Birim uzunluk parçasıyla, eski matematikçiler zaten biliyorlardı: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.

İrrasyonel:

Mantıksızlık Kanıt Örnekleri

2'nin kökü

Aksini varsayın: rasyoneldir, yani, ve tamsayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Sözde eşitliğin karesini alalım:

Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. O zamanlar

Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliği ile çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Yani orijinal varsayım yanlıştı ve - ir rasyonel sayı.

3 sayısının ikili logaritması

Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. beri ve pozitif alınabilir. O zamanlar

Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.

e

Hikaye

İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690) şunu bulduğunda Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi. Karekök 2 ve 61 gibi bazı doğal sayılar açıkça ifade edilemez.

İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:

• Bir ikizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
• Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
• Çünkü a² bile, açift ​​olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
• Çünkü a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
• Çünkü a hatta, belirtmek a = 2y.
• O zamanlar a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
• Ancak kanıtlanmıştır ki b garip. çelişki.

Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve birbirinden ayrılamaz olduğu varsayımını yıktı.

Ayrıca bakınız

Notlar

Hangi sayılar irrasyoneldir? irrasyonel sayı rasyonel bir gerçek sayı değildir, yani kesir olarak temsil edilemez (iki tam sayının oranı olarak), burada m bir tamsayıdır, n- doğal sayı . irrasyonel sayı sonsuz periyodik olmayan olarak temsil edilebilir ondalık.

irrasyonel sayı kesin olamaz. Yalnızca 3.333333 biçiminde…. Örneğin, ikinin karekökü - irrasyonel bir sayıdır.

irrasyonel sayı nedir? İrrasyonel sayı(rasyonel olanlardan farklı olarak) sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırılır.

Birçok irrasyonel sayı genellikle büyük Latince harfle, koyu olarak, gölgelenmeden gösterilir. O.:

Şunlar. irrasyonel sayılar kümesi, gerçek ve rasyonel sayılar kümesi arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların özellikleri.

• Negatif olmayan 2 irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind bölümlerini tanımlar, alt sınıfta, Büyük bir sayı, ve üstte daha küçüğü yok.
• Her gerçek aşkın sayı bir irrasyonel sayıdır.
• Herşey irrasyonel sayılar cebirsel veya aşkındır.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunda her yerde yoğundur: Her sayı çifti arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
• İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, 2. kategorinin bir kümesidir.
• Rasyonel sayılarda (0'a bölme hariç) her aritmetik işlemin sonucu bir rasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin sonucu ya bir rasyonel ya da bir irrasyonel sayı olabilir.
• Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı her zaman bir irrasyonel sayı olacaktır.
• İrrasyonel sayıların toplamı bir rasyonel sayı olabilir. Örneğin,İzin Vermek x mantıksız, o zaman y=x*(-1) ayrıca irrasyonel; x+y=0, ve sayı 0 rasyonel (örneğin, herhangi bir 7 derecesinin kökünü toplarsak ve aynı yedi derecenin kökünü çıkarırsak, 0 rasyonel sayısı elde ederiz).

İrrasyonel sayılar, örnekler.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Ve köklerini onlardan aldılar. Latince kelime"sebep" anlamına gelen "oran". Kelimenin tam anlamıyla tercümesine dayanarak:

• Bir rasyonel sayı "makul bir sayı" dır.
• İrrasyonel bir sayı, sırasıyla, "mantıksız bir sayıdır".

Bir rasyonel sayının genel kavramı

Bir rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:

1. Sıradan pozitif kesir.
2. Negatif ortak kesir.
3. Sayı olarak sıfır (0).

Başka bir deyişle, aşağıdaki tanımlar bir rasyonel sayıya uyacaktır:

• Herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebildiğinden, doğal olarak rasyoneldir.
• Herhangi bir tam sayı, sıfır sayısı da dahil olmak üzere, çünkü herhangi bir tam sayı hem pozitif adi kesir, hem negatif adi kesir hem de sıfır sayısı olarak yazılabilir.
• Herhangi bir adi kesir ve burada pozitif veya negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan rasyonel sayı tanımına da yaklaşır.
• Ayrıca tanımda yer alan karışık numara, sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik kesir.

Rasyonel Sayı Örnekleri

Rasyonel sayıların örneklerini düşünün:

• Doğal sayılar - "4", "202", "200".
• Tamsayılar - "-36", "0", "42".
• Sıradan kesirler.

Yukarıdaki örneklerden açıkça görülmektedir ki, rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak, aynı zamanda bir rasyonel sayı olan 0 (sıfır) sayısı, aynı zamanda pozitif veya negatif bir sayı kategorisine ait değildir.

Bu nedenle hatırlatmak isterim genel eğitim programı aşağıdaki tanımı kullanarak: “Rasyonel sayılar”, x (pay) bir tam sayı ve y (payda) bir doğal sayı olduğu, x / y kesri olarak yazılabilen sayılardır.

İrrasyonel bir sayının genel kavramı ve tanımı

"Rasyonel sayılar"a ek olarak, "irrasyonel sayılar" olarak adlandırılanları da biliyoruz. Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.

Kenarları boyunca bir karenin köşegenini hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel bir sayı tanımlayabilirsiniz.
Yani aslında, rasyonel olmayan bu gerçek sayılar, temel olarak irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir.

İrrasyonel sayı örnekleri

Açıklık için küçük bir irrasyonel sayı örneğini düşünün. Daha önce anladığımız gibi, sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlere irrasyonel denir, örneğin:

• "-5.020020002 ... sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülmektedir)
• "7.040044000444 ..." sayısı (burada dörtlü sayısının ve sıfır sayısının bir zincirde her seferinde bir arttığı açıktır).
• Herkes bilinen numara Pi (3.1415…). Evet, evet - aynı zamanda mantıksız.

Genel olarak, tüm gerçek sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. konuşmak basit kelimelerle, irrasyonel bir sayı normal bir x / y kesri olarak temsil edilemez.

Genel sonuç ve sayılar arasında kısa bir karşılaştırma

Her sayıyı ayrı ayrı ele aldık, rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark kalır:

1. Karekök alınırken, bir daireyi çapa bölerken vb. irrasyonel bir sayı oluşur.
2. Rasyonel bir sayı, sıradan bir kesri temsil eder.

Yazımızı birkaç tanımla bitiriyoruz:

• 0'a (sıfır) bölme dışında rasyonel bir sayı üzerinde gerçekleştirilen aritmetik bir işlem. sonuç ayrıca rasyonel bir sayıya yol açacaktır.
• İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik bir işlem gerçekleştirirken elde edilen sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
• Her iki sayı da aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç bize irrasyonel bir sayı verecektir.

İrrasyonel bir sayı, sonsuz periyodik olmayan bir kesir olarak temsil edilebilir. İrrasyonel sayılar kümesi $I$ ile gösterilir ve şuna eşittir: $I=R / Q$ .

Örneğin. İrrasyonel sayılar:

İrrasyonel sayılarla ilgili işlemler

İrrasyonel sayılar kümesinde dört temel aritmetik işlem tanıtılabilir: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme; ancak listelenen işlemlerin hiçbiri için irrasyonel sayılar kümesi kapatma özelliğine sahip değildir. Örneğin iki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.

Örneğin. 0,1010010001 \ldots$ ve 0,0101101110 \ldots$ olmak üzere iki irrasyonel sayının toplamını bulun. Bu sayıların ilki, sırasıyla bir sıfır, iki sıfır, üç sıfır, vb. ile ayrılan bir birler dizisinden, ikincisi - aralarında bir, iki, üç, vb. yerleştirildiler:

$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Böylece, verilen iki irrasyonel sayının toplamı, rasyonel olan $\frac(1)(9)$ sayısıdır.

Örnek

Egzersiz yapmak.$\sqrt(3)$ sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlayın.

Kanıt.Çelişki ile ispat yöntemini kullanacağız. $\sqrt(3)$'ın bir rasyonel sayı olduğunu, yani $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kesri olarak temsil edilebileceğini varsayalım, burada $m$ ve $n$ asal doğal sayılar.

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

3$\cdot n^(2)$ sayısı 3'e bölünebilir. Dolayısıyla $m^(2)$ ve dolayısıyla $m$ 3'e bölünebilir. $m=3 \cdot k$ koyarak, 3 $ \cdot eşitliği n^ (2)=m^(2)$ şu şekilde yazılabilir:

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Son eşitlikten, $n^(2)$ ve $n$'ın 3'e bölünebildiği sonucu çıkar, dolayısıyla $\frac(m)(n)$ kesri 3'e indirgenebilir. Ancak varsayıma göre, $\ kesri frac(m)(n)$ indirgenemez. Ortaya çıkan çelişki, $\sqrt(3)$ sayısının bir $\frac(m)(n)$ kesri olarak gösterilemeyeceğini ve bu nedenle irrasyonel olduğunu kanıtlar.

Q.E.D.

ve π

Böylece, irrasyonel sayılar kümesi farktır I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q) ) reel ve rasyonel sayılar kümesi.

İrrasyonel sayıların, daha doğrusu birim uzunluktaki bir segmentle ölçülemeyen parçaların varlığı, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, köşegenin ve karenin irrasyonelliğe eşdeğer olan kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı. sayının 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Özellikleri

• İki pozitif irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayı ve üst sınıfta en küçük sayı olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind bölümlerini tanımlar.
• İrrasyonel sayılar kümesi gerçek doğru üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki farklı sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir. [ ]

Cebirsel ve aşkın sayılar

Her irrasyonel sayı ya cebirsel ya da aşkındır. Cebirsel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir. Gerçek sayılar kümesi sayılamaz olduğundan, irrasyonel sayılar kümesi sayılamaz.

İrrasyonel sayılar kümesi, ikinci kategorinin bir kümesidir.

Sözde eşitliğin karesini alalım:

Hikaye

antik çağ

İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (yaklaşık MÖ 750-690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi [ ] .

İrrasyonel sayıların varlığının veya daha doğrusu ölçülemeyen bölümlerin varlığının ilk kanıtı, genellikle Metapontus'un Pisagor Hippasus'una (yaklaşık MÖ 470) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilmiş tamsayı sayısıdır. ] .

Hangi sayının irrasyonel olduğu konusunda Hippasus tarafından ispatlanmış kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre, pentagramın kenarlarının uzunluklarını incelerken buldu. Bu nedenle, bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır, çünkü bu, düzgün bir beşgende köşegenin kenara oranıdır.

Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve birbirinden ayrılamaz olduğu varsayımını yıktı.

Daha sonra, Knidoslu Eudoxus (MÖ 410 veya 408 - MÖ 355 veya 347), hem rasyonel hem de irrasyonel ilişkileri hesaba katan bir oranlar teorisi geliştirdi. Bu, irrasyonel sayıların temel özünü anlamak için temel teşkil etti. Değer bir sayı olarak değil, çizgi parçaları, açılar, alanlar, hacimler, zaman aralıkları gibi varlıkların bir tanımı olarak kabul edilmeye başlandı - sürekli değişebilen varlıklar (kelimenin modern anlamında). Büyüklükler, yalnızca bir sayıdan diğerine "atlayarak" değişebilen, örneğin 4'ten 5'e kadar değişebilen sayılara karşıydı.

Hiçbir nicel değer bir nicelikle karşılaştırılmadığından, Eudoxus, bir kesri iki miktarın oranı ve orantıyı iki kesrin eşitliği olarak tanımlayarak hem ölçülebilir hem de ölçülemeyen nicelikleri kapsayabildi. Denklemlerden nicel değerleri (sayıları) çıkararak, irrasyonel bir niceliği sayı olarak adlandırma tuzağından kaçındı. Eudoxus teorisi, Yunan matematikçilerinin geometride inanılmaz ilerleme kaydetmelerine izin vererek, onlara ölçülemez niceliklerle çalışmak için gerekli mantığı sağladı. Öklid'in "Başlangıçlar" ın onuncu kitabı, irrasyonel miktarların sınıflandırılmasına ayrılmıştır.

Orta Çağlar

Orta Çağ, sıfır, negatif sayılar, tam sayılar ve kesirli sayılar gibi kavramların önce Hintli, ardından Çinli matematikçiler tarafından benimsenmesiyle damgasını vurdu. Daha sonra, negatif sayıları cebirsel nesneler (pozitif sayılarla eşit haklar ile birlikte) olarak kabul eden ilk Arap matematikçiler katıldı ve bu da şimdi cebir olarak adlandırılan disiplinin gelişmesine izin verdi.

Arap matematikçiler, eski Yunan "sayı" ve "değer" kavramlarını tek, daha genel bir gerçek sayılar fikrinde birleştirdiler. Öklid'in ilişkiler hakkındaki fikirlerini eleştirdiler, aksine, keyfi niceliklerin ilişkileri teorisini geliştirdiler ve sayı kavramını ilişkilere genişlettiler. sürekli miktarlar. Öklid'in Elementlerinin 10. Kitabı üzerine yaptığı yorumlarında, İranlı matematikçi Al Mahani (MS 800), ikinci dereceden irrasyonel sayıları (formun sayıları) ve daha genel kübik irrasyonel sayıları araştırdı ve sınıflandırdı. İrrasyonel sayılar adını verdiği rasyonel ve irrasyonel niceliklerin tanımını verdi. Bu nesneler üzerinde kolayca işlem yaptı, ancak ayrı nesneler olarak akıl yürüttü, örneğin:

Öklid'in miktarların öncelikle doğru parçaları olduğu kavramının aksine, Al Mahani tamsayıları ve kesirleri rasyonel miktarlar ve kare ve küp kökleri irrasyonel olarak kabul etti. Ayrıca, aşağıdaki niceliklerin irrasyonelliğini gösteren kişi olduğu için, irrasyonel sayılar kümesine aritmetik bir yaklaşım getirdi:

Mısırlı matematikçi Abu Kamil (yaklaşık 850 CE - yaklaşık 930 CE), irrasyonel sayıları bir çözüm olarak kabul etmeyi kabul edilebilir bulan ilk kişi oldu. ikinci dereceden denklemler veya denklemlerdeki katsayılar - esas olarak kare veya küp kökler ve dördüncü kökler şeklinde. 10. yüzyılda, Iraklı matematikçi Al Hashimy, ürünün irrasyonelliğinin, bölümün ve irrasyonel ve rasyonel sayıların diğer matematiksel dönüşümlerinin sonuçlarının (görsel geometrik gösterimler yerine) genel kanıtlarını sağladı. Al Khazin (900 CE - 971 CE), rasyonel ve irrasyonel niceliğin aşağıdaki tanımını verir:

Bu fikirlerin çoğu, 12. yüzyılda Arapça metinlerin Latinceye çevrilmesinden sonra Avrupalı ​​matematikçiler tarafından benimsendi. İslami miras yasalarında uzmanlaşmış Mağripli bir Arap matematikçi olan Al Hassar, 12. yüzyılda kesirler için modern sembolik matematiksel gösterimi tanıttı ve pay ve paydayı yatay bir çubukla ayırdı. Aynı notasyon daha sonra on üçüncü yüzyılda Fibonacci'nin eserlerinde ortaya çıktı. XIV-XVI yüzyıllarda. Sangamagrama'dan Madhava ve Kerala Astronomi ve Matematik Okulu temsilcileri, bazı irrasyonel sayılara, örneğin π'ye yakınsayan sonsuz serileri araştırdı ve ayrıca bazılarının irrasyonelliğini gösterdi. trigonometrik fonksiyonlar. Jestadeva bu sonuçları "Yuktibhaza" kitabında bildirdi. (aşkın sayıların varlığını kanıtlarken), böylece Öklid'in irrasyonel sayıların sınıflandırılması konusundaki çalışmalarını yeniden düşünmek. Bu konuda 1872 yılında eserler yayınlanmıştır.

İrrasyonel sayılarla yakından ilişkili olan sürekli kesirler (belirli bir sayıyı temsil eden sürekli kesir, ancak ve ancak sayı irrasyonel ise sonsuzdur), ilk olarak 1613'te Cataldi tarafından araştırılmış, daha sonra Euler'in çalışmasında tekrar dikkat çekmiştir. erken XIX yüzyıl - Lagrange'ın eserlerinde. Dirichlet ayrıca sürekli kesirler teorisinin gelişimine önemli bir katkı yaptı. 1761'de Lambert, sürekli kesirlerin kullanıldığını gösterdi. π (\displaystyle \pi ) rasyonel bir sayı değildir ve bu da e x (\displaystyle e^(x)) ve tg ⁡ x (\displaystyle \operatöradı (tg) x) sıfır olmayan herhangi bir rasyonel için irrasyoneldir x (\görüntüleme stili x). Lambert'in ispatı eksik olarak adlandırılabilse de, özellikle yazıldığı zaman göz önüne alındığında, genellikle oldukça titiz olduğu kabul edilir. 1794 yılında Legendre, Bessel-Clifford fonksiyonunu tanıttıktan sonra şunu gösterdi: π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) mantıksız, mantıksızlık nereden geliyor π (\displaystyle \pi )önemsiz bir şekilde izler (bir rasyonel sayının karesi rasyonel bir sayı verir).

Transandantal sayıların varlığı 1844-1851'de Liouville tarafından kanıtlandı. Daha sonra, Georg Cantor (1873) farklı bir yöntem kullanarak onların varlığını göstermiş ve gerçek serilerin herhangi bir aralığının sonsuz sayıda aşkın sayı içerdiğini kanıtlamıştır. Charles Hermite 1873'te kanıtladı: e 1882'de Ferdinand Lindemann, bu sonuca dayanarak aşkınlığı gösterdi. π (\displaystyle \pi ) Edebiyat