U 1, U 2, ..,U k mustaqil etalon bo'lsin normal qiymatlar. Tarqatish tasodifiy o'zgaruvchi K = U 1 2 +U 2 2 + .. + U k 2 bilan xi-kvadrat taqsimot deyiladi. k erkinlik darajalari (ular K~c 2 (k) ni yozadilar). Bu ijobiy egrilik va quyidagi xarakteristikaga ega bo'lgan unimodal taqsimot: rejim M=k-2 kutilgan qiymat m=k dispersiya D=2k (rasm). Qachon yetarli katta ahamiyatga ega parametr k taqsimot ch 2 (k) parametrlari bilan taxminan normal taqsimotga ega

Muammolarni hal qilishda matematik statistika kritik nuqtalar ch 2 (k) ga qarab ishlatiladi berilgan ehtimollik a va erkinlik darajalari soni k(2-ilova). Kritik nuqta c 2 kr = Χ 2 (k; a) mintaqaning chegarasi bo'lib, uning o'ng tomonida tarqalish zichligi egri chizig'i ostidagi maydonning 100-a% i yotadi. Sinov paytida tasodifiy miqdorning qiymati K~c 2 (k) ch 2 (k) nuqtadan o‘ngga tushishi ehtimolligi a P(K≥c 2 kp)≤ a) dan oshmaydi. Masalan, K~c 2 (20) tasodifiy miqdor uchun a=0,05 ehtimollikni o‘rnatamiz. Jadvalga ko'ra tanqidiy nuqtalar taqsimot "chi-kvadrat" (jadvallar) biz topamiz ch 2 kp = ch 2 (20;0,05)=31,4. Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli K 31,4 dan katta, 0,05 dan kichik qiymatni oling (rasm).

Guruch. Erkinlik darajalari sonining turli qiymatlari uchun ch 2 (k) taqsimot zichligi grafigi k

Kritik nuqtalar ch 2 (k) quyidagi kalkulyatorlarda qo'llaniladi:

Multikollinearlikni tekshirish (multikollinearlik haqida).

Chi-kvadrat gipotezasini tekshirish faqat "aloqa bormi?" Degan savolga javob beradi, munosabatlar yo'nalishini tekshirish uchun qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi. Bundan tashqari, Chi-kvadrat testi past chastotali ma'lumotlar bilan ishlashda ma'lum bir xato beradi.

Shuning uchun aloqa yo'nalishini tekshirish uchun tanlangan korrelyatsiya tahlili, xususan, Pearson korrelyatsiya koeffitsienti yordamida gipotezani sinab ko'rish, t-testi yordamida ishonchlilikni keyingi sinovdan o'tkazish.

Muhimlik darajasining har qanday qiymati uchun a kh 2 ni MS Excel funksiyasi yordamida topish mumkin: = XI2OBR (a; erkinlik darajalari)

n-1	.995	.990	.975	.950	.900	.750	.500	.250	.100	.050	.025	.010	.005
1	0.00004	0.00016	0.00098	0.00393	0.01579	0.10153	0.45494	1.32330	2.70554	3.84146	5.02389	6.63490	7.87944
2	0.01003	0.02010	0.05064	0.10259	0.21072	0.57536	1.38629	2.77259	4.60517	5.99146	7.37776	9.21034	10.59663
3	0.07172	0.11483	0.21580	0.35185	0.58437	1.21253	2.36597	4.10834	6.25139	7.81473	9.34840	11.34487	12.83816
4	0.20699	0.29711	0.48442	0.71072	1.06362	1.92256	3.35669	5.38527	7.77944	9.48773	11.14329	13.27670	14.86026
5	0.41174	0.55430	0.83121	1.14548	1.61031	2.67460	4.35146	6.62568	9.23636	11.07050	12.83250	15.08627	16.74960
6	0.67573	0.87209	1.23734	1.63538	2.20413	3.45460	5.34812	7.84080	10.64464	12.59159	14.44938	16.81189	18.54758
7	0.98926	1.23904	1.68987	2.16735	2.83311	4.25485	6.34581	9.03715	12.01704	14.06714	16.01276	18.47531	20.27774
8	1.34441	1.64650	2.17973	2.73264	3.48954	5.07064	7.34412	10.21885	13.36157	15.50731	17.53455	20.09024	21.95495
9	1.73493	2.08790	2.70039	3.32511	4.16816	5.89883	8.34283	11.38875	14.68366	16.91898	19.02277	21.66599	23.58935
10	2.15586	2.55821	3.24697	3.94030	4.86518	6.73720	9.34182	12.54886	15.98718	18.30704	20.48318	23.20925	25.18818
11	2.60322	3.05348	3.81575	4.57481	5.57778	7.58414	10.34100	13.70069	17.27501	19.67514	21.92005	24.72497	26.75685
12	3.07382	3.57057	4.40379	5.22603	6.30380	8.43842	11.34032	14.84540	18.54935	21.02607	23.33666	26.21697	28.29952
13	3.56503	4.10692	5.00875	5.89186	7.04150	9.29907	12.33976	15.98391	19.81193	22.36203	24.73560	27.68825	29.81947
14	4.07467	4.66043	5.62873	6.57063	7.78953	10.16531	13.33927	17.11693	21.06414	23.68479	26.11895	29.14124	31.31935
15	4.60092	5.22935	6.26214	7.26094	8.54676	11.03654	14.33886	18.24509	22.30713	24.99579	27.48839	30.57791	32.80132
16	5.14221	5.81221	6.90766	7.96165	9.31224	11.91222	15.33850	19.36886	23.54183	26.29623	28.84535	31.99993	34.26719
17	5.69722	6.40776	7.56419	8.67176	10.08519	12.79193	16.33818	20.48868	24.76904	27.58711	30.19101	33.40866	35.71847
18	6.26480	7.01491	8.23075	9.39046	10.86494	13.67529	17.33790	21.60489	25.98942	28.86930	31.52638	34.80531	37.15645
19	6.84397	7.63273	8.90652	10.11701	11.65091	14.56200	18.33765	22.71781	27.20357	30.14353	32.85233	36.19087	38.58226
20	7.43384	8.26040	9.59078	10.85081	12.44261	15.45177	19.33743	23.82769	28.41198	31.41043	34.16961	37.56623	39.99685
21	8.03365	8.89720	10.28290	11.59131	13.23960	16.34438	20.33723	24.93478	29.61509	32.67057	35.47888	38.93217	41.40106
22	8.64272	9.54249	10.98232	12.33801	14.04149	17.23962	21.33704	26.03927	30.81328	33.92444	36.78071	40.28936	42.79565
23	9.26042	10.19572	11.68855	13.09051	14.84796	18.13730	22.33688	27.14134	32.00690	35.17246	38.07563	41.63840	44.18128
24	9.88623	10.85636	12.40115	13.84843	15.65868	19.03725	23.33673	28.24115	33.19624	36.41503	39.36408	42.97982	45.55851
25	10.51965	11.52398	13.11972	14.61141	16.47341	19.93934	24.33659	29.33885	34.38159	37.65248	40.64647	44.31410	46.92789
26	11.16024	12.19815	13.84390	15.37916	17.29188	20.84343	25.33646	30.43457	35.56317	38.88514	41.92317	45.64168	48.28988
27	11.80759	12.87850	14.57338	16.15140	18.11390	21.74940	26.33634	31.52841	36.74122	40.11327	43.19451	46.96294	49.64492
28	12.46134	13.56471	15.30786	16.92788	18.93924	22.65716	27.33623	32.62049	37.91592	41.33714	44.46079	48.27824	50.99338
29	13.12115	14.25645	16.04707	17.70837	19.76774	23.56659	28.33613	33.71091	39.08747	42.55697	45.72229	49.58788	52.33562
30	13.78672	14.95346	16.79077	18.49266	20.59923	24.47761	29.33603	34.79974	40.25602	43.77297	46.97924	50.89218	53.67196

Erkinlik darajalari soni k	Muhimlik darajasi a
Erkinlik darajalari soni k	0,01	0,025	0.05	0,95	0,975	0.99
1	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
2	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
3	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
4	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
5	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
6	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
7	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
8	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
9	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
10	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
11	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
12	26.2	23.3	21 .0	5.23	4.40	3.57
13	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
14	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
15	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
16	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
17	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
18	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
19	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
20	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
21	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
22	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
23	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
24	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
25	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
26	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
27	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
28	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
29	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
30	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

Chi-kvadrat taqsimoti

Yordamida normal taqsimot uchta taqsimot aniqlangan bo'lib, ular hozirda statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda tez-tez qo'llaniladi. Bular Pearson ("chi - kvadrat"), Student va Fisherning taqsimotlari.

Biz taqsimotga ("chi - kvadrat") e'tibor qaratamiz. Bu taqsimot birinchi marta 1876 yilda astronom F. Helmert tomonidan o'rganilgan. Gauss xatolar nazariyasi bilan bog'liq holda u n ta mustaqil standart normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarning kvadratlari yig'indisini o'rgandi. Keyinchalik Karl Pirson bu taqsimot funksiyasini “chi-kvadrat” deb atadi. Va endi tarqatish uning nomini oladi.

Oddiy taqsimot bilan chambarchas bog'liqligi tufayli h2 taqsimoti ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada muhim rol o'ynaydi. h2 taqsimoti va h2 taqsimoti bilan aniqlangan ko'plab boshqa taqsimotlar (masalan, Talaba taqsimoti) normal taqsimlangan kuzatishlar bo'yicha turli funktsiyalarning namunaviy taqsimotlarini tavsiflaydi va ishonch oraliqlari va statistik testlarni qurish uchun ishlatiladi.

Pirson taqsimoti (chi - kvadrat) - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi, bunda X1, X2,…, Xn normal mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lib, ularning har birining matematik kutilishi nolga teng, standart og'ish esa bitta.

Kvadratlar yig'indisi

qonunga muvofiq taqsimlanadi ("chi - kvadrat").

Bunday holda, atamalar soni, ya'ni. n, chi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi. Erkinlik darajalari soni ortib borishi bilan taqsimot asta-sekin me'yorga yaqinlashadi.

Ushbu taqsimotning zichligi

Shunday qilib, h2 ning taqsimlanishi bitta parametrga bog'liq n - erkinlik darajalari soni.

Tarqatish funktsiyasi h2 quyidagi ko'rinishga ega:

agar h2?0. (2.7.)

1-rasmda turli erkinlik darajalari uchun ehtimollik zichligi va ch2 taqsimot funksiyasining grafigi berilgan.

1-rasm Turli xil erkinlik darajalari uchun h2 (chi - kvadrat) taqsimotida q (x) ehtimollik zichligining bog'liqligi.

"Xi-kvadrat" taqsimotining momentlari:

Xi-kvadrat taqsimoti dispersiyani baholashda (ishonch oralig'idan foydalangan holda), muvofiqlik, bir xillik, mustaqillik gipotezalarini sinab ko'rishda, birinchi navbatda cheklangan miqdordagi qiymatlarni qabul qiladigan sifatli (toifalangan) o'zgaruvchilar uchun va boshqa ko'plab masalalarda qo'llaniladi. statistik tahlil ma'lumotlar.

Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish muammolarida "Chi-kvadrat"

Ma'lumotlarni tahlil qilishning statistik usullari inson faoliyatining deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. Ular har qanday ichki xilma-xillikka ega bo'lgan guruh (ob'ektlar yoki sub'ektlar) to'g'risida har qanday mulohazalarni olish va asoslash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

Rivojlanishning zamonaviy bosqichi statistik usullar 1900 yilda ingliz K.Pirson "Biometrika" jurnaliga asos solgan paytdan boshlab hisoblash mumkin. 20-asrning birinchi uchdan bir qismi parametrik statistika belgisi ostida o'tdi. Pearson oilasi egri chiziqlari bilan tavsiflangan taqsimotlarning parametrik oilalari ma'lumotlarini tahlil qilishga asoslangan usullar o'rganildi. Eng mashhuri oddiy taqsimot edi. Gipotezalarni tekshirish uchun Pearson, Student va Fisher mezonlaridan foydalanilgan. Maksimal ehtimollik usuli, dispersiyani tahlil qilish taklif qilindi va eksperimentni rejalashtirishning asosiy g'oyalari shakllantirildi.

Chi-kvadrat taqsimoti statistikada sinov uchun eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biridir statistik farazlar. "Xi-kvadrat" taqsimoti asosida eng kuchli moslik testlaridan biri - Pirsonning "chi-kvadrat" testi tuzilgan.

Muvofiqlik testi noma'lum taqsimotning taklif qilingan qonuni haqidagi gipotezani tekshirish mezoni hisoblanadi.

P2 ("chi-kvadrat") testi turli xil taqsimotlar gipotezasini tekshirish uchun ishlatiladi. Bu uning xizmati.

Mezonning hisoblash formulasi ga teng

bu yerda m va m" mos ravishda empirik va nazariy chastotalardir

ko'rib chiqilayotgan taqsimot;

n - erkinlik darajalari soni.

Tekshirish uchun biz empirik (kuzatilgan) va nazariy (normal taqsimot taxmini ostida hisoblangan) chastotalarni solishtirishimiz kerak.

Agar empirik chastotalar hisoblangan yoki kutilgan chastotalar bilan to'liq mos kelsa, S (E - T) = 0 va ch2 mezoni ham nolga teng bo'ladi. Agar S (E - T) nolga teng bo'lmasa, bu hisoblangan chastotalar va seriyaning empirik chastotalari o'rtasidagi nomuvofiqlikni ko'rsatadi. Bunday hollarda nazariy jihatdan noldan cheksizgacha o'zgarishi mumkin bo'lgan p2 mezonining ahamiyatini baholash kerak. Bu ch2f ning haqiqiy olingan qiymatini uning kritik qiymati (ch2st) (a) va erkinlik darajalari soni (n) bilan solishtirish orqali amalga oshiriladi.

H2 tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini taqsimlash doimiy va assimetrikdir. Bu erkinlik darajalari soniga (n) bog'liq va kuzatishlar soni ortib borishi bilan normal taqsimotga yaqinlashadi. Shuning uchun baholashga p2 mezonini qo'llash diskret taqsimotlar uning qiymatiga ta'sir qiluvchi ba'zi xatolar bilan bog'liq, ayniqsa kichik namunalar uchun. Aniqroq hisob-kitoblarni olish uchun namuna taqsimlanadi variatsion qator, kamida 50 ta variant bo'lishi kerak. To'g'ri ariza p2 mezoni, shuningdek, ekstremal sinflardagi variantlarning chastotalari 5 dan kam bo'lmasligini talab qiladi; agar ularning soni 5 dan kam bo'lsa, u holda ular qo'shni sinflarning chastotalari bilan birlashtiriladi, shunda umumiy miqdor 5 dan katta yoki teng bo'ladi. Chastotalar birikmasiga ko'ra, sinflar soni (N) ham kamayadi. Erkinlik darajalari soni o'zgaruvchanlik erkinligiga cheklovlar sonini hisobga olgan holda sinflarning ikkinchi darajali soniga qarab belgilanadi.

p2 mezonini aniqlashning aniqligi ko'p jihatdan nazariy chastotalarni (T) hisoblashning aniqligiga bog'liq bo'lganligi sababli, empirik va hisoblangan chastotalar orasidagi farqni olish uchun yaxlitlanmagan nazariy chastotalardan foydalanish kerak.

Misol tariqasida, gumanitar fanlarda statistik usullarni qo'llashga bag'ishlangan veb-saytda chop etilgan tadqiqotni olaylik.

Chi-kvadrat testi chastota taqsimotini, ular normal taqsimlanganmi yoki yo'qmi, taqqoslash imkonini beradi.

Chastotasi hodisaning sodir bo'lish sonini bildiradi. Odatda, hodisaning paydo bo'lish chastotasi o'zgaruvchilar nomlar shkalasida o'lchanganda va ularning chastotasidan tashqari boshqa xususiyatlarini tanlash imkonsiz yoki muammoli bo'lganda ko'rib chiqiladi. Boshqacha qilib aytganda, o'zgaruvchi sifat xususiyatlariga ega bo'lganda. Bundan tashqari, ko'plab tadqiqotchilar test ballarini darajalarga (yuqori, o'rta, past) tarjima qiladilar va bu darajadagi odamlar sonini bilish uchun ballar taqsimoti jadvallarini tuzadilar. Darajaning birida (toifalarning birida) odamlar soni haqiqatan ham ko'proq (kamroq) ekanligini isbotlash uchun Chi-kvadrat koeffitsienti ham qo'llaniladi.

Keling, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

Yosh o'smirlar o'rtasida o'z-o'zini hurmat qilish testi o'tkazildi. Test ballari uchta darajaga aylantirildi: yuqori, o'rta, past. Chastotalar quyidagicha taqsimlandi:

Yuqori (H) 27 kishi.

O'rta (C) 12 kishi

Past (H) 11 kishi.

Ko'rinib turibdiki, o'z-o'zini hurmat qiladigan bolalarning aksariyati, ammo buni statistik jihatdan isbotlash kerak. Buning uchun biz Chi-kvadrat testidan foydalanamiz.

Bizning vazifamiz olingan empirik ma'lumotlar nazariy jihatdan bir xil ehtimolli ma'lumotlardan farq qiladimi yoki yo'qligini tekshirishdir. Buning uchun nazariy chastotalarni topish kerak. Bizning holatlarimizda nazariy chastotalar teng ehtimolli chastotalar bo'lib, ular barcha chastotalarni qo'shish va toifalar soniga bo'lish yo'li bilan topiladi.

Bizning holatda:

(B + C + H) / 3 \u003d (27 + 12 + 11) / 3 \u003d 16,6

Xi-kvadrat testini hisoblash formulasi:

h2 \u003d? (E - T)? / T

Biz jadval tuzamiz:

Empirik (Uh)	Nazariy (T)

Oxirgi ustunning yig'indisini toping:

Endi siz kriteriyaning kritik qiymatini kritik qiymatlar jadvaliga muvofiq topishingiz kerak (Ilovadagi 1-jadval). Buning uchun bizga erkinlik darajalari soni (n) kerak.

n = (R - 1) * (C - 1)

Bu erda R - jadvaldagi qatorlar soni, C - ustunlar soni.

Bizning holatda, faqat bitta ustun (asl empirik chastotalarni anglatadi) va uchta qator (toifalar) mavjud, shuning uchun formula o'zgaradi - biz ustunlarni istisno qilamiz.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Xatolik ehtimoli p?0,05 va n = 2 uchun kritik qiymat h2 = 5,99 ga teng.

Olingan empirik qiymat kritik qiymatdan katta - chastotalar farqlari sezilarli (n2= 9,64; p≤0,05).

Ko'rib turganingizdek, mezonni hisoblash juda oddiy va ko'p vaqt talab qilmaydi. Chi-kvadrat testining amaliy ahamiyati juda katta. Bu usul anketalarga berilgan javoblarni tahlil qilishda eng qimmatlidir.

Keling, murakkabroq misolni olaylik.

Masalan, psixolog o'qituvchilarning qizlarga nisbatan o'g'il bolalarga nisbatan ko'proq tarafkashlik qilishlari rostmi yoki yo'qligini bilmoqchi. Bular. qizlarni maqtash ehtimoli ko'proq. Buning uchun psixolog o'quvchilarning o'qituvchilar tomonidan yozilgan xususiyatlarini tahlil qilib, uchta so'zning paydo bo'lish chastotasi bo'yicha: "faol", "tirishqoq", "intizomli", so'zlarning sinonimlari ham hisobga olingan. So'zlarning paydo bo'lish chastotasi to'g'risidagi ma'lumotlar jadvalga kiritilgan:

Olingan ma'lumotlarni qayta ishlash uchun biz chi-kvadrat testidan foydalanamiz.

Buning uchun biz empirik chastotalarni taqsimlash jadvalini tuzamiz, ya'ni. Biz kuzatadigan chastotalar:

Nazariy jihatdan biz chastotalarning teng taqsimlanishini kutamiz, ya'ni. chastota o'g'il va qiz bolalar o'rtasida mutanosib ravishda taqsimlanadi. Keling, nazariy chastotalar jadvalini tuzamiz. Buning uchun satr yig'indisini ustun yig'indisiga ko'paytiring va olingan sonni umumiy yig'indiga (s) bo'ling.

Olingan hisob-kitoblar jadvali quyidagicha ko'rinadi:

h2 \u003d? (E - T)? / T

n = (R - 1), bu erda R - jadvaldagi qatorlar soni.

Bizning holatda, chi-kvadrat = 4,21; n = 2.

Mezonning kritik qiymatlari jadvaliga ko'ra, biz quyidagilarni topamiz: n = 2 va xato darajasi 0,05, kritik qiymat h2 = 5,99.

Olingan qiymat kritik qiymatdan kichik, bu esa nol gipoteza qabul qilinganligini bildiradi.

Xulosa: o'qituvchilar bolaning xususiyatlarini yozishda uning jinsiga ahamiyat bermaydilar.

Ilova

Kritik taqsimot nuqtalari p2

\(\chi^2\) testi ("chi-kvadrat", shuningdek, "Pirsonning moslik testi") statistikada juda keng qo'llaniladi. DA umumiy ko'rinish u kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir nazariy taqsimot qonuniga bo'ysunishi haqidagi nol gipotezani tekshirish uchun ishlatiladi, deb aytishimiz mumkin (batafsilroq, masalan, qarang). Maxsus so'zlar tekshirilishi mumkin bo'lgan gipoteza har bir holatda farq qiladi.

Ushbu postda men immunologiyadan (gipotetik) misol yordamida \(\chi^2\) testi qanday ishlashini tasvirlab beraman. Tasavvur qiling-a, biz tanaga tegishli antikorlar kiritilganda mikrobial kasallikning rivojlanishini bostirish samaradorligini aniqlash uchun tajriba o'tkazdik. Tajribada jami 111 ta sichqon ishtirok etdi, biz ularni ikkita guruhga, jumladan, mos ravishda 57 va 54 ta hayvonlarga ajratdik. Sichqonlarning birinchi guruhiga patogen bakteriyalar kiritildi, keyin bu bakteriyalarga qarshi antikorlarni o'z ichiga olgan qon zardobi kiritildi. Ikkinchi guruh hayvonlari nazorat sifatida xizmat qildi - ular faqat bakterial in'ektsiyalarni oldilar. Bir muncha vaqt inkubatsiyadan so'ng, 38 ta sichqon vafot etgani va 73 tasi tirik qolgani ma'lum bo'ldi. Halok bo‘lganlarning 13 nafari birinchi guruhga, 25 nafari ikkinchi (nazorat) guruhiga tegishli. bu tajribada sinab ko'rildi nol gipoteza quyidagicha shakllantirish mumkin: zardobni antikorlar bilan kiritish sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilmaydi. Boshqacha qilib aytganda, biz sichqonlarning omon qolishida kuzatilgan farqlar (birinchi guruhda 77,2% va ikkinchi guruhda 53,7%) mutlaqo tasodifiy va antikorlarning ta'siri bilan bog'liq emasligini ta'kidlaymiz.

Tajribada olingan ma'lumotlarni jadval shaklida taqdim etish mumkin:

			Jami
Bakteriyalar + sarum
Faqat bakteriyalar
Jami

Shunga o'xshash jadvallar favqulodda jadvallar deb ataladi. Ushbu misolda jadval 2x2 o'lchamga ega: ob'ektlarning ikkita klassi ("Bakteriyalar + sarum" va "Faqat bakteriyalar") mavjud bo'lib, ular ikkita mezon bo'yicha ("O'lik" va "Omon qolgan") tekshiriladi. bu eng oddiy holat favqulodda jadvallar: albatta, o'rganilayotgan sinflar soni ham, xususiyatlar soni ham ko'proq bo'lishi mumkin.

Yuqorida keltirilgan nol gipotezani sinab ko'rish uchun, agar antikorlar haqiqatan ham sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilmasa, vaziyat qanday bo'lishini bilishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, siz hisoblashingiz kerak kutilgan chastotalar favqulodda vaziyatlar jadvalining tegishli kataklari uchun. Buni qanday qilish kerak? Tajribada jami 38 ta sichqon vafot etdi, bu ularning 34,2% ni tashkil qiladi umumiy soni jalb qilingan hayvonlar. Agar antikorlarning kiritilishi sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qilmasa, ikkala eksperimental guruhda ham bir xil o'lim foizi kuzatilishi kerak, ya'ni 34,2%. 57 va 54 ning 34,2% qancha ekanligini hisoblab, biz 19,5 va 18,5 ni olamiz. Bu bizning eksperimental guruhlarimizda kutilayotgan o'lim ko'rsatkichlari. Kutilayotgan omon qolish darajasi xuddi shunday tarzda hisoblanadi: jami 73 ta sichqon yoki ularning umumiy sonining 65,8 foizi omon qolganligi sababli, kutilayotgan omon qolish darajasi 37,5 va 35,5 ni tashkil qiladi. Keling, kutilayotgan chastotalar bilan yangi favqulodda vaziyatlar jadvalini tuzamiz:

	o'lik	Omon qolganlar	Jami
Bakteriyalar + sarum
Faqat bakteriyalar
Jami

Ko'rib turganingizdek, kutilgan chastotalar kuzatilganlardan ancha farq qiladi, ya'ni. antikorlarni qo'llash patogen bilan kasallangan sichqonlarning omon qolishiga ta'sir qiladi. Biz bu taassurotni Pearsonning muvofiqlik testi \(\chi^2\) yordamida aniqlashimiz mumkin:

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

Bu erda \(f_o\) va \(f_e\) mos ravishda kuzatilgan va kutilayotgan chastotalardir. Yig'ish jadvalning barcha kataklari bo'ylab amalga oshiriladi. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misol uchun bizda bor

\[\chi^2 = (13-19,5)^2/19,5 + (44-37,5)^2/37,5 + (25-18,5)^2/18,5 + (29-35,5)^2/35,5 = \]

\(\chi^2\) nol gipotezani rad etish uchun etarlicha kattami? Bu savolga javob berish uchun mezonning tegishli kritik qiymatini topish kerak. \(\chi^2\) uchun erkinlik darajalari soni \(df = (R - 1)(C - 1)\ sifatida hisoblanadi), bu erda \(R\) va \(C\) sondir. jadval konjugasiyasidagi satrlar va ustunlar. Bizning holatda \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Erkinlik darajalari sonini bilgan holda, biz qchisq() standart R-funktsiyasidan foydalanib, kritik qiymatni \(\chi^2\) osonlikcha bilib olamiz:

Shunday qilib, bir darajadagi erkinlik uchun \(\chi^2\) mezonining qiymati faqat 5% hollarda 3,841 dan oshadi. Biz olgan qiymat, 6,79, bu muhim qiymatdan sezilarli darajada oshadi, bu bizga antikorlarni yuborish va yuqtirgan sichqonlarning omon qolishi o'rtasidagi bog'liqlik yo'qligi haqidagi nol gipotezani rad etish huquqini beradi. Ushbu gipotezani rad etib, biz 5% dan kam ehtimollik bilan xato qilish xavfi bor.

Shuni ta'kidlash kerakki, 2x2 o'lchamdagi favqulodda vaziyatlar jadvallari bilan ishlashda \(\chi^2\) mezonining yuqoridagi formulasi biroz yuqori baholangan qiymatlarni beradi. Buning sababi shundaki, \(\chi^2\) mezonining taqsimlanishi uzluksiz, ikkilik xususiyatlarning chastotalari ("o'lgan" / "omon qolgan") ta'rifi bo'yicha diskretdir. Shu munosabat bilan, mezonni hisoblashda, deb ataladigan narsani kiritish odatiy holdir. uzluksizlikni tuzatish, yoki Yates tuzatish :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0,5)^2)(f_e).\]

Pearson Yates bilan "Xi-kvadrat testi" uzluksizlikni tuzatish ma'lumotlari: sichqonlar X-kvadrat = 5,7923, df = 1, p-qiymati = 0,0161

Ko'rib turganingizdek, R avtomatik ravishda doimiylik uchun Yates tuzatishini qo'llaydi ( Yatesning uzluksizligini tuzatish bilan Pearsonning Chi-kvadrat testi). Dastur tomonidan hisoblangan \(\chi^2\) qiymati 5,79213 edi. Antikor ta'sirining yo'qligi haqidagi nol gipotezani 1% dan sal ko'proq ehtimollik bilan noto'g'ri bo'lish xavfi ostida rad etishimiz mumkin (p-qiymati = 0,0161).

Xi-kvadrat taqsimoti statistik gipotezalarni tekshirish uchun statistikada eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biridir. "Xi-kvadrat" taqsimoti asosida eng kuchli moslik testlaridan biri - Pirsonning "chi-kvadrat" testi qurilgan.

Muvofiqlik testi noma'lum taqsimotning taklif qilingan qonuni haqidagi gipotezani tekshirish mezoni hisoblanadi.

ch2 (“chi-kvadrat”) testi turli taqsimotlar gipotezasini tekshirish uchun ishlatiladi. Bu uning xizmati.

Mezonning hisoblash formulasi ga teng

bu yerda m va m' mos ravishda empirik va nazariy chastotalar

ko'rib chiqilayotgan taqsimot;

n - erkinlik darajalari soni.

Tekshirish uchun biz empirik (kuzatilgan) va nazariy (normal taqsimot taxmini ostida hisoblangan) chastotalarni solishtirishimiz kerak.

Agar empirik chastotalar hisoblangan yoki kutilgan chastotalar bilan to'liq mos tushsa, S (E - T) = 0 va ch2 mezoni ham nolga teng bo'ladi. Agar S (E - T) nolga teng bo'lmasa, bu hisoblangan chastotalar va seriyaning empirik chastotalari o'rtasidagi nomuvofiqlikni ko'rsatadi. Bunday hollarda nazariy jihatdan noldan cheksizgacha o'zgarishi mumkin bo'lgan ch2 mezonining ahamiyatini baholash kerak. Bu ch2ph ning haqiqatda olingan qiymatini uning kritik qiymati (ch2st) bilan solishtirish yo‘li bilan amalga oshiriladi.Nol gipoteza, ya’ni empirik va nazariy yoki kutilayotgan chastotalar o‘rtasidagi nomuvofiqlik tasodifiy degan taxmin, agar ch2ph dan katta yoki teng bo‘lsa, rad etiladi. Qabul qilingan muhimlik darajasi (a) va erkinlik darajalari soni (n) uchun ch2-gacha.

ch2 tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoliy qiymatlarini taqsimlash uzluksiz va assimetrikdir. Bu erkinlik darajalari soniga (n) bog'liq va kuzatishlar soni ortib borishi bilan normal taqsimotga yaqinlashadi. Shuning uchun, diskret taqsimotlarni baholashda ch2 mezonini qo'llash, ayniqsa kichik namunalar uchun uning qiymatiga ta'sir qiluvchi ba'zi xatolar bilan bog'liq. Aniqroq hisob-kitoblarni olish uchun o'zgaruvchanlik qatorida taqsimlangan namunada kamida 50 ta variant bo'lishi kerak. ch2 mezonini to'g'ri qo'llash, shuningdek, ekstremal sinflardagi variantlarning chastotalari 5 dan kam bo'lmasligini talab qiladi; agar ularning soni 5 dan kam bo'lsa, u holda ular qo'shni sinflarning chastotalari bilan birlashtiriladi, shunda umumiy miqdor 5 dan katta yoki teng bo'ladi. Chastotalar birikmasiga ko'ra, sinflar soni (N) ham kamayadi. Erkinlik darajalari soni o'zgaruvchanlik erkinligiga cheklovlar sonini hisobga olgan holda sinflarning ikkinchi darajali soniga qarab belgilanadi.

ch2 mezonini aniqlashning aniqligi ko'p jihatdan nazariy chastotalarni (T) hisoblashning aniqligiga bog'liq bo'lganligi sababli, empirik va hisoblangan chastotalar orasidagi farqni olish uchun yaxlitlanmagan nazariy chastotalardan foydalanish kerak.

Misol tariqasida, gumanitar fanlarda statistik usullarni qo'llashga bag'ishlangan veb-saytda chop etilgan tadqiqotni olaylik.

Chi-kvadrat testi chastota taqsimotini, ular normal taqsimlanganmi yoki yo'qmi, taqqoslash imkonini beradi.

Keling, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

Yosh o'smirlar o'rtasida o'z-o'zini hurmat qilish testi o'tkazildi. Test ballari uchta darajaga aylantirildi: yuqori, o'rta, past. Chastotalar quyidagicha taqsimlandi:

Yuqori (H) 27 kishi.

O'rta (C) 12 kishi

Past (H) 11 kishi.

Ko'rinib turibdiki, o'z-o'zini hurmat qiladigan bolalarning aksariyati, ammo buni statistik jihatdan isbotlash kerak. Buning uchun biz Chi-kvadrat testidan foydalanamiz.

Bizning holatda:

(B + C + H) / 3 \u003d (27 + 12 + 11) / 3 \u003d 16,6

Xi-kvadrat testini hisoblash formulasi:

ch2 = ∑(E - T)I / T

Biz jadval tuzamiz:

Oxirgi ustunning yig'indisini toping:

Endi siz kriteriyaning kritik qiymatini kritik qiymatlar jadvaliga muvofiq topishingiz kerak (Ilovadagi 1-jadval). Buning uchun bizga erkinlik darajalari soni (n) kerak.

n = (R - 1) * (C - 1)

Bu erda R - jadvaldagi qatorlar soni, C - ustunlar soni.

Bizning holatda, faqat bitta ustun (asl empirik chastotalarni anglatadi) va uchta qator (toifalar) mavjud, shuning uchun formula o'zgaradi - biz ustunlarni istisno qilamiz.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Xatolik ehtimoli p≤0,05 va n = 2 uchun kritik qiymat ch2 = 5,99.

Olingan empirik qiymat kritik qiymatdan katta - chastotalar farqlari sezilarli (ch2= 9,64; p≤0,05).

Keling, murakkabroq misolni olaylik.

Olingan ma'lumotlarni qayta ishlash uchun biz chi-kvadrat testidan foydalanamiz.

Buning uchun biz empirik chastotalarni taqsimlash jadvalini tuzamiz, ya'ni. Biz kuzatadigan chastotalar:

Olingan hisob-kitoblar jadvali quyidagicha ko'rinadi:

ch2 = ∑(E - T)I / T

n = (R - 1), bu erda R - jadvaldagi qatorlar soni.

Bizning holatda, chi-kvadrat = 4,21; n = 2.

Mezonning kritik qiymatlari jadvaliga ko'ra, biz topamiz: n = 2 va xato darajasida 0,05, kritik qiymat ch2 = 5,99.

Olingan qiymat kritik qiymatdan kichik, bu esa nol gipoteza qabul qilinganligini bildiradi.

Xulosa: o'qituvchilar bolaning xususiyatlarini yozishda uning jinsiga ahamiyat bermaydilar.

Xulosa.

K.Pirson matematik statistikaning rivojlanishiga katta hissa qo'shdi (ko'p sonli fundamental tushunchalar). Pirsonning asosiy falsafiy pozitsiyasi quyidagicha ifodalangan: fan tushunchalari - bu sun'iy konstruktsiyalar, hissiy tajribani tasvirlash va tartibga solish vositalari; ularni ilmiy takliflarga bog‘lash qoidalari fan falsafasi bo‘lgan fan grammatikasi tomonidan alohida ajratilgan. Heterojen tushunchalar va hodisalarni bog'lash universal intizomga - amaliy statistikaga imkon beradi, garchi Pirsonga ko'ra bu ham sub'ektivdir.

K.Pirsonning ko'pgina konstruktsiyalari antropologik materiallar yordamida bevosita bog'liq yoki ishlab chiqilgan. U fanning barcha sohalarida qo'llaniladigan sonli tasniflash va statistik mezonlarning ko'plab usullarini ishlab chiqdi.

Adabiyot.

1. A. N. Bogolyubov, Matematika. Mexanika. Biografik qo'llanma. - Kiev: Naukova Dumka, 1983 yil.

2. Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (tahr.). 19-asr matematikasi. - M.: Fan. - T.I.

3. 3. Borovkov A.A. Matematik statistika. Moskva: Nauka, 1994 yil.

4. 8. Feller V. Ehtimollar nazariyasiga kirish va uning qo‘llanilishi. - M.: Mir, T.2, 1984 y.

5. 9. Xarman G., Zamonaviy faktoriy tahlil. - M.: Statistika, 1972 yil.

Tarqatish. Pearson taqsimoti Ehtimollar zichligi ... Vikipediya

chi-kvadrat taqsimoti- tarqatish "chi kvadrat" - Mavzular axborot xavfsizligi EN chi kvadrat tarqatish ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

chi-kvadrat taqsimoti- 0 dan 0 gacha bo'lgan qiymatlari bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti, uning zichligi formula bilan berilgan, bu erda 0 parametr bilan =1,2,...; gamma funktsiyasidir. Misollar. 1) Mustaqil normallashtirilgan normal tasodifiy kvadratlar yig'indisi ... ... Sotsiologik statistika lug'ati

CHI-KAVRA TARQATISH (chi2)- Chi2 tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi.agar o'rtacha (va dispersiya q2) bo'lgan normal taqsimotdan 1 o'lchamdagi tasodifiy tanlamalar olingan bo'lsa, u holda chi2 = (X1 u)2/q2, bu erda X tanlanma qiymati.Agar tanlanma hajmi o'zboshimchalik bilan ortib ketsa. N gacha, keyin chi2 = … …

Ehtimollar zichligi ... Vikipediya

- (Snedecor taqsimoti) Ehtimollar zichligi ... Vikipediya

Fisher taqsimoti Ehtimollik zichligi Tarqatish funksiyasi Raqam parametrlari bilan ... Vikipediya

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalaridan biri. Da zamonaviy yondashuv matematik sifatida O'rganilayotgan tasodifiy hodisaning modeli, mos keladigan ehtimollik maydoni (W, S, P) olinadi, bu erda W - elementar ... Matematik entsiklopediya

Gamma taqsimoti ehtimollik zichligi Tarqatish funksiyasi Parametrlar ... Vikipediya

F TARQATISH- tasodifiy o'zgaruvchining nazariy ehtimollik taqsimoti F. Agar N o'lchamdagi tasodifiy namunalar oddiy populyatsiyadan mustaqil ravishda tanlansa, ularning har biri erkinlik darajasi = N bo'lgan chi-kvadrat taqsimotini hosil qiladi. Ikkita shunday ... nisbati. .. Izohli lug'at psixologiyada

Kitoblar

Masalalarda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. 360 dan ortiq vazifa va mashqlar, Borzykh D.A. Taklif etilayotgan qo'llanmada vazifalar mavjud turli darajalar qiyinchiliklar. Biroq, asosiy e'tibor o'rtacha murakkablikdagi vazifalarga qaratilgan. Bu talabalarni rag'batlantirish uchun ataylab qilingan ...

Chi kvadrat taqsimotiga misol. Pearson (chi - kvadrat), Student va Fisherning taqsimotlari. Teskari chi2 taqsimot funksiyasi

Chi-kvadrat taqsimoti

Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish muammolarida "Chi-kvadrat"

Kitoblar

Tegishli maqolalar