Ko'rinib turibdiki, har bir hodisa o'zining yuzaga kelishi (uning amalga oshirilishi) uchun ma'lum darajada imkoniyatga ega. Hodisalarni bir-biri bilan ularning ehtimoli darajasiga ko'ra miqdoriy jihatdan solishtirish uchun, shubhasiz, har bir hodisa bilan ma'lum bir sonni bog'lash kerak, bu qanchalik katta bo'lsa, hodisa shunchalik mumkin. Bu raqam hodisaning ehtimoli deb ataladi.

Hodisa ehtimoli- bu hodisaning yuzaga kelishining ob'ektiv imkoniyati darajasining raqamli o'lchovidir.

Stokastik tajriba va ushbu tajribada kuzatilgan tasodifiy A hodisasini ko'rib chiqing. Bu tajribani n marta takrorlaymiz va m(A) A hodisasi sodir bo‘lgan tajribalar soni bo‘lsin.

Munosabatlar (1.1)

chaqirdi nisbiy chastota tajribalar seriyasidagi A hodisasi.

Xususiyatlarning haqiqiyligini tekshirish oson:

agar A va B mos kelmasa (AB= ), u holda n(A+B) = n(A) + n(B) (1.2)

Nisbiy chastota faqat bir qator tajribalardan so'ng aniqlanadi va umuman olganda, seriyadan seriyaga farq qilishi mumkin. Biroq, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'p hollarda, tajribalar soni ortib borishi bilan, nisbiy chastota ma'lum bir raqamga yaqinlashadi. Nisbiy chastotaning barqarorligining bu haqiqati bir necha bor tasdiqlangan va eksperimental ravishda tasdiqlangan deb hisoblanishi mumkin.

1.19-misol.. Agar siz bitta tanga tashlasangiz, uning qaysi tomoniga tushishini hech kim bashorat qila olmaydi. Ammo agar siz ikki tonna tanga tashlasangiz, unda hamma bir tonnaga yaqin gerb bilan tushishini aytadi, ya'ni gerb tushishining nisbiy chastotasi taxminan 0,5 ga teng.

Agar tajribalar soni ortib borishi bilan n(A) hodisaning nisbiy chastotasi qandaydir qat’iy songa moyil bo‘lsa, deymiz. A hodisasi statistik jihatdan barqaror, va bu son A hodisaning ehtimolligi deyiladi.

Voqea ehtimoli LEKIN bu hodisaning nisbiy chastotasi n(A) tajribalar sonining ko'payishiga moyil bo'lgan ba'zi sobit raqam P(A) chaqiriladi, ya'ni

Ushbu ta'rif deyiladi ehtimollikning statistik ta'rifi .

Ba'zi bir stoxastik tajribani ko'rib chiqaylik va uning elementar hodisalari fazosi ō 1 , ō 2 , …, ō i , … elementar hodisalarning chekli yoki cheksiz (lekin sanaladigan) to'plamidan iborat bo'lsin. deylik, har bir elementar hodisa ō i ga ma'lum bir raqam - r i berilgan bo'lib, bu elementar hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasini tavsiflaydi va quyidagi xususiyatlarni qondiradi:

Bunday p i soni deyiladi elementar hodisa ehtimoliō i.

Endi bu tajribada kuzatilgan A tasodifiy hodisa bo'lsin va unga ma'lum to'plam mos keladi

Bunday sharoitda hodisa ehtimoli LEKIN Elementar hodisalarning A ga mos keladigan ehtimoli yigʻindisi deyiladi(tegishli A to'plamiga kiritilgan):


Shu tarzda kiritilgan ehtimollik nisbiy chastota bilan bir xil xususiyatlarga ega, xususan:

Va agar AB \u003d (A va B mos kelmasa),

keyin P(A+B) = P(A) + P(B)

Darhaqiqat, (1.4) ga muvofiq

Oxirgi munosabatda biz hech qanday elementar hodisa bir vaqtning o'zida ikkita mos kelmaydigan hodisaga yordam bera olmasligidan foydalandik.

Biz, ayniqsa, ehtimollik nazariyasi p i ni qanday aniqlashni ko'rsatmasligini ta'kidlaymiz, ularni amaliy fikrlardan izlash yoki tegishli statistik eksperimentdan olish kerak.

Misol tariqasida ehtimollar nazariyasining klassik sxemasini ko'rib chiqing. Buning uchun elementar hodisalar fazosi chekli (n) sonli elementlardan tashkil topgan stokastik tajribani ko'rib chiqamiz. Bu elementar hodisalarning barchasi bir xil ehtimolli, ya’ni elementar hodisalarning ehtimollari p(ō i)=p i =p deb qo‘shimcha qilib faraz qilaylik. Demak, bundan kelib chiqadi

1.20-misol. Nosimmetrik tanga otishda gerb va dumlar teng darajada mumkin, ularning ehtimoli 0,5 ga teng.

1.21-misol. Nosimmetrik matritsa otilganda, barcha yuzlar bir xil ehtimolga ega, ularning ehtimoli 1/6 ga teng.

Endi A hodisasi m elementar hodisa tomonidan yoqsin, ular odatda deyiladi A hodisasiga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan natijalar. Keyin

bor ehtimollikning klassik ta'rifi: A hodisasining ehtimolligi P(A) A hodisasini yoqlaydigan natijalar sonining nisbatiga teng. umumiy soni natijalar

1.22-misol. Bir urnada m oq shar va n ta qora shar bor. Oq sharni chizish ehtimoli qanday?

Yechim. Jami m+n elementar hodisa mavjud. Ularning barchasi bir xil darajada aql bovar qilmaydi. Qulay hodisa A ulardan m. Binobarin, .

Quyidagi xususiyatlar ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi:

Mulk 1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng.

Haqiqatan ham, agar voqea ishonchli bo'lsa, testning har bir elementar natijasi voqeani afzal ko'radi. Ushbu holatda m=p, Binobarin,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Mulk 2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.

Haqiqatan ham, agar voqea imkonsiz bo'lsa, sud jarayonining elementar natijalaridan hech biri voqeani qo'llab-quvvatlamaydi. Ushbu holatda t= 0, shuning uchun P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Mulk 3.Ehtimollik tasodifiy hodisa nol va bir orasidagi musbat son.

Darhaqiqat, testning elementar natijalarining umumiy sonining faqat bir qismi tasodifiy hodisaga yordam beradi. Ya'ni, 0≤m≤n, bu 0≤m/n≤1 degan ma'noni anglatadi, shuning uchun har qanday hodisaning ehtimoli 0≤ qo'sh tengsizlikni qanoatlantiradi. P(A) ≤1. (1.8)

Ehtimollik (1,5) va nisbiy chastota (1,1) ta'riflarini taqqoslab, biz xulosa qilamiz: ehtimollik ta'rifi sinovdan o'tkazishni talab qilmaydi aslida; nisbiy chastotaning ta'rifi shuni nazarda tutadi Haqiqatan ham sinovlar o'tkazildi. Boshqa so'zlar bilan, ehtimollik tajribadan oldin, nisbiy chastota esa tajribadan keyin hisoblanadi.

Biroq, ehtimollikni hisoblash, ma'lum bir hodisaga yordam beradigan elementar natijalar soni yoki ehtimoli haqida oldindan ma'lumotni talab qiladi. Bunday dastlabki ma'lumotlar bo'lmaganda, ehtimollikni aniqlash uchun empirik ma'lumotlardan foydalaniladi, ya'ni hodisaning nisbiy chastotasi stokastik tajriba natijalaridan aniqlanadi.

1.23-misol. Texnik nazorat bo'limi kashf etilgan 3 80 ta tasodifiy tanlangan qismlar to'plamidagi nostandart qismlar. Nostandart qismlarning paydo bo'lishining nisbiy chastotasi r (A)= 3/80.

1.24-misol. Maqsad bo'yicha.ishlab chiqarilgan 24 otib tashlandi va 19 ta zarba qayd etildi. Nishonga tegishning nisbiy chastotasi. r (A)=19/24.

Uzoq muddatli kuzatishlar shuni ko'rsatdiki, agar tajribalar bir xil sharoitlarda o'tkazilsa, ularning har birida sinovlar soni etarlicha katta bo'lsa, u holda nisbiy chastota barqarorlik xususiyatini namoyon qiladi. Bu mulk turli tajribalarda nisbiy chastota biroz o'zgaradi (qanchalik kam bo'lsa, shuncha ko'p testlar o'tkaziladi), ma'lum bir doimiy son atrofida o'zgarib turadi. Ma'lum bo'lishicha, bu doimiy sonni ehtimollikning taxminiy qiymati sifatida olish mumkin.

Nisbiy chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik quyida batafsilroq va aniqroq tavsiflanadi. Keling, barqarorlik xususiyatini misollar bilan ko'rsatamiz.

1.25-misol. Shvetsiya statistik ma'lumotlariga ko'ra, 1935 yilda qizlarning nisbiy tug'ilish darajasi oylar bo'yicha quyidagi raqamlar bilan tavsiflanadi (raqamlar oylar tartibida yanvar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Nisbiy chastota 0,481 soni atrofida o'zgarib turadi, uni qabul qilish mumkin taxminiy qiymat qiz tug'ish ehtimoli.

E'tibor bering, turli mamlakatlar statistikasi nisbiy chastotaning taxminan bir xil qiymatini beradi.

1.26-misol. Takroriy tajribalar tanga otish bo'yicha o'tkazildi, unda "gerb" ning paydo bo'lishi soni hisoblangan. Bir nechta tajribalar natijalari jadvalda keltirilgan.

1. Asosiy teorema va ehtimollik formulalarini taqdim etish: qo‘shish teoremasi, shartli ehtimollik, ko‘paytirish teoremasi, hodisalarning mustaqilligi, formula. to'liq ehtimollik.

Maqsadlar: hodisa ehtimoli tushunchasini joriy etish uchun qulay shart-sharoitlar yaratish; ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalari va formulalari bilan tanishish; umumiy ehtimollik formulasini kiriting.

Darsning borishi:

Tasodifiy tajriba (tajriba) turli natijalarga erishish mumkin bo‘lgan jarayon bo‘lib, natija qanday bo‘lishini oldindan bashorat qilib bo‘lmaydi. Tajribaning mumkin bo'lgan bir-birini istisno qiladigan natijalari uning deyiladi elementar hodisalar . Elementar hodisalar to'plami V bilan belgilanadi.

tasodifiy hodisa hodisa deb ataladi, bu haqda tajriba natijasida sodir bo'ladimi yoki yo'qligini oldindan aytish mumkin emas. Tajriba natijasida sodir bo'lgan har bir tasodifiy A hodisani V dan elementar hodisalar guruhi bilan bog'lash mumkin. Bu guruhni tashkil etuvchi elementar hodisalar deyiladi. A hodisasining yuzaga kelishi uchun qulay.

W to'plamini tasodifiy hodisa sifatida ham ko'rish mumkin. U barcha elementar hodisalarni o'z ichiga olganligi sababli, u albatta tajriba natijasida yuzaga keladi. Bunday hodisa deyiladi ishonchli .

Agar berilgan hodisa uchun W dan qulay elementar hodisalar bo'lmasa, u tajriba natijasida yuzaga kelishi mumkin emas. Bunday hodisa deyiladi imkonsiz.

Voqealar chaqiriladi teng darajada mumkin , agar test natijasida taqdim etilgan bo'lsa teng imkoniyat ushbu tadbirlarni amalga oshirish. Ikki tasodifiy hodisa chaqiriladi qarama-qarshi agar tajriba natijasida ulardan biri yuzaga kelsa va faqat ikkinchisi sodir bo'lmasa. A hodisaga qarama-qarshi hodisa bilan belgilanadi.

A va B hodisalar deyiladi mos kelmaydigan agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishini istisno qilsa. A 1, A 2, ..., A n hodisalar deyiladi juftlik mos kelmaydigan, agar ulardan ikkitasi mos kelmasa. A 1 , A 2 , ..., An shakl hodisalari to'liq tizim juftlik mos kelmaydigan hodisalar agar test natijasida ulardan biri va faqat bittasi ro'y berishi aniq bo'lsa.

Hodisalarning yig'indisi (birlashmasi). A 1 , A 2 , ..., A n shunday hodisa C boʻlib, u A 1 , A 2 , ..., A n hodisalaridan kamida bittasi sodir boʻlganligidan iborat boʻladi Hodisalar yigʻindisi belgilanadi. quyidagicha:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Voqealarning mahsuli (kesishmasi). A 1 , A 2 , ..., A n shunday P hodisa deyiladi, bu A 1 , A 2 , ..., A n barcha hodisalarning bir vaqtda sodir boʻlishidan iborat. Voqealarning mahsuli belgilanadi

Ehtimollik nazariyasidagi ehtimollik P(A) testlarning takroriy takrorlanishi bilan har qanday aniq tasodifiy A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli darajasining raqamli xarakteristikasi vazifasini bajaradi.



Masalan, 1000 ta o'limda 4 raqami 160 marta keladi. 160/1000 = 0,16 nisbati ushbu testlar seriyasida tushib qolgan 4 raqamining nisbiy chastotasini ko'rsatadi. Umuman olganda tasodifiy hodisalar chastotasi Va bir qator eksperimentlarni o'tkazishda ular ma'lum bir hodisa sodir bo'lgan tajribalar sonining tajribalarning umumiy soniga nisbati deb ataladi:

bu yerda P*(A) A hodisaning chastotasi; m - A hodisasi sodir bo'lgan tajribalar soni; n - tajribalarning umumiy soni.

Tasodifiy hodisa ehtimoli A doimiy son deb ataladi, tajribalar soni ortishi bilan ma'lum bir hodisaning chastotalari uning atrofida guruhlanadi ( hodisa ehtimolini statistik aniqlash ). Tasodifiy hodisaning ehtimoli P(A) bilan belgilanadi.

Tabiiyki, hech kim hech qachon ehtimollikni aniqlash uchun cheksiz miqdordagi testlarni o'tkaza olmaydi. Bunga hojat yo'q. Amalda, ehtimollik hodisaning chastotasi sifatida qabul qilinishi mumkin katta raqamlar testlar. Masalan, ko'p yillik kuzatishlar davomida aniqlangan tug'ilishning statistik shakllaridan yangi tug'ilgan chaqaloqning o'g'il bo'lish ehtimoli 0,515 ga baholanadi.

Agar test paytida bitta tasodifiy hodisa boshqalarga qaraganda tez-tez sodir bo'lishiga sabab bo'lmasa ( teng darajada ehtimoliy hodisalar), ehtimollikni nazariy mulohazalar asosida aniqlashimiz mumkin. Masalan, tanga otish holatida gerbning tushish chastotasini bilib olaylik (A hodisasi). Turli eksperimentchilar bir necha ming sinovlarda bunday hodisaning nisbiy chastotasi 0,5 ga yaqin qiymatlarni olishini ko'rsatdi. tanga simmetrik bo‘lsa, gerbning ko‘rinishi va tanganing qarama-qarshi tomoni (B hodisasi) bir xil ehtimoliy hodisa ekanligini hisobga olsak, chastotani aniqlamasdan P(A)=P(B)=0,5 hukmini chiqarish mumkin edi. ushbu voqealardan. Hodisalarning “teng ehtimolligi” tushunchasi asosida ehtimollikning yana bir ta’rifi shakllantiriladi.

Ko'rib chiqilayotgan A hodisa A ga qulay deb ataladigan m holatda sodir bo'lsin, qolgan n-m larda esa A uchun noqulay bo'lmagan holda sodir bo'lsin.

U holda A hodisaning ehtimolligi unga qulay bo'lgan elementar hodisalar sonining ularning umumiy soniga nisbatiga teng bo'ladi.(hodisa ehtimolining klassik ta'rifi):

bu yerda m - A hodisani yoqlaydigan elementar hodisalar soni; n - elementar hodisalarning umumiy soni.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol:Bir urnada 40 ta shar bor: 10 ta qora va 30 ta oq. Tasodifiy tanlangan to'pning qora bo'lish ehtimolini toping.

Qulay holatlar soni urnadagi qora sharlar soniga teng: m = 10. Teng ehtimolli hodisalarning umumiy soni (bitta to'pni chiqarish) urnadagi to'plarning umumiy soniga teng: n = 40. Bu hodisalar mos kelmaydi, chunki bitta va faqat bitta to'p chiqariladi. P (A) = 10/40 = 0,25

2-misol:Zarb otishda juft sonni olish ehtimolini toping.

O'limni otishda oltita bir xil darajada mos kelmaydigan hodisalar amalga oshiriladi: bitta raqamning paydo bo'lishi: 1,2,3,4,5 yoki 6, ya'ni. n = 6. Qulay holatlar 2,4 yoki 6 raqamlaridan birining yo'qolishi: m = 3. Kerakli ehtimollik P (A) = m/N = 3/6 = ½.

Hodisa ehtimolining ta'rifidan ko'rib turganimizdek, barcha hodisalar uchun

0 < Р(А) < 1.

Shubhasiz, ma'lum bir hodisaning ehtimoli 1 ga, imkonsiz hodisaning ehtimoli 0 ga teng.

Ehtimollarni qo'shish teoremasi: bir nechta mos kelmaydigan hodisalardan bitta (nima bo'lishidan qat'iy nazar) hodisaning paydo bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

Ikki mos kelmaydigan A va B hodisalari uchun bu hodisalarning ehtimolliklari ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

P(A yoki B)=P(A) + P(B).

3-misol:Zar otishda 1 yoki 6 ni olish ehtimolini toping.

A hodisasi (1-rulon) va B (rulon 6) bir xil ehtimoli bor: P (A) = P (B) = 1/6, shuning uchun P (A yoki B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Ehtimollar qo'shilishi nafaqat ikkita, balki har qanday miqdordagi mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi.

4-misol:Bir urnada 50 ta shar bor: 10 ta oq, 20 ta qora, 5 ta qizil va 15 ta ko'k. To'pni urnadan olib tashlashning bitta operatsiyasida oq, qora yoki qizil sharning paydo bo'lish ehtimolini toping.

Oq sharni (A hodisasi) chizish ehtimoli P(A) = 10/50 = 1/5, qora shar (B hodisasi) P (B) = 20/50 = 2/5 va qizil shar ( hodisa C) P (C) = 5/50 = 1/10. Bu erdan, ehtimolliklarni qo'shish formulasiga ko'ra, biz P (A yoki B yoki C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ ni olamiz. 10 \u003d 7/10

Ikki qarama-qarshi hodisaning ehtimollar yig'indisi, ehtimollarni qo'shish teoremasidan kelib chiqqan holda, bir ga teng:

P(A) + P() = 1

Yuqoridagi misolda oq, qora va qizil to'plarni olib tashlash A 1, P(A 1) = 7/10 hodisasi bo'ladi. 1 ning qarama-qarshi hodisasi ko'k to'pni chizishdir. 15 ta ko'k to'p borligi va to'plarning umumiy soni 50 ta bo'lgani uchun biz P( 1) = 15/50 = 3/10 va P (A) + P () = 7/10 + 3/10 = 1 ni olamiz.

Agar A 1 , A 2 , ..., A n hodisalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning toʻliq tizimini tashkil qilsa, ularning ehtimollik yigʻindisi 1 ga teng boʻladi.

Umuman olganda, A va B ikkita hodisa yig'indisining ehtimoli quyidagicha hisoblanadi

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi:

A va B hodisalar deyiladi mustaqil Agar A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli B hodisaning sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganligiga bog'liq bo'lmasa va aksincha, B hodisaning yuzaga kelish ehtimoli A hodisaning sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganligiga bog'liq emas.

Mustaqil hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng. Ikki voqea uchun P(A va B)=P(A) P(B).

Misol: Bitta urnada 5 ta qora va 10 ta oq shar, ikkinchisida 3 ta qora va 17 ta oq shar bor. Har bir urnadan birinchi marta sharlar chiqarilganda ikkala shar ham qora rangda bo'lish ehtimolini toping.

Yechish: birinchi urnadan qora sharni olish ehtimoli (A hodisasi) - P(A) = 5/15 = 1/3, ikkinchi urnadan qora shar (B hodisasi) - P(B) = 3/ 20

P (A va B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Amalda, B hodisaning ehtimoli ko'pincha boshqa qandaydir A hodisasi sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq. Bunday holda, kimdir gapiradi shartli ehtimollik , ya'ni. A hodisasi sodir bo'lganligini hisobga olsak, B hodisasining ehtimoli. Shartli ehtimollik P(B/A) bilan belgilanadi.

Dastlab, zar o'yini haqidagi ma'lumotlar va empirik kuzatishlar to'plami bo'lib, ehtimollik nazariyasi mustahkam fanga aylandi. Fermat va Paskal birinchi bo'lib unga matematik asosni berdilar.

Abadiy haqida fikr yuritishdan tortib, ehtimollik nazariyasiga qadar

Ehtimollar nazariyasi ko'plab fundamental formulalarga ega bo'lgan ikki shaxs - Blez Paskal va Tomas Bayes chuqur dindor odamlar sifatida tanilgan, ikkinchisi Presviterian vaziri edi. Ko'rinishidan, bu ikki olimning ma'lum bir Fortune haqidagi fikrining noto'g'riligini isbotlash, uning sevimlilariga omad tilash istagi bu sohadagi tadqiqotlarga turtki bo'ldi. Axir, aslida, har qanday tasodif o'yini o'zining g'alaba va mag'lubiyatlari bilan faqat matematik tamoyillarning simfoniyasidir.

Bir xil darajada qimorboz va fanga befarq bo'lmagan Chevalier de Merning hayajonlari tufayli Paskal ehtimollikni hisoblash yo'lini topishga majbur bo'ldi. De Merni bu savol qiziqtirdi: "12 ball olish ehtimoli 50% dan oshishi uchun ikkita zarni necha marta juft qilib tashlash kerak?". Janobni nihoyatda qiziqtirgan ikkinchi savol: "Tijorni tugallanmagan o'yin ishtirokchilari o'rtasida qanday taqsimlash kerak?" Albatta, Paskal ehtimollar nazariyasi rivojlanishining tashabbuskori bo'lgan de Merning ikkala savoliga ham muvaffaqiyatli javob berdi. Qizig'i shundaki, de Mer shaxsi adabiyotda emas, balki shu sohada tanilgan.

Ilgari hech bir matematik haligacha hodisalarning ehtimolligini hisoblashga urinmagan, chunki bu faqat taxminiy yechim deb hisoblangan. Blez Paskal hodisa ehtimolining birinchi ta'rifini berdi va bu matematik jihatdan asoslanishi mumkin bo'lgan aniq raqam ekanligini ko'rsatdi. Ehtimollar nazariyasi statistika uchun asos bo'ldi va keng qo'llaniladi zamonaviy fan.

Tasodifiylik nima

Agar cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan testni ko'rib chiqsak, biz tasodifiy hodisani aniqlashimiz mumkin. Bu tajribaning mumkin bo'lgan natijalaridan biridir.

Tajriba - bu doimiy sharoitda aniq harakatlarni amalga oshirish.

Tajriba natijalari bilan ishlash uchun voqealar odatda A, B, C, D, E harflari bilan belgilanadi ...

Tasodifiy hodisa ehtimoli

Ehtimollikning matematik qismiga o'tish uchun uning barcha komponentlarini aniqlash kerak.

Voqea ehtimoli quyidagicha ifodalanadi raqamli shakl tajriba natijasida qandaydir hodisaning (A yoki B) sodir bo'lish ehtimoli o'lchovi. Ehtimollik P (A) yoki P (B) sifatida belgilanadi.

Ehtimollar nazariyasi:

  • ishonchli tajriba natijasida sodir bo'lishi kafolatlangan hodisa R(Ō) = 1;
  • imkonsiz hodisa hech qachon sodir bo'lmaydi R(Ø) = 0;
  • tasodifiy hodisa aniq va imkonsiz o'rtasida yotadi, ya'ni uning sodir bo'lish ehtimoli mumkin, lekin kafolatlanmaydi (tasodifiy hodisaning ehtimoli har doim 0≤P(A)≤1 ichida).

Hodisalar o'rtasidagi munosabatlar

A yoki B komponentlaridan kamida bittasi yoki ikkalasi - A va B ni amalga oshirishda hodisa hisobga olinsa, A + B hodisalarining ikkalasi ham, yig'indisi ham hisobga olinadi.

Bir-biriga nisbatan hodisalar quyidagilar bo'lishi mumkin:

  • Xuddi shunday mumkin.
  • mos keladi.
  • Mos kelmaydi.
  • Qarama-qarshi (bir-birini eksklyuziv).
  • Bog'liq.

Agar ikkita hodisa teng ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, unda ular teng darajada mumkin.

Agar A hodisaning yuzaga kelishi B hodisasining yuzaga kelish ehtimolini bekor qilmasa, u holda ular mos keladi.

Agar bitta tajribada A va B hodisalar hech qachon bir vaqtda sodir bo'lmasa, ular deyiladi mos kelmaydigan. tanga tashlash - yaxshi misol: quyruqlarning ko'rinishi avtomatik ravishda boshlarning ko'rinmasligi.

Bunday mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi ehtimoli har bir hodisaning ehtimollik yig'indisidan iborat:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Agar bir hodisaning sodir bo'lishi boshqa hodisaning sodir bo'lishini imkonsiz qilsa, ular qarama-qarshi deb ataladi. Keyin ulardan biri A, ikkinchisi esa - Ā ("A emas" deb o'qiladi) sifatida belgilanadi. A hodisasining yuzaga kelishi Ā sodir bo'lmaganligini bildiradi. Bu ikki hodisa ehtimollar yig'indisi 1 ga teng bo'lgan to'liq guruhni tashkil qiladi.

Bog'liq hodisalar o'zaro ta'sir qiladi, bir-birining ehtimolini kamaytiradi yoki oshiradi.

Hodisalar o'rtasidagi munosabatlar. Misollar

Ehtimollar nazariyasi tamoyillarini va hodisalarning kombinatsiyasini misollar yordamida tushunish ancha oson.

Amalga oshiriladigan tajriba to'plarni qutidan chiqarishdir va har bir tajribaning natijasi elementar natijadir.

Hodisa - bu tajribaning mumkin bo'lgan natijalaridan biri - qizil to'p, ko'k to'p, olti raqamli to'p va boshqalar.

Sinov raqami 1. 6 ta to'p bor, ulardan uchtasi toq raqamlar bilan ko'k, qolgan uchtasi esa juft raqamlar bilan qizil.

Sinov raqami 2. Birdan oltigacha raqamlari bo'lgan 6 ta ko'k shar bor.

Ushbu misolga asoslanib, biz kombinatsiyalarni nomlashimiz mumkin:

  • Ishonchli voqea. Ispan tilida № 2, "ko'k to'pni oling" hodisasi ishonchli, chunki uning paydo bo'lish ehtimoli 1 ga teng, chunki barcha to'plar ko'k rangga ega va hech qanday o'tkazib yuborish mumkin emas. Holbuki, "1-raqamli to'pni olish" hodisasi tasodifiy.
  • Mumkin bo'lmagan voqea. Ispan tilida Ko'k va qizil sharlar bilan №1, "binafsha to'pni olish" hodisasi mumkin emas, chunki uning paydo bo'lish ehtimoli 0 ga teng.
  • Ekvivalent hodisalar. Ispan tilida 1-raqamli, “2-raqamli to‘pni ol” va “3-raqamli to‘pni ol” hodisalari bir xil ehtimolga ega bo‘lib, “juft sonli to‘pni ol” va “2-raqamli to‘pni ol” hodisalari bir xil bo‘ladi. ” turli ehtimolliklarga ega.
  • Mos keladigan hodisalar. Ketma-ket ikki marta zarb otish jarayonida oltilik olish mos keladigan hodisalardir.
  • Mos kelmaydigan hodisalar. Xuddi shu ispan tilida 1-raqamli "qizil to'pni olish" va "toq raqam bilan to'pni olish" voqealarini bir xil tajribada birlashtirib bo'lmaydi.
  • qarama-qarshi hodisalar. Buning eng yorqin misoli tanga otish bo'lib, bu erda chizilgan boshlar quyruqlarni chizmaslik bilan bir xil bo'lib, ularning ehtimolliklari yig'indisi har doim 1 ga teng (to'liq guruh).
  • Bog'liq hodisalar. Shunday qilib, ispan tilida № 1, siz o'zingizga qizil to'pni ketma-ket ikki marta chiqarish maqsadini qo'yishingiz mumkin. Uni birinchi marta ajratib olish yoki olmaslik ikkinchi marta olish ehtimoliga ta'sir qiladi.

Ko'rinib turibdiki, birinchi voqea ikkinchi (40% va 60%) ehtimoliga sezilarli darajada ta'sir qiladi.

Hodisa ehtimoli formulasi

Folbinlikdan aniq ma'lumotlarga o'tish mavzuni matematik tekislikka o'tkazish orqali sodir bo'ladi. Ya'ni, "yuqori ehtimollik" yoki "minimal ehtimollik" kabi tasodifiy hodisa haqidagi hukmlar aniq raqamli ma'lumotlarga tarjima qilinishi mumkin. Bunday materialni baholash, taqqoslash va yanada murakkab hisob-kitoblarga kiritish allaqachon joizdir.

Hisoblash nuqtai nazaridan, hodisa ehtimolining ta'rifi elementar ijobiy natijalar sonining ma'lum bir hodisaga nisbatan tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati hisoblanadi. Ehtimollik P (A) bilan belgilanadi, bu erda P frantsuz tilidan "ehtimollik" deb tarjima qilingan "ehtimol" so'zini anglatadi.

Shunday qilib, hodisaning ehtimoli formulasi:

Bu erda m - A hodisasi uchun qulay natijalar soni, n - bu tajriba uchun barcha mumkin bo'lgan natijalar yig'indisi. Hodisa ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Hodisa ehtimolini hisoblash. Misol

Keling, ispan tilini olaylik. Ilgari tasvirlangan to'plar bilan №1: 1/3/5 raqamlari bo'lgan 3 ta ko'k to'p va 2/4/6 raqamlari bo'lgan 3 ta qizil to'p.

Ushbu test asosida bir nechta turli vazifalarni ko'rib chiqish mumkin:

  • A - qizil to'p tushishi. 3 ta qizil shar bo'lib, jami 6 ta variant mavjud.Bu eng oddiy misol bo'lib, unda hodisa ehtimoli P(A)=3/6=0,5.
  • B - juft sonni tushirish. Hammasi bo'lib 3 ta (2,4,6) juft son bo'lib, mumkin bo'lgan sonli variantlarning umumiy soni 6 ta. Bu hodisaning ehtimoli P(B)=3/6=0,5.
  • C - 2 dan katta sonning yo'qolishi. Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonidan 4 tasi shunday variant (3,4,5,6) mavjud 6. C hodisaning ehtimolligi P(C)=4/6= 0,67.

Hisob-kitoblardan ko'rinib turibdiki, C hodisasi yuqori ehtimollikka ega, chunki mumkin bo'lgan ijobiy natijalar soni A va B ga qaraganda yuqori.

Mos kelmaydigan hodisalar

Bunday hodisalar bir xil tajribada bir vaqtning o'zida paydo bo'lishi mumkin emas. Ispan tilida bo'lgani kabi 1-son, bir vaqtning o'zida ko'k va qizil to'pni olish mumkin emas. Ya'ni, siz ko'k yoki qizil to'pni olishingiz mumkin. Xuddi shu tarzda, o'limda bir vaqtning o'zida juft va toq son paydo bo'lishi mumkin emas.

Ikki hodisaning ehtimoli ularning yig'indisi yoki mahsulotining ehtimolligi deb hisoblanadi. Bunday hodisalarning yig'indisi A + B deb A yoki B hodisaning paydo bo'lishidan va ularning AB ko'paytmasi - har ikkalasining paydo bo'lishidan iborat hodisa deb hisoblanadi. Masalan, bir otishda ikkita zarning yuzida bir vaqtning o'zida ikkita oltitaning paydo bo'lishi.

Bir nechta hodisalarning yig'indisi - ulardan kamida bittasining sodir bo'lishini nazarda tutadigan hodisa. Bir nechta hodisalarning mahsuli ularning barchasining birgalikda sodir bo'lishidir.

Ehtimollar nazariyasida, qoida tariqasida, "va" birlashmasidan foydalanish yig'indini, "yoki" birlashmasi - ko'paytirishni bildiradi. Misollar bilan formulalar ehtimollar nazariyasida qo'shish va ko'paytirish mantiqini tushunishga yordam beradi.

Mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli

Agar mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli hisobga olinsa, hodisalar yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Misol uchun: biz ispan tilida bo'lish ehtimolini hisoblaymiz. Ko'k va qizil to'plar bilan № 1 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamni tushiradi. Biz bir harakatda emas, balki elementar komponentlarning ehtimolliklari yig'indisi bilan hisoblaymiz. Shunday qilib, bunday tajribada faqat 6 ta to'p yoki barcha mumkin bo'lgan natijalardan 6 tasi mavjud. Shartni qanoatlantiradigan sonlar 2 va 3. 2 raqamini olish ehtimoli 1/6, 3 sonining ehtimoli ham 1/6. 1 dan 4 gacha bo'lgan raqamni olish ehtimoli:

To'liq guruhning mos kelmaydigan hodisalari yig'indisining ehtimoli 1 ga teng.

Shunday qilib, agar kub bilan tajribada biz barcha raqamlarni olish ehtimolini qo'shsak, natijada bittasini olamiz.

Bu qarama-qarshi hodisalar uchun ham amal qiladi, masalan, tanga bilan tajribada, uning bir tomoni A hodisasi, ikkinchisi esa qarama-qarshi hodisa Ā, ma'lumki,

R(A) + R(Ā) = 1

Mos kelmaydigan hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli

Bir kuzatuvda ikki yoki undan ortiq mos kelmaydigan hodisalarning yuzaga kelishini ko'rib chiqishda ehtimollarni ko'paytirish qo'llaniladi. Unda bir vaqtning o'zida A va B hodisalarining paydo bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng yoki:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Masalan, buning ehtimoli 1-sonli ikkita urinish natijasida, ko'k to'p ikki marta paydo bo'ladi, teng

Ya'ni, to'plarni olib tashlash bilan ikkita urinish natijasida faqat ko'k sharlar olinadigan hodisaning yuzaga kelish ehtimoli 25% ni tashkil qiladi. Bu muammo bo'yicha amaliy tajribalar o'tkazish va bu haqiqatan ham shundaymi yoki yo'qligini ko'rish juda oson.

Qo'shma tadbirlar

Agar ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishi bilan mos kelishi mumkin bo'lgan hodisalar qo'shma hisoblanadi. Ular qo'shma bo'lishiga qaramay, mustaqil hodisalarning ehtimoli hisobga olinadi. Masalan, ikkita zar otish 6 soni ikkalasiga ham tushganda natija berishi mumkin.Hodisalar bir vaqtga toʻgʻri kelgan va bir vaqtda paydo boʻlgan boʻlsa-da, ular bir-biridan mustaqil – faqat bitta oltita tushishi mumkin, ikkinchi zar esa bunga taʼsir qilmaydi. .

Qo'shma hodisalarning ehtimoli ularning yig'indisining ehtimoli sifatida qabul qilinadi.

Qo'shma hodisalar yig'indisining ehtimoli. Misol

Bir-biriga nisbatan qo'shma bo'lgan A va B hodisalari yig'indisining ehtimolligi hodisaning ehtimolliklari yig'indisidan ularning hosilasi ehtimolini (ya'ni, birgalikda amalga oshirish) ayiqqa teng:

R qo'shma. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Faraz qilaylik, bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,4 ga teng. Keyin A hodisasi - birinchi urinishda nishonga tegish, B - ikkinchisida. Bu hodisalar birgalikda, chunki birinchi va ikkinchi o'qdan nishonga tegish mumkin. Ammo voqealar bog'liq emas. Ikki marta (kamida bitta) nishonga tegish hodisasi ehtimoli qanday? Formulaga ko'ra:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Savolga javob: “Ikki o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli 64% ni tashkil qiladi”.

Hodisa ehtimolining ushbu formulasini mos kelmaydigan hodisalarga ham qo'llash mumkin, bu erda hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli P(AB) = 0. Demak, mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimolini alohida holat deb hisoblash mumkin. taklif qilingan formuladan.

Aniqlik uchun ehtimollik geometriyasi

Qizig'i shundaki, qo'shma hodisalar yig'indisining ehtimoli bir-biri bilan kesishgan ikkita A va B sohalari sifatida ifodalanishi mumkin. Rasmdan ko'rinib turibdiki, ularning birlashma maydoni ularning kesishish maydonini olib tashlagan holda umumiy maydonga teng. Ushbu geometrik tushuntirish mantiqsiz ko'rinadigan formulani yanada tushunarli qiladi. E'tibor bering, geometrik echimlar ehtimollar nazariyasida kam uchraydi.

Birgalikda sodir bo'lgan hodisalar to'plamining (ikkidan ortiq) yig'indisining ehtimolini aniqlash juda qiyin. Uni hisoblash uchun siz ushbu holatlar uchun taqdim etilgan formulalardan foydalanishingiz kerak.

Bog'liq hodisalar

Agar ulardan birining (A) sodir bo'lishi ikkinchisining (B) sodir bo'lish ehtimoliga ta'sir qilsa, bog'liq hodisalar deyiladi. Bundan tashqari, A hodisaning yuzaga kelishining ham, uning sodir bo'lmasligining ham ta'siri hisobga olinadi. Hodisalar ta'rifiga ko'ra qaram deb atalsa-da, ulardan faqat bittasi bog'liq (B). Odatdagi ehtimollik P(B) yoki mustaqil hodisalar ehtimoli sifatida belgilandi. Bog'liqlar bo'yicha yangi tushuncha - shartli ehtimollik P A (B) kiritiladi, bu esa unga bog'liq bo'lgan A hodisasi (gipoteza) sodir bo'lishi sharti bilan bog'liq B hodisaning ehtimoli.

Ammo A hodisasi ham tasodifiydir, shuning uchun u hisob-kitoblarda hisobga olinishi kerak bo'lgan va hisobga olinishi mumkin bo'lgan ehtimolga ham ega. Quyidagi misol bog'liq hodisalar va gipoteza bilan qanday ishlashni ko'rsatadi.

Bog'liq hodisalarning ehtimolini hisoblash misoli

Bog'liq hodisalarni hisoblashning yaxshi namunasi - kartalarning standart palubasi.

36 ta kartadan iborat paluba misolida, bog'liq voqealarni ko'rib chiqing. Palubadan olingan ikkinchi karta olmos kostyum bo'lish ehtimolini aniqlash kerak, agar birinchi chizilgan karta:

  1. Tambur.
  2. Boshqa kostyum.

Shubhasiz, ikkinchi B hodisasining ehtimoli birinchi A ga bog'liq. Demak, agar birinchi variant to'g'ri bo'lsa, bu palubada 1 ta karta (35) va 1 olmos (8) kam bo'lsa, B hodisasining ehtimoli:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Agar ikkinchi variant to'g'ri bo'lsa, unda kemada 35 ta karta bor va tamburlarning umumiy soni (9) hali ham saqlanib qolgan bo'lsa, unda quyidagi hodisaning ehtimoli B ga teng:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Ko'rinib turibdiki, agar A hodisasi birinchi karta olmos ekanligiga shartli bo'lsa, u holda B hodisasining ehtimoli kamayadi va aksincha.

Bog'liq hodisalarni ko'paytirish

Oldingi bobga asoslanib, biz birinchi hodisani (A) fakt sifatida qabul qilamiz, lekin mohiyatan u tasodifiy xususiyatga ega. Ushbu hodisaning ehtimolligi, ya'ni kartalar palubasidan dafning chiqarilishi quyidagilarga teng:

P(A) = 9/36=1/4

Nazariya o'z-o'zidan mavjud emas, balki amaliy maqsadlarga xizmat qilish uchun chaqirilganligi sababli, ko'pincha bog'liq hodisalarni keltirib chiqarish ehtimoli zarurligini ta'kidlash adolatli.

Bog'liq hodisalar ehtimoli ko'paytmasi haqidagi teoremaga ko'ra, birgalikda bog'liq bo'lgan A va B hodisalarning paydo bo'lish ehtimoli bitta A hodisasi ehtimolini B hodisasining shartli ehtimolligiga ko'paytiriladi (A ga qarab):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Keyin paluba bilan misolda olmos kostyumi bilan ikkita kartani chizish ehtimoli:

9/36*8/35=0,0571 yoki 5,7%

Va dastlab olmos emas, keyin olmos olish ehtimoli teng:

27/36*9/35=0,19 yoki 19%

Ko'rinib turibdiki, avval olmosdan boshqa kostyumning kartasi chizilgan bo'lsa, B hodisasining yuzaga kelish ehtimoli kattaroqdir. Bu natija juda mantiqiy va tushunarli.

Hodisaning umumiy ehtimoli

Shartli ehtimollar bilan bog'liq muammo ko'p qirrali bo'lganda, uni an'anaviy usullar bilan hisoblash mumkin emas. Ikkitadan ortiq gipoteza mavjud bo'lganda, ya'ni A1, A2, ..., A n, .. shart ostida to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi:

  • P(A i)>0, i=1,2,…
  • A i ∩ A j =Ø,i≠j.
  • S k A k =Ō.

Shunday qilib, A1, A2, ..., A n tasodifiy hodisalarning to'liq guruhi bo'lgan B hodisasining umumiy ehtimolligi formulasi:

Kelajakka nazar

Tasodifiy hodisa ehtimoli fanning ko'pgina sohalarida muhim ahamiyatga ega: ekonometrika, statistika, fizika va boshqalar. Ba'zi jarayonlarni deterministik tarzda tasvirlab bo'lmaydiganligi sababli, ularning o'zi ehtimollik xususiyatiga ega bo'lganligi sababli, maxsus ish usullari kerak. Hodisa nazariyasi ehtimoli har qanday texnologik sohada xato yoki nosozlik ehtimolini aniqlash usuli sifatida ishlatilishi mumkin.

Aytish mumkinki, ehtimollikni tan olish orqali biz kelajakka qandaydir nazariy qadam qo'yamiz, unga formulalar prizmasi orqali qaraymiz.

  • Ehtimollik - daraja (nisbiy o'lchov, miqdoriy aniqlash) qandaydir hodisaning yuzaga kelishi ehtimoli. Mumkin bo'lgan biron bir hodisaning sabablari qarama-qarshi sabablarga ko'ra ko'proq bo'lsa, bu hodisa ehtimoliy, aks holda - dargumon yoki ehtimolsiz deb ataladi. Ijobiy asoslarning salbiyga nisbatan ustunligi va aksincha, turli darajada bo'lishi mumkin, buning natijasida ehtimollik (va ehtimollik) katta yoki kamroq bo'ladi. Shuning uchun ehtimollik ko'pincha sifat darajasida baholanadi, ayniqsa ko'proq yoki kamroq aniq miqdoriy baholash imkonsiz yoki juda qiyin bo'lgan hollarda. Ehtimollik "darajalari" ning turli darajalari mumkin.

    Ehtimollarni matematik nuqtai nazardan o'rganish maxsus fan - ehtimollik nazariyasidir. Ehtimollar nazariyasida va matematik statistika ehtimollik tushunchasi hodisaning raqamli xarakteristikasi sifatida rasmiylashtiriladi - ehtimollik o'lchovi (yoki uning qiymati) - hodisalar to'plamining o'lchovi (elementar hodisalar to'plamining kichik to'plamlari) dan qiymatlarni olib.

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Ma'nosi

    (\displaystyle 1)

    Haqiqiy hodisaga mos keladi. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng (aksisi odatda har doim ham to'g'ri emas). Agar voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'lsa

    (\displaystyle p)

    Keyin uning yuzaga kelmaslik ehtimoli teng bo'ladi

    (\displaystyle 1-p)

    Xususan, ehtimollik

    (\displaystyle 1/2)

    Voqea sodir bo'lishi va sodir bo'lmasligining teng ehtimolini bildiradi.

    Ehtimollikning klassik ta'rifi natijalarning teng ehtimolligi kontseptsiyasiga asoslanadi. Ehtimollik - bu ma'lum bir hodisani ma'qullaydigan natijalar sonining teng darajada ehtimoliy natijalarning umumiy soniga nisbati. Misol uchun, tasodifiy tanga otishda "boshlar" yoki "dumlar" ni olish ehtimoli 1/2 ni tashkil qiladi, agar faqat shu ikkita imkoniyat yuzaga keladi va ular teng darajada bo'lsa. Ehtimollikning ushbu klassik "ta'rifi" cheksiz miqdordagi mumkin bo'lgan qiymatlar holatiga umumlashtirilishi mumkin - masalan, agar hodisa biron bir cheklangan maydonning istalgan nuqtasida (nuqtalar soni cheksiz) teng ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin bo'lsa. bo'shliq (tekislik) bo'lsa, u holda bu ruxsat etilgan maydonning biron bir qismida sodir bo'lish ehtimoli ushbu qismning hajmining (maydonining) barcha mumkin bo'lgan nuqtalar maydonining hajmiga (maydoniga) nisbatiga tengdir. .

    Ehtimollikning empirik "ta'rifi" hodisaning sodir bo'lish chastotasi bilan bog'liq bo'lib, etarlicha ko'p miqdordagi sinovlar bilan chastota ushbu hodisaning ob'ektiv darajasiga moyil bo'lishi kerakligiga asoslanadi. DA zamonaviy taqdimot ehtimollik nazariyasi, ehtimollik aksiomatik tarzda aniqlanadi maxsus holat to'plam o'lchovlarining mavhum nazariyasi. Shunga qaramay, mavhum o'lchov va hodisaning mumkinlik darajasini ifodalovchi ehtimol o'rtasidagi bog'liqlik aynan uni kuzatish chastotasidir.

    Muayyan hodisalarning ehtimollik tavsifi olingan keng foydalanish zamonaviy fanda, xususan, ekonometriyada statistik fizika makroskopik (termodinamik) tizimlar, bunda hatto zarralar harakatining klassik deterministik tavsifi sharoitida ham butun zarralar tizimining deterministik tavsifi amalda mumkin va mos bo'lmagan ko'rinadi. DA kvant fizikasi tasvirlangan jarayonlarning o'zi ehtimollik xususiyatiga ega.

Tasodifiy hodisa ehtimolining turli xil ta'riflari

Ehtimollar nazariyasi – matematika fani, bu ba'zi hodisalarning ehtimolliklariga ko'ra, birinchilari bilan bog'liq bo'lgan boshqa hodisalarning ehtimolini baholashga imkon beradi.

"Hodisa ehtimoli" tushunchasining ta'rifi yo'qligini tasdiqlash, ehtimollik nazariyasida ushbu tushunchani tushuntirishga bir nechta yondashuvlar mavjudligidir:

Ehtimollikning klassik ta'rifi tasodifiy hodisa .

Hodisa yuzaga kelishi ehtimoli voqea uchun qulay bo'lgan tajriba natijalari sonining tajriba natijalarining umumiy soniga nisbatiga tengdir.

Qayerda

Tajribaning ijobiy natijalari soni;

Tajriba natijalarining umumiy soni.

Tajriba natijasi deyiladi qulay voqea uchun, agar voqea tajribaning ushbu natijasida paydo bo'lgan bo'lsa. Misol uchun, agar voqea qizil kostyum kartasining paydo bo'lishi bo'lsa, unda olmos ace ko'rinishi voqea uchun qulay natijadir.

Misollar.

1) matritsaning yuzida 5 ball olish ehtimoli teng, chunki matritsa 6 ta yuzning istalganiga tushishi mumkin va 5 ball faqat bitta yuzda.

2) Tanga bir marta tashlanayotganda gerbning tushib qolish ehtimoli , chunki tanga gerb yoki dum bilan tushishi mumkin - tajribaning ikkita natijasi va gerbning faqat bir tomonida tasvirlangan. tanga.

3) Agar idishda 12 ta to'p bo'lsa, ulardan 5 tasi qora bo'lsa, qora sharni olish ehtimoli ga teng, chunki qo'ziqorinlarning jami 12 ta natijasi bor va ulardan 5 tasi qulay.

Izoh. Ehtimollikning klassik ta'rifi ikkita shartda qo'llaniladi:

1) eksperimentning barcha natijalari bir xil ehtimolga ega bo'lishi kerak;

2) tajriba cheklangan miqdordagi natijalarga ega bo'lishi kerak.

Amalda hodisalarning teng ehtimolli ekanligini isbotlash qiyin bo'lishi mumkin: masalan, tanga otish bilan tajriba o'tkazishda tajriba natijasiga tanganing assimetriyasi, uning shaklining ta'siri kabi omillar ta'sir qilishi mumkin. parvozning aerodinamik xususiyatlari, atmosfera sharoitlari va boshqalar, bundan tashqari, cheksiz ko'p natijalarga ega bo'lgan tajribalar mavjud.

Misol . Bola to'pni tashlaydi va u to'pni tashlashi mumkin bo'lgan maksimal masofa 15 metrni tashkil qiladi. To'pning 3 m belgidan tashqariga uchib ketishi ehtimolini toping.

Yechim.Istalgan ehtimollikni 3 m (qulay maydon) belgisidan tashqarida joylashgan segment uzunligining butun segment uzunligiga (barcha mumkin bo'lgan natijalar) nisbati sifatida ko'rib chiqish taklif etiladi:

Misol. Nuqta tasodifiy radiusi 1 bo'lgan aylana ichiga tashlanadi. Nuqtaning aylana ichiga chizilgan kvadratga tushish ehtimoli qanday?

Yechim.Nuqtaning kvadratga tushishi ehtimolligi bu holda kvadrat maydonining (qulay maydon) doira maydoniga (nuqta joylashgan rasmning umumiy maydoni) nisbati sifatida tushuniladi. tashlanadi):

Kvadratning diagonali 2 ga teng va Pifagor teoremasi yordamida uning tomoni bilan ifodalanadi:

Shunga o'xshash fikrlash kosmosda amalga oshiriladi: agar nuqta hajm jismida tasodifiy tanlangan bo'lsa, u holda nuqtaning hajm tanasining bir qismida bo'lish ehtimoli qulay qism hajmining umumiy hajmga nisbati sifatida hisoblanadi. tananing hajmi:

Barcha holatlarni birlashtirib, biz geometrik ehtimollikni hisoblash qoidasini shakllantirishimiz mumkin:

Agar biron bir hududda nuqta tasodifiy tanlangan bo'lsa, u holda nuqta ushbu hududning bir qismida bo'lish ehtimoli quyidagilarga teng bo'ladi:

, qayerda

Maydon o'lchovini ko'rsatadi: segmentda - bu uzunlik, tekis maydonda - bu maydon, uch o'lchovli jismda - bu hajm, sirtda , sirt maydoni, egri chiziq ustida, egri chiziq uzunligi.

Geometrik ehtimollik tushunchasining qiziqarli qo'llanilishi uchrashuv masalasidir.

Vazifa. (Uchrashuv haqida)

Ikki talaba, masalan, ertalab soat 10 da quyidagi shartlar bilan uchrashishga kelishib oldilar: har biri soat 10 dan 11 gacha istalgan vaqtda keladi va 10 daqiqa kutadi, shundan keyin u ketadi. Uchrashuv ehtimoli qanday?

Yechim.Muammoning shartlarini quyidagicha ko'rsatamiz: o'qda biz birinchi sodir bo'lgan vaqtni, o'qda esa ikkinchi vaqtni chizamiz. Tajriba bir soat davom etganligi sababli, ikkala o'qda biz 1 uzunlikdagi segmentlarni ajratamiz. Uchrashuv bir vaqtning o'zida kelgan vaqt momentlari kvadrat diagonali bilan izohlanadi.

Birinchisi bir vaqtning o'zida yetib borsin. Uchrashuv joyiga ikkinchi talabaning kelish vaqti o'rtasida bo'lsa, talabalar uchrashadilar

Vaqtning istalgan lahzasi uchun shu tarzda bahslashsak, biz uchrashish imkoniyatini talqin qiluvchi vaqt mintaqasi (birinchi va ikkinchi o'quvchilarning to'g'ri joyda bo'lgan vaqtlari kesishishi) ikki to'g'ri chiziq orasida ekanligini tushunamiz: va . Uchrashuv ehtimoli geometrik ehtimollik formulasi bilan aniqlanadi:

1933 yilda Kolmogorov A.M. (1903 - 1987) ehtimollar nazariyasini qurish va taqdim etishga aksiomatik yondashuvni taklif qildi, bu hozirgi vaqtda umumiy qabul qilingan. Rasmiy aksiomatik nazariya sifatida ehtimollik nazariyasini qurishda nafaqat asosiy tushunchani - tasodifiy hodisaning ehtimolligini kiritish, balki aksiomalar (intuitiv ravishda to'g'ri bo'lgan, isbotsiz qabul qilingan bayonotlar) yordamida uning xususiyatlarini tavsiflash ham talab qilinadi.

Bunday gaplar hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi xususiyatlariga o'xshash gaplardir.

Tasodifiy hodisaning nisbiy chastotasi - bu sinovlarda sodir bo'lgan hodisa sonining o'tkazilgan sinovlarning umumiy soniga nisbati:

Shubhasiz, ma'lum bir hodisa uchun, mumkin bo'lmagan hodisa uchun, mos kelmaydigan hodisalar uchun va quyidagilar to'g'ridir:

Misol. Keling, oxirgi bayonotni tasvirlaylik. Ularga 36 ta kartadan kartalarni chiqarishlariga ruxsat bering. Voqea olmoslarning ko'rinishini bildirsin, voqea yuraklarning ko'rinishini va voqea - qizil kostyumning kartasi paydo bo'lishini anglatadi. Shubhasiz, voqealar va bir-biriga mos kelmaydi. Qizil kostyum paydo bo'lganda, biz voqea yaqinida, olmoslar paydo bo'lganda - voqea yaqinida va qurtlar paydo bo'lganda - voqea yaqinida belgi qo'yamiz. Ko'rinib turibdiki, tadbir yaqinidagi yorliq faqat tadbir yaqinida yoki tadbir yaqinida joylashtirilsa, ya'ni. .

Tasodifiy hodisa ehtimolini quyidagi qoida bo'yicha hodisa bilan bog'langan son deb ataymiz:

Mos kelmaydigan hodisalar uchun va

Shunday qilib,

Nisbiy chastota