Dipnot: Zaman serisi altında zamana bağlı ekonomik değerleri anlayın. Bu durumda, zamanın kesikli olduğu varsayılır; aksi takdirde, zaman serilerinden değil, rastgele süreçlerden söz edilir.

Durağan ve durağan olmayan zaman serilerinin modelleri, tanımlanması

Zaman serisini ele alalım. Zaman serisinin önce sayısal değerler almasına izin verin. Bu, örneğin yakındaki bir mağazadaki bir somun ekmeğin fiyatı veya en yakın döviz bürosundaki dolar-ruble döviz kuru olabilir. Genellikle, bir zaman serisinin davranışında iki ana eğilim tanımlanır - bir eğilim ve periyodik dalgalanmalar.

Aynı zamanda, bir eğilim, bir veya başka bir yumuşatma yöntemi (örneğin, üstel yumuşatma) veya özellikle kullanarak hesaplama ile ortaya çıkan doğrusal, ikinci dereceden veya başka bir türün zamana bağımlılığı olarak anlaşılır. en küçük kareler yöntemi. Başka bir deyişle, bir trend, bir zaman serisinin rastgelelikten arındırılmış ana eğilimidir.

Zaman serisi genellikle bir trend etrafında salınır ve trendden sapmalar genellikle doğrudur. Çoğu zaman bu, mevsimsel veya haftalık, aylık veya üç aylık (örneğin, bordro ve vergi ödeme planlarına göre) gibi doğal veya belirlenmiş bir sıklıktan kaynaklanır. Bazen periyodikliğin varlığı ve hatta daha çok nedenleri belirsizdir ve ekonometristin görevi gerçekten bir periyodiklik olup olmadığını bulmaktır.

Zaman serilerinin özelliklerini tahmin etmek için temel yöntemler, "Genel İstatistik Teorisi" derslerinde (örneğin, ders kitaplarına bakınız) genellikle yeterli ayrıntıda ele alınır, bu nedenle burada ayrıntılı olarak analiz etmeye gerek yoktur. (Ancak, bazıları hakkında modern yöntemler Periyodun uzunluğunun ve periyodik bileşenin kendisinin tahmin edilmesi aşağıda tartışılacaktır.)

Zaman serisi özellikleri. Zaman serilerinin daha ayrıntılı bir çalışması için olasılıksal-istatistiksel modeller kullanılır. Bu durumda, zaman serisi rastgele bir süreç olarak kabul edilir (ayrık zamanlı), ana özellikleri matematiksel beklentidir, yani.

Dispersiyon, yani

ve otokorelasyon fonksiyonu Zaman serisi

şunlar. eşit iki değişkenli fonksiyon korelasyon katsayısı zaman serisinin iki değeri arasında ve .

Teorik ve uygulamalı araştırmalarda çok çeşitli zaman serisi modelleri göz önünde bulundurulur. Önce seçin sabit modeller. Ortak dağıtım işlevlerine sahiptirler. herhangi bir sayıda zaman noktası ve dolayısıyla yukarıda listelenen zaman serisinin tüm özellikleri için zamanla değişme. Özellikle matematiksel beklenti ve varyans sabittir, otokorelasyon fonksiyonu sadece farka bağlıdır. Durağan olmayan zaman serilerine denir. durağan olmayan.

Homoscedastic ve Heteroscedastic, Bağımsız ve Otokorelasyonlu Artıklar ile Lineer Regresyon Modelleri. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, ana şey, zaman serilerinin rastgele sapmalardan "temizlenmesi", yani. matematiksel beklenti tahmini. En basit modellerin aksine regresyon analizi içinde düşünüldüğünde, daha karmaşık modeller doğal olarak burada ortaya çıkıyor. Örneğin, varyans zamana bağlı olabilir. Bu tür modeller denir heteroskedastik ve zamana bağımlılığı olmayanlar homoskedastiktir. (Daha doğrusu, bu terimler sadece "zaman" değişkenine değil, aynı zamanda diğer değişkenlere de atıfta bulunabilir.)

Yorum. "Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz"de belirtildiği gibi, en basit model en küçük kareler yöntemiözellikle zaman serileri için eşzamanlı ekonometrik denklem sistemleri alanında çok uzak genellemelere izin verir. İlgili teori ve algoritmaları anlamak için profesyonel matris cebiri bilgisi gereklidir. Bu nedenle, ekonometrik denklem sistemleri ve doğrudan spektral teoriye çok fazla ilgi duyulan zaman serileri üzerine literatüre ilgi duyanları, yani. sinyali gürültüden ayırmak ve harmoniklere ayrıştırmak. Her bölümün arkasında olduğunu bir kez daha vurguluyoruz. bu kitap geniş bir bilimsel ve uygulamalı araştırma alanı var, buna çok çaba harcamaya değer. Ancak kitabın hacminin sınırlı olması nedeniyle sunumu kısa ve öz yapmak zorunda kaldık.

ekonometrik denklem sistemleri

Bir otoregresif model örneği. İlk örnek olarak, tüketici fiyat endeksinin (enflasyon endeksi) büyümesini tanımlayan bir zaman serisinin ekonometrik modelini düşünün. Let - aylık fiyatlarda artış (bu konuda daha fazla bilgi için bkz. "Enflasyonun Ekonometrik Analizi"). O halde, bazı ekonomistlere göre, şunu varsaymak doğaldır.

önceki aydaki fiyat artışı nerede (a, dış etkilerin yokluğunda fiyat artışının duracağını varsayarak bir sönümleme katsayısıdır), sabittir (zaman içinde değerde doğrusal bir değişime karşılık gelir), Para emisyonunun (yani ülke ekonomisindeki para miktarının artması, Merkez Bankası tarafından gerçekleştirilen) etkisine tekabül eden ve bir katsayılı konu ile orantılı bir terimdir ve bu etki hemen ortaya çıkmaz, ancak 4 ay sonra; Son olarak, bu kaçınılmaz bir hatadır.

Model (1), sadeliğine rağmen birçok karakter özellikleriçok daha karmaşık ekonometrik modeller. İlk olarak, bazı değişkenlerin model içinde tanımlandığına (hesaplandığına) dikkat edelim. Arandılar endojen (iç). Diğerleri dışarıdan verilir (bu dışsal değişkenler). Bazen, kontrol teorisinde olduğu gibi, dışsal değişkenler, tahsis etmek yönetilen değişkenler - yöneticinin sistemi istenen duruma getirebileceği değişkenler.

İkinci olarak, yeni türlerin değişkenleri (1) ilişkisinde - gecikmelerle, yani. değişkenlerdeki argümanlar şimdiki ana değil, bazı geçmiş anlara atıfta bulunur.

Üçüncüsü, (1) tipi bir ekonometrik modelin derlenmesi hiçbir şekilde rutin bir işlem değildir. Örneğin, para ihracı ile ilgili vadede tam 4 aylık gecikme, oldukça karmaşık bir ön istatistiksel işlemin sonucudur. Ayrıca, miktarların bağımlılığı veya bağımsızlığı sorunu ve incelenmesi gerekir. Yukarıda belirtildiği gibi, prosedürün özel olarak uygulanması bu sorunun çözümüne bağlıdır. en küçük kareler yöntemi.

Öte yandan, (1) modelinde sadece 3 bilinmeyen parametre vardır ve ifade en küçük kareler yöntemi yazmak kolaydır:

Kimlik sorunu. Şimdi tapa modelini (6.1) şu şekilde hayal edelim: Büyük bir sayı endojen ve dışsal değişkenler, gecikmeler ve karmaşık bir iç yapı ile. Genel olarak konuşursak, hiçbir yerden böyle bir sistem için en az bir çözüm olduğu sonucu çıkmaz. Yani bir değil iki problem var. En az bir çözüm var mı (tanımlanabilirlik sorunu)? Evet ise, mümkün olan en iyi çözüm nasıl bulunur? (Bu, istatistiksel parametre tahmininin bir sorunudur.)

Hem birinci hem de ikinci görevler oldukça zordur. Her iki sorunu da çözmek için, genellikle oldukça karmaşık olan birçok yöntem geliştirilmiştir; bilimsel gerekçe. Özellikle, genellikle tutarlı olmayan istatistiksel tahminler kullanılır (kesin konuşmak gerekirse, bunlara tahmin bile denilemez).

Doğrusal ekonometrik denklem sistemleriyle çalışırken bazı yaygın teknikleri kısaca tanımlayalım.

Lineer eşzamanlı ekonometrik denklemler sistemi. Tamamen biçimsel olarak, tüm değişkenler, yalnızca zamanın şu anına bağlı olan değişkenler cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, denklem (6.1) durumunda,

O zaman denklem formun bir örneğidir

Burada regresyon modellerini kullanma olasılığını not ediyoruz. değişken yapı kukla değişkenler tanıtarak. Bu değişkenler bazı zaman değerleri (örneğin, ilk olanlar) fark edilir değerler alır ve diğerlerinde kaybolur (aslında 0'a eşit olur). Sonuç olarak, resmi olarak (matematiksel) tek ve aynı model tamamen farklı bağımlılıkları tanımlar.

Dolaylı, İki Adımlı ve Üç Adımlı En Küçük Kareler. Daha önce belirtildiği gibi, ekonometrik denklem sistemlerinin sezgisel analizi için birçok yöntem geliştirilmiştir. bulmaya çalışırken ortaya çıkan belirli sorunları çözmek için tasarlanmıştır. sayısal çözümler denklem sistemleri.

Problemlerden biri, tahmin edilen parametreler üzerinde önsel kısıtlamaların varlığı ile ilgilidir. Örneğin, hane geliri tüketim veya tasarruf için harcanabilir. Bu, bu iki harcama türünün paylarının toplamının a priori 1'e eşit olduğu anlamına gelir. Ve ekonometrik denklemler sisteminde bu paylar bağımsız olarak katılabilir. Onları değerlendirmek için bir fikir var en küçük kareler, a priori kısıtlamayı yok sayarak ve ardından ayarlayın. Bu yaklaşıma dolaylı denir. en küçük kareler.

iki adım en küçük kareler yöntemi Sistemi bir bütün olarak düşünmek yerine, sistemin tek bir denkleminin parametrelerini tahmin etmekten ibarettir. Aynı zamanda üç aşamalı en küçük kareler yöntemi bir bütün olarak eşzamanlı denklem sisteminin parametrelerini tahmin etmek için kullanılır. İlk olarak, her bir denklemin katsayılarını ve hatalarını tahmin etmek ve ardından hata kovaryans matrisi için bir tahmin oluşturmak için her bir denkleme iki aşamalı bir yöntem uygulanır. tüm sistem. en küçük kareler yöntemi.

Bir yönetici ve bir ekonomist, belirli yazılım sistemlerinin yardımıyla bile ekonometrik denklem sistemlerini derleme ve çözme konusunda uzman olmamalıdır, ancak bir görev formüle etmek için bu ekonometri alanının olanaklarının farkında olmalıdır. üretim ihtiyacı olması durumunda nitelikli bir şekilde ekonometrik uzmanlar.

Trend tahmininden (ana trend), zaman serisi ekonometrisinin ikinci ana görevine geçelim - periyodun (döngü) tahmini.

Zaman serilerinin analizinde büyük önem taşıyan, olasılık özellikleri zamanla değişmeyen durağan zaman serileridir. Durağan zaman serileri, özellikle analiz edilen serilerin rastgele bileşenlerinin tanımlanmasında kullanılır.

Bir y t (t= 1,2,…,n) zaman serisine, n gözlemin ortak olasılık dağılımı y 1 ,y 2 ,…..,y n ile aynıysa kesin olarak durağan (veya dar anlamda durağan) denir. Herhangi bir n, t ve t için n gözlem y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t. Başka bir deyişle, kesinlikle durağan y t serisinin özellikleri, t momentine bağlı değildir, yani. dağıtım kanunu ve sayısal özellikler t'ye bağımlı olmayın. Bu nedenle, matematiksel beklenti a y (t) = a, standart sapma s y (t) = s, aşağıdaki formüller kullanılarak y t (t= 1,2,…,n) gözlemlerinden tahmin edilebilir:

(6.3)

En basit örnek durağan zaman serisi, matematiksel beklentisi sıfıra eşit olan ve e t hataları ilişkisiz olan, "beyaz gürültü". Bu nedenle, pertürbasyonların (hataların) e t içinde olduğunu söyleyebiliriz. klasik doğrusal regresyon modeli beyaz gürültü oluşturur ve onların durumunda normal dağılım – normal (gauss) Beyaz gürültü.

y 1 ,y 2 ,…..,y n ve y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t zaman serilerinin gözlem dizileri arasındaki bağlantının sıkılık derecesi (her birine göre kaydırılır) diğer e birimleri ile veya örneğin gecikme t ile) korelasyon katsayısı kullanılarak belirlenebilir

(6.4)

için

Katsayı r(t) aynı serinin üyeleri arasındaki korelasyonu ölçtüğü için buna denir. otokorelasyon katsayısı, ve bağımlılık r(t) otokorelasyon fonksiyonu. y t (t= 1,2,…,n) zaman serisinin durağanlığından dolayı, otokorelasyon fonksiyonu r(t) sadece t gecikmesine bağlıdır ve korelasyon fonksiyonu r(- t) = r(t) , yani r(t) çalışırken, t'nin yalnızca pozitif değerlerini dikkate alarak kendimizi sınırlayabiliriz.

İstatistiksel değerlendirme r(t) örnek otokorelasyon katsayısı r(t), x ben = y t , y ben = y t + t ve n'nin n - t ile değiştirildiği korelasyon katsayısı formülü (3.20) ile belirlenir:

r(t) işlevi çağrılır örnek otokorelasyon fonksiyonu, ve grafiği korelogram.

r(t) hesaplanırken, t arttıkça, y t ,y t + t gözlem çiftlerinin n - t sayısının azaldığı, dolayısıyla gecikme t'nin n - t sayısının r'yi belirlemek için yeterli olması gerektiği unutulmamalıdır. (t). Genellikle t £ n/4 bağıntısı tarafından yönlendirilirler.

Durağan bir zaman serisi için, gecikme t arttıkça, y t ve y t + t zaman serisinin terimleri arasındaki ilişki zayıflar ve otokorelasyon fonksiyonu r(t) azalmalıdır (mutlak değerde). Aynı zamanda, numunesi (ampirik) analogu r(t), özellikle az sayıda gözlem çifti n - t ile, artan t ile monoton azalma (mutlak değerde) özelliği ihlal edilebilir.

Otokorelasyon fonksiyonu ile birlikte, durağan zaman serilerini incelerken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu r kısmı (t), burada r kısmı (t), ara (y t ve y t + t arasındaki) üyelerin etkisini ortadan kaldırırken (ortadan kaldırırken) y t ve y t + t zaman serisinin üyeleri arasındaki kısmi korelasyon katsayısıdır.

r part(t)'nin istatistiksel tahmini örnek bölüm otokorelasyon r bölümü (t) nerede r kısmı (t)- formül (5.21) veya (5.22) ile belirlenen örnek kısmi korelasyon katsayısı Örneğin, y t +1'in etkisi ortadan kaldırıldığında y t ve y t + t zaman serisinin üyeleri arasındaki 1. mertebedeki otokorelasyon kısmi kısmi katsayısı (5.22) formülü ile hesaplanabilir:

nerede r(1) , r(1,2),r(2) – y t ve y t +1 , y t +1 ve y t +2 , y t ve y t +2 , t = 1,….,n arasındaki örnek otokorelasyon katsayıları.

Örnek 6.1. Tabloya göre. 6.1 y t zaman serisi için 1. mertebeden ortalama değeri, standart sapmayı, otokorelasyon katsayılarını bulunuz.

Çözüm. Zaman serisinin ortalama değeri formül (6.2) ile bulunur:

Varyans ve standart sapma formül (6.3) kullanılarak hesaplanabilir, ancak bu durumda ilişkiyi kullanmak daha kolaydır.

nerede

Zaman serisinin (t = 1 gecikmesi için) otokorelasyon katsayısını r(t) bulalım, yani. yedi çift gözlem y t ve y t + t dizileri arasındaki korelasyon katsayısı (t = 1,2….,7).

Bir zaman serisinin istatistiksel analizinin amaçları aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

analiz edilen x(t) zaman serisinin mevcut x(1), x(2), …x(N) yörüngesine göre, gereklidir:

1) genişlemede rastgele olmayan işlevlerden hangisinin (trende, mevsimsel ve döngüsel bileşenlere karşılık gelir) mevcut olduğunu belirleyin, yani. genişlemede  i göstergelerinin değerlerini belirleyin

2) ayrıştırmada mevcut olan rasgele olmayan fonksiyonlar için "iyi" tahminler oluşturun;

3) "rastgele artıklar u(t)'nin davranışını yeterince açıklayan bir model seçin ve bu modelin parametrelerini istatistiksel olarak değerlendirin.

Listelenen görevlerin başarılı bir şekilde çözülmesi, nihai uygulamalı araştırma hedeflerine ulaşmanın ve her şeyden önce, zaman serilerinin değerlerinin kısa ve orta vadeli tahmin problemini çözmenin temelidir.

Otokovaryans ve otokorelasyon fonksiyonları

Zaman serilerini tanımlamak için özel fonksiyonların kullanılması uygundur: otokovaryans ve otokorelasyon.

otokovaryans fonksiyonu

x(t) zaman serisinin katı durağanlığı varsayımından, x(t) ve x(t  ) değerleri arasındaki kovaryans yalnızca “zaman kayması”  miktarına bağlı olacaktır (ve bağlı olmayacaktır) t). Bu kovaryans otokovaryans olarak adlandırılır (çünkü aynı x(t) zaman serisinin farklı değerleri için kovaryansı ölçer ve şu şekilde tanımlanır:

() değerini  değerine bağlı olarak analiz ederken, otokovaryans fonksiyonu () hakkında konuşmak gelenekseldir. Otokovaryans fonksiyonunun değerleri, formül kullanılarak mevcut zaman serisi gözlemlerinden istatistiksel olarak tahmin edilebilir.

, burada =1,2, … N-1. Açıkça

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

otokorelasyon fonksiyonu

Bir zaman serisini oluşturan gözlem dizisi ile rastgele bir örnek arasındaki temel farklardan biri, zaman serisinin üyelerinin, genel olarak konuşursak, istatistiksel olarak birbirine bağımlı olmasıdır. İki rastgele değişken arasındaki istatistiksel ilişkinin yakınlık derecesi, eşleştirilmiş korelasyon katsayısı ile ölçülebilir. Bu nedenle, zaman serisinin iki gözlemi arasındaki (zamanda)  birim ile “ayrılmış” istatistiksel bağlantının derecesi, korelasyon katsayısının değeri ile belirlenecektir.

Korelasyon katsayısı r(), aynı zaman serisinin üyeleri arasında var olan korelasyonu ölçer, bu nedenle genellikle otokorelasyon katsayısı olarak adlandırılır.  değerine bağlı olarak r() değerindeki değişimi analiz ederken, otokorelasyon fonksiyonu r() hakkında konuşmak gelenekseldir. Bir otokorelasyon fonksiyonunun grafiğine korelogram denir. Otokorelasyon fonksiyonu, otokovaryans fonksiyonundan farklı olarak boyutsuzdur. Değerleri -1 ile +1 arasında değişebilir. Açıkçası, r() =r(-), a(0) =1.

Analiz edilen x(t) zaman serisinin rastgele artıklarının u(t) davranışını yeterince tanımlayan bir model arayışı genellikle belirli bir özel rastgele zaman dizileri sınıfı - durağan zaman serileri sınıfı içinde gerçekleştirilir. Sezgisel düzeyde zaman serisi durağanlığı ve sahip olduğu gereksinimle ilişkilendiriyoruz sabit ortalama ve sabit varyansla bu ortalama etrafında dalgalanan. Bazı durumlarda, bu sınıfın zaman dizileri, analiz edilen x(t) zaman serisinin davranışını da yeniden üretebilir.

x(t) serisine denir kesinlikle sabit(veya dar anlamda durağan) m gözlem x(t 1), x(t 2), …, x(t m)'nin birleşik olasılık dağılımı m gözlem x(t 1 +), x ile aynıysa ( t 2 +), …x(t m +), herhangi bir m, t 1 , t 2 , …, t m ​​​​ve  için.

Başka bir deyişle, kesinlikle durağan bir zaman serisinin özellikleri, zamanın kökeni değiştirildiğinde değişmez. Özellikle, m = 1 olduğunda, x(t) zaman serisinin katı durağanlığı varsayımından, rastgele değişken x(t)'nin olasılık dağılım yasasının t'ye bağlı olmadığı ve dolayısıyla tüm ana sayısal değerlerinin bağlı olmadığı sonucu çıkar. karakteristikler t'ye bağlı değildir, şunları içerir: ortalama değer М(x(t)) =  ve varyans D(x(t))= М(x(t) –) 2 =  2 .

Açıkçası, μ değeri, analiz edilen x(t) zaman serisinin değerlerinin dağıldığı sabit seviyeyi belirler ve sabit değer  2, bu yayılma aralığını karakterize eder. Rastgele değişken x(t)'nin olasılık dağılım yasası tüm t için aynı olduğundan, bu değişken ve temel sayısal özellikleri x(1), x(2), …x(N) gözlemlerinden tahmin edilebilir. Özellikle:

-ortalama değerin tahmini,

- varyans tahmini.

Altında yumuşatma yöntemleri zaman serisi anlaşılır rastgele olmayan bir bileşenin seçimi. x(t)=F(t,)+ u(t) serisi için rastgele olmayan F(t) bileşeninin genel formunun bilindiğini varsayalım. Bir polinom, bir Fourier serisi vb. olabilir. Daha sonra  parametrelerini tahmin etme sorunu ortaya çıkar. Problemin bu formülasyonunda analitik yöntemler kullanılır.

Rastgele olmayan bileşenin formu bilinmiyorsa F(t), algoritmik yöntemler kullanılır. Bu yöntemler, daha karmaşık yumuşatma prosedürlerinin temeli olan hareketli ortalama yöntemini içerir.

Toplamsal ve çarpımsal modeller örneğinde bir zaman serisi modeli oluşturmak için algoritma

Döngüsel dalgalanmaları içeren bir zaman serisi modeli oluşturma algoritması, içeriği toplamsal ve çarpımsal modeller için biraz farklı olan ana aşamalardan oluşur.

Döngünün süresine veya mevsimsel veya fırsatçı doğasına bakılmaksızın, serinin döngüsel bileşeni için tek bir tanım getirerek modeli basitleştirelim. t olarak gösterelim. Ardından toplamsal model y t = u t + s t + e t ve çarpımsal bir - y t = u t * s t * e t biçimini alacaktır.

Yani, bir model oluşturmanın ana aşamaları:

1) Döngünün süresine karşılık gelen bir zaman periyodu üzerinden hesaplanan ortalamalara dayalı olarak orijinal seriyi yumuşatmak.

2) Döngüsel veya mevsimsel bileşenin değerlerinin belirlenmesi (daha fazla ayrıntı için bkz. Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. ve diğerleri. Ekonometri: Ders Kitabı. - M.: Finans ve İstatistik, 2001. - S. 242-251 ). Toplamsal bir model için, bir döngünün tüm periyotları için bu bileşenin değerlerinin toplamı sıfıra ve çarpımsal bir modelde bir döngüdeki periyotların sayısına eşit olmalıdır. Bu, döngüsel bileşenin karşılıklı itfasını sağlar.

3) Döngüsel bileşenlerin modelden çıkarılması. Toplamsal modelde çıkarma işlemi yapılır, ardından model y t = u t + e t şeklini alır. Çarpımsal modelde bölme işlemi yapılır, ardından model y t = u t * e t şeklini alır.

4) Elde edilen y t = u t + e t veya y t = u t * e t serisinin, y t = f(t) trend denkleminin oluşturulmasına dayalı olarak analitik hizalaması.

5) Döngüsel bileşen, serinin elde edilen seviyelerine eklenir (toplamsal model durumunda) veya onunla çarpılır (çarpımsal model durumunda): y t = f(t) + s t veya y t = f( t) * s t .

6) Oluşturulan model kullanılarak elde edilen serilerin seviyelerinin hesaplanan değerlerinin gerçek değerlerle karşılaştırılması. Ortaya çıkan modelin değerlendirilmesi, hataların hesaplanması.

Zaman serileri stokastik bir yapıya sahiptir ve buna göre onlar için çeşitli olasılıksal özellikler hesaplanabilir.

Durağan bir zaman serisi, tüm olasılık özelliklerinin sabit olduğu bir zaman serisidir.

Bu, zaman serisinin hangi parçasını alırsak alalım, gösterge değerlerinin olasılık özelliklerinin bu serinin diğer zaman aralıklarıyla aynı olacağı anlamına gelir. Durağan seride trend bileşeni yoktur.

Durağan olmayan bir zaman serisi bu özelliğe sahip değildir.

Görsel olarak durağan olan ve durağan olmayan zaman serileri Şekil 5.1'de sunulmaktadır.

Kavramları ayırt etmek güçsüz ve katı durağanlık. Bir diziyi zayıf durağan veya kelimenin geniş anlamıyla durağan olarak kabul etmek için, sabit matematiksel beklenti, varyans ve otokorelasyon katsayılarına sahip olması yeterlidir. Durağanlığın daha kesin bir tanımı için, olasılık teorisi sırasında ayrıntılı olarak incelenen diğer olasılık özelliklerinin sabitliği de gereklidir (dağıtım fonksiyonu aynı olmalıdır).

Kesin olarak durağan herhangi bir serinin de zayıf durağan olduğu, ancak bunun tersi olmadığı unutulmamalıdır. Böylece, zayıf durağan seriler kümesi ile kesinlikle durağan seriler kümesinin kesişimi (ortak kısım), kesinlikle durağan seriler kümesidir. Zayıf durağan seriler kümesi ile kesinlikle durağan seriler kümesinin birleşimi, zayıf durağan seriler kümesidir (çünkü kesinlikle durağan seriler zayıf durağan serilere dahildir).

Durağan bir zaman serisinin bir örneği, regresyon modellerinde "beyaz gürültü" olabilir (yani, ortalama ve varyansın sabit olduğu rastgele bileşenin zaman sıralı değerleri (bu durumda, kalıntının beklenen değeri sıfırdır) ve bu değerler birbiriyle ilişkisizdir).

Ergodik seri. Bazı durağan serilerin önemli bir özelliği özelliktir. ergodiklik. Bu özelliğin özü, ergodik bir seri için, seviyelerinin uzaydaki matematiksel beklentisinin, zaman içindeki seviyelerinin matematiksel beklentisiyle çakışmasıdır.

Herhangi bir t anında zayıf durağan bir süreç için M(y t) = µ değerinin beklentisine izin verin (bu uzaydaki beklentidir). Beklenen değer zaman içinde, n ® ¥'deki zaman serisinin n değerlerinin ortalamasıdır. Eğer , o zaman böyle bir dizi ergodiktir.

Başka bir deyişle, durağan bir zaman serisi için, belirli zaman noktaları için gerçekleşmeler kümesi üzerindeki ortalama değer, bir gerçekleşme üzerinden hesaplanan zaman içindeki ortalama değere eşittir.

Giriş……………………………………………………….2

1. Zaman serisi analizinin ana görevleri…………….4

2. Zaman serisi analizi…………………………………….9

11

2.3 Durağan zaman serisi modelleri ve tanımlamaları…13

2.3.2. Hareketli ortalama sipariş modelleri q (MA(q)-modelleri)….17

Sonuç………………………………………………………21

Edebiyat……………………………………………………..23

giriiş

AT son yıllar ekonometrik literatürde, zaman göstergelerinin dinamikleri dizisinin çalışmasına çok dikkat edilir. Ekonomik analizin çeşitli önemli görevleri, incelenen ekonomik süreçleri karakterize eden ve zaman serileri şeklinde zaman içinde uygulanan istatistiksel verilerin kullanılmasını gerektirir. Aynı zamanda, aynı zaman serileri genellikle farklı asli sorunları çözmek için kullanılır.

Zaman serilerinin değerleri her zaman sadece herhangi bir faktörün etkisi altında oluşmaz. Belirli bir sürecin gelişiminin, genellikle kendi iç yasalarından kaynaklandığı ve deterministik bir süreçten sapmaların ölçüm hatalarından veya rastgele dalgalanmalardan kaynaklandığı görülür. Özellikle ilgi çekici olan, "geçiş" modunda olan süreçlerdir, yani. esasen "durağan" olan ancak incelenen zaman aralığı boyunca durağan olmayan bir zaman serisinin özelliklerini sergileyen ve durağan rejimden uzak başlangıç ​​koşullarıyla açıklanan süreçler. Zaman serilerinin belirli bir dizi rastgele ve rastgele olmayan faktörün etkisi altında oluştuğu durumlarda, hem ortaya çıkan hem de faktör olan bireysel zaman serilerinin analizi büyük önem taşımaktadır. Bu, incelenen süreçler (vektör otoregresyonları, hata düzeltme modelleri, dağıtılmış gecikmeli dinamik modeller, vb.) hakkındaki bilgilere dayanarak oluşturulan modellerin doğru tanımlanması için gereklidir.

Zaman serilerini analiz ederken, yapılarının incelenmesine, tanımlanmasına ve/veya modellenmesine büyük önem verilir. Bu tür çalışmaların amacı, kural olarak, ilgili süreçlerin çalışmasını basitçe modellemekten daha geniştir. Oluşturulan model genellikle bir zaman serisini tahmin etmek veya tahmin etmek için kullanılır ve daha sonra tahminin kalitesi, birkaç alternatif model arasından seçim yaparken yararlı bir kriter olarak hizmet edebilir. Mevsimsel ayarlama ve yumuşatma gibi diğer uygulamalar için iyi seri modeller oluşturmak da gereklidir. Son olarak, oluşturulan modeller, zaman serilerinin girdi bilgisi olarak kabul edildiği büyük sistemlerin incelenmesinde uzun gözlem serilerinin istatistiksel modellemesi için kullanılabilir.

Ekonomik göstergelerin ölçümündeki hataların varlığı, gözlemlenen sistemlerde bulunan rastgele dalgalanmaların varlığı nedeniyle, olasılıksal-istatistiksel yaklaşım, zaman serilerinin çalışmasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yaklaşım çerçevesinde, gözlemlenen zaman serileri, bazı rastgele süreçlerin gerçekleşmesi olarak anlaşılmaktadır. Aynı zamanda, zaman serisinin, onu bağımsız bir dizi dizisinden ayıran bir yapıya sahip olduğu zımnen varsayılır. rastgele değişkenler, bu nedenle gözlemler tamamen bağımsız sayısal değerler kümesi değildir. (Seri yapısının bazı unsurları, bazen, seri grafiğinin basit bir görsel analizi temelinde zaten tanımlanabilir. Bu, örneğin, trend ve döngüler gibi seri bileşenleri için geçerlidir.) Genellikle, yapının yapısının olduğu varsayılır. seriler, gözlem sayısına kıyasla az sayıda parametre içeren bir modelle tanımlanabilir, bu, modeli tahmin için kullanırken pratik olarak önemlidir. Bu tür modellerin örnekleri, otoregresyon modelleri, hareketli ortalama ve bunların kombinasyonlarıdır - modeller AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Uzun vadede ilişki modelleri kurarken, analiz edilen makroekonomik serilerin stokastik (deterministik olmayan) bir trende sahip olup olmadığı gerçeğini hesaba katmak gerekir. Başka bir deyişle, incelenen serilerin her birinin deterministik bir trend (veya basitçe durağan) - TS (trend durağan) serisine göre durağan olan seriler sınıfına mı yoksa seriler sınıfına mı ait olduğuna karar vermek gerekir. stokastik bir eğilime sahip olan (belki de deterministik bir eğilimle birlikte) ve yalnızca serilerin - DS (fark durağanlığı) serisinin tek veya k-kat farklılaşmasıyla durağan (veya deterministik bir eğilime göre durağan) bir seriye yol açan. Bu iki seri sınıfı arasındaki temel fark, TS serisi durumunda, ilgili deterministik trendin seriden çıkarılmasının aşağıdakilere yol açmasıdır. sabit sıra, bir DS serisi söz konusu olduğunda, serinin deterministik bileşeninin çıkarılması, seride stokastik bir trendin varlığından dolayı seriyi durağan bırakır.

Bölüm 1. Zaman serisi analizinin ana görevleri.

Bir zaman serisi ile rastgele bir örnek oluşturan bir gözlem dizisi arasındaki temel farklar şunlardır:

ilk olarak, rastgele bir örneğin elemanlarından farklı olarak, zaman serisinin üyeleri bağımsız değildir;

ikincisi, zaman serisinin üyeleri mutlaka eşit olarak dağıtılmaz, bu nedenle P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Bu, özelliklerin ve kuralların istatistiksel analiz rastgele örnekleme zaman serilerine genişletilemez. Öte yandan, zaman serisi üyelerinin birbirine bağımlılığı, gözlemlenen değerlere dayalı olarak analiz edilen göstergenin tahmin değerlerini oluşturmak için kendi özel temelini oluşturur.

Bir zaman serisi oluşturan gözlemlerin oluşumu (veri üretme mekanizması). Hakkında etkisi altında zaman serilerinin değerlerinin oluştuğu ana faktörlerin yapısı ve sınıflandırılması hakkında. Kural olarak, bu tür faktörlerin 4 türü ayırt edilir.

Uzun vadeli, genel (uzun vadede) bir trend oluşturan incelenen özelliğin değişimi xt. Genellikle bu eğilim, genellikle monoton olan bir veya başka rastgele olmayan ftr(t) işlevi (argümanı zaman olan) kullanılarak tanımlanır. Bu fonksiyona trend fonksiyonu veya basitçe trend denir.

Mevsimsel, periyodik olarak tekrar eden oluşum kesin zaman analiz edilen özelliğin yıllarca dalgalanması. Bu fonksiyon (e) periyodik olması gerektiğinden ("mevsimlerin" katları olan periyotlarla), analitik ifadesi harmonikleri içerir ( trigonometrik fonksiyonlar), sıklığı, kural olarak, görevin içerik özü tarafından belirlenir.

Döngüsel (fırsatçı), ekonomik veya demografik nitelikteki uzun vadeli döngülerin (Kondratiev dalgaları, demografik “çukurlar”, vb.) Etkisi nedeniyle analiz edilen özellikte değişiklikler oluşturan döngüsel faktörlerin eyleminin sonucu belirtilecektir. rastgele olmayan bir işlev (t) kullanarak.

Rastgele (düzensiz), muhasebe ve kayıt için uygun değil. Zaman serilerinin değerlerinin oluşumu üzerindeki etkileri, sadece xt öğelerinin stokastik doğasını ve dolayısıyla x1,…, xT'yi rastgele değişkenler 1,…, T üzerinde yapılan gözlemler olarak yorumlama ihtiyacını belirler. rasgele nicelikler ("artıklar", "hatalar") kullanılarak rastgele faktörlerin etkisinin sonucunu ifade edecektir t.

Tabii ki, herhangi bir zaman serisinin değerlerini oluşturma sürecine dört türden tüm faktörlerin aynı anda katılması hiç de gerekli değildir. Bu tür faktörlerin belirli bir serinin değerlerinin oluşumunda yer alıp almadığına ilişkin sonuçlar, hem sorunun içerik özünün analizine hem de incelenen zaman serilerinin özel bir istatistiksel analizine dayanabilir. . Ancak, her durumda, rastgele faktörlerin vazgeçilmez katılımı varsayılmaktadır. Böylece, içinde Genel görünüm veri oluşturma modeli (faktörlerin etkisinin ek bir blok şemasıyla birlikte) şöyle görünür:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

burada i = 1, eğer i-th tipindeki faktörler, serinin değerlerinin oluşumunda yer alıyorsa, aksi takdirde i = 0.

Zaman serisi analizinin ana görevleri. Bir zaman serisinin istatistiksel analizinin temel amacı, bu serinin mevcut yörüngesini takip etmektir:

genişleme (1)'de rastgele olmayan işlevlerden hangisinin mevcut olduğunu belirleyin, yani. göstergelerin değerlerini belirlemek i;

genişleme (1)'de bulunan rastgele olmayan işlevler için "iyi" tahminler oluşturun;

t rastgele artıkların davranışını yeterince tanımlayan bir model seçin ve bu modelin parametrelerini istatistiksel olarak değerlendirin.

Zaman serisinin istatistiksel analizinin temel amacı nedeniyle listelenen görevlerin başarılı bir şekilde çözülmesi, nihai uygulamalı araştırma hedeflerine ulaşmanın ve her şeyden önce kısa ve orta vadeli tahmin problemini çözmenin temelidir. zaman serisinin değerlerinden. Zaman serilerinin ekonometrik analizinin ana unsurlarını kısaca sunalım.