Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari mavzusi bo'yicha dars. Sonli va burchakli argumentning trigonometrik funksiyalari. Yangi materialni tushuntirish

Video darslik « Trigonometrik funktsiyalar burchakli argument" tegishli mavzu bo'yicha matematika darsini o'tkazish uchun ko'rgazmali materialdir. Video shunday tuzilganki, o‘rganilayotgan material o‘quvchilar uchun iloji boricha tushunarli bo‘lib, eslab qolish oson, uchburchaklarni o‘rganish va ularning ta’rifi bo‘limidagi trigonometrik funksiyalar haqidagi mavjud ma’lumotlar o‘rtasidagi bog‘liqlikni yaxshi ochib beradi. birlik doirasi yordamida. Aylana oladi mustaqil qism dars, chunki u ushbu mavzuni to'liq qamrab oladi, ball qo'yish paytida muhim sharhlar bilan to'ldiriladi.

Ulanishni aniq ko'rsatish uchun turli ta'riflar trigonometrik funksiyalar, animatsiya effektlaridan foydalaniladi. Matnni rangli, aniq tushunarli konstruksiyalarni ajratib ko‘rsatish, izohlar bilan to‘ldirish materialni tez o‘zlashtirishga, eslab qolishga va dars maqsadiga tezroq erishishga yordam beradi. Trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik animatsiya effektlari va ranglarni ajratib ko'rsatish yordamida aniq ko'rsatilgan, bu materialni tushunish va eslab qolishga yordam beradi. Qo'llanma mashg'ulotlar samaradorligini oshirishga qaratilgan.

Dars mavzuni tanishtirish bilan boshlanadi. Keyin sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari esga olinadi. o'tkir burchak to'g'ri uchburchak. Qutida ta'kidlangan ta'rif sinus va kosinus oyoqning gipotenuzaga nisbati sifatida, tangens va kotangens esa oyoqlarning nisbati bilan hosil bo'lishini eslatadi. Shuningdek, talabalarga yaqinda o‘rganilgan material birlik aylanaga mansub nuqtani ko‘rib chiqishda nuqtaning abssissasi kosinus, ordinatasi esa shu nuqtaga mos keladigan sonning sinusi ekanligi haqida eslatib o‘tiladi. Ushbu tushunchalarning aloqasi qurilish yordamida ko'rsatiladi. Ekranda birlik doirasi ko'rsatiladi, uning markazi boshlang'ich nuqtaga to'g'ri keladigan tarzda joylashtiriladi. Koordinatalarning kelib chiqishidan abtsissaning musbat yarim o'qi bilan a burchak hosil qiluvchi nur quriladi. Bu nur birlik aylanasini O nuqtada kesib o'tadi. Perpendikulyarlar nuqtadan abtsissa va y o'qiga tushadi va bu nuqtaning koordinatalari a burchakning kosinus va sinusini aniqlashini ko'rsatadi. Ta'kidlanganidek, AO yoyining uzunligi birlik doiraning abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan kesishgan nuqtasidan O nuqtagacha bo'lgan uzunligi 360 ° dan a burchak bilan butun yoyning bir xil qismidir. Bu sizga a/360=t/2p proportsiyasini yaratishga imkon beradi, u o'sha yerda ko'rsatiladi va yodlash uchun qizil rang bilan ajratiladi. Bu nisbatdan t=pa/180° qiymati olinadi. Buni hisobga olib, sinus va kosinus ta'riflari o'rtasidagi bog'liqlik sina°= sint= sinpa/180, kosa°=cost=cospa/180 aniqlanadi. Misol uchun, sin60 ° topish berilgan. Burchakning daraja o'lchovini formulaga almashtirib, biz sin p 60 ° / 180 ° ni olamiz. Kasrni 60 ga kamaytirsak, sin p/3 ni olamiz, bu √3/2 ga teng. Qayd etilishicha, agar 60° burchakning daraja oʻlchovi boʻlsa, u holda p/3 burchakning radian oʻlchovi deyiladi. Burchakning daraja o'lchovining radianga nisbati bo'yicha ikkita mumkin yozuv mavjud: 60°=p/3 va 60°=p/3 rad.

Bir daraja burchak tushunchasi uzunligi 1/360 aylananing bir qismini ifodalovchi yoyga asoslangan markaziy burchak sifatida aniqlanadi. Quyidagi ta'rif bitta radian burchak tushunchasini ochib beradi - bir uzunlikdagi yoyga asoslangan markaziy burchak yoki aylananing radiusiga teng. Ta'riflar muhim deb belgilangan va yodlash uchun ta'kidlangan.

Burchakning bir daraja o'lchovini radianga va aksincha o'zgartirish uchun a ° \u003d p / 180 rad formulasi qo'llaniladi. Ushbu formula ekrandagi ramkada ta'kidlangan. Bu formuladan kelib chiqadiki, 1°=p/180 rad. Bunday holda, bitta radian 180 ° / p≈57,3 ° burchakka to'g'ri keladi. Ta'kidlanishicha, t mustaqil o'zgaruvchining trigonometrik funktsiyalari qiymatlarini topishda uni ham sonli, ham burchakli argument deb hisoblash mumkin.

Bundan tashqari, matematik muammolarni echish jarayonida olingan bilimlardan foydalanish misollari ko'rsatiladi. 1-misolda qiymatlarni darajadan radianga 135° va 905° ga aylantirish talab qilinadi. Ekranning o'ng tomonida daraja va radian o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadigan formula mavjud. Qiymatni formulaga almashtirgandan so'ng (p/180) 135 ni olamiz. Bu kasrni 45 ga kamaytirgandan keyin 135°=3p/4 qiymatini olamiz. 905 ° burchakni radianga aylantirish uchun xuddi shu formuladan foydalaniladi. Qiymatni unga almashtirgandan so'ng, u (p / 180) 905 \u003d 181p / 36 rad bo'lib chiqadi.

Ikkinchi misolda teskari masala yechilgan - radianlarda ifodalangan burchaklarning daraja o'lchovi p/12, -21p/20, 2,4p topilgan. Ekranning o'ng tomonida 1 rad \u003d 180 ° / p burchakning daraja va radian o'lchovi o'rtasidagi bog'liqlik uchun o'rganilgan formula esga olinadi. Har bir misol radian o'lchovini formulaga almashtirish orqali hal qilinadi. p/12 ni almashtirsak, (180°/p)·(p/12)=15° ni olamiz. Xuddi shunday, qolgan burchaklarning qiymatlari -21p/20=-189° va 2,4p=432° topiladi.

O'rganish samaradorligini oshirish uchun an'anaviy matematika darslarida "Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari" video darsidan foydalanish tavsiya etiladi. Material ushbu mavzu bo'yicha masofaviy o'qitish jarayonida o'rganishning vizualizatsiyasini ta'minlashga yordam beradi. Mavzuni batafsil, tushunarli tushuntirish, undagi masalalarni yechish talabaga materialni mustaqil o‘zlashtirishiga yordam beradi.

MATN TASHHRI:

"Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari".

Biz allaqachon geometriyadan bilamizki, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi sinusi (kosinus) oyoqning gipotenuzaga nisbati, tangensi (kotangens) esa oyoqlarning nisbati. Algebrada esa birlik doiradagi nuqtaning abssissasini kosinus, bu nuqtaning ordinatasini esa sinus deb ataymiz. Bularning barchasi bir-biri bilan chambarchas bog'liqligiga ishonch hosil qilamiz.

1-rasmda ko'rsatilganidek, gradus o'lchami a° (alfa gradus) bo'lgan burchakni joylashtiramiz: burchakning tepasi birlik doirasining markaziga (koordinata tizimining kelib chiqishi bilan) va burchakning bir tomoniga mos keladi. burchak x o'qining musbat nuriga mos keladi. Burchakning ikkinchi tomoni aylanani O nuqtada kesib o'tadi. O nuqtaning ordinatasi alfa burchak sinusi, bu nuqtaning abssissasi esa alfa kosinasidir.

E'tibor bering, AO yoyi birlik doirasi uzunligining bir qismidir, chunki alfa burchagi uch yuz oltmish graduslik burchakdan. AO yoyi uzunligini t(te) orqali belgilaymiz, u holda = proporsiyani hosil qilamiz.

(alpha oltmishtadan ikki pigacha boʻlgan ishonchlarni bildiradi).Bu yerdan te: t = = (te teng pi alfa yuz saksonga boʻlingan) topiladi.

Shunday qilib, alfa darajali burchakning sinusi yoki kosinusini topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:

sin a ° \u003d sint \u003d sin (alfa darajalarining sinu te sinusiga teng va shaxsiy pi alfa sinusiga bir yuz saksonga teng),

cosa° \u003d xarajat \u003d cos (alfa darajalarining kosinasi te kosinusiga teng va shaxsiy pi alfa kosinusiga bir yuz saksonga teng).

Masalan, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (oltmish daraja sinus pi sinusiga uchga teng, sinuslarning asosiy qiymatlari jadvaliga ko'ra, u ildizga teng uchdan ikkiga).

60 ° burchakning daraja o'lchovidir va (pi uchga) bir xil burchakning radian o'lchovidir, ya'ni 60 ° = xursand(oltmish daraja pi marta uch radianga teng). Qisqacha aytganda, biz belgini kelishib oldik xursand tashlab qo'ying, ya'ni quyidagi belgilarga ruxsat beriladi: 60°= (qisqartmalarni ko'rsatish radian o'lchovi = rad.)

Bir daraja burchak markaziy burchak, bu yoyning (uch yuz oltmishinchi) qismi bo'lgan yoyga asoslangan. Bir radianli burchak - bu uzunligi bir yoyga, ya'ni uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan yoyga tayanadigan markaziy burchak (burchakni pi bilan ko'rsatish uchun birlik doiraning markaziy burchaklarini ko'rib chiqamiz. doiradagi radianlar).

Keling, daraja o'lchovini radianga aylantirish uchun muhim formulani eslaylik:

α° = xursand. (alfa bir yuz sakson radianga bo'lingan pi alfaga teng) Xususan, 1° = xursand(bir daraja pi ning yuz sakson radianga bo'linganiga teng).

Bundan biz bir radian bir yuz sakson darajaning pi ga nisbatiga teng ekanligini va taxminan ellik etti nuqtadan uch o'ndan bir darajaga teng ekanligini bilib olamiz: 1 xursand= ≈ 57,3°.

Yuqoridagilardan: biz har qanday trigonometrik funktsiya haqida gapiradigan bo'lsak, masalan, s \u003d sint funktsiyasi haqida (es sinus te ga teng), t (te) mustaqil o'zgaruvchini ham raqamli argument, ham burchak argumenti deb hisoblash mumkin.

Misollarni ko'rib chiqing.

MISOL 1. Darajani radianga o'tkazing: a) 135°; b) 905°.

Yechim. Keling, darajalarni radianga aylantirish uchun formuladan foydalanamiz:

a) 135° = 1° ∙ 135 = xursand ∙ 135 = xursand

(bir yuz o'ttiz besh daraja pi bilan bir yuz sakson radianga bir yuz o'ttiz beshga teng va kamaytirilgandan keyin uch pi marta to'rt radian)

b) Xuddi shunday, daraja o'lchovini radianga aylantirish formulasidan foydalanib, olamiz

905 ° = xursand ∙ 905 = xursand.

(to'qqiz yuz besh daraja bir yuz sakson bir pi marta o'ttiz olti radianga teng).

O'RNAK 2. Darajalar bilan ifodalang: a) ; b) -; c) 2.4p

(pi marta o'n ikki; minus yigirma bir pi marta yigirma; ikki nuqta o'ndan to'rt pi).

Yechim. a) o'n ikki daraja pi bilan ifodalang, burchakning radian o'lchovini 1 dagi daraja o'lchoviga aylantirish uchun formuladan foydalaning. xursand=, olamiz

xursand = 1 xursand∙ = ∙ = 15°

Xuddi shunday b) - = 1 xursand∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (minus yigirma bir pi yigirmaga teng minus yuz sakson to'qqiz daraja),

c) 2,4p = 1 xursand∙ 2.4p = ∙ 2.4p = 432° (pi ning ikkita toʻrtinchi nuqtasi toʻrt yuz oʻttiz ikki darajaga teng).

Raqamli argumentning trigonometrik funktsiyalari tahlil qildik. Biz aylanada A nuqtani oldik va hosil bo'lgan b burchakdan sinuslar va kosinuslarni qidirdik.

Biz nuqtani A deb belgiladik, lekin algebrada u ko'pincha t sifatida belgilanadi va u bilan barcha formulalar/funktsiyalar beriladi. Biz ham qonunlardan chetga chiqmaymiz. Bular. t - bu ma'lum bir raqam bo'ladi va shuning uchun raqamli funktsiya(masalan, sint)

Bu mantiqan to'g'ri, chunki bizda radiusi bir bo'lgan doira bor

Burchak argumentining trigonometrik funktsiyalari biz uni ham muvaffaqiyatli tahlil qildik - kanonlarga ko'ra, biz bunday funktsiyalar uchun yozamiz: sin a °, ya'ni a ° bilan bizga kerak bo'lgan darajalar soni bilan har qanday burchak.

Bu burchakning nuri bizga doiradagi ikkinchi nuqtani (OA - nuqta A) va raqamli argument funktsiyasi uchun mos keladigan C va B nuqtalarini beradi, agar kerak bo'lsa: sin t = sin a°

Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar chiziqlari

Buni hech qachon unutmang y o'qi sinus chizig'idir, x o'qi kosinuslar chizig'idir! Aylanadan olingan nuqtalar bu o'qlarda belgilanadi.

LEKIN tangens va kotangens chiziqlari ularga parallel bo'lib, (1; 0) va (0; 1) nuqtalardan o'tadi. mos ravishda.

Nima bo'lsa ham haqiqiy raqam t olinishi mumkin, unga yagona aniqlangan son sin t berilishi mumkin. To'g'ri, yozishmalar qoidasi ancha murakkab, biz yuqorida ko'rganimizdek, u quyidagilardan iborat.

t soni bo'yicha sin t qiymatini topish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) sonli aylanani koordinata tekisligiga shunday joylashtiringki, aylananing markazi koordinatalar boshiga to‘g‘ri keladi va aylananing boshlang‘ich A nuqtasi (1; 0) nuqtaga to‘g‘ri keladi;

2) aylanadan t soniga mos nuqtani toping;

3) shu nuqtaning ordinatasini toping.

Bu ordinata sin t.

Aslida gaplashamiz u = sin t funksiyasi haqida, bu erda t har qanday haqiqiy son.

Bu funktsiyalarning barchasi deyiladi sonli argumentning trigonometrik funktsiyalari t.

Turli trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini bog'laydigan bir qator munosabatlar mavjud, biz ushbu munosabatlarning ba'zilarini allaqachon olganmiz:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Oxirgi ikkita formuladan tg t va ctg t ni bog‘lovchi munosabatni olish oson:

Ushbu formulalarning barchasi har qanday trigonometrik funktsiyaning qiymatini bilgan holda, qolgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblash kerak bo'lgan hollarda qo'llaniladi.

"Sinus", "kosinus", "tangens" va "kotangent" atamalari aslida tanish edi, ammo ular hali ham bir oz boshqacha talqinda ishlatilgan: geometriya va fizikada ular sinus, kosinus, tangens va kotangensni hisobga olganlar. g l a(lekin emas

oldingi paragraflarda bo'lgani kabi raqamlar).

Geometriyadan ma'lumki, o'tkir burchakning sinusi (kosinusi) to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'ining gipotenuzasiga nisbati, burchakning tangensi (kotangensi) esa to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining nisbati. Oldingi paragraflarda sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchalariga boshqacha yondashuv ishlab chiqilgan. Aslida, bu yondashuvlar o'zaro bog'liqdir.

Keling, gradus o'lchami b o bo'lgan burchakni olamiz va uni rasmda ko'rsatilgandek "to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi sonli doira" modeliga joylashtiramiz. o'n to'rt

burchak tepasi markazga mos keladi

doiralar (koordinata tizimining kelib chiqishi bilan),

va burchakning bir tomoni bilan mos keladi

x o'qining musbat nuri. nuqta

bilan burchakning boshqa tomonining kesishishi

doira M harfi bilan belgilanadi. Ordina-

14-rasm b o , va bu nuqtaning absissasi b o burchakning kosinusidir.

b o burchakning sinusi yoki kosinusini topish uchun har safar bu juda murakkab konstruksiyalarni bajarish umuman shart emas.

AM yoyi sonli aylana uzunligining b o burchagi 360 ° burchakdan bo'lgan qismiga teng ekanligini ta'kidlash kifoya. Agar AM yoyi uzunligi t harfi bilan belgilansa, u holda biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib,

Masalan,

30 ° burchakning daraja o'lchovidir va bir xil burchakning radian o'lchovidir: 30 ° = rad. Umuman:

Ayniqsa, o'z navbatida qayerdan olganimizdan xursandman.

Xo'sh, 1 radian nima? Segment uzunligining turli o'lchovlari mavjud: santimetr, metr, yard va boshqalar. Burchaklarning kattaligini ko'rsatadigan turli xil o'lchovlar ham mavjud. Biz birlik doirasining markaziy burchaklarini ko'rib chiqamiz. 1 ° burchak - aylananing bir qismi bo'lgan yoyga asoslangan markaziy burchak. 1 radian burchagi - 1 uzunlikdagi yoyga asoslangan markaziy burchak, ya'ni. uzunligi aylananing radiusiga teng bo'lgan yoyda. Formuladan biz 1 rad \u003d 57,3 ° ni olamiz.

u = sin t funksiyasini (yoki boshqa trigonometrik funktsiyani) hisobga olsak, biz t mustaqil o'zgaruvchini oldingi paragraflarda bo'lgani kabi raqamli argument sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin, lekin biz bu o'zgaruvchini burchak o'lchovi sifatida ham ko'rib chiqishimiz mumkin, ya'ni burchakli argument. Shuning uchun trigonometrik funktsiya haqida gapirganda, ma'lum ma'noda uni son yoki burchak argumentining funktsiyasi deb hisoblash befarq.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Burchak argumentining trigonometrik funktsiyasi, burchak va radianlarning daraja o'lchovi"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

1C dan 10-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Interfaol qurilish vazifalari
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Kosmosda qurish uchun interaktiv vazifalar

Biz nimani o'rganamiz:
1. Geometriyani eslaylik.
2. Burchak argumentining ta’rifi.
3. Burchakning gradus o‘lchovi.
4. Burchakning radian o‘lchovi.
5. Radian nima?
6. Mustaqil yechish uchun misollar va topshiriqlar.

Geometriyani takrorlash

Bolalar, bizning vazifalarimizda:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

t o'zgaruvchisi nafaqat sonli qiymatlarni qabul qilishi, ya'ni sonli argument bo'lishi mumkin, balki uni burchak o'lchovi - burchak argumenti sifatida ham ko'rib chiqish mumkin.

Keling, geometriyani eslaylik!
U erda sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday aniqladik?

Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati

Burchakning kosinusu - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati

Burchakning tangensi - bu qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati.

Burchakning kotangensi - qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyog'iga nisbati.

Burchak argumentining trigonometrik funktsiyasining ta'rifi

Trigonometrik funksiyalarni son aylanasidagi burchak argumentining funksiyalari sifatida belgilaymiz:
Raqamli aylana va koordinatalar tizimi yordamida biz har doim burchakning sinusini, kosinusini, tangensini va kotangensini osongina topishimiz mumkin:

Biz a burchagimizning tepasini aylananing markaziga joylashtiramiz, ya'ni. koordinata o'qining markaziga va tomonlardan birini x o'qining (OA) musbat yo'nalishiga to'g'ri keladigan tarzda joylashtiring.
Keyin ikkinchi tomon son doirasini M nuqtada kesib o'tadi.

Ordinatsiya qilish M nuqtalari: a burchakning sinusi
Abscissa M nuqtalari: a burchakning kosinasi

E'tibor bering, AM yoyi uzunligi 360 gradusdan a burchagi bilan birlik doirasining bir qismidir: bu yerda t - AM yoyi uzunligi.

Burchakning daraja o'lchovi

1) Bolalar, biz raqamli doira yoyi uzunligi orqali burchakning daraja o'lchamini aniqlash uchun formulani oldik, keling, uni batafsil ko'rib chiqaylik:

Keyin trigonometrik funktsiyalarni quyidagi shaklda yozamiz:

Masalan:

Burchaklarning radian o'lchovi

Burchakning gradus yoki radian o'lchovini hisoblashda esda tuting! :
Masalan:

Aytmoqchi! Belgilanish rad. tushirishingiz mumkin!

Radian nima?

Aziz do'stlar, biz yangi kontseptsiyaga duch keldik - Radian. Xo'sh, bu nima?

Uzunlik, vaqt, vaznning turli o'lchovlari mavjud, masalan: metr, kilometr, soniya, soat, gramm, kilogramm va boshqalar. Demak, radian burchakning o'lchovlaridan biridir. Markaziy burchaklarni, ya'ni raqamli doiraning markazida joylashganligini hisobga olish kerak.
1 graduslik burchak aylananing 1/360 qismiga teng yoyga asoslangan markaziy burchakdir.

1 radianli burchak - bu birlik aylanada 1 ga teng yoyga, ixtiyoriy aylanada esa aylana radiusiga teng yoyga asoslangan markaziy burchak.

Misollar: