Bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar

 Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimlarini o'rganishda doimo ularning bog'liqlik darajasi va tabiatiga e'tibor berish kerak. Bu qaramlik ko'p yoki kamroq ifodalanishi mumkin, ko'proq yoki kamroq yaqin. Ba'zi hollarda tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar shu qadar yaqin bo'lishi mumkinki, bitta tasodifiy o'zgaruvchining qiymatini bilib, boshqasining qiymatini aniq ko'rsatishingiz mumkin. Boshqa ekstremal holatda, tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik shunchalik zaif va uzoqdirki, ularni amalda mustaqil deb hisoblash mumkin.
 Mustaqil tasodifiy miqdorlar tushunchasi ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biridir.
 A tasodifiy o'zgaruvchi \(Y\) tasodifiy o'zgaruvchiga \(X\) mustaqil deyiladi, agar \(Y\) qiymatning taqsimlanish qonuni \(X\) qiymatiga bog'liq bo'lmasa.
 Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun \(Y\) \(X\) dan mustaqil bo'lgan shartni quyidagicha yozish mumkin: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ har qanday \(y) uchun \).
 Aksincha, agar \(Y\) \(X\) ga bog'liq bo'lsa, $$f(y\mid x) \neq f_(2)(y)$$  Biz buni isbotlaymiz tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligi har doim o'zaro bo'ladi: agar \(Y\) qiymati \(X\) ga bog'liq bo'lmasa, \(X\) qiymati \(Y\) ga bog'liq emas.
 Haqiqatan ham, \(Y\) \(X\) dan mustaqil bo'lsin: $$f(y\mid x)=f_(2)(y)$$ bizda: $$f_(1)(x)f( y \mid x)=f_(2)(y)f(x\mid y)$$ qaerdan olamiz: $$f_(1)(x)=f(x\mid y)$$ isbotladi.
 Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi va mustaqilligi har doim o'zaro bo'lganligi sababli, biz mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarga yangi ta'rif berishimiz mumkin.
 Tasodifiy o'zgaruvchilar \(X\) va \(Y\) mustaqil deyiladi, agar ularning har birining taqsimlanish qonuni ikkinchisining qiymatiga bog'liq bo'lmasa. Aks holda \(X\) va \(Y\) miqdorlar chaqiriladi qaram.
 Mustaqil uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchilar uchun taqsimot qonunining koʻpaytirish teoremasi tizimga kiritilgan alohida miqdorlarning taqsimot shaklini oladi.
Ko'pincha \(f(x, y)\) funktsiyasining o'ziga xos ko'rinishi bo'yicha \(X, Y\) tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil, ya'ni taqsimlanish zichligi \(f(x, y) bo'lsa) degan xulosaga kelish mumkin. \) mahsulotga ikkita funktsiyani ajratadi, ulardan biri faqat \(x\), ikkinchisi faqat \(y\) ga bog'liq, keyin tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'ladi.
1-misol\((X, Y)\) tizimning taqsimlanish zichligi quyidagicha ko'rinishga ega: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi ^(2)(x^(2)+y^() 2)+x ^(2)y^(2)+1))$$ \(X\) va \(Y\) tasodifiy oʻzgaruvchilar bogʻliq yoki mustaqil ekanligini aniqlang.
Yechim. Maxrajni koeffitsientga ajratsak, bizda: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\frac(1)(\pi (y^(2)+1) ))$$ \(f(x, y)\) funksiyasi ikkita funksiya hosilasiga boʻlinganligidan, ulardan biri faqat \(x\), ikkinchisi esa faqat \(y\) ga bogʻliq. ), biz \(X\) va \(Y\) miqdorlar mustaqil bo'lishi kerak degan xulosaga kelamiz. Haqiqatan ham, formulalarni qo'llagan holda, bizda quyidagilar mavjud: $$f(x, y)=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))\int_(-\infty)^(\infty)(\ frac( dy)(\pi (y^(2)+1)))=\frac(1)(\pi (x^(2)+1))$$ $$f(x, y)= (\frac (1)(\pi (y^(2)+1)))$$ buning uchun $$f(x, y)=f_(1)(x)f_(2)(y) ekanligiga ishonch hosil qilamiz. $$ va shuning uchun \(X\) va \(Y\) kattaliklar mustaqildir.

tasodifiy hodisalar agar ulardan birining sodir bo'lishi boshqa hodisalarning yuzaga kelish ehtimoliga ta'sir qilmasa, mustaqil deyiladi.

1-misol . Agar rangli sharlari bo'lgan ikki yoki undan ortiq urna bo'lsa, u holda bitta urnadan biron bir to'pni chizish qolgan urnalardan boshqa sharlarni chizish ehtimoliga ta'sir qilmaydi.

Uchun mustaqil hodisalar adolatli ehtimollarni ko'paytirish teoremasi: ehtimollik birikmasi(bir vaqtda)Bir nechta mustaqil tasodifiy hodisalarning paydo bo'lishi ularning ehtimoli ko'paytmasiga teng:

P (A 1 va A 2 va A 3 ... va A k) \u003d P (A 1) ∙ P (A 2) ∙ ... ∙ P (A k). (7)

Hodisalarning birgalikda (bir vaqtning o'zida) sodir bo'lishi hodisalarning sodir bo'lishini anglatadi va A 1, va A 2, va A 3... va Va k.

2-misol . Ikkita urna bor. Birida 2 ta qora va 8 ta oq shar, ikkinchisida 6 ta qora va 4 ta oq shar bor. Tadbirga ruxsat bering LEKIN- birinchi urnadan oq to'pni tasodifiy tanlash, DA- ikkinchisidan. Ushbu urnalardan tasodifiy oq to'pni tanlash ehtimoli qanday, ya'ni. nimaga teng R (LEKIN va DA)?

Yechim: birinchi urnadan oq to'pni chizish ehtimoli
R(LEKIN) = = ikkinchidan 0,8 - R(DA) = = 0,4. Ikkala urnadan bir vaqtning o'zida oq to'pni olish ehtimoli
R(LEKIN va DA) = R(LEKIN)· R(DA) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

3-misol Yod miqdori kamaytirilgan dieta katta populyatsiyadagi hayvonlarning 60 foizida qalqonsimon bezning kengayishiga olib keladi. Tajriba uchun 4 ta kattalashgan bez kerak. Tasodifiy tanlangan 4 ta hayvonda qalqonsimon bez kattalashishi ehtimolini toping.

Yechim: Tasodifiy hodisa LEKIN- qalqonsimon bez kattalashgan hayvonning tasodifiy tanlanishi. Muammoning shartiga ko'ra, bu hodisaning ehtimoli R(LEKIN) = 0,6 = 60%. Keyin to'rtta mustaqil hodisaning birgalikda paydo bo'lish ehtimoli - qalqonsimon bez kattalashgan 4 ta hayvonni tasodifiy tanlash - quyidagilarga teng bo'ladi:

R(LEKIN 1 va LEKIN 2 va LEKIN 3 va LEKIN 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6) 4 ≈ 0,13 = 13%.

bog'liq hodisalar. Bog'liq hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

A va B tasodifiy hodisalar, agar ulardan birining sodir bo'lishi, masalan, A boshqa hodisaning - B sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirsa, bog'liq deb ataladi. Shuning uchun, bog'liq hodisalar uchun ikkita ehtimollik qiymati qo'llaniladi: shartsiz va shartli ehtimollar .

Agar a LEKIN va DA bog'liq hodisalar, keyin voqea sodir bo'lish ehtimoli DA birinchi (ya'ni, tadbirdan oldin LEKIN) deyiladi shartsiz ehtimollik ushbu voqea va belgilangan R(DA).Hodisa ehtimoli DA voqea bo'lishi sharti bilan LEKIN allaqachon sodir bo'lgan, deyiladi shartli ehtimollik ishlanmalar DA va belgilandi R(DA/LEKIN) yoki R A(DA).

Shartsiz - R(LEKIN) va shartli - R(A/B) hodisaning ehtimoli LEKIN.

Ikki bog'liq hodisa uchun ehtimolliklarni ko'paytirish teoremasi: ikkita bog'liq hodisaning bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimoli A va B birinchi hodisaning shartsiz ehtimoli ikkinchisining shartli ehtimolligi ko'paytmasiga teng:

R(A va B)= P(LEKIN)∙P(B/A) , (8)

LEKIN, yoki

R(A va B)= P(DA)∙P(A/B), (9)

agar voqea birinchi bo'lib sodir bo'lsa DA.

1-misol. Bir urnada 3 ta qora shar va 7 ta oq shar bor. Shu urnadan birin-ketin 2 ta oq sharni chiqarish (birinchi to‘p esa urnaga qaytarilmaydi) ehtimolini toping.

Yechim: birinchi oq to'pni chizish ehtimoli (hodisa LEKIN) 7/10 ga teng. Uni olib chiqqandan keyin urnada 9 ta shar qoladi, ulardan 6 tasi oq. Keyin ikkinchi oq to'pning paydo bo'lish ehtimoli (hodisa DA) ga teng R(DA/LEKIN) = 6/9, va ikkita oq sharni ketma-ket olish ehtimoli

R(LEKIN va DA) = R(LEKIN)∙R(DA/LEKIN) = = 0,47 = 47%.

Bog'liq hodisalar uchun berilgan ehtimolliklarni ko'paytirish teoremasi har qanday hodisalar soniga umumlashtirilishi mumkin. Xususan, uchta tadbir uchun bog'langan do'st do'stim bilan:

R(LEKIN va DA va FROM)= P(LEKIN)∙ P(B/A)∙ P(KABINA). (10)

2-misol. Har birida 100 nafar bola tarbiyalanuvchi ikkita bog‘chada yuqumli kasallik avj oldi. Ishlarning nisbati mos ravishda 1/5 va 1/4 ni tashkil qiladi va birinchi muassasada 70%, ikkinchisida - 60% hollarda 3 yoshgacha bo'lgan bolalar. Bir bola tasodifiy tanlanadi. Buning ehtimolini aniqlang:

1) tanlangan bola birinchi bolalar bog'chasiga tegishli (voqea LEKIN) va kasal (voqea DA).

2) ikkinchisidan bola tanlanadi bolalar bog'chasi(voqea FROM), kasal (voqea D) va 3 yoshdan katta (voqea E).

Yechim. 1) kerakli ehtimollik -

R(LEKIN va DA) = R(LEKIN) ∙ R(DA/LEKIN) = = 0,1 = 10%.

2) kerakli ehtimollik:

R(FROM va D va E) = R(FROM) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

Bayes formulasi

= (12)

Misol 1. Bemorni dastlabki tekshirishda 3 ta tashxis qo'yiladi H 1 , H 2 , H 3 . Shifokorning fikriga ko'ra, ularning ehtimoli quyidagicha taqsimlanadi: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Shuning uchun birinchi tashxis taxminiy ko'rinadi. Bunga aniqlik kiritish uchun, masalan, qon testi buyuriladi, unda ESR ko'payishi kutiladi (hodisalar). LEKIN). Oldindan ma'lum (tadqiqot natijalariga ko'ra) shubhali kasalliklarda ESRning ko'payishi ehtimoli quyidagilarga teng:

R(LEKIN/H 1) = 0,1; R(LEKIN/H 2) = 0,2; R(LEKIN/H 3) = 0,9.

Olingan tahlilda ESR ning o'sishi qayd etilgan (hodisa LEKIN sodir bo'ldi). Keyin Bayes formulasi (12) bo'yicha hisob-kitob ESR ko'rsatkichi oshgan da'vo qilingan kasalliklarning ehtimollik qiymatlarini beradi: R(H 1 /LEKIN) = 0,13; R(H 2 /LEKIN) = 0,09;
R(H 3 /LEKIN) = 0,78. Bu raqamlar shuni ko'rsatadiki, laboratoriya ma'lumotlarini inobatga olgan holda, birinchi emas, balki uchinchi tashxis, ehtimollik hozir ancha yuqori bo'lib chiqdi.

2-misol. Anatomik tos suyagi bo'lgan ayollarda bolaning perinatal* o'limi xavfi darajasini baholovchi ehtimollikni aniqlang.

Yechim: hodisaga ruxsat bering H 1 - xavfsiz yetkazib berish. Klinik ma'lumotlarga ko'ra, R(H 1) = 0,975 = 97,5%, agar bo'lsa H 2- perinatal o'lim fakti, keyin R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Belgilamoq LEKIN- tug'ruq paytida ayolda tor tos suyagi mavjudligi fakti. O'tkazilgan tadqiqotlardan ma'lumki: a) R(LEKIN/H 1) - qulay tug'ilish bilan tor tos suyagi ehtimoli; R(LEKIN/H 1) = 0,029, b) R(LEKIN/H 2) - perinatal o'limda tor tos bo'shlig'i ehtimoli;
R(LEKIN/H 2) = 0,051. Keyin tug'ruq paytida ayolning tor tos bo'shlig'ida perinatal o'limning istalgan ehtimoli Bays formulasi (12) bo'yicha hisoblanadi va quyidagilarga teng:

Shunday qilib, anatomik jihatdan tor tos a'zolarida perinatal o'lim xavfi o'rtacha xavfdan (4,4% ga nisbatan 2,5%) sezilarli darajada yuqori (deyarli ikki marta).

Ularning hech biri boshqa tasodifiy o'zgaruvchilar qanday qiymatlarni olganiga (yoki olishiga) bog'liq emas.

Misol uchun, ikkita zar o'ynash tizimi - aniqki, bitta o'limni uloqtirish natijasi boshqa o'limning yuziga biron-bir tarzda tushish ehtimoliga ta'sir qilmaydi. Yoki bir xil mustaqil ishlaydigan o'yin mashinalari. Va, ehtimol, ba'zilar har qanday SV umuman mustaqil degan taassurotga ega. Biroq, bu har doim ham shunday emas.

O'ylab ko'ring bir vaqtda shimoliy qutblari 1 nuqtali yuz tomonida va janubiy qutblari qarama-qarshi 6 nuqta yuzida joylashgan ikkita magnit zarni tashlash. Shu kabi tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'ladimi? Ha, ular bo'ladi. "1" va "6" ni tashlab ketish ehtimoli shunchaki kamayadi va boshqa yuzlarning imkoniyatlari ortadi, chunki sinov natijasida kublar qarama-qarshi qutblar tomonidan tortilishi mumkin.

Endi zarlar tashlanadigan tizimni ko'rib chiqing ketma-ket:

- birinchi matritsada o'ralgan ballar soni;

- har doim birinchi matritsaning o'ng tomoniga (masalan,) tashlangan bo'lsa, ikkinchi matritsaga o'ralgan nuqtalar soni.

Bunda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bog'liq 1-kub qanday joylashganligi haqida. Ikkinchi suyak tortilishi mumkin, yoki aksincha - orqaga qaytish (agar bir xil nomdagi qutblar "uchrashsa") yoki 1-kubni qisman yoki to'liq e'tiborsiz qoldirishi mumkin.

Ikkinchi misol: Aytaylik, bir xil o'yin mashinalari bitta tarmoqqa birlashtirilgan va - tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi mavjud - mos keladigan mashinalarda yutuq. Bu sxema qonuniy yoki yo‘qligini bilmayman, lekin o‘yin zalining egasi tarmoqni osonlikcha quyidagi tarzda o‘rnatishi mumkin: har qanday mashinada katta yutuq yuzaga kelganda, barcha mashinalarda umuman yutuqni taqsimlash qonunlari avtomatik ravishda avtomatik tarzda o‘rnatiladi. o'zgartirish. Xususan, muassasada mablag 'taqchilligiga duch kelmaslik uchun (to'satdan kimdir yana katta g'alaba qozongan taqdirda) bir muncha vaqt davomida katta yutuqlarni olish ehtimolini tiklash tavsiya etiladi. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan tizim bog'liq bo'ladi.

Namoyishli misol sifatida, 8 ta kartadan iborat palubani ko'rib chiqing, u shohlar va malikalar bo'lsin va ikkita o'yinchi ketma-ket (qanday tartibda bo'lishidan qat'i nazar) bitta kartadan bitta kartani tortib oladigan oddiy o'yin. Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing, u bitta o'yinchini anglatadi va quyidagi qiymatlarni oladi: 1 , agar u yurak kartasini chizgan bo'lsa va 0 - agar karta boshqa kostyumda bo'lsa.

Xuddi shunday, tasodifiy o'zgaruvchi boshqa o'yinchining ramzi bo'lsin va agar u mos ravishda yurak va yurak chizmagan bo'lsa, 0 yoki 1 qiymatlarini qabul qilsin.

ikkala o'yinchining qurtni chiqarib olish ehtimoli,

qarama-qarshi hodisaning ehtimoli va:

- biri qurtni chiqarib olish ehtimoli, ikkinchisi esa - yo'q; yoki aksincha:

Shunday qilib, qaram tizimning ehtimollik taqsimot qonuni:

Boshqaruv: , bu tekshirilishi kerak edi. ...Ehtimol, sizda savol bordir, nega men 36 ta kartani emas, aynan 8 tasini ko'rib chiqyapman? Ha, kasrlar unchalik og'ir bo'lmasligi uchun.

Endi natijalarni biroz tahlil qilaylik. Agar ehtimollarni jamlasak satr satr:, u holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniq olamiz:

Ushbu taqsimot "X" o'yinchisi "G" o'rtog'isiz yolg'iz kartani tortadigan vaziyatga mos kelishini tushunish oson. kutilgan qiymat:
- bizning kemamizdan yuraklarni olish ehtimoliga teng.

Xuddi shunday, agar ehtimollarni jamlasak ustunlar bo'yicha, keyin biz ikkinchi o'yinchining bitta o'yinini taqsimlash qonunini olamiz:

xuddi shu umid bilan

O'yin qoidalarining "simmetriyasi" tufayli taqsimotlar bir xil bo'lib chiqdi, ammo umumiy holatda ular, albatta, boshqacha.

Bundan tashqari, e'tiborga olish foydalidir ehtimollar taqsimotining shartli qonunlari . Bu tasodifiy o'zgaruvchilardan biri allaqachon ma'lum bir qiymatga ega bo'lgan vaziyatdir yoki biz buni faraz sifatida qabul qilamiz.

"O'yinchi" o'yinchi birinchi bo'lib kartani tortsin va yurakni tortmasin. Ushbu hodisaning ehtimolligi (birinchi hodisaning ehtimolini yig'indisi). ustun jadvallar - yuqoriga qarang). Keyin, xuddi shu narsadan bog'liq hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremalari quyidagi shartli ehtimollarni olamiz:
- "X" o'yinchisi yurakni tortmasligi ehtimoli, agar "o'ynayotgan" o'yinchi yurak chizmasa;
- "X" o'yinchisi yurakni chizish ehtimoli, agar "o'yinchi" o'yinchisi yurak chizmagan bo'lsa.

... qanday qutulish kerakligini hamma eslaydi to'rt qavatli kasrlar? Va ha, rasmiy, lekin juda qulay bu ehtimolliklarni hisoblashning texnik qoidasi: birinchi summa hammasi tomonidan ehtimolliklar ustun, va keyin har bir ehtimolni olingan summaga bo'ling.

Shunday qilib, da tasodifiy miqdorni taqsimlashning shartli qonuni quyidagicha yoziladi:

, OK. Shartli matematik kutishni hisoblaymiz:

Keling, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni olgan sharti bilan tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzamiz, ya'ni. "O'yinchi" futbolchi yurakka mos kartochkani tortdi. Buning uchun biz 2-chi ehtimolliklarni umumlashtiramiz ustun jadvallar ( yuqoriga qarang): va shartli ehtimollarni hisoblang:
- "X" o'yinchisi qurtni tortmasligi,
- va qurt.
Shunday qilib, istalgan shartli taqsimot qonuni:

Nazorat: , va shartli kutish:
- Albatta, bu avvalgi holatdan kamroq bo'lib chiqdi, chunki "o'yinchi" o'yinchi kemadagi yuraklar sonini kamaytirdi.

"Oyna" usuli (jadval qatorlari bilan ishlash) kompilyatsiya qilinishi mumkin - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni, agar tasodifiy o'zgaruvchi qiymatni olgan bo'lsa va shartli taqsimlash"x" o'yinchisi qurtni olib tashlaganida. O'yinning "simmetriyasi" tufayli bir xil taqsimotlar va bir xil qiymatlar olinishini tushunish oson.

Uchun uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar bir xil tushunchalarni kiriting. shartli taqsimotlar va matematik taxminlar, lekin agar ularga issiq ehtiyoj bo'lmasa, unda ushbu darsni o'rganishni davom ettirish yaxshiroqdir.

Amalda, aksariyat hollarda sizga tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi uchun tayyor taqsimlash qonuni taklif etiladi:

4-misol

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi o'zining ehtimollik taqsimot qonuni bilan berilgan:

... Men kattaroq stolni ko'rib chiqmoqchi bo'ldim, lekin manik bo'lmaslikka qaror qildim, chunki asosiy narsa yechimning printsipini tushunishdir.

Majburiy:

1) Tarqatish qonunlarini tuzing va tegishli matematik taxminlarni hisoblang. Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligi haqida asosli xulosa chiqaring .

Bu o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir! Shuni eslatib o'tamanki, SHning mustaqilligida qonunlar bir xil bo'lishi va tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuniga to'g'ri kelishi va qonunlar bilan mos kelishi kerak. O'nlik kasrlar, kim bilmagan yoki unutgan bo'lsa, shunday bo'lish qulay: .
Sahifaning pastki qismida namunani ko'rishingiz mumkin.

2) Kovariatsiya koeffitsientini hisoblang.

Birinchidan, keling, atamaning o'zini va umuman qaerdan kelganini ko'rib chiqaylik: tasodifiy o'zgaruvchi turli qiymatlarni qabul qilganda, ular buni aytishadi. farqlanadi, va buning miqdoriy o'lchovi o'zgarishlar, ma'lumki, ifodalangan dispersiya. Dispersiyani hisoblash uchun formuladan, shuningdek, kutish va dispersiyaning xususiyatlaridan foydalanib, quyidagilarni aniqlash oson:

ya'ni ikkita tasodifiy o'zgaruvchini qo'shganda ularning dispersiyalari umumlashtiriladi va xarakterlovchi qo'shimcha atama qo'shiladi. qo'shma o'zgaruvchanlik yoki qisqa vaqt ichida - kovariatsiya tasodifiy o'zgaruvchilar.

kovariatsiya yoki korrelyatsiya momenti - bu qo'shma o'zgaruvchanlik o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchilar.

Belgilash: yoki

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning kovariatsiyasi aniqlandi, endi men mahsulotning matematik kutilishi sifatida "ifoda qilaman" :) chiziqli og'ishlar Tegishli matematik taxminlardan ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar:

Agar bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchilar qaram. Majoziy ma'noda, nolga teng bo'lmagan qiymat bizga xabar beradi tabiiy bir SWning boshqa SWdagi o'zgarishlarga "javoblari".

Kovariatsiya ikki yo'l bilan hisoblanishi mumkin, men ikkalasini ham qamrab olaman.

Birinchi usul. tomonidan Matematik kutishning ta'rifi:

"Dahshatli" formula va hech qanday dahshatli hisoblar emas. Birinchidan, biz tasodifiy o'zgaruvchilarni taqsimlash qonunlarini tuzamiz va buning uchun biz satrlar bo'yicha ehtimollarni umumlashtiramiz. ("X" qiymati) va ustunlar bo'yicha ("o'yin" qiymati):

Asl yuqori jadvalga qarang - hamma tarqatish qanday bo'lganini tushunadimi? Hisoblash umidlar:
va og'ishlar Tegishli matematik taxminlardan tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari:

Olingan og'ishlarni ikki o'lchovli jadvalga joylashtirish qulay, uning ichida dastlabki jadvaldagi ehtimolliklarni qayta yozing:


Endi siz barcha mumkin bo'lgan mahsulotlarni hisoblashingiz kerak, misol sifatida men ta'kidladim: (Qizil rang) va (Moviy rang). Excelda hisob-kitoblarni amalga oshirish va hamma narsani toza nusxada batafsil yozish qulay. Men chapdan o'ngga "satr bo'yicha" ishlashga odatlanganman va shuning uchun men birinchi navbatda "X" og'ishi -1,6, keyin 0,4 og'ish bilan barcha mumkin bo'lgan mahsulotlarni sanab o'taman:

Ikkinchi usul, oddiyroq va keng tarqalgan. Formulaga ko'ra:

Mahsulot SWning kutilishi quyidagicha aniqlanadi va texnik jihatdan hamma narsa juda oddiy: biz muammoning asl jadvalini olamiz va barcha mumkin bo'lgan mahsulotlarni mos keladigan ehtimollar bo'yicha topamiz; quyidagi rasmda men ishni qizil rang bilan ta'kidladim va ko'k mahsulot:


Birinchidan, men barcha mahsulotlarni qiymati bilan, keyin qiymati bilan sanab o'taman, lekin siz, albatta, boshqa raqamlash tartibidan foydalanishingiz mumkin - xohlaganingizcha:

Qiymatlar allaqachon hisoblab chiqilgan (1-usulga qarang) va formulani qo'llash qoladi:

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kovariatsiyaning nolga teng bo'lmagan qiymati tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi haqida gapiradi va u qanchalik ko'p bo'lsa. modul, bu qaramlik qanchalik ko'p yaqinroq funksionalga chiziqli bog'liqliklar. Chunki u chiziqli og'ishlar orqali aniqlanadi.

Shunday qilib, ta'rifni yanada aniqroq shakllantirish mumkin:

kovariatsiya chora hisoblanadi chiziqli tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqliklari.

Nol qiymati bilan hamma narsa qiziqroq. Agar aniqlansa, tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin ham mustaqil, ham qaram(chunki qaramlik nafaqat chiziqli bo'lishi mumkin). Shunday qilib, bu fakt SV mustaqilligini asoslash uchun umuman foydalanilmaydi!

Biroq, agar ular mustaqil ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda . Buni analitik tarzda osongina tekshirish mumkin: chunki mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun xususiyat ( oldingi darsga qarang), keyin kovariatsiyani hisoblash formulasiga ko'ra:

Ushbu koeffitsient qanday qiymatlarni olishi mumkin? Kovariatsiya koeffitsienti oshmaydigan qiymatlarni oladi modul- va qanchalik ko'p bo'lsa, shunchalik aniq chiziqli bog'liqlik. Va hamma narsa yaxshi bo'lib tuyuladi, ammo bunday choraning sezilarli noqulayligi bor:

Aytaylik, biz kashf qilamiz ikki o'lchovli uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi(aqliy tayyorgarlik :)), uning tarkibiy qismlari santimetr bilan o'lchanadi va qiymatni oldi . Aytgancha, kovariatsiyaning o'lchami qanday? Chunki, - santimetr, va - shuningdek, santimetr, keyin ularning mahsuloti va ushbu mahsulotning kutilishi - kvadrat santimetrda ifodalangan, ya'ni. kovariatsiya, dispersiya kabi kvadratik qiymat.

Aytaylik, kimdir xuddi shu tizimni o'rgandi, lekin santimetr emas, balki millimetr ishlatgan. 1 sm = 10 mm bo'lganligi sababli, kovariatsiya 100 marta ortadi va teng bo'ladi. !

Shuning uchun, buni hisobga olish qulay normallashtirilgan bizga bir xil va o'lchovsiz qiymatni beradigan kovariatsiya koeffitsienti. Ushbu koeffitsient deyiladi, biz vazifamizni davom ettiramiz:

3) koeffitsient korrelyatsiyalar . Yoki, aniqrog'i, chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti:

, qaerda - standart og'ishlar tasodifiy o'zgaruvchilar.

Korrelyatsiya koeffitsienti o'lchamsiz va qiymatlarni diapazondan oladi:

(agar sizda amalda boshqa narsa bo'lsa - xatoni qidiring).

Ko'proq modul birlikka, qiymatlar orasidagi chiziqli munosabatlar qanchalik yaqin bo'lsa va nolga yaqinroq bo'lsa, bu bog'liqlik shunchalik kamroq aniqlanadi. dan boshlab munosabatlar muhim hisoblanadi. Haddan tashqari qiymatlar qat'iy funktsional qaramlikka to'g'ri keladi, ammo amalda, albatta, "ideal" holatlar yo'q.

Men juda ko'p qiziqarli misollar keltirmoqchiman, lekin korrelyatsiya kursda ko'proq ahamiyatga ega matematik statistika va shuning uchun men ularni kelajak uchun saqlab qo'yaman. Xo'sh, endi muammomizdagi korrelyatsiya koeffitsientini topamiz. Shunday qilib. Tarqatish qonunlari allaqachon ma'lum, men yuqoridan ko'chiraman:

Kutishlar topiladi: , va standart og'ishlarni hisoblash qoladi. belgisi Men uni tuzmayman, chiziq bilan hisoblash tezroq:

Oldingi xatboshida topilgan kovariatsiya , va korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash qoladi:
, shunday qilib, qiymatlar o'rtasida o'rtacha zichlikning chiziqli bog'liqligi mavjud.

To'rtinchi vazifa yana vazifalar uchun ko'proq xosdir matematik statistika, lekin har holda, buni bu erda ko'rib chiqing:

4) uchun chiziqli regressiya tenglamasini yozing.

Tenglama chiziqli regressiya funksiya hisoblanadi , qaysi eng yaxshi yo'l tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini taxmin qiladi. Eng yaxshi yaqinlashtirish uchun odatda foydalanadi eng kichik kvadrat usuli, va keyin regressiya koeffitsientlarini formulalar bilan hisoblash mumkin:
, bu mo''jizalar va 2-koeffitsient:

Tarqatishning shartli qonunlari. Regressiya.

Ta'rif. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning (X, Y) bir o'lchovli komponentlaridan birining shartli taqsimot qonuni uning taqsimot qonuni bo'lib, boshqa komponent ma'lum bir qiymatni olgan (yoki qandaydir intervalgacha tushib qolgan) sharti bilan hisoblanadi. Oldingi ma'ruzada diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun shartli taqsimotlarni topish ko'rib chiqildi. Shartli ehtimollar uchun formulalar ham mavjud:

Uzluksiz tasodifiy miqdorlarda j y (x) va j X (y) shartli taqsimotlarning ehtimollik zichliklarini aniqlash kerak. Shu maqsadda yuqoridagi formulalarda hodisalarning ehtimolliklarini ularning "ehtimollik elementlari" bilan almashtiramiz,!

dx va dy tomonidan qisqartirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

bular. ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning bir o‘lchovli komponentlaridan birining shartli ehtimollik zichligi uning qo‘shma zichligining boshqa komponentning ehtimollik zichligiga nisbatiga teng. Bu nisbatlar shaklda yoziladi

taqsimot zichliklarini ko'paytirish teoremasi (qoidasi) deb ataladi.

Shartli zichliklar j y (x) va j X (y). "shartsiz" zichlikning barcha xususiyatlariga ega.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda biz ko'rib chiqamiz raqamli xususiyatlar bir o'lchovli komponentlar X va Y - matematik taxminlar va dispersiyalar. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) uchun ular quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Ular bilan bir qatorda shartli taqsimotlarning sonli xarakteristikalari ham ko'rib chiqiladi: shartli matematik taxminlar M x (Y) va M y (X) va shartli dispersiya D x (Y) va D Y (X). Bu xarakteristikalar matematik kutish va dispersiyaning odatiy formulalari orqali topiladi, ularda hodisa ehtimollari yoki ehtimollik zichligi o'rniga shartli ehtimollar yoki shartli ehtimollik zichligi qo'llaniladi.

X = x uchun Y tasodifiy o'zgaruvchining shartli matematik kutilishi, ya'ni. M x (Y), x ning regressiya funktsiyasi yoki X da oddiy regressiya Y deb ataladigan funktsiyasi mavjud. Xuddi shunday, M Y (X) Y da regressiya funktsiyasi yoki oddiygina regressiya X deb ataladi. Bu funktsiyalarning grafiklari mos ravishda deyiladi. regressiya chiziqlari (yoki regressiya egri chiziqlari) Y ga X yoki X ga Y.

Bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar.

Ta'rif. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning qo'shma taqsimot funksiyasi F(x,y) ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning F 1 (x) va F 2 (y) taqsimot funktsiyalarining mahsuloti sifatida ifodalangan bo'lsa, mustaqil deyiladi, ya'ni.

Aks holda, X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq deb ataladi.

X va y argumentlariga nisbatan tenglikni ikki marta farqlab, biz hosil bo'lamiz

bular. mustaqil uzluksiz X va Y tasodifiy miqdorlar uchun ularning qo‘shma zichligi j(x, y) bu tasodifiy miqdorlarning j 1 (x) va j 2 (y) ehtimollik zichliklarining ko‘paytmasiga teng.

Shu paytgacha biz X va Y o'zgaruvchilari o'rtasidagi funksional bog'liqlik tushunchasiga duch keldik, bunda bir o'zgaruvchidagi x ning har bir qiymati boshqasida qat'iy belgilangan qiymatga to'g'ri keladi. Masalan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabat - muvaffaqiyatsiz bo'lgan uskunalar soni ma'lum davr vaqt va ularning narxi - funktsional.

Umuman olganda, funktsional bog'liqlikdan ko'ra qattiqroq bo'lgan boshqa turdagi qaramlikka duch keladi.

Ta'rif. Ikki tasodifiy o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlar, agar ulardan birining har bir qiymati ikkinchisining ma'lum (shartli) taqsimotiga mos kelsa, ehtimollik (stokastik yoki statistik) deb ataladi.

Ehtimoliy (stokastik) qaramlik holatida ulardan birining qiymatini bilib, ikkinchisining qiymatini aniq aniqlash mumkin emas, faqat boshqa miqdorning taqsimlanishini ko'rsatish mumkin. Masalan, asbob-uskunalarning nosozliklari soni va uning oldini olish xarajatlari, odamning vazni va bo'yi, maktab o'quvchisining televizor dasturlarini tomosha qilish va kitob o'qish uchun sarflagan vaqti va boshqalar o'rtasidagi bog'liqlik. probabilistik (stokastik).

Shaklda. 5.10 X va Y bog'liq va mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar misollarini ko'rsatadi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar tizimini o'rganishda doimo ularning bog'liqlik darajasi va tabiatiga e'tibor berish kerak. Bu qaramlik ko'p yoki kamroq ifodalanishi mumkin, ko'proq yoki kamroq yaqin. Ba'zi hollarda tasodifiy o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar shu qadar yaqin bo'lishi mumkinki, bitta tasodifiy o'zgaruvchining qiymatini bilib, boshqasining qiymatini aniq ko'rsatishingiz mumkin. Boshqa ekstremal holatda, tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik shunchalik zaif va uzoqdirki, ularni amalda mustaqil deb hisoblash mumkin.

Mustaqil tasodifiy miqdorlar tushunchasi ehtimollik nazariyasining muhim tushunchalaridan biridir.

Tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchidan mustaqil deyiladi, agar qiymatning taqsimot qonuni qiymat qanday qiymat olganiga bog'liq bo'lmasa.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mustaqillik sharti quyidagicha yozilishi mumkin:

har qanday uchun.

Aksincha, agar ga bog'liq bo'lsa, keyin

.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligi har doim o'zaro ekanligini isbotlaylik: agar qiymat ga bog'liq bo'lmasa.

Darhaqiqat, u quyidagilarga bog'liq bo'lmasin:

. (8.5.1)

(8.4.4) va (8.4.5) formulalardan bizda:

shuning uchun (8.5.1) ni hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

Q.E.D.

Tasodifiy miqdorlarning bog'liqligi va mustaqilligi har doim o'zaro bo'lganligi sababli, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarga yangi ta'rif berish mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilar va agar ularning har birining taqsimlanish qonuni ikkinchisi qanday qiymat olganiga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deyiladi. Aks holda, miqdorlar va qaramlik deyiladi.

Mustaqil uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot qonunining ko'paytirish teoremasi quyidagi shaklni oladi:

, (8.5.2)

ya'ni mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar tizimining taqsimlanish zichligi tizimga kiritilgan alohida o'zgaruvchilarning taqsimlanish zichliklari mahsulotiga teng.

(8.5.2) shartni tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqilligi uchun zarur va etarli shart deb hisoblash mumkin.

Ko'pincha, funktsiyaning o'ziga xos shakliga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil degan xulosaga kelish mumkin, ya'ni taqsimlash zichligi ikkita funktsiyaning mahsulotiga bo'lingan bo'lsa, ulardan biri faqat ga, ikkinchisi faqat ga bog'liq bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqildir.

Misol. Tizimning tarqatish zichligi quyidagi shaklga ega:

.

Tasodifiy o'zgaruvchilar va bog'liq yoki mustaqil ekanligini aniqlang.

Yechim. Maxrajni koeffitsientga olib, bizda:

.

Funktsiyaning biri faqat ga, ikkinchisi faqat ga bog'liq bo'lgan ikkita funktsiyaning ko'paytmasiga bo'linishidan biz va kattaliklar mustaqil bo'lishi kerak degan xulosaga kelamiz. Darhaqiqat, (8.4.2) va (8.4.3) formulalarini qo'llagan holda, bizda quyidagilar mavjud:

;

xuddi shunday

,

bunga qanday ishonch hosil qilamiz

va shuning uchun miqdorlar va mustaqildir.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning bog'liqligi yoki mustaqilligini baholashning yuqoridagi mezoni biz tizimning taqsimot qonunini bilamiz degan taxminga asoslanadi. Amalda bu ko'pincha aksincha sodir bo'ladi: tizimning taqsimot qonuni ma'lum emas; faqat tizimga kirgan alohida miqdorlarning taqsimlanish qonuniyatlari ma'lum bo'lib, miqdorlar va mustaqil deb hisoblash uchun asoslar mavjud. Keyin tizimning taqsimlanish zichligini tizimga kiritilgan alohida miqdorlarning taqsimlanish zichliklari mahsuloti sifatida yozish mumkin.

Tasodifiy o‘zgaruvchilarning “bog‘liqligi” va “mustaqilligi” kabi muhim tushunchalarga batafsilroq to‘xtalib o‘tamiz.

Biz ehtimollar nazariyasida qo'llaydigan tasodifiy o'zgaruvchilarning "mustaqilligi" tushunchasi, biz matematikada amal qiladigan odatiy "bog'liqlik" tushunchasidan biroz farq qiladi. Darhaqiqat, odatda miqdorlarning "bog'liqligi" ostida ular faqat bir turdagi bog'liqlikni anglatadi - to'liq, qat'iy, deb ataladigan - funktsional bog'liqlik. Ikki miqdor va agar ulardan birining qiymatini bilib, ikkinchisining qiymatini aniq ko'rsatsa, ular funktsional jihatdan bog'liq deb ataladi.

Ehtimollar nazariyasida biz qaramlikning boshqa, umumiyroq turiga duch kelamiz - ehtimollik yoki "stokastik" bog'liqlik. Agar qiymat qiymat bilan ehtimollik bog'liqligi bilan bog'langan bo'lsa, unda qiymatni bilib, ning aniq qiymatini ko'rsatish mumkin emas, lekin siz faqat qiymat qanday qiymat olganiga qarab uning taqsimot qonunini ko'rsatishingiz mumkin.

Ehtimoliy bog'liqlik ko'proq yoki kamroq yaqin bo'lishi mumkin; ehtimollik bog'liqligining keskinligi oshgani sayin, u funktsionalga borgan sari yaqinlashadi. Shunday qilib, funktsional bog'liqlikni eng yaqin ehtimollik bog'liqligining ekstremal, cheklovchi holati deb hisoblash mumkin. Yana bir ekstremal holat - tasodifiy o'zgaruvchilarning to'liq mustaqilligi. Ushbu ikkita ekstremal holatlar o'rtasida ehtimollik bog'liqligining barcha darajalari yotadi - eng kuchlidan eng zaifgacha. Bular jismoniy miqdorlar, amalda biz funksional jihatdan bog'liq deb hisoblagan , aslida juda yaqin ehtimolli bog'liqlik bilan bog'langan: bu miqdorlardan birining berilgan qiymati uchun ikkinchisi shu qadar tor chegaralarda o'zgaradiki, uni amalda juda aniq deb hisoblash mumkin. Boshqa tomondan, biz amalda va haqiqatda mustaqil deb hisoblaydigan miqdorlar ko'pincha o'zaro bog'liqlikda bo'ladi, lekin bu bog'liqlik shunchalik zaifki, uni amaliy maqsadlarda e'tiborsiz qoldirish mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi ehtimollik bog'liqligi amaliyotda juda keng tarqalgan. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar va ehtimollik bog'liqligida bo'lsa, bu kattalikning o'zgarishi bilan kattalik butunlay aniq tarzda o'zgaradi degani emas; bu faqat qiymat o'zgarganda, qiymat ham o'zgarishga moyilligini bildiradi (masalan, ortishi yoki kamayishi ). Bu tendentsiya faqat "o'rtacha" kuzatiladi umumiy ma'noda, va har bir alohida holatda, undan og'ish mumkin.

Masalan, ikkita tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing: - tasodifiy olingan odamning bo'yi, - uning vazni. Shubhasiz, miqdorlar va ma'lum bir ehtimollik bog'liqligida; bu, umuman olganda, bo'yi kattaroq odamlarning vazni ko'proq ekanligi bilan ifodalanadi. Hatto bu ehtimollik bog'liqligini funksional bilan almashtiradigan empirik formulani yaratish mumkin. Bu, masalan, bo'y va vazn o'rtasidagi munosabatni taxminan ifodalovchi taniqli formuladir.