Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafiklari. Funktsiya. Quvvat funksiyasi Quvvat funksiyasi shaklga ega
Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Energetika funktsiyalari. Manfiy butun ko'rsatkich. Darajali funksiya grafigi"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.
9-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-sinf uchun "Algebradan qoidalar va mashqlar" interaktiv qo'llanma
9-sinf uchun multimedia darsligi "Algebra 10 daqiqada"
Salbiy ko'rsatkichli quvvat funksiyasi turi
Bolalar, biz raqamli funktsiyalarni o'rganishni davom ettiramiz. Bugungi darsning mavzusi ham daraja funksiyalari bo'ladi, lekin natural ko'rsatkichli emas, balki manfiy butun sonli.quyidagicha ko'rinadi: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Biz juda yaxshi biladigan bu funksiyalardan biri giperboladir. Bolalar, giperbola grafigini eslaysizmi? Uni o'zingiz quring.
Keling, biz uchun mos bo'lgan funktsiyalardan birini ko'rib chiqamiz va uning xususiyatlarini aniqlaymiz. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Parite bilan boshlaylik. Shuni ta'kidlash kerakki, paritet xususiyati funktsiya grafiklarini qurishni sezilarli darajada osonlashtiradi, chunki biz grafikning yarmini qurishimiz va keyin uni aks ettirishimiz mumkin.
Funktsiyamiz sohasi haqiqiy sonlar to'plamidir, noldan tashqari, biz hammamiz yaxshi bilamizki, siz nolga bo'linmaysiz. Ta'rif sohasi nosimmetrik to'plam bo'lib, biz manfiy argumentdan funktsiya qiymatini hisoblashga o'tamiz.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Bizning vazifamiz teng. Shunday qilib, biz $x≥0$ uchun grafik quramiz va keyin uni y o'qi bo'ylab aks ettiramiz.
Bolalar, bu safar men "kattalar" matematikasidagi kabi birgalikda funktsiya grafigini qurishni taklif qilaman. Birinchidan, biz funktsiyamizning xususiyatlarini aniqlaymiz, keyin esa ular asosida grafik tuzamiz. Biz $x>0$ ekanligini hisobga olamiz.
1. Domen D(y)=(0;+∞).
2. Funktsiya kamayib bormoqda. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. $x1 bo'lsin
3. Funktsiya pastdan cheklangan. Ko'rinib turibdiki, $\frac(1)(x^2)>0$, bu pastdan chegaralanganligini bildiradi.
Yuqori chegara yo'q, chunki agar biz argumentning qiymatini juda kichik, nolga yaqin olsak, u holda funktsiya qiymati ortiqcha cheksizlikka moyil bo'ladi.
4. Maksimal yoki minimal qiymat yo'q. Maksimal qiymat yo'q, chunki funktsiya yuqoridan chegaralanmagan. Eng kichik qiymat haqida nima deyish mumkin, chunki funktsiya pastdan chegaralangan.
Funksiya eng kichik qiymatga ega ekanligi nimani anglatadi?
X0 nuqtasi borki, $f(x)≥f(x0)$ domenidagi barcha x uchun, lekin bizning funktsiyamiz butun domenda kamayib bormoqda, u holda $x1>x0$ soni mavjud, lekin $f (x1) Manfiy darajali darajali funksiyalarning chizmalari
Funktsiyamizning grafigini nuqtalar bo'yicha tuzamiz. 
Funktsiyamizning grafigi giperbolaning grafigiga juda o'xshaydi.
Parite xususiyatidan foydalanamiz va grafikni y o'qi bo'ylab aks ettiramiz. 
Barcha x qiymatlar uchun funksiyamizning xossalarini yozamiz.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) juft funksiya.
3) (-∞;0] ga ortadi, ga kamayadi.
Yechim. Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab pasayadi, so'ngra segmentning oxirida maksimal va minimal qiymatlarga etadi. Eng katta qiymat segmentning chap uchida $f(1)=1$, eng kichiki o'ng uchida $f(3)=\frac(1)(27)$ bo'ladi.
Javob: Eng katta qiymat 1, eng kichiki 1/27.
Misol. $y=(x+2)^(-4)+1$ funksiyasini chizing.
Yechim. Funksiyamiz grafigi $y=x^(-4)$ funksiya grafigidan uni ikki birlik chapga va bir birlik yuqoriga siljitish orqali olinadi.
Keling, grafik tuzamiz: 
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
1. $y=\frac(1)(x^4)$ funksiyaning segmentdagi eng kichik va eng katta qiymatini toping.2. $y=(x-3)^(-5)+2$ funksiya grafigini tuzing.
y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x funktsiyalari - quvvat funktsiyasining maxsus turlari n = 1, n = 2, n = -1 .
Agar n kasr son p/
q teng maxraj bilan q va toq hisoblagich R, keyin qiymat 
ikkita belgiga ega bo'lishi mumkin va grafik x o'qining pastki qismida yana bir qismga ega X, va u yuqori qismga simmetrikdir.
Ikki qiymatli funktsiyaning grafigini ko'ramiz y \u003d ± 2x 1/2, ya'ni. 
gorizontal o'qi bo'lgan parabola bilan ifodalanadi.
Funktsional grafiklar y = xn da n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Bu grafiklar (1; 1) nuqtadan o'tadi.
Qachon n = -1 olamiz giperbola. Da n < - 1 quvvat funksiyasining grafigi birinchi navbatda giperbolaning ustida joylashgan, ya'ni. orasida x = 0 va x = 1, keyin esa pastda (da x > 1). Agar a n> -1 grafik teskari ishlaydi. Salbiy qiymatlar X va kasr qiymatlari n ijobiy uchun o'xshash n.
Barcha grafiklar x o'qiga nisbatan cheksiz yaqinlashadi X, shuningdek, y o'qiga da ular bilan aloqa qilmasdan. Giperbolaga o'xshashligi uchun bu grafiklar giperbola deb ataladi. n th buyurtma.
1. “Kuch funksiyasining xossalari” mavzusidagi o‘quv adabiyotlarini tahlil qilish.
Quvvat funksiyasini o‘rganish 7-sinfda maxsus holatlardan boshlanib, butun algebra kursida davom etadi. 11-sinfgacha kuch funksiyasi haqidagi bilimlar umumlashtiriladi, kengaytiriladi va tizimlashtiriladi.
Ushbu o'quv adabiyotini tahlil qilish asosida didaktik qo'llanmaning mazmunini qurish uchun o'quv adabiyotlari tahlili 9-sinf uchun amalga oshirilishi kerak.
Darslik: “Algebra. 9-sinf”. Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemozina, 2009)
Darslikda butun ko‘rsatkichli darajali funksiyalar ko‘rib chiqiladi. "Quvvat funktsiyasi" mavzusidagi nazariy material "bo'limga kiritilgan. Raqamli funksiyalar» funktsiyalarning o'zi ham, ularning xususiyatlari va grafiklari ham ko'rib chiqiladigan alohida paragraflarda.
Maktab o'quvchilari uchun ochiq bo'lgan materiallarning taqdimoti, shu jumladan katta raqam 1-qismda (darslikda) batafsil va puxta echimlar bilan misollar va mashqlar mustaqil ish 2-qismga (muammolar kitobida) joylashtirilgan.
Materialni o'rganish tuzilishi:
3-BOB Raqamli funksiyalar
§12. Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.
§13. Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.
§o'n to'rt. Funksiyalar, uning xossalari va grafigi.
Keyinchalik, kuch funktsiyalari tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan funktsiyalar sifatida aniqlanadi (birinchi navbatda, kuch funktsiyalarining maxsus holatlari beriladi, keyin umumiy formula ochiladi). Biz juft darajali darajali funksiyalarni, ularning grafiklarini ko'rib chiqamiz, ular orqali xossalari keyinchalik ochiladi (qiymat diapazoni va funktsiyani aniqlash sohasi, juft va toq, monotonlik, uzluksizlik, funktsiyaning maksimal va minimal qiymati, qavariq). Keyinchalik, biz toq ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarini, shuningdek, ularning grafiklari va xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
§ 13 da manfiy darajali darajali funksiyalar aniqlangan: avval juft funksiyalar, keyin toq funksiyalar. Tabiiy ko'rsatkichli quvvat funktsiyalariga o'xshab, maxsus holatlar berilgan:
Shundan so'ng, umumiy formula ochiladi, grafiklar va xususiyatlar ham ko'rib chiqiladi.
14-§da biz funktsiyani kiritamiz
uning xossalari va grafigi sifatida maxsus holat n = ratsional ko'rsatkichli quvvat funksiyasi
Grafiklarning o'zgarishi (simmetriya) shundan iboratki, juft funktsiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrik, toq funksiya grafigi esa koordinatali. Shuning uchun, dasht funktsiyalari uchun biz ko'rib chiqamiz berilgan funksiya ma'lum bir nurda uning grafigi quriladi va simmetriyadan foydalanib, butun son chizig'ida grafik quriladi. Keyinchalik, grafik o'qiladi, ya'ni grafik bo'yicha funktsiyaning xususiyatlari sxema bo'yicha ro'yxatga olinadi:
1) ta'rif sohasi;
2) juft, toq;
3) monotonlik;
4) pastdan, yuqoridan chegaralanganlik;
5) eng kichik va eng katta qiymat funktsiyalari;
6) uzluksizlik;
7) qiymatlar diapazoni;
8) bo'rtib ketish.
a) x = 0 va y = 0 da qiymatlar olinadigan nuqtada kelib chiqishi bilan yordamchi koordinatalar tizimiga o'tadi.
b) funktsiyani "bog'laydi" yangi tizim koordinatalar.
Misol 3. Funksiya grafigini tuzing
Yechim. (-1; -2) nuqtada (117-rasmdagi kesik chiziqlar) koordinatali yordamchi koordinatalar tizimiga o‘tamiz va funksiyani yangi koordinatalar sistemasiga “biriktiramiz”. Biz kerakli jadvalni olamiz (117-rasm)
Muammoli kitobda “Algebra. 9-sinf”. Mordkovich A. G. va Semenov P. V. tahririyati ostida turli xil mashqlar tizimi taqdim etilgan. Mashqlar majmuasi ikki blokga bo'lingan: birinchisi ikkita asosiy darajadagi vazifalarni o'z ichiga oladi: og'zaki (yarim og'zaki) va o'rtacha qiyinchilikdagi vazifalar; ikkinchi blokda o'rtacha yoki qiyinchilikdan yuqori darajadagi vazifalar mavjud. Ikkinchi va uchinchi darajali topshiriqlarning aksariyatiga javob beriladi. Vazifalar kitobida grafiklarni chizish uchun juda ko'p turli xil vazifalar mavjud. har xil turlari quvvat funksiyasi va uning grafigidan funksiya xossalarini aniqlash. Masalan:
№ 12.10. Funktsiyani chizing:
№ 12.15. Tenglamani grafik usulda yeching
№ 12.19. Funksiya grafigini tuzing va o‘qing
Funksiya grafigini tuzing va o‘qing
Darslik: “Algebra. 9-sinf”. Nikolskiy S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Ma'rifat, 2006)
Ushbu darslik umumta'lim sinflari uchun ham mo'ljallangan bo'lib, unda qo'shimcha materiallar va murakkab topshiriqlar qoldirilishi mumkin. Agar soatlar yetarli bo'lsa, sinfda matematikaga qiziqish bo'lsa, darslik boblari oxiridagi qo'shimchalar, shuningdek, oddiy umumta'lim sinflarida ixtiyoriy bo'lgan yulduzcha bilan berilgan ballar va individual topshiriqlar tufayli u o‘rganilayotgan material mazmunini matematikani chuqur o‘rganadigan sinflar uchun dasturda nazarda tutilgan hajmgacha kengaytirish va chuqurlashtirish mumkin. Ya’ni, darslikdan oddiy darslarda ham, matematika chuqurlashtirilgan darslarda ham foydalanish mumkin.
Materialni o'rganish tuzilishi:
II-BOB. Darajasi
§ to'rt. daraja ildiz
4.1 Funktsiya xususiyatlari
4.2 Funksiya grafigi
4.3 Darajaning ildizi haqida tushuncha
4.4 Juft va toq ildizlar
4.5 Arifmetik ildiz
4.6 Ildizlarning xossalari
4.7 * Natural sonning ildizi
4.8 * Funktsiya
Mavzuni o'rganish funksiyaning xossalari (masalan, n = 2 va n = 3) va uning grafigidan boshlanadi. Keyin n-chi ildizni, arifmetik ildizni va n-chi ildizlarning xossalarini va ularning ifodalarni oʻzgartirishga qoʻllanishini oʻrganamiz. Matematika chuqurlashtirilgan darslarda quyidagi mavzular qo‘shimcha ravishda ko‘rib chiqiladi: “Funksiya”, “Ratsional ko‘rsatkichli kuch va uning xossalari”.
Funksiyalar bir qancha bir xil xossalarga (domen, funksiyaning nollari, juftlik, toqlik, uzluksizlik, monotonlik intervallari) ega ekanligi aytiladi. Shuning uchun umumiy holatda funktsiyani ko'rib chiqish maqsadga muvofiqdir, bu erda qandaydir natural son, . Funksiya grafigining ta'rifini kiritish parabolaning ta'rifi orqali amalga oshiriladi. Ya'ni, ko'ra ma'lum fakt funktsiya grafigi parabola bo'lsa, u holda bu grafik ikkinchi darajali parabola, funktsiya grafigi th darajali parabola yoki qisqacha parabola deb ataladi. Funktsiya xossalari faqat manfiy bo'lmaganlar uchun ba'zi dalillar bilan ko'rib chiqiladi.
Funktsiya grafigini qurishni o'rganish faqat manfiy bo'lmagan qiymatlar uchun bir koordinata tekisligida funktsiyalar grafiklarini ko'rsatishdan boshlanadi.
Funktsiyani o'rganish darajaning arifmetik ildizi haqida ilgari olingan bilimlarga asoslanadi. Funksiya grafigini qurish dekart koordinatalar sistemasida amalga oshiriladi. Boshlash uchun daraja funksiyasi va uning grafigini O koordinatalar sistemasida qurish ko'rib chiqiladi.Shunday qilib, funksiya grafigi darajali parabolaning bir qismi ekanligi isbotlangan.
1) Agar x = 0 bo'lsa, y = 0 bo'ladi.
2) Agar bo'lsa.
3) Funktsiya ortib bormoqda.
4) Agar bo'lsa.
5) Funksiya uzluksiz.
“Quvvat funksiyasi” mavzusidagi mashqlar tizimi xilma-xildir. Unda og'zaki va yozma o'quv topshiriqlari mavjud. Masalan:
No 316. Funksiya berilgan
Ushbu funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.
#318 Funksiyaning grafigini tuzing
№ 321. Bitta koordinata tizimida funksiyalar grafiklarini tuzing
№441 Funksiya grafigini tuzing:
#442 Funksiya grafigini tuzing:
Darslik: “Algebra. 9-sinf". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Ma'rifat, 2009)
Ushbu darslik umumta’lim maktablari uchun mo‘ljallangan.
Materialni o'rganish tuzilishi:
IV BOB. Ratsional darajali daraja
§9. Quvvat funktsiyasi
21. Juft va toq funksiyalar
22. Funktsiya
§ o'n. Ildiz n-daraja
23. n daraja ildizini aniqlash
24. n-darajali arifmetik ildizning xossalari
§o'n bir. Ratsional darajali daraja va uning xossalari
25. Kasr ko‘rsatkichi bilan darajani aniqlash
26. Ratsional darajali xossalar
27. Darajani o'z ichiga olgan ifodalarni kasr ko'rsatkichlari bilan o'zgartirish
Quvvat funktsiyasini o'rganish argumentning ikkita qarama-qarshi qiymati uchun funktsiya qiymatlarini taqqoslash misollari yordamida juft va toq funktsiyalar tushunchalarini kiritish bilan boshlanadi. Keyinchalik, mos keladigan grafiklarni qurish bilan juft va toq funktsiyaning ta'rifi beriladi.
Aytishlaricha, = 1, 2 va 3 dagi quvvat funktsiyalari (ya'ni funksiyalar), ularning xossalari va grafiklari avvalroq o'rganilgan. Keyinchalik, quvvat funktsiyasining xususiyatlari va har qanday natural son uchun uning grafigining xususiyatlari aniqlangan. Funktsiyalar n ko'rsatkichi juft son bo'lsa, n toq son bo'lganda hisobga olinadi. Xususiyatlarni sxema bo'yicha misollar bo'yicha tahlil qiling:
1. Ta'rif sohasi;
2. Qiymat doirasi;
3. Funktsiya nollari;
4. Paritet;
5. g'alati;
6. Funksiyaning monotonligi.
Bobning keyingi bo'limi n-chi ildizga bag'ishlangan bo'lib, unda ta'rif kiritiladi va xususiyatlari ko'rib chiqiladi.
Ta'rif takrorlanadi: kvadrat ildiz a sonidan kvadrati a ga teng bo'lgan shunday son deyiladi. Har qanday tabiiy n darajaning ildizi xuddi shunday aniqlanadi: a sonidan n-darajali ildiz shunday son, n-daraja a ga teng. Buning uchun birinchi navbatda n toq darajali darajali funktsiyani va uning grafigini ko'rib chiqamiz, bu har qanday a soni uchun yagona x qiymat mavjudligini ko'rsatadi, uning n-darajasi a ga teng. Keyin teng darajali n bo'lgan quvvat funktsiyasi ko'rib chiqiladi, bundan tashqari, agar x ning ikkita qarama-qarshi qiymati bo'lsa, bunday son uchun bitta (0 raqami), chunki bunday raqamlar yo'q.
Bob oxirida ratsional ko'rsatkichli daraja va uning xususiyatlari ko'rib chiqiladi.
Mashqlar tizimi xilma-xildir. Masalan:
№ 503. Funktsiyani chizish
№ 508. Tenglamani grafik usulda yechish
№ 513. Funksiya grafigidan foydalanib, tenglamani yeching
№ 580. Funktsiyani chizing
№ 644. f funktsiyaning g'alati ekanligini va uning qiymatini formula orqali topish mumkinligini bilib, uning grafigini tuzing
№ 643. Funktsiyani chizing
№ 663. Funksiya grafigini tuzing. Grafikdan foydalanib, ildizlarning qiymatini solishtiring
№ 669. Funktsiyani chizing
Darslik: “Algebra. 9-sinf". Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov va boshqalar (“Ma’rifat”, 2009).
Bu mavzuni o`rganishda funksiyalarning xossalari va bu xossalarning grafiklarda ko`rsatilishiga alohida e`tibor beriladi. Shu bilan birga, funktsiya grafiklarining eng oddiy o'zgarishlarini bajarish uchun boshlang'ich ko'nikmalar shakllanadi.
Materialni o'rganish tuzilishi:
III-BOB. Quvvat funktsiyasi
§12. Funktsiya doirasi
§13. Funktsiyaning o'sishi va kamayishi
§o'n to'rt. Juft va toq funksiyalar
§o'n besh. Funktsiya
§16. Kuchli tengsizliklar va tenglamalar
Bu bobning asosiy maqsadi talabalarni kuch funksiyasi bilan tanishtiribgina qolmay, balki butun funksiyaning xossalari (domen, monotonlik, juftlik va toqlik funksiyasi) haqidagi ma’lum ma’lumotlarni kengaytirish, ko‘nikma hosil qilishdan iborat. berilgan grafik bo'yicha funktsiyalarni tekshirish;
Ushbu bobning materialini o'rganishda talabalarning funktsional tasavvurlari chuqurlashadi va sezilarli darajada kengaytiriladi.
§12 funktsiyaning ta'rifi, argumenti va funksiya doirasini shakllantiradi. Funktsiya grafigining ta'rifi, uni qurish usullari, shu jumladan elementar o'zgartirishlar yordamida esga olinadi.
13-bo'limda quvvat funksiyasi tushunchasi keltirilgan. Misollar va ta'rif sohasi ochib berilgan; ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyaning ta’riflari esga olinadi, kuch funksiyasining ortishi va kamayishi ta’riflari beriladi.
Juft va toq funktsiya g'oyasi talabalarga vizual darajada beriladi. O'quv qo'llanma ikkita vazifani o'z ichiga oladi, ularda funktsiyani chizish kerak va. Bu funksiyalarning xossalari o’rganilib, simmetriya asosida juft yoki toq funksiyalar tushunchalari berilgan.
§15da talabalar k ning turli qiymatlari uchun funktsiya haqida tasavvurga ega bo'ladilar, funktsiya grafigini qurishni va uni o'qishni o'rganadilar (ya'ni, uning grafigidan funktsiyaning xususiyatlarini aniqlaydilar). Funksiya yordamida faqat 8-sinf algebra kursida tilga olingan teskari proporsionallik tushunchasiga oydinlik kiritiladi.
Funksiyani k > 0 uchun o‘rganishda dastlab funksiya kuch qonunining maxsus holati sifatida taqdim etiladi: k parametrining o‘zgarishini hisobga olgan holda.
Paragraf to'rtta muammoni ko'rib chiqadi, ularda funktsiya grafiklarini tuzish kerak bo'ladi. 1-masalada funksiya grafigini tuzish uchun funksiyaning oldingi paragraflarda o‘rganilgan barcha xossalaridan foydalaniladi. 2-masalada funksiyalar grafiklarini qurishda va allaqachon ma'lum bo'lgan funksiya grafigini abscissa o'qi bo'ylab 2 marta cho'zish qo'llaniladi. Va bu ikki masala asosida va uchun funksiyaning xossalari tuzilgan.
4-topshiriqda funktsiya grafigini qurish talab qilinadi (1-2-topshiriqlar asosida), ya'ni bu funksiya grafigini Ox o'qi bo'ylab funktsiya grafigini birdan o'ngga va bo'ylab siljitish orqali qurish mumkin. Oy o'qi 2 birlik pastga.
Mashqlar tizimi har xil turdagi vazifalarni taqdim etadi: majburiy va qo'shimcha murakkablikdagi vazifalar.
Quvvat funksiyalarining grafiklarini tuzish vazifalari orasida quyidagi mashqlarni ajratib ko'rsatish mumkin:
№ 164. Grafikni chizing va o'sish va kamayuvchi funktsiyalar oraliqlarini toping
№ 166. Qachon funksiya grafigining eskizini chizing
№ 171. Grafikni tuzing va o'sish va kamayuvchi funktsiyalar oraliqlarini toping
No 174. Funksiya grafigini chizing
No 179. Funksiyaning xossalarini toping va grafigini tuzing
#180 Funksiya grafigi
№191 Funksiya grafigi
#218 Funksiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlang
Materialni o‘rganuvchi talabalar aniqlanish sohasi, juft va toq funksiyalar, intervaldagi ortib va kamayuvchi funksiyalar kabi tushunchalarni o‘zlashtiradilar.
Talabalar 8-sinf algebra kursida funktsiyalarning ortishi va kamayishi tushunchasi bilan tanishdilar, lekin faqat ushbu mavzuni o'rganishda ushbu tushunchalarning ta'riflari shakllanadi va shuning uchun aniq funktsiyaning intervalda ortishi yoki kamayishini analitik isbotlash mumkin bo'ladi. (ammo bunday dalillar talab qilinadigan ko'nikmalar qatoriga kirmaydi) . Talabalar funktsiyaning o'sish oraliqlarini ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigidan foydalanib topishni o'rganadilar.
Mavzuni o'rganayotganda kasr ko'rsatkichli daraja funksiyasiga misollar ko'rib chiqilmaydi, chunki bu kursda ratsional darajali daraja tushunchasi kiritilmagan.
Har bir aniq funktsiyani (jumladan, funktsiyalarni) o'rganishda talabalar ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigining eskizini chizish va grafik bo'yicha uning xususiyatlarini sanab o'tishlari mumkin.
Darslik: “Algebra. Chuqur o'rganish. 9-sinf”. Mordkovich A. G. (Mnemozina, 2006)
Biz darslikni 2006 yil uchun oldik, chunki bu darslik keyingi nashrlardan farqli o'laroq, mavzu darajasini oqilona ko'rsatkich bilan o'z ichiga oladi. Umuman olganda, hozirgi vaqtda ushbu mavzu o'rta maktabda o'rganiladi, ammo multimedia qo'llanmasiga biz uni propedevtik material sifatida kiritdik.
Kitob 9-sinfda matematika kursini chuqur o‘rganishga mo‘ljallangan o'rta maktab. Ushbu darslik 9-sinf uchun darslik asosida yaratilgan ta'lim muassasalari(A. G. Mordkovich. Algebra-9). Xuddi shu dasturni amalga oshiradi, ammo farq kursning tegishli masalalarini chuqurroq o'rganishdadir: oddiy misollar yanada murakkab va qiziqarli bo'lganlar bilan almashtiriladi.
Materialni o'rganish tuzilishi:
4-BOB. Quvvat funksiyalari. Darajalar va ildizlar
§17. Manfiy butun sonli darajali quvvat
§o'n sakkiz. Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari
§19. tushuncha ildiz n haqiqiy sondan daraja
§ yigirma. Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari
§21. n- ildizning xossalari
§22. Radikallarni o'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish
§23. Ko'rsatkich tushunchasini umumlashtirish
§24. Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari
18-§da gaplashamiz Butun sonli darajali quvvat funktsiyalari haqida, ya'ni funksiyalar haqida va hokazo. Ushbu paragraf nuqtalarga bo'lingan:
Muallif buni eslaydi eng oddiy holat bunday funktsiya 7-sinfda ko'rib chiqilgan - bu funktsiya edi. Ushbu bo'lim funktsiyani muhokama qilish bilan boshlanadi. Grafik quriladi va bu funksiyaning xossalari ma'lum tartibda ro'yxatga olinadi: 1) ta'rif sohasi; 2) juft, toq; 3) monotonlik; 4) pastdan, yuqoridan chegaralanganlik; 5) funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari; 6) uzluksizlik; 7) qiymatlar diapazoni; 8) bo'rtib ketish.
Xususiyatlar grafikdan o'qildi, endi analitik ravishda ushbu xususiyatlarning bir qatori mavjudligini isbotlash taklif etiladi.
Muallif har qanday quvvat funksiyasining grafigi funksiya grafigiga o‘xshash, faqat uning shoxlari yuqoriga yo‘naltirilgan va segmentdagi x o‘qiga ko‘proq bosilgan degan xulosaga keladi va egri chiziq nuqtadagi x o‘qiga tegishini qayd etadi. (0; 0).
Paragraf oxirida funksiya grafigini qurishga misol keltiriladi Qurilish: 1) koordinatalar koordinata tizimiga (1; -2) nuqtada koordinatalar koordinatalariga o'tish; 2) egri chiziqni yasash.
1) Funktsiya
Toq darajali darajali funktsiyaning xossalari va grafigi birinchi navbatda grafigi kubik parabola bo'lgan funksiya misolida ko'rib chiqiladi.
Muallif, har qanday quvvat funksiyasining grafigi funksiya grafigiga o‘xshash degan xulosaga keladi, faqat ko‘rsatkich qanchalik katta bo‘lsa, grafik shoxlari shunchalik tik yuqoriga (va shunga mos ravishda pastga) yo‘naltiriladi va egri chiziq x o‘qiga tegishini qayd etadi. nuqtada (0; 0).
Quyida tenglamani yechishda daraja funksiyasining grafigidan foydalanishga misol keltirilgan. Yechish 4 bosqichda amalga oshiriladi: 1) ikkita funktsiya ko'rib chiqiladi: va; 2) funksiya grafigini tuzish; 2) fitna chiziqli funksiya; 4) kesishish nuqtasini toping va tekshiring.
2) Funktsiya
Biz manfiy butun ko'rsatkichli (hatto) quvvat funktsiyalari haqida gapiramiz. Avval funksiya misolini ko‘rib chiqamiz. Grafik quriladi va bu funktsiyaning xususiyatlari ro'yxatga olinadi. Xususan, funksiyaning kamayish xususiyati isbotlangan.
multimedia vizualizatsiya funktsiyasi maktab matematikasi
3) Funktsiya
Bunda manfiy butun ko'rsatkichli (toq) darajali funksiyalar ko'rib chiqiladi: va hokazo. Muallif shunday funksiyalardan biri allaqachon 8-sinfda o'rganilganini eslatadi - bu. Uning xossalari va grafigi (giperbola) esga olinadi va har qanday funksiyaning grafigi giperbolaga o'xshash degan xulosaga keladi.
19-§da haqiqiy sonning n-chi ildizi tushunchasi berilgan va xususan, har qanday manfiy bo'lmagan sondan istalgan darajadagi (ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar) ildizni ajratib olish mumkinligi ta'kidlangan. manfiy sondan esa istalgan toq darajaning ildizini ajratib olish mumkin.
20-§da biz berilgan funktsiya haqida gapiramiz va ma'lum bir misol (at) yordamida uning grafigi va xususiyatlarini o'rganamiz. Funktsiya grafigi va funksiya grafigi ko'rsatilgan rasmga ko'ra, bu grafiklarning simmetriyasi aniqlanadi va keyin analitik tasdiqlanadi.
Xuddi shu paragrafda funktsiya har qanday qiymatlar uchun toq holatda ko'rib chiqiladi. Biz ushbu funktsiyaning xususiyatlari haqida gapiramiz va grafik tuzamiz.
Agar juft son bo'lsa, funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. bitta;
Agar toq son bo'lsa, funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi. 2.
24-§da biz shaklning funktsiyasini ko'rib chiqamiz - har qanday haqiqiy son (biz o'zimizni ratsional eksponent holatlari bilan cheklaymiz).
1. Agar natural son bo'lsa, biz funktsiyani olamiz (grafiklar va xususiyatlar ma'lum)
2. Agar, u holda biz funktsiyani olamiz, ya'ni. Agar tekis grafik shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 3a, toq grafik bo'lsa, shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 3b
guruch.
3. Agar, ya'ni, biz funktsiya haqida gapiradigan bo'lsak, u holda bu funktsiya, qaerda
Shaklning har qanday quvvat funktsiyasi uchun vaziyat taxminan bir xil, bu erda:
1. - noto'g'ri kasr (hisob maxrajdan katta). Uning grafigi parabola shoxiga o'xshash egri chiziqdir. Indeks qanchalik baland bo'lsa, bu egri chiziq yuqoriga yo'naltiriladi. Grafik quriladi va xususiyatlar beriladi.
2. - to'g'ri kasr () (§ 20). Grafik quriladi va xususiyatlar beriladi.
Grafik quriladi va xususiyatlar beriladi.
Muammoli kitobda “Algebra. Chuqur o'rganish. 9-sinf”. Zavich L. I., Ryazanovskiy A. R. turli xil mashqlar tizimini taqdim etadi. Vazifalarning murakkabligi ularning seriya raqamlari ortishi bilan ortadi. Vazifalar kitobida har xil turdagi quvvat funktsiyalarining grafiklarini tuzish, uning xususiyatlarini o'rganish va qo'llash uchun juda ko'p turli xil mashqlar mavjud.
Masalan:
№ 17.05. Bitta chizma bo‘yicha funksiya grafiklarini qurish
Syujet funktsiyalari
№ 17.35. Funktsiyani chizing
va grafikdan foydalanib, uning monotonlik oraliqlarini, ekstremum nuqtalarini, ekstremasini va nol sonini ko'rsating.
Funksiya grafiklarini tuzing:
№ 19.01. Bitta chizma bo‘yicha funksiya grafiklarini qurish
№ 19.04. Syujet funktsiyalari
№ 19.22. Syujetli grafiklar va xususiyatlarni o'rganish
№ 21.01. Bitta chizma asosida funksiyalar grafiklarini va bilan birga tuzing va funksiya xossalarini sanab bering: a) aniqlanish sohasi D (y); b) qiymatlar to'plami E(y); c) funksiya nollari; d) monotonlik intervallari; e) qavariqlik intervallari; f) ekstremal nuqtalar; g) ekstremal; h) juft yoki toq; i) eng katta va eng kichik qiymatlar.
№ 21.03. Quyidagi xususiyatlarni chizing va o'rganing
№ 21.11. Bitta chizma bo‘yicha funksiya grafiklarini qurish
segmentida
№ 21.17. Syujet funktsiyalari
№ 25.01. Xuddi shu chizma asosida quyidagi funksiyalar juftliklarining grafik eskizlarini tuzing
№ 25.05. Funksiya grafiklarini chizing va ularning xossalarini tavsiflang
№ 25.06. Qo'shni chizmalar bo'yicha funktsiya grafiklarini qurish
№ 25.18. Syujet funktsiyalari
№ 25.30. Syujet funktsiyalari
O'quv adabiyotlarini tahlil qilish bizga ba'zi xulosalar chiqarish imkonini beradi
Asosiy standartni hisobga olgan holda umumiy ta'lim Matematikada biz o'quvchilar quvvat funktsiyasining quyidagi turlarini o'rganishi kerakligini ko'ramiz:
Maxsus holatlar (to'g'ridan-to'g'ri, teskari proportsionallik, kvadrat funktsiya),
Tabiiy ko'rsatkich bilan
Butun son bilan
Ijobiy ratsional ko'rsatkich bilan,
Ratsional ko'rsatkich bilan,
Mantiqsiz ko'rsatkich bilan,
haqiqiy ko'rsatkich bilan.
Ushbu mavzuda funktsiya grafiklarining tasvirini shakllantirish muhim rol o'ynaydi. Shuningdek, talabalar quyidagilarni bilishlari kerak: funksiyaning grafigiga ko‘ra xossalarini aniqlash; o‘rganilayotgan funksiyalarning xossalarini tavsiflash, ularning grafiklarini qurish. Standartni ko'rib chiqish "Quvvat funktsiyasi" mavzusi maktab o'quvchilarining bilim, ko'nikma va ko'nikmalarining majburiy minimumiga kiritilgan degan xulosaga kelishimizga imkon beradi va shuning uchun bizning unga bo'lgan e'tiborimiz to'liq oqlanadi.
Quvvat funktsiyasi haqida kuchli ko'nikma va ko'nikmalarni shakllantirish uchun biz ko'chib o'tayotgan "Kuch funktsiyasining xususiyatlari" mavzusining metodologiyasini o'rganish kerak.
2.Maktabda “Davlat funksiyasining xossalari” mavzusini o’rganishning uslubiy asoslari
Quvvat funksiyasi elementar funksiyalar sinfiga kiradi.
Uni o'rganishdan maqsad o'quvchilarni quvvat funksiyasi bilan tanishtirishdan tashqari, umuman funksiyalarning xossalari haqida biladigan ma'lumotlarni kengaytirishdir.
"Quvvat funksiyasi" mavzusini o'rganishda ular asosan analitik va grafik usuli funktsional tadqiqotlar. Analitik tadqiqotni talabalar tomonidan idrok etish qiyin bo'lgan hollarda grafik usullar qo'llaniladi, ammo ikkinchisi dalil sifatida xizmat qila olmaydi.
Talabalar ko'p sonli grafik ishlarni bajaradilar, bunda nafaqat ularni amalga oshirishning aniqligi va to'g'riligiga, balki grafiklarni qurishning oqilona usullariga ham e'tibor berishadi.
Kuchli funktsiyaning grafiklarini qurish va o'qish bo'yicha kuchli malakalarni shakllantirish, har bir o'quvchining asosiy turdagi vazifalarni mustaqil ravishda bajarishini ta'minlash, faqat o'quvchilar etarli miqdordagi o'quv mashqlarini bajarishlari mumkin.
Masalan, "Matematika maktabida" jurnalida Lopatina, L.V. quyidagi o'quv qo'llanmasini taqdim etadi:
Dars-seminar talabalarni o'z mehnatlari bilan bilim olishga qaratilgan. Bu pedagogikani rivojlantirishning asosiy leytmotividir. "Quvvat funktsiyasi" mavzusi butun sinfning ijodiy ishi uchun juda mos keladi, chunki quvvat funktsiyasi (, qayerda bor ratsional son) aslida ko‘rsatkichga qarab turli xossalarga ega bo‘lgan funksiyalar to‘plamidir.
Bu xususiyatlarni muhokama qilish eng yaxshi guruhlarda tashkil etilgan. Buning uchun sinfni oltita guruhga bo'lish maqsadga muvofiqdir.
Avvalo, o'qituvchi "ustaxona"dagi ishlarning ketma-ketligini tasavvur qilishi kerak:
I bosqich - induksiya - oldingi tajribaga murojaat qilish;
III bosqich - bo'shliq - talabalar o'zlarining bilimlarida o'zlari to'ldirishlari kerak bo'lgan bo'shliqlar mavjudligini tushunishlari kerak bo'lgan vaqt;
IV bosqich - aks ettirish - assimilyatsiya darajasini aniqlash.
Keling, darsning har bir bosqichini batafsilroq tasvirlab beraylik.
I bosqich - induksiya. O'qituvchi sinf allaqachon funktsiyalar, ularning xususiyatlari va grafiklarini o'rganganligini eslatadi. Bu funksiyalarni umumiy formula bilan aniqlash mumkin: , bu yerda - qandaydir butun son. Bunday funktsiya quvvat funktsiyasi deb ataladi. Sinfga quyidagi vazifa beriladi: yangi funktsiyani o'rganishda javob berishimiz kerak bo'lgan savollarni sanab o'tish.
Sinf bu savollarni guruhlarda muhokama qiladi, so'ngra boshqa guruhlarning barcha savollari bitta ro'yxatda to'planadi:
Bu funksiya qanday xususiyatlarga ega?
· Uning jadvali qanday?
U qanday holatlarda qo'llaniladi?
Keling, oxirgi savolga javob berishdan boshlaylik. Quvvat funksiyasi paydo bo'ladigan bir nechta holatlarga misollar keltiraylik.
Uch nafar talaba navbat bilan doskaga chiqib, uyda tayyorlangan xabarlarni tayyorlaydi.
Birinchi talaba sim diametrining ko'ndalang kesimi maydoni bo'lgan funktsiyani ko'rib chiqadi. Tinglovchilar bu quvvat funksiyasi aslida kvadratik funktsiya ekanligini, lekin argument qiymatiga cheklovlar bilan e'tibor berishadi.
Ikkinchi talaba ikki massali jismning tortishish kuchi formula bilan ifodalanishini aytadi. Bu jismlar orasidagi masofaning funksiyasi. Sinfda bir o'quvchi bo'ladi, u biz buni maxsus o'rganmagan bo'lsak-da, biz allaqachon bunday funktsiyani chizganimizni sezadi.
Uchinchi talaba ufqning kuzatuvchidan uzoqligini tahlil qiladi: . Bu kuzatuvchining dengiz sathidan ko'tarilgan balandligining funktsiyasidir. Agar yigitlarning o'zlari buni sezmagan bo'lsalar, unda o'qituvchi bu erda qiymat cheksiz ko'tarilmasligini ta'kidlashi kerak. Darhaqiqat, kuzatuvchi qanchalik baland ko'tarilgan bo'lmasin, u o'z ko'rish imkoniyatlari va globus bo'rtib ko'rganidan ortiq narsani ko'ra olmaydi. Ushbu misol, ayniqsa, ko'rsatkichdir, chunki u funktsiya qiymatlari bo'yicha cheklovlarning to'g'riligini baholashga imkon beradi. Bu erda biz funktsiya qiymatlariga ba'zi cheklovlar qo'yishimiz kerak, garchi qiymatlar nazariy jihatdan cheksiz ravishda oshishi mumkin.
II bosqich - mavzuni muhokama qilish. Talabalarga tanlagan quvvat funksiyalaridan birining xususiyatlarini tahlil qilish uchun biroz vaqt beriladi. asosiy muammo Bu yerda funksiya tanlashda. Bir guruh barcha talabalarga yaxshi ma'lum bo'lgan ko'rish funktsiyasi bilan cheklanib, vazifani soddalashtirishga intiladi. Boshqa bir guruh ko'rinish vazifasini yoki hatto ikkalasini birgalikda o'z zimmasiga olib, o'z ishini ortiqcha murakkablashtiradi, garchi savolga umumiy yondashuv hali o'quvchilar uchun tushunarli emas.
Oxir-oqibat, grafiklari allaqachon ko'rib chiqilgan funktsiyalarni tanlagan guruhlar mavjud, garchi ularga kerakli urg'u berilmagan bo'lsa ham.
Birinchi guruh turning vazifasini ko'rib chiqdi; uning ta'rifi maydonini belgiladi: va funktsiyaning nol qiymati. Yigitlar, ayniqsa, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib borishiga e'tibor qaratishdi. Biz funktsiya noldan katta yoki kichik bo'lgan intervallarni ajratib oldik. Ma'ruzachilar bu funksiya g'alati ekanligini va na eng katta, na eng kichik qiymatga ega ekanligini ta'kidladilar.
Bu guruhdan bir o'quvchi sinfga so'zlaydi, u guruhdagi tadqiqot natijalari haqida gapiradi.
Ikkinchi guruh ko'rib chiqiladigan funktsiyani tanladi. Yigitlar endi funktsiyani aniqlash maydonidan 0 raqamini chiqarib tashlashlari kerakligini payqashdi, ya'ni. . Avvalgisidan farqli o'laroq, bu funksiyada nol yo'q. Ammo, yuqorida ko'rib chiqilgan kabi, bu funktsiya uchun ijobiy va salbiy. Bu ta'rifning butun maydoni bo'ylab kamayadi.
Ushbu guruhning vakili funktsiyalar o'rtasidagi farqlarni ta'kidlaydi va.
Yana ikkita talaba funksiyalar haqida gapiradi.
Taqdimotlar davomida barcha ma'ruzachilar ko'rib chiqilgan funktsiyalarning grafiklarini namoyish qilishlari kerak.
Darsning uchinchi bosqichida o’quvchilar olgan bilimlarini umumlashtirishlari kerak. Va ular ko'rib chiqilgan funktsiyalarning xilma-xilligidan ajablanib, buni o'zlari qilishlari kerak. "Agar ular juda ko'p bo'lsa va ular boshqacha bo'lsa, nega ularga bitta nom berilgan?" Bu savolni talabalar o'zlariga berishlari kerak. O'qituvchining vazifasi talabalarni bu masalaga sezilmas tarzda jalb qilishdir. Yigitlar o'z bilimlarining kamchiliklarini, cheklanganligini yoki to'liq emasligini tushunishlari kerak bo'lgan vaqt keladi. Haqiqatan ham, ko'rib chiqilgan funktsiyalardan birida nolga ega, ikkinchisida esa yo'q. Biri butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi, ikkinchisi esa ortadi yoki kamayadi. Iloji boricha ko'proq maxsus holatlarni qamrab olishi uchun biz butun quvvat funktsiyasiga qanday tavsif berishimiz kerak?
Bu savolga javob izlab, yigitlardan biri oxir-oqibat kuch funktsiyasi shaklini juft yoki toq ko'rsatkich bilan bog'lash qulay ekanligini taxmin qiladi.
Endi guruhlarga yana funktsiyalarning xususiyatlarini muhokama qilishni so'rash maqsadga muvofiqdir
qaerda - g'alati;
juftlik qayerda;
qayerda g'alati;
qayerda ham.
Funktsiyani o'rganish rejasini yana bir bor ta'kidlaymiz:
Ta'rif sohasini belgilang.
Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlang (yoki uning na toq, na juft ekanligini unutmang).
1. Funktsiyaning nollarini toping, agar mavjud bo'lsa.
2. Doimiylik oraliqlarini belgilang.
3. O'sish va kamayish oraliqlarini toping.
4. Funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini belgilang.
Oxirida talabalarga ko'rib chiqilgan funksiyalarning grafiklari taqdim etiladi, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bu grafiklar har bir guruh vakillari tomonidan amalga oshiriladi.
Endi sinf bilan birgalikda funktsiya grafiklarini quramiz, bu erda natural son va.
qayd etdi umumiy mulk bu funktsiyalardan: ularning ikkalasi ham ta'rif sohasiga ega - oraliq. Ularning ikkalasi ham toq ham emas. Ularning ikkalasi ham noldan katta.
Ammo bu funktsiyalarning ham farqlari bor. Yigitlar ularni maxsus chaqirishadi: ko'rish funktsiyasi o'z ta'rifi sohasida ortadi va ko'rish funktsiyasi bir xil domenda kamayadi. Form funksiyasi nol qiymatiga ega, forma funksiyasi esa nolga ega emas.
IV bosqichda talabalar mulohaza yuritishlari kerak, ya'ni. materialning assimilyatsiya darajasini aniqlash. Butun sinf rasmga muvofiq quyidagi vazifani oladi. 3.
Shaklda. 3, a-h formulalar bilan berilgan funksiyalarning grafiklarini sxematik tarzda ko'rsatadi
Berilgan roʻyxatdagi qaysi formula har biriga taxminan mos kelishini aniqlang a-h diagrammalari.
"Matematika maktabida" jurnalida Petrov, N.P. "Excel yordamida quvvat funksiyasining xususiyatlarini o'rganish" loyihasini taklif qiladi:
“Funksiyalar xossalarini o‘rganish va Excel elektron jadvallaridan foydalanish” mavzusidagi maqolada bayon etilgan o‘quv loyihasi litseyimiz matematika va informatika fani o‘qituvchilari tomonidan 9-sinfda olib borildi va beshta darsga mo‘ljallangan.
Loyihaning maqsadi talabalarda mustaqillik va bilim olishda tashabbuskorlikni ta'minlash edi yangi mavzu va ilgari o'rganilgan materialni amaliy qo'llash.
Loyihani amalga oshirish jarayonida to'qqizinchi sinf o'quvchilari quyidagilarni ko'rsatishlari kerak edi:
· loyiha vazifalarini to'g'ri shakllantirish qobiliyati;
axborotni tahlil qilish va xulosa chiqarish qobiliyati;
Olingan natijalarni to'g'ri talqin qilish va ularni amalda qo'llash qobiliyati.
Talabalar oldiga Excel dasturi yordamida funksiyalar grafiklarining harakatini tekshirish, so‘ngra olingan ma’lumotlar asosida funksiyalarning xossalarini tavsiflash vazifasi qo‘yildi.
Loyiha natijasida 9-sinf o'quvchilari o'rganishlari kerak edi umumiy shakl funksiyalar grafiklari va ushbu grafiklarni qurish va "o'qish" ni o'rganish, shuningdek = f (x) ko'rinishidagi grafik tenglamalarni echish.
E'tibor bering, ushbu loyiha bo'yicha ish maktab o'quvchilarining taqqoslash, umumiy xususiyatlar va turli qiymatlar uchun quvvat funktsiyalari grafiklaridagi farqlarni ajratib ko'rsatish qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan.
Bu erda loyihaning bosqichma-bosqich tavsifi.
I bosqich. Tayyorgarlik (tadqiqot bosqichi)
Talabalarning loyiha mavzusiga qiziqishini uyg'otish suhbat jarayonida sodir bo'ladi. Talabalarga o'zlariga ma'lum bo'lgan tenglamalarni echish taklif etiladi
Ma’lum bo‘lishicha, yigitlar tenglamani ikki yo‘l bilan yecha oladilar: analitik va grafik, tenglamani – grafik usulda. Qolgan tenglamalarni yechishga qiynaladilar, lekin funksiyalar grafiklari bilan tanish bo‘lganlarida, masalani grafik usulda yechishardi.
Suhbat natijasi muammoli savolni shakllantirishdir: funktsiyalarning grafiklari qanday ko'rinishga ega va qayerda? Shundan so'ng keyingi ish yo'nalishlari aniqlanadi, vazifalar shakllantiriladi:
1. Excel dasturidan foydalanib, hatto n uchun ham funktsiya grafigi qanday ko'rinishini bilib oling va ushbu funktsiyaning xususiyatlarini tavsiflang.
2. Excel dasturidan toq n uchun funktsiya grafigi qanday ko'rinishini bilib oling va ushbu funktsiyaning xususiyatlarini tavsiflang.
3. Excel dasturidan foydalanib, hatto n uchun ham funktsiya grafigi qanday ko'rinishini bilib oling va ushbu funktsiyaning xususiyatlarini tavsiflang.
4. Toq n uchun funktsiya grafigi qanday ko'rinishini bilish uchun Excel dasturidan foydalaning va ushbu funktsiyaning xususiyatlarini tavsiflang.
Keyin sinf ishchi guruhlarga bo'linadi. O'qituvchi o'quvchilarni mustaqil ravishda to'rt guruhga (ixtiyoriy) bo'lishga va har bir guruhda etakchi tanlashga taklif qiladi. Guruhlar tuzilganda, ular loyihadagi ish yo'nalishlaridan birini tanlaydilar (yuqorida sanab o'tilgan vazifalarga muvofiq).
II bosqich. Rejalashtirish (tahlil bosqichi)
O'qituvchi guruhlarga tanlangan muammoni hal qilish uchun ish rejasini tuzishda yordam beradi va ma'lumot olish uchun manbalarni tavsiya qiladi. Talabalar guruhlarda rollarni mustaqil ravishda taqsimlaydilar. Guruhdagi rollarning taxminiy taqsimoti quyidagi jadvalda ko'rsatilgan. Guruhdagi o'quvchilar soni sinfdagi o'quvchilar soniga bog'liq.
Xuddi shu bosqichda ish natijalarini taqdim etish shakli muhokama qilinadi. Bunday holda, PowerPoint yordamida kompyuter taqdimoti tanlangan.
III bosqich. Tadqiqot (amaliy bosqich)
Talabalar rejalashtirilgan ish rejasiga muvofiq topshiriqlarni bajaradilar. O'qituvchi ularning faoliyatini nazorat qiladi va kerak bo'lganda talabalarga maslahat beradi.
Misol tariqasida 1-guruhning ish rejasini keltiramiz.
1. Excel dasturi yordamida funksiyalar grafiklarini qurish.
2. Grafiklarni taqqoslash, tabiiy juft n uchun funksiya grafigini qurish bo'yicha tavsiyalar variantlarini shakllantirish.
3. Grafik bo`yicha funksiya xossalarini aniqlash.
4. Funksiya grafigini amaliy qo`llash misollarini tahlil qilish.
Tadqiqot asosida talabalar tabiiy hatto n uchun ko‘rinishdagi funksiyalar grafiklari parabolaga o‘xshash egri chiziqlar ekanligi to‘g‘risida xulosa chiqaradilar va grafik tuzish bo‘yicha tavsiyalar beradilar: grafikning Oy o‘qiga nisbatan simmetrik ekanligini yodda tutish kerak. shuning uchun X argumentining ijobiy qiymatlari uchun funktsiya qiymatlari jadvalini tuzish kifoya.
Bundan tashqari, ushbu bosqichda loyiha davomida takomillashtiriladigan umumiy taqdimot skripti yaratiladi. Bu stsenariyda, xususan, slaydlar soni, har bir slaydning maqsadi va slaydlarga joylashtirilishi kerak bo'lgan asosiy ob'ektlar aniqlanadi.
IV va V bosqichlar. Loyihani himoya qilish, natijalarni baholash (taqdimot va nazorat bosqichlari)
Loyihalarni himoya qilish (guruhlarda) rejalashtirilgan darslarning oxirida amalga oshiriladi.
Endi biz ushbu loyiha ustida ishlash uchun dars jadvalini va har bir darsning mazmunini beramiz.
1-dars (matematika)
· Loyiha topshirig'i bayoni. Ish yo'nalishlarini belgilash, loyiha maqsadlarini shakllantirish.
· Ishchi guruhlarga bo‘linish, guruhlarga sardor tanlash.
· Belgilangan vazifalarni hal qilish bo'yicha ish rejasini tuzish, guruhlarga rollarni taqsimlash, natijalarni taqdim etish shaklini tanlash.
2-dars (informatika)
· Excel elektron jadvallarining maqsadi haqida gapiring.
· Excel dasturi yordamida turli funksiyalarning grafiklarini qurishni takrorlash.
· Excel dasturi yordamida o'rganilayotgan funksiyalarning grafiklarini qurish. Qabul qilingan ma'lumotlarni tahlil qilish, xulosalarni shakllantirish.
3-dars (matematika)
Funksiyalarning grafiklarini qurish va "o'qish" va
· Grafik usulda shakldagi tenglamalarni yechish.
· Taqdimot skriptini yaratish.
4-dars (informatika)
Power Point dasturining maqsadi va tamoyillarini takrorlash.
· Taqdimot yaratish.
5-dars (matematika)
· Loyihalarni himoya qilish.
Biz ham beramiz umumiy reja dars - loyihani himoya qilish.
1. Tashkiliy moment.
2. Muammoni aniqlash orqali bilimlarni qo'llash uchun motivatsiya.
O'qituvchining kirish so'zi
Bugungi darsimizda asosiy o'rganish ob'ekti - funktsiyalar va qaerda, ularning xususiyatlari va grafiklari. Ildiz formulalari yordamida birinchi darajali (chiziqli) va ikkinchi darajali (kvadrat) tenglamalarni qanday echishni allaqachon bilasiz. 3-darajali tenglamalar uchun maxsus ildiz formulalari ham mavjud, ammo ular juda og'ir va amalda kamdan-kam qo'llaniladi. Darajasi uchinchidan yuqori bo'lgan tenglamalar uchun, umumiy formulalar ildizlari yo'q. Muammo tug'iladi: bunday tenglamalarni qanday hal qilish mumkin? Bu analitik bo'lmasa, grafik tarzda chiqadi. Va ko'rinishdagi tenglamalarni echishning grafik usulini qo'llash uchun va, funktsiyalarni chizish imkoniyatiga ega bo'lish kerak va qaerda.
Ushbu funktsiyalarning grafiklarini o'rganishda to'rtta guruh ishtirok etdi. Endi ularning har biri bizni amalga oshirilgan ishlar natijalari bilan tanishtiradi.
3. Guruh chiqishlari.
Har bir guruh tomonidan loyiha taqdimoti (himoyasi), raqiblarning savollariga javoblar.
4. O'z-o'zini baholash va har bir ishning boshqa guruhlar tomonidan baholanishi (besh balli tizimda).
Biz asosiy baholash mezonlarini sanab o'tamiz:
mazmunning e'lon qilingan mavzuga muvofiqligi, taqdimotning aniqligi, to'liqligi;
Xatolarning yo'qligi
dizayn (dizayn): slaydlarning joylashuvi estetik talablarga qanday javob berishi;
Matnni o'qish osonmi? tasvir mazmunga mos keladimi va hokazo;
gapning ishonarliligi, bahsliligi; nutq savodxonligi, terminologiyani bilish;
savollarga javoblarning to'liqligi.
Guruhdagi o'zaro munosabatlar alohida baholanadi: xushmuomalalik, boshqa ishtirokchilarga hurmat va e'tibor, faollik.
To'plangan ballarning umumiy soni va reyting balli (o'rtacha arifmetik ball) hisoblanadi; ular asosida loyihada ishtirok etish uchun baholash amalga oshiriladi.
5. Har bir talabaning loyihaga qo‘shgan hissasini muhokama qilish va baholash.
6. Xulosa qilish (mulohaza).
7. O'qituvchining yakuniy so'zi
Ushbu mavzu bo'yicha loyiha faoliyati davomida siz funktsiyalarning grafiklari nima degan savolga javob berdingiz va ularni qanday qurish bo'yicha tavsiyalar berdingiz. Endi siz shaklning ba'zi tenglamalarini va grafik tarzda echishingiz mumkin. Loyiha maqsadlariga erishishga hissa qo'shgan ijodiy va samarali mehnatlari uchun barcha talabalarga minnatdorchilik bildiramiz.
Yuqoridagilarni hisobga olgan holda, biz qo'llanmamizda quvvat funktsiyasini o'rganishga tizimli yondashuvni aks ettirishga harakat qildik. Kompyuter bilan ishlashdagi qiyinchiliklarni minimallashtirish uchun biz qulay va tabiiy navigatsiya qilishga va didaktik dasturiy ta'minotga qo'yiladigan talablarni hisobga olishga harakat qildik.
Xususiyatlari bilan tanishmisiz y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x va hokazo. Bu funktsiyalarning barchasi quvvat funktsiyasining maxsus holatlari, ya'ni funktsiya y=x p, bu erda p - berilgan haqiqiy son. Quvvat funksiyasining xossalari va grafigi mohiyatan haqiqiy ko‘rsatkichga ega bo‘lgan quvvatning xususiyatlariga, xususan qaysi qiymatlarga bog‘liq. x va p manoga ega x p. Keling, ko'rsatkichga qarab turli xil holatlarni shunga o'xshash ko'rib chiqaylik p.
Indeks p=2n juft natural sondir.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x 2n, qayerda n natural son bo‘lib, quyidagiga ega
xususiyatlari:
ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar, ya'ni R to'plami;
qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan raqamlar, ya'ni y 0 dan katta yoki teng;
funktsiyasi y=x 2n hatto, chunki x 2n =(-x) 2n
funksiya intervalda kamayib bormoqda x<0 va intervalda ortib boradi x>0.
Funktsiya grafigi y=x 2n masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y=x 4 .
2. Ko'rsatkich p=2n-1- toq natural son Bunda quvvat funksiyasi y=x 2n-1, bu erda natural son, quyidagi xususiyatlarga ega:
ta'rif sohasi - R to'plami;
qiymatlar to'plami - R to'plami;
funktsiyasi y=x 2n-1 g'alati chunki (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;
funktsiya butun real o'qda ortib bormoqda.
Funktsiya grafigi y=x2n-1 masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y=x3.
3. Ko'rsatkich p=-2n, qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x -2n =1/x 2n quyidagi xususiyatlarga ega:
qiymatlar to'plami - musbat sonlar y>0;
funktsiya y =1/x 2n hatto, chunki 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
funktsiya x oralig'ida ortib bormoqda<0 и убывающей на промежутке x>0.
y funksiyaning grafigi =1/x 2n masalan, y funksiyaning grafigi bilan bir xil shaklga ega =1/x 2 .
4. Ko'rsatkich p=-(2n-1), qayerda n- natural son. Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x -(2n-1) quyidagi xususiyatlarga ega:
ta'rif sohasi - R to'plami, x=0 dan tashqari;
qiymatlar to'plami - R to'plami, y=0 dan tashqari;
funktsiyasi y=x -(2n-1) g'alati chunki (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;
funksiya intervallarda kamayib bormoqda x<0 va x>0.
Funktsiya grafigi y=x -(2n-1) masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y=1/x 3 .
Teskari trigonometrik funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.
Teskari trigonometrik funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari.Teskari trigonometrik funksiyalar (aylana funktsiyalari, yoy funksiyalari) trigonometrik funksiyalarga teskari boʻlgan matematik funksiyalardir.
arcsin funktsiyasi
Funktsiya grafigi 
.
arksinus raqamlar m bunday burchak deyiladi x, buning uchun
Funktsiya uzluksiz va butun haqiqiy chiziq bo'ylab chegaralangan. Funktsiya 
keskin ortib bormoqda.
[Tahrirlash] arcsin funksiyasining xossalari
[Tahrirlash] arcsin funksiyasini olish
Uning davomida funksiya berilgan domenlar u parcha-parcha monotonik, va shuning uchun teskari yozishmalar 
funksiya emas. Shuning uchun biz u qat'iy ravishda ko'payadigan va barcha qiymatlarni oladigan intervalni ko'rib chiqamiz diapazonlari- . Intervaldagi funktsiya uchun argumentning har bir qiymati funktsiyaning bitta qiymatiga to'g'ri kelganligi sababli, bu segmentda mavjud teskari funktsiya 
uning grafigi to‘g‘ri chiziqqa nisbatan segmentdagi funksiya grafigiga simmetrik bo‘ladi
1. Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi;
2. Transformatsiyalar:
Parallel uzatish;
Koordinata o'qlariga nisbatan simmetriya;
Kelib chiqishi bo'yicha simmetriya;
y = x chiziqqa nisbatan simmetriya;
Koordinata o'qlari bo'ylab cho'zish va qisqarish.
3. Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi, o‘xshash o‘zgartirishlar;
4. Logarifmik funksiya, uning xossalari va grafigi;
5. Trigonometrik funktsiya, uning xossalari va grafigi, o'xshash o'zgarishlar (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Funktsiya: y = x\n - uning xossalari va grafigi.
Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x va hokazo. Bu funktsiyalarning barchasi quvvat funktsiyasining maxsus holatlari, ya'ni funktsiya y = xp, bu erda p - berilgan haqiqiy son.
Quvvat funksiyasining xossalari va grafigi mohiyatan haqiqiy ko‘rsatkichga ega bo‘lgan quvvatning xususiyatlariga, xususan qaysi qiymatlarga bog‘liq. x va p manoga ega xp. Keling, shunga qarab turli xil ishlarni ko'rib chiqaylik
ko'rsatkich p.
- Indeks p = 2n juft natural sondir.
y=x2n, qayerda n natural son bo'lib, quyidagi xususiyatlarga ega:
- qamrovi - hammasi haqiqiy raqamlar, ya'ni R to'plami;
- qiymatlar to'plami - manfiy bo'lmagan raqamlar, ya'ni y 0 dan katta yoki teng;
- funktsiyasi y=x2n hatto, chunki x 2n = (-x) 2n
- funksiya intervalda kamayib bormoqda x< 0 va intervalda ortib boradi x > 0.
Funktsiya grafigi y=x2n masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y=x4.
2. Ko'rsatkich p = 2n - 1- toq natural son
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x2n-1, bu erda natural son, quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi - R to'plami;
- qiymatlar to'plami - R to'plami;
- funktsiyasi y=x2n-1 g'alati chunki (- x) 2n-1= x 2n-1;
- funktsiya butun real o'qda ortib bormoqda.
Funktsiya grafigi y=x2n-1 y=x3.
3. Ko'rsatkich p=-2n, qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x-2n=1/x2n quyidagi xususiyatlarga ega:
- qiymatlar to'plami - musbat sonlar y>0;
- funktsiya y = 1/x2n hatto, chunki 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- funktsiya x0 oralig'ida ortib bormoqda.
y funksiyaning grafigi = 1/x2n masalan, y funksiyaning grafigi bilan bir xil shaklga ega = 1/x2.
4. Ko'rsatkich p = -(2n-1), qayerda n- natural son.
Bunday holda, quvvat funktsiyasi y=x-(2n-1) quyidagi xususiyatlarga ega:
- ta'rif sohasi R to'plamidir, x = 0 dan tashqari;
- qiymatlar to'plami - R to'plami, y = 0 dan tashqari;
- funktsiyasi y=x-(2n-1) g'alati chunki (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- funksiya intervallarda kamayib bormoqda x< 0 va x > 0.
Funktsiya grafigi y=x-(2n-1) masalan, funksiya grafigi bilan bir xil shaklga ega y = 1/x3.
