Bu makalenin malzemesi, hakkında ilk bilgilerdir. irrasyonel sayılar. İlk olarak irrasyonel sayıların tanımını vereceğiz ve açıklayacağız. Aşağıda bazı irrasyonel sayılar örnekleri verilmiştir. Son olarak, verilen bir sayının irrasyonel olup olmadığını bulmak için bazı yaklaşımlara bakalım.

Sayfa gezintisi.

İrrasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Ondalık kesirleri incelerken, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri ayrı ayrı ele aldık. Bu tür kesirler, tek bir segmentle kıyaslanamaz olan segment uzunluklarının ondalık ölçümünde ortaya çıkar. Ayrıca, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülemeyeceğini not ettik (sıradan kesirlerin ondalık sayılara dönüştürülmesine ve tam tersi), bu nedenle, bu sayılar rasyonel sayılar değildir, sözde irrasyonel sayıları temsil ederler.

biz de geldik irrasyonel sayıların tanımı.

Tanım.

İçinde bulunan sayılar ondalık gösterim sonsuz yinelenmeyen ondalık kesirlere denir irrasyonel sayılar.

Sesli tanım getirmeyi sağlar irrasyonel sayı örnekleri. Örneğin, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesir 4.101100111000111110000… (birlerin ve sıfırların sayısı her seferinde bir artar) ir rasyonel sayı. İrrasyonel sayıya başka bir örnek verelim: −22.353335333335 ... (sekizleri ayıran üçlülerin sayısı her seferinde iki artar).

İrrasyonel sayıların, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler biçiminde oldukça nadir olduğuna dikkat edilmelidir. Genellikle formda bulunurlar , vb. ve ayrıca özel olarak tanıtılan harfler şeklinde. en çok ünlü örnekler Böyle bir gösterimdeki irrasyonel sayılar ikinin aritmetik karekökü, "pi" sayısı π=3.141592…, e=2.718281… sayısı ve altın sayıdır.

İrrasyonel sayılar rasyonel ve irrasyonel sayıları birleştiren gerçek sayılar olarak da tanımlanabilir.

Tanım.

İrrasyonel sayılar- bu gerçek sayılar, hangi rasyonel değildir.

Bu sayı irrasyonel midir?

Bir sayı ondalık kesir olarak değil, belirli bir kök, logaritma vb. olarak verildiğinde, çoğu durumda irrasyonel olup olmadığı sorusunu cevaplamak oldukça zordur.

Şüphesiz, sorulan soruyu cevaplarken hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek çok faydalıdır. Rasyonel sayıların irrasyonel sayılar olmadığı irrasyonel sayıların tanımından çıkar. Bu nedenle, irrasyonel sayılar DEĞİLDİR:

• sonlu ve sonsuz periyodik ondalık kesirler.

Ayrıca, aritmetik işlemlerin (+, -, ·, :) işaretleriyle birbirine bağlı herhangi bir rasyonel sayı bileşimi irrasyonel sayı değildir. Çünkü iki rasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü bir rasyonel sayıdır. Örneğin, ifadelerin değerleri ve rasyonel sayılardır. Burada, rasyonel sayılar arasında bu tür ifadelerde tek bir irrasyonel sayı varsa, tüm ifadenin değerinin bir irrasyonel sayı olacağını not ediyoruz. Örneğin, ifadede sayı irrasyoneldir ve sayıların geri kalanı rasyoneldir, bu nedenle irrasyonel sayı. Rasyonel bir sayı olsaydı, o zaman sayının rasyonalitesi bundan çıkar, ama rasyonel değildir.

Bir sayı verilen ifade birkaç irrasyonel sayı, kök işareti, logaritma içeriyorsa, trigonometrik fonksiyonlar, sayıları π, e, vb., o zaman belirli bir sayının irrasyonelliğini veya rasyonelliğini her özel durumda kanıtlamak gerekir. Bununla birlikte, kullanılabilecek hali hazırda elde edilmiş birkaç sonuç vardır. Başlıcalarını sıralayalım.

Bir tamsayının k'inci kökünün, ancak kökün altındaki sayı başka bir tamsayının k'inci kuvvetiyse rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır, diğer durumlarda böyle bir kök irrasyonel bir sayı tanımlar. Örneğin, sayılar ve irrasyoneldir, çünkü karesi 7 olan bir tamsayı ve beşinci kuvvete yükseltilmesi 15 sayısını veren bir tamsayı yoktur. Ve sayılar ve irrasyonel değildir, çünkü and .

Logaritmalara gelince, bazen mantıksızlıklarını çelişki ile kanıtlamak mümkündür. Örneğin, log 2 3'ün irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayalım.

Diyelim ki log 2 3 irrasyonel değil rasyonel bir sayıdır, yani sıradan bir m/n kesri olarak gösterilebilir. ve aşağıdaki eşitlikler zincirini yazmamıza izin verin: . Son eşitlik imkansızdır, çünkü sol tarafındadır. tek sayı, ve hatta sağ tarafta. Yani bir çelişkiye geldik, yani varsayımımız yanlış çıktı ve bu log 2 3'ün irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.

Herhangi bir pozitif ve birim olmayan rasyonel a için lna'nın bir irrasyonel sayı olduğuna dikkat edin. Örneğin, ve irrasyonel sayılardır.

Ayrıca, e a sayısının sıfır olmayan herhangi bir rasyonel a için irrasyonel olduğu ve π z sayısının sıfır olmayan herhangi bir z tamsayı için irrasyonel olduğu da kanıtlanmıştır. Örneğin sayılar irrasyoneldir.

İrrasyonel sayılar ayrıca argümanın herhangi bir rasyonel ve sıfır olmayan değeri için sin , cos , tg ve ctg trigonometrik fonksiyonlarıdır. Örneğin, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , irrasyonel sayılardır.

Kanıtlanmış başka sonuçlar da var, ancak kendimizi daha önce listelenenlerle sınırlayacağız. Ayrıca, yukarıdaki sonuçların kanıtlanmasında, teori ile ilişkili olduğu söylenmelidir. cebirsel sayılar ve aşkın sayılar.

Sonuç olarak, verilen sayıların mantıksızlığı hakkında aceleci sonuçlar çıkarılmaması gerektiğini not ediyoruz. Örneğin, irrasyonel bir dereceye kadar irrasyonel bir sayının irrasyonel bir sayı olduğu açık görünüyor. Ancak, bu her zaman böyle değildir. Seslendirilen gerçeğin bir teyidi olarak, dereceyi sunuyoruz. - İrrasyonel bir sayı olduğu ve bunun da kanıtlandığı - irrasyonel bir sayı, ancak - rasyonel bir sayı olduğu bilinmektedir. Ayrıca toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü rasyonel sayılar olan irrasyonel sayılara örnekler verebilirsiniz. Ayrıca, π+e , π−e , π e , π π , π e ve diğer birçok sayının rasyonelliği veya irrasyonelliği henüz kanıtlanmamıştır.

Bibliyografya.

• Matematik. 6. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, Rev. - E.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

İrrasyonel sayılar nelerdir? Neden böyle anılıyorlar? Nerede kullanılırlar ve nelerdir? Çok az kişi bu soruları tereddüt etmeden cevaplayabilir. Ama aslında, herkesin ihtiyacı olmasa da ve çok nadir durumlarda onlara cevaplar oldukça basittir.

Öz ve atama

İrrasyonel sayılar sonsuz periyodik değildir Bu kavramı tanıtma ihtiyacı, yeni ortaya çıkan problemleri çözmek için önceden var olan gerçek veya gerçek, tamsayı, doğal ve rasyonel sayılar kavramlarının artık yeterli olmamasından kaynaklanmaktadır. Örneğin 2'nin karesinin ne olduğunu hesaplamak için tekrar etmeyen sonsuz ondalık sayılar kullanmanız gerekir. Ek olarak, en basit denklemlerin çoğunun, irrasyonel sayı kavramını ortaya koymadan da çözümü yoktur.

Bu küme I olarak belirtilir. Ve zaten açık olduğu gibi, bu değerler payında bir tamsayı olacak ve paydada basit bir kesir olarak temsil edilemez -

İlk kez, öyle ya da böyle, Hintli matematikçiler bu fenomenle 7. yüzyılda, keşfedildiği zaman karşılaştılar. Karekök bazı miktarlar açıkça ifade edilemez. Ve bu tür sayıların varlığının ilk kanıtı, bunu bir ikizkenar dik üçgeni inceleme sürecinde yapan Pisagor Hippasus'a atfedilir. Bu kümenin çalışmasına ciddi bir katkı, çağımızdan önce yaşayan diğer bazı bilim adamları tarafından yapılmıştır. İrrasyonel sayılar kavramının tanıtılması, mevcut sayıların gözden geçirilmesine yol açtı. matematiksel sistem, bu yüzden çok önemliler.

adın kökeni

Latince oran "kesir", "oran" ise, "ir" öneki
kelimeye zıt anlam verir. Böylece bu sayılar kümesinin adı, bir tamsayı veya kesir ile ilişkilendirilemeyeceklerini, ayrı bir yere sahip olduklarını gösterir. Bu onların doğasından kaynaklanmaktadır.

Genel sınıflandırmada yer

İrrasyonel sayılar, rasyonel olanlarla birlikte, sırayla karmaşık olan gerçek veya gerçek sayılar grubuna aittir. Alt küme yoktur, ancak aşağıda tartışılacak olan cebirsel ve aşkın çeşitler vardır.

Özellikleri

İrrasyonel sayılar gerçek sayılar kümesinin bir parçası olduğundan, aritmetikte incelenen tüm özellikleri onlara uygulanabilir (bunlara temel cebir yasaları da denir).

a + b = b + a (değişebilirlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (çağrışımsallık);

a + (-a) = 0 (zıt sayının varlığı);

ab = ba (yer değiştirme yasası);

(ab)c = a(bc) (dağıtılabilirlik);

a(b+c) = ab + ac (dağıtım yasası);

a x 1/a = 1 (ters sayının varlığı);

Karşılaştırma ayrıca genel yasa ve ilkelere uygun olarak yapılır:

a > b ve b > c ise, o zaman a > c (ilişkinin geçişliliği) ve. vb.

Elbette, tüm irrasyonel sayılar temel aritmetik kullanılarak dönüştürülebilir. Bunun için özel bir kural yoktur.

Ek olarak, Arşimet aksiyomunun eylemi irrasyonel sayılara kadar uzanır. Herhangi iki a ve b niceliği için, a'yı yeterince kez terim olarak alarak b'yi aşmanın mümkün olduğu ifadesinin doğru olduğunu söylüyor.

kullanım

içinde olduğu gerçeğine rağmen sıradan hayatçok sık bunlarla uğraşmak zorunda değilsiniz, irrasyonel sayılar sayılabilir değildir. Birçoğu var, ama neredeyse görünmezler. Her yerde irrasyonel sayılarla çevriliyiz. Herkesin aşina olduğu örnekler, 3.1415926 olan pi'dir... veya esasen taban olan e'dir. doğal logaritma, 2.718281828... Cebir, trigonometri ve geometride bunları her zaman kullanmanız gerekir. Bu arada, "altın bölümün" ünlü anlamı, yani hem büyük parçanın küçüğe oranı hem de tam tersi de

bu sete ait. Daha az bilinen "gümüş" - çok.

Sayı doğrusunda, çok yoğun bir şekilde yer alırlar, böylece rasyonel olanlar kümesiyle ilgili herhangi iki miktar arasında mutlaka bir irrasyonel olan ortaya çıkar.

Bu setle ilgili hala çözülmemiş birçok sorun var. Mantıksızlığın ölçüsü ve bir sayının normalliği gibi kriterler vardır. Matematikçiler, bir gruba veya diğerine ait olmaları için en önemli örnekleri incelemeye devam ediyor. Örneğin, e'nin normal bir sayı olduğu kabul edilir, yani girişinde farklı rakamların görünme olasılığı aynıdır. Pi'ye gelince, bununla ilgili araştırmalar hala devam ediyor. Bir irrasyonellik ölçüsü, belirli bir sayının rasyonel sayılarla ne kadar iyi tahmin edilebileceğini gösteren bir değerdir.

Cebirsel ve aşkın

Daha önce de belirtildiği gibi, irrasyonel sayılar şartlı olarak cebirsel ve aşkın olarak ayrılır. Şartlı olarak, kesinlikle konuşursak, bu sınıflandırma C kümesini bölmek için kullanılır.

Bu atama altında, gerçek veya gerçek sayıları içeren karmaşık sayılar gizlenir.

Yani cebirsel bir değer, sıfıra özdeş olmayan bir polinomun kökü olan bir değerdir. Örneğin, x 2 - 2 = 0 denkleminin çözümü olduğu için 2'nin karekökü bu kategoride olacaktır.

Bu koşulu sağlamayan diğer tüm gerçek sayılara aşkınsal denir. Bu çeşitlilik aynı zamanda en ünlü ve daha önce bahsedilen örnekleri de içerir - pi sayısı ve doğal logaritma e'nin tabanı.

İlginçtir ki, ne biri ne de ikincisi bu kapasitede matematikçiler tarafından orijinal olarak çıkarılmadı, mantıksızlıkları ve aşkınlıkları, keşiflerinden yıllar sonra kanıtlandı. Pi için, ispat 1882'de verildi ve 1894'te basitleştirildi, bu da dairenin karesini alma sorunuyla ilgili 2.500 yıllık tartışmaya son verdi. Hala tam olarak anlaşılmamıştır, bu nedenle modern matematikçilerin üzerinde çalışacakları bir şey vardır. Bu arada, bu değerin ilk yeterince doğru hesaplanması Arşimet tarafından yapıldı. Ondan önce, tüm hesaplamalar çok yaklaşıktı.

E için (Euler veya Napier numarası), 1873'te aşkınlığının bir kanıtı bulundu. Logaritmik denklemlerin çözümünde kullanılır.

Diğer örnekler, herhangi bir cebirsel sıfır olmayan değerler için sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini içerir.

İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük Latince harfle gösterilir. ben (\displaystyle \mathbb (I) ) kalın harflerle, dolgusuz. Böylece: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q) ) yani irrasyonel sayılar kümesi, gerçek ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların, daha doğrusu birim uzunluktaki bir segmentle ölçülemeyen parçaların varlığı, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, köşegenin ve karenin irrasyonelliğe eşdeğer olan kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı. sayının.

Ansiklopedik YouTube

• 1 / 5

  İrrasyonel:

  Mantıksızlık Kanıt Örnekleri

  2'nin kökü

  Tam tersini söyleyelim: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasyonel, yani bir kesir olarak temsil edilir m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), nerede m (\görüntüleme stili m) bir tamsayıdır ve n (\görüntüleme stili n)- doğal sayı .

  Sözde eşitliğin karesini alalım:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Hikaye

  antik çağ

  İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi [ ] .

  İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilmiş tamsayı sayısıdır. ] .

  Hangi sayının irrasyonel olduğu konusunda Hippasus tarafından ispatlanmış kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre, pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle, bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır [ ] .

  Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve birbirinden ayrılamaz olduğu varsayımını yıktı.

  Ve köklerini onlardan aldılar. Latince kelime"sebep" anlamına gelen "oran". Kelimenin tam anlamıyla tercümesine dayanarak:

  • Bir rasyonel sayı "makul bir sayı" dır.
  • İrrasyonel bir sayı, sırasıyla, "mantıksız bir sayıdır".

  Bir rasyonel sayının genel kavramı

  Bir rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:

  1. Adi pozitif kesir.
  2. Negatif ortak kesir.
  3. Sayı olarak sıfır (0).

  

  Başka bir deyişle, aşağıdaki tanımlar bir rasyonel sayıya uyacaktır:

  • Herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebildiğinden, doğal olarak rasyoneldir.
  • Herhangi bir tam sayı, sıfır sayısı da dahil olmak üzere, çünkü herhangi bir tam sayı hem pozitif adi kesir, hem negatif adi kesir hem de sıfır sayısı olarak yazılabilir.
  • Herhangi bir adi kesir ve burada pozitif ya da negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan rasyonel sayı tanımına da yaklaşır.
  • Ayrıca tanımda yer alan karışık numara, son ondalık veya sonsuz bir periyodik kesir.

  Rasyonel Sayı Örnekleri

  Rasyonel sayıların örneklerini düşünün:

  • Doğal sayılar - "4", "202", "200".
  • Tamsayılar - "-36", "0", "42".
  • Sıradan kesirler.

  Yukarıdaki örneklerden açıkça görülmektedir ki, rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak, aynı zamanda bir rasyonel sayı olan 0 (sıfır) sayısı, aynı zamanda pozitif veya negatif bir sayı kategorisine ait değildir.

  Bu nedenle hatırlatmak isterim genel eğitim programı aşağıdaki tanımı kullanarak: “Rasyonel sayılar”, x (pay) bir tam sayı ve y (payda) bir doğal sayı olduğu, x / y kesri olarak yazılabilen sayılardır.

  İrrasyonel bir sayının genel kavramı ve tanımı

  "Rasyonel sayılar"a ek olarak, "irrasyonel sayılar" olarak adlandırılanları da biliyoruz. Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.

  Kenarları boyunca bir karenin köşegenini hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
  Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel bir sayı tanımlayabilirsiniz.
  Yani aslında, rasyonel olmayan bu gerçek sayılar, temel olarak irrasyonel sayılardır.
  İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir.
  
  

  İrrasyonel sayı örnekleri

  Açıklık için küçük bir irrasyonel sayı örneğini düşünün. Daha önce anladığımız gibi, sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlere irrasyonel denir, örneğin:

  • "-5.020020002 ... sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülmektedir)
  • "7.040044000444 ..." sayısı (burada dörtlü sayısının ve sıfır sayısının bir zincirde her seferinde bir arttığı açıktır).
  • Herkes bilinen numara Pi (3.1415…). Evet, evet - aynı zamanda mantıksız.

  Genel olarak, tüm gerçek sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. konuşmak basit kelimelerle, irrasyonel bir sayı normal bir x / y kesri olarak temsil edilemez.

  Genel sonuç ve sayılar arasında kısa bir karşılaştırma

  Her sayıyı ayrı ayrı ele aldık, rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark kalır:

  1. Karekök alınırken, bir daireyi çapa bölerken vb. irrasyonel bir sayı oluşur.
  2. Rasyonel bir sayı, sıradan bir kesri temsil eder.

  Yazımızı birkaç tanımla bitiriyoruz:

  • 0'a (sıfır) bölme dışında rasyonel bir sayı üzerinde gerçekleştirilen aritmetik bir işlem. sonuç ayrıca rasyonel bir sayıya yol açacaktır.
  • İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik bir işlem gerçekleştirirken elde edilen sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
  • Her iki sayı da aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç bize irrasyonel bir sayı verecektir.

  Birim uzunluk parçasıyla, eski matematikçiler zaten biliyorlardı: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve karenin kenarının ölçülemezliğini biliyorlardı.

  İrrasyonel:

  Mantıksızlık Kanıt Örnekleri

  2'nin kökü

  Aksini varsayın: rasyoneldir, yani, ve tamsayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Sözde eşitliğin karesini alalım:

  .

  Bundan bile, bu nedenle, hatta ve . Bütün nerede olsun. O zamanlar

  Bu nedenle, hatta, bu nedenle, hatta ve . Kesirin indirgenemezliği ile çelişen bunu elde ettik ve eşittir. Bu nedenle, orijinal varsayım yanlıştı ve irrasyonel bir sayıdır.

  3 sayısının ikili logaritması

  Aksini varsayın: rasyoneldir, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilir. , ve pozitif alınabilir. O zamanlar

  Ama açık, garip. Bir çelişki elde ederiz.

  e

  Hikaye

  İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manawa'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemediğini bulduğunda, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi.

  İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı bir pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu; bu, herhangi bir segmente dahil edilen tamsayı sayısıdır. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını, çünkü varlığının varsayımının bir çelişkiye yol açtığını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:

  • Bir ikizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: a:b, nerede a ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
  • Pisagor teoremine göre: a² = 2 b².
  • Çünkü a² bile, açift ​​olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
  • Çünkü a:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
  • Çünkü a hatta, belirtmek a = 2y.
  • O zamanlar a² = 4 y² = 2 b².
  • b² = 2 y², bu nedenle b eşit, o zaman b Bile.
  • Ancak kanıtlanmıştır ki b garip. çelişki.

  Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. alogolar(ifade edilemez), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygı gösterilmedi. Hippasus'un bir deniz yolculuğunda keşfi yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve oranlarına indirgenebileceği doktrini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane var. " Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve birbirinden ayrılamaz olduğu varsayımını yıktı.

  Ayrıca bakınız

  Notlar

  sayısal sistemler
  sayma setler	Tamsayılar ()