Bu yazımızda konuyu ele alacağız ondalık karşılaştırma". İlk olarak, ondalık kesirleri karşılaştırmanın genel ilkesini tartışalım. Bundan sonra, hangi ondalık kesirlerin eşit olduğunu ve hangilerinin eşit olmadığını bulacağız. Daha sonra, hangi ondalık kesrin daha büyük ve hangisinin daha az olduğunu nasıl belirleyeceğimizi öğreneceğiz. Bunu yapmak için, sonlu, sonsuz periyodik ve sonsuz periyodik olmayan kesirleri karşılaştırma kurallarını inceleyeceğiz. Tüm teoriyi ayrıntılı çözümlerle örneklerle sağlayacağız. Sonuç olarak, ondalık kesirlerin doğal sayılar, adi kesirler ve sayılarla karşılaştırılması üzerinde duralım. karışık sayılar.

Hemen diyelim ki burada sadece pozitif ondalık kesirleri karşılaştırmaktan bahsedeceğiz (pozitif ve negatif sayılara bakın). Kalan durumlar rasyonel sayıları karşılaştıran makalelerde analiz edilir ve gerçek sayıların karşılaştırılması.

Sayfa gezintisi.

Ondalık kesirleri karşılaştırmak için genel ilke

Bu karşılaştırma ilkesine dayanarak, karşılaştırılan ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmeden yapmayı mümkün kılan ondalık kesirleri karşılaştırma kuralları türetilir. Bu kuralları ve uygulama örneklerini aşağıdaki paragraflarda inceleyeceğiz.

Benzer bir ilkeye göre, sonlu ondalık kesirler veya sonsuz periyodik ondalık kesirler doğal sayılar, sıradan kesirler ve karışık sayılar ile karşılaştırılır: karşılaştırılan sayılar karşılık gelen sıradan kesirler ile değiştirilir, ardından sıradan kesirler karşılaştırılır.

İlişkin sonsuz yinelenmeyen ondalık sayıların karşılaştırılması, daha sonra genellikle son ondalık kesirleri karşılaştırmaya gelir. Bunu yapmak için, karşılaştırmanın sonucunu elde etmenizi sağlayan bu kadar çok sayıda karşılaştırılan sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir işareti düşünün.

Eşit ve eşit olmayan ondalık sayılar

İlk önce tanıtıyoruz eşit ve eşit olmayan son ondalık sayıların tanımları.

Tanım.

Sondaki iki ondalık sayıya denir eşit karşılık gelen ortak kesirleri eşitse, aksi takdirde bu ondalık kesirlere denir. eşit olmayan.

Bu tanıma dayanarak, aşağıdaki ifadeyi haklı çıkarmak kolaydır: belirli bir ondalık kesrin sonunda birkaç basamağa 0 atfedersek veya atarsak, buna eşit bir ondalık kesir elde ederiz. Örneğin, 0.3=0.30=0.300=… ve 140.000=140.00=140.0=140 .

Gerçekten de, sağdaki ondalık kesrin sonuna sıfır eklemek veya atmak, karşılık gelen adi kesrin payını ve paydasını 10 ile çarpmaya veya bölmeye karşılık gelir. Ve bir kesrin payını ve paydasını aynı doğal sayı ile çarpmanın veya bölmenin orijinaline eşit bir kesir verdiğini söyleyen bir kesrin temel özelliğini biliyoruz. Bu, ondalık kesrin kesirli kısmında sağa sıfır eklemenin veya çıkarmanın orijinal kesre eşit bir kesir verdiğini kanıtlar.

Örneğin, bir ondalık kesir 0,5, sıradan bir kesre 5/10'a karşılık gelir, sağa sıfır eklendikten sonra, 50/100 sıradan bir kesre karşılık gelen bir ondalık kesir 0,50 elde edilir ve. Yani 0.5=0.50. Tersine, ondalık kesir 0,50'de sağdaki 0'ı atarsak, 0,5 kesri elde ederiz, bu nedenle sıradan bir 50/100 kesirden 5/10 kesre geleceğiz, ancak . Bu nedenle, 0.50=0.5 .

Konusuna geçelim eşit ve eşit olmayan sonsuz periyodik ondalık kesirlerin tanımı.

Tanım.

İki sonsuz periyodik kesir eşit, bunlara karşılık gelen adi kesirler eşitse; onlara karşılık gelen adi kesirler eşit değilse, o zaman karşılaştırılan periyodik kesirler de eşit değil.

İtibaren bu tanımüç sonuç takip eder:

• Periyodik ondalık kesirlerin kayıtları tamamen aynıysa, bu tür sonsuz periyodik ondalık kesirler eşittir. Örneğin, periyodik ondalık sayılar 0.34(2987) ve 0.34(2987) eşittir.
• Karşılaştırılan ondalık periyodik kesirlerin periyotları aynı konumdan başlıyorsa, ilk kesrin periyodu 0, ikincisinin periyodu 9 ve periyot 0'dan önceki basamağın değeri, basamağın değerinden bir büyüktür. önceki periyot 9 ise, bu tür sonsuz periyodik ondalık kesirler eşittir. Örneğin, periyodik kesirler 8.3(0) ve 8.2(9) eşittir ve 141,(0) ve 140,(9) kesirleri de eşittir.
• Diğer iki periyodik kesir eşit değildir. İşte eşit olmayan sonsuz periyodik ondalık kesir örnekleri: 9.0(4) ve 7,(21) , 0,(12) ve 0,(121) , 10,(0) ve 9.8(9) .

Uğraşmak için kalır eşit ve eşit olmayan sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler. Bildiğiniz gibi, bu tür ondalık kesirler sıradan kesirlere dönüştürülemez (bu tür ondalık kesirler irrasyonel sayıları temsil eder), bu nedenle sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerin karşılaştırılması sıradan kesirlerin karşılaştırmasına indirgenemez.

Tanım.

İki sonsuz yinelenmeyen ondalık sayı eşit girişleri tam olarak eşleşirse.

Ancak bir nüans var: Periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerin “bitmiş” kaydını görmek imkansızdır, bu nedenle kayıtlarının tam çakışmasından emin olmak imkansızdır. Nasıl olunur?

Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri karşılaştırırken, karşılaştırılan kesirlerin yalnızca sınırlı sayıda işareti dikkate alınır, bu da gerekli sonuçları çıkarmamızı sağlar. Böylece, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerin karşılaştırması, sonlu ondalık kesirlerin karşılaştırmasına indirgenir.

Bu yaklaşımla, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerin eşitliğinden sadece dikkate alınan basamağa kadar bahsedebiliriz. Örnekler verelim. Sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler 5.45839 ... ve 5.45839 ..., son ondalık kesirler 5.45839 ve 5.45839 eşit olduğundan, yüz binde birine eşittir; 19.54 ... ve 19.54810375 ... tekrar etmeyen ondalık kesirler 19.54 ve 19.54 kesirler eşit olduğundan, en yakın yüzde bire eşittir.

Bu yaklaşımla sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirlerin eşitsizliği oldukça kesin olarak belirlenir. Örneğin, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirler 5.6789… ve 5.67732… eşit değildir, çünkü kayıtlarındaki farklar açıktır (son ondalık kesirler 5.6789 ve 5.6773 eşit değildir). Sonsuz ondalık sayılar 6.49354... ve 7.53789... da eşit değildir.

Ondalık kesirleri karşılaştırma kuralları, örnekler, çözümler

İki ondalık kesrin eşit olmadığı gerçeğini belirledikten sonra, genellikle bu kesirlerden hangisinin daha büyük ve hangisinin diğerinden daha küçük olduğunu bulmak gerekir. Şimdi, sorulan soruyu cevaplamamıza izin vererek ondalık kesirleri karşılaştırma kurallarını analiz edeceğiz.

Çoğu durumda, karşılaştırılan ondalık sayıların tamsayı kısımlarını karşılaştırmak yeterlidir. Aşağıdakiler doğrudur ondalık karşılaştırma kuralı: tamsayı kısmı daha büyük olan ondalık kesirden büyük ve tamsayı kısmı daha küçük olan ondalık kesirden küçük.

Bu kural hem sonlu ondalık sayılar hem de sonsuz ondalık sayılar için geçerlidir. Örnekleri ele alalım.

Örnek.

9.43 ve 7.983023 ondalık sayıları karşılaştırın….

Çözüm.

Açıkçası, bu ondalık kesirler eşit değildir. Son ondalık kesir 9.43'ün tamsayı kısmı 9'a eşittir ve sonsuz periyodik olmayan kesir 7.983023'ün tamsayı kısmı 7'ye eşittir. 9>7 olduğundan (doğal sayıların karşılaştırılmasına bakınız), o zaman 9.43>7.983023.

Cevap:

9,43>7,983023 .

Örnek.

49.43(14) ve 1.045.45029... ondalık sayılarından hangisi daha küçüktür?

Çözüm.

Periyodik kesrin 49.43(14) tamsayı kısmı, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesrin 1 045.45029… tamsayı kısmından küçüktür, bu nedenle, 49.43(14)<1 045,45029… .

Cevap:

49,43(14) .

Karşılaştırılan ondalık kesirlerin tamsayı kısımları eşitse, hangisinin daha büyük ve hangisinin daha az olduğunu bulmak için kesirli kısımları karşılaştırmak gerekir. Ondalık kesirlerin kesirli kısımlarının karşılaştırılması azar azar yapılır- onuncu kategorisinden daha genç olanlara.

İlk olarak, son iki ondalık kesri karşılaştırma örneğine bakalım.

Örnek.

Son ondalık sayıları 0,87 ve 0,8521 karşılaştırın.

Çözüm.

Bu ondalık kesirlerin tamsayı kısımları eşittir (0=0), bu yüzden kesirli kısımları karşılaştırmaya geçelim. Onundalar basamağının değerleri eşittir (8=8) ve 0.87 kesrinin yüzler basamağının değeri 0.8521 kesrin yüzdeler basamağının değerinden büyüktür (7>5). Bu nedenle, 0.87>0.8521.

Cevap:

0,87>0,8521 .

Bazen, sondaki ondalık sayıları farklı ondalık sayılarla karşılaştırmak için, kesrin sağına daha az ondalık basamakla birkaç sıfır eklemeniz gerekir. Son ondalık kesirlerden birinin sağına belirli sayıda sıfır ekleyerek karşılaştırmaya başlamadan önce ondalık basamak sayısını eşitlemek oldukça uygundur.

Örnek.

Sondaki ondalık sayıları 18.00405 ve 18.0040532 karşılaştırın.

Çözüm.

Açıkçası, bu kesirler eşit değildir, çünkü kayıtları farklıdır, ancak aynı zamanda eşit tamsayı kısımlarına sahiptirler (18=18).

Bu kesirlerin kesirli kısımlarını bit bazında karşılaştırmadan önce, ondalık basamak sayısını eşitliyoruz. Bunu yapmak için, 18.0405 kesirinin sonuna iki rakamı 0 atarız, buna eşit olurken ondalık 18,0040500 .

18.0040500 ve 18.0040532'nin ondalık basamakları yüzbinde birine eşittir ve 18.0040500'ün milyonuncu basamağının değeri, karşılık gelen kesir basamağının 18.0040532 değerinden küçüktür (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Cevap:

18,00405<18,0040532 .

Sonlu bir ondalık kesri sonsuz bir kesir ile karşılaştırırken, son kesir, 0 periyoduna eşit sonsuz bir periyodik kesir ile değiştirilir, ardından rakamlarla bir karşılaştırma yapılır.

Örnek.

Bitiş ondalığı 5.27'yi sonsuz yinelenmeyen ondalık sayı 5.270013… ile karşılaştırın.

Çözüm.

Bu ondalık sayıların tamsayı kısımları eşittir. Bu kesirlerin ondalık ve yüzdeliklerinin rakamları eşittir ve daha fazla karşılaştırma yapmak için, son ondalık kesri, formun 0 periyodu ile ona eşit sonsuz bir periyodik kesir ile değiştiririz. 5.270000 .... Beşinci ondalık basamaktan önce, 5.270000... ve 5.270013... ondalık basamakların değerleri eşittir ve beşinci ondalık basamakta 0 var<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Cevap:

5,27<5,270013… .

Sonsuz ondalık kesirlerin karşılaştırılması da azar azar yapılır., ve bir bitin değerleri farklı olduğu anda biter.

Örnek.

Sonsuz ondalık sayıları 6.23(18) ve 6.25181815… karşılaştırın.

Çözüm.

Bu kesirlerin tamsayı kısımları eşittir, onuncu yerin değerleri de eşittir. Ve periyodik kesir 6.23(18)'in yüzdeler basamağının değeri, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesrin yüzdeler basamağından küçüktür 6.25181815…, bu nedenle, 6.23(18)<6,25181815… .

Cevap:

6,23(18)<6,25181815… .

Örnek.

3,(73) ve 3,(737) sonsuz periyodik ondalık sayılardan hangisi daha büyüktür?

Çözüm.

3,(73)=3.7737373… ve 3,(737)=3.737737737… olduğu açıktır. Dördüncü ondalık hanede, bit düzeyinde karşılaştırma sona erer, çünkü orada 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Cevap:

3,(737) .

Ondalık sayıları doğal sayılar, ortak kesirler ve karışık sayılarla karşılaştırın.

Bir ondalık kesri doğal bir sayı ile karşılaştırmanın sonucunu elde etmek için, bu kesrin tamsayı kısmını belirli bir doğal sayı ile karşılaştırabilirsiniz. Bu durumda, 0 veya 9 periyotlu periyodik kesirler ilk önce eşit son ondalık kesirleriyle değiştirilmelidir.

Aşağıdakiler doğrudur ondalık kesir ile doğal sayıyı karşılaştırma kuralı: ondalık kesrin tamsayı kısmı belirli bir doğal sayıdan küçükse, o zaman kesrin tamamı bu doğal sayıdan küçüktür; Bir kesrin tamsayı kısmı verilen doğal sayıdan büyük veya ona eşitse, kesir verilen doğal sayıdan büyüktür.

Bu karşılaştırma kuralının uygulama örneklerini düşünün.

Örnek.

Doğal sayı 7'yi ondalık kesir 8.8329 ile karşılaştırın….

Çözüm.

Verilen doğal sayı, verilen ondalık kesrin tamsayı kısmından küçük olduğundan, bu sayı verilen ondalık kesirden küçüktür.

Cevap:

7<8,8329… .

Örnek.

Doğal sayı 7 ile ondalık 7.1'i karşılaştırın.

Ondalık kesir virgül içermelidir. Kesirin ondalık noktanın solunda bulunan sayısal kısmına bütün denir; sağa - kesirli:

5.28 5 - tamsayı kısmı 28 - kesirli kısım

Ondalık sayının kesirli kısmı şunlardan oluşur: ondalık(ondalık):

• onda biri - 0.1 (onda bir);
• yüzde birler - 0.01 (yüzde);
• binde biri - 0.001 (binde bir);
• on binde biri - 0.0001 (on binde bir);
• yüz binde - 0.00001 (yüz binde);
• milyonda bir - 0.00001 (milyonda bir);
• on milyonda biri - 0.0000001 (on milyonda bir);
• yüz milyonuncu - 0.00000001 (yüz milyonuncu);
• milyarda bir - 0.000000001 (bir milyarda bir), vb.

• kesrin tamsayı kısmı olan sayıyı oku ve kelimesini ekle " tüm";
• kesrin kesirli kısmını oluşturan sayıyı okuyun ve en az anlamlı basamağın adını ekleyin.

Örneğin:

• 0.25 - sıfır noktası yirmi beş yüzde;
• 9.1 - dokuz nokta onda bir;
• 18.013 - on sekiz nokta on üç binde biri;
• 100.2834 yüz iki bin sekiz yüz otuz dört on binde biri.

ondalık yazma

Ondalık kesir yazmak için şunları yapmalısınız:

• kesrin tamsayı kısmını yazın ve virgül koyun (kesirin tamsayı kısmı anlamına gelen sayı her zaman " tüm");
• kesrin kesirli kısmını, son basamağı istenen basamağa düşecek şekilde yazın (belirli ondalık basamaklarda anlamlı basamak yoksa, sıfırlarla değiştirilirler).

Örneğin:

• yirmi nokta dokuz - 20.9 - bu örnekte her şey basit;
• beş nokta yüzüncü - 5.01 - "yüzüncü" kelimesi, ondalık noktadan sonra iki basamak olması gerektiği anlamına gelir, ancak 1 sayısında onuncu yer olmadığı için sıfır ile değiştirilir;
• sıfır noktası sekiz yüz sekiz binde biri - 0.808;
• üç nokta onbeş - böyle bir ondalık kesir yazmak imkansızdır, çünkü kesirli kısmın telaffuzunda bir hata yapılmıştır - 15 sayısı iki basamak içerir ve "ondalık" kelimesi sadece bir anlamına gelir. Doğru, üç virgül on beş yüzde (veya binde, on binde, vb.) olacaktır.

Ondalık Karşılaştırma

Ondalık kesirlerin karşılaştırılması, doğal sayıların karşılaştırılmasına benzer şekilde yapılır.

1. ilk olarak, kesirlerin tamsayı kısımları karşılaştırılır - daha büyük tamsayı kısmı olan ondalık kesir daha büyük olacaktır;
2. kesirlerin tamsayı kısımları eşitse, kesirli kısımlar virgülden başlayarak soldan sağa azar azar karşılaştırılır: ondalık, yüzdelik, bindelik, vb. Karşılaştırma, ilk tutarsızlığa kadar gerçekleştirilir - bu ondalık kesir daha büyük olacaktır, bu da kesirli kısmın karşılık gelen basamağında daha büyük bir eşit olmayan basamağa sahip olacaktır. Örneğin: 1.2 8 3 > 1,27 9, çünkü yüzde birler cinsinden ilk kesir 8'e, ikinci kesir 7'ye sahiptir.

3.4 Doğru sıra
Önceki bölümde, sayıları sayı doğrusundaki konumlarına göre karşılaştırdık. Bu, ondalık gösterimdeki sayıların büyüklüklerini karşılaştırmanın iyi bir yoludur. Bu yöntem her zaman işe yarar, ancak her iki sayıyı karşılaştırmanız gerektiğinde bunu yapmak zahmetli ve zahmetlidir. İki sayıdan hangisinin daha büyük olduğunu bulmanın başka bir iyi yolu var.

Örnek A

Önceki bölümdeki sayıları göz önünde bulundurun ve 0,05 ile 0,2'yi karşılaştırın.

Hangi sayının daha büyük olduğunu bulmak için önce tamsayı kısımlarını karşılaştırırız. Örneğimizdeki her iki sayı da eşit sayıda tam sayıya sahiptir - 0. Sonra ondalıklarını karşılaştırın. 0,05 sayısı 0 ondalık ve 0,2 sayısı 2 ondalık içerir. 0,05 sayısının 5 yüzdelik olması önemli değil, çünkü ondalıklar 0,2 sayısının daha büyük olduğunu belirler. Şu şekilde yazabiliriz:

Her iki sayının da 0 tam sayısı ve 6 ondalık sayısı vardır ve hangisinin daha büyük olduğunu henüz belirleyemiyoruz. Bununla birlikte, 0.612 sayısının sadece 1 yüzdelik kısmı vardır ve 0.62 sayısının iki tane vardır. O zaman bunu belirleyebiliriz

0,62 > 0,612

0,612 sayısının 2 binde biri olması önemli değil, yine de 0,62'den küçük.

Bunu bir resimle gösterebiliriz:

		0,612
		0,62

Ondalık gösterimdeki iki sayıdan hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Bütün parçaları karşılaştırın. Tamsayı kısmı daha büyük olan ve daha büyük olacak olan sayı.

2 . Tamsayı kısımları eşitse, onda bir karşılaştırın. Daha fazla ondalık olan bu sayı daha fazla olacaktır.

3 . Ondalıklar eşitse, yüzdeleri karşılaştırın. Yüzdeliği daha fazla olan bu sayı daha fazla olacaktır.

4 . Yüzdeler eşitse, binde bir karşılaştırın. Binde biri daha fazla olan bu sayı daha fazla olacaktır.

Bir ondalık kesir, paydasının bir bit birimi olması bakımından sıradan bir kesirden farklıdır.

Örneğin:

Ondalık kesirler, sıradan kesirlerden ayrı bir forma ayrılmış, bu da bu kesirleri karşılaştırma, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme için kendi kurallarına yol açmıştır. Prensip olarak, sıradan kesir kurallarına göre ondalık kesirlerle çalışabilirsiniz. Ondalık kesirleri dönüştürmek için kendi kuralları, hesaplamaları basitleştirir ve sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmek için kurallar ve bunun tersi, bu tür kesirler arasında bir bağlantı görevi görür.

Ondalık kesirleri yazmak ve okumak, doğal sayılarla işlem kurallarına çok benzer kurallara göre yazmanıza, karşılaştırmanıza ve üzerinde işlem yapmanıza olanak tanır.

İlk kez, ondalık kesirler sistemi ve üzerlerindeki işlemler 15. yüzyılda tanımlandı. Semerkantlı matematikçi ve astronom Jamshid ibn-Masudal-Kashi, "Muhasebe Sanatının Anahtarı" kitabında.

Ondalık kesrin tamsayı kısmı kesirli kısımdan virgülle ayrılır, bazı ülkelerde (ABD) nokta koyarlar. Ondalık kesirde tamsayı kısmı yoksa, 0 sayısını ondalık noktadan önce koyun.

Sağdaki ondalık kesrin kesirli kısmına herhangi bir sayıda sıfır eklenebilir, bu kesrin değerini değiştirmez. Ondalık kesrin kesirli kısmı, son anlamlı basamak tarafından okunur.

Örneğin:
0.3 - onda üç
0.75 - yetmiş beş yüzde
0.000005 - beş milyonda.

Bir ondalık sayının tamsayı kısmını okumak, doğal sayıları okumakla aynıdır.

Örneğin:
27.5 - yirmi yedi ...;
1.57 - bir...

Ondalık kesrin tamsayı kısmından sonra "bütün" kelimesi okunur.

Örneğin:
10.7 - on nokta yedi

0.67 - sıfır noktası altmış yedi yüzüncü.

Ondalık sayılar kesirli rakamlardır. Kesirli kısım rakamlarla (doğal sayıların aksine) değil, bir bütün olarak okunur, bu nedenle ondalık kesrin kesirli kısmı sağdaki son önemli basamak tarafından belirlenir. Ondalık kesrin kesirli kısmının bit sistemi, doğal sayılardan biraz farklıdır.

• Meşguliyetten sonraki 1. basamak - onuncu basamak
• Ondalık noktadan sonra 2. yer - yüzüncü yer
• Ondalık noktadan sonra 3. sıra - bininci yer
• Ondalık noktadan sonra 4. sıra - on bininci yer
• Ondalık noktadan sonra 5. yer - yüz bininci yer
• Ondalık noktadan sonra 6. sıra - milyonuncu yer
• Ondalık noktadan sonra 7. sıra - on milyonuncu yer
• Ondalık noktadan sonraki 8. yer yüz milyonuncu yer

Hesaplamalarda en çok ilk üç basamak kullanılır. Ondalık kesirlerin kesirli kısmının büyük bit derinliği, yalnızca sonsuz küçük değerlerin hesaplandığı belirli bilgi dallarında kullanılır.

Ondalıktan karışık kesire dönüştürme aşağıdakilerden oluşur: ondalık noktadan önceki sayıyı karışık kesrin tamsayı kısmı olarak yazın; ondalık noktadan sonraki sayı, kesirli kısmının payıdır ve kesirli kısmın paydasına, ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sıfır olan bir sayı yazın.