Nu pierde. Abonați-vă și primiți un link către articol în e-mailul dvs.

Interacționând zilnic în muncă sau în studiu cu numere și numere, mulți dintre noi nici măcar nu bănuim că există o lege foarte interesantă numere mari folosit, de exemplu, în statistică, economie și chiar în cercetarea psihologică și pedagogică. Se referă la teoria probabilității și spune că media aritmetică a oricărui eșantion mare dintr-o distribuție fixă ​​este aproape de așteptările matematice ale acestei distribuții.

Probabil ați observat că nu este ușor de înțeles esența acestei legi, mai ales pentru cei care nu sunt deosebit de prietenoși cu matematica. Pe baza acestui lucru, am dori să vorbim despre asta limbaj simplu(pe cât posibil, desigur), astfel încât toată lumea să poată înțelege cel puțin de la sine despre ce este vorba. Aceste cunoștințe te vor ajuta să înțelegi mai bine unele modele matematice, să devii mai erudit și să influențezi pozitiv.

Concepte ale legii numerelor mari și interpretarea acesteia

Pe lângă definiția de mai sus a legii numerelor mari în teoria probabilităților, putem oferi interpretarea economică a acesteia. În acest caz, este principiul că frecvența unui anumit tip de pierdere financiară poate fi prezisă cu un grad ridicat de certitudine atunci când există nivel inalt pierderi de astfel de tipuri în general.

În plus, în funcție de nivelul de convergență al trăsăturilor, putem distinge legile slabe și întărite ale numerelor mari. Despre cei slabi vorbim, când convergența există în probabilitate și despre îmbunătățită - când convergența există în aproape orice.

Dacă o interpretăm puțin diferit, atunci ar trebui să spunem asta: este întotdeauna posibil să găsim un astfel de număr finit de încercări, unde, cu orice probabilitate preprogramată mai mică de unu, frecvența relativă de apariție a unui eveniment va diferi foarte puțin de probabilitatea acestuia.

Astfel, esența generală a legii numerelor mari poate fi exprimată astfel: rezultatul acțiunii complexe a unui număr mare de factori aleatori identici și independenți va fi un astfel de rezultat care nu depinde de întâmplare. Și vorbind și mai simplu, atunci în legea numerelor mari, legile cantitative ale fenomenelor de masă se vor manifesta clar doar atunci când există un număr mare de ele (de aceea legea numerelor mari se numește lege).

Din aceasta putem concluziona că esența legii constă în faptul că în numerele care se obțin prin observarea în masă există o oarecare corectitudine, care nu poate fi depistată într-un număr mic de fapte.

Esența legii numerelor mari și exemplele ei

Legea numerelor mari exprimă cele mai generale modele ale accidentalului și necesarului. Când abaterile aleatoare „se sting” reciproc, mediile determinate pentru aceeași structură iau forma unor tipice. Ele reflectă funcționarea faptelor esențiale și permanente în condițiile specifice de timp și loc.

Regularitățile definite de legea numerelor mari sunt puternice doar atunci când reprezintă tendințe de masă și nu pot fi legi pentru cazuri individuale. Astfel, principiul statistici matematice, care spune că acțiunea complexă a unui număr de factori aleatori poate determina un rezultat non-aleatoriu. Și cel mai frapant exemplu de funcționare a acestui principiu este convergența frecvenței de apariție a unui eveniment aleatoriu și probabilitatea acestuia atunci când numărul de încercări crește.

Să ne amintim de aruncarea obișnuită a monedelor. Teoretic, capul și cozile pot cădea cu aceeași probabilitate. Aceasta înseamnă că, dacă, de exemplu, o monedă este aruncată de 10 ori, 5 dintre ele ar trebui să iasă cu cap și 5 să iasă cu cap. Dar toată lumea știe că acest lucru nu se întâmplă aproape niciodată, deoarece raportul dintre frecvența capetelor și coziilor poate fi 4 la 6 și 9 la 1 și 2 la 8 etc. Cu toate acestea, cu o creștere a numărului de aruncări de monede, de exemplu, până la 100, probabilitatea ca capul sau cozile să cadă ajunge la 50%. Dacă, teoretic, se efectuează un număr infinit de astfel de experimente, probabilitatea ca o monedă să cadă pe ambele părți va tinde întotdeauna la 50%.

Modul exact în care va cădea moneda este influențat de un număr mare de factori aleatori. Aceasta este poziția monedei în palmă și forța cu care se face aruncarea, înălțimea căderii și viteza acesteia etc. Dar dacă există multe experimente, indiferent de modul în care acţionează factorii, se poate argumenta întotdeauna că probabilitatea practică este apropiată de probabilitatea teoretică.

Și iată un alt exemplu care va ajuta la înțelegerea esenței legii numerelor mari: să presupunem că trebuie să estimăm nivelul câștigurilor oamenilor dintr-o anumită regiune. Dacă luăm în considerare 10 observații, în care 9 persoane primesc 20 de mii de ruble și 1 persoană - 500 de mii de ruble, media aritmetică va fi de 68 de mii de ruble, ceea ce, desigur, este puțin probabil. Dar dacă luăm în considerare 100 de observații, în care 99 de persoane primesc 20 de mii de ruble și 1 persoană - 500 de mii de ruble, atunci când se calculează media aritmetică, obținem 24,8 mii de ruble, ceea ce este deja mai aproape de starea reală a lucrurilor. Prin creșterea numărului de observații, vom forța valoarea medie să tindă spre valoarea adevărată.

Tocmai din acest motiv, pentru aplicarea legii numerelor mari, este nevoie mai întâi de a culege material statistic pentru a obține rezultate veridice prin studierea număr mare observatii. De aceea este convenabil să folosim această lege, din nou, în statistică sau în economia socială.

Rezumând

Importanța legii lucrului în număr mare nu poate fi supraestimată în niciun domeniu. cunoștințe științifice, și mai ales pentru evoluții științificeîn domeniul teoriei statisticii şi metodelor cunoaşterii statistice. Acțiunea legii este de mare importanță și pentru obiectele studiate în sine cu regularitățile lor de masă. Aproape toate metodele de observare statistică se bazează pe legea numerelor mari și pe principiul statisticii matematice.

Dar, chiar și fără a lua în considerare știința și statistica ca atare, putem concluziona cu siguranță că legea numerelor mari nu este doar un fenomen din domeniul teoriei probabilităților, ci un fenomen pe care îl întâlnim aproape în fiecare zi în viața noastră.

Sperăm că acum ți-a devenit mai clară esența legii numerelor mari și o poți explica cu ușurință și simplu altcuiva. Și dacă subiectul matematicii și teoriei probabilităților vă interesează în principiu, atunci vă recomandăm să citiți despre și. De asemenea, faceți cunoștință cu și. Și, bineînțeles, fiți atenți la ale noastre, pentru că după ce o treceți, nu numai că veți stăpâni noi tehnici de gândire, ci vă veți îmbunătăți și abilitățile cognitive în general, inclusiv cele matematice.

LEGEA NUMERELOR MARI

un principiu general, în virtutea căruia combinarea factorilor aleatori duce, în anumite condiții foarte generale, la un rezultat aproape independent de întâmplare. Convergența frecvenței de apariție a unui eveniment aleatoriu cu probabilitatea sa cu o creștere a numărului de încercări (remarcat mai întâi, aparent, în jocurile de noroc) poate servi ca prim exemplu de funcționare a acestui principiu.

La cumpăna dintre secolele al XVII-lea și al XVIII-lea. J. Bernoulli a demonstrat o teoremă care afirmă că într-o succesiune de încercări independente, în fiecare dintre care apariția unui anumit eveniment A are aceeași valoare, relația este adevărată:

pentru orice - numărul de apariții ale evenimentului în primele încercări, - frecvența aparițiilor. Acest teorema Bernoulli a fost extins de S. Poisson la cazul unei secvențe de încercări independente, unde probabilitatea apariției unui eveniment A poate depinde de numărul procesului. Fie această probabilitate pentru a k-a încercare să fie egală și fie

Apoi Teorema Poisson afirmă că

pentru orice Prima rigoare a acestei teoreme a fost dată de PL Cebyshev (1846), a cărui metodă este complet diferită de metoda lui Poisson și se bazează pe anumite considerații extreme; S. Poisson a derivat (2) dintr-o formulă aproximativă pentru probabilitatea specificată, bazată pe utilizarea legii Gauss și la acel moment încă nejustificată. S. Poisson a întâlnit pentru prima dată termenul „legea numerelor mari”, pe care l-a numit generalizarea teoremei lui Bernoulli.

O generalizare suplimentară naturală a teoremelor Bernoulli și Poisson apare dacă observăm că variabile aleatoare poate fi reprezentat ca o sumă

variabile aleatoare independente, unde dacă A apare în Testul A-m, și - in caz contrar. În același timp, matematică așteptarea (coincide cu media aritmetică a așteptărilor matematice) este egală cu p pentru cazul Bernoulli și pentru cazul Poisson. Cu alte cuvinte, în ambele cazuri, se ia în considerare abaterea mediei aritmetice X k din media aritmetică a lor matematică. așteptări.

În lucrarea lui P. L. Chebyshev „Pe valori medii” (1867), s-a stabilit că pentru variabile aleatoare independente relația

(pentru orice ) este adevărat în ipoteze foarte generale. P. L. Cebyshev a presupus că matematica. așteptările sunt toate mărginite de aceeași constantă, deși reiese clar din dovada sa că este suficient să se ceară ca variațiile să fie mărginite.

sau chiar cereri

Astfel, P. L. Chebyshev a arătat posibilitatea unei generalizări ample a teoremei lui Bernoulli. A. A. Markov a remarcat posibilitatea unor generalizări ulterioare și a sugerat utilizarea numelui B. h. la întregul set de generalizări ale teoremei lui Bernoulli [și, în special, la (3)]. Metoda lui Cebyshev se bazează pe stabilirea exactă a proprietăților generale ale matematicii. aşteptărilor şi asupra utilizării aşa-numitelor. inegalități Cebyshev[pentru probabilitatea (3) dă o estimare a formei

această limită poate fi înlocuită cu una mai precisă, desigur, cu restricții mai semnificative, vezi Fig. inegalitatea Bernstein]. Dovezi ulterioare ale diferitelor forme de B. h. într-o oarecare măsură, ele sunt o dezvoltare a metodei Chebyshev. Aplicând „reducerea” corespunzătoare a variabilelor aleatoare (înlocuindu-le cu variabile auxiliare, și anume: , dacă unde sunt unele constante), A. A. Markov a extins B. cap. pentru cazurile în care variațiile termenilor nu există. De exemplu, el a arătat că (3) este valabil dacă pentru unele constante și toată lumea și

Fenomenul de stabilizare a frecvenței de apariție a evenimentelor întâmplătoare, descoperit pe un material mare și variat, nu a avut la început nicio justificare și a fost perceput ca un fapt pur empiric. Primul rezultat teoretic în acest domeniu a fost celebra teoremă Bernoulli publicată în 1713, care a pus bazele legilor numerelor mari.

Teorema lui Bernoulli, în conținutul său, este o teoremă limită, adică o declarație cu sens asimptotic, care spune ce se va întâmpla cu parametrii probabilistici cu un număr mare de observații. Precursorul tuturor afirmațiilor moderne numeroase de acest tip este tocmai teorema lui Bernoulli.

Astăzi se pare că legea matematică a numerelor mari este o reflectare a unora proprietate comună multe procese reale.

Având dorința de a da legii numerelor mari cât mai multă amploare, corespunzătoare posibilităților potențiale departe de epuizate de aplicare a acestei legi, unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului nostru A. N. Kolmogorov și-a formulat esența astfel: legea numerelor mari. este „un principiu general, în virtutea căruia acţiunea cumulativă a unui număr mare de factori aleatori duce la un rezultat aproape independent de întâmplare.

Astfel, legea numerelor mari are, parcă, două interpretări. Unul este matematic, asociat cu modele, formulări, teorii matematice specifice, iar al doilea este mai general, depășind acest cadru. Cea de-a doua interpretare este asociată cu fenomenul de formare, deseori remarcat în practică, a unei acțiuni dirijate într-un grad sau altul pe fondul unui număr mare de factori care acționează ascunși sau vizibili care nu au o astfel de continuitate în exterior. Exemple legate de a doua interpretare sunt stabilirea prețurilor pe piața liberă, formarea opiniei publice cu privire la o anumită problemă.

După ce am remarcat această interpretare generală a legii numerelor mari, să ne întoarcem la formulările matematice specifice ale acestei legi.

După cum am spus mai sus, prima și fundamental cea mai importantă pentru teoria probabilității este teorema lui Bernoulli. Conținutul acestui fapt matematic, care reflectă una dintre cele mai importante regularități ale lumii înconjurătoare, se reduce la următoarele.

Luați în considerare o secvență de teste neînrudite (adică independente), ale căror condiții sunt reproduse invariabil de la test la test. Rezultatul fiecărui test este apariția sau neapariția evenimentului care ne interesează. DAR.

Această procedură (schema Bernoulli) poate fi considerată, evident, tipică pentru multe domenii practice: „băiat – fată” în succesiunea nou-născuților, observații meteorologice zilnice („a plouat – nu a fost”), controlul fluxului de produse fabricate („ normal - defect") etc.

Frecvența producerii evenimentului DAR la Pîncercări ( t A -

frecvența evenimentelor DARîn P teste) are cu crestere P tendința de a-și stabiliza valoarea, acesta este un fapt empiric.

teorema lui Bernoulli. Să alegem orice număr pozitiv arbitrar mic e. Atunci

Subliniem că faptul matematic stabilit de Bernoulli într-un anumit model matematic(în schema Bernoulli) nu trebuie confundată cu regularitatea stabilită empiric a stabilității frecvenței. Bernoulli nu s-a mulțumit doar cu enunțul formulei (9.1), ci, ținând cont de nevoile practicii, a dat o estimare a inegalității prezente în această formulă. Vom reveni la această interpretare mai jos.

Legea numerelor mari a lui Bernoulli a fost subiectul cercetărilor unui număr mare de matematicieni care au căutat să o rafinească. Un astfel de rafinament a fost obținut de matematicianul englez Moivre și se numește în prezent teorema Moivre-Laplace. În schema Bernoulli, luați în considerare succesiunea de mărimi normalizate:

Teorema integrală a lui Moivre - Laplace. Alegeți oricare două numere X (și x 2 .În acest caz, x, x 7, apoi când P -» °°

Dacă se află în partea dreaptă a formulei (9.3) variabila x x tinde spre infinit, atunci limita rezultată, care depinde doar de x 2 (în acest caz, indicele 2 poate fi eliminat), va fi o funcție de distribuție, se numește distribuție normală standard, sau legea lui Gauss.

Partea dreaptă a formulei (9.3) este egală cu y = F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 la x 2-> °° și F(x,) -> 0 pentru x, -> Prin alegerea unui suficient de mare

X] > 0 și suficient de mare în valoare absolută X] n obținem inegalitatea:

Luând în considerare formula (9.2), putem extrage estimări practic de încredere:

Dacă fiabilitatea lui y = 0,95 (adică, probabilitatea de eroare de 0,05) poate părea insuficientă pentru cineva, puteți „juca sigur” și puteți construi un interval de încredere puțin mai larg folosind regula trei sigma menționată mai sus:

Acest interval corespunde unui nivel foarte ridicat de încredere y = 0,997 (vezi tabelele distributie normala).

Luați în considerare exemplul aruncării unei monede. Să aruncăm o monedă n = 100 de ori. Se poate întâmpla ca frecvența R va fi foarte diferit de probabilitate R= 0,5 (presupunând simetria monedei), de exemplu, va fi egal cu zero? Pentru a face acest lucru, este necesar ca blazonul să nu cadă nici măcar o dată. Un astfel de eveniment este teoretic posibil, dar am calculat deja astfel de probabilități, pentru acest eveniment va fi egal cu Această valoare

este extrem de mic, ordinea sa este un număr cu 30 de zecimale. Un eveniment cu o asemenea probabilitate poate fi considerat practic imposibil. Ce abateri ale frecvenței de la probabilitate cu un număr mare de experimente sunt practic posibile? Folosind teorema Moivre-Laplace, răspundem la această întrebare astfel: cu probabilitate la= 0,95 frecvența stemei R se încadrează în intervalul de încredere:

Dacă eroarea de 0,05 nu pare mică, este necesar să creșteți numărul de experimente (aruncarea unei monede). Cu o crestere P lățimea intervalului de încredere scade (din păcate, nu atât de repede pe cât ne-am dori, dar invers proporțional cu -Ion). De exemplu, când P= 10 000 obținem asta R se află în intervalul de încredere cu probabilitatea de încredere la= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Astfel, am tratat cantitativ problema aproximării frecvenței la probabilitate.

Acum să găsim probabilitatea unui eveniment din frecvența sa și să estimăm eroarea acestei aproximări.

Să facem un număr mare de experimente P(a aruncat o monedă), a găsit frecvența evenimentului DARși doresc să-i estimeze probabilitatea R.

Din legea numerelor mari P urmează că:

Să estimăm acum eroarea practic posibilă a egalității aproximative (9.7). Pentru a face acest lucru, folosim inegalitatea (9.5) sub forma:

Pentru găsire R pe R este necesar să se rezolve inegalitatea (9.8), pentru aceasta este necesar să o pătrați și să rezolvați corespunzătoare ecuație pătratică. Ca rezultat, obținem:

Unde

Pentru o estimare aproximativă R pe R poate fi în formula (9.8) Rîn dreapta, înlocuiți cu R sau în formulele (9.10), (9.11) consideră că

Apoi obținem:

Lăsa să intre P= 400 de experimente au primit valoarea frecvenței R= 0,25, apoi la nivelul de încredere y = 0,95 găsim:

Dar dacă trebuie să cunoaștem probabilitatea mai precis, cu o eroare de, să zicem, nu mai mare de 0,01? Pentru a face acest lucru, trebuie să creșteți numărul de experimente.

Presupunând în formula (9.12) probabilitatea R= 0,25, echivalăm valoarea erorii valoare dată 0,01 și obțineți ecuația pentru P:

Rezolvând această ecuație, obținem n~ 7500.

Să luăm acum în considerare încă o întrebare: abaterea frecvenței de la probabilitatea obținută în experimente poate fi explicată prin cauze aleatoare sau această abatere arată că probabilitatea nu este ceea ce am presupus că este? Cu alte cuvinte, experiența confirmă acceptat ipoteza statistica sau, dimpotrivă, cere să fie respins?

Să aruncăm, de exemplu, o monedă P= de 800 de ori, obținem frecvența crestei R= 0,52. Am bănuit că moneda nu era simetrică. Este justificată această suspiciune? Pentru a răspunde la această întrebare, vom pleca de la ipoteza că moneda este simetrică (p = 0,5). Să găsim intervalul de încredere (cu probabilitatea de încredere la= 0,95) pentru frecvența de apariție a stemei. Dacă valoarea obţinută în experiment R= 0,52 se încadrează în acest interval - totul este normal, ipoteza acceptată despre simetria monedei nu contrazice datele experimentale. Formula (9.12) pentru R= 0,5 dă un interval de 0,5 ± 0,035; valoarea primită p = 0,52 se încadrează în acest interval, ceea ce înseamnă că moneda va trebui „ștersă” de suspiciuni de asimetrie.

Metode similare sunt folosite pentru a aprecia dacă diverse abateri de la așteptările matematice observate în fenomene aleatorii sunt aleatorii sau „semnificative”. De exemplu, a existat o subpondere accidentală în mai multe mostre de mărfuri ambalate sau indică o înșelăciune sistematică a cumpărătorilor? A crescut accidental procentul de recuperari la pacientii care au folosit medicament nou, sau are legătură cu acțiunea medicamentului?

Legea normală joacă un rol deosebit de important în teoria probabilității și în aplicațiile sale practice. Am văzut deja mai sus că o variabilă aleatoare - numărul de apariții ale unui eveniment în schema Bernoulli - atunci când P-» °° se reduce la legea normală. Cu toate acestea, există un rezultat mult mai general.

Teorema limitei centrale. Suma unui număr mare de variabile aleatoare independente (sau slab dependente) comparabile între ele în ordinea dispersiunilor lor este distribuită conform legii normale, indiferent de care au fost legile de distribuție a termenilor. Afirmația de mai sus este o formulare calitativă aproximativă a teoriei limitei centrale. Această teoremă are multe forme care diferă unele de altele în condițiile pe care trebuie să le îndeplinească variabilele aleatoare pentru ca suma lor să se „normalizeze” cu creșterea numărului de termeni.

Densitatea distribuției normale Dx) se exprimă prin formula:

Unde A - valorea estimata variabilă aleatorie X s= V7) este abaterea sa standard.

Pentru a calcula probabilitatea ca x să se încadreze în intervalul (x 1? x 2), se utilizează integrala:

Deoarece integrala (9.14) la densitatea (9.13) nu poate fi exprimată în termeni de functii elementare(„nu luat”), apoi pentru a calcula (9.14) folosesc tabelele funcției de distribuție integrală a distribuției normale standard, când a = 0, a = 1 (astfel de tabele sunt disponibile în orice manual despre teoria probabilității):

Probabilitatea (9.14) folosind ecuația (10.15) este exprimată prin formula:

Exemplu. Aflați probabilitatea ca variabila aleatoare X, având o distribuţie normală cu parametri A, a, se abate de la așteptarea sa matematică modulo nu mai mult de 3a.

Folosind formula (9.16) și tabelul funcției de distribuție a legii normale, obținem:

Exemplu. În fiecare dintre cele 700 de experiențe independente, un eveniment DAR se întâmplă cu probabilitate constantă R= 0,35. Găsiți probabilitatea ca evenimentul DAR se va întâmpla:

• 1) exact de 270 de ori;
• 2) mai puțin de 270 și mai mult de 230 de ori;
• 3) de peste 270 de ori.

Găsirea așteptărilor matematice A = etcși abaterea standard:

variabilă aleatoare - numărul de apariții ale evenimentului DAR:

Găsirea valorii centrate și normalizate X:

Conform tabelelor de densitate ale distribuției normale, găsim f(x):

Să găsim acum R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Un pas serios în studiul problemelor numărului mare a fost făcut în 1867 de P. L. Cebyshev. El a considerat un caz foarte general, când nu se cere nimic de la variabile aleatoare independente, cu excepția existenței așteptărilor și a variațiilor matematice.

inegalitatea lui Cebyshev. Pentru un număr pozitiv arbitrar mic e, este valabilă următoarea inegalitate:

teorema lui Cebyshev.În cazul în care un x x, x 2, ..., x n - variabile aleatoare independente perechi, fiecare dintre ele având o așteptare matematică E(Xj) = ciși dispersie D(x,) =), iar varianțele sunt mărginite uniform, adică. 1,2 ..., apoi pentru un număr pozitiv arbitrar mic e relatia este indeplinita:

Consecinţă. În cazul în care un a,= aio, -o 2 , i= 1,2 ..., atunci

O sarcină. De câte ori trebuie aruncată o monedă astfel încât cel puțin probabil y - 0,997, s-ar putea susține că frecvența stemei ar fi în intervalul (0,499; 0,501)?

Să presupunem că moneda este simetrică, p - q - 0,5. Aplicam teorema Cebyshev din formula (9.19) variabilei aleatoare X- frecvenţa de apariţie a stemei în P aruncarea monedelor. Am arătat deja mai sus X = X x + X 2 + ... +Х„, Unde X t - o variabilă aleatorie care ia valoarea 1 dacă stema a căzut și valoarea 0 dacă cozile au căzut. Asa de:

Scriem inegalitatea (9.19) pentru un eveniment opus evenimentului indicat sub semnul probabilității:

În cazul nostru, [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t este numărul de steme din P aruncare. Substituind aceste mărimi în ultima inegalitate și ținând cont de faptul că, în funcție de condiția problemei, inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem:

Exemplul dat ilustrează posibilitatea utilizării inegalității lui Chebyshev pentru estimarea probabilităților anumitor abateri ale variabilelor aleatoare (precum și probleme ca acest exemplu legate de calcularea acestor probabilități). Avantajul inegalității lui Cebyshev este că nu necesită cunoașterea legilor distribuțiilor variabilelor aleatoare. Desigur, dacă o astfel de lege este cunoscută, atunci inegalitatea lui Cebyshev oferă estimări prea grosiere.

Luați în considerare același exemplu, dar folosind faptul că aruncarea monedelor este un caz special al schemei Bernoulli. Numărul de succese (în exemplu - numărul de steme) se supune legii binomului și cu o mare P această lege poate fi reprezentată de teorema integrală a lui Moivre - Laplace ca o lege normală cu așteptări matematice a = pr = n? 0,5 și cu abatere standard a = yfnpq- 25=0,5l/l. Variabila aleatoare - frecvența stemei - are o așteptare matematică = 0,5 și o abatere standard

Atunci noi avem:

Din ultima inegalitate obținem:

Din tabelele de distribuție normală găsim:

Vedem că aproximarea normală dă numărul de aruncări de monede, ceea ce oferă o eroare dată în estimarea probabilității stemei, care este de 37 de ori mai mică decât estimarea obținută folosind inegalitatea Chebyshev (dar inegalitatea Chebyshev face posibilă efectuați calcule similare chiar și în cazul în care nu avem informațiile despre legea de distribuție a variabilei aleatoare studiate).

Să considerăm acum o problemă aplicată rezolvată cu ajutorul formulei (9.16).

Problema concurenței. Două companii feroviare concurente au fiecare câte un tren care circulă între Moscova și Sankt Petersburg. Aceste trenuri sunt echipate aproximativ în același mod, pleacă și sosesc aproximativ la aceeași oră. Să ne prefacem că P= 1000 de pasageri aleg în mod independent și aleatoriu un tren pentru ei înșiși, prin urmare, ca model matematic pentru alegerea unui tren de către pasageri, folosim schema Bernoulli cu Pîncercări și șanse de succes R= 0,5. Compania trebuie să decidă câte locuri să asigure în tren, ținând cont de două condiții reciproc contradictorii: pe de o parte, nu vor să aibă locuri goale, pe de altă parte, nu vor să pară nemulțumiți. lipsa locurilor (data viitoare vor prefera firmele concurente). Desigur, puteți asigura în tren P= 1000 de locuri, dar atunci cu siguranță vor fi locuri goale. Variabila aleatoare - numărul de pasageri în tren - în cadrul modelului matematic acceptat folosind teoria integrală a lui Moivre - Laplace respectă legea normală cu așteptarea matematică a = pr = n/2 și dispersia a 2 = npq = p/4 secvenţial. Probabilitatea ca trenul să vină la mai mult de s pasagerii este determinată de raportul:

Setați nivelul de risc A, adică probabilitatea ca mai mult decât s pasageri:

De aici:

În cazul în care un A- rădăcina de risc a ultimei ecuații, care se găsește în tabelele funcției de distribuție a legii normale, obținem:

Dacă, de exemplu, P = 1000, A= 0,01 (acest nivel de risc înseamnă că numărul de locuri s va fi suficientă în 99 de cazuri din 100), atunci x a ~ 2.33 și s= 537 de locuri. Mai mult, dacă ambele companii acceptă aceleași niveluri de risc A= 0,01, atunci cele două trenuri vor avea în total 1074 de locuri, dintre care 74 vor fi goale. În mod similar, se poate calcula că 514 de locuri ar fi suficiente în 80% din toate cazurile și 549 de locuri în 999 din 1000 de cazuri.

Considerații similare se aplică și altor probleme de servicii competitive. De exemplu, dacă t cinematografele concurează pentru același lucru P spectatori, ar trebui acceptat R= -. Primim

că numărul de locuri sîn cinema ar trebui să fie determinată de raportul:

Numărul total de locuri libere este egal cu:

Pentru A = 0,01, P= 1000 și t= 2, 3, 4 valorile acestui număr sunt aproximativ egale cu 74, 126, respectiv 147.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Lasă trenul să fie P - 100 de vagoane. Greutatea fiecărui vagon este o variabilă aleatorie cu așteptări matematice A - 65 tone și așteptarea pătrată medie o = 9 tone O locomotivă poate transporta un tren dacă greutatea acestuia nu depășește 6600 tone; în caz contrar, trebuie să cuplați a doua locomotivă. Trebuie să găsim probabilitatea ca acest lucru să nu fie necesar.

Greutățile vagoanelor individuale: având aceeași așteptare matematică A - 65 și aceeași variație d- o 2 \u003d 81. Conform regulii așteptărilor matematice: E(x) - 100 * 65 = 6500. Conform regulii de adunare a variațiilor: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Luând rădăcina, găsim abaterea standard. Pentru ca o locomotivă să poată trage un tren, este necesar ca greutatea trenului X s-a dovedit a fi limitativ, adică a intrat în limitele intervalului (0; 6600). Variabila aleatoare x - suma a 100 de termeni - poate fi considerată distribuită normal. Prin formula (9.16) obținem:

Rezultă că locomotiva va „manevă” trenul cu aproximativ 0,864 probabilitate. Să reducem acum numărul de vagoane din tren cu două, adică să luăm P= 98. Calculând acum probabilitatea ca locomotiva să „mânuiască” trenul, obținem o valoare de ordinul 0,99, adică un eveniment practic cert, deși doar două vagoane au trebuit scoase pentru aceasta.

Deci, dacă avem de-a face cu sume ale unui număr mare de variabile aleatoare, atunci putem folosi legea normală. Desigur, acest lucru ridică întrebarea: câte variabile aleatoare trebuie adăugate astfel încât legea distribuției sumei să fie deja „normalizată”? Depinde care sunt legile de distribuție a termenilor. Există legi atât de complicate încât normalizarea are loc numai cu un număr foarte mare de termeni. Dar aceste legi sunt inventate de matematicieni, în timp ce natura, de regulă, nu aranjează în mod specific astfel de probleme. De obicei, în practică, pentru a putea folosi legea normală, sunt suficienți cinci sau șase termeni.

Viteza cu care legea de distribuție a sumei variabilelor aleatoare distribuite identic „se normalizează” poate fi ilustrată prin exemplul variabilelor aleatoare cu distribuție uniformă pe intervalul (0, 1). Curba unei astfel de distribuții are forma unui dreptunghi, care este deja diferită de legea normală. Să adăugăm două dintre acestea cantități independente- obținem o variabilă aleatoare distribuită conform așa-numitei legi Simpson, imagine grafică care arată ca un triunghi isoscel. Nici nu pare o lege normală, dar e mai bine. Și dacă adăugați trei astfel de variabile aleatoare distribuite uniform, obțineți o curbă formată din trei segmente de parabole, foarte asemănătoare cu o curbă normală. Dacă adăugați șase astfel de variabile aleatoare, obțineți o curbă care nu diferă de una normală. Aceasta este baza metodei larg utilizate pentru obținerea unei variabile aleatoare distribuite normal, în timp ce toate calculatoarele moderne sunt echipate cu senzori de numere aleatoare distribuite uniform (0, 1).

Următoarea metodă este recomandată ca o modalitate practică de a verifica acest lucru. Construim un interval de încredere pentru frecvența unui eveniment cu un nivel la= 0,997 conform regulii trei sigma:

iar dacă ambele capete ale sale nu depășesc segmentul (0, 1), atunci se poate folosi legea normală. Dacă oricare dintre limitele intervalului de încredere este în afara segmentului (0, 1), atunci legea normală nu poate fi utilizată. Totuși, în anumite condiții, legea binomială pentru frecvența unui eveniment aleatoriu, dacă nu tinde spre cel normal, poate tinde către o altă lege.

În multe aplicații, schema Bernoulli este folosită ca model matematic al unui experiment aleatoriu, în care numărul de încercări P Grozav, eveniment aleatoriu destul de rar, adică R = etc nu mic, dar nu mare (fluctuează în intervalul O -5 - 20). În acest caz, este valabilă următoarea relație:

Formula (9.20) se numește aproximare Poisson pentru legea binomială, deoarece distribuția de probabilitate din partea sa dreaptă se numește legea lui Poisson. Se spune că distribuția Poisson este o distribuție de probabilitate pentru evenimente rare, deoarece apare atunci când limitele sunt îndeplinite: P -»°°, R-»0, dar X = pro oo.

Exemplu. Zile de nastere. Care este probabilitatea Rt (k) că într-o societate de 500 de oameni la persoane născute în ziua de Anul Nou? Dacă aceste 500 de persoane sunt alese la întâmplare, atunci schema Bernoulli poate fi aplicată cu o probabilitate de succes P = 1/365. Apoi

Calcule de probabilitate pentru diverse la da urmatoarele valori: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Aproximații corespunzătoare prin formula Poisson pentru X= 500 1/365 = 1,37

da urmatoarele valori: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Toate erorile sunt doar la a patra zecimală.

Să dăm exemple de situații în care legea lui Poisson a evenimentelor rare poate fi utilizată.

La centrala telefonică este puțin probabil să apară o conexiune incorectă. R, de obicei R~ 0,005. Apoi formula Poisson vă permite să găsiți probabilitatea unor conexiuni incorecte pentru un anumit numărul total compuși n~ 1000 când X = pr =1000 0,005 = 5.

La coacerea chiflelor, în aluat se pun stafidele. Este de așteptat ca, datorită amestecării, frecvența rulourilor de stafide să urmeze aproximativ distribuția Poisson P n (k, X), Unde X- densitatea stafidelor din aluat.

O substanță radioactivă emite n-particule. Evenimentul în care numărul de particule d ajunge în decursul timpului t zonă dată de spațiu, ia o valoare fixă la, se supune legii lui Poisson.

Numărul de celule vii cu cromozomi alterați sub influența raze X urmează o distribuție Poisson.

Deci, legile numerelor mari fac posibilă rezolvarea problemei statisticii matematice asociate cu estimarea probabilităților necunoscute ale rezultatelor elementare ale unui experiment aleatoriu. Datorită acestor cunoștințe, facem ca metodele teoriei probabilităților să fie practic semnificative și utile. Legile numerelor mari permit, de asemenea, rezolvarea problemei obținerii de informații despre probabilități elementare necunoscute într-o altă formă - forma testării ipotezelor statistice.

Să luăm în considerare mai detaliat formularea și mecanismul probabilistic de rezolvare a problemelor de testare a ipotezelor statistice.

Cuvintele despre numere mari se referă la numărul de teste - se ia în considerare un număr mare de valori ale unei variabile aleatoare sau acțiunea cumulativă a unui număr mare de variabile aleatoare. Esența acestei legi este următoarea: deși este imposibil de prezis ce valoare va lua o singură variabilă aleatoare într-un singur experiment, totuși, rezultatul total al acțiunii unui număr mare de variabile aleatoare independente își pierde caracterul aleatoriu și poate să fie prezis aproape în mod fiabil (adică cu mare probabilitate). De exemplu, este imposibil de prezis pe ce parte va cădea o monedă. Cu toate acestea, dacă aruncați 2 tone de monede, atunci cu mare siguranță se poate argumenta că greutatea monedelor care au căzut cu stema în sus este de 1 tonă.

În primul rând, așa-numita inegalitate Chebyshev se referă la legea numerelor mari, care estimează într-un test separat probabilitatea de a accepta o valoare de către o variabilă aleatorie care se abate de la valoarea medie cu cel mult o valoare dată.

inegalitatea lui Cebyshev. Lăsa X este o variabilă aleatorie arbitrară, a=M(X) , A D(X) este dispersia sa. Apoi

Exemplu. Valoarea nominală (adică necesară) a diametrului manșonului prelucrat pe mașină este 5mm, iar variația nu mai este 0.01 (aceasta este toleranța de precizie a mașinii). Estimați probabilitatea ca la fabricarea unei bucșe, abaterea diametrului său de la nominal să fie mai mică decât 0,5 mm .

Soluţie. Lasă r.v. X- diametrul bucsei fabricate. După condiție, așteptarea sa matematică este egală cu diametrul nominal (dacă nu există o defecțiune sistematică în configurarea mașinii): a=M(X)=5 , și varianța D(X)≤0,01. Aplicând inegalitatea Chebyshev pentru ε = 0,5, primim:

Astfel, probabilitatea unei astfel de abateri este destul de mare și, prin urmare, putem concluziona că în cazul unei singure producții a unei piese, abaterea diametrului față de cel nominal nu va depăși aproape sigur 0,5 mm .

Practic, abaterea standard σ caracterizează in medie abaterea unei variabile aleatoare de la centrul acesteia (adică de la așteptările sale matematice). Pentru ca in medie abatere, apoi abateri mari (accent pe o) sunt posibile în timpul testării. Cât de mari abateri sunt practic posibile? Când studiem variabile aleatoare distribuite normal, am derivat regula „trei sigma”: o variabilă aleatoare distribuită normal X într-un singur test practic nu se abate de la media sa mai mult decât 3σ, Unde σ= σ(X) este abaterea standard a r.v. X. Am dedus o astfel de regulă din faptul că am obţinut inegalitatea

.

Să estimăm acum probabilitatea pentru arbitrar variabilă aleatorie X acceptați o valoare care diferă de medie cu cel mult de trei ori abaterea standard. Aplicând inegalitatea Chebyshev pentru ε = 3σși având în vedere că D(X)=σ 2 , primim:

.

În acest fel, în general putem estima probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se abate de la medie cu cel mult trei abateri standard cu numărul 0.89 , în timp ce pentru o distribuție normală poate fi garantată cu probabilitate 0.997 .

Inegalitatea lui Cebyshev poate fi generalizată la un sistem de variabile aleatoare independente distribuite identic.

Inegalitatea generalizată a lui Cebyshev. Dacă variabile aleatoare independente X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= A si dispersii D(X i )= D, apoi

La n=1 această inegalitate trece în inegalitatea Cebyshev formulată mai sus.

Inegalitatea Chebyshev, având semnificație independentă pentru rezolvarea problemelor corespunzătoare, este folosită pentru a demonstra așa-numita teoremă Chebyshev. Mai întâi descriem esența acestei teoreme și apoi dăm formularea formală a acesteia.

Lăsa X 1 , X 2 , … , X n– un număr mare de variabile aleatoare independente cu așteptări matematice M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Deși fiecare dintre ele, ca urmare a experimentului, poate lua o valoare departe de media sa (adică așteptările matematice), totuși, o variabilă aleatorie
, egal cu media lor aritmetică, cu o probabilitate mare va lua o valoare apropiată de un număr fix
(aceasta este media tuturor așteptărilor matematice). Aceasta înseamnă următoarele. Fie ca rezultat al testului variabile aleatoare independente X 1 , X 2 , … , X n(sunt o mulțime!) au luat valorile în consecință X 1 , X 2 , … , X n respectiv. Atunci, dacă aceste valori însele se pot dovedi a fi departe de valorile medii ale variabilelor aleatoare corespunzătoare, valoarea lor medie
este probabil să fie aproape de
. Astfel, media aritmetică a unui număr mare de variabile aleatoare își pierde deja caracterul aleatoriu și poate fi prezisă cu mare precizie. Acest lucru poate fi explicat prin faptul că abaterile aleatorii ale valorilor X i din A i pot fi de semne diferite și, prin urmare, în total aceste abateri sunt compensate cu o mare probabilitate.

Terema Cebysheva (legea numerelor mari sub forma lui Cebyshev). Lăsa X 1 , X 2 , … , X n … este o secvență de variabile aleatoare independente pe perechi ale căror varianțe sunt limitate la același număr. Apoi, oricât de mic ar fi numărul ε pe care îl luăm, probabilitatea inegalității

va fi în mod arbitrar aproape de unitate dacă numărul n variabile aleatoare pentru a lua suficient de mari. Formal, aceasta înseamnă că în condițiile teoremei

Acest tip de convergență se numește convergență în probabilitate și se notează prin:

Astfel, teorema Cebyshev spune că, dacă există un număr suficient de mare de variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică într-un singur test va lua aproape sigur o valoare apropiată de media așteptărilor lor matematice.

Cel mai adesea, teorema Cebyshev este aplicată într-o situație în care variabile aleatoare X 1 , X 2 , … , X n … au aceeași distribuție (adică aceeași lege de distribuție sau aceeași densitate de probabilitate). De fapt, acesta este doar un număr mare de instanțe ale aceleiași variabile aleatoare.

Consecinţă(a inegalității generalizate Cebyshev). Dacă variabile aleatoare independente X 1 , X 2 , … , X n … au aceeași distribuție cu așteptările matematice M(X i )= A si dispersii D(X i )= D, apoi

, adică
.

Dovada rezultă din inegalitatea generalizată Chebyshev prin trecerea la limita ca n→∞ .

Observăm încă o dată că egalitățile scrise mai sus nu garantează că valoarea cantității
tinde să A la n→∞. Această valoare este încă o variabilă aleatorie, iar valorile sale individuale pot fi destul de departe A. Dar probabilitatea unui astfel de lucru (departe de A) valori cu creștere n tinde spre 0.

cometariu. Concluzia corolarului este, evident, valabilă și în cazul mai general când variabilele aleatoare independente X 1 , X 2 , … , X n … au o distribuție diferită, dar aceleași așteptări matematice (egal A) și variațiile limitate în agregat. Acest lucru face posibilă prezicerea acurateței măsurării unei anumite cantități, chiar dacă aceste măsurători sunt efectuate cu instrumente diferite.

Să luăm în considerare mai detaliat aplicarea acestui corolar la măsurarea cantităților. Să folosim un dispozitiv n măsurători ale aceleiași mărimi, a cărei valoare adevărată este A si nu stim. Rezultatele unor astfel de măsurători X 1 , X 2 , … , X n pot diferi semnificativ unul de celălalt (și de valoarea adevărată A) din cauza diverșilor factori aleatori (căderi de presiune, temperaturi, vibrații aleatorii etc.). Luați în considerare r.v. X- citirea instrumentului pentru o singură măsurătoare a unei mărimi, precum și un set de r.v. X 1 , X 2 , … , X n- citirea instrumentului la prima, a doua, ..., ultima măsurătoare. Astfel, fiecare dintre cantități X 1 , X 2 , … , X n există doar una dintre cazurile de r.v. X, și prin urmare toate au aceeași distribuție ca și r.v. X. Deoarece rezultatele măsurătorilor sunt independente unele de altele, r.v. X 1 , X 2 , … , X n poate fi considerat independent. Dacă dispozitivul nu dă o eroare sistematică (de exemplu, zero nu este „doborât” pe scară, arcul nu este întins etc.), atunci putem presupune că așteptarea matematică M(X) = a, prin urmare M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Astfel, sunt îndeplinite condițiile corolarului de mai sus și, prin urmare, ca valoare aproximativă a cantității A putem lua „implementarea” unei variabile aleatorii
în experimentul nostru (constând dintr-o serie de n măsurători), adică

.

Cu un număr mare de măsurători, precizia bună a calculului folosind această formulă este practic de încredere. Acesta este motivul pentru principiul practic conform căruia, cu un număr mare de măsurători, media lor aritmetică practic nu diferă mult de valoarea adevărată a mărimii măsurate.

Metoda „eșantionării”, care este utilizată pe scară largă în statistica matematică, se bazează pe legea numerelor mari, care permite obținerea caracteristicilor sale obiective cu o acuratețe acceptabilă dintr-un eșantion relativ mic de valori ale unei variabile aleatorii. Dar acest lucru va fi discutat în secțiunea următoare.

Exemplu. Pe Aparat de măsură, care nu face distorsiuni sistematice, se măsoară o anumită valoare A o dată (valoare primită X 1 ), și apoi încă de 99 de ori (valori obținute X 2 , … , X 100 ). Pentru valoarea adevărată a măsurării A mai întâi luați rezultatul primei măsurători
, iar apoi media aritmetică a tuturor măsurătorilor
. Precizia de măsurare a dispozitivului este astfel încât abaterea standard a măsurătorii σ nu este mai mare de 1 (deoarece dispersia D=σ 2 de asemenea, nu depășește 1). Pentru fiecare dintre metodele de măsurare, estimați probabilitatea ca eroarea de măsurare să nu depășească 2.

Soluţie. Lasă r.v. X- citirea instrumentului pentru o singură măsurătoare. Apoi, după condiție M(X)=a. Pentru a răspunde la întrebările puse, aplicăm inegalitatea generalizată Chebyshev

pentru ε =2 primul pentru n=1 iar apoi pentru n=100 . În primul caz, obținem
, iar în al doilea. Astfel, cel de-al doilea caz garantează practic precizia de măsurare dată, în timp ce primul lasă îndoieli serioase în acest sens.

Să aplicăm afirmațiile de mai sus la variabilele aleatoare care apar în schema Bernoulli. Să ne amintim esența acestei scheme. Lasă-l să fie produs n teste independente, în fiecare dintre acestea un eveniment DAR poate apărea cu aceeași probabilitate R, A q=1–r(prin sens, aceasta este probabilitatea evenimentului opus - nu apariția unui eveniment DAR) . Să cheltuim un număr n astfel de teste. Luați în considerare variabile aleatoare: X 1 – numărul de apariții ale evenimentului DARîn 1 testul, ..., X n– numărul de apariții ale evenimentului DARîn n al-lea test. Toate introduse r.v. poate lua valori 0 sau 1 (eveniment DAR poate apărea sau nu în test) și valoarea 1 acceptat condiționat în fiecare proces cu o probabilitate p(probabilitatea producerii unui eveniment DARîn fiecare test) și valoarea 0 cu probabilitate q= 1 – p. Prin urmare, aceste mărimi au aceleași legi de distribuție:

Prin urmare, valorile medii ale acestor cantități și dispersiile lor sunt, de asemenea, aceleași: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Înlocuind aceste valori în inegalitatea generalizată Chebyshev, obținem

.

Este clar că r.v. X=X 1 +…+X n este numărul de apariții ale evenimentului DAR in toate nîncercări (cum se spune - „numărul de succese” în n teste). Lasă să intre n eveniment de testare DAR aparut in k dintre ei. Atunci inegalitatea anterioară poate fi scrisă ca

.

Dar amploarea
, egal cu raportul dintre numărul de apariții ale evenimentului DARîn nîncercări independente, la numărul total de încercări, denumit anterior rata relativă a evenimentelor DARîn n teste. Prin urmare, există o inegalitate

.

Trecând acum la limită la n→∞, obținem
, adică
(după probabilitate). Acesta este conținutul legii numerelor mari sub forma lui Bernoulli. De aici rezultă că pentru un număr suficient de mare de încercări n abateri arbitrar mici ale frecvenței relative
evenimente din probabilitatea sa R sunt evenimente aproape sigure, iar abaterile mari sunt aproape imposibile. Concluzia rezultată despre o astfel de stabilitate a frecvențelor relative (la care ne-am referit anterior ca experimental fapt) justifică definiția statistică introdusă anterior a probabilității unui eveniment ca număr în jurul căruia fluctuează frecvența relativă a unui eveniment.

Având în vedere că expresia p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 nu depășește intervalul de schimbare
(este ușor de verificat prin găsirea minimului acestei funcții pe acest segment), din inegalitatea de mai sus
ușor să obții asta

,

care este utilizat în rezolvarea problemelor corespunzătoare (una dintre ele va fi dată mai jos).

Exemplu. Moneda a fost aruncată de 1000 de ori. Estimați probabilitatea ca abaterea frecvenței relative de apariție a stemei de la probabilitatea acesteia să fie mai mică de 0,1.

Soluţie. Aplicarea inegalității
la p= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, primim .

Exemplu. Estimați probabilitatea ca, în condițiile exemplului anterior, numărul k a stemelor căzute va fi în intervalul de 400 inainte de 600 .

Soluţie. Condiție 400< k<600 înseamnă că 400/1000< k/ n<600/1000 , adică 0.4< W n (A)<0.6 sau
. După cum tocmai am văzut din exemplul anterior, probabilitatea unui astfel de eveniment este cel puțin 0.975 .

Exemplu. Pentru a calcula probabilitatea unui eveniment DAR Au fost efectuate 1000 de experimente, în care evenimentul DAR a aparut de 300 de ori. Estimați probabilitatea ca frecvența relativă (egale cu 300/1000=0,3) să fie diferită de probabilitatea adevărată R nu mai mult de 0,1.

Soluţie. Aplicând inegalitatea de mai sus
pentru n=1000, ε=0,1, obținem .

Practica studierii fenomenelor aleatorii arată că, deși rezultatele observațiilor individuale, chiar și cele efectuate în aceleași condiții, pot diferi foarte mult, în același timp, rezultatele medii pentru un număr suficient de mare de observații sunt stabile și depind slab de rezultatele observațiilor individuale.

Justificarea teoretică pentru această proprietate remarcabilă a fenomenelor aleatorii este legea numerelor mari. Denumirea „legea numerelor mari” combină un grup de teoreme care stabilesc stabilitatea rezultatelor medii ale unui număr mare de fenomene aleatoare și explică motivul acestei stabilități.

Cea mai simplă formă a legii numerelor mari și, din punct de vedere istoric, prima teoremă a acestei secțiuni este teorema lui Bernoulli afirmând că dacă probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate încercările, atunci odată cu creșterea numărului de încercări, frecvența evenimentului tinde spre probabilitatea evenimentului și încetează să fie aleatorie.

Teorema lui Poisson afirmă că frecvența unui eveniment într-o serie de încercări independente tinde spre media aritmetică a probabilităților sale și încetează să fie aleatorie.

Teoreme limită ale teoriei probabilităților, teoreme Moivre-Laplace explicați natura stabilității frecvenței de apariție a unui eveniment. Această natură constă în faptul că distribuția limitativă a numărului de apariții ale unui eveniment cu o creștere nelimitată a numărului de încercări (dacă probabilitatea unui eveniment în toate încercările este aceeași) este distributie normala.

Teorema limită centrală explică utilizarea pe scară largă legea normală distributie. Teorema afirmă că ori de câte ori se formează o variabilă aleatoare ca urmare a adunării unui număr mare de variabile aleatoare independente cu varianțe finite, legea de distribuție a acestei variabile aleatoare se dovedește a fi practic normal prin lege.

Teorema de mai jos, intitulată „ Legea numerelor mari„afirmă că în anumite condiții, mai degrabă generale, cu creșterea numărului de variabile aleatoare, media lor aritmetică tinde spre media aritmetică a așteptărilor matematice și încetează să fie aleatorie.

Teorema lui Lyapunov explică răspândirea legea normală distribuția și explică mecanismul formării sale. Teorema ne permite să afirmăm că ori de câte ori se formează o variabilă aleatoare ca urmare a adunării unui număr mare de variabile aleatoare independente, ale căror variații sunt mici în comparație cu varianța sumei, legea de distribuție a acestei variabile aleatoare se dovedește a fi: fie practic normal prin lege. Și întrucât variabilele aleatoare sunt întotdeauna generate de un număr infinit de cauze și cel mai adesea niciuna dintre ele nu are o varianță comparabilă cu varianța variabilei aleatoare în sine, majoritatea variabilelor aleatoare întâlnite în practică sunt supuse legii distribuției normale.

Enunţurile calitative şi cantitative ale legii numerelor mari se bazează pe inegalitatea lui Cebyshev. Acesta definește limita superioară a probabilității ca abaterea valorii unei variabile aleatoare de la așteptarea sa matematică să fie mai mare decât un anumit număr dat. În mod remarcabil, inegalitatea Chebyshev oferă o estimare a probabilității evenimentului pentru o variabilă aleatoare a cărei distribuție este necunoscută, sunt cunoscute doar așteptarea și varianța sa matematică.

inegalitatea lui Cebyshev. Dacă o variabilă aleatoare x are o varianță, atunci pentru orice e > 0 inegalitatea , Unde M x și D x - așteptarea matematică și varianța variabilei aleatoare x .

teorema lui Bernoulli. Fie m n numărul de succese în n încercări Bernoulli și p probabilitatea de succes într-o singură încercare. Atunci pentru orice e > 0 avem .

Teorema limitei centrale. Dacă variabilele aleatoare x 1 , x 2 , …, x n , … sunt independente pe perechi, distribuite egal și au varianță finită, atunci la n ® uniform în x (- ,)