Demontaj qilish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida biz o'z navbatida ildizlarni olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. qo'lda emas, ildiz sonini oddiy omillarga ajratishni o'z ichiga olgan ildizni ajratib olish usulini qo'llash mantiqan to'g'ri.

Alohida-alohida, g'alati ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun mumkin bo'lgan to'xtashga arziydi.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beruvchi usulni ko'rib chiqing.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni chiqarishga imkon beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlab, 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorini va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Uning har bir katakchasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va bittaning 3-ustunining kesishmasida 83 raqamining kvadrati bo'lgan 6889 raqamiga ega katak mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ularni qo'llash tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonidan n-darajali ildizni olishimiz kerak, a soni esa n-darajali jadvalda mavjud. Ushbu jadvalga ko'ra, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, kublar jadvali yordamida 19683 yil kub ildizi qanday olinishini ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19 683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ildizlarni olishda n-darajali jadvallar juda qulay ekanligi aniq. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularning kompilyatsiyasi ma'lum vaqtni talab qiladi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda, ildizlarni olishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Ildiz sonning tub omillarga parchalanishi

Tabiiy sondan ildizni ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) ildiz sonini tub omillarga ajratishdir. Uning mohiyati quyidagicha: keyin uni kerakli ko'rsatkich bilan daraja sifatida ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik.

n-darajali ildiz a natural sondan chiqarilsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. Har qanday natural son sifatida b soni uning barcha tub omillari p 1 , p 2 , …, p m ko‘paytmasi sifatida p 1 p 2 p m ko‘rinishida ifodalanishi mumkin va bu holda ildiz raqami a (p 1) ko‘rinishida ifodalanadi. p 2 ... p m) n . Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun a ildiz sonining tub omillarga parchalanishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishida bo‘ladi, bu esa ildizning qiymatini quyidagicha hisoblash imkonini beradi. .

E'tibor bering, agar a ildiz sonini koeffitsientlarga ajratishni (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sondan n-darajali ildiz to'liq chiqarib olinmaydi.

Keling, misollarni echishda bu bilan shug'ullanamiz.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Agar oldingi bandda berilgan kvadratlar jadvaliga murojaat qilsak, 144=12 2 ekanligi yaqqol ko'rinadi, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi ayon bo'ladi.

Ammo bu nuqtadan kelib chiqqan holda, biz 144 sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2 2 2 2 3 3 . Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Binobarin, .

Ildizlarning darajasi va xossalari xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildiz qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 ildiz sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ga teng. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildizning qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun, keling, ildiz sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kub shaklida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 3 6 7 2 bor. Olingan parchalanish butun sonning kubi sifatida ko'rsatilmaydi, chunki 7-bosh omilning darajasi uchga karrali emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizi to'liq olinmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Kasr sondan ildiz qanday olinishini aniqlash vaqti keldi. Kasr ildiz raqami p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xossasiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasr ildiz qoidasi: Kasrning ildizi sonning ildizini maxrajning ildiziga bo'lish qismiga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

25/169 oddiy kasrning kvadrat ildizi nimaga teng.

Yechim.

Kvadratlar jadvaliga ko'ra, biz dastlabki kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrdan ildizni ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi ildiz raqamlari oddiy kasrlar bilan almashtirilgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Asl kasrni oddiy kasr sifatida ko'rsatamiz: 474,552=474552/1000 . Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000=10 3 , keyin va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish uchun qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini ajratib olish

Alohida-alohida, manfiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida o'ylash kerak. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildizning ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda manfiy son ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bunday yozuvlarga quyidagi ma'noni berdik: manfiy son -a va 2 n-1 ildizning toq ko'rsatkichi uchun bizda . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini chiqarib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildiz qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy raqam paydo bo'lishi uchun aylantiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiramiz: . Biz oddiy kasrdan ildiz olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Bit bo'yicha ildiz qiymatini topish

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan raqam joylashgan. Ammo shu bilan birga, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha berilgan ildizning qiymatini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning raqamlarining etarli miqdordagi qiymatlarini doimiy ravishda olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari ildiz sonidan kattaroq son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko‘tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n ning darajasiga ko'targan raqam mos keladigan yuqori tartibni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. Biz 0, 10, 100, ... raqamlarini olamiz va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiramiz. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5 , ya'ni eng muhim raqam birliklar raqami bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastroqlari, ildizni ajratib olish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi raqamlari qiymatlari topilganligi sababli, ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan, chunki ular eng yuqoridan boshlab va eng pastiga o'tadilar. . Misol uchun, birinchi bosqichda ildizning qiymati 2 , ikkinchisida - 2,2 , uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... . Keling, bitlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Bitlarni topish ularning mumkin bo'lgan qiymatlarini sanash orqali amalga oshiriladi 0, 1, 2, ..., 9 . Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel ravishda hisoblab chiqiladi va ular ildiz soni bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi, agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning bir xil misolidan foydalanib, bu fikrlarning barchasini tushuntirib beraylik.

Birinchidan, birliklar raqamining qiymatini toping. Biz 0, 1, 2, …, 9 qiymatlarini takrorlaymiz, mos ravishda 0 2, 1 2, …, 9 2 ni radikal raqam 5 dan kattaroq qiymatga ega bo'lmaguncha hisoblaymiz. Ushbu hisob-kitoblarning barchasi jadval shaklida qulay tarzda taqdim etiladi:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (chunki 2 2<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 ildiz raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, keyin o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Shunday qilib, beshning ildizining keyingi qiymati topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz boshqa qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Birinchidan, biz katta raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. 2,151,186 dan kattaroq raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaylik.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, keyin o'nlik raqamining qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar joyining qiymati 2 ga teng. Keling, o'nga o'taylik.

Hatto 12,9 3 radikal soni 2 151,186 dan kichik bo'lgani uchun o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish uchun qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Elektron jadval foydalanuvchilari kvadrat ildiz funksiyasidan keng foydalanishadi. Ma'lumotlar bilan ishlash odatda katta raqamlarni qayta ishlashni talab qilganligi sababli, qo'lda hisoblash juda qiyin bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada siz Excelda istalgan darajaning ildizini olish masalasining batafsil tahlilini topasiz.

Bu juda oson vazifa, chunki dasturda ro'yxatdan olinishi mumkin bo'lgan alohida funktsiya mavjud. Buning uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:

1. Sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosish orqali funksiya yoziladigan katakchani tanlang. Qora kontur paydo bo'ladi, faol satr va ustun to'q sariq rangda ajratib ko'rsatiladi va ism manzil katagida paydo bo'ladi.

   

2. Ustun nomlari ustida, manzil katakchasidan keyin, formulalar qatoridan oldin joylashgan “fx” (“Funktsiyani qo'shish”) tugmasini bosing.

   

3. "Root" funksiyasini topishingiz kerak bo'lgan ochiladigan menyu paydo bo'ladi. Buni "Matematika" toifasida yoki "To'liq alifbo tartibida" sichqoncha bilan quyida joylashgan menyuni aylantirish orqali amalga oshirish mumkin.

   

4. Sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosish orqali "Root" elementini tanlang, so'ngra - "OK" tugmasini bosing.

   

5. Quyidagi menyu paydo bo'ladi - "Funktsiya argumentlari".

   

6. Raqamni kiriting yoki oldindan ushbu ifoda yoki formula yozilgan katakchani tanlang, buning uchun "Raqam" qatorida sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosing, so'ng kursorni kerakli katak ustiga olib boring va ustiga bosing. Hujayra nomi avtomatik ravishda qatorga kiritiladi.

   

7. "OK" tugmasini bosing.

   

8. Va hamma narsa tayyor, funktsiya kvadrat ildizni hisoblab chiqdi, natijani tanlangan hujayraga yozdi.

   

Bundan tashqari, raqam va katak (ushbu katakka to'ldirilgan ma'lumotlar) yoki ikkita katakchaning yig'indisining kvadrat ildizini ajratib olish mumkin, buning uchun "Raqam" qatoriga qiymatlarni kiriting. Raqamni yozing va katakchaga bir marta bosing, dastur qo'shish belgisini o'zi qo'yadi.

Eslatmada! Ushbu funktsiyani qo'lda ham kiritish mumkin. Formulalar qatoriga quyidagi ifodani kiriting: "=SQRT(x)", bu erda x - siz izlayotgan raqam.

3, 4 va boshqa darajali ildizlarni olish.

Excelda bu ifodani yechish uchun alohida funksiya mavjud emas. n-chi ildizni olish uchun avvalo uni matematik nuqtai nazardan ko'rib chiqish kerak.

n-chi ildiz sonni qarama-qarshi darajaga ko'tarishga teng (1/n). Ya'ni, kvadrat ildiz ½ (yoki 0,5) kuchiga to'g'ri keladi.

Masalan:

• 16 ning to'rtinchi ildizi ¼ ning darajasiga 16;
• kub ildizi 64 = 64 ning 1/3 kuchiga;

Elektron jadval dasturida ushbu amalni bajarishning ikki yo'li mavjud:

1. Funktsiya bilan.
2. "^" daraja belgisidan foydalanib, ifodani qo'lda kiriting.

Funktsiya yordamida istalgan darajadagi ildizni chiqarish

1. Kerakli katakchani tanlang va "Formulalar" yorlig'ida "Funktsiyani qo'shish" tugmasini bosing.

   

2. Ro'yxatni "Kategoriya" bandida, "Matematika" yoki "To'liq alifbo ro'yxati" toifasida kengaytiring, "Daraja" funksiyasini toping.

   

   

3. "Raqam" qatoriga bir marta bosish orqali raqamni (bizning holimizda bu 64 raqami) yoki hujayra nomini kiriting.

   

4. "Quvvat" qatorida siz ildizni ko'tarmoqchi bo'lgan quvvatni kiriting (1/3).

   

   Muhim! "/" belgisi bo'linish belgisini ko'rsatish uchun ishlatilishi kerak, standart bo'linish belgisi ":" emas.

5. "OK" tugmasini bosing va harakat natijasi dastlab tanlangan katakda paydo bo'ladi.

   

   

Eslatma! Funktsiyalar bilan ishlash bo'yicha fotosurat bilan eng batafsil ko'rsatmalar uchun yuqoridagi maqolaga qarang.

"^" daraja belgisi yordamida istalgan darajaning ildizini chiqarish

Eslatma! Darajani kasr yoki kasr sifatida yozishingiz mumkin. Masalan, ¼ kasrni 0,25 deb yozish mumkin. O'ndan, yuzdan, mingdan va hokazolarni ajratish uchun, matematikada odatiy bo'lganidek, vergul qo'ying..

Ifoda yozishga misollar

Ildizni ajratib olish operatsiyasini amalda muvaffaqiyatli qo'llash uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak.
Barcha xususiyatlar faqat ildiz belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va isbotlangan.

Teorema 1. Ikki manfiy bo'lmagan chipsetlar ko'paytmasining n-chi ildizi (n=2, 3, 4,...) bu raqamlarning n-ildizlari ko'paytmasiga teng:

Izoh:

1. 1-teorema radikal ifoda ikkidan ortiq manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi bo'lgan holatda o'z kuchini saqlab qoladi.

Teorema 2.Agar a, va n 1 dan katta natural son, keyin tenglik

1-teorema m ni ko'paytirishga imkon beradi faqat bir xil darajadagi ildizlar , ya'ni. faqat bir xil ko'rsatkichli ildizlar.

Teorema 3. Agar ,k natural son va n 1 dan katta natural son, keyin tenglik

Boshqacha qilib aytganda, ildizni tabiiy kuchga ko'tarish uchun, ildiz ifodasini shu kuchga ko'tarish kifoya.
Bu 1-teoremaning natijasidir. Darhaqiqat, masalan, k = 3 uchun biz olamiz

Teorema 4. Agar ,k, n 1 dan katta natural sonlar, keyin tenglik

Boshqacha qilib aytganda, ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Masalan,

Diqqatli bo'ling! Biz ildizlarda to'rtta amalni bajarish mumkinligini bilib oldik: ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildizni olish (ildizdan). Ammo ildizlarni qo'shish va ayirish haqida nima deyish mumkin? Bo'lishi mumkin emas.
Misol uchun, siz Haqiqatan ham o'rniga yozolmaysiz, lekin bu aniq

Teorema 5. Agar ildiz va ildiz ifodasining ko'rsatkichlarini bir xil natural songa ko'paytiring yoki bo'ling, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni.

Muammoni hal qilishga misollar

2-misol Hisoblash
Yechim. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiring.
Bizda ildizlarning ikkinchi xususiyatidan foydalanish ( teorema 2 ), biz olamiz:

3-misol Hisoblash:

Yechim. Algebradagi har qanday formula, siz yaxshi bilganingizdek, nafaqat "chapdan o'ngga", balki "o'ngdan chapga" ham qo'llaniladi. Demak, ildizlarning birinchi xossasi uning sifatida ifodalanishi va aksincha, ifoda bilan almashtirilishi mumkinligini bildiradi. Xuddi shu narsa ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham tegishli. Buni hisobga olib, hisob-kitoblarni qilaylik.

Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni tahlil qilamiz - 8-sinfning eng aqlga sig'maydigan mavzularidan biri. :)

Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lgani uchun (bu murakkab - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar) emas, balki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday yirtqichlar orqali aniqlangani sababli, faqat darslik mualliflarining o'zlari tomonidan chalkashib ketishadi. bu yozuvni tushunish mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan. :)

Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng vakolatli ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va shundan keyingina men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.

Ammo birinchi navbatda, bir muhim jihatni eslang, uni negadir ko'plab darslik tuzuvchilari "unutishadi":

Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek har qanday $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (har qanday $\sqrt(a)$) boʻlishi mumkin. , $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq daraja ildizining ta'rifi juftlikdan biroz farq qiladi.

Bu erda "biroz boshqacha" yashiringan, ehtimol, ildizlar bilan bog'liq barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95 foizi. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:

Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonidan toq darajaning ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ sondir: $((b)^(n))=a$.

Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:

\(a)\]

Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildiz (toq daraja), Bu ko'pincha muammolar va tenglamalarda ham uchraydi.

Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]

Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.

Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqmang:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!

Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.

Nima uchun bizga umuman ildiz kerak?

Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nega bizga bu ildizlar kerak?

Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum boshlang'ich maktabga qaytaylik. Esingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil bo'lib, chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" ruhida nimadir bo'ldi. Axir, siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Biroq, bu masala emas. Hiyla boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o'n beshning ko'payishini quyidagicha yozishlari kerak edi:

Shunday qilib, ular ilmiy darajaga ega bo'lishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Bu kabi:

Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar bir necha marta kamayadi, va siz ba'zi 5 183 yozish uchun daftar pergament varaqlar bir guruh sarflash mumkin emas. Bunday yozuv raqamning darajasi deb nomlandi, unda bir qancha xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.

Darajalar "kashfiyoti" arafasida uyushtirilgan ulkan ichimlikdan so'ng, ba'zi bir ayniqsa toshbo'ronli matematik birdan so'radi: "Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o'zini bilmasak nima bo'ladi?" Darhaqiqat, ma'lum bir $b$ soni, masalan, 5-darajali 243 ni berishini bilsak, $b$ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilish mumkin?

Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki "tayyor" darajalarning aksariyati uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]

$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, siz ma'lum bir raqamni topishingiz kerak, bu raqam uch marta ko'paytirilsa, bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni. bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin u nimaga teng - FIG siz tushunasiz.

Aynan shuning uchun matematiklar $n$-th ildizlarini o'ylab topishgan. Shuning uchun radikal belgi $\sqrt(*)$ kiritildi. Xuddi shu raqamni belgilash uchun $b $, belgilangan quvvatga, bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi

\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]

Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina ko'rib chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan o'zboshimchalik darajasining ildizini olishga harakat qilsangiz, sizni shafqatsiz bummer kutmoqda.

Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr shaklida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:

\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]

Yoki yana bir misol:

\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]

Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ishlashingiz kerak, aks holda siz ko'p aniq bo'lmagan xatolarga duch kelishingiz mumkin (aytmoqchi, taqqoslash va yaxlitlash mahorati profil imtihonida albatta tekshiriladi).

Shuning uchun jiddiy matematikada ildizlarsiz amalga oshirib bo'lmaydi - ular $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining, shuningdek, bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.

Ildizni $\frac(p)(q)$ ko`rinishdagi kasr sifatida ifodalashning mumkin emasligi bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi va ularni aniq ifodalash mumkin bo'lgan radikal yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, darajalar, chegaralar va boshqalar) bo'lmasa. Ammo bu haqda boshqa safar.

Barcha hisob-kitoblardan so'ng, irratsional sonlar hali ham javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]

Tabiiyki, ildizning ko'rinishi bilan kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, kalkulyatorda hisoblash mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga irratsional sonning faqat birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ deb yozish ancha to'g'riroq.

Ular aynan shu maqsadda ixtiro qilingan. Javoblarni yozishni osonlashtirish uchun.

Nima uchun ikkita ta'rif kerak?

Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlari mutlaqo har qanday raqamdan xotirjamlik bilan chiqariladi - hatto ijobiy, hatto salbiy.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:

Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda $y=4$ (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal chiziq chiziladi, u parabolani ikki nuqtada kesib o'tadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) _(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki

Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun u ildiz:

Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? 4 ning birdaniga ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday yozuvlarga sizni yeyishni xohlayotgandek qarashadi? :)

Muammo shundaki, agar qo'shimcha shartlar qo'yilmasa, to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.

Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:

1. To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichi teng bo'lgan ikkita ildizi bo'ladi;
2. Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.

Shuning uchun $n$ juft ildizining ta'rifi javobning manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligini aniq belgilaydi. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.

Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:

Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:

1. Kub parabolaning shoxlari odatdagidan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, qaysi balandlikda biz gorizontal chiziq chizamiz, bu chiziq, albatta, bizning grafik bilan kesishadi. Shuning uchun kub ildizi har doim, mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
2. Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun siz qaysi raqamni "to'g'ri" ildizni ko'rib chiqishingiz va qaysi biriga gol kiritishingiz haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarning ta'rifi juftlikdan ko'ra soddaroqdir (salbiy bo'lmaganlik sharti yo'q).

Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.

Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima - siz ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.

Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.

Va faqat juft va toq sonlar orasidagi farqni tushunishingiz kerak. Shuning uchun, biz yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:

1. Juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi ham doim manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
2. Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.

Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Ochilsinmi? Ha, bu aniq! Shuning uchun, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.

Asosiy xususiyatlar va cheklovlar

Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida dars bo'ladi. Shuning uchun, endi biz faqat teng ko'rsatkichli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "chip" ni ko'rib chiqamiz. Ushbu xususiyatni formula shaklida yozamiz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]

Boshqacha qilib aytganda, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va undan bir xil darajadagi ildizni chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu isbotlash oson bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x $ ni alohida ko'rib chiqish kifoya, keyin esa salbiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisini o'z ichiga olgan tenglamalar) yechish haqida gap ketganda, o'quvchilar birgalikda bu formulani unutishadi.

Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, oldinda ikkita raqamni sanashga harakat qilaylik:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]

Bular juda oddiy misollar. Birinchi misol ko'pchilik tomonidan hal qilinadi, lekin ikkinchisida ko'pchilik yopishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:

1. Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Yangi raqam olinadi, uni hatto ko'paytirish jadvalida ham topish mumkin;
2. Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi darajali ildizni ajratib olish kerak. Bular. ildizlar va darajalarning "kamayishi" yo'q - bu ketma-ket harakatlar.

Keling, birinchi ifoda bilan shug'ullanamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:

Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, buning uchun uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishimiz kerak:

\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]

Biz ijobiy raqamga ega bo'ldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 ta bo'lib, ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus bilan minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqarib oling:

Aslida, bu qatorni yozib bo'lmaydi, chunki javob bir xil bo'lishi aql bovar qilmaydi. Bular. bir xil teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija odatdagi moduldan farq qilmaydi:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]

Bu hisob-kitoblar juft daraja ildizining ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy emas, radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sondir. Aks holda, ildiz aniqlanmaydi.

Operatsiyalar tartibi haqida eslatma

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantiramiz, keyin esa olingan qiymatning kvadrat ildizini olamiz. Shuning uchun, manfiy bo'lmagan son har doim ildiz belgisi ostida o'tirishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki baribir $((a)^(2))\ge 0$;
2. Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonidan ildizni ajratib olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.

Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" kerak. Chunki agar ildiz ostida manfiy son bo‘lsa va uning ko‘rsatkichi juft bo‘lsa, bizda juda ko‘p muammolar paydo bo‘ladi.

Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.

Ildiz belgisi ostidan minus belgisini olib tashlash

Tabiiyki, toq ko'rsatkichli ildizlarning ham o'ziga xos xususiyati bor, ular, qoida tariqasida, juftlar uchun mavjud emas. Aynan:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Xulosa qilib aytganda, g'alati darajadagi ildizlarning belgisi ostidan minusni chiqarib olishingiz mumkin. Bu barcha minuslarni "tashlash" imkonini beruvchi juda foydali xususiyat:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]

Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostiga tushsa va ildiz darajasi teng bo'lib chiqsa nima bo'ladi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda ko'plab shubhali ishlarni bajarishi mumkin, bu esa "klassik" ildizlar holatida bizni yomonlikka olib kelishi kafolatlanadi. xato.

Va bu erda sahnaga yana bir ta'rif kiradi - aksariyat maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!

arifmetik ildiz

Bir zum faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft / toq ko'rsatkichlar bo'yicha ball to'playmiz, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflar bo'yicha ball to'playmiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?

Va keyin biz arifmetik ildizni olamiz - u bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman kesishadi, lekin baribir ulardan farq qiladi.

Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.

Ko'rib turganingizdek, bizni endi parite qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.

Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun bizga allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:

Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Salbiy raqamni ildiz otish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarashingiz shart emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.

Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga kastratsiya qilingan ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"

Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

E'tibor bering: biz ildiz ifodasini istalgan darajaga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana bir nechta misollar:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizala)\]

Xo'sh, buning nimasi yomon? Nega biz buni oldin qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy iborani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu bizning klassik ma'nomizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilib bo'lmaydigan raqam. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ko'rib turganingizdek, birinchi holda, biz radikal ostidan minusni chiqardik (bizda barcha huquqlar bor, chunki indikator g'alati), ikkinchisida biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. matematika nuqtai nazaridan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan ko'rsatkich formulasi manfiy sonlar holatida to'liq bid'atni bera boshlaydi.

Mana, bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular arifmetik ildizlarni o'ylab topishdi. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Endi biz ular haqida to'xtalmaymiz - baribir dars juda uzun bo'lib chiqdi.

Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun

Men uzoq vaqt o'yladim: bu mavzuni alohida paragrafda qilish yoki qilmaslik. Oxir-oqibat, men bu erdan ketishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni xohlaydiganlar uchun mo'ljallangan - o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiadaga yaqin darajada.

Shunday qilib: sondan $n$-chi daraja ildizining "klassik" ta'rifi va unga bog'liq bo'lgan juft va toq ko'rsatkichlarga bo'linishidan tashqari, paritetga bog'liq bo'lmagan ko'proq "kattalar" ta'rifi mavjud. umuman boshqa nozikliklar. Bu algebraik ildiz deyiladi.

Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun tepaga chiziqcha qo'ying:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]

Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turdagi:

1. Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish talab qilinganda yuzaga keladi;
2. Bitta elementdan tashkil topgan to'plam. Toq kuchlarning barcha ildizlari, shuningdek, noldan boshlab juft darajalarning ildizlari bu toifaga kiradi;
3. Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya diagrammasi. Shunga ko'ra, bunday tekislash faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.

Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.

Misol. Ifodalarni hisoblash:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Yechim. Birinchi ifoda oddiy:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]

Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.

\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]

Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildizning ko'rsatkichi g'alati.

Nihoyat, oxirgi ifoda:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Bizda bo'sh to'plam bor. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) Kuchga ko'tarilganda bizga manfiy -16 sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.

Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash mumkin.

Biroq, matematikaning zamonaviy maktab o'quv dasturida murakkab sonlar deyarli topilmaydi. Ular ko‘pchilik darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning mutasaddilar mavzuni “tushunish juda qiyin” deb hisoblaydi.

Ana xolos. Keyingi darsda biz ildizlarning barcha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganamiz. :)

Men yana plastinkaga qaradim ... Va, ketaylik!

Oddiydan boshlaylik:

Bir daqiqa kuting. bu shuni anglatadiki, biz buni shunday yozishimiz mumkin:

Tushundim? Mana sizga keyingisi:

Olingan raqamlarning ildizlari aniq olinmaganmi? Xavotir olmang, bu erda bir nechta misollar mavjud:

Ammo ikkita ko'paytiruvchi emas, balki ko'proq bo'lsa-chi? Bir xil! Ildizni ko'paytirish formulasi har qanday omillar bilan ishlaydi:

Endi butunlay mustaqil:

Javoblar: Barakalla! Qabul qiling, hamma narsa juda oson, asosiysi ko'paytirish jadvalini bilishdir!

Ildiz bo'linishi

Biz ildizlarning ko'payishini aniqladik, endi bo'linish xususiyatiga o'tamiz.

Sizga eslatib o'tamanki, formula umumiy tarzda quyidagicha ko'rinadi:

Va bu shuni anglatadiki bo'lakning ildizi ildizlarning qismiga teng.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Hammasi fan. Va bu erda bir misol:

Hamma narsa birinchi misoldagidek silliq emas, lekin siz ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Agar ifoda quyidagicha ko'rinsa nima bo'ladi:

Siz formulani teskari tartibda qo'llashingiz kerak:

Va bu erda bir misol:

Siz ushbu ifodani ham ko'rishingiz mumkin:

Hammasi bir xil, faqat bu erda siz kasrlarni qanday tarjima qilishni eslab qolishingiz kerak (agar eslamasangiz, mavzuga qarang va qaytib keling!). Esingizdami? Endi biz qaror qilamiz!

Ishonchim komilki, siz hamma narsani, hamma narsani engdingiz, endi ildizlarni bir darajaga qurishga harakat qilaylik.

Eksponentsiya

Kvadrat ildiz kvadrat bo'lsa nima bo'ladi? Bu oddiy, raqamning kvadrat ildizining ma'nosini eslang - bu kvadrat ildizi teng bo'lgan raqam.

Xo'sh, agar biz kvadrat ildizi teng bo'lgan sonni kvadrat qilsak, nima bo'ladi?

Xo'sh, albatta,!

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Hammasi oddiy, to'g'rimi? Va agar ildiz boshqa darajada bo'lsa? Hammasi joyida; shu bo'ladi!

Xuddi shu mantiqqa rioya qiling va darajalar bilan xususiyatlarni va mumkin bo'lgan harakatlarni eslang.

"" mavzusidagi nazariyani o'qing va sizga hamma narsa juda aniq bo'ladi.

Misol uchun, bu erda bir ifoda bor:

Bu misolda daraja juft, lekin agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, quvvat xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisoblang:

Bu bilan hamma narsa aniq bo'lib tuyuladi, lekin bir darajali raqamdan ildizni qanday chiqarish mumkin? Mana, masalan, bu:

Juda oddiy, to'g'rimi? Agar daraja ikkidan katta bo'lsa-chi? Biz darajalarning xususiyatlaridan foydalangan holda xuddi shu mantiqqa amal qilamiz:

Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin o'zingizning misollaringizni hal qiling:

Va bu erda javoblar:

Ildiz belgisi ostida kirish

Biz ildizlar bilan nima qilishni o'rganmadik! Raqamni ildiz belgisi ostida kiritishni mashq qilishgina qoladi!

Bu juda oson!

Aytaylik, bizda raqam bor

U bilan nima qilishimiz mumkin? Albatta, uchlik kvadrat ildiz ekanligini yodda tutgan holda, uchlikni ildiz ostida yashiring!

Nega bizga kerak? Ha, misollarni yechishda imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:

Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat biz kvadrat ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkinligini yodda tutishimiz kerak.

Ushbu misolni o'zingiz uchun sinab ko'ring:
Siz boshqardingizmi? Keling, nimani olishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik:

Barakalla! Siz raqamni ildiz belgisi ostida kiritishga muvaffaq bo'ldingiz! Keling, bir xil darajada muhim narsaga o'tamiz - kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni qanday solishtirishni ko'rib chiqing!

Ildiz solishtirish

Nima uchun kvadrat ildizi bo'lgan raqamlarni solishtirishni o'rganishimiz kerak?

Juda onson. Ko'pincha, imtihonda uchraydigan katta va uzun iboralarda biz mantiqsiz javob olamiz (bu nima ekanligini eslaysizmi? Biz bu haqda bugun gaplashdik!)

Qabul qilingan javoblarni koordinata chizig'iga joylashtirishimiz kerak, masalan, tenglamani echish uchun qaysi interval mos ekanligini aniqlash uchun. Va bu erda to'siq paydo bo'ladi: imtihonda kalkulyator yo'q va usiz qaysi raqam kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini qanday tasavvur qilish mumkin? Bo'ldi shu!

Masalan, qaysi biri kattaroq ekanligini aniqlang: yoki?

Siz darhol aytolmaysiz. Keling, ildiz belgisi ostidagi raqamni qo'shishning tahlil qilingan xususiyatidan foydalanamiz?

Keyin oldinga:

Xo'sh, aniqki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi!

Bular. degani bo'lsa.

Bundan qat'iy xulosa chiqaramiz Va hech kim bizni boshqacha ishontira olmaydi!

Ko'p sonlardan ildizlarni ajratib olish

Undan oldin biz ildiz belgisi ostida omilni kiritdik, lekin uni qanday chiqarish kerak? Siz shunchaki uni ajratib ko'rsatishingiz va olingan narsani chiqarib olishingiz kerak!

Boshqa yo'l bilan borish va boshqa omillarga ajralish mumkin edi:

Yomon emas, to'g'rimi? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, o'zingizni qanday qulay his qilishingizni hal qiling.

Faktoring quyidagi kabi nostandart vazifalarni hal qilishda juda foydali:

Biz qo'rqmaymiz, biz harakat qilamiz! Biz har bir omilni ildiz ostida alohida omillarga ajratamiz:

Va endi o'zingiz sinab ko'ring (kalkulyatorsiz! Bu imtihonda bo'lmaydi):

Bu oxirmi? Biz yarim yo'lda to'xtamaymiz!

Hammasi shu, unchalik qo'rqinchli emas, to'g'rimi?

Bo'ldimi? Yaxshi, siz haqsiz!

Endi ushbu misolni sinab ko'ring:

Va misol - yorilish uchun qattiq yong'oq, shuning uchun siz unga qanday yondashishni darhol aniqlay olmaysiz. Lekin biz, albatta, tishdamiz.

Xo'sh, faktoringni boshlaylik, shundaymi? Darhol shuni ta'kidlaymizki, siz raqamni quyidagicha bo'lishingiz mumkin (bo'linish belgilarini eslang):

Va endi o'zingiz sinab ko'ring (yana kalkulyatorsiz!):

Xo'sh, ishladimi? Yaxshi, siz haqsiz!

Xulosa qilish

1. Manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildiz) kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.
   .
2. Agar biror narsaning kvadrat ildizini olsak, biz har doim bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
3. Arifmetik ildiz xususiyatlari:
4. Kvadrat ildizlarni solishtirganda shuni yodda tutish kerakki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi.

Kvadrat ildiz sizga qanday yoqadi? Hammasi tushunarli?

Biz sizga kvadrat ildiz haqida imtihonda bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani suvsiz tushuntirishga harakat qildik.

Endi seni navbating. Bu mavzu sizga qiyinmi yoki yo'qmi bizga yozing.

Siz yangi narsalarni o'rgandingizmi yoki hamma narsa allaqachon aniq edi.

Izohlarda yozing va imtihonlarda omad tilaymiz!