Să presupunem că doriți să găsiți toate perechile de valori ale variabilelor x și y care satisfac ecuația
xy - 6 = 0 și ecuația y - x - 1 = 0, adică este necesar să se găsească intersecția mulțimilor de soluții ale acestor ecuații. În astfel de cazuri, ei spun că este necesar să se rezolve sistemul de ecuații xy - 6 \u003d 0 și y - x - 1 \u003d 0.

Este obișnuit să scrieți un sistem de ecuații folosind paranteze. De exemplu, sistemul de ecuații luat în considerare poate fi scris după cum urmează:

(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

O pereche de valori ale variabilelor care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate adevărată se numește soluție a unui sistem de ecuații cu două variabile.

Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii soluțiilor sale.

Să considerăm sisteme de două ecuații liniare cu două variabile, în care cel puțin unul dintre coeficienți din fiecare ecuație este diferit de zero.

Soluția grafică a sistemelor de acest tip se reduce la găsirea coordonatelor punctelor comune a două drepte.

După cum știți, două drepte dintr-un plan pot fi intersectate sau paralele. În cazul paralelismului, liniile fie nu au puncte comune, fie coincid.

Să luăm în considerare fiecare dintre aceste cazuri.

Exemplul 1

Să rezolvăm sistemul de ecuații:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Soluţie.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

Coeficienții de pantă ai liniilor - grafice ale ecuațiilor sistemului sunt diferiți (-3 și 0,5), ceea ce înseamnă că liniile se intersectează.

Coordonatele punctului lor de intersecție sunt soluția acestui sistem, singura soluție.

Exemplul 2

Să rezolvăm sistemul de ecuații:

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Soluţie.

Exprimând din fiecare ecuație y în termeni de x, obținem sistemul:

(y \u003d 1,5x - 6,
(y \u003d 1,5x - 2,75.

Liniile y \u003d 1,5x - 6 și y \u003d 1,5x - 2,75 au pante egale, ceea ce înseamnă că aceste linii sunt paralele, iar linia y \u003d 1,5x - 6 intersectează axa y în punctul (0; - 6) și linia y \u003d 1,5x - 2,75 - în punctul (0; -2,75), prin urmare, liniile nu au puncte comune. Prin urmare, sistemul de ecuații nu are soluții.

Faptul că acest sistem nu are soluții poate fi verificat argumentând astfel. Înmulțind toți termenii primei ecuații cu 2, obținem ecuația 6x - 4y = 24.

Comparând această ecuație cu a doua ecuație a sistemului, vedem că părțile din stânga ale ecuațiilor sunt aceleași, prin urmare, pentru aceleași valori ale lui x și y, ele nu pot lua valori diferite (24 și 11). Prin urmare, sistemul

(6x - 4y \u003d 24,
(6x - 4y = 11.

nu are soluții, ceea ce înseamnă că sistemul nu are soluții

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Exemplul 3

Să rezolvăm sistemul de ecuații:

(5x - 7y = 16,
(20x - 28y = 64.

Soluţie.

Împărțind fiecare termen al celei de-a doua ecuații la 4, obținem sistemul:

(5x - 7y = 16,
(5x - 7y = 16,

constând din două ecuații identice. Graficele acestor ecuații coincid, deci coordonatele oricărui punct de pe grafic vor satisface fiecare dintre ecuațiile sistemului, adică vor fi soluția sistemului. Aceasta înseamnă că acest sistem are un număr infinit de soluții.

Dacă în fiecare ecuație a unui sistem de două ecuații liniare cu două variabile cel puțin unul dintre coeficienții variabilei nu este egal cu zero, atunci sistemul fie are singura decizie sau are infinit de soluții.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

La sarcini cu parametru includ, de exemplu, căutarea soluțiilor pentru ecuații liniare și pătratice în vedere generala, studiul ecuației pentru numărul de rădăcini disponibile în funcție de valoarea parametrului.

Fără a oferi definiții detaliate, luați în considerare următoarele ecuații ca exemple:

y = kx, unde x, y sunt variabile, k este un parametru;

y = kx + b, unde x, y sunt variabile, k și b sunt parametri;

ax 2 + bx + c = 0, unde x sunt variabile, a, b și c sunt parametri.

A rezolva o ecuație (inegalitate, sistem) cu un parametru înseamnă, de regulă, a rezolva o mulțime infinită de ecuații (inegalități, sisteme).

Sarcinile cu un parametru pot fi împărțite condiționat în două tipuri:

A) condiția spune: rezolvați ecuația (inegalitatea, sistemul) - aceasta înseamnă, pentru toate valorile parametrului, găsiți toate soluțiile. Dacă cel puțin un caz rămâne neexplorat, o astfel de soluție nu poate fi considerată satisfăcătoare.

b) este necesar să se indice posibilele valori ale parametrului pentru care ecuația (inegalitatea, sistemul) are anumite proprietăți. De exemplu, are o soluție, nu are soluții, are soluții care aparțin intervalului etc. În astfel de sarcini, este necesar să se indice clar la ce valoare a parametrului este îndeplinită condiția necesară.

Parametrul, fiind un număr fix necunoscut, are, parcă, o dualitate aparte. În primul rând, trebuie avut în vedere faptul că pretinsa faimă sugerează că parametrul trebuie perceput ca un număr. În al doilea rând, libertatea de a gestiona un parametru este limitată de necunoscutul acestuia. Deci, de exemplu, operațiile de împărțire la o expresie în care este prezent un parametru sau extragerea unei rădăcini pare dintr-o astfel de expresie necesită studii preliminare. Prin urmare, trebuie avut grijă în manipularea parametrului.

De exemplu, pentru a compara două numere -6a și 3a, trebuie luate în considerare trei cazuri:

1) -6a va fi mai mare decât 3a dacă a este un număr negativ;

2) -6a = 3a în cazul în care a = 0;

3) -6a va fi mai mic decât 3a dacă a este un număr pozitiv 0.

Decizia va fi răspunsul.

Să fie dată ecuația kx = b. Această ecuație este prescurtarea unui set infinit de ecuații într-o variabilă.

La rezolvarea unor astfel de ecuații, pot exista cazuri:

1. Fie k oricare numar real diferit de zero și b este orice număr din R, atunci x = b/k.

2. Fie k = 0 și b ≠ 0, ecuația inițială va lua forma 0 · x = b. Evident, această ecuație nu are soluții.

3. Fie k și b numere egale cu zero, atunci avem egalitatea 0 · x = 0. Soluția sa este orice număr real.

Algoritmul pentru rezolvarea acestui tip de ecuații:

1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.

2. Rezolvați ecuația inițială pentru x cu valorile parametrului care au fost determinate în primul paragraf.

3. Rezolvați ecuația originală pentru x cu valori ale parametrilor care diferă de cele selectate în primul paragraf.

4. Puteți nota răspunsul în următoarea formă:

1) când ... (valoarea parametrului), ecuația are rădăcini ...;

2) când ... (valoarea parametrului), nu există rădăcini în ecuație.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația cu parametrul |6 – x| = a.

Soluţie.

Este ușor de observat că aici a ≥ 0.

Prin regula modulo 6 – x = ±a, exprimăm x:

Răspuns: x = 6 ± a, unde a ≥ 0.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 în raport cu variabila x.

Soluţie.

Să deschidem parantezele: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Să scriem ecuația în formă standard: x(a + 2) = a + 2.

Dacă expresia a + 2 nu este zero, adică dacă a ≠ -2, avem soluția x = (a + 2) / (a ​​+ 2), adică. x = 1.

Dacă a + 2 este egal cu zero, i.e. a \u003d -2, atunci avem egalitatea corectă 0 x \u003d 0, prin urmare x este orice număr real.

Răspuns: x \u003d 1 pentru un ≠ -2 și x € R pentru un \u003d -2.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația x/a + 1 = a + x față de variabila x.

Soluţie.

Dacă a \u003d 0, atunci transformăm ecuația în forma a + x \u003d a 2 + ax sau (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ultima ecuație pentru a = 1 are forma 0 · x = 0, prin urmare, x este orice număr.

Dacă a ≠ 1, atunci ultima ecuație va lua forma x = -a.

Această soluție poate fi ilustrată pe linia de coordonate (Fig. 1)

Răspuns: nu există soluții pentru a = 0; x - orice număr la a = 1; x \u003d -a cu a ≠ 0 și a ≠ 1.

Metoda grafică

Luați în considerare un alt mod de a rezolva ecuații cu un parametru - grafic. Această metodă este folosită destul de des.

Exemplul 4

Câte rădăcini, în funcție de parametrul a, are ecuația ||x| – 2| = a?

Soluţie.

Pentru solutii metoda grafica trasarea funcțiilor y = ||x| – 2| și y = a (Fig. 2).

Desenul arată clar cazurile posibile de locație a dreptei y = a și numărul de rădăcini din fiecare dintre ele.

Răspuns: ecuația nu va avea rădăcini dacă a< 0; два корня будет в случае, если a >2 și a = 0; ecuația va avea trei rădăcini în cazul a = 2; patru rădăcini - la 0< a < 2.

Exemplul 5

Pentru care a ecuația 2|x| + |x – 1| = a are o singură rădăcină?

Soluţie.

Să desenăm grafice ale funcțiilor y = 2|x| + |x – 1| și y = a. Pentru y = 2|x| + |x - 1|, extinzând modulele prin metoda gap, obținem:

(-3x + 1, la x< 0,

y = (x + 1, pentru 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pentru x > 1.

Pe figura 3 se vede clar că ecuația va avea o rădăcină unică numai atunci când a = 1.

Răspuns: a = 1.

Exemplul 6

Determinați numărul de soluții ale ecuației |x + 1| + |x + 2| = a in functie de parametrul a?

Soluţie.

Graficul funcției y = |x + 1| + |x + 2| va fi o linie întreruptă. Vârfurile sale vor fi situate în punctele (-2; 1) și (-1; 1) (poza 4).

Răspuns: dacă parametrul a este mai mic de unu, atunci ecuația nu va avea rădăcini; dacă a = 1, atunci soluția ecuației este o mulțime infinită de numere din segmentul [-2; -unu]; dacă valorile parametrului a sunt mai mari decât unu, atunci ecuația va avea două rădăcini.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații cu un parametru?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Dacă sistemul

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 ,

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m . (5,1)

s-au dovedit a fi consistente, adică matricele sistemului A și matricea sistemului extins (cu o coloană de membri liberi) A|b au același rang, atunci pot apărea două posibilități - a) r = n; b) r< n:

a) dacă r = n, atunci avem n ecuații independente cu n necunoscute, iar determinantul D al acestui sistem este diferit de zero. Un astfel de sistem are o soluție unică obținută din ;

b) dacă r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Mutăm necunoscutele suplimentare x r+1 , x r+2 ,..., x n , care se numesc în mod obișnuit libere, în partea dreaptă; sistemul nostru de ecuații liniare va lua forma:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r , r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Se poate rezolva pentru x 1 , x 2 ,..., x r , deoarece determinantul acestui sistem (de ordinul r) este diferit de zero. Acordând valori numerice arbitrare necunoscutelor libere, obținem, prin formulele lui Cramer, valorile numerice corespunzătoare pentru x 1 , x 2 ,..., x r. Astfel, pentru r< n имеем бесчисленное множество решений.

Sistemul (5.1) este numit omogen, dacă toate b i = 0, adică arată astfel:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Din teorema Kronecker-Capelli rezultă că este întotdeauna consistentă, deoarece adăugarea unei coloane de zerouri nu poate crește rangul unei matrice. Acest lucru, totuși, poate fi văzut și în mod direct - sistemul (5.5) are cu siguranță o soluție zero, sau trivială, x 1 = x 2 =... = x n = 0. Fie matricea A a sistemului (5.5) să aibă rangul r. Dacă r = n, atunci soluția zero va fi singura soluție a sistemului (5.5); la r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется propriul vector transformare liniară (matrice pătrată A ), dacă există un număr λ astfel încât egalitatea

Se numește numărul λ valoarea proprie a transformării liniare (matrici A ), corespunzător vectorului X. Matricea A are ordinul n. În economia matematică, așa-numita matrici productive. Se demonstrează că matricea A este productivă dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei A sunt mai mici decât una în valoare absolută. Pentru a găsi valorile proprii ale matricei A, rescriem egalitatea AX = λX în forma (A - λE)X = 0, unde E este matricea de identitate de ordinul n sau în forma de coordonate:

(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ)x n = 0 .

Am un sistem liniar ecuații omogene, care are soluții nenule dacă și numai dacă determinantul acestui sistem este egal cu zero, i.e.

Am obținut o ecuație de gradul al n-lea față de necunoscuta λ, care se numește ecuația caracteristică a matricei A, se numește polinomul polinom caracteristic al matricei A, iar rădăcinile sale sunt numere caracteristice, sau valori proprii, ale matricei A. Pentru a găsi matricele proprii A în ecuație vectorială(A - λE)X = 0 sau sistemul corespunzător de ecuații omogene (5.6) ar trebui înlocuit cu valorile găsite ale lui λ și rezolvat în mod obișnuit. Exemplul 2.16. Investigați un sistem de ecuații și rezolvați-l dacă este consecvent.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Soluţie. Vom găsi rangurile matricelor A și A|b prin metoda transformărilor elementare, reducând simultan sistemul la o formă treptat:

Evident, r(A) = r( A|b) = 2. Sistemul original este echivalent cu următorul redus la o formă în trepte:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Din moment ce determinantul pentru necunoscut x 1și x2 este diferit de zero, atunci ele pot fi luate ca fiind principale și sistemul poate fi rescris sub forma:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

De unde x 2 \u003d 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 \u003d 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - soluția generală a unui sistem care are un număr infinit de soluții. Dăruind liber necunoscutului x 3 , x 4 , x 5 valori numerice specifice, vom obține soluții particulare. De exemplu, la x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Vectorul C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) este o soluție particulară a acestui sistem. Exemplul 2.17. Explorați sistemul de ecuații și găsiți o soluție generală în funcție de valoarea parametrului A.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Soluţie. Acest sistem corespunde matricei . Avem A~

prin urmare, sistemul original este echivalent cu:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

Aceasta arată că sistemul este consistent doar pentru a=5. Soluția generală în acest caz este:

x 2 \u003d 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 \u003d 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Exemplu 2.18. Aflați dacă sistemul de vectori va fi dependent liniar:

A 1 =(1, 1, 4, 2),

A 2 = (1, -1, -2, 4),

A 3 = (0, 2, 6, -2),

A 4 =(-3, -1, 3, 4),

A 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Soluţie. Un sistem de vectori este dependent liniar dacă există astfel de numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , dintre care cel puțin unul este diferit de zero
(a se vedea punctul 1, secțiunea I) că egalitatea vectorială este valabilă:

x 1 A 1 + x2 A 2+x3 A 3 + x4 A 4+x5 A 5 = 0.

În notația de coordonate, este echivalent cu sistemul de ecuații:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Deci, avem un sistem de ecuații liniare omogene. Rezolvăm eliminând necunoscutele:

Sistemul este redus la o formă în trepte, egală cu 3, ceea ce înseamnă că sistemul omogen de ecuații are soluții diferite de zero (r< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4 este diferit de zero, astfel încât acestea pot fi alese drept cele principale, iar sistemul poate fi rescris sub forma:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5 , -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5 , - 3x 4 = - x 5 .

Avem: x 4 \u003d 1/3 x 5, x 2 \u003d 5/6x 5 + x 3, x 1 \u003d 7/6 x 5 -x 3. Sistemul are un număr infinit de soluții; dacă necunoscute libere x 3și x5 nu sunt egale cu zero în același timp, atunci principalele necunoscute sunt și ele diferite de zero. Prin urmare, ecuația vectorială

x 1 A 1 + x2 A 2+x3 A 3 + x4 A 4+x5 A 5 = 0

Teorema. Un sistem de ecuații liniare este consistent numai dacă rangul matricei augmentate egal cu rangul matricea sistemului.

Sisteme de ecuații liniare

Îmbinarea r(A)=r() incompatibilă r(A)≠r().

Astfel, sistemele de ecuații liniare au fie un număr infinit de soluții, fie o soluție, fie nicio soluție.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Transformări matriceale elementare. metoda lui Cramer. Definiție vectorială

Două elemente ale unei permutări formează o inversare dacă elementul mai mare îl precede pe cel mai mic în notația permutației.. există n permutări diferite de gradul al n-lea de la n numere. Să demonstrăm acest lucru.. permutarea se numește chiar dacă numărul total de inversiuni este un număr par și, în consecință, impar dacă...

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

tweet

Toate subiectele din această secțiune:

Teorema Kronecker-Capelli
Luați în considerare un sistem de ecuații liniare cu n necunoscute: alcătuiți o matrice și o matrice augmentată

Conceptul de sistem omogen de ecuații liniare
Un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu 0, i.e. sistemul de specii se numește omogen

Proprietatea soluțiilor unui SLE omogen
O combinație liniară de soluții la un sistem omogen de ecuații este ea însăși o soluție a acestui sistem. x=și y=

Legătura dintre soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare
Luați în considerare ambele sisteme: I și

O abordare axiomatică a definiției unui spațiu liniar
Anterior, conceptul de spațiu vectorial n-dimensional a fost introdus ca o colecție de sisteme ordonate de n numere reale, pentru care au fost introduse operațiile de adunare și înmulțire cu un număr real.

Consecințele din axiome
1. Unicitatea vectorului zero 2. Unicitatea vectorului opus

Dovada consecințelor
1. Să presupunem că. -nul

Bază. Dimensiune. Coordonatele
Definiție 1. O bază a unui spațiu liniar L este un sistem de elemente aparținând lui L care îndeplinește două condiții: 1) sistemul

Dimensiune: px

Începeți impresia de pe pagină:

transcriere

1 1 Numărul de soluții ale sistemului de ecuații Metoda dinamică grafică Pentru a găsi numărul de soluții ale unui sistem de ecuații care conține un parametru, este util următorul truc: Construim grafice ale fiecărei ecuații pentru o anumită valoare fixă ​​a parametrului și găsim numărul de puncte comune ale graficelor construite.Fiecare punct comun este una dintre soluțiile sistemului.Apoi schimbăm mental parametrul și ne imaginăm cum se transformă graficul ecuației cu parametrul, cum se transformă punctele comune ale graficelor apar și dispar Un astfel de studiu necesită o imaginație dezvoltată Pentru a antrena imaginația, luați în considerare o serie de sarcini tipice care se ating unele de altele sau punctul de colț al unuia dintre grafice cade pe alt grafic De regulă, la trecerea printr-un punct singular, numărul de soluții se modifică cu două, iar într-un astfel de punct însuși diferă cu unu de numărul de soluții cu o mică modificare în n parametru Luați în considerare probleme în care este necesar să se găsească numărul de soluții ale unui sistem de ecuații, dintre care una depinde de parametrul a, iar cealaltă nu depinde Variabile în sistemele x și y Se consideră numerele xi, yi, r care urmează să fie date constante În cursul fiecărei soluții, construim grafice ale ambelor ecuații. Investigăm cum se modifică graficul ecuației cu un parametru când se modifică valoarea parametrului. Apoi tragem o concluzie despre numărul de soluții (puncte comune a graficelor construite) În figura interactivă, graficul ecuației fără parametru este prezentat în albastru, iar graficul dinamic al ecuației cu un parametru este afișat în roșu Pentru a studia subiectul (sarcinile 1 7 ) utilizați fișierul InMA 11 , 5 Număr de soluții de sistem cu parametru Pentru cercetare (sarcina 8) utilizați fișierul GInMA Număr de soluții de sistem cu parametru (x x0) + (y y0) = r ; 1 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Aflați numărul de soluții ale sistemului y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Aflați numărul de soluții ale sistemului y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Aflați numărul de soluții ale sistemului y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Aflați numărul de soluții ale sistemului VV Shelomovsky Mulțimi tematice, cmdru/

2 1 Grafice de ecuații curbe netede (x x0) + (y y0) = r ; 1 Sarcină Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x1) + y \u003d a Soluție: Graficul primei ecuații este un cerc cu raza r centrat în punctul O (x0; y0) Graficul celei de-a doua ecuații este un cerc de rază a centrat pe axa x în punctul A (x1 ; 0) Centrul cercului este fix, raza determină parametrul Când modulul parametrului crește, cercul „se umflă” Valorile speciale ​ale parametrului sunt acele valori la care se modifică numărul de rădăcini, adică valorile parametrului la care cercul celui de-al doilea grafic atinge cercul primului Condiția ca cercurile să atingă modulul a sumei sau diferenței razelor cercurilor este egală cu distanța centru-centru: a ± r = AO a = ± AO ± r Investigație: Prin modificarea valorii variabilelor și a parametrului, găsiți numărul de soluții la sistemul când axa comună a cercurilor este verticală În general, utilizați triunghiuri pitagoreice De exemplu, x0 x1 = 3, y0 = ±4 Deoarece două cercuri necoincidente nu pot avea mai mult de două puncte comune, numărul de soluții în cazul general nu este mai mare de două.parametru pentru care trei puncte diferite (x 1) + (y y0) = 9; sunt soluții ale sistemului de ecuații (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Sarcină Aflați numărul de soluții ale sistemului y \u003d kx + a Soluție: Graficul primei ecuații este un cerc cu raza r centrat în punctul O (x0; y0) Graficul celei de-a doua ecuații este o familie de paralele drepte care trec prin punctele A (0; a) și având o pantă constantă Tangenta unghiului de înclinare a dreptelor este egală cu k Pe măsură ce parametrul crește, liniile drepte se deplasează în sus. la care se modifică numărul de rădăcini, adică valorile parametrilor la care liniile drepte ating cercul Condiția de tangență se găsește prin echivalarea tangentelor unghiului de înclinare a cercului și a dreptei cmdru/

3 3 Rezolvând ecuația rezultată, găsim coordonatele a două puncte de contact: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k : Prin modificarea valorii variabilelor și a parametrului, găsiți numărul de soluții ale sistemului.Este de dorit să se începeți studiul cu cel mai simplu caz k = 0, când liniile sunt paralele cu axa x. Apoi luați în considerare cazurile în care se extrage rădăcina (de exemplu, k = 3), acordați atenție cazului popular k = 1. Pentru valorile mici și mari ale parametrului nu există soluții Deoarece o linie dreaptă și un cerc nu pot avea mai mult de două puncte comune, numărul de soluții nu este mai mare de două. Pentru valorile parametrilor corespunzătoare tangenței, numărul de soluții este unul, pentru valorile intermediare ale parametrului doi Sarcină creativă Se știe că acest sistem de ecuații nu are mai mult de o soluție Aflați valoarea parametrului pentru care sistemul de ecuații are o soluție: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Aflați numărul de soluții ale sistemului y \u003d ax + y1 Rezolvare: Graficul primei ecuații este un cerc cu raza r centrat în punctul O (x0; y0) Graficul celei de-a doua ecuații este o familie de drepte trecând prin punctul A (0; y1) Tangenta pantei dreptelor (a) determină valoarea parametrului Pe măsură ce parametrul crește, unghiul dintre grafic și direcția pozitivă a abscisei crește. Valori speciale ale parametrului sunt acele valori la care se modifică numărul de rădăcini, adică valorile parametrilor la care liniile ating cercul Dacă punctul A (0; y1) se află în interiorul cercului, atunci orice linie dreaptă posibilă intersectează cercul în două puncte.Condiția de tangență se găsește prin echivalarea tangentelor înclinării cercului și a dreptei.Rezolvând ecuația rezultată, găsim coordonatele celor două puncte tangente: VV Shelomovsky

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a valorile singulare ale parametrului a = ± r Dacă y0 = y1, x0 r, atunci valorile singulare ale parametrul a = ± (y1 y 0) r r x0 Dacă x0 = ± r, atunci cercul atinge linia verticală care trece prin punctul r (y1 y 0) A(0; y1) și valoarea parametrului a = În alte cazuri x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Cercetare: Modificarea valorii variabilelor și a parametrului, găsiți numărul de soluții ale sistemului. Este de dorit să începeți studiul cu cel mai simplu caz y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 abscise de același modul, dar diferite în semnul ±x0 Graficele sunt afișate în albastru și violet Graficul celei de-a doua ecuații este un cerc cu raza a centrat pe axa absciselor în punctul A(x1; 0) Valori speciale ale parametrul sunt acele valori la care se modifică numărul de rădăcini, adică valorile parametrului la care cercul celui de-al doilea grafic atinge cercurile primului. Condiții pentru atingerea sumei sau diferenței razelor a cercurilor este egală cu distanța centru-centru: a ± r = AO, a ± r = AQ Investigație: Prin modificarea valorii variabilelor și a parametrului, găsiți numărul de soluții la valorile sistemului pentru o distanță centru-centru (de exemplu, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) De obicei, pentru module mici și valori mari ale parametrului, nu există soluții.La punctele de contact , numărul de rădăcini este impar, în alte puncte numărul de rădăcini este par ( x 6) + (y y 0) = r; Sarcină creativă Se știe că sistemul de ecuații de la (x x1) + y = a are exact două soluții pentru o anumită valoare a parametrului La această valoare a parametrului, graficele ating Găsiți această valoare a parametrului (x x0) + y y0 = r; 5 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x0) + (y y0) = a Rezolvare: Graficul primei ecuații este format dintr-o pereche de parabole care se întâlnesc la y = y0 Ecuații de parabole y = y0 ± (r ( x x0)) Au o axă orizontală de simetrie y = y0, axa verticala de simetrie x = x0 Centrul de simetrie punct (x0, y0) Al doilea grafic este un cerc cu raza a, al cărui centru este situat în centrul de simetrie al parabolelor Numărul de rădăcini se modifică la o astfel de valoare a parametrului că cercul celui de-al doilea grafic atinge vârfurile parabolelor În punctul de contact: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, deci, а = ± r o variabilă: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Aceasta este o ecuație pătratică pentru (x x 0) Are o rădăcină dacă discriminantul este zero: VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Numărul de rădăcini se modifică la o asemenea valoare a parametrului la care cercul și parabola se intersectează în punctele de rupere ale primului grafic, încât este, la y = y0 Cercetare: Prin modificarea valorii variabilelor și a parametrului, găsiți numărul de soluții ale sistemului. Utilizați valorile r = 1, 4 și 9. Rețineți că parametrii x0 și y0 nu afectează răspunsul problemei Pentru valorile mici și mari ale parametrului, nu există soluții x x0 + y y0 = r; 6 Aflați numărul de soluții ale sistemului (x x0) + (y y0) = a Rezolvare: Graficul primei ecuații este un pătrat înclinat cu un unghi de 45 față de axele de coordonate, lungimea jumătății diagonalei lui care este r Al doilea grafic este un cerc cu raza a, al cărui centru este situat în simetria centrală a pătratului Numărul de rădăcini se modifică la valoarea parametrului la care cercul trece prin vârfurile pătratului În acest caz, y = y0, a = ±r Numărul de rădăcini se modifică la valoarea parametrului la care cercul atinge intern laturile pătratului Pentru a găsi această valoare, trecem de la un sistem de ecuații la o ecuație cu o variabilă : (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Aceasta este o ecuație pătratică pentru x x 0 Are o rădăcină dacă discriminantul este zero În acest caz a = ± r Raza cercului în acest caz se referă la raza în cazul precedent, ca sin 45: 1 VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Aflați numărul de soluții ale sistemului y \u003d x a + y1 Graficul primei ecuații este un cerc cu centrul O (x0; y0) Graficul celei de-a doua ecuații este format din două raze cu un început comun - „pasăre, aripi în sus”, partea superioară a graficului este situată în punctul A (a; y1) Numărul de rădăcini se modifică la valoarea parametrului la care se află „aripa” celui de-al doilea grafic atinge cercul sau vârful graficului pe acest cerc.această aripă atinge cercul în puncte (xk; yk) astfel încât r yk = y0 Condiția de tangență yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r Deoarece „aripa” este o rază care urcă, se adaugă condiția ca ordonata vârfului să nu fie mai mare decât ordonata punctului tangente, adică y1 yk y0 y1 ± r În mod similar, notăm condițiile de tangență cu „aripa stângă” Dacă vârful al graficului se află pe un cerc, atunci coordonatele acestuia satisfac ecuația cercului: (a x0) + (y1 y0) = r Lo soluții ale sistemului, adică numărul de puncte comune ale graficelor La puncte singulare, numărul de rădăcini este impar, în alte puncte numărul de rădăcini este par (x) + (y y 0) = r, Sarcină creativă Se știe că sistemul de ecuații pentru y = x a + y1, un parametru de valoare are trei soluții Aflați această valoare a parametrului dacă se știe că ordonatele celor două soluții coincid f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Găsiți numărul de soluții ale sistemului Setați singur funcțiile conform modelului și explorați numărul de soluții VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

8 8 VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

9 9 Atribuții С5 (Semyonov Yashchenko) Opțiunea 1 Găsiți toate valorile lui a, pentru fiecare dintre care mulțimea soluțiilor inegalității 4 x 1 x+ 3 a 3 este segmentul 3 a 4 x Gândire Să efectuăm transformări x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 Liniile de delimitare ale planului x 3a sunt: ​​x = 0, x = , x= 3a, x=± 3 a a= (x+ 1) 1 4 Dacă 0 x, atunci b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, atunci b (x +1) 1 Dacă 0 > x atunci b > 4x, (x +1) 1 b Există o soluție pentru 1 b De exemplu, x = 1 Dacă x > atunci b > 4x, (x +1) 1 b Deoarece 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, atunci x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] Dacă 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, apoi x Soluție Fie 1 3a Atunci x = 1 satisface inegalitatea, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, o contradicție, acest număr este în afara segmentului 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Fie 1 > 3а Atunci x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, atunci prima inegalitate nu este satisfăcută VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

10 10 Dacă 0 > x, atunci b (x +1) 1, a doua inegalitate nu este satisfăcută Răspuns: 1 > 3a Opțiunea 3 Aflați toate valorile lui a, pentru fiecare dintre ele ecuația a +7 x x + x + 5 are cel puțin o rădăcină = a+ 3 x 4 a +1 Gândire Fie f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Punct singular al funcției x + 1 = 0 Dacă x = 1, atunci ecuația este a +10 a 1 a =0 Este ușor să găsești cele patru soluții ale sale. Este necesar să se demonstreze că funcția inițială este întotdeauna mai mare decât aceasta. Soluție Fie f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Ecuația f (a, x)=0 Atunci f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Diferența f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Prin urmare, ecuația f (a, x)=0 are rădăcini numai dacă f ( a, 1) 0 Ecuația f (a, 1)=0 are patru rădăcini a 1= , a = , a 3= , a 4 = Funcția f (a, 1) 0 (nu pozitivă) pentru a De exemplu, dacă a = 10, adică rădăcina x) f (a, 1)>0 Fără rădăcini Răspuns: [ 5 15, 5+ 15] Opțiunea 5 Găsiți toate valorile lui a, fiecare dintre ele având cel puțin o rădăcină ur ecuația a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + Folosiți funcția f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 și inegalitatea f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) 0 Răspuns: [ , ] Opțiunea 9 Aflați numărul de rădăcini ale ecuației x + 4x 5 3a = x + a derivata uneia este mai mare pe interval decât a celeilalte Fie diferența valorilor ​​dintre funcțiile de la capătul stâng au un semn, la capătul din dreapta celălalt Atunci ecuația f(x) = g(x) are exact o rădăcină pe interval Soluție Se notează f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Ecuația f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

11 11 Punctele singulare ale funcției g(x) sunt minime la x = 1 și x = 5 și maxime la x = Valori g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Funcția are o axa de simetrie x = 3 At Pentru valorile lui x mai mari în modul, funcția pătratică g(x) este mai mare decât funcția liniară f(x, a) Panta funcției în afara intervalului [5,1] este determinată de derivata (x + 4x 5)" = x pentru x > 1 Funcția g(x) pentru x > 1 crește monoton cu un factor mai mare de 6 Datorită simetriei, funcția g(x) scade monoton cu un factor mai mare de 6 la x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Valori la un număr de puncte f(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 + a Graficele f (x, a) și g(x) se ating dacă pantele lor sunt egale. Atingerea este posibilă la x = 5 În acest caz, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 Analizăm rădăcinile ecuației f(x, a) = g(x) Dacă a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) crește mai repede decât f(x, a), adică peste tot f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 La x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Dacă a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), rădăcinile 4, unul doi pe ramura stângă a lui f(x, a) la x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Dacă 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Dacă a = 49/16, atunci numărul de rădăcini este 3, una pe ramura stângă a lui f(x, a) la x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Dacă a > 49/16, atunci numărul de rădăcini, una pe ramura stângă a lui f(x, a) la x< 5, один на правой при x >1 Răspuns: fără rădăcini pentru a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Opțiunea 10 Aflați toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre ele ecuația 4x 3x x + a = 9 x 3 are două rădăcini Soluție Notați f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 Punctul singular al funcției g(x) este x = 3 Funcția scade monoton cu un factor de 9 ca x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 Funcția f(x, a) este liniară pe bucăți cu coeficienții 8, 6 sau 0 Prin urmare, nu scade în x, rata sa de creștere este mai mică decât cea a ramurii drepte a funcției 9 x 3 f(3, a) = a Grafic al acesteia expresia este o polilinie cu vârfuri (1, 1), (3, 3), (6, 1) Valorile funcției sunt pozitive pentru a (4, 18) Rezultă din ce s-a găsit dacă f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Dacă f(3, a) = 0, ecuația are exact o rădăcină x = 3 Pentru alte x ale g(x) > f(x, a) Dacă f(3, a) > 0, ecuația are exact două rădăcini, una pentru x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, când ramura care crește rapid g(x) intersectează ramura care crește lent f(x, a) Răspuns: a (4, 18) Opțiunea 11 Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre acestea, pentru orice valoare al parametrului b, are cel puțin un sistem soluționat de ecuații (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Gândirea Sistemul arată ca (1 + 3 x)a +(1+(b) ) y =, în mod convenabil x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Soluția x = y = 0 și x y =4 (a +1) se vede valorile parametrilor corespunzătoare a = 1 și a = 3 analiza punct singular b = Apoi (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y= 4 (a+ 1) Soluție Scriem sistemul ca Soluția x = y = 0 există întotdeauna pentru a = 1 sau a = 3 Dacă b =, atunci sistemul are forma (1+ 3 x)a +1 y =, sau x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Dacă a > 1 sau a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, din prima găsim a = 0 Fie a = 0 Atunci pentru b = 4 din prima ecuație obținem că y = 0 În acest caz, a doua ecuație nu are soluție Răspuns: 1 sau 3 VV Shelomovsky Mulțimi tematice, cmdru /

13 13 Opțiunea 14 Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care modulul diferenței rădăcinilor ecuației x 6x a 4a = 0 ia cea mai mare valoare Rezolvare Sa scriem ecuatia sub forma (x 3) = 1 (a) Solutia ei = 0 datorita periodicitatii functiilor sinus si cosinus, problema se poate rezolva pentru segmentul x=3± 1 (a) Cel mai mare diferența rădăcinilor este atunci când a = Răspuns: Opțiunea 15 Aflați toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele ecuația (4 4 k) sin t =1 are cel puțin o soluție pe segmentul [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Rezolvare Datorită periodicității funcțiilor sinus și cosinus, problema poate fi rezolvată pentru intervalul t [ π ; 15 π ], apoi scădeți 4π din fiecare soluție obținută.Transformați ecuația în forma + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t Pe segmentul t [ π ; 15 π] sinusul scade monoton de la zero la minus unu, cosinusul crește monoton de la minus unu la zero Numitorul dispare la 4tgt = 1, adică la sin t = 1 4, cos t = t = 15π este egal cu 4k Dacă k 0, numărătorul este pozitiv și ecuația nu are rădăcini Dacă k > 0, ambii termeni variabili ai numărătorului scad, adică numărătorul se modifică monoton Deci, numărătorul ia o valoare zero exact o dată, dacă k 05 și este pozitiv pentru valori mai mici k Ecuația are rădăcină dacă numărătorul este zero și numitorul nu este zero, adică în cazul lui 4k =+ 4 k sin t cos t + k Răspuns: k [ 05,+)\1 + ) Opțiunea 18 Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care sistemul de ecuații (x a 5) + (y 3 a +5) \u003d 16, (x a) + (y a + 1) \u003d 81 are o soluție unică Credem că Fiecare ecuație descrie un cerc Soluția este unică în cazul cercurilor care se ating Soluție Prima ecuație definește un cerc centrat pe (a + 5, 3a 5) și raza 4 A doua ecuație este circulară centrat în punctul (a +, a 1) cu o rază de 9 VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

14 14 Sistemul are o soluție unică dacă cercurile sunt tangente În acest caz, distanța dintre centre este = 13 sau 0 4 = 5 Pătratul distanței dintre centre: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = a a + 5 Dacă distanța este 5, atunci a = 0 sau a = 1 Dacă distanța este 13, atunci a = 8 sau a = 9 Răspuns: 8, 0, 1, 9 Opțiunea 1 Găsiți toate valorile parametrului, fiecare dintre ele având exact două soluții nenegative ecuația 10 0,1 x a 5 x + a \u003d 004 x Soluție Efectuăm transformări 5 x a 5 x + a \u003d 5 x Notăm t \ u003d 5x 1 Datorită monotonității funcției exponențiale 5x, fiecare rădăcină t 1 generează exact o rădăcină x 0 Ecuația ia forma t a t+ a t =0 Dacă a t, atunci t + 3t + a = 0 nu există rădăcini mai mari decât 1 Dacă t > a t/, atunci t t + 3a = 0 t/ > a, atunci t 3t a = 0 Pentru t > 1, funcția t 3t scade monoton de la t = 1 la 5 la t = 15 și apoi crește monoton Prin urmare, pentru 5 > a sunt două rădăcini, pentru a mai mic nu există rădăcini, pentru a mare rădăcina este exact una n Răspuns: 5 > a Opțiune Găsiți, în funcție de parametru, numărul de soluții ale sistemului x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Credem că sistemul arată cum ar fi f(x)= y, f(y)= x, sau f(f(х)) = x Una dintre soluțiile f(x)= x A doua soluție se găsește prin scăderea ecuațiilor Soluție Scăderea a doua ecuație din prima ecuație Se obține (x + y a)(x y) = 0 Fie x = y Înlocuiește în prima ecuație, transformă Se obține (x a 1) = 4 + a Fie x + y = a Înlocuiește în prima ecuație, transformă: (x a) = 3 + a Dacă a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, adică o pereche de soluții x= y =a+ 1± 4+ a Dacă a = 15, atunci două soluții: x = y = a, x = y = a + Dacă 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, două soluții, a > 15 patru soluții VV Shelomovsky Seturi tematice, cmdru/

15 15 Opțiunea 4 Aflați toate valorile lui a, pentru fiecare dintre ele ecuația 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x nu are rădăcini Gândind 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Aceasta înseamnă că ecuația include suma și suma cuburilor din aceleași expresii.Acest lucru poate fi folosit Soluție Să transformăm ecuația în forma (3 x)3 + (4 a x) 3+ (3 x + 4 a x)=0 Extindeți suma cuburilor (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Al doilea factor este pătratul incomplet al diferenței mărite cu It este pozitivă.Selectând pătratul din primul factor, obținem 1 1 3(x) + 4 a = Această ecuație nu are rădăcini, dacă 4 a > 0, a > 3 1 Răspuns: 1a > 1 Opțiunea 8 Aflați valorile a, pentru fiecare dintre care cea mai mare valoare a funcției x a x nu este mai mică de o Soluție Dacă x a, funcția f (x, a) = x a x Este maximă pentru x = 0,5, maxim este 0,5 a La a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 este cea mai mare valoare a funcției a + 0,5 1 cu un 0,75 Răspuns: a 0,75 sau 075 a a, x = 8y + b are un număr par de soluții Rezolvare: Din prima ecuație rezultă că y > 0, a doua ecuația poate fi transformată în forma: y=, x (b; +) Inclusiv y: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Fiecare rădăcină a ecuației obținute generează exact o soluție a sistemului original< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, ambele rădăcini sunt aceleași, iar ecuația f (x) \u003d 0 are o singură rădăcină = x (x b) + 1 = 0 Ultima ecuație poate avea una sau două rădăcini și numai cu x negativ. Truse tematice, cmdru/

Exemple de rezolvare a sarcinilor de tip C5 pentru examenul de stat unificat 013 Majoritatea desenelor din set sunt interactive. Puteți modifica parametrii și ecuațiile graficelor. Introducerea fișierelor interactive se face făcând clic pe

Subiectul 41 „Sarcini cu un parametru” Principalele formulări ale sarcinilor cu un parametru: 1) Găsiți toate valorile parametrilor, fiecare dintre acestea satisfăcând o anumită condiție.) Rezolvați o ecuație sau o inegalitate cu

1 Funcțiile, graficele lor și dovezile aferente Cuprins 1 Rădăcinile și numărul lor...1 1.1 Rădăcinile ecuației...1 1.1.a Rădăcinile ecuației...1 1. Numărul rădăcinilor... 1. Numărul rădăcinilor. .. 1.4 Funcționalitate

Sarcina 18 Criterii de evaluare a sarcinilor 18 Conținutul criteriului Puncte Am primit în mod rezonabil răspunsul corect. 4 Cu ajutorul raționamentului corect, se obține un set de valori ale a, care diferă de cel dorit printr-un număr finit

Ecuația liniară a x = b are: o soluție unică, pentru a 0; o mulțime infinită de soluții, pentru a = 0, b = 0; nu are soluții, pentru a = 0, b 0. Ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 are: două diferite

TIPURI DE GRAFICE Formula: y = kx + b k înseamnă panta dreptei b arată câte unități este deplasată linia în sus sau în jos față de origine Dacă k este pozitiv, linia crește EXEMPLE: y =

C5 Pentru fiecare valoare a lui a, rezolvați sistemul Perechile care dau o soluție sistemului trebuie să îndeplinească condițiile Din a doua ecuație a sistemului găsim. Rămâne de observat că atunci ecuația în condiții și are la,

Sarcina 23 314690. Construiți un grafic al funcției care se va intersecta la - și determinați la ce valori linia dreaptă este un grafic triplu în trei puncte. Să construim un grafic al funcției (vezi figura). Din grafic se poate observa că linia

Probleme cu un parametru (metoda grafică de rezolvare) Introducere Utilizarea graficelor în studiul problemelor cu parametrii este extrem de eficientă. În funcție de metoda de aplicare a acestora, există două abordări principale.

Sistemul de pregătire a elevilor pentru Examenul Unificat de Stat la matematică de nivel de profil. (sarcini cu parametru) Material teoretic Definitie. Un parametru este o variabilă independentă a cărei valoare în problemă este luată în considerare

Sarcini pentru decizie independentă. Găsiți domeniul funcției 6x. Aflați tangenta unghiului de înclinare la axa x a tangentei care trece prin punctul M (;) al graficului funcției. Aflați tangenta unui unghi

Webinar 5 Subiect: Revizuire Pregătirea pentru examinarea de stat unificată (sarcina 8) Sarcina 8 Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre care ecuația a a 0 are fie șapte, fie opt soluții Fie, apoi t t Ecuația inițială

Deoarece acesta este răspunsul corect, sistemul necesită îndeplinirea a două sau mai multe condiții și căutăm acele valori valoare necunoscută care îndeplinesc toate condiţiile deodată Să descriem soluţia fiecăreia dintre inegalităţi

Capitolul 8 Funcții și grafice Variabile și dependențe între ele. Două mărimi și sunt numite direct proporționale dacă raportul lor este constant, adică dacă =, unde este un număr constant care nu se modifică odată cu modificarea

Subiectul 36 „Proprietățile funcțiilor” Vom analiza proprietățile unei funcții folosind exemplul grafic al unei funcții arbitrare y = f (x): 1. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor variabilei x care au corespunzătoare

Informatii generale Sarcini cu parametri Ecuații cu un modul de sarcini de tip C 5 1 Pregătirea pentru examenul de stat unificat Dikhtyar M.B. 1. Valoarea absolută, sau modulul numărului x, este numărul x însuși, dacă x 0; numărul x,

Inegalități iraționale Inegalitățile în care variabila este conținută sub semnul rădăcinii se numesc iraționale.Metoda principală de rezolvare a inegalităților iraționale este metoda de reducere a inegalităților inițiale.

Catedra de Matematică și Informatică Elemente de Matematică Superioară tehnologii la distanță Calcul modulului Compilat de:

Funcția pătratică în diverse probleme Dikhtyar MB Informații de bază Funcția pătratică (trinom pătrat) este o funcție de forma y ax bx c, unde abc, numere date și funcții patratice y

Sistem de sarcini pe tema „Ecuația tangențială” Să se determine semnul pantei tangentei trasat la graficul funcției y f (), în punctele cu abscise a, b, c a) b) Indicați punctele în care derivata

ECUATII SI INEGALITATI CU MODULE Gushchin DD www.mathnet.spb.ru 1 0. Cele mai simple ecuatii. La cele mai simple (nu neapărat simple) ecuații, ne vom referi la ecuații rezolvate prin una dintre următoarele

MODULUL „Aplicarea continuităţii şi derivatei. Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor. Aplicarea continuitatii.. Metoda intervalelor.. Tangenta la grafic. Formula Lagrange. 4. Aplicarea derivatei

SOLUȚIONAREA PROBLEMEI R E A L N O V A R I A N T A E G E - 2001 P O M A T E M A T I K E Partea 1 A1. Găsiți valoarea expresiei. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Rezolvare. Răspuns: 1. A2. Simplificați expresia. unu.

Metodologia de formare a componentei bazate pe competențe a culturii matematice a elevilor de clasă Sistemul de studiere a modulelor de învățământ la matematică I. K. Sirotina, Lector superior Catedră tehnologia Informatiei

Algebră 0 clasa Subiect Funcții și transformări trigonometrice Concepte de bază Litera Z denotă mulțimea numerelor întregi: Z (0; ; ; ;) Arcsinusul numărului a aparținând intervalului [- ; ], se numește

111 Funcții Nivel de bază Cuprins 11101 Sisteme de coordonate 1110 Conceptul de funcționare 7 1110 Domeniul de funcții 10 11104 Domeniu de funcții (set) 1 11105 Creștere și descreștere a funcției

Capitolul TESTE T-0 Investigarea unei functii conform graficului T-0 Corespondenta intre graficul unei functii rationale si formula T-0 Construirea unui grafic dupa proprietati T-04 Transferul paralel al graficului T-05 Simetric

Examen de stat unificat la matematică, demonstrație de 7 ani Partea A Găsiți valoarea expresiei 6p p cu p = Soluție Folosiți proprietatea gradului: Înlocuiți în expresia rezultată Corect

Lecția 8 Formule trigonometrice de bază (continuare) Funcții trigonometrice Transformarea produsului funcții trigonometrice pentru a suma Formule pentru conversia produsului dintre sinus și cosinus

FUNCȚII. Conceptul de funcție. Să presupunem că viteza unei persoane este de 5 km/h. Dacă luăm timpul de călătorie ca x ore și distanța parcursă ca y km, atunci dependența distanței parcurse de timpul de călătorie poate fi

Informații generale despre examen Nivel de profil Sarcina 0 Probleme cu parametrii Ecuații pătratice și ecuații cu un trinom pătrat Dikhtyar MB Ecuația f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, unde f (a) 0, este

În jurul sarcinilor 18 de la Examenul Unificat de Stat 2017 A.V. Shevkin, [email protected] Adnotare: Articolul analizează diferite metode de rezolvare a unui număr de sarcini cu un parametru. Cuvinte cheie: ecuație, inegalitate, parametru, funcție,

Curbe de ordinul doi Cerc Elipsă Hiperbolă Parabolă Fie dat pe plan un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. O curbă de ordinul doi este un set de puncte ale căror coordonate satisfac

Abordări diferite pentru rezolvarea problemelor C C C5 Examen de stat unificat 9 ani Pregătirea pentru examenul de stat unificat (material pentru o prelegere pentru profesori) Prokofiev AA [email protected] Sarcini C Exemplu (UTILIZARE C) Rezolvați sistemul de ecuații y si (si) (7 y)

1 Tichete 9 10. Ticket de soluții 9 1. Este dată o funcție liniară f(x). Se știe că distanța dintre punctele de intersecție ale graficelor y = x și y = f(x) este egală cu 10, iar distanța dintre punctele de intersecție ale graficelor y =

Departamentul de Matematică și Informatică Analiză Matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții HPE care studiază cu utilizarea tehnologiilor la distanță Modulul 4 Aplicații ale derivatei Alcătuit de: Conf. univ.

Cursul 5 în avion. Definiție. Orice dreaptă dintr-un plan poate fi dată de o ecuație de ordinul întâi, iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuație generală.

Deciziile clasa a VIII-a 017-018 Sarcină Sarcină 1 Aflați suma cuburilor rădăcinilor ecuației (x x 7) (x x) 0. Pentru a rezolva ecuația, folosim metoda modificării variabilei. Notați y \u003d x + x 7, apoi x + x \u003d (x

APLICAREA FUNCȚIEI DERIVAIVE Ecuația tangentei Luați în considerare următoarea problemă: se cere să scrieți ecuația tangentei l trasată la graficul funcției într-un punct După semnificația geometrică a derivatei

CERCETAREA FUNCȚIILOR Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea unei funcții: Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă în interiorul unui interval X, atunci crește pe acest interval Dacă

Webinar 7 (6-7) Subiect: USE parametrii Profil Sarcina 8 Găsiți toate valorile parametrilor, pentru fiecare dintre ele setul de valori ale funcției 5 5 5 conține un segment Găsiți toate valorile parametrilor, pentru fiecare

5.0. 014 Lucru grozav. Ecuații și sisteme de ecuații cu parametri. O experienta examen de admitere la universități arată că rezolvarea ecuațiilor și inegalităților care conțin parametri cauzează mari dificultăți

LA. Strauss, I.V. Sarcini Barinova cu un parametru în Ghidul de examinare de stat unificat y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Sarcini cu un parametru în examen [Text]: instrucțiuni/ L.A. Strauss, I.V.

Lecţia 13 Tema: Curbe de ordinul doi Curbe de ordinul doi pe plan: elipsă, hiperbolă, parabolă. Derivarea ecuațiilor curbelor de ordinul doi pe baza proprietăților lor geometrice. Studiul formei unei elipse,

Matematică clasa a 8-a 2 CONŢINUTUL PROGRAMULUI Secţiunea 1. Fracţii algebrice (24 ore) Conceptul de fracţii algebrice. Proprietatea principală a unei fracții algebrice. Reducere fracții algebrice. Adunare si scadere

Subiectul 10 „Grafica functii elementare". unu. Funcție liniară f(x) = kx + b. Graficul este o linie dreaptă. 1) Domeniul definiției D(f) = R.) Domeniul valorilor E(f) = R. 3) Zerourile funcției y = 0 pentru x = k/b. 4) Extreme

P0 Derivată Se consideră o funcție f () în funcție de argument Fie această funcție definită în punctul 0 și o parte din vecinătatea ei, continuă în acest punct și vecinătatea ei

Sarcini cu parametri (clasele 10-11) Parametrii sunt aceleași numere, doar că nu sunt cunoscute dinainte 1 Ecuatii lineare iar inegalităţile cu parametrii Funcţia liniară: - ecuaţia unei drepte cu pantă

Opțiune Găsiți domeniul funcției: y + Domeniul funcției date este determinat de inegalitatea În plus, numitorul nu trebuie să dispară Aflați rădăcinile numitorului: Combinarea rezultatelor

BILET 15 Fiztekh 017. Bilete 15 16. Soluția 1. Se știe că pentru trei valori naturale consecutive ale argumentului, funcția pătratică f(x) ia valorile 1, 1 și, respectiv, 5. Găsiți cel mai mic

Construirea graficelor de funcții 1. Planificarea studiului unei funcții la trasarea unui grafic 1. Aflați domeniul funcției. Este adesea util să luați în considerare mai multe valori ale unei funcții. Explorați proprietățile speciale ale unei funcții:

sens geometric derivată Se consideră graficul funcției y=f(x) și tangentei în punctul P 0 (x 0 ; f(x 0)). Sa gasim pantă tangentă la grafic în acel punct. Unghiul de înclinare al tangentei Р 0

Semnificația geometrică a derivatei, tangente 1. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangentei la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f ( x) în punctul x 0. Valoare

Ministerul Educației și Științei Federația Rusă Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova ( Universitate de stat) Corespondenta scoala fizica si tehnica MATEMATICA Rezolvarea problemelor cu parametrii (01 015

ECUAȚII CADRATICE ecuații pătratice relativ

Ecuații, inegalități, sisteme cu un parametru Răspunsurile la sarcini sunt un cuvânt, o frază, un număr sau o secvență de cuvinte, numere. Scrieți răspunsul fără spații, virgule sau alte caractere suplimentare.

SECȚIUNEA DE SARCINI CU PARAMETRI Comentariu Sarcinile cu parametri sunt în mod tradițional sarcini dificileîn structura examenului unificat de stat, solicitând solicitantului nu numai să stăpânească toate metodele și tehnicile de rezolvare a diverselor

Matematica. Colectarea sarcinilor (14 aprilie, 01). Sarcini cu -. Problema 1. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația are o soluție unică 4 + 1 = + ax x x x a Problemă. Găsiți toate valide

IV Yakovlev Proceedings in matematica MathUs.ru Metoda intervalelor Metoda intervalelor este o metodă de rezolvare a așa-numitelor inegalități raționale. Concept general inegalitatea rațională vom discuta mai târziu, dar deocamdată

Calcul diferenţial Introducere în analiza matematică Limită de secvenţă şi funcţie. Dezvăluirea incertitudinilor din interior. Derivată de funcție. Reguli de diferențiere. Aplicarea derivatului

Partea I (Opțiunea 609) A Factor sub semnul rădăcinii 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Răspuns corect) Aflați valoarea expresiei),5) Răspuns corect) 9 cu a = a a)) 8 A log 8 Aflați valoarea

Soluții A Să desenăm toate aceste numere pe axa numerelor.Cel care se află în stânga tuturor și este cel mai mic Acest număr este 4 Răspuns: 5 A Să analizăm inegalitatea Pe axa numerelor, mulțimea numerelor care satisface

6..N. Derivată 6..H. Derivat. Cuprins 6..0.N. Introducere derivată.... 6..0.N. Derivat functie complexa.... 5 6..0.N. Derivate ale funcţiilor cu module.... 7 6..0.Н. Urcând și coborând