Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai multe cazuri simple tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina gradului al n-lea din numărul a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul cu al n-lea grad. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile atunci când se extrag rădăcini. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina dintr-un număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să fie extrasă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca un produs al tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 … p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Soluţie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate din paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcină 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . În acest fel, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169.

Soluţie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Soluţie.

Imaginează-ți originalul zecimal sub forma unei fracții ordinare: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. pentru că 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina dintr-un număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina din numărul pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum număr mixtînlocuiți cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii în primul pas este 2 , în a doua - 2,2 , în a treia - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9, calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Utilizatorii foilor de calcul folosesc pe scară largă funcția rădăcină pătrată. Deoarece lucrul cu date necesită de obicei procesarea unor numere mari, poate fi destul de dificil de numărat manual. În acest articol, veți găsi o analiză detaliată a problemei extragerii rădăcinii oricărui grad în Excel.

O sarcină destul de ușoară, deoarece programul are o funcție separată care poate fi luată din listă. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți următoarele:

1. Selectați celula în care doriți să scrieți funcția făcând clic pe ea o dată cu butonul stâng al mouse-ului. Va apărea un contur negru, rândul și coloana active vor fi evidențiate în portocaliu, iar numele va apărea în celula adresei.

   

2. Faceți clic pe butonul „fx” („Inserare funcție”), care se află deasupra numelor coloanelor, după celula adresei, înaintea barei de formule.

   

3. Va apărea un meniu derulant în care trebuie să găsiți funcția „Root”. Acest lucru se poate face în categoria „Matematică” sau în „Lista alfabetică completă” prin derularea meniului de mai jos cu mouse-ul.

   

4. Selectați elementul „Root” făcând clic o dată cu butonul stâng al mouse-ului, apoi - butonul „OK”.

   

5. Va apărea următorul meniu - „Argumente ale funcției”.

   

6. Introduceți un număr sau selectați celula în care a fost scrisă această expresie sau formulă în prealabil, pentru a face acest lucru, faceți clic stânga o dată pe linia „Număr”, apoi mutați cursorul peste celula de care aveți nevoie și faceți clic pe ea. Numele celulei va fi completat automat într-un șir.

   

7. Faceți clic pe butonul „OK”.

   

8. Și totul este gata, funcția a calculat rădăcina pătrată, scriind rezultatul în celula selectată.

   

De asemenea, este posibil să extrageți rădăcina pătrată a sumei unui număr și a unei celule (datele care sunt completate în această celulă) sau două celule, pentru aceasta, introduceți valorile în linia „Număr”. Scrieți un număr și faceți clic o dată pe celulă, programul va pune semnul de adunare în sine.

Pe o notă! Această funcție poate fi introdusă și manual. Introduceți următoarea expresie în bara de formule: „=SQRT(x)”, unde x este numărul pe care îl căutați.

Extragerea rădăcinilor de gradul 3, 4 și alte grade.

Nu există o funcție separată pentru rezolvarea acestei expresii în Excel. Pentru a extrage rădăcina a n-a, trebuie mai întâi să o considerați din punct de vedere matematic.

Rădăcina a n-a este egală cu ridicarea numărului la puterea opusă (1/n). Adică, rădăcina pătrată corespunde numărului cu puterea lui ½ (sau 0,5).

De exemplu:

• a patra rădăcină a lui 16 este 16 la puterea lui ¼;
• rădăcină cubă de 64 = 64 la puterea 1/3;

Există două moduri de a efectua această acțiune într-un program de calcul tabelar:

1. Cu o funcție.
2. Folosind semnul gradului „^”, introduceți manual expresia.

Extragerea unei rădăcini de orice grad folosind o funcție

1. Selectați celula dorită și faceți clic pe „Inserare funcție” în fila „Formule”.

   

2. Extindeți lista în elementul „Categorie”, în categoria „Matematică” sau „Lista alfabetică completă”, găsiți funcția „Grad”.

   

   

3. În linia „Număr”, introduceți un număr (în cazul nostru, acesta este numărul 64) sau un nume de celulă făcând clic pe el o dată.

   

4. În linia „Putere” introduceți puterea la care doriți să ridicați rădăcina (1/3).

   

   Important! Simbolul „/” trebuie folosit pentru a indica semnul de divizare, și nu semnul standard de împărțire „:”.

5. Faceți clic pe „OK” și rezultatul acțiunii va apărea în celula selectată inițial.

   

   

Notă! Pentru cele mai detaliate instrucțiuni cu o fotografie despre lucrul cu funcții, consultați articolul de mai sus.

Extragerea rădăcinii oricărui grad folosind semnul gradului „^”

Notă! Puteți scrie gradul ca o fracție sau ca un număr zecimal. De exemplu, fracția ¼ poate fi scrisă ca 0,25. Pentru a separa zecimi, sutimi, miimi și așa mai departe, folosiți o virgulă, așa cum este obișnuit în matematică.

Exemple de scriere a expresiei

Pentru a utiliza cu succes operația de extragere a rădăcinii în practică, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinii.

Teorema 1. Rădăcină gradul al n-lea(n=2, 3, 4,...) din produsul a două chipset-uri nenegative este egal cu produsul rădăcinilor a n-a ale acestor numere:

Cometariu:

1. Teorema 1 rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de două numere nenegative.

Teorema 2.În cazul în care un, și n este un număr natural mai mare decât 1, apoi egalitatea

Teorema 1 ne permite să înmulțim m numai rădăcini de acelaşi grad , adică numai rădăcini cu același exponent.

Teorema 3. Dacă ,k este un număr natural și n este un număr natural mai mare decât 1, apoi egalitatea

Cu alte cuvinte, pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia rădăcinii la această putere.
Aceasta este o consecință a teoremei 1. Într-adevăr, de exemplu, pentru k = 3 obținem

Teorema 4. Dacă ,k, n sunt numere naturale mai mari decât 1, apoi egalitatea

Cu alte cuvinte, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulțiți exponenții rădăcinilor.
De exemplu,

Atenție! Am aflat că pe rădăcini pot fi efectuate patru operații: înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinii (din rădăcină). Dar cum rămâne cu adunarea și scăderea rădăcinilor? În nici un caz.
De exemplu, nu poți scrie în loc de Într-adevăr, dar este evident că

Teorema 5. Dacă indicatorii rădăcinii și expresia rădăcinii sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica, i.e.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 2 calculati
Soluţie. Convertiți numărul mixt într-o fracție improprie.
Avem Folosind a doua proprietate a rădăcinilor ( teorema 2 ), primim:

Exemplul 3 Calculati:

Soluţie. Orice formulă în algebră, după cum știți bine, este folosită nu numai „de la stânga la dreapta”, ci și „de la dreapta la stânga”. Deci, prima proprietate a rădăcinilor înseamnă că poate fi reprezentată ca și, invers, poate fi înlocuită cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Având în vedere acest lucru, să facem calculele.

Felicitări: astăzi vom analiza rădăcinile - unul dintre cele mai uluitoare subiecte ale clasei a VIII-a. :)

Mulți oameni se încurcă cu privire la rădăcini nu pentru că sunt complexe (ceea ce este complicat - câteva definiții și alte câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite prin astfel de sălbăticii încât doar autorii manualelor înșiși pot. înțelegi această mâzgălire. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a rădăcinii - singura pe care trebuie să o amintiți cu adevărat. Și numai atunci voi explica: de ce toate acestea sunt necesare și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi, amintiți-vă un punct important, despre care, dintr-un anumit motiv, mulți compilatori de manuale „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și orice $\sqrt(a)$ și $\sqrt(a)$) și grad impar (orice $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția rădăcinii unui grad impar este oarecum diferită de cea pară.

Aici, în acest nenorocit de „oarecum diferit” este ascuns, probabil, 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ un număr $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina unui grad impar din același număr $a$ este în general orice număr $b$ pentru care aceeași egalitate este valabilă: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (un grad impar), care se găsește adesea și în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce avem nevoie de rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți studenți vor întreba: „Ce au fumat matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce avem nevoie de toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem pentru un moment la școala elementară. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele erau mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect cifrele. Ei bine, ceva în spiritul „cinci pe cinci - douăzeci și cinci”, asta-i tot. Dar la urma urmei, puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, patru și în general seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că au fost nevoiți să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

Așa că au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ca acesta:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse de câteva ori și nu poți cheltui o grămadă de foi de caiete de pergament pentru a nota niște 5 183 . O astfel de intrare a fost numită gradul unui număr, au fost găsite o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o băutură grandioasă, care a fost organizată doar despre „descoperirea” gradelor, un matematician special lapidat a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar nu știm numărul în sine?” Într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, de exemplu, dă 243 puterii a 5-a, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea diplomelor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsiți un anumit număr, care, atunci când este înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este în mod clar mai mare decât 3 deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar cu ce este egal - FIG veți înțelege.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. De aceea a fost introdusă pictograma radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna același număr $b$, care, la puterea specificată, ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de luat în considerare - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă te gândești la un număr arbitrar și apoi încerci să extragi rădăcina unui grad arbitrar din acesta, te afli într-o dezamăgire crudă.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri sunt, în primul rând, destul de aspre; și în al doilea rând, trebuie să poți lucra și cu valori aproximative, altfel poți prinde o grămadă de erori neevidente (apropo, priceperea de comparare și rotunjire este neapărat verificată la examenul de profil).

Prin urmare, în matematica serioasă, nu se poate face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, precum fracțiile și numerele întregi pe care le cunoaștem de mult.

Imposibilitatea reprezentării rădăcinii ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este Numar rational. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical, sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, grade, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Luați în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, prin aspect rădăcina este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de dată ne oferă doar câteva primele cifre număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile ca $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Pentru asta au fost inventate. Pentru a fi ușor de scris răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice sunt extrase cu calm din absolut orice număr - chiar pozitiv, chiar negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care intersectează parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) _(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, deci este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? Cele 4 au două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de înregistrări de parcă ar vrea să te mănânce? :)

Problema este că, dacă nu sunt impuse condiții suplimentare, atunci cei patru vor avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă. y, adică nu ia valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea, definiția unei rădăcini pare $n$ prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să aruncăm o privire la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de cea obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, la orice înălțime tragem o linie orizontală, această linie se va intersecta cu siguranță cu graficul nostru. Prin urmare, rădăcina cubă poate fi luată întotdeauna, absolut din orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr să luați în considerare rădăcina „corectă” și care să punctați. De aceea, definirea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru unul par (nu există o cerință de non-negativitate).

Păcat că aceste lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu argumentez: ce este o rădăcină aritmetică - trebuie să știi și tu. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, deoarece fără ea, toate reflecțiile asupra rădăcinilor multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. Altfel, din cauza abundenței de termeni, în capul tău va începe o astfel de mizerie încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Și tot ce trebuie să înțelegeți este diferența dintre numerele pare și impare. Prin urmare, vom colecta încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină pară există numai dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capacul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Clar? Da, este evident! Prin urmare, acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au o mulțime de proprietăți și restricții ciudate - aceasta va fi o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „cip”, care se aplică numai rădăcinilor cu un exponent uniform. Scriem această proprietate sub forma unei formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina de același grad din aceasta, vom obține nu numărul original, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care este ușor de demonstrat (este suficient să luăm în considerare separat $x$ nenegativi și apoi să le luăm separat pe cele negative). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar de îndată ce vine vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică ecuații care conțin semnul radicalului), elevii uită împreună această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele timp de un minut și să încercăm să numărăm două numere înainte:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Acestea sunt exemple foarte simple. Primul exemplu va fi rezolvat de majoritatea oamenilor, dar pe al doilea, mulți se lipesc. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Se va obține un număr nou, care poate fi găsit chiar și în tabelul înmulțirii;
2. Și acum din acest număr nou este necesar să extragem rădăcina gradului al patrulea. Acestea. nu există o „reducere” a rădăcinilor și a gradelor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să ne ocupăm de prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, pentru care trebuie să-l înmulțim cu el însuși de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este de 4 bucăți și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus cu un minus dă un plus). Apoi, extrageți din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu a putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul va fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de modulul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția rădăcinii unui grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical este întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina nu este definită.

Notă privind ordinea operațiunilor

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că un număr nenegativ se află întotdeauna sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ oricum;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că mai întâi extragem rădăcina dintr-un anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ în ​​niciun caz nu poate fi negativ - aceasta este o cerință obligatorie încorporată în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, presupunând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă există un număr negativ sub rădăcină, iar exponentul său este par, vom avea o mulțime de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există pentru cei pare. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți scoate un minus de sub semnul rădăcinilor unui grad impar. Aceasta este o proprietate foarte utilă care vă permite să „aruncați” toate minusurile:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a intrat sub rădăcină și gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient să „arunci” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” ne vor duce garantat la o eroare. .

Și aici intră în scenă o altă definiție - chiar cea cu care majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlni!

rădăcină aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că numai numerele pozitive sau, în cazuri extreme, zero pot fi sub semnul rădăcinii. Să punctăm pe indicatorii par / impar, să punctăm pe toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi obținem rădăcina aritmetică - se intersectează parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică de gradul $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum puteți vedea, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice deja familiare nouă:

După cum puteți vedea, de acum înainte, ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul de a înrădăcina un număr negativ sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o astfel de definiție castrată?” Sau: „De ce nu ne descurcăm cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate, din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula exponentiatiei:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Aici sunt cateva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ei bine, ce e în neregulă cu asta? De ce nu am putut să o facem înainte? Iata de ce. Luați în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ este un număr destul de normal în sensul nostru clasic, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz, am scos minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece indicatorul este impar), iar în al doilea, am folosit formula de mai sus. Acestea. din punct de vedere al matematicii totul se face dupa reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să dea o erezie completă în cazul numerelor negative.

Aici, pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate, au venit cu rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, unde luăm în considerare în detaliu toate proprietățile lor. Așa că acum nu ne vom opri asupra lor - oricum lecția s-a dovedit a fi prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme: să fac acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă, am decis să plec de aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu mai la nivelul mediu „școlar”, ci la nivelul apropiat de Olimpiada.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii gradului $n$-lea dintr-un număr și împărțirea asociată în indicatori pari și impari, există o definiție mai „adultă”, care nu depinde de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. O rădăcină $n$-a algebrică a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire bine stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că puneți o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că rădăcina algebrică nu este un număr specific, ci o mulțime. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set este de doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când este necesară găsirea unei rădăcini algebrice de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare de la zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, o astfel de aliniere este posibilă numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Calculați expresii:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Soluţie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcinii este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Avem un set gol. Pentru că nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra (adică, chiar!) Putere, să ne dea un număr negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este foarte posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ și multe alte lucruri ciudate acolo.

Cu toate acestea, în modern curs şcolarÎn matematică, numerele complexe nu se găsesc aproape niciodată. Acestea au fost omise din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.

Asta e tot. În lecția următoare, vom analiza toate proprietățile cheie ale rădăcinilor și, în sfârșit, vom învăța cum să simplificăm expresiile iraționale. :)

M-am uitat din nou la farfurie... Și, să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Așteptaţi un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? La fel! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet independent:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Amintiți-vă că formula vedere generala arata asa:

Și asta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la exemple:

Asta e toată știința. Și iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă expresia arată astfel:

Trebuie doar să aplicați formula invers:

Și iată un exemplu:

Puteți vedea și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini într-o anumită măsură.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

Totul este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Rămâneți la aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu puteri.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni extrem de clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extragi rădăcina dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvă propriile exemple:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcinii

Ceea ce pur și simplu nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este destul de ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Încercați acest exemplu pentru dvs.:
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci un număr sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - luați în considerare cum să comparați numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparație rădăcină

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta e!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină?

Apoi înainte:

Ei bine, evident ce mai mult număr sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. dacă înseamnă .

De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne speriam, actionam! Descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Și acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, ai dreptate!

Acum încearcă acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, suntem în dinți.

Ei bine, să începem factorizarea, nu? Imediat, observăm că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, ai dreptate!

Rezumând

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. Când comparăm rădăcinile pătrate, trebuie amintit că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes la examene!