Funcția de putere, proprietățile și graficele acesteia. Funcţie. Funcția de putere Funcția de putere are forma
Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Exponent întreg negativ. Graficul unei funcții de putere”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Manual interactiv „Reguli și exerciții de algebră” pentru clasa a 9-a
Manual multimedia pentru clasa a 9-a „Algebră în 10 minute”
Un fel de funcție de putere cu exponent negativ
Băieți, continuăm să studiem funcțiile numerice. Tema lecției de astăzi va fi și funcțiile de putere, dar nu cu exponent natural, ci cu un întreg negativ.arată astfel: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Una dintre aceste funcții pe care o cunoaștem foarte bine este hiperbola. Băieți, vă amintiți graficul hiperbolelor? Construiește-l singur.
Să ne uităm la una dintre funcțiile potrivite pentru noi și să definim proprietățile acesteia. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Să începem cu paritatea. Este de remarcat faptul că proprietatea de paritate simplifică foarte mult construcția graficelor de funcții, deoarece putem construi o jumătate din grafic și apoi doar să o reflectăm.
Domeniul funcției noastre este mulțimea numerelor reale, cu excepția zero, știm cu toții foarte bine că nu poți împărți la zero. Domeniul definiției este o mulțime simetrică, se trece la calculul valorii funcției dintr-un argument negativ.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Funcția noastră este uniformă. Deci, putem construi un grafic pentru $x≥0$ și apoi îl reflectăm de-a lungul axei y.
Băieți, de data aceasta vă propun să construim împreună un grafic al funcției, așa cum fac ei la matematica „adulților”. Mai întâi, definim proprietățile funcției noastre și apoi construim un grafic pe baza acestora. Vom lua în considerare faptul că $x>0$.
1. Domeniul D(y)=(0;+∞).
2. Funcția este în scădere. Hai să verificăm. Fie $x1
3. Funcția este limitată de jos. Este evident că $\frac(1)(x^2)>0$, ceea ce înseamnă că este mărginit de jos.
Nu există limită superioară, deoarece dacă luăm valoarea argumentului foarte mică, aproape de zero, atunci valoarea funcției va tinde spre plus infinit.
4. Nu există o valoare maximă sau minimă. Nu există o valoare maximă, deoarece funcția nu este mărginită de sus. Ce zici de cea mai mică valoare, pentru că funcția este mărginită de jos.
Ce înseamnă că o funcție are cea mai mică valoare?
Există un punct x0 astfel încât pentru toți x din domeniul $f(x)≥f(x0)$, dar funcția noastră este în scădere pe întregul domeniu, atunci există un astfel de număr $х1>x0$, dar $f (x1) Grafice ale funcțiilor de putere cu exponenți negativi
Să construim un grafic al funcției noastre pe puncte. 
Graficul funcției noastre este foarte asemănător cu graficul unei hiperbole.
Să folosim proprietatea de paritate și să reflectăm graficul de-a lungul axei y. 
Să scriem proprietățile funcției noastre pentru toate valorile x.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) O funcție egală.
3) Crește cu (-∞;0], scade cu .
Soluţie. Funcția scade pe întregul domeniu de definire, apoi atinge valorile maxime și minime la capetele segmentului. Cea mai mare valoare va fi în capătul stâng al segmentului $f(1)=1$, cea mai mică în capătul drept $f(3)=\frac(1)(27)$.
Răspuns: Cea mai mare valoare este 1, cea mai mică este 1/27.
Exemplu. Trasează funcția $y=(x+2)^(-4)+1$.
Soluţie. Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(-4)$ deplasând-o cu două unități la stânga și o unitate în sus.
Să construim un grafic: 
Sarcini pentru soluție independentă
1. Găsiți cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției $y=\frac(1)(x^4)$ pe segmentul .2. Trasează funcția $y=(x-3)^(-5)+2$.
Funcțiile y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - sunt tipuri speciale de funcție de putere pentru n = 1, n = 2, n = -1 .
Dacă n număr fracționar p/
q cu numitor par qși numărător impar R, apoi valoarea 
poate avea două semne, iar graficul are încă o parte în partea de jos a axei x Xși este simetric față de partea superioară.
Vedem un grafic al unei funcții cu două valori y \u003d ± 2x 1/2, adică. 
reprezentată printr-o parabolă cu axă orizontală.
Grafice de funcții y = xn la n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Aceste grafice trec prin punctul (1; 1).
Când n = -1 primim hiperbolă. La n < - 1 graficul funcției de putere este mai întâi situat deasupra hiperbolei, adică. între x = 0și x = 1, iar apoi mai jos (la x > 1). În cazul în care un n> -1 graficul merge invers. Valori negative Xși valori fracționale n similar pentru pozitiv n.
Toate graficele se apropie nelimitat de axa x X, precum și la axa y la fără a intra în contact cu ei. Din cauza asemănării lor cu o hiperbolă, aceste grafice se numesc hiperbole. n th Ordin.
1. Analiza literaturii educaționale pe tema: „Proprietățile unei funcții de putere”
Studiul funcției puterii începe în clasa a VII-a, cu cazuri speciale, și continuă pe tot parcursul cursului de algebră. Până în clasa a 11-a, cunoștințele despre funcția de putere sunt generalizate, extinse și sistematizate.
Analiza literaturii educaționale trebuie efectuată pentru clasa a 9-a pentru a construi conținutul manualului didactic pe baza acestei analize a literaturii educaționale.
Manual: „Algebră. Clasa a 9-a". Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemozina, 2009)
Manualul tratează funcțiile de putere cu un exponent întreg. Materialul teoretic pe tema „Funcția de putere” este inclus în capitolul „ Funcții numerice» în paragrafe separate, care iau în considerare atât funcțiile în sine, cât și proprietățile și graficele acestora.
Prezentarea materialului accesibil elevilor, inclus număr mare exemple cu soluții detaliate și temeinice în partea 1 (în manual), și exerciții pt muncă independentă plasat în partea a 2-a (în cartea de probleme).
Structura studiului materialului:
CAPITOLUL 3 Funcții numerice
§12. Funcții, proprietățile lor și grafice.
§13. Funcții, proprietățile lor și grafice.
§paisprezece. Funcții, proprietățile sale și graficul.
În continuare, funcțiile de putere sunt definite ca funcții cu un exponent natural (în primul rând, sunt date cazuri speciale de funcții de putere, apoi este dezvăluită formula generală). Considerăm funcțiile de putere cu exponent par, graficele lor, prin care sunt dezvăluite ulterior proprietățile (gamă de valori și domeniul de definire al funcției, par și impar, monotonitate, continuitate, valoare maximă și minimă a funcției, convexitate). În continuare, luăm în considerare funcțiile de putere cu un exponent impar, precum și graficele și proprietățile lor.
În § 13 sunt definite funcții de putere cu exponenți negativi: mai întâi funcții pare, apoi impare. Similar cu funcțiile de putere cu exponent natural, sunt date cazuri speciale:
După aceea, se dezvăluie formula generală, se iau în considerare și graficele și proprietățile.
În § 14 introducem funcția
proprietățile sale și graficul ca caz special funcţie de putere cu exponent raţional n =
Transformarea graficelor (simetria) se rezumă la faptul că graficul unei funcții pare este simetric față de axa y, iar graficul unei funcții impare este despre origine. Prin urmare, pentru funcțiile de stepă, luăm în considerare funcţie dată pe o anumită rază se construiește graficul acesteia și, folosind simetria, se construiește un grafic pe întreaga dreaptă numerică. În continuare, se citește graficul, adică, conform graficului, proprietățile funcției sunt enumerate conform schemei:
1) domeniul definirii;
2) par, impar;
3) monotonie;
4) delimitare de jos, de sus;
5) cel mai mic și cea mai mare valoare funcții;
6) continuitate;
7) intervalul de valori;
8) umflătură.
a) merge la sistemul de coordonate auxiliar cu originea în punctul în care valorile sunt obținute la x = 0 și y = 0.
b) „leagă” funcția la sistem nou coordonate.
Exemplul 3. Reprezentați grafic o funcție
Soluţie. Să trecem la sistemul de coordonate auxiliar cu originea în punctul (-1; -2) (linii întrerupte în Fig. 117) și să „atașăm” funcția noului sistem de coordonate. Obținem programul necesar (Fig. 117)
În cartea de probleme „Algebra. Clasa a 9-a." sub redacția lui Mordkovich A. G. și Semenov P. V. este prezentat un sistem divers de exerciții. Setul de exerciții este împărțit în două blocuri: primul conține sarcini de două niveluri de bază: orale (semi-orale) și sarcini de dificultate medie; al doilea bloc conține sarcini de un nivel peste medie sau de dificultate crescută. Majoritatea sarcinilor de al doilea și al treilea nivel primesc răspuns. Caietul de sarcini conține un număr mare de sarcini diferite pentru trasarea graficelor. diferite feluri funcția de putere și determinarea proprietăților unei funcții din graficul acesteia. De exemplu:
nr. 12.10. Trasează funcția:
nr. 12.15. Rezolvați ecuația grafic
nr. 12.19. Trasează și citește graficul unei funcții
Trasează și citește graficul unei funcții
Manual: „Algebră. Clasa a 9-a". Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Iluminismul, 2006)
Acest manual este destinat și orelor de educație generală, în care pot fi omise materiale suplimentare și sarcini complexe. Dacă există suficiente ore, dacă clasa manifestă interes pentru matematică, atunci datorită completărilor de la sfârșitul capitolelor din manual, precum și punctelor și sarcinilor individuale cu asterisc, care sunt opționale în orele de învățământ general obișnuit, este posibilă extinderea și aprofundarea conținutului materialului studiat la volumul prevăzut de programul pentru orele cu studiu aprofundat al matematicii. Adică manualul poate fi folosit atât la orele obișnuite, cât și la cursuri cu studiu aprofundat al matematicii.
Structura studiului materialului:
CAPITOLUL II. Gradul de
§patru. rădăcină de grad
4.1 Proprietățile funcției
4.2 Graficul unei funcții
4.3 Conceptul de rădăcină a unui grad
4.4 Rădăcini pare și impare
4.5 Rădăcină aritmetică
4.6 Proprietăţile rădăcinilor
4.7 *Rădăcina unui număr natural
4.8 *Funcție
Studiul temei începe cu proprietățile funcției (de exemplu, n = 2 și n = 3) și graficul acesteia. Apoi studiem rădăcina a n-a, rădăcina aritmetică și proprietățile rădăcinilor a n-a și modul în care acestea se aplică la transformarea expresiilor. În clasele cu un studiu aprofundat al matematicii, sunt luate în considerare în plus următoarele subiecte: „Funcție”, „Puterea cu un exponent rațional și proprietățile sale”.
Se afirmă că funcțiile au un număr de proprietăți identice (domeniu, zerouri ale funcției, uniformitate, neobișnuit, continuitate, intervale de monotonitate). Prin urmare, este recomandabil să se ia în considerare în cazul general o funcție, unde este un număr natural, . Introducerea definiției graficului unei funcții se realizează prin definirea unei parabole. Adică conform fapt cunoscut că graficul unei funcții este o parabolă, atunci acest grafic se numește parabolă de gradul doi, graficul unei funcții se numește parabolă de gradul al treilea sau, pe scurt, parabolă. Proprietățile funcției sunt luate în considerare numai pentru cele nenegative cu unele dovezi.
Studiul construirii unui grafic al unei funcții începe cu afișarea graficelor funcțiilor pe un singur plan de coordonate numai pentru valori nenegative.
Studiul funcției se bazează pe cunoștințele dobândite anterior despre rădăcina aritmetică a gradului. Construcția graficului funcției se realizează în sistemul de coordonate carteziene. Pentru început, sunt luate în considerare o funcție de putere și construcția graficului acesteia în sistemul de coordonate O. Astfel, se demonstrează că graficul funcției face parte dintr-o parabolă de grade.
1) Dacă x = 0, atunci y = 0.
2) Dacă, atunci.
3) Funcția este în creștere.
4) Dacă, atunci.
5) Funcția este continuă.
Sistemul de exerciții pe tema „Funcția de putere” este divers. Conține sarcini de formare atât orale cât și scrise. De exemplu:
Nr 316. Dată o funcție
Explorați această funcție și trasați graficul acesteia.
#318 Reprezentați grafic funcția
№ 321. Într-un sistem de coordonate, construiți grafice ale funcțiilor
#441 Trasează un grafic al funcției pentru:
#442 Trasează un grafic al funcției pentru:
Manual: „Algebră. Clasa a 9-a". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Iluminismul, 2009)
Acest manual este destinat școlilor secundare.
Structura studiului materialului:
CAPITOLUL IV. Gradul cu exponent rațional
§9. Funcția de putere
21. Funcții pare și impare
22. Funcția
§zece. Rădăcină gradul al n-lea
23. Determinarea rădăcinii gradului al n-lea
24. Proprietăţile rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea
§unsprezece. Gradul cu exponent rațional și proprietățile acestuia
25. Determinarea gradului cu exponent fracționar
26. Proprietăţi cu exponent raţional
27. Conversia expresiilor care conțin grade cu exponenți fracționari
Studiul unei funcții de putere începe cu introducerea conceptelor de funcții pare și impare folosind exemple de comparare a valorilor funcției pentru două valori opuse ale argumentului. În plus, definiția unei funcții pare și impară este dată cu construcția graficelor corespunzătoare.
Se spune că funcțiile de putere la = 1, 2 și 3 (adică funcțiile), proprietățile și graficele lor, au fost studiate mai devreme. În continuare, sunt clarificate proprietățile funcției de putere și caracteristicile graficului acesteia pentru orice număr natural. Funcțiile sunt luate în considerare atunci când exponentul n este un număr par, atunci n este un număr impar. Analizați proprietățile pe exemple, conform schemei:
1. Domeniul definirii;
2. Domeniul valorii;
3. Zerourile funcției;
4. Paritate;
5. Impar;
6. Monotonitatea unei funcţii.
Următoarea secțiune a capitolului este dedicată rădăcinii a n-a, în care este introdusă definiția și sunt luate în considerare proprietățile.
Definitia se repeta: rădăcină pătrată din numărul a se numește un astfel de număr, al cărui pătrat este egal cu a. Rădăcina oricărui grad natural n este definită în mod similar: rădăcina gradului al n-lea din numărul a este un astfel de număr, puterea a n-a care este egal cu a. Pentru a face acest lucru, luăm în considerare mai întâi o funcție de putere cu un exponent impar n și graficul său, care arată că pentru orice număr a există o valoare unică x, a cărei putere a n-a este egală cu a. Atunci se consideră o funcție de putere cu un exponent par n, în plus, dacă, atunci există două valori opuse ale lui x, pentru că un astfel de număr este unul (numărul 0), deoarece nu există astfel de numere.
La sfârșitul capitolului sunt luate în considerare un grad cu exponent rațional și proprietățile sale.
Sistemul de exerciții este variat. De exemplu:
nr. 503. Trasează o funcție
nr. 508. Rezolvați ecuația grafic
nr. 513. Folosind graficul funcției, rezolvați ecuația
nr. 580. Trasează funcția
nr. 644. Trasează funcția f , știind că este impară și că valoarea ei la poate fi găsită prin formula
nr. 643. Trasează funcția
nr. 663. Trasează graficul funcției. Folosind graficul, comparați valoarea rădăcinilor
nr. 669. Trasează funcția
Manual: „Algebră. Clasa a 9-a". Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov și alții (Iluminismul, 2009)
Când studiem acest subiect, se acordă o atenție deosebită proprietăților funcțiilor și afișării acestor proprietăți pe grafice. În același timp, se formează abilitățile inițiale pentru a efectua cele mai simple transformări ale graficelor de funcții.
Structura studiului materialului:
CAPITOLUL III. Funcția de putere
§12. Domeniul de aplicare a funcției
§13. Funcția Crescător și Descrescător
§paisprezece. Funcții pare și impare
§cincisprezece. Funcţie
§16. Inegalități și ecuații care conțin putere
Scopul principal al acestui capitol este nu numai de a introduce elevii în funcția de putere, ci și de a extinde informațiile cunoscute despre proprietățile funcției în ansamblu (domeniul, monotonitatea, uniformitatea și neobișnuitatea funcției), de a dezvolta capacitatea pentru a investiga funcții conform unui grafic dat,
La studierea materialului acestui capitol, reprezentările funcționale ale elevilor sunt aprofundate și extinse semnificativ.
§12 formulează definiția funcției, argumentul și domeniul de aplicare al funcției. Se reamintește definiția graficului unei funcții, modalitățile de construire a acesteia, inclusiv cu ajutorul transformărilor elementare.
Secțiunea 13 introduce noțiunea de funcție de putere. Pe exemple și domeniul definiției este relevat; se reamintesc definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare și sunt date definițiile de creștere și scădere a unei funcții de putere.
Ideea unei funcții pare și impare este dată studenților la nivel vizual. Tutorialul acoperă două sarcini în care este necesar să se traseze funcția și. Sunt studiate proprietățile acestor funcții și, pe baza simetriei, sunt date conceptele de funcții pare sau impare.
În §15, elevii își fac o idee despre o funcție pentru diferite valori ale lui k, învață să construiască un grafic al unei funcții și să-l citească (adică să determine proprietățile unei funcții din graficul acesteia). Cu ajutorul funcției se clarifică conceptul de proporționalitate inversă, care a fost menționat doar la cursul de algebră de clasa a VIII-a.
Când se studiază o funcție pentru k > 0, la început funcția este prezentată ca un caz special al unei legi de putere: ținând cont de modificarea parametrului k.
Paragraful tratează patru probleme în care este necesară reprezentarea graficelor de funcții. În problema 1, pentru a reprezenta graficul unei funcții, se folosesc toate proprietățile funcției studiate în paragrafele anterioare. În problema 2, la construirea graficelor de funcții și, se folosește întinderea deja cunoscută a graficului funcției de-a lungul axei absciselor de 2 ori. Și, pe baza acestor două probleme, sunt formulate proprietățile funcției pentru și.
În sarcina 4, este necesar să se construiască un grafic al funcției (pe baza sarcinilor 1-2), adică, graficul acestei funcții poate fi construit prin deplasarea graficului funcției de-a lungul axei Ox la dreapta cu unul și de-a lungul Axa Oy în jos cu 2 unități.
Sistemul de exerciții prezintă diverse tipuri de sarcini: atât sarcini obligatorii, cât și sarcini suplimentare de complexitate crescută.
Printre sarcinile pentru trasarea graficelor funcțiilor de putere, se pot distinge următoarele exerciții:
№ 164. Desenați un grafic și găsiți intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare
№ 166. Desenați o schiță a graficului funcției când
№ 171. Desenați un grafic și găsiți intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare
Nr. 174. Schițați un grafic al unei funcții
Nr. 179. Aflați proprietățile unei funcții și construiți graficul acesteia
#180 Trasează o funcție
#191 Trasează o funcție
#218 Aflați dacă o funcție este pară sau impară
Elevii care studiază materialul stăpânesc concepte precum domeniul definiției, funcțiile pare și impare, funcțiile crescătoare și descrescătoare pe interval.
Elevii au întâlnit conceptul de funcții crescătoare și descrescătoare la cursul de algebră de clasa a VIII-a, dar numai la studierea acestei teme se formează definiții ale acestor concepte și, prin urmare, devine posibilă demonstrarea analitică a creșterii sau scăderii unei anumite funcții pe interval. (totuși, astfel de dovezi nu se numără printre abilitățile necesare) . Elevii învață să găsească intervale de creștere într-o funcție folosind graficul funcției în cauză.
Când studiem subiectul, exemplele de funcție de putere cu exponent fracționar nu sunt luate în considerare, deoarece conceptul de grad cu exponent rațional nu este introdus în acest curs.
Când studiază fiecare funcție specifică (inclusiv funcții), elevii vor putea să deseneze o schiță a graficului funcției în cauză și să enumere proprietățile acesteia conform graficului.
Manual: „Algebră. Invatare profunda. Clasa a 9-a." Mordkovich A. G. (Mnemozina, 2006)
Am luat manualul pentru anul 2006, deoarece acest manual, spre deosebire de edițiile ulterioare, include gradul subiectului cu un indicator rațional. În general vorbind, în prezent, această temă este studiată în liceu, dar în manualul multimedia am inclus-o ca material propedeutic.
Cartea este destinată studiului aprofundat al cursului de matematică din clasa a IX-a liceu. Acest manual se bazează pe un manual de clasa a IX-a pt institutii de invatamant(A. G. Mordkovich. Algebra-9). Implementează același program, dar diferența constă într-un studiu mai profund al problemelor relevante ale cursului: exemplele simple sunt înlocuite cu altele mai complexe și mai interesante.
Structura studiului materialului:
CAPITOLUL 4. Funcții de putere. Grade și rădăcini
§17. Putere cu un exponent întreg negativ
§optsprezece. Funcții, proprietățile lor și grafice
§19. concept rădăcina a n-a grade față de un număr real
§douăzeci. Funcții, proprietățile lor și grafice
§21. Proprietățile rădăcinii a n-a
§22. Conversia expresiilor care conțin radicali
§23. Generalizarea conceptului de exponent
§24. Funcții, proprietățile lor și grafice
În § 18 vorbim despre funcțiile de putere cu un exponent întreg, adică despre funcții etc. Acest paragraf este împărțit în puncte:
Autorul își amintește că cel mai simplu caz o astfel de funcție era considerată în clasa a VII-a – era o funcție. Această secțiune începe cu o discuție a funcției. Se construiește un grafic și proprietățile acestei funcții sunt enumerate într-o anumită ordine: 1) domeniul de definiție; 2) par, impar; 3) monotonie; 4) delimitare de jos, de sus; 5) cele mai mici și mai mari valori ale funcției; 6) continuitate; 7) intervalul de valori; 8) umflătură.
Proprietățile au fost citite din grafic, acum se propune să se demonstreze analitic existența unui număr dintre aceste proprietăți.
Autorul concluzionează că graficul oricărei funcții de putere este similar cu graficul unei funcții, doar ramurile sale sunt îndreptate în sus și sunt mai apăsate pe axa x pe segment și notează că curba atinge axa x în punctul (0; 0).
La sfârșitul paragrafului, se oferă un exemplu de construire a unui grafic al unei funcții Construcție: 1) trecerea la un sistem de coordonate auxiliar cu originea în punctul (1; -2); 2) construirea unei curbe.
1) Funcție
Proprietățile și graficul unei funcții de putere cu un exponent impar sunt mai întâi examinate folosind exemplul unei funcții al cărei grafic este o parabolă cubică.
Autorul concluzionează că graficul oricărei funcții de putere este similar cu graficul unei funcții, doar cu cât exponentul este mai mare, cu atât ramurile graficului sunt mai abrupt îndreptate în sus (și în consecință în jos) și notează că curba atinge axa x. în punctul (0; 0).
Următorul este un exemplu de utilizare a unui grafic al unei funcții de putere pentru a rezolva o ecuație. Soluția are loc în 4 etape: 1) sunt luate în considerare două funcții: și; 2) trasarea unui grafic de funcții; 2) complot funcție liniară; 4) găsiți punctul de intersecție și verificați.
2) Funcția
Vorbim despre funcții de putere cu exponent întreg negativ (chiar). Să ne uităm mai întâi la un exemplu de funcție. Este construit un grafic și sunt enumerate proprietățile acestei funcții. În special, proprietatea funcției scade după cum se dovedește.
funcția de vizualizare multimedia școală matematică
3) Funcția
În acest caz, sunt luate în considerare funcțiile de putere cu un exponent întreg negativ (impar): etc. Autorul reamintește că o astfel de funcție a fost deja studiată în clasa a VIII-a - aceasta. Proprietățile și graficul său (hiperbola) sunt amintite și se ajunge la concluzia că graficul oricărei funcții este similar cu o hiperbolă.
În § 19, este dat conceptul de rădăcină a n-a a unui număr real și, în special, se observă că din orice număr nenegativ se poate extrage rădăcina oricărui grad (al doilea, al treilea, al patrulea etc.), iar dintr-un număr negativ se poate extrage rădăcina oricărui grad impar.
În § 20, vorbim despre o funcție dată la și studiem graficul și proprietățile acesteia folosind un exemplu particular (at). Conform figurii, care prezintă graficul funcției și graficul funcției, se determină simetria acestor grafice și apoi se confirmă analitic.
În același paragraf, funcția este luată în considerare în cazul imparului pentru orice valoare. Vorbim despre proprietățile acestei funcții și construim un grafic.
Dacă este un număr par, atunci graficul funcției are forma prezentată în Fig. unu;
Dacă este un număr impar, atunci graficul funcției are forma prezentată în Fig. 2.
În § 24, considerăm o funcție de forma, - orice număr real (ne restrângem la cazurile unui exponent rațional).
1. Dacă este un număr natural, atunci obținem o funcție (graficele și proprietățile sunt cunoscute)
2. Dacă, atunci obținem o funcție, adică . În cazul unui grafic par are forma prezentată în Fig. 3a, în cazul unui grafic impar are forma prezentată în Fig. 3b
orez.
3. Dacă, adică, vorbim despre o funcție, atunci aceasta este o funcție, unde
Situația este aproximativ aceeași pentru orice funcție de putere a formei, unde:
1. - o fracție improprie (numărătorul este mai mare decât numitorul). Graficul său este o curbă similară cu o ramură de parabolă. Cu cât indicele este mai mare, cu atât această curbă este mai abruptă îndreptată în sus. Este construit un grafic și sunt date proprietățile.
2. - fracție proprie () (§ 20). Este construit un grafic și sunt date proprietățile.
Este construit un grafic și sunt date proprietățile.
În cartea de probleme „Algebra. Studiu aprofundat. Clasa a 9-a." Zavich L. I., Ryazanovsky A. R. prezintă un sistem divers de exerciții. Complexitatea sarcinilor crește pe măsură ce numărul lor de serie crește. Caietul de sarcini conține un număr mare de exerciții diferite pentru trasarea graficelor diferitelor tipuri de funcții de putere, studierea și aplicarea proprietăților acesteia.
De exemplu:
Nr. 17.05. Construiți grafice de funcții pe un singur desen
Funcții grafice
nr. 17.35. Trasează funcția
și folosind graficul, indicați intervalele monotonității sale, punctele extreme, extremele și numărul zerourilor sale.
Trasează graficele funcției:
nr. 19.01. Construiți grafice de funcții pe un singur desen
nr. 19.04. Funcții grafice
nr. 19.22. Traceți grafice și desfășurați explorarea caracteristicilor
nr. 21.01. Construiți pe un desen grafice ale funcțiilor, cu și, cu și enumerați proprietățile funcției: a) domeniul de definiție D (y); b) setul de valori E(y); c) zerouri de funcție; d) intervale de monotonie; e) intervale de convexitate; f) puncte extreme; g) extreme; h) par sau impar; i) cele mai mari și cele mai mici valori.
nr. 21.03. Trasează și explorează următoarele caracteristici
nr. 21.11. Construiți grafice de funcții pe un singur desen
pe segment
nr. 21.17. Funcții grafice
nr. 25.01. Construiți pe același desen schițe ale graficelor următoarelor perechi de funcții
nr. 25.05. Reprezentați grafice de funcții și descrieți proprietățile lor
nr. 25.06. Construiți grafice de funcții pe desenele învecinate
nr. 25.18. Funcții grafice
nr. 25.30. Funcții grafice
Analiza literaturii educaționale ne permite să tragem câteva concluzii
Având în vedere standardul principal educatie generala la matematică, vedem că elevii ar trebui să învețe următoarele tipuri de funcție de putere:
Cazuri speciale (directă, proporționalitate inversă, funcție pătratică),
Cu un indicator natural
Cu un număr întreg
Cu un exponent rațional pozitiv,
Cu un indicator rațional,
Cu un indicator irațional,
cu indicator real.
Un rol important în acest subiect îl joacă formarea imaginii graficelor de funcții. De asemenea, elevii ar trebui să fie capabili: să determine proprietățile unei funcții în funcție de graficul acesteia; descrie proprietățile funcțiilor studiate, construiește graficele acestora. Luarea în considerare a standardului ne permite să concluzionam că tema „Funcția de putere” este inclusă în minimul obligatoriu de cunoștințe, abilități și abilități ale școlarilor și, prin urmare, atenția noastră este pe deplin justificată.
Pentru a forma abilități și abilități puternice despre funcția de putere, este necesar să studiem metodologia temei „Proprietățile funcției de putere”, la care ne îndreptăm.
2. Fundamente metodologice pentru studierea temei „Proprietățile unei funcții de putere” la școală
Funcția putere aparține clasei funcțiilor elementare.
Scopul studiului său nu este doar de a introduce elevii în funcția de putere, ci și de a extinde informațiile pe care le cunosc despre proprietățile funcțiilor în general.
Când studiază subiectul „Funcția de putere”, ei folosesc în principal analitice și metoda grafica cercetarea funcţiei. În cazurile în care un studiu analitic este greu de perceput de către studenți, se folosesc metode grafice, dar acestea din urmă nu pot servi drept dovezi.
Elevii efectuează un număr mare de lucrări grafice, acordând în același timp atenție nu numai acurateței și acurateței implementării acestora, ci și metodelor raționale de construire a graficelor.
Este posibil să se formeze abilități puternice în construirea și citirea graficelor unei funcții de putere, pentru a se asigura că fiecare elev poate îndeplini principalele tipuri de sarcini în mod independent, numai dacă elevii parcurg un număr suficient de exerciții de antrenament.
De exemplu, în revista „Matematica la școală” Lopatina, L.V. oferă următorul tutorial:
Lecția-atelier își propune ca studenții să dobândească cunoștințe prin propria muncă. Acesta este principalul laitmotiv al dezvoltării pedagogiei. Subiectul „Funcția de putere” este foarte potrivit pentru munca creativă a întregii clase, deoarece funcția de putere (, unde este orice Numar rational) este de fapt un set de funcții care au proprietăți diferite în funcție de exponent.
Discuția despre aceste proprietăți este cel mai bine organizată în grupuri. Pentru a face acest lucru, este recomandabil să împărțiți clasa în șase grupuri.
În primul rând, profesorul trebuie să-și imagineze succesiunea de lucru în „atelier”:
Etapa I - inducție - apel la experiența anterioară;
Etapa a III-a - decalaj - momentul în care elevii trebuie să realizeze că există lacune în cunoștințele lor pe care ei înșiși trebuie să le umple;
Etapa a IV-a – reflecție – determinarea gradului de asimilare.
Să descriem mai detaliat fiecare dintre etapele lecției.
Etapa I - inducție. Profesorul reamintește că clasa a studiat deja funcțiile, proprietățile și graficele acestora. Aceste funcții pot fi definite în general prin formula: , unde - este un număr întreg. O astfel de funcție se numește funcție de putere. Clasa primește următoarea sarcină: să enumere întrebările la care trebuie să răspundem atunci când învățăm o nouă funcție.
Clasa discută aceste întrebări în grupuri, apoi toate întrebările celorlalte grupuri sunt colectate într-o singură listă:
Ce proprietăți are această funcție?
· Care este programul ei?
In ce situatii se foloseste?
Să începem prin a răspunde la ultima întrebare. Să dăm exemple de mai multe situații în care apare o funcție de putere.
Trei elevi merg pe rând la tablă și fac mesajele pregătite acasă.
Primul student ia în considerare funcția, unde este aria secțiunii transversale a diametrului firului. Ascultătorii observă că această funcție de putere este de fapt o funcție pătratică, dar cu restricții asupra valorii argumentului.
Al doilea elev spune că forța de atracție a două corpuri cu mase este exprimată printr-o formulă. Aceasta este o funcție a distanței dintre aceste corpuri. În clasă va fi un elev care va observa că am trasat deja o funcție de acest fel, deși nu am studiat-o în mod specific.
Al treilea elev analizează distanța orizontului față de observator: . Aceasta este o funcție a înălțimii la care observatorul este ridicat deasupra nivelului mării. Dacă băieții înșiși nu au observat acest lucru, atunci profesorul ar trebui să sublinieze că aici valoarea nu poate crește la infinit. Într-adevăr, oricât de sus este înălțat observatorul, el nu poate vedea mai mult decât îl permit posibilitățile viziunii sale și umflarea globului. Acest exemplu este mai ales orientativ, deoarece permite să se judece oportunitatea restricțiilor asupra valorilor funcției. Aici trebuie să impunem câteva restricții asupra valorilor funcției, deși valorile, teoretic vorbind, pot crește la infinit.
Etapa II – discutarea temei. Elevii au timp să analizeze proprietățile uneia dintre funcțiile de putere alese. problema principala aici în selecția funcției. Un grup tinde să simplifice sarcina limitându-se la o funcție de vizualizare care este binecunoscută tuturor studenților. Un alt grup își complică prea mult munca preluând funcția de vedere, sau chiar ambele împreună, deși abordarea generală a întrebării nu este încă clară pentru studenți.
În final, există grupuri care au ales funcții ale căror grafice au fost deja luate în considerare mai devreme, deși nu li s-a acordat accentul necesar.
Primul grup a luat în considerare funcția speciei; a marcat zona definiției sale: și valoarea zero a funcției la. Băieții s-au concentrat în special pe faptul că funcția crește pe întregul domeniu al definiției. Am evidențiat intervalele la care funcția este mai mare sau mai mică decât zero. Vorbitorii au subliniat că această funcție este ciudată și nu are nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare.
Din acest grup, un elev vorbește cu clasa, care vorbește despre rezultatele cercetărilor din grup.
Al doilea grup a ales o funcție de luat în considerare. Băieții au observat că acum vor trebui să excludă numărul 0 din zona de definire a funcției, adică. . Spre deosebire de cea anterioară, această funcție nu are zerouri. Dar, ca și cea considerată mai sus, această funcție este pozitivă pentru și negativă pentru. Ea scade pe întregul domeniu de definire.
Reprezentantul acestui grup subliniază diferențele dintre funcțiile și.
Încă doi studenți vorbesc despre funcții.
În timpul prezentărilor lor, toți vorbitorii ar trebui să demonstreze grafice ale funcțiilor luate în considerare.
În timpul celei de-a treia etape a lecției, elevii ar trebui să-și rezume cunoștințele. Și trebuie să facă asta singuri, surprinși de varietatea funcțiilor luate în considerare. „De ce li se dă un singur nume, dacă sunt atât de mulți și sunt diferiți?” Aceasta este întrebarea pe care ar trebui să și-o pună elevii. Sarcina profesorului este de a aduce în mod imperceptibil elevii la această problemă. Vine un moment al așa-zisului decalaj, când băieții trebuie să-și dea seama de neajunsurile cunoștințelor lor, limitările sau incompletitudinea lor. Într-adevăr, una dintre funcțiile considerate are zerouri, cealaltă nu. Unul crește pe întregul domeniu al definiției, celălalt fie crește, fie scade. Ce caracterizare ar trebui să dăm întregii funcții de putere astfel încât să acopere cât mai multe cazuri speciale?
În căutarea unui răspuns la această întrebare, unul dintre băieți ghicește în cele din urmă că este convenabil să asociem forma unei funcții de putere cu exponentul par sau impar.
Acum este oportun să cerem din nou grupurile să discute proprietățile funcțiilor
unde - impar;
unde este par;
unde este ciudat;
unde este chiar.
Încă o dată, notăm planul pentru studiul funcției:
Specificați domeniul de definiție.
Determinați dacă o funcție este pară sau impară (sau rețineți că nu este nici pară, nici impară).
1. Găsiți zerourile funcției, dacă există.
2. Marcați intervalele de constanță.
3. Găsiți intervale de creștere și scădere.
4. Specificați cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției.
La final, elevilor li se prezintă grafice ale funcțiilor considerate, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Aceste grafice sunt realizat de reprezentanţii fiecăreia dintre grupuri.
Acum, împreună cu clasa, construim grafice de funcții, unde este un număr natural și.
remarcat proprietate comună dintre aceste funcții: ambele au un domeniu de definire - un interval. Ambele nu sunt nici pare, nici impare. Ambele sunt mai mari decât zero.
Dar aceste funcții au și diferențe. Băieții le numesc în mod specific: funcția de vizualizare crește pe domeniul său de definiție, iar funcția de vizualizare scade pe același domeniu. Funcția formular are o valoare zero la, iar funcția formular nu are zerouri.
La etapa a IV-a, elevii ar trebui să facă reflecție, adică. determinarea gradului de asimilare a materialului. Întreaga clasă primește următoarea sarcină conform fig. 3.
Pe fig. 3, a-h prezintă schematic graficele funcțiilor care sunt date de formule
Determinați care formulă din lista dată corespunde aproximativ fiecăruia dintre diagrame a-h.
În revista „Matematica la școală” Petrov, N.P. oferă proiectul „Studiul proprietăților unei funcții de putere folosind Excel”:
Proiectul educațional descris în articolul cu tema „Studiul proprietăților funcțiilor și utilizarea foilor de calcul Excel” a fost realizat de profesorii de matematică și informatică ai liceului nostru în clasa a IX-a și a fost conceput pentru cinci lecții.
Scopul proiectului a fost de a oferi elevilor independență și inițiativă în învățare subiect nouși aplicarea practică a materialului învățat anterior.
În timpul implementării proiectului, elevii de clasa a IX-a au trebuit să arate:
· capacitatea de a formula corect sarcinile proiectului;
capacitatea de a analiza informațiile și de a trage concluzii;
Capacitatea de a interpreta corect rezultatele obținute și de a le aplica în practică.
Elevii s-au confruntat cu sarcina de a investiga comportamentul graficelor de funcții folosind programul Excel, iar apoi, pe baza datelor obținute, descriu proprietățile funcțiilor.
Ca urmare a proiectului, elevii de clasa a IX-a au fost nevoiți să învețe forma generala grafice ale funcțiilor și, învață cum să construiești și să „citești” aceste grafice, precum și să rezolvi grafic ecuații de forma = f (x).
Rețineți că munca la acest proiect a fost menită să promoveze dezvoltarea capacității școlarilor de a compara, de a evidenția caracteristicile comune și diferențele în graficele funcției de putere pentru diferite valori.
Iată o descriere pas cu pas a proiectului.
Etapa I. Pregătire (etapa exploratorie)
Trezirea interesului elevilor pentru tema proiectului are loc în procesul conversației. Elevii sunt invitați să rezolve ecuații cunoscute de ei
Se pare că băieții pot rezolva ecuația în două moduri: analitic și grafic, ecuația - într-un mod grafic. Le este greu să rezolve restul ecuațiilor, dar dacă ar fi familiarizați cu graficele funcțiilor, ar rezolva problema grafic.
Rezultatul conversației este formularea întrebării problematice: cum arată graficele funcțiilor și unde? După aceea, se stabilesc direcțiile pentru lucrări ulterioare, se formulează sarcini:
1. Folosiți Excel pentru a afla cum arată graficul funcției pentru n chiar și pentru a descrie proprietățile acestei funcții.
2. Folosiți Excel pentru a afla cum arată graficul funcției pentru n impar și pentru a descrie proprietățile acestei funcții.
3. Folosiți Excel pentru a afla cum arată graficul funcției pentru n chiar și pentru a descrie proprietățile acestei funcții.
4. Folosiți Excel pentru a afla cum arată graficul funcției pentru n impar și pentru a descrie proprietățile acestei funcții.
Apoi clasa este împărțită în grupuri de lucru. Profesorul invită elevii să se împartă în mod independent în patru grupuri (opțional) și să aleagă un lider în fiecare grupă. Când se formează grupuri, aceștia aleg unul dintre domeniile de lucru din proiect (conform sarcinilor enumerate mai sus).
Etapa II. Planificare (etapa analitică)
Profesorul ajută grupurile să întocmească un plan de lucru pentru rezolvarea problemei alese și recomandă surse pentru obținerea de informații. Elevii distribuie în mod independent rolurile în grupuri. Distribuția aproximativă a rolurilor în grup este prezentată în tabelul următor. Numărul de elevi dintr-o grupă depinde de numărul de elevi din clasă.
În aceeași etapă se discută și forma de prezentare a rezultatelor lucrării. În acest caz, a fost aleasă o prezentare pe computer folosind PowerPoint.
Etapa III. Cercetare (etapa practică)
Elevii îndeplinesc sarcinile conform planului de lucru planificat. Profesorul le supraveghează activitățile și îi sfătuiește pe elevi dacă este necesar.
Ca exemplu, vom da planul de lucru al grupului nr. 1.
1. Construirea graficelor de funcții folosind programul Excel.
2. Compararea graficelor, formularea de opțiuni pentru recomandări pentru construirea unui grafic al unei funcții pentru un natural par.
3. Determinarea proprietăților funcției conform orarului.
4. Analiza exemplelor de aplicare practică a graficului de funcții.
Pe baza studiului, studenții concluzionează că graficele de funcții ale formei pentru natural chiar n sunt curbe asemănătoare unei parabole și oferă recomandări pentru trasare: trebuie avut în vedere că graficul este simetric față de axa Oy, deci este suficient să faceți un tabel cu valorile funcției pentru valorile pozitive ale argumentului X.
În plus, în această etapă, este creat un script general de prezentare, care va fi perfecționat pe parcursul proiectului. În acest scenariu, în special, sunt determinate numărul de diapozitive, scopul fiecărui diapozitiv și principalele obiecte care ar trebui plasate pe diapozitive.
Etapele IV și V. Protecția proiectului, evaluarea rezultatelor (etape de prezentare și control)
Protecția proiectelor (în grupuri) are loc la ultima dintre lecțiile planificate.
Vă oferim acum un program de lecție pentru lucrul la acest proiect și conținutul fiecărei lecții.
Lecția 1 (Matematică)
· Declarația sarcinii proiectului. Definirea directiilor de lucru, formularea obiectivelor proiectului.
· Împărțirea în grupuri de lucru, alegerea unui lider în grupuri.
· Întocmirea unui plan de lucru pentru rezolvarea sarcinilor stabilite, repartizarea rolurilor pe grupe, alegerea formei de prezentare a rezultatelor.
Lecția 2 (informatica)
· Vorbiți despre scopul foilor de calcul Excel.
· Repetarea construcției de grafice ale diferitelor funcții folosind Excel.
· Construirea graficelor funcţiilor studiate prin Excel. Analiza informatiilor primite, formularea concluziilor.
Lecția 3 (Matematică)
Construirea și „citirea” graficelor de funcții și
· Rezolvarea ecuațiilor de formă, unde în mod grafic.
· Creați un script de prezentare.
Lecția 4 (informatica)
Repetarea scopului și principiilor programului Power Point.
· Crearea unei prezentări.
Lecția 5 (Matematică)
· Protecția proiectelor.
Dăm și noi plan general lecție – protecția proiectului.
1. Moment organizatoric.
2. Motivația de a aplica cunoștințele prin identificarea problemelor.
Discurs introductiv al profesorului
În lecția de astăzi, principalul obiect de studiu îl reprezintă funcțiile și, unde, proprietățile și graficele lor. Știți deja cum să rezolvați ecuații de gradul I (liniare) și de gradul doi (pătrate) folosind formulele rădăcinilor. Există și formule speciale de rădăcină pentru ecuațiile de gradul 3, dar sunt foarte greoaie și rar folosite în practică. Pentru ecuațiile al căror grad este mai mare decât al treilea, formule generale nu există rădăcini. Se pune problema: cum pot fi rezolvate astfel de ecuații? Se dovedește, dacă nu analitic, atunci grafic. Și pentru a aplica o metodă grafică de rezolvare a ecuațiilor de forma și, trebuie să fii capabil să trasezi funcții și, unde.
Patru grupuri au fost implicate în studiul graficelor acestor funcții. Acum fiecare dintre ei ne va familiariza cu rezultatele muncii depuse.
3. Spectacole de grup.
Prezentarea (apărarea) proiectului de către fiecare grupă, răspunsuri la întrebările adversarilor.
4. Autoevaluarea și evaluarea fiecărei performanțe de către celelalte grupuri (pe o scară de cinci puncte).
Enumerăm principalele criterii de evaluare:
corespondența conținutului cu tema declarată, acuratețea, completitudinea prezentării;
Absența erorilor
design (proiectare): modul în care aspectul diapozitivelor îndeplinește cerințele estetice;
Este textul ușor de citit? dacă imaginea se potrivește cu conținutul etc.;
persuasivitatea, argumentativitatea discursului; alfabetizarea vorbirii, cunoașterea terminologiei;
completitudinea răspunsurilor la întrebări.
Separat, se evaluează interacțiunea în grup: sociabilitatea, respectul și atenția față de ceilalți participanți, activitate.
Se calculează numărul total de puncte câștigate și scorul de evaluare (scor mediu aritmetic); pe baza acestora, se face o evaluare a participării la proiect.
5. Discutarea contribuției fiecărui elev la proiect și notare.
6. Însumarea (reflecție).
7. Cuvântul final al profesorului
În timpul activității proiectului pe această temă, ați răspuns la întrebarea ce sunt și graficele funcțiilor și ați dat recomandări despre cum să le construiți. Acum puteți rezolva câteva ecuații de formă și grafic. Mulțumim tuturor elevilor pentru munca lor creativă și fructuoasă, care a contribuit la atingerea scopurilor proiectului.
Având în vedere cele de mai sus, în manualul nostru am încercat să reflectăm o abordare sistematică a studiului funcției puterii. Pentru a minimiza dificultățile de lucru cu un computer, am încercat să facem o navigare convenabilă și naturală și să ținem cont de cerințele pentru software didactic.
Sunteți familiarizat cu caracteristicile y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică funcția y=x p, unde p este un număr real dat. Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care Xși p are sens X p. Să trecem la o considerație similară a diferitelor cazuri în funcție de exponent p.
Index p=2n este un număr natural par.
În acest caz, funcția de putere y=x 2n, Unde n este un număr natural, are următoarele
proprietati:
domeniul de definiție este toate numerele reale, adică mulțimea R;
set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
funcţie y=x 2n chiar, pentru că X 2n =(-x) 2n
funcția este în scădere pe interval X<0 și crescând pe interval x>0.
Graficul funcției y=x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul unei funcții y=x 4 .
2. Indicator p=2n-1- număr natural impar În acest caz, funcția de putere y=x 2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:
domeniul definirii - multimea R;
set de valori - set R;
funcţie y=x 2n-1 ciudat pentru că (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;
funcția este în creștere pe toată axa reală.
Graficul funcției y=x2n-1 are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y=x3.
3.Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x -2n =1/x 2n are urmatoarele proprietati:
set de valori - numere pozitive y>0;
funcția y =1/x 2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n =1/x 2n ;
funcția crește pe intervalul x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Graficul funcției y =1/x 2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y =1/x 2 .
4.Indicator p=-(2n-1), Unde n- numar natural. În acest caz, funcția de putere y=x -(2n-1) are urmatoarele proprietati:
domeniul de definitie - multimea R, cu exceptia x=0;
set de valori - set R, cu excepția y=0;
funcţie y=x -(2n-1) ciudat pentru că (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;
funcția este descrescătoare pe intervale X<0 și x>0.
Graficul funcției y=x -(2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y=1/x 3 .
Funcții trigonometrice inverse, proprietățile și graficele lor.
Funcții trigonometrice inverse, proprietățile și graficele lor.Funcții trigonometrice inverse (funcții circulare, arcfuncții) sunt funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice.
funcția arcsin
Graficul funcției 
.
arcsinus numere m se numește un astfel de unghi X, pentru care
Funcția este continuă și mărginită pe întreaga sa linie reală. Funcţie 
este strict în creștere.
[Edit] Proprietăți ale funcției arcsin
[Edit] Obținerea funcției arcsin
Dată o funcție De-a lungul ei domenii ea este monoton pe bucati, și de aici corespondența inversă 
nu este o funcție. Prin urmare, luăm în considerare intervalul pe care crește strict și ia toate valorile intervale- . Deoarece pentru o funcție pe interval, fiecare valoare a argumentului corespunde unei singure valori a funcției, atunci pe acest segment există funcție inversă 
al cărui grafic este simetric cu graficul unei funcții pe un segment în raport cu o dreaptă
1. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia;
2. Transformări:
transfer paralel;
Simetrie asupra axelor de coordonate;
Simetrie cu privire la origine;
Simetria cu privire la dreapta y = x;
Întindere și micșorare de-a lungul axelor de coordonate.
3. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare;
4. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia;
5. Funcția trigonometrică, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Funcția: y = x\n - proprietățile și graficul acesteia.
Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică funcția y = xp, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care Xși p are sens xp. Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.
- Index p = 2n este un număr natural par.
y=x2n, Unde n este un număr natural și are următoarele proprietăți:
- domeniul de aplicare - toate numere reale, adică mulţimea R;
- set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
- funcţie y=x2n chiar, pentru că x 2n = (-x) 2n
- funcția este în scădere pe interval X< 0 și crescând pe interval x > 0.
Graficul funcției y=x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul unei funcții y=x4.
2. Indicator p = 2n - 1- număr natural impar
În acest caz, funcția de putere y=x2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:
- domeniul definirii - multimea R;
- set de valori - set R;
- funcţie y=x2n-1 ciudat pentru că (- x) 2n-1= x2n-1;
- funcția este în creștere pe toată axa reală.
Graficul funcției y=x2n-1 y=x3.
3. Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-2n=1/x2n are urmatoarele proprietati:
- set de valori - numere pozitive y>0;
- funcția y = 1/x2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- funcția crește pe intervalul x0.
Graficul funcției y = 1/x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x2.
4. Indicator p = -(2n-1), Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-(2n-1) are urmatoarele proprietati:
- domeniul de definiție este mulțimea R, cu excepția x = 0;
- set de valori - set R, cu excepția y = 0;
- funcţie y=x-(2n-1) ciudat pentru că (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- funcția este descrescătoare pe intervale X< 0 și x > 0.
Graficul funcției y=x-(2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x3.
