Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi vaziyatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosining bosh harflari (X, Y, Z) bilan belgilanadi va ularning qiymatlari mos keladigan kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi Bu tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin.

1 . Taqsimot qonuni quyidagi jadvalda keltirilishi mumkin:

bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … .

ichida) yordamida F(x) taqsimot funksiyasi , bu har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. F(x) = P(X< x).

F(x) funksiyaning xossalari

3 . Tarqatish qonuni grafik tarzda o'rnatilishi mumkin – taqsimot ko‘pburchagi (ko‘pburchak) (3-masalaga qarang).

E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun taqsimlash qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda taqsimlash qonunining eng muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya. Bu tasodifiy miqdorning "o'rtacha qiymati" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'rtacha hajmini ko'rsatadigan raqam bo'lishi mumkin. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy o'zgaruvchining raqamli xarakteristikalari deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari :

  • Matematik kutish diskret tasodifiy miqdorning (o'rtacha qiymati). M(X)=S x i p i.
    Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
  • Dispersiya diskret tasodifiy miqdor D(X)=M2 yoki D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farqi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetga chiqishi deyiladi.
    Binom taqsimoti uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l
  • Standart og'ish (standart og'ish) s(X)=√D(X).

“Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni” mavzusidagi masalalarni yechishga misollar.

Vazifa 1.

1000 ta lotereya chiptasi chiqarildi: ulardan 5 tasi 500 rubl, 10 tasi 100 rubl, 20 tasi 50 tasi, 50 tasi 10 tasi yutdi. X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonunini aniqlang - chipta uchun yutuq.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra, X tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari mumkin: 0, 10, 50, 100 va 500.

Yutuqsiz chiptalar soni 1000 - (5+10+20+50) = 915, keyin P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Xuddi shunday, boshqa barcha ehtimollarni topamiz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Olingan qonunni jadval shaklida taqdim etamiz:

Keling, topamiz kutilgan qiymat X qiymatlari: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2) +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Vazifa 3.

Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada bajarilmagan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing, taqsimot poligonini tuzing. F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping.

Yechim. 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X=(bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar soni) quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: x 1 =0 (qurilmaning birorta elementi muvaffaqiyatsiz tugadi), x 2 =1 (bitta element muvaffaqiyatsiz), x 3 =2 ( ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi ) va x 4 \u003d 3 (uchta element muvaffaqiyatsiz).

Elementlarning nosozliklari bir-biridan mustaqil, har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli bir-biriga teng, shuning uchun u amal qiladi. Bernulli formulasi . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 shartlarga ko‘ra, qiymatlarning ehtimolliklarini aniqlaymiz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Tekshiring: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Shunday qilib, kerakli binomial taqsimot qonuni X quyidagi shaklga ega:

Abscissa o'qida biz mumkin bo'lgan qiymatlarni x i va ordinata o'qida mos keladigan r i ehtimolliklarini chizamiz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nuqtalarni tuzamiz. Ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot poligonini olamiz.

3. F(x) = P(X) taqsimot funksiyasini toping

x ≤ 0 uchun biz F(x) = P(X) ga egamiz<0) = 0;
0 uchun< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 uchun< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 uchun< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 uchun F(x) = 1 bo'ladi, chunki voqea aniq.

F(x) funksiya grafigi

4. X binomial taqsimot uchun:
- matematik kutish M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart og'ish s(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Tasodifiy o'zgaruvchi har bir test natijasida tasodifiy sabablarga ko'ra oldindan noma'lum qiymatni qabul qiladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar katta lotin harflari bilan belgilanadi: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Turiga ko'ra tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. diskret va davomiy.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi- bu shunday tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning qiymatlari sanaladigan, ya'ni chekli yoki sanab bo'lmaydigan bo'lishi mumkin. Hisoblash tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini sanab o'tish mumkinligini anglatadi.

1-misol . Keling, diskretlarga misollar keltiraylik tasodifiy o'zgaruvchilar:

a) $n$ zarbalar bilan nishonga urishlar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\ 1,\\nuqtalar,\n$.

b) tanga otish paytida tushgan gerblar soni, bu erda mumkin bo'lgan qiymatlar $0,\1,\\nuqtalar,\n$.

c) bortga kelgan kemalar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

d) birjaga kelgan qo'ng'iroqlar soni (hisoblanadigan qiymatlar to'plami).

1. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlarini $p\left(x_1\o'ng),\\dots,\ p\left(x_n\o'ng)$ ehtimoli bilan qabul qilishi mumkin. Ushbu qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik deyiladi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Qoidaga ko'ra, ushbu yozishmalar jadval yordamida belgilanadi, uning birinchi qatorida $x_1,\nuqta,\x_n$ qiymatlari ko'rsatilgan, ikkinchi qatorda esa ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar $. p_1,\nuqtalar,\p_n$.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \nuqtalar & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(massiv)$

2-misol . Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ zar o'yilganda tashlangan ochkolar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy $X$ $1,\2,\3,\4,\5,\6$ qiymatlarini olishi mumkin. Ushbu qiymatlarning barchasining ehtimoli $1/6$ ga teng. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(massiv)$

Izoh. $1,\ 2,\ \nuqta,\ 6$ hodisalari $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunida hodisalarning toʻliq guruhini tashkil qilganligi sababli, ehtimollar yigʻindisi bittaga teng boʻlishi kerak, yaʼni $\sum( p_i)=1$.

2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi.

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning "markaziy" qiymatini belgilaydi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish $x_1,\dots,\ x_n$ qiymatlari va ushbu qiymatlarga mos keladigan $p_1,\dots,\ p_n$ ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisi sifatida hisoblanadi, ya'ni: $ M \ chap (X \ o'ng) = \ summa ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Ingliz adabiyotida yana bir $E\left(X\right)$ belgisi qoʻllaniladi.

Kutish xususiyatlari$M\chap(X\oʻng)$:

  1. $M\left(X\right)$ $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining eng kichik va eng katta qiymatlari orasida.
  2. Doimiyning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng, ya'ni. $ M \ chap (C \ o'ng) = C $.
  3. Doimiy omilni kutish belgisidan chiqarish mumkin: $M \ chap (CX \ o'ng) = CM \ chap (X \ o'ng) $.
  4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko'paytmasiga teng: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining matematik kutilmasini topamiz.

$$M\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6) ustida)+2\cdot ((1)\(6) ustida )+3\cdot ((1)\(6) ustida)+4\cdot ((1)\(6) ustida)+5\cdot ((1)\(6) ustida)+6\cdot ((1) )\ortiqcha (6))=3,5.$$

Biz $M\left(X\right)$ $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining eng kichik ($1$) va eng katta ($6$) qiymatlari orasida ekanligini koʻrishimiz mumkin.

4-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=2$ ga teng. $3X+5$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ ni olamiz. cdot 2 +5=11$.

5-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning matematik kutilishi $M\left(X\right)=4$ ga teng. $2X-9$ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ ni olamiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi.

Teng matematik taxminlarga ega tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari ularning o'rtacha qiymatlari atrofida turlicha tarqalishi mumkin. Masalan, ikkita talabalar guruhida ehtimollar nazariyasi bo'yicha imtihon uchun o'rtacha ball 4 ga teng bo'ldi, lekin bir guruhda hamma yaxshi talabalar, ikkinchi guruhda esa faqat C talabalari va a'lochi talabalar bo'lib chiqdi. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi atrofida tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining tarqalishini ko'rsatadigan bunday raqamli xarakteristikaga ehtiyoj bor. Bu xususiyat dispersiyadir.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi$X$ bu:

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2).\ $$

Ingliz adabiyotida $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ yozuvidan foydalaniladi. Ko'pincha $D\left(X\right)$ dispersiyasi $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formulasi bilan hisoblanadi. chap (X \o'ng)\o'ng))^2$.

Dispersiya xususiyatlari$D\chap(X\o'ng)$:

  1. Dispersiya har doim noldan katta yoki teng, ya'ni. $D\chap(X\o'ng)\ge 0$.
  2. Doimiydan dispersiya nolga teng, ya'ni. $D\chap(C\oʻng)=0$.
  3. Doimiy omil dispersiya belgisidan chiqarilishi mumkin, agar u kvadrat bo'lsa, ya'ni. $D \ chap (CX \ o'ng) = C ^ 2D \ chap (X \ o'ng) $.
  4. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig'indisiga teng, ya'ni. $D \ chap (X + Y \ o'ng) = D \ chap (X \ o'ng) + D \ chap (Y \ o'ng) $.
  5. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar farqining dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga teng, ya'ni. $D\chap(X-Y\o'ng)=D\chap(X\o'ng)+D\chap(Y\o'ng)$.

6-misol . $2$ misolidan $X$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini hisoblaylik.

$$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2)=((1)\ortiq (6))\cdot (\left(1-3,5\o'ng))^2+((1)\(6) ustida)\cdot (\left(2-3,5\o'ng))^2+ \nuqtalar +((1)\(6) ustidan)\cdot (\chap(6-3,5\o'ng))^2=((35)\(12))\taxminan 2,92.$$

7-misol . Ma'lumki, $X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasi $D\left(X\right)=2$ ga teng. $4X+1$ tasodifiy oʻzgaruvchining dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= ni topamiz. 16D\ chap(X\o'ng)=16\cdot 2=32$.

8-misol . Ma'lumki, $X$ dispersiyasi $D\left(X\right)=3$ ga teng. $3-2X$ tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yuqoridagi xususiyatlardan foydalanib, biz $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= ni topamiz. 4D\ chap(X\o'ng)=4\cdot 3=12$.

4. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi.

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimot qatori ko‘rinishida ifodalash usuli yagona emas, eng muhimi, u universal emas, chunki taqsimot qatori yordamida uzluksiz tasodifiy miqdorni aniqlab bo‘lmaydi. Tasodifiy o'zgaruvchini ifodalashning yana bir usuli bor - taqsimlash funktsiyasi.

tarqatish funktsiyasi$X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $F\left(x\right)$ funksiyasi boʻlib, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x$, yaʼni $F\left(x\) dan kichik qiymatni qabul qilish ehtimolini aniqlaydi. o'ng)$ )=P\chap(X< x\right)$

Tarqatish funksiyasi xossalari:

  1. $0\le F\left(x\o'ng)\le 1$.
  2. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'idan qiymatlarni olish ehtimoli ushbu oraliq oxiridagi taqsimlash funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng. : $P\left(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
  3. $F\left(x\right)$ - kamaymaydigan.
  4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9-misol . $2$ misolidan $X$ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni uchun $F\left(x\right)$ taqsimot funksiyasini topamiz.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiv)$

Agar $x\le 1$ bo'lsa, u holda $F\left(x\o'ng)=0$ (shu jumladan $x=1$ $F\left(1\o'ng)=P\left(X) bo'lsa< 1\right)=0$).

Agar $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Agar $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Agar $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Agar $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Agar 5 dollar bo'lsa< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Agar $x > 6$ bo'lsa, $F\left(x\o'ng)=P\left(X=1\o'ng)+P\left(X=2\o'ng)+P\chap(X=3\o'ng) + P\chap(X=4\o'ng)+P\chap(X=5\o'ng)+P\chap(X=6\o'ng)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Shunday qilib, $F(x)=\left\(\begin(matritsa)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1 da< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3 da< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ uchun \ x > 6.
\end(matritsa)\o'ng.$

1.2.4. Tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning taqsimlanishi

Tasodifiy miqdorlarning taqsimoti va taqsimot funksiyalari. Raqamli tasodifiy miqdorni taqsimlash - tasodifiy o'zgaruvchining berilgan qiymatni olish yoki ma'lum bir intervalga tegishli bo'lish ehtimolini yagona aniqlaydigan funksiya.

Birinchisi, agar tasodifiy o'zgaruvchi cheklangan miqdordagi qiymatlarni qabul qilsa. Keyin taqsimot funksiya tomonidan beriladi P(X = x), har bir mumkin bo'lgan qiymatni berish X tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimolligi X = x.

Ikkinchisi, agar tasodifiy o'zgaruvchi cheksiz ko'p qiymatlarni qabul qilsa. Bu tasodifiy miqdor aniqlangan ehtimollik fazosi cheksiz miqdordagi elementar hodisalardan iborat bo'lgandagina mumkin bo'ladi. Keyin taqsimot ehtimollar to'plami bilan beriladi P(a < X barcha juft raqamlar uchun a, b shu kabi a . Tarqatish deb atalmish yordamida aniqlanishi mumkin. taqsimot funksiyasi F(x) = P(X hamma uchun aniq belgilovchi X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X dan kichik qiymatlarni oladi X. Bu aniq

P(a < X

Bu munosabat shuni ko'rsatadiki, taqsimotni taqsimlash funktsiyasidan hisoblash mumkin bo'lganidek, aksincha, taqsimlash funktsiyasidan ham hisoblash mumkin.

Probabilistikada qo'llaniladi statistik usullar qaror qabul qilish va boshqa amaliy tadqiqotlar, tarqatish funktsiyalari diskret yoki uzluksiz yoki ularning kombinatsiyasi.

Diskret taqsimot funktsiyalari elementlarini natural sonlar bilan qayta raqamlash mumkin bo'lgan to'plamdan chekli miqdordagi qiymatlarni yoki qiymatlarni oladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilarga mos keladi (bunday to'plamlar matematikada hisoblanuvchi deb ataladi). Ularning grafigi zinapoyaga o'xshaydi (1-rasm).

1-misol Raqam X partiyadagi nuqsonli buyumlar 0,3 ehtimollik bilan 0 qiymatini, 0,4 ehtimollik bilan 1 qiymatini, 0,2 ehtimollik bilan 2 qiymatini va 0,1 ehtimollik bilan 3 qiymatini oladi. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi grafigi X 1-rasmda ko'rsatilgan.

1-rasm. Buzuq mahsulotlar sonining taqsimlanish funksiyasi grafigi.

Uzluksiz taqsimlash funktsiyalarida sakrashlar mavjud emas. Argument ortishi bilan ular monoton ravishda ortadi, 0 uchun dan 1 uchun. Uzluksiz taqsimot funktsiyalariga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz deyiladi.

Ehtimoliy-statistik usullarda qo'llaniladigan uzluksiz taqsimot funktsiyalari Qaror qabul qilish, hosilalari bor. Birinchi hosila f(x) tarqatish funktsiyalari F(x) ehtimollik zichligi deyiladi,

Tarqatish funktsiyasini ehtimollik zichligidan aniqlash mumkin:

Har qanday tarqatish funktsiyasi uchun

Tarqatish funktsiyalarining sanab o'tilgan xususiyatlari doimiy ravishda ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarida qo'llaniladi. Xususan, oxirgi tenglik quyida ko'rib chiqilgan ehtimollik zichliklari uchun formulalardagi doimiylarning o'ziga xos shaklini nazarda tutadi.

2-misol Quyidagi tarqatish funktsiyasi ko'pincha ishlatiladi:

(1)

qayerda a va b- ba'zi raqamlar a . Ushbu taqsimot funksiyasining ehtimollik zichligini topamiz:

(nuqtalarda x = a va x = b funksiya hosilasi F(x) mavjud emas).

Taqsimot funksiyasi (1) bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi "oraliqda bir xil taqsimlangan" deb ataladi. a; b]».

Aralash taqsimot funktsiyalari, xususan, kuzatishlar bir nuqtada to'xtaganda paydo bo'ladi. Masalan, ma'lum vaqtdan keyin testlarni tugatishni nazarda tutuvchi ishonchlilik testi rejalari yordamida olingan statistik ma'lumotlarni tahlil qilishda. Yoki kafolatli ta'mirlashni talab qiladigan texnik mahsulotlar haqidagi ma'lumotlarni tahlil qilishda.

3-misol Misol uchun, elektr lampochkaning xizmat qilish muddati taqsimlash funktsiyasi bilan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin F(t), va sinov lampochka ishlamaguncha, agar bu sinov boshlanganidan 100 soatdan kamroq vaqt o'tgach sodir bo'lsa yoki shu paytgacha amalga oshiriladi. t0= 100 soat. Mayli G(t)- bu sinovda yaxshi holatda chiroqning ish vaqtini taqsimlash funktsiyasi. Keyin

Funktsiya G(t) bir nuqtada sakrashga ega t0, chunki mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchi qiymatni oladi t0 1 ehtimollik bilan F(t0)> 0.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning xarakteristikalari. Ehtimoliy-statistik qarorlarni qabul qilish usullarida tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimlash funktsiyalari va ehtimollik zichligi orqali ifodalangan bir qator xarakteristikalari qo'llaniladi.

Daromadning differentsiatsiyasini tavsiflashda, tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimoti parametrlari uchun ishonch chegaralarini topishda va boshqa ko'p hollarda "tartib miqdori" kabi tushuncha qo'llaniladi. R", bu erda 0< p < 1 (обозначается x p). Buyurtma miqdori R taqsimot funksiyasi qiymat oladigan tasodifiy miqdorning qiymati R yoki dan kichikroq qiymatdan "sakrash" mavjud R kattaroq qiymatgacha R(2-rasm). Bu shart x ning ushbu intervalga tegishli barcha qiymatlari uchun qanoatlantirilishi mumkin (ya'ni, taqsimlash funktsiyasi bu oraliqda doimiy va tengdir). R). Keyin har bir bunday qiymat "tartibning miqdori" deb ataladi R". Uzluksiz taqsimlash funktsiyalari uchun, qoida tariqasida, bitta kvant mavjud x p buyurtma R(2-rasm) va

F(x p) = p. (2)

2-rasm. Kvantilning ta'rifi x p buyurtma R.

4-misol Kvantilini topamiz x p buyurtma R tarqatish funktsiyasi uchun F(x) dan (1).

0 da< p < 1 квантиль x p tenglamadan topiladi

bular. x p = a + p(b – a) = a( 1- p)+bp. Da p= 0 har qanday x < a buyurtma miqdori hisoblanadi p= 0. Buyurtma miqdori p= 1 - har qanday raqam x > b.

Diskret taqsimotlar uchun, qoida tariqasida, yo'q x p qanoatlantiruvchi tenglama (2). Aniqroq aytganda, tasodifiy miqdorning taqsimlanishi 1-jadvalda berilgan bo'lsa, bu erda x 1< x 2 < … < x k , keyin tenglik (2), ga nisbatan tenglama sifatida qaraladi x p, faqat uchun yechimlari bor k qiymatlar p, aynan,

p \u003d p 1,

p \u003d p 1 + p 2,

p \u003d p 1 + p 2 + p 3,

p \u003d p 1 + p 2 + ...+ pm, 3 < m < k,

p = p 1 + p 2 + … + p k.

1-jadval.

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash

Ro'yxatga olinganlar uchun k ehtimollik qiymatlari p yechim x p(2) tenglama yagona emas, ya'ni,

F(x) = p 1 + p 2 + ... + p m

Barcha uchun X shu kabi x m< x < xm+1. Bular. x p - diapazondagi istalgan raqam (x m ; x m+1 ]. Boshqa hamma uchun R(3) ro'yxatiga kiritilmagan (0;1) oraliqdan kichikroq qiymatdan "sakrash" mavjud. R kattaroq qiymatgacha R. Ya'ni, agar

p 1 + p 2 + … + p m

keyin x p \u003d x m + 1.

Diskret taqsimotlarning ko'rib chiqilgan xususiyati bunday taqsimotlarni jadval tuzish va ulardan foydalanishda katta qiyinchiliklar tug'diradi, chunki taqsimot xususiyatlarining odatiy raqamli qiymatlarini aniq saqlash mumkin emas. Xususan, bu parametrik bo'lmagan statistik testlarning kritik qiymatlari va ahamiyatlilik darajalari uchun to'g'ri keladi (pastga qarang), chunki bu testlar statistikasining taqsimoti diskretdir.

Buyurtma miqdori statistikada katta ahamiyatga ega. R= ½. U median deb ataladi (tasodifiy o'zgaruvchi X yoki uning taqsimlash funktsiyasi F(x)) va belgilandi Men (X). Geometriyada "mediana" tushunchasi mavjud - uchburchakning uchidan o'tuvchi va uning qarama-qarshi tomonini yarmiga bo'luvchi to'g'ri chiziq. Matematik statistikada mediana uchburchakning yon tomonini emas, balki tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotini ikkiga bo'ladi: tenglik F(x0,5)= 0,5 chapga chiqish ehtimolini bildiradi x0,5 va to'g'ri bo'lish ehtimoli x0,5(yoki to'g'ridan-to'g'ri x0,5) bir-biriga teng va ½ ga teng, ya'ni.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Median taqsimotning "markazini" ko'rsatadi. Zamonaviy kontseptsiyalardan biri - barqaror statistik protseduralar nazariyasi nuqtai nazaridan mediana tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan yaxshiroq xarakteristikasi hisoblanadi. O'lchov natijalarini tartibli shkalada qayta ishlashda (o'lchov nazariyasi bo'limiga qarang) medianadan foydalanish mumkin, ammo matematik kutish mumkin emas.

Tasodifiy o'zgaruvchining rejim kabi xarakteristikasi aniq ma'noga ega - doimiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun ehtimollik zichligining mahalliy maksimaliga yoki diskret tasodifiy ehtimolining mahalliy maksimaliga mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati (yoki qiymatlari). o'zgaruvchan.

Agar a x0 zichlikka ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining rejimidir f(x), u holda, differensial hisobdan ma'lumki, .

Tasodifiy o'zgaruvchi ko'p rejimga ega bo'lishi mumkin. Shunday qilib, bir xil taqsimot uchun (1) har bir nuqta X shu kabi a< x < b , bu moda. Biroq, bu istisno. Ehtimoliy-statistik qarorlar qabul qilish usullari va boshqa amaliy tadqiqotlarda qo'llaniladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning aksariyati bitta rejimga ega. Bir rejimga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar, zichliklar, taqsimotlar unimodal deb ataladi.

Cheklangan miqdordagi qiymatlarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik kutish "Hodisalar va ehtimollar" bo'limida ko'rib chiqiladi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun X kutilgan qiymat M(X) tenglikni qondiradi

"Hodisalar va ehtimollar" bobining 2-bandidagi (5) formulaning analogi.

5-misol Bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini X teng

Ushbu bobda ko'rib chiqilgan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun, cheklangan miqdordagi qiymatlarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari ko'rib chiqilgan matematik taxminlar va dispersiyalarning barcha xususiyatlari to'g'ri. Biroq, biz bu xususiyatlarning dalillarini keltirmaymiz, chunki ular matematik nozikliklarni chuqurlashtirishni talab qiladi, bu ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarini tushunish va malakali qo'llash uchun zarur emas.

Izoh. Bu darslikda matematik nozikliklardan atayin chetlab o‘tilgan, xususan, o‘lchanadigan to‘plamlar va o‘lchanadigan funksiyalar, -hodisalar algebrasi va hokazo tushunchalar bilan bog‘langan. Ushbu tushunchalarni o'zlashtirishni xohlovchilar maxsus adabiyotlarga, xususan, ensiklopediyaga murojaat qilishlari kerak.

Uchta xarakteristikaning har biri - matematik kutish, median, rejim - ehtimollik taqsimotining "markazini" tavsiflaydi. "Markaz" tushunchasiga turlicha ta'rif berish mumkin - demak, uch xil xususiyat. Biroq, taqsimotlarning muhim sinfi uchun - simmetrik unimodal - uchta xususiyat mos keladi.

Tarqatish zichligi f(x) nosimmetrik taqsimotning zichligi, agar raqam mavjud bo'lsa x 0 shu kabi

. (3)

Tenglik (3) funksiya grafigini bildiradi y = f(x) simmetriya markazidan o'tuvchi vertikal chiziqqa nisbatan simmetrik X = X 0 . (3) dan nosimmetrik taqsimot funksiyasi munosabatni qanoatlantirishi kelib chiqadi

(4)

Bitta rejimga ega simmetrik taqsimot uchun o'rtacha, median va rejim bir xil va tengdir x 0.

Eng muhim holat - 0 ga nisbatan simmetriya, ya'ni. x 0= 0. Keyin (3) va (4) tenglikka aylanadi

(6)

mos ravishda. Yuqoridagi munosabatlar barcha uchun simmetrik taqsimotlarni jadvalga kiritishning hojati yo'qligini ko'rsatadi X, uchun jadvallar bo'lishi kifoya x > x0.

Biz nosimmetrik taqsimotlarning yana bir xususiyatini ta'kidlaymiz, u doimiy ravishda ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarida va boshqa amaliy tadqiqotlarda qo'llaniladi. Uzluksiz taqsimlash funktsiyasi uchun

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

qayerda F tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi X. Agar tarqatish funktsiyasi bo'lsa F 0 ga nisbatan simmetrikdir, ya'ni. u uchun formula (6) to'g'ri bo'ladi

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Ko'rib chiqilayotgan bayonotning yana bir formulasi tez-tez ishlatiladi: agar

.

Agar va taqsimot funksiyasining 0 ga nisbatan simmetrik boʻlgan tartibdagi kvantlari va mos ravishda (2) ga qarang, u holda (6) dan shunday xulosa chiqadi:

Lavozimning xarakteristikasidan - matematik kutish, median, rejim - tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish xususiyatlariga o'tamiz. X: dispersiya , standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti v. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun dispersiyaning ta'rifi va xususiyatlari oldingi bobda ko'rib chiqilgan. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun

Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizining manfiy bo'lmagan qiymatidir:

Variatsiya koeffitsienti standart og'ishning matematik kutishga nisbati:

O'zgaruvchanlik koeffitsienti qachon qo'llaniladi M(X)> 0. U tarqalishni nisbiy birliklarda o'lchaydi, standart og'ish esa mutlaq birliklarda.

6-misol Bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun X dispersiyani, standart og'ish va o'zgarish koeffitsientini toping. Dispersiya quyidagicha:

O'zgaruvchan almashtirish quyidagilarni yozishga imkon beradi:

qayerda c = (b – a)/ 2. Shuning uchun standart og'ish ga teng va o'zgarish koeffitsienti:

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun X yana uchta miqdorni aniqlang - markazlashtirilgan Y, normallashtirilgan V va berilgan U. Markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y berilgan tasodifiy miqdor orasidagi farqdir X va uning matematik kutilishi M(X), bular. Y = X - M(X). Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi Y 0 ga teng va dispersiya berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasidir: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). tarqatish funktsiyasi FY(x) markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi Y taqsimlash funktsiyasi bilan bog'liq F(x) boshlang'ich tasodifiy o'zgaruvchi X nisbat:

FY(x) = F(x + M(X)).

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning zichligi uchun tenglik

fY(x) = f(x + M(X)).

Normallashtirilgan tasodifiy miqdor V bu tasodifiy miqdorning nisbati X uning standart og'ishiga, ya'ni. . Normallashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi V xususiyatlari orqali ifodalanadi X Shunday qilib:

,

qayerda v- dastlabki tasodifiy miqdorning o'zgarish koeffitsienti X. Tarqatish funktsiyasi uchun F V(x) va zichlik f V(x) normallashtirilgan tasodifiy miqdor V bizda ... bor:

qayerda F(x) asl tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi X, a f(x) uning ehtimollik zichligi.

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchi U markazlashtirilgan va normallashtirilgan tasodifiy miqdor:

.

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Normallashtirilgan, markazlashtirilgan va qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar nazariy tadqiqotlarda ham, algoritmlarda, dasturiy mahsulotlarda, normativ-texnik va ko'rsatma va uslubiy hujjatlarda doimiy ravishda qo'llaniladi. Xususan, tenglik tufayli usullarni asoslashni, teoremalarni shakllantirishni va hisoblash formulalarini soddalashtirishga imkon beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni o'zgartirish va umumiy rejadan foydalaniladi. Shunday qilib, agar Y = aX + b, qayerda a va b demak, ba'zi raqamlar

7-misol Agar u holda Y kamaytirilgan tasodifiy miqdor va formulalar (8) formulalar (7) ga aylantiriladi.

Har bir tasodifiy o'zgaruvchi bilan X siz juda ko'p tasodifiy o'zgaruvchilarni ulashingiz mumkin Y formula bilan berilgan Y = aX + b har xilda a> 0 va b. Ushbu to'plam deyiladi miqyosda siljish oilasi, tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan yaratilgan X. Tarqatish funktsiyalari FY(x) taqsimot funksiyasi tomonidan yaratilgan taqsimotlarning miqyosda siljish oilasini tashkil qiladi F(x). O'rniga Y = aX + b tez-tez ishlatiladigan belgi

Raqam Bilan shift parametri va raqam deb ataladi d- masshtab parametri. Formula (9) buni ko'rsatadi X- ma'lum miqdorni o'lchash natijasi - ichiga kiradi Da- xuddi shu qiymatni o'lchash natijasi, agar o'lchovning boshlanishi nuqtaga ko'chirilgan bo'lsa Bilan, va keyin yangi o'lchov birligidan foydalaning, in d eskisidan ko'ra ko'proq.

Masshtabli siljishlar oilasi (9) uchun taqsimot X standart deb ataladi. Ehtimoliy-statistik qarorlar qabul qilish usullari va boshqa amaliy tadqiqotlarda standart normal taqsimot, standart Weibull-Gnedenko taqsimoti, standart gamma taqsimoti va boshqalar qo'llaniladi (quyida ko'rib chiqing).

Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa transformatsiyalari ham qo'llaniladi. Masalan, ijobiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun X ko'rib chiqing Y= jurnal X, bu erda lg X sonning o‘nlik logarifmidir X. Tenglik zanjiri

F Y (x) = P ( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

taqsimlash funktsiyalari bilan bog'liq X va Y.

Ma'lumotlarni qayta ishlashda tasodifiy o'zgaruvchining bunday xarakteristikalari qo'llaniladi X tartib lahzalari kabi q, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminlari X q, q= 1, 2, … Shunday qilib, matematik kutishning o'zi 1 tartibli momentdir. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun tartib momenti. q sifatida hisoblash mumkin

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Buyurtma lahzalari q tartibning dastlabki momentlari deb ham ataladi q, tegishli xususiyatlardan farqli o'laroq - tartibning markaziy momentlari q, formula bilan berilgan

Shunday qilib, dispersiya 2-tartibning markaziy momentidir.

Normal taqsimot va markaziy chegara teoremasi. Ehtimoliy-statistik qarorlar qabul qilish usullarida biz ko'pincha normal taqsimot haqida gapiramiz. Ba'zan ular dastlabki ma'lumotlarning taqsimlanishini modellashtirish uchun foydalanishga harakat qilishadi (bu urinishlar har doim ham oqlanmaydi - pastga qarang). Eng muhimi, ma'lumotlarni qayta ishlashning ko'plab usullari hisoblangan qiymatlarning normalga yaqin taqsimotlarga ega ekanligiga asoslanadi.

Mayli X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m va dispersiyalar D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Oldingi bobning natijalaridan kelib chiqqan holda,

Qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing U n miqdori uchun , aynan,

(7) formulalardan kelib chiqqan holda, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(bir xil taqsimlangan atamalar uchun). Mayli X 1 , X 2 ,…, X n, … matematik taxminlarga ega bo'lgan mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar M(X i) = m va dispersiyalar D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Keyin har qanday x uchun chegara mavjud

qayerda F(x) standart normal taqsimot funksiyasi hisoblanadi.

Funktsiya haqida ko'proq F(x) - quyida (u "x dan fi" deb o'qiydi, chunki F- yunoncha bosh harf "phi").

Markaziy chegara teoremasi (CLT) o'z nomini ehtimollik nazariyasining markaziy, eng ko'p qo'llaniladigan matematik natijasi ekanligidan oladi. matematik statistika. CLT tarixi taxminan 200 yil davom etadi - 1730 yildan boshlab, ingliz matematigi A. De Moivre (1667-1754) CLT bilan bog'liq birinchi natijani e'lon qilganidan keyin (Moivre-Laplas teoremasi haqida quyida qarang), yigirmanchi - o'ttizinchi yillargacha. 20-asr, Fin J.V. Lindeberg, fransuz Pol Levi (1886-1971), Yugoslaviya V. Feller (1906-1970), rus A.Ya. Xinchin (1894-1959) va boshqa olimlar klassik markaziy nazariyaning haqiqiyligi uchun zarur va etarli shart-sharoitlarni yaratdilar. chegara teoremasi.

Ko'rib chiqilayotgan mavzuning rivojlanishi u erda umuman to'xtamadi - ular dispersiyaga ega bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishdi, ya'ni. kimlar uchun

(akademik B.V. Gnedenko va boshqalar), raqamlardan ko'ra murakkabroq xarakterga ega tasodifiy o'zgaruvchilar (aniqrog'i, tasodifiy elementlar) jamlanganda vaziyat (akademiklar Yu.V. Proxorov, A.A. Borovkov va ularning sheriklari) va boshqalar .d.

tarqatish funktsiyasi F(x) tenglik bilan beriladi

,

standart normal taqsimotning zichligi qayerda, juda ega birikma ifodasi:

.

Bu erda \u003d 3.1415925 ... geometriyada ma'lum bo'lgan raqam, aylananing diametrga nisbatiga teng, e \u003d 2.718281828 ... - tabiiy logarifmlar asosi (bu raqamni eslab qolish uchun 1828 yil yozuvchi Lev Tolstoyning tug'ilgan yili ekanligini unutmang). Matematik tahlildan ma'lumki,

Kuzatishlar natijalarini qayta ishlashda normal taqsimot funktsiyasi yuqoridagi formulalar bo'yicha hisoblanmaydi, lekin maxsus jadvallar yoki kompyuter dasturlari. Rus tilidagi eng yaxshi "Matematik statistika jadvallari" SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zolari L.N. Bolshev va N.V.Smirnov.

Standart normal taqsimotning zichligi shakli biz bu erda ko'rib chiqa olmaydigan matematik nazariyadan, shuningdek, CLTning isbotidan kelib chiqadi.

Tasvirlash uchun biz tarqatish funktsiyasining kichik jadvallarini taqdim etamiz F(x)(2-jadval) va uning kvantillari (3-jadval). Funktsiya F(x) 0 ga nisbatan simmetrikdir, bu 2-3-jadvallarda aks ettirilgan.

2-jadval.

Standart normal taqsimot funksiyasi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X tarqatish funksiyasiga ega F(x), keyin M(X) = 0, D(X) = 1. Bu fikr ehtimollik zichligi shakliga asoslangan ehtimollar nazariyasida isbotlangan. U qisqartirilgan tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikalari uchun shunga o'xshash bayonotga mos keladi U n, bu juda tabiiy, chunki CLT atamalar sonining cheksiz ko'payishi bilan taqsimlash funktsiyasini ta'kidlaydi. U n standart normal taqsimot funksiyasiga intiladi F(x), va har qanday uchun X.

3-jadval

Standart normal taqsimotning miqdorlari.

Buyurtma miqdori R

Buyurtma miqdori R

Oddiy taqsimotlar oilasi tushunchasini kiritamiz. Ta'rifga ko'ra, normal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishidir X, buning uchun qisqartirilgan tasodifiy miqdorning taqsimlanishi F(x). dan quyidagicha umumiy xususiyatlar miqyosli siljishli taqsimot oilalari (yuqoriga qarang), normal taqsimot tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishidir

qayerda X taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir F(X), va m = M(Y), = D(Y). Shift parametrlari bilan normal taqsimlash m va masshtab odatda belgilanadi N(m, ) (ba'zan belgi N(m, ) ).

(8) dan kelib chiqqan holda, normal taqsimotning ehtimollik zichligi N(m, ) u yerda

Oddiy taqsimotlar miqyosli siljishlar oilasini tashkil qiladi. Bunday holda, o'lchov parametri d= 1/ , va shift parametri c = - m/ .

Oddiy taqsimotning uchinchi va to'rtinchi tartibli markaziy momentlari uchun tengliklar to'g'ri

Kuzatish natijalari normal taqsimotga amal qilishini tekshirishning klassik usullari asosida bu tengliklar yotadi. Hozirgi vaqtda mezon bo'yicha me'yoriylikni tekshirish tavsiya etiladi V Shapiro - Vilka. Oddiylikni tekshirish muammosi quyida muhokama qilinadi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 va X 2 tarqatish funksiyalariga ega N(m 1 , 1) va N(m 2 , 2) mos ravishda, keyin X 1+ X 2 taqsimotga ega Shuning uchun, agar tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , keyin ularning arifmetik o'rtachasi

taqsimotga ega N(m, ) . Oddiy taqsimotning bu xususiyatlari doimiy ravishda turli ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarida, xususan, texnologik jarayonlarni statistik nazorat qilishda va miqdoriy atribut bo'yicha statistik qabul qilishni nazorat qilishda qo'llaniladi.

Oddiy taqsimot hozirda statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda keng qo'llaniladigan uchta taqsimotni belgilaydi.

Tarqatish (chi - kvadrat) - tasodifiy miqdorni taqsimlash

bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 ,…, X n mustaqil va bir xil taqsimotga ega N(0,1). Bunday holda, atamalar soni, ya'ni. n, chi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi.

Tarqatish t Student - tasodifiy miqdorning taqsimlanishi

bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar U va X mustaqil, U standart normal taqsimotga ega N(0,1) va X– taqsimlash chi – bilan kvadrat n erkinlik darajalari. Qayerda n Talaba taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb ataladi. Ushbu taqsimot 1908 yilda pivo zavodida ishlagan ingliz statistik V. Gosset tomonidan kiritilgan. Bu zavodda iqtisodiy va texnik qarorlar qabul qilishda ehtimollik-statistik usullardan foydalanilgan, shuning uchun uning rahbariyati V.Gossetga o‘z nomi bilan ilmiy maqolalar chop etishni taqiqlagan. Shu tarzda, V. Gosset tomonidan ishlab chiqilgan ehtimollik-statistik usullar ko'rinishidagi "nou-xau" tijorat siri himoyalangan. Biroq, u "Talaba" taxallusi bilan nashr etishga muvaffaq bo'ldi. Gosset-Student tarixi shuni ko'rsatadiki, yana bir yuz yil davomida ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarining katta iqtisodiy samaradorligi ingliz menejerlari uchun ochiq edi.

Fisher taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotidir

bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 va X 2 mustaqil va chi taqsimotiga ega - erkinlik darajalari soniga ega kvadrat k 1 va k 2 mos ravishda. Shu bilan birga, er-xotin (k 1 , k 2 ) - bir juft "erkinlik darajalari" Fisher taqsimoti, aynan, k 1 - numeratorning erkinlik darajalari soni, va k 2 - maxrajning erkinlik darajalari soni. F tasodifiy miqdorning taqsimlanishi buyuk ingliz statistik olimi R. Fisher (1890-1962) sharafiga nomlangan bo'lib, u o'z ishida faol foydalangan.

Chi - kvadrat, Student va Fisherning taqsimlash funktsiyalari uchun ifodalar, ularning zichligi va xarakteristikalari, shuningdek jadvallarni maxsus adabiyotlarda topish mumkin (masalan, qarang).

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, oddiy taqsimotlar hozirda turli xil qo'llaniladigan sohalarda ehtimollik modellarida qo'llaniladi. Nima uchun bu ikki parametrli tarqatish oilasi shunchalik keng tarqalgan? U quyidagi teorema orqali aniqlangan.

Markaziy chegara teoremasi(boshqacha taqsimlangan shartlar uchun). Mayli X 1 , X 2 ,…, X n,… matematik taxminlarga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … va dispersiyalar D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … mos ravishda. Mayli

Keyin, har qanday shartning hissasining kichikligini ta'minlaydigan ma'lum shartlar amal qilgan holda U n,

har kim uchun X.

Ko'rib chiqilayotgan shartlar bu erda shakllantirilmaydi. Ularni maxsus adabiyotlarda topish mumkin (masalan, qarang). "KPT qanday sharoitlarda ishlayotganini aniqlab berish - taniqli rus olimlari A.A. Markov (1857-1922) va, xususan, A.M. Lyapunov (1857-1918) ning xizmatlaridir".

Markaziy chegara teoremasi shuni ko'rsatadiki, o'lchov (kuzatish) natijasi ko'p sabablar ta'sirida shakllangan bo'lsa, ularning har biri faqat kichik hissa qo'shadi va yig'indisi natija bilan aniqlanadi. qo'shimcha ravishda, ya'ni. qo'shilgan holda, u holda o'lchov (kuzatish) natijasining taqsimlanishi normalga yaqin bo'ladi.

Ba'zida taqsimotning normal bo'lishi uchun o'lchov (kuzatish) natijasi etarli bo'ladi, deb ishoniladi. X ko'pgina sabablar ta'sirida shakllangan, ularning har biri kichik ta'sirga ega. Bu unday emas. Muhimi, bu sabablar qanday ishlashi. Agar qo'shimcha bo'lsa, unda X taxminan normal taqsimotga ega. Agar a multiplikativ tarzda(ya'ni, individual sabablarning harakatlari ko'paytiriladi, qo'shilmaydi), keyin taqsimot X me'yorga yaqin emas, balki atalmish. logarifmik normal, ya'ni. emas X, va lg X taxminan normal taqsimotga ega. Agar yakuniy natijani shakllantirish uchun ushbu ikkita mexanizmdan biri (yoki boshqa aniq belgilangan mexanizm) ishlayotganiga ishonish uchun asoslar bo'lmasa, taqsimlash haqida. X aniq hech narsa aytish mumkin emas.

Aytilganlardan ma'lum bir amaliy masalada o'lchovlar (kuzatishlar) natijalarining normalligini, qoida tariqasida, umumiy mulohazalar asosida aniqlash mumkin emasligi, uni statistik mezonlar yordamida tekshirish kerakligi kelib chiqadi. Yoki o'lchovlar (kuzatishlar) natijalarini taqsimlash funktsiyalarining u yoki bu parametrik oilaga a'zoligi haqidagi taxminlarga asoslanmagan parametrik bo'lmagan statistik usullardan foydalaning.

Ehtimoliy-statistik qarorlarni qabul qilish usullarida qo'llaniladigan uzluksiz taqsimotlar. Oddiy taqsimotlarning masshtabli siljishi oilasidan tashqari yana bir qancha taqsimot oilalari keng qo'llaniladi - logarifmik normal, eksponensial, Veybull-Gnedenko, gamma taqsimotlar. Keling, ushbu oilalarni ko'rib chiqaylik.

Tasodifiy qiymat X tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa log-normal taqsimotga ega Y= jurnal X normal taqsimotga ega. Keyin Z=ln X = 2,3026…Y normal taqsimotga ham ega N(a 1 ,s 1), qaerda ln X - tabiiy logarifm X. Log-normal taqsimotning zichligi:

Markaziy chegara teoremasidan hosil bo'lganligi kelib chiqadi X = X 1 X 2 … X n mustaqil ijobiy tasodifiy o'zgaruvchilar X i, i = 1, 2,…, n, katta n log-normal taqsimot bilan taxminiy bo'lishi mumkin. Xususan, ish haqi yoki daromadlarni shakllantirishning multiplikativ modeli ish haqi va daromadlarni log-normal qonunlar bo'yicha taqsimlashni taxminiy tavsiya etishga olib keladi. Rossiya uchun bu tavsiya asosli bo'lib chiqdi - statistika buni tasdiqlaydi.

Log-normal qonunga olib keladigan boshqa ehtimollik modellari mavjud. Bunday modelning klassik namunasi A.N. shar tegirmonlari log-normal taqsimotga ega.

Keling, turli ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullari va boshqa amaliy tadqiqotlarda keng qo'llaniladigan taqsimotlarning yana bir oilasiga, eksponensial taqsimotlar oilasiga o'tamiz. Keling, bunday taqsimotlarga olib keladigan ehtimollik modelidan boshlaylik. Buning uchun "hodisalar oqimi" ni ko'rib chiqing, ya'ni. bir vaqtning o'zida birin-ketin sodir bo'ladigan voqealar ketma-ketligi. Misollar: telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar oqimi; texnologik zanjirda uskunaning nosozliklari oqimi; mahsulotni sinovdan o'tkazishda mahsulot nosozliklari oqimi; mijozlarning bank filialiga murojaatlari oqimi; tovar va xizmatlarga murojaat qiluvchi xaridorlar oqimi va boshqalar. Hodisalar oqimi nazariyasida markaziy chegara teoremasiga o'xshash teorema o'rinli, lekin unda gaplashamiz tasodifiy o'zgaruvchilarning yig'indisi haqida emas, balki hodisalar oqimining yig'indisi haqida. dan tashkil topgan umumiy oqimni ko'rib chiqamiz katta raqam mustaqil oqimlar, ularning hech biri umumiy oqimga ustun ta'sir ko'rsatmaydi. Masalan, telefon stantsiyasiga kelgan qo'ng'iroqlar oqimi alohida abonentlardan kelib chiqadigan ko'plab mustaqil qo'ng'iroqlar oqimlaridan iborat. Oqimlarning xarakteristikalari vaqtga bog'liq bo'lmagan taqdirda, umumiy oqim to'liq bitta raqam - oqimning intensivligi bilan tavsiflanishi isbotlangan. Umumiy oqim uchun tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X- ketma-ket hodisalar orasidagi vaqt oralig'ining uzunligi. Uning taqsimlash funktsiyasi shaklga ega

(10)

Bu taqsimot eksponensial taqsimot deb ataladi, chunki formula (10) ko'rsatkichli funktsiyani o'z ichiga oladi e -λ x. 1/l qiymati shkala parametridir. Ba'zan shift parametri ham kiritiladi Bilan, eksponensial tasodifiy miqdorning taqsimlanishi X + c, tarqatish qaerda X(10) formula bilan berilgan.

Eksponensial taqsimotlar - maxsus holat deb atalmish. Weibull - Gnedenko taqsimoti. Ular charchoq sinovlari natijalarini tahlil qilish amaliyotiga ushbu taqsimotlarni kiritgan muhandis V.Veybull va testning maksimal miqdorini o'rganishda cheklovchi kabi taqsimotlarni olgan matematik B.V.Gnedenko (1912-1995) sharafiga nomlangan. natijalar. Mayli X- mahsulotning ishlash muddatini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi; murakkab tizim, element (ya'ni resurs, chegara holatiga ish vaqti va boshqalar), korxonaning ishlash muddati yoki tirik mavjudotning hayoti va boshqalar. Muvaffaqiyatsizlik darajasi muhim rol o'ynaydi

(11)

qayerda F(x) va f(x) - tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va zichligi X.

Keling, muvaffaqiyatsizlik darajasining odatiy harakatini tasvirlaylik. Butun vaqt oralig'ini uch davrga bo'lish mumkin. Ulardan birinchisida funksiya l(x) yuqori qiymatlarga va aniq pasayish tendentsiyasiga ega (ko'pincha u monoton ravishda kamayadi). Buni ko'rib chiqilayotgan partiyada aniq va yashirin nuqsonlari bo'lgan mahsulot birliklarining mavjudligi bilan izohlash mumkin, bu esa ushbu mahsulot birliklarining nisbatan tez ishdan chiqishiga olib keladi. Birinchi davr "buzilish" (yoki "buzilish") davri deb ataladi. Bu odatda kafolat muddati bilan qoplanadi.

Keyinchalik, taxminan doimiy va nisbatan past ishlamay qolish darajasi bilan tavsiflangan normal ishlash davri keladi. Ushbu davrdagi nosozliklar tabiati to'satdan xarakterga ega (baxtsiz hodisalar, operatsion xodimlarning xatolari va boshqalar) va mahsulot birligining ishlash muddatiga bog'liq emas.

Nihoyat, operatsiyaning oxirgi davri - qarish va eskirish davri. Ushbu davrdagi nosozliklarning tabiati materiallarning qaytarilmas fizik, mexanik va kimyoviy o'zgarishlarida bo'lib, mahsulot birligi sifatining tobora yomonlashishiga va uning yakuniy ishdan chiqishiga olib keladi.

Har bir davr o'ziga xos funktsiyaga ega l(x). Quvvatga bog'liqlik sinfini ko'rib chiqing

l(x) = l0bxb -1 , (12)

qayerda λ 0 > 0 va b> 0 - ba'zi raqamli parametrlar. Qiymatlar b < 1, b= 0 va b> 1 mos ravishda ishga tushirish, normal ishlash va qarish davrlarida nosozlik darajasi turiga mos keladi.

Berilgan muvaffaqiyatsizlik darajasi uchun munosabat (11). l(x)- funksiyaga nisbatan differentsial tenglama F(x). Nazariyadan differensial tenglamalar shunga amal qiladi

(13)

(12) ni (13) ga almashtirsak, biz buni olamiz

(14)

Formula (14) bo'yicha berilgan taqsimot Veybull - Gnedenko taqsimoti deb ataladi. Chunki

u holda (14) formuladan kelib chiqadiki, miqdor a, (15) formula bilan berilgan, masshtablash parametridir. Ba'zan shift parametri ham kiritiladi, ya'ni. Weibull - Gnedenko taqsimlash funktsiyalari deyiladi F(x - c), qayerda F(x) bir necha l 0 va uchun (14) formula bilan berilgan b.

Weibull - Gnedenko taqsimotining zichligi shaklga ega

(16)

qayerda a> 0 - shkala parametri, b> 0 - shakl parametri, Bilan- siljish parametri. Bunday holda, parametr a formuladan (16) parametr bilan bog'liq λ (14) formuladan (15) formulada ko'rsatilgan nisbat bo'yicha 0.

Eksponensial taqsimot Veybull - Gnedenko taqsimotining juda alohida holati bo'lib, shakl parametrining qiymatiga mos keladi. b = 1.

Veybull - Gnedenko taqsimoti ob'ektning xatti-harakati "eng zaif bo'g'in" bilan belgilanadigan vaziyatlarning ehtimollik modellarini qurishda ham qo'llaniladi. Zanjir bilan o'xshashlik nazarda tutiladi, uning xavfsizligi eng past kuchga ega bo'lgan bog'lanish bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, ruxsat bering X 1 , X 2 ,…, X n mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar;

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=maks( X 1 , X 2 ,…, X n).

Bir qator amaliy masalalarda muhim rol o'ynaydi X(1) va X(n) , xususan, ma'lum qiymatlarning maksimal mumkin bo'lgan qiymatlarini ("yozuvlar") o'rganishda, masalan, sug'urta to'lovlari yoki tijorat tavakkalchiligi tufayli yo'qotishlar, po'latning elastikligi va chidamliligi chegaralarini, bir qator ishonchlilik xususiyatlarini o'rganishda, va boshqalar. Katta n uchun taqsimotlar ko'rsatilgan X(1) va X(n) , qoida tariqasida, Weibull - Gnedenko taqsimoti tomonidan yaxshi tasvirlangan. Tarqatishlarni o'rganishga qo'shgan asosiy hissasi X(1) va X(n) sovet matematigi B.V.Gnedenko tomonidan kiritilgan. V. Veybull, E. Gumbel, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev va boshqa ko'plab mutaxassislar.

Keling, gamma taqsimotlari oilasiga o'tamiz. Ular iqtisodiyot va menejmentda, ishonchlilik nazariyasi va amaliyotida va sinovdan keng qo'llaniladi turli sohalar texnologiya, meteorologiya va boshqalar. Xususan, ko'p holatlarda gamma taqsimoti mahsulotning umumiy xizmat qilish muddati, o'tkazuvchan chang zarralari zanjirining uzunligi, korroziya paytida mahsulotning chegara holatiga etib borishi, ish vaqti kabi miqdorlarga bog'liq. k rad etish, k= 1, 2, … va boshqalar. Surunkali kasalliklarga chalingan bemorlarning umr ko'rish davomiyligi, davolanishda ma'lum ta'sirga erishish vaqti ba'zi hollarda gamma taqsimotiga ega. Bu taqsimot inventarni boshqarishning (logistika) iqtisodiy va matematik modellarida talabni tavsiflash uchun eng adekvat hisoblanadi.

Gamma taqsimotining zichligi shaklga ega

(17)

(17) formuladagi ehtimollik zichligi uchta parametr bilan aniqlanadi a, b, c, qayerda a>0, b>0. Qayerda a shakl parametridir, b- masshtab parametri va Bilan- siljish parametri. Faktor 1/D(a) normallashtirish hisoblanadi, u maqsadida joriy etiladi

Bu yerda D(a)- matematikada qo'llaniladigan maxsus funktsiyalardan biri, "gamma-funksiya" deb ataladi, bu orqali (17) formulada berilgan taqsimot ham nomlanadi;

Belgilangan vaqtda a formula (17) zichlikka ega bo'lgan taqsimot tomonidan yaratilgan taqsimotlarning shkalasi siljishi oilasini belgilaydi

(18)

Shaklning taqsimoti (18) standart gamma taqsimoti deb ataladi. U formuladan (17) olinadi b= 1 va Bilan= 0.

Gamma taqsimotining alohida holati a= 1 - eksponensial taqsimotlar (bilan l = 1/b). Tabiiy bilan a va Bilan=0 gamma taqsimotlar Erlang taqsimotlari deyiladi. Kopengagen telefon kompaniyasi xodimi, 1908-1922 yillarda tahsil olgan daniyalik olim K.A.Erlang (1878-1929) asarlaridan. telefon tarmoqlarining ishlashi, navbatlar nazariyasining rivojlanishi boshlandi. Ushbu nazariya optimal qarorlar qabul qilish uchun so'rovlar oqimiga xizmat ko'rsatadigan tizimlarni ehtimollik-statistik modellashtirish bilan shug'ullanadi. Erlang taqsimotlari eksponensial taqsimotlar bilan bir xil dastur sohalarida qo'llaniladi. Bu quyidagi matematik faktga asoslanadi: bir xil parametrlar bilan eksponent ravishda taqsimlangan k mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi va Bilan, shakl parametri bilan gamma taqsimotiga ega a =k, masshtab parametri b= 1/l va siljish parametri kc. Da Bilan= 0 Erlang taqsimotini olamiz.

Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X shakl parametri bilan gamma taqsimotiga ega a shu kabi d = 2 a- butun son, b= 1 va Bilan= 0, keyin 2 X bilan chi-kvadrat taqsimotiga ega d erkinlik darajalari.

Tasodifiy qiymat X gvmma-tarqatish bilan quyidagi xususiyatlarga ega:

Kutilgan qiymat M(X) =ab + c,

dispersiya D(X) = σ 2 = ab 2 ,

O'zgaruvchanlik koeffitsienti

assimetriya

Ortiqcha

Oddiy taqsimot gamma taqsimotining ekstremal holatidir. Aniqroq qilib aytganda, Z (18) formula bilan berilgan standart gamma taqsimoti bilan tasodifiy o‘zgaruvchi bo‘lsin. Keyin

har kim uchun haqiqiy raqam X, qayerda F(x)- standart normal taqsimot funksiyasi N(0,1).

Amaliy tadqiqotlarda taqsimotlarning boshqa parametrik oilalari ham qo'llaniladi, ulardan Pearson egri tizimi, Edgeworth va Charlier seriyalari eng mashhurdir. Bu erda ular hisobga olinmaydi.

Diskret ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarida qo'llaniladigan taqsimotlar. Ko'pincha diskret taqsimotlarning uchta oilasi qo'llaniladi - binomial, gipergeometrik va Puasson, shuningdek ba'zi boshqa oilalar - geometrik, salbiy binomial, multinomial, salbiy gipergeometrik va boshqalar.

Yuqorida aytib o'tilganidek, binomial taqsimot mustaqil sinovlarda sodir bo'ladi, ularning har birida ehtimollik bilan R hodisa paydo bo'ladi LEKIN. Agar a umumiy soni testlar n berilgan, keyin sinovlar soni Y, unda voqea paydo bo'ldi LEKIN, binomial taqsimotga ega. Binomiy taqsimot uchun tasodifiy o'zgaruvchi sifatida qabul qilish ehtimoli Y qiymatlar y formula bilan aniqlanadi

dan kombinatsiyalar soni n tomonidan elementlar y kombinatorikadan ma'lum. Barcha uchun y, 0, 1, 2, … dan tashqari, n, bizda ... bor P(Y= y)= 0. Belgilangan tanlama kattaligi bilan binom taqsimoti n parametr bilan belgilanadi p, ya'ni. binomial taqsimotlar bir parametrli oilani tashkil qiladi. Ular namunaviy tadqiqot ma'lumotlarini tahlil qilishda, xususan, iste'molchilarning xohish-istaklarini o'rganishda, bir bosqichli nazorat rejalari bo'yicha mahsulot sifatini tanlab nazorat qilishda, demografiya, sotsiologiya, tibbiyot, biologiya va boshqalar bo'yicha shaxslar populyatsiyasini tekshirishda qo'llaniladi.

Agar a Y 1 va Y 2 - bir xil parametrli mustaqil binomial tasodifiy o'zgaruvchilar p 0 hajmli namunalar bilan aniqlanadi n 1 va n 2 mos ravishda, keyin Y 1 + Y 2 - taqsimot (19) bilan binomial tasodifiy miqdor R = p 0 va n = n 1 + n 2 . Ushbu eslatma binomial taqsimotning qo'llanilishini kengaytiradi, bu bir xil parametr barcha ushbu guruhlarga mos kelishiga ishonish uchun asoslar mavjud bo'lganda bir nechta test guruhlari natijalarini birlashtirishga imkon beradi.

Binomiy taqsimotning xarakteristikalari avvalroq hisoblangan:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- p).

"Hodisalar va ehtimollar" bo'limida binomial tasodifiy miqdor uchun katta sonlar qonuni isbotlangan:

har kim uchun. Markaziy chegara teoremasi yordamida katta sonlar qonuni qanday ekanligini ko'rsatib, aniqlanishi mumkin Y/ n dan farq qiladi R.

De Moivr-Laplas teoremasi. Har qanday a va raqamlari uchun b, a< b, bizda ... bor

qayerda F(X) oʻrtacha 0 va dispersiya 1 boʻlgan standart normal taqsimot funksiyasi.

Buni isbotlash uchun vakillikdan foydalanish kifoya Y individual sinovlar natijalariga mos keladigan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi sifatida, formulalar M(Y) va D(Y) va markaziy chegara teoremasi.

Bu teorema holat uchun R= ½ ni 1730 yilda ingliz matematigi A. Moivre (1667-1754) isbotlagan. Yuqoridagi formulada 1810 yilda frantsuz matematigi Per Simon Laplas (1749-1827) tomonidan isbotlangan.

Gipergeometrik taqsimot muqobil atributga ko'ra N hajmli ob'ektlarning cheklangan to'plamini tanlab boshqarish paytida sodir bo'ladi. Har bir boshqariladigan ob'ekt atributga ega sifatida tasniflanadi LEKIN, yoki bu xususiyatga ega emas. Gipergeometrik taqsimot tasodifiy o'zgaruvchiga ega Y, atributga ega bo'lgan ob'ektlar soniga teng LEKIN hajmning tasodifiy namunasida n, qayerda n< N. Masalan, raqam Y hajmning tasodifiy namunasidagi nuqsonli mahsulotlar birliklari n partiya hajmidan N agar gipergeometrik taqsimotga ega n< N. Yana bir misol lotereya. Belgiga ruxsat bering LEKIN chipta "yutuq" belgisidir. Barcha chiptalar bo'lsin N, va kimdir sotib olgan n ulardan. Keyin bu odam uchun yutgan chiptalar soni gipergeometrik taqsimotga ega.

Gipergeometrik taqsimot uchun Y tasodifiy o'zgaruvchining y qiymatini olish ehtimoli ko'rinishga ega

(20)

qayerda D atributga ega bo'lgan ob'ektlar soni LEKIN, ko'rib chiqilayotgan hajm to'plamida N. Qayerda y max dan qiymatlarni oladi (0, n - (N - D)) daqiqagacha( n, D), boshqalar bilan y(20) formuladagi ehtimollik 0 ga teng. Shunday qilib, gipergeometrik taqsimot uchta parametr - hajm bilan aniqlanadi. aholi N, ob'ektlar soni D unda ko'rib chiqilgan xususiyatga ega LEKIN, va namuna hajmi n.

Oddiy tasodifiy tanlab olish n umumiy hajmdan N tasodifiy tanlash natijasida olingan tanlama deyiladi, unda har qanday to'plamdan n ob'ektlarni tanlash ehtimoli bir xil. Respondentlarning (suhbatdoshlarning) namunalarini yoki parcha mahsulot birliklarini tasodifiy tanlash usullari ko'rsatma-uslubiy va normativ-texnik hujjatlarda ko'rib chiqiladi. Tanlash usullaridan biri quyidagicha: ob'ektlar bir-biridan tanlanadi va har bir bosqichda to'plamdagi qolgan ob'ektlarning har biri bir xil tanlanish imkoniyatiga ega. Adabiyotda ko'rib chiqilayotgan namunalar turi uchun "tasodifiy namuna", "almashtirilmagan tasodifiy namuna" atamalari ham qo'llaniladi.

Chunki umumiy aholi hajmi (lotlar) N va namunalar n odatda ma'lum bo'lsa, taxmin qilinadigan gipergeometrik taqsimot parametri D. Mahsulot sifatini boshqarishning statistik usullarida D- odatda partiyadagi nuqsonli birliklar soni. Tarqatishning o'ziga xos xususiyati ham qiziqish uyg'otadi D/ N- nuqson darajasi.

Gipergeometrik taqsimot uchun

Dispersiya ifodasidagi oxirgi omil 1 if ga yaqin N>10 n. Agar bir vaqtning o'zida biz almashtirishni amalga oshirsak p = D/ N, keyin gipergeometrik taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi ifodalari binomial taqsimotning matematik kutilishi va dispersiyasi ifodalariga aylanadi. Bu tasodif emas. Buni ko'rsatish mumkin

da N>10 n, qayerda p = D/ N. Cheklash nisbati amal qiladi

va bu cheklovchi munosabatdan foydalanish mumkin N>10 n.

Uchinchi keng tarqalgan diskret taqsimot bu Puasson taqsimotidir. Y tasodifiy o'zgaruvchisi Puasson taqsimotiga ega, agar

,

bu yerda l - Puasson taqsimot parametri va P(Y= y)= qolganlar uchun 0 y(y=0 uchun 0!=1 belgilanadi). Puasson taqsimoti uchun

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Bu taqsimot fransuz matematigi C.D.Puasson (1781-1840) sharafiga nomlangan bo'lib, uni birinchi marta 1837 yilda yaratgan. Puasson taqsimoti binomial taqsimotning ekstremal holati bo'lib, bu erda ehtimollik R tadbirni amalga oshirish kichik, lekin sinovlar soni n ajoyib, va np= l. Aniqroq aytganda, chegara munosabati

Shuning uchun Puasson taqsimoti (eski terminologiyada "tarqatish qonuni") ko'pincha "kam uchraydigan hodisalar qonuni" deb ham ataladi.

Puasson taqsimoti hodisa oqimlari nazariyasida paydo bo'ladi (yuqoriga qarang). Doimiy intensivlikdagi eng oddiy oqim uchun vaqt davomida sodir bo'lgan hodisalar (qo'ng'iroqlar) soni isbotlangan. t, l = l parametrli Puasson taqsimotiga ega t. Shuning uchun, ehtimol, o'z vaqtida t hech qanday hodisa yuz bermaydi e - Λ t, ya'ni. hodisalar orasidagi interval uzunligining taqsimot funksiyasi eksponensialdir.

Puasson taqsimoti iste'molchilarning tanlab olingan marketing so'rovlari natijalarini tahlil qilishda, nuqsonlarni qabul qilish darajasining kichik qiymatlari bo'lgan taqdirda statistik qabul qilishni nazorat qilish rejalarining operatsion xususiyatlarini hisoblashda, buzilishlar sonini tavsiflashda qo'llaniladi. Vaqt birligi uchun statistik nazorat qilinadigan texnologik jarayon, navbat tizimiga vaqt birligida keladigan "xizmatga qo'yiladigan talablar" soni, baxtsiz hodisalar va noyob kasalliklarning statistik naqshlari va boshqalar.

Diskret taqsimotlarning boshqa parametrik oilalarining tavsifi va ulardan amaliy foydalanish imkoniyatlari adabiyotlarda ko'rib chiqiladi.


Ba'zi hollarda, masalan, narxlarni, ishlab chiqarish hajmini yoki ishonchlilik muammolaridagi nosozliklar orasidagi umumiy vaqtni o'rganayotganda, taqsimlash funktsiyalari o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchilarning qiymatlari tushib keta olmaydigan ma'lum oraliqlarda doimiy bo'ladi.

Oldingi

X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi F(x) funksiyasi bo'lib, har bir x uchun X tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolini ifodalaydi., kichikroq x

2.5-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining bir qator taqsimoti berilgan

Uning taqsimlash funksiyasini toping va grafik tasvirlang. Yechim. Ta'rifga ko'ra

F(jc) = 0 uchun X X

F(x) = 4 da 0,4 + 0,1 = 0,5 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 da X > 5.

Shunday qilib (2.1-rasmga qarang):


Tarqatish funksiyasi xususiyatlari:

1. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi nol va bir o‘rtasida joylashgan manfiy bo‘lmagan funksiyadir:

2. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi butun sonlar o‘qi bo‘yicha kamaymaydigan funksiyadir, ya’ni. da X 2 >x

3. Minus cheksizlikda taqsimlash funktsiyasi nolga teng, plyus cheksizlikda u birga teng, ya'ni.

4. Tasodifiy kattalikka tegish ehtimoli X oraliqda gacha bo'lgan ehtimollik zichligining aniq integraliga teng a oldin b(2.2-rasmga qarang), ya'ni.


Guruch. 2.2

3. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (2.3-rasmga qarang) quyidagi formula yordamida ehtimollik zichligi bilan ifodalanishi mumkin:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligining cheksiz chegaralarida noto'g'ri integral birga teng:

Geometrik xususiyatlar / va 4 ehtimollik zichligi uning uchastkasi ekanligini bildiradi taqsimot egri chizig'i - x o'qi ostida emas, va umumiy maydoni raqamlar, cheklangan taqsimot egri chizig'i va x o'qi, birga teng.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun X kutilgan qiymat M(X) va dispersiya D(X) formulalar bilan aniqlanadi:

(agar integral absolyut yaqinlashsa); yoki

(kamaytirilgan integrallar yaqinlashsa).

Yuqorida qayd etilgan raqamli xarakteristikalar bilan bir qatorda, tasodifiy miqdorni tavsiflash uchun kvantlar va foiz punktlari tushunchasi qo'llaniladi.

q darajali kvant(yoki q-kvantil) shunday qiymatdirx qtasodifiy o'zgaruvchi, bunda uning taqsimot funksiyasi qiymat oladi, q ga teng, ya'ni

  • 100q%-ou nuqtasi X~ q kvantidir.
  • ? 2.8-misol.

2.6-misolga asosan kvantilni toping xqj va 30% tasodifiy o'zgaruvchan nuqta x.

Yechim. Ta'rif bo'yicha (2.16) F(xo t3)= 0,3, ya'ni.

~Y~ = 0,3, kvantil qaerdan x 0 3 = 0,6. 30% tasodifiy o'zgaruvchan nuqta X, yoki kvanti X)_o,z = xoj» tenglamadan xuddi shunday topiladi ^ = 0,7. buning uchun *, = 1.4. ?

Orasida raqamli xususiyatlar tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash boshlang'ich v* va markaziy R* k-tartib momentlari, diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun formulalar bilan aniqlanadi:


Diskret tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlari orasida eng keng tarqalgani binomial taqsimot qonunidir. Ikkilamchi taqsimot quyidagi sharoitlarda sodir bo'ladi. Tasodifiy o'zgaruvchi mustaqil sinovlarda qandaydir hodisaning sodir bo'lish soni bo'lsin, alohida sinovda sodir bo'lish ehtimoli. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, uning mumkin bo'lgan qiymatlari . Tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolligi Bernulli formulasi bilan hisoblanadi: .

Ta'rif 15. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni binomial taqsimot qonuni deb ataladi, agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining ehtimolliklari Bernulli formulasi yordamida hisoblansa. Tarqatish seriyasi quyidagicha ko'rinadi:

Tasodifiy o'zgaruvchining turli qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Haqiqatan ham,

Ushbu hisob-kitoblar natijasida Nyutonning binomial formulasi paydo bo'lganligi sababli, taqsimot qonuni binomial deb ataladi. Agar tasodifiy o'zgaruvchining binomial taqsimoti bo'lsa, unda uning raqamli xarakteristikalari quyidagi formulalar bilan topiladi:

(42) (43)

15-misol 50 ta qismdan iborat to'plam mavjud. Bir qism uchun nikoh ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir partiyadagi nuqsonli qismlar soni bo'lsin. Berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega, chunki uning qiymat olish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi. Keyin uning matematik kutilishi (41) formula bo'yicha topiladi, ya'ni; dispersiya (42) formula bilan topiladi: . Keyin standart og'ish ga teng bo'ladi. Savol. 200 ta lotereya chiptasi sotib olindi, bitta chipta yutib olish ehtimoli 0,01 ga teng. U holda yutadigan lotereya chiptalarining o'rtacha soni: a) 10 ta; b) 2; 20 da; d) 1.

Puasson taqsimot qonuni

Ko'pgina amaliy muammolarni hal qilishda Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak. Puasson taqsimotiga ega tasodifiy o'zgaruvchining tipik misollari: telefon stantsiyasida ma'lum vaqt davomida qo'ng'iroqlar soni; vaqt o'tishi bilan murakkab uskunalarning nosozliklari soni, agar nosozliklar bir-biridan mustaqil ekanligi ma'lum bo'lsa va o'rtacha vaqt birligida nosozliklar mavjud bo'lsa.Taqsimot seriyasi quyidagicha ko'rinadi:

Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolligi Puasson formulasi bilan hisoblanadi: shuning uchun bu qonun Puasson taqsimot qonuni deb ataladi. Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi sonli xususiyatlarga ega:

Puasson taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati bo'lgan bitta parametrga bog'liq. 14-rasmda ko'rsatilgan umumiy shakl parametrning turli qiymatlari uchun Puasson taqsimotining ko'pburchagi.

Tasodifiy o'zgaruvchining aniq taqsimlanishi binomial taqsimot bo'lsa, sinovlar soni ko'p bo'lsa va alohida sinovda sodir bo'lish ehtimoli kichik bo'lsa, Puasson taqsimoti taxminiy sifatida ishlatilishi mumkin, shuning uchun Puasson taqsimot qonuni nodir hodisalar qonuni deb ataladi. Va shuningdek, agar matematik kutish dispersiyadan ozgina farq qilsa, ya'ni qachon . Shu munosabat bilan, Puasson taqsimoti juda ko'p turli xil ilovalarga ega. 16-misol Zavod bazaga 500 dona sifatli mahsulot jo‘natadi. Tranzit paytida mahsulotning shikastlanish ehtimoli 0,002 ga teng. Tashish vaqtida shikastlangan qismlar sonining matematik taxminini toping. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchining Puasson taqsimoti bor, shuning uchun. Savol. Xabarni uzatishda belgilarning buzilishi ehtimoli 0,004 ga teng. Buzilgan belgilarning o'rtacha soni 4 ta bo'lishi uchun 100 ta belgi uzatilishi kerak.