Fracțiune m/n vom considera ireductibil (la urma urmei, o fracție reductibilă poate fi întotdeauna redusă la o formă ireductibilă). Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, obținem m^2=2n^2. De aici concluzionăm că m^2, iar apoi numărul m- chiar. acestea. m = 2k. De aceea m^2 = 4k^2 și deci 4 k^2 =2n^2 sau 2 k^2 = n^2. Dar apoi se dovedește că n este, de asemenea, un număr par, care nu poate fi, deoarece fracția m/n ireductibil. Există o contradicție. Rămâne de concluzionat că presupunerea noastră este greşită şi Numar rational m/n egal cu √2 nu există.”

Asta e toată dovada lor.

Evaluarea critică a dovezilor grecilor antici

1) În numărul rațional adoptat de greci m/n numere mși nîntreg, dar necunoscut(fie ei chiar, fie ei ciudat). Asa si este! Și pentru a stabili cumva vreo dependență între ele, trebuie să le determine cu precizie scopul;

2) Când anticii au decis că numărul m este chiar, atunci în egalitatea lor acceptată m = 2k ei (intenționat sau din ignoranță!) nu au caracterizat chiar „corect” numărul „ k ". Dar iată numărul k- aceasta este întreg(Întreg!) și complet celebru un număr care definește clar găsitul chiar număr m. Și nu fi așa găsite numere" k" anticii nu puteau mai departe " utilizare» și numărul m ;

3) Și când de la egalitate 2 k^2 = n^2 vechii au primit numărul n^2 este par și în același timp n- chiar, ar fi trebuit nu va grabiti cu o concluzie despre controversă emergentă", dar este mai bine să vă asigurați de limită precizie acceptate de ei alegere» numere « n ».

Și cum ar putea s-o facă? Da, simplu!
Vezi: din ecuația lor 2 k^2 = n^2 s-ar putea obține cu ușurință următoarea egalitate k√2 = n. Și aici nu este nimic condamnabil în niciun fel - la urma urmei, au primit din egalitate m/n=√2 o altă egalitate adecvată m^2=2n^2 ! Și nimeni nu le-a trecut!

Dar în noua egalitate k√2 = n cu numere INTEGER evidente kși n este clar că din mereu obțineți numărul √2 - raţional . Este mereu! Pentru că conține numere kși n- celebrul TOT!

Dar pentru ca din egalitatea lor 2 k^2 = n^2 și, pe cale de consecință, din k√2 = n obțineți numărul √2 - iraţional (ca asta " a dorit„grecii antici!”), atunci trebuie să aibă, cel mai puţin , număr " k" la fel de neîntreg (!!!) numere. Și grecii antici pur și simplu nu aveau asta!

De aici CONCLUZIA: dovada de mai sus a iraționalității numărului √2, făcută de grecii antici acum 2400 de ani, sincer gresit și incorect din punct de vedere matematic, ca să spunem cel puțin - este doar fals .

În mica broșură F-6 prezentată mai sus (vezi fotografia de mai sus), emisă la Krasnodar (Rusia) în 2015 cu un tiraj total de 15.000 de exemplare. (evident, cu o sponsorizare) o nouă, extrem de corectă din punct de vedere al matematicii și extrem de adevărată] dovadă a iraționalității numărului √2, care ar fi putut avea loc demult, dacă nu ar fi fost rigidă" prepo n" la studiul antichităţilor istoriei.

Însuși conceptul de număr irațional este astfel aranjat încât este definit prin negația proprietății „a fi rațional”, deci demonstrarea prin contradicție este cea mai firească aici. Este posibil, totuși, să oferim următorul raționament.

Cum diferă numerele fundamental raționale de cele iraționale? Ambele pot fi aproximate prin numere raționale cu orice precizie dată, dar pentru numerele raționale există o aproximare cu precizie „zero” (numărul în sine), dar pentru numerele iraționale nu mai este cazul. Să încercăm să ne jucăm cu el.

În primul rând, observăm un fapt atât de simplu. Fie $%\alpha$%, $%\beta$% două numere pozitive care se aproximează reciproc cu o precizie de $%\varepsilon$%, adică $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Ce se întâmplă dacă inversăm numerele? Cum schimbă acest lucru precizia? Este ușor de observat că $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ care va fi strict mai mic de $%\varepsilon$% pentru $%\alpha\beta>1$%. Această afirmație poate fi privită ca o lemă independentă.

Acum să punem $%x=\sqrt(2)$% și să fie $%q\in(\mathbb Q)$% o aproximare rațională a $%x$% cu precizie $%\varepsilon$%. Știm că $%x>1$%, iar în ceea ce privește aproximarea $%q$%, solicităm ca inegalitatea $%q\ge1$% să fie satisfăcută. Pentru toate numerele mai mici de $%1$%, acuratețea aproximării va fi mai slabă decât cea a $%1$% în sine și, prin urmare, nu le vom lua în considerare.

Să adăugăm $%1$% la fiecare dintre numerele $%x$%, $%q$%. Evident, precizia de aproximare va rămâne aceeași. Acum avem numerele $%\alpha=x+1$% și $%\beta=q+1$%. Trecând la reciproce și aplicând „lema”, ajungem la concluzia că precizia noastră de aproximare s-a îmbunătățit, devenind strict mai mică de $%\varepsilon$%. Condiția necesară $%\alpha\beta>1$% este îndeplinită chiar și cu o marjă: de fapt, știm că $%\alpha>2$% și $%\beta\ge2$%, din care putem concluziona că precizia este îmbunătățită de cel puțin $%4$% ori, adică nu depășește $%\varepsilon/4$%.

Și aici este punctul principal: după condiție, $%x^2=2$%, adică $%x^2-1=1$%, ceea ce înseamnă că $%(x+1)(x- 1) =1$%, adică numerele $%x+1$% și $%x-1$% sunt inverse unul față de celălalt. Și asta înseamnă că $%\alpha^(-1)=x-1$% va fi o aproximare a numărului (rațional) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% cu un precizie strict mai mică de $%\varepsilon$%. Rămâne să adăugați $%1$% la aceste numere și se dovedește că numărul $%x$%, adică $%\sqrt(2)$%, are o nouă aproximare rațională egală cu $%\beta ^(- 1)+1$%, adică $%(q+2)/(q+1)$%, cu precizie „îmbunătățită”. Aceasta completează demonstrația, deoarece numerele raționale, așa cum am observat mai sus, au o aproximare rațională „absolut exactă” cu o precizie de $%\varepsilon=0$%, unde precizia nu poate fi crescută în principiu. Și am reușit să o facem, ceea ce vorbește despre iraționalitatea numărului nostru.

De fapt, acest argument arată cum să construiți aproximări raționale concrete pentru $%\sqrt(2)$% cu o acuratețe din ce în ce mai bună. Mai întâi trebuie să luăm aproximarea $%q=1$%, apoi să aplicăm aceeași formulă de înlocuire: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Acest proces produce următoarele: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ și așa mai departe.

Exemplu:
\(4\) este un număr rațional, deoarece poate fi scris ca \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) este de asemenea rațional deoarece poate fi scris ca \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - și acesta este un număr rațional: poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) este rațional deoarece poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(2)\) . Într-adevăr, putem efectua un lanț de transformări \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca fracție cu numărător și numitor întreg.

Imposibil pentru că fără sfârşit fracții și chiar neperiodice. Prin urmare, nu există numere întregi care, atunci când sunt împărțite între ele, ar da un număr irațional.

Exemplu:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) este un număr irațional;
\(π≈3,1415926… \) este un număr irațional;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) este un număr irațional.

Exemplu (Sarcina de la OGE). Valoarea căruia dintre expresii este un număr rațional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Soluţie:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) este, de asemenea, imposibil de reprezentat un număr ca o fracție cu numere întregi , prin urmare numărul este irațional.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nu au mai rămas rădăcini, numărul poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție, de exemplu, \(\frac(-5)(1)\) , deci este rațional.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - rădăcina nu poate fi extrasă - numărul este irațional.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) este de asemenea iraţional.

Cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde Ași b selectat ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• pentru că A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Pentru că A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• pentru că A chiar, denotă A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Ce numere sunt iraționale? număr irațional nu este un număr real rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție (ca un raport de două numere întregi), unde m este un număr întreg, n- numar natural . număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

număr irațional nu poate fi exact. Doar în formatul 3.333333…. De exemplu, Rădăcină pătrată de doi - este un număr irațional.

Care este numărul irațional? Număr irațional(spre deosebire de cele raționale) se numește fracție neperiodică zecimală infinită.

Multe numere iraționale deseori notat cu o literă latină majusculă cu caractere aldine fără umbrire. Acea.:

Acestea. mulţimea numerelor iraţionale este diferenţa dintre mulţimile numerelor reale şi raţionale.

Proprietățile numerelor iraționale.

• Suma a 2 numere iraționale nenegative poate fi un număr rațional.
• Numere irationale definiți secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, din clasa inferioară care nu au un numar mare, și nu există unul mai mic în cel de sus.
• Fiecare număr transcendental real este un număr irațional.
• Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendente.
• Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe linia numerică: între fiecare pereche de numere există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este infinită, este o mulțime din categoria a 2-a.
• Rezultatul fiecărei operații aritmetice asupra numerelor raționale (cu excepția împărțirii cu 0) este un număr rațional. Rezultatul operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.
• Suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna un număr irațional.
• Suma numerelor iraționale poate fi un număr rațional. De exemplu, lăsa X irațional, atunci y=x*(-1) de asemenea irațional; x+y=0, si numarul 0 rațional (dacă, de exemplu, adunăm rădăcina oricărui grad de 7 și minus rădăcina aceluiași grad de șapte, obținem un număr rațional 0).

Numere iraționale, exemple.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ