alte cuvinte, soluția tuturor ecuațiilor începe cu aceste transformări. La hotărâre ecuatii lineare, it (soluție) pe transformări identice și se termină cu răspunsul final.

Cazul unui coeficient diferit de zero pentru o variabilă necunoscută.

ax+b=0, a ≠ 0

Transferăm membri cu x pe o parte și numere pe cealaltă parte. Asigurați-vă că rețineți că atunci când transferați termenii în partea opusă a ecuației, trebuie să schimbați semnul:

ax:(a)=-b:(a)

Reducem A la X si obtinem:

x=-b:(a)

Acesta este răspunsul. Dacă doriți să verificați dacă un număr este -b:(a) rădăcina ecuației noastre, atunci trebuie să înlocuim în ecuația inițialăîn loc de X acesta este același număr:

a(-b:(a))+b=0 ( acestea. 0=0)

pentru că această egalitate este adevărată, atunci -b:(a) iar adevărul este rădăcina ecuației.

Răspuns: x=-b:(a), a ≠ 0.

Primul exemplu:

5x+2=7x-6

Transferăm într-o parte termenii de la X, iar pe cealaltă parte a numărului:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Cu un coeficient necunoscut, l-au redus și au primit răspunsul:

Acesta este răspunsul. Dacă trebuie să verificați dacă numărul 4 este într-adevăr rădăcina ecuației noastre, înlocuim acest număr în loc de x în ecuația originală:

5*4+2=7*4-6 ( acestea. 22=22)

pentru că această egalitate este adevărată, atunci 4 este rădăcina ecuației.

Al doilea exemplu:

Rezolvați ecuația:

5x+14=x-49

Transferând necunoscutele și numerele în direcții diferite, am obținut:

Împărțim părțile ecuației la coeficientul de la X(pe 4) și obțineți:

Al treilea exemplu:

Rezolvați ecuația:

În primul rând, scăpăm de iraționalitatea în coeficientul necunoscutului prin înmulțirea tuturor termenilor cu:

Această formă este considerată simplificată, deoarece numărul are rădăcina numărului în numitor. Trebuie să simplificăm răspunsul înmulțind numărătorul și numitorul cu același număr, avem așa:

Cazul fără soluții.

Rezolvați ecuația:

2x+3=2x+7

Pentru toți X ecuația noastră nu va deveni o adevărată egalitate. Adică, ecuația noastră nu are rădăcini.

Răspuns: Nu există soluții.

Un caz special este un număr infinit de soluții.

Rezolvați ecuația:

2x+3=2x+3

Transferând x și numere în direcții diferite și aducând termeni similari, obținem ecuația:

Nici aici nu este posibilă împărțirea ambelor părți la 0, deoarece este interzis. Cu toate acestea, punerea în loc X orice număr, obținem egalitatea corectă. Adică, fiecare număr este o soluție a unei astfel de ecuații. Astfel, există un număr infinit de soluții.

Răspuns: un număr infinit de soluții.

Cazul egalității a două forme complete.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Răspuns: x=(d-b):(a-c), dacă d≠b și a≠c, în rest sunt infinit de soluții, dar dacă a=c, A d≠b, atunci nu există soluții.

Ecuație liniară este o ecuație algebrică. În această ecuație, gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal cu unu.

Ecuațiile liniare sunt prezentate în următoarea formă:

În formă generală: A 1 X 1 + A 2 X 2 + … + un n x n + b = 0

În formă canonică: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b.

Ecuație liniară cu o variabilă.

Ecuația liniară cu prima variabilă se reduce la forma:

topor+ b=0.

De exemplu:

2x + 7 = 0. Unde a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Unde a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Unde a=12, b=1/2.

Numărul de rădăcini depinde de Ași b:

Când A= b=0 , ceea ce înseamnă că ecuația are un număr nelimitat de soluții, deoarece .

Când A=0 , b≠ 0 , ceea ce înseamnă că ecuația nu are rădăcini, deoarece .

Când A ≠ 0 , deci ecuația are o singură rădăcină .

Ecuație liniară cu două variabile.

Ecuația cu variabila X este egalitatea de tip A(x)=B(x), Unde Topor)și B(x)- expresii din X. La înlocuirea setului T valorile Xîn ecuație obținem adevărata egalitate numerică, care se numește multe adevăruri această ecuaţie sau soluţie ecuația dată , și toate aceste valori ale variabilei sunt rădăcinile ecuației.

Ecuațiile liniare a 2 variabile sunt prezentate sub această formă:

În formă generală: ax + by + c = 0,

În formă canonică: ax + by = -c,

In forma funcție liniară: y = kx + m, Unde .

Soluția sau rădăcinile acestei ecuații sunt o astfel de pereche de valori ale variabilelor (X y), care o transformă într-o identitate . O ecuație liniară cu 2 variabile are un număr nelimitat de aceste soluții (rădăcini). Modelul geometric (graficul) al acestei ecuații este o linie dreaptă y=kx+m.

Dacă există un x pătrat în ecuație, atunci se numește o astfel de ecuație

O ecuație liniară este o ecuație algebrică al cărei grad complet de polinoame este egal cu unu. Rezolvarea ecuațiilor liniare - parte curiculumul scolar, și nu cel mai dificil. Cu toate acestea, unii încă întâmpină dificultăți în trecerea acestui subiect. Sperăm că după citirea acestui material, toate dificultățile pentru dvs. vor rămâne în trecut. Deci, hai să ne dăm seama. cum se rezolvă ecuații liniare.

Forma generală

Ecuația liniară este reprezentată astfel:

• ax + b = 0, unde a și b sunt orice numere.

Chiar dacă a și b pot fi orice număr, valorile lor afectează numărul de soluții ale ecuației. Există mai multe cazuri speciale de soluție:

• Dacă a=b=0, ecuația are un număr infinit de soluții;
• Dacă a=0, b≠0, ecuația nu are soluție;
• Dacă a≠0, b=0, ecuația are o soluție: x = 0.

În cazul în care ambele numere au valori diferite de zero, ecuația trebuie rezolvată pentru a deriva expresie finală pentru o variabilă.

Cum să decizi?

Rezolvarea unei ecuații liniare înseamnă a afla cu ce este egală o variabilă. Cum să o facă? Da, este foarte simplu - folosind operații algebrice simple și respectând regulile de transfer. Dacă ecuația a apărut în fața ta într-o formă generală, ai noroc, tot ce trebuie să faci este:

1. Mutați b în partea dreaptă a ecuației, fără a uita să schimbați semnul (regula de transfer!), Astfel, dintr-o expresie de forma ax + b = 0, ar trebui să se obțină o expresie de forma ax = -b.
2. Aplicați regula: pentru a găsi unul dintre factori (x - în cazul nostru), trebuie să împărțiți produsul (-b în cazul nostru) cu un alt factor (a - în cazul nostru). Astfel, ar trebui să se obțină o expresie a formei: x \u003d -b / a.

Atât - soluția este găsită!

Acum să ne uităm la un exemplu specific:

1. 2x + 4 = 0 - mutați b, care în acest caz este 4, spre dreapta
2. 2x = -4 - împărțiți b la a (nu uitați de semnul minus)
3. x=-4/2=-2

Asta e tot! Soluția noastră: x = -2.

După cum puteți vedea, găsirea unei soluții la o ecuație liniară cu o variabilă este destul de simplă, dar totul este atât de simplu dacă avem norocul să întâlnim ecuația într-o formă generală. În cele mai multe cazuri, înainte de a rezolva ecuația în cei doi pași descriși mai sus, este de asemenea necesar să se reducă expresia existentă la vedere generala. Cu toate acestea, nici aceasta nu este o sarcină descurajantă. Să ne uităm la câteva cazuri speciale cu exemple.

Rezolvarea cazurilor speciale

Mai întâi, să aruncăm o privire la cazurile pe care le-am descris la începutul articolului și să explicăm ce înseamnă să ai un număr infinit de soluții și nicio soluție.

• Dacă a=b=0, ecuația va arăta astfel: 0x + 0 = 0. Efectuând primul pas, obținem: 0x = 0. Ce înseamnă această prostie, exclami tu! La urma urmei, indiferent de ce număr înmulțiți cu zero, veți obține întotdeauna zero! Dreapta! Prin urmare, ei spun că ecuația are un număr infinit de soluții - indiferent de numărul pe care îl luați, egalitatea va fi adevărată, 0x \u003d 0 sau 0 \u003d 0.
• Dacă a=0, b≠0, ecuația va arăta astfel: 0x + 3 = 0. Efectuăm primul pas, obținem 0x = -3. Din nou prostii! Este evident că această egalitate nu va fi niciodată adevărată! De aceea se spune că ecuația nu are soluții.
• Dacă a≠0, b=0, ecuația va arăta astfel: 3x + 0 = 0. Făcând primul pas, obținem: 3x = 0. Care este soluția? Este ușor, x = 0.

Dificultăți în traducere

Cazurile particulare descrise nu sunt tot ceea ce ne pot surprinde ecuațiile liniare. Uneori, ecuația este în general dificil de identificat la prima vedere. Să luăm un exemplu:

• 12x - 14 = 2x + 6

Este aceasta o ecuație liniară? Dar ce zici de zero din partea dreaptă? Nu ne vom grăbi să tragem concluzii, vom acționa - vom transfera toate componentele ecuației noastre în partea stângă. Primim:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Acum scăzând like din like, obținem:

• 10x - 20 = 0

Învățat? Cea mai liniară ecuație vreodată! A cărui soluție: x = 20/10 = 2.

Dacă avem acest exemplu:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, aceasta este și o ecuație liniară, trebuie doar făcute mai multe transformări. Să extindem mai întâi parantezele:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - acum efectuați transferul:
4. 25x - 4 = 0 - rămâne de găsit o soluție conform schemei deja cunoscute:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

După cum puteți vedea, totul este rezolvat, principalul lucru nu este să vă faceți griji, ci să acționați. Amintiți-vă, dacă ecuația dvs. conține doar variabile de gradul întâi și numere, aceasta este o ecuație liniară, care, indiferent de cum arată inițial, poate fi redusă la o formă generală și rezolvată. Sperăm că totul merge bine pentru tine! Mult noroc!

Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în industria economică cu modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este un termen pentru două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.

O pereche de valori (x, y), scrise ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o modalitate analitică generală de a rezolva astfel de sisteme, toate metodele se bazează pe soluții numerice. LA curs şcolar Matematica descrie în detaliu metode precum permutarea, adăugarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matricială, soluția prin metoda Gauss.

Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a învăța cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școlar de învățământ general este destul de simplă și este explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Soluţie acest exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor primite.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

La căutarea unei soluții la sisteme prin metoda adunării, se efectuează adunarea termen cu termen și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație cu o variabilă.

Pentru aplicații aceasta metoda este nevoie de practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.

Algoritm de acțiune a soluției:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Din exemplu se poate observa că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătrat standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. LA exemplu dat a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în trasarea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate vedea din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu trebuie găsit solutie grafica sisteme de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să construim un grafic.

Matrix și soiurile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie pe scurt un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.

Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite succesiv cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul se calculează cu ușurință pentru o matrice de două câte două, este necesar doar înmulțirea elementelor în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea intrărilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.

Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda Gauss-Cramer de rezolvare. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile de sistem cu multe ecuații liniare.

Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin transformări și substituții algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție gaussiană este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși în program studiu aprofundat la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:

Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.

În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată este scrisă după semnul „săgeată” și continuă să efectueze ceea ce este necesar actiuni algebrice până la atingerea rezultatului.

Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.

Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea a numeroase necunoscute.

Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.