Veybull taqsimotini ko'rib chiqing, uning matematik kutilishini, dispersiyasini, medianasini hisoblang. MS EXCEL ning WEIBULL.DIST() funksiyasidan foydalanib, biz taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarini tuzamiz. Keling, tasodifiy sonlar massivini yaratamiz va taqsimot parametrlarini baholaymiz.

Weibull taqsimoti (inglizcha)veybulltarqatish) 2 parametrga bog'liq: a ( alfa)>0(tarqatish shaklini belgilaydi) va b (beta)>0(masshtabni belgilaydi). bu taqsimot quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Agar parametr alfa= 1, keyin Weibull taqsimoti ga aylanadi. Parametr beta amalda >=1 odatda qabul qilinadi.

tarqatish funktsiyasi quyidagi formula bilan beriladi:

Eslatma: Tarqatish parametrlari uchun misol faylida formulalarni yozish qulayligi uchun alfa va beta mos ravishda yaratilgan.

Grafiklar ham misol faylida qurilgan ehtimollik zichligi va tarqatish funktsiyalari belgilangan qiymatlar bilan o'rtada, va .

Tasodifiy sonlarni yaratish va parametrlarni baholash

Biz foydalanamiz teskari taqsimot funksiyasi(yoki p- miqdoriy, haqida maqolaga qarang), qaysi uchun Weibull taqsimoti elementar funksiyalar yordamida aniq ifodalanishi mumkin:

Ushbu funktsiya yordamida siz qiymatlarni yaratishingiz mumkin tasodifiy o'zgaruvchi, bor Weibull taqsimoti. Buning uchun MS EXCEL formulasidan foydalaning:

Beta*(-LN(RAND()))^(1/alfa)

RAND() funktsiyasi 0 dan 1 gacha hosil qiladi, bu faqat ehtimollik o'zgarishi diapazoniga mos keladi (pastga qarang). Misol fayl varaqlarini yaratish).

Endi berilgan taqsimot parametrlari bilan yaratilgan tasodifiy sonlar qatoriga ega alfa va beta(ulardan 200 tasi bo'lsin), keling, taqsimot parametrlarini taxmin qilaylik.

Parametrlarni baholash alfa va beta chiziqli regressiya yordamida amalga oshirilishi mumkin. Buning uchun olib kelish kerak Veybull tarqatish funktsiyasi Y=aX+b tenglama bilan berilgan oddiy to‘g‘ri chiziq ko‘rinishiga. Buning uchun biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Taqqoslash ifodasi

Y=ax+b to'g'ri chiziq tenglamasi bilan biz quyidagilarni olamiz:

Y ifodaning chap tomoniga mos keladi,
X - ln(x) ga mos keladi,
tarqatish parametri beta koeffitsientiga mos keladi a, bu to'g'ri chiziqning x o'qiga qiyaligi uchun javobgardir.
–beta*ln(alfa) ifodasi b koeffitsientiga (Oy o'qi bilan kesishish nuqtasining ordinatasi) mos keladi.

Aslida, biz amalda (ehtimollik uchastkasi) uchun qurdik Weibull taqsimoti: agar ln(x), x o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa, taxminan to'g'ri chiziq bo'ylab yotsa, bu namunaviy qiymatlar quyidagidan olinganligini anglatadi. Weibull taqsimoti. Oy o'qini =LN(-LN(1-Ui)) formulasi yordamida o'zgartirish qoladi, bu erda Ui=(i-0,5)/200 va i=1; 2; ...; 200.

E'tibor bering -LN(1-Ui). teskari taqsimot funksiyasi alfa=1 va beta=1 parametrlari bilan. Bizga ikkinchi logarifm kerak edi, chunki abscissa x ning o'zini emas, balki ln (x) ni ko'rsatadi.

Eslatma: Chunki shakl Weibull taqsimoti asosan uning parametrlariga bog'liq, keyin o'rniga alfa = 1 va beta = 1 uchun teskari funktsiya yaxshiroq foydalanish ushbu parametrlarning nuqtaviy baholari asosida olingan namunalar. Alfa va beta smetalarini qanday hisoblashni quyida ko'ring.

DA varaqdagi namuna fayli Generation mos keladigan Ehtimoliy grafik.

SLOPE() funksiyasidan foydalanib, hosil bo'lgan egri chiziqning qiyaligini hisoblaymiz (to'g'ri chiziq koeffitsienti). a, Ingliz qiyalik), bu parametrning taxmini bo'lib xizmat qiladi beta.

INTERCEPT() funksiyasi Oy bilan kesishgan nuqtaning ordinatasini qaytaradi (chiziq koeffitsienti). b). =EXP(-b/beta) ifodasi parametrni baholash sifatida xizmat qiladi alfa.

Siz ham solishtirishingiz mumkin ehtimollik zichligi modelni taqsimlash va baholash natijasida olingan parametrlar bilan taqsimlash.

Yuqoridagi diagrammadan ko'rinib turibdiki, o'yin ham juda yaxshi.

MASLAHAT: Chunki tasodifiy sonlar RAND() funksiyasidan foydalanib, keyin tugmani bosish orqali hosil qilinadi F9, har safar yangisini olishingiz mumkin namuna olish va shunga mos ravishda yangi parametr bahosi.

MASLAHAT: MS EXCEL ning boshqa distributivlari haqida maqolada o'qishingiz mumkin.

Ushbu taqsimot empirik bo'lib, xizmat muddati taqsimotlarining keng sinfini o'rganish natijasida olingan. Juda ko'p elektron qurilmalar va katta miqdordagi elektromexanik uskunalarni ishlatish tajribasi shuni ko'rsatadiki, ular ushbu qurilmalarning ishlash muddatining uch davriga to'g'ri keladigan o'z vaqtida nosozliklar intensivligining uch xil bog'liqligi bilan tavsiflanadi.

Ishlamay qolish tezligining vaqtga bog'liqligining ushbu uch turini tasodifiy ishlamay qolish vaqtining ehtimollik tavsifi uchun ikki parametrli Weibull taqsimoti yordamida olish mumkin.Bu taqsimotga ko'ra, buzilish momentining ehtimollik zichligi.

bu yerda  - shakl parametri (eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash natijasida tanlash yo'li bilan aniqlanadi,  > 0);  - masshtab parametri,

Muvaffaqiyatsizlik darajasi ifoda bilan aniqlanadi

(3.1)

Ehtimollik ish vaqti

(3.2)

va muvaffaqiyatsizlikka qadar vaqtni anglatadi

(3.3)

E'tibor bering, = 1 parametr uchun Veybull taqsimoti eksponensial, = 2 uchun esa Rayleigh taqsimotiga aylanadi.

1da nosozlik darajasi monoton ravishda pasayadi (ishlash davri), 1da esa monoton ravishda ortadi (eskirish davri), rasmga qarang. 3.1. Shuning uchun,  parametrini tanlab, har uch qismda tajriba egri chizig'i bilan juda mos keladigan nazariy egri  (t) ni olish mumkin, keyin esa kerakli ishonchlilik ko'rsatkichlarini hisoblash mumkin. ma'lum qonuniyat asosida tuzilgan.

Weibull taqsimoti bir qator mexanik ob'ektlar (masalan, rulmanlar) uchun etarlicha yaqin, u ob'ektlarni majburiy rejimda tezlashtirilgan sinovdan o'tkazish uchun ishlatilishi mumkin.

3. Eksponensial taqsimot. U boshqa taqsimotlarga qaraganda tez-tez ishlatiladi, chunki u ish vaqti taqsimotiga ega bo'lgan ko'plab elementlardan tashkil topgan murakkab ob'ektlar uchun xosdir. Doimiy muvaffaqiyatsizlik darajasi bilan oddiy hisoblash formulalari beriladi. Ta'kidlanganidek, nosozliksiz ishlash ehtimolining eksponensial taqsimoti Veybull taqsimotining alohida holati bo'lib, shakl parametri  = 1. Bu taqsimot bir parametrli, ya'ni bitta parametr  = const yozish uchun etarli. hisoblangan ifoda. Ushbu qonun uchun teskari bayonot ham to'g'ri: agar buzilish darajasi doimiy bo'lsa, vaqt funktsiyasi sifatida nosozliksiz ishlash ehtimoli eksponensial qonunga bo'ysunadi:

Muvaffaqiyatsiz ishlash oralig'ini taqsimlashning eksponensial qonuni bo'yicha nosozliksiz ishlashning o'rtacha vaqti quyidagi formula bilan ifodalanadi:

(3.5)

Ifodadagi  qiymatini 1 / T 1 qiymatiga almashtirish,

olish. (3.6)

Shunday qilib, T 1 nosozliksiz ishlashning o'rtacha vaqtini (yoki doimiy ishlamay qolish tezligini ) bilgan holda, eksponensial taqsimotda, ob'ekt paydo bo'lgan vaqtdan boshlab vaqt oralig'ida ishlamay qolish ehtimolini topish mumkin. har qanday berilgan momentga t yoqiladi.

4. Reley taqsimoti

Rayleigh qonunida ehtimollik zichligi (3.4-rasmga qarang) quyidagi shaklga ega.



bu yerda  - Reyli taqsimotining parametri (ushbu taqsimot rejimiga teng). Buni standart og'ish bilan aralashtirib yuborishning hojati yo'q:

Muvaffaqiyatsizlik darajasi:

(3.7)

Rayleigh taqsimotining xarakterli xususiyati (t) grafigining koordinata boshidan boshlab toʻgʻri chizigʻidir.

Bu holda ob'ektning ishlamay qolish ehtimoli ifoda bilan aniqlanadi

(3.8)

MTBF

(3.9)

5. Kesilgan normal taqsimot. Ijobiy qiymatlarga oddiy (Gauss) cheklovdan olingan taqsimot.

Oddiy taqsimot qonuni shaklning ehtimollik zichligi bilan tavsiflanadi

bu yerda m x,  x - mos ravishda, matematik kutish va tasodifiy o'zgarmaydigan x standart og'ish.

Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rinishidagi elektr inshootlarining ishonchliligini tahlil qilishda vaqtga qo'shimcha ravishda oqim, elektr kuchlanish va boshqa dalillar ko'pincha paydo bo'ladi. Oddiy qonun ikki parametrli qonun bo'lib, uni yozish uchun siz m x va  x ni bilishingiz kerak.

Muvaffaqiyatsiz ishlash ehtimoli formula bilan aniqlanadi

(3.10)

va muvaffaqiyatsizlik darajasi - formula bo'yicha

Shaklda. 3.5 da avtomatik boshqaruv tizimlarida ishlatiladigan elementlarning xarakteristikasi  t  m t holat uchun  (t), P (t) va  (t) egri chiziqlari ko'rsatilgan.

4. Gamma taqsimoti. Puasson taqsimoti va gamma taqsimoti o'zaro bog'liq holda ko'rib chiqiladi, chunki ikkalasi ham bir xil jarayonlarni tavsiflaydi. Faqat birinchi holatda, muvaffaqiyatsizliklar o'zgaruvchan, ikkinchisida esa vaqt sifatida qabul qilinadi. Gamma taqsimoti uchun
ichida- nosozliklar orasidagi o'rtacha vaqt;

a- muvaffaqiyatsizliklar soni; G( a) gamma funksiyasi tengdir
, qachon a-1 - ijobiy raqam.

Muvaffaqiyatsizlikka vaqtni amaliy taqsimlash turini oqilona tanlash, buzilishdan oldin ob'ektlarda sodir bo'ladigan jismoniy jarayonlarni tushuntirish bilan ko'p sonli nosozliklarni talab qiladi.

Elektr inshootlarining yuqori ishonchli elementlarida, operatsiya yoki ishonchlilik sinovlari paytida, dastlab mavjud bo'lgan ob'ektlarning faqat kichik bir qismi muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Shuning uchun, eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash natijasida topilgan raqamli xususiyatlarning qiymati muvaffaqiyatsizlikka qadar kutilgan vaqt taqsimotining turiga kuchli bog'liqdir. Muvaffaqiyatsizlikka qadar bo'lgan vaqtning turli qonunlarida ko'rsatilgandek, bir xil manba ma'lumotlaridan hisoblangan o'rtacha ishlamay qolish vaqtining qiymatlari yuzlab marta farq qilishi mumkin. Shu sababli, nosozlikka vaqtni taqsimlashning nazariy modelini tanlash masalasiga nazariy va eksperimental taqsimotlarning yaqinlashishini tegishli isbotlash bilan alohida e'tibor berish kerak.

Weibull taqsimoti (zaif aloqa modeli)

Muvaffaqiyatsizlik darajasining o'zgaruvchanligini hisobga olishning amaliy zarurati ishonchlilik nazariyasining asosiy taqsimotiga olib keladigan shartlar (eksponensial, normal, log-normal va boshqalar) tahlil qilish uchun ulardan foydalanishning asossizligini ko'rsatadi degan xulosaga kelishga imkon beradi. yuqori quvvatli generator lampalari, klistronlar, magnetronlar, harakatlanuvchi to'lqin lampalari va boshqaruv tizimlarining boshqa elementlarining ishonchliligi, ular umumiy holatda o'zgaruvchan eskirish tezligi bilan qarish bilan tavsiflanadi, dastlabki sifatda bir xil emas.

1939 yilda shved matematigi va muhandisi V.Veybull (1887-1979) sharli podshipniklarning eskirishi natijasida yuzaga kelgan nosozliklarni tahlil qilib, materiallarning chidamliligini tavsiflash uchun qulay taqsimlash funksiyasini taklif qildi va shunday ta’kidladi: “Ko‘rinib turibdiki: muvaffaqiyat oddiy funktsiyani tanlash, uni empirik sinovdan o'tkazish va keyin uning yakuniy tanlovi, agar yaxshiroq narsa bo'lmasa.

Hozirgi vaqtda ushbu so'zlarning to'g'riligini baholashga to'xtalmasdan, Weibull ikki parametrli ehtimollik taqsimoti funktsiyasini oddiy funktsiya sifatida tanlaganligini ta'kidlaymiz:

qayerda T, s mos ravishda masshtab va shakl parametrlaridir.

1950-yillarning o'rtalaridan boshlab. Weibull taqsimotiga qiziqish ortib bormoqda, chunki u murakkab qurilmalarning ishonchliligini tavsiflash uchun yaxshi model bo'lib chiqadi. Ushbu qonun yuqori quvvatli elektrovakuumli mikroto'lqinli qurilmalarning ishlamay qolish muddatini tahlil qilish uchun eng mos keladi.

B.V. Gnedenko Vaybull taqsimoti ketma-ketlikning minimal qiymatlari uchun uchinchi turdagi asimptotik taqsimot ekanligini aniqladi. mustaqil miqdorlar. Tasdiqlangan xarakterli xususiyat Veybull qonuni: agar t| = min (X v X 2, X p) Veybull taqsimotiga va tasodifiy o'zgaruvchilarga bo'ysunadi X (, X 2,..., Xn mustaqil va teng taqsimlangan, keyin ular ham bu qonunga bo'ysunadilar. Ko'pgina qurilmalarda bir xil ish sharoitida bo'lgan sezilarli miqdordagi bir hil elementlar mavjud. Agar takrorlanuvchi elementlar qurilmaning ishlash vaqtiga nisbatan hal qiluvchi bo'lsa, u holda Weibull taqsimotiga olib keladigan sxema tuziladi. Qurilmaning ishdan chiqishi har qanday parametrning belgilangan tolerantlikdan tashqari chiqishi deb hisoblanadi. Ushbu parametrlarning o'zgarishi zaif bog'langan tasodifiy jarayonlar deb taxmin qilish mumkin. Keyin, agar m /-th parametriga ko'ra chidamlilik bo'lsa, u holda resurs bir butun sifatida m = min (t r t 2, ..., t l) sifatida aniqlanadi.

Weibull taqsimoti uchun ishonchlilik funksiyasi odatda uchta parametr bilan aniqlanadi va quyidagi shaklga ega: