Pentru a lucra cu conceptul de rang al unei matrice, avem nevoie de informații din tema „Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice” . În primul rând, aceasta se referă la termenul „matrice minoră”, întrucât vom determina rangul unei matrice tocmai prin minori.

Rangul matricei numiți ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente sunt matrici ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că există cel puțin unul dintre minorii de ordinul doi care este diferit de zero. Și toți minorii, a căror ordine este mai mare de doi, sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2. Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii, a căror ordine este mai mare de 10, sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $A$ se notează astfel: $\rang A$ sau $r(A)$. Rangul matricei zero $O$ este setat egal cu zero, $\rang O=0$. Permiteți-mi să vă reamintesc că, pentru a forma o matrice minoră, este necesar să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $F$ are dimensiunea $5\time 4$ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorilor sale este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $F$ nu poate fi mai mare de patru, adică. $\suna F≤4$.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că dacă matricea conține $m$ rânduri și $n$ coloane, atunci rangul său nu poate depăși cel mai mic dintre numerele $m$ și $n$, adică. $\rang A≤\min(m,n)$.

În principiu, metoda de găsire a acesteia rezultă din însăși definiția rangului. Procesul de găsire a rangului unei matrice prin definiție poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Permiteți-mi să explic această diagramă mai detaliat. Să începem să raționăm de la bun început, adică. cu minori de ordinul întâi ai unei matrice $A$.

1. Dacă toate minorii de ordinul întâi (adică elementele matricei $A$) sunt egale cu zero, atunci $\rang A=0$. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 1$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
2. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $\rang A=1$. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 2$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
3. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $\rang A=2$. Dacă printre minorii de ordinul al treilea există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
4. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $\rang A=3$. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul al patrulea, atunci $\rang A≥ 4$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul al cincilea și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii de ordinul k să existe cel puțin unul diferit de zero, iar toți minorii de ordinul (k + 1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă de minori printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi egal cu k. Poate exista o situație diferită: printre minorii de ordinul k va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero, iar minorii de ordinul (k + 1) nu pot fi formați. În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, egal cu k. Pe scurt vorbind, ordinea ultimului minor nenulu compus și va fi egală cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice prin definiție va fi ilustrat clar. Încă o dată, subliniez că în exemplele acestui subiect vom găsi rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calculul rangului unei matrice prin metoda minorilor învecinați, calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare) sunt luate în considerare în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesară începerea procedurii de găsire a gradului de la minorii de ordinul cel mai mic, așa cum s-a făcut în exemplele nr. 1 și nr. 2. Puteți merge imediat la minori de ordine superioară (vezi exemplul nr. 3).

Exemplul #1

Găsiți rangul unei matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(matrice)\right)$.

Această matrice are dimensiunea $3\xtime 5$, adică conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, 3 este minim, deci rangul matricei $A$ este cel mult 3, adică. $\rang A≤ 3$. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu mai putem forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează numărul total de elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și este suficient. Deoarece există cel puțin un non-zero printre minorii de ordinul întâi, concluzionăm că $\rang A≥ 1$ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor #1, #2 și coloanelor #1, #4 există elemente de următorul minor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (matrice) \right| $. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vezi proprietatea #3 din proprietatea determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula nr. 1 din secțiunea privind calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Primul minor din al doilea ordin pe care l-am verificat s-a dovedit a fi egal cu zero. Ce spune? Despre necesitatea verificării în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie toate se dovedesc a fi zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ei există cel puțin un minor care este diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună scriind un minor de ordinul doi ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor #1, #2 și coloanelor #1 și #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Să aflăm valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Acest minor nu este egal cu zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul altul decât zero. Prin urmare, $\rank A≥ 2$. Este necesar să se procedeze la studiul minorilor de ordinul al treilea.

Dacă pentru formarea minorilor de ordinul trei alegem coloana #2 sau coloana #4, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (pentru că vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să scriem acest minor și să îi găsim valoarea:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul altul decât zero, este egală cu 2. Prin urmare, $\rang A=2$.

Răspuns: $\rangul A=2$.

Exemplul #2

Găsiți rangul unei matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Observăm imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $\rang A≤ 4$. Să începem să găsim rangul unei matrice.

Dintre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 1$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1 și nr. 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Să o calculăm:

$$ \left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Printre minorii de ordinul doi, există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 2$.

Să trecem la minorii de ordinul al treilea. Să găsim, de exemplu, un minor ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$ \left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi egal cu zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie toate vor fi egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ei va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero (atunci vom începe să studiem minorii de ordinul al patrulea). Luați în considerare un minor de ordinul trei ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Există cel puțin un minor diferit de zero printre minorii de ordinul trei, deci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $A$. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $A$, deoarece această matrice conține doar 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul nr. 2 al subiectului „Reducerea ordinii determinantului. Descompunerea determinantului într-un rând (coloană)” , deci să luăm doar rezultatul final:

$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matrice)\right|=86. $$

Deci, minorul de ordinul al patrulea nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: ordinul cel mai înalt minori, printre care există cel puțin unul altul decât zero, este egal cu 4. Rezultatul: $\rang A=4$.

Răspuns: $\rangul A=4$.

Exemplul #3

Găsiți rangul unei matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( matrice)\right)$.

Rețineți imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $\rang A≤ 3$. În exemplele anterioare, am început procesul de găsire a rangului luând în considerare minorii de ordinul cel mai mic (primul). Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai înaltă ordine posibilă. Pentru matricea $A$, aceștia sunt minori de ordinul trei. Luați în considerare un minor de ordinul al treilea ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $\rangul A=3$.

Răspuns: $\rangul A=3$.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este, în cazul general, o sarcină destul de consumatoare de timp. De exemplu, o matrice relativ mică de $5\time 4$ are 60 de minori de ordinul doi. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi trebuie să explorați minorii de ordinul trei, dintre care această matrice are 40 de piese. De obicei se încearcă să se folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.

Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului unei matrice. Rangul matricei este ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Conceptul de minor am discutat deja în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm câteva rânduri și câteva coloane din matrice, iar acest „ceva” ar trebui să fie mai mic decât numărul de rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „ceva” ar trebui să fie același număr. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de o ordine mai mică decât matricea noastră originală. Determinantul acestei matrice va fi de ordinul k minor dacă „ceva” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r+1)-al-lea ordin, în interiorul căruia se află minorul ales r-al-lea ordin, se numește margine pentru minorul dat.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate aflarea rangului unei matrice. aceasta mod de a frange minoriiși metoda transformărilor elementare(prin metoda Gauss).

Metoda limitării minorilor folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului unei matrice. Dacă se poate compune un minor din elementele matricei r al treilea ordin, care nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Cu metoda transformărilor elementare, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, cu excepția liniilor formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda limitării minorilor

Un minor învecinat este un minor de ordin superior în raport cu cel dat, dacă acest minor de ordin superior îl conține pe minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

marginile vor fi astfel de minori:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsim minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minori de ordinul trei limită. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați cu acesta. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea învecinați sunt zero, atunci rangul matricei este de trei ( r =2 ).

4. Continuați atâta timp cât o permite dimensiunea matricei.

Exemplul 1 Aflați rangul unei matrice

.

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Îl încadram. Vor fi patru minori în graniță:

,

,

Astfel, toți minorii de ordinul trei învecinați sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este de doi ( r =2 ).

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 1, deoarece toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în acest sens, ca și în cazurile minorilor învecinați din următoarele două exemple, dragii studenți sunt invitați să verifice singuri, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar între minorii de ordinul întâi, adică dintre elementele matricei, nu sunt egale cu zero.

Exemplul 3 Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toți minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4 Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3 deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare (prin metoda Gauss)

Deja în Exemplul 1, se poate observa că problema determinării rangului unei matrice prin metoda minorilor limită necesită calculul un numar mare determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Transformările elementare ale unei matrice înseamnă următoarele operații:

1) înmulțirea oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau a oricărei coloane a matricei a elementelor corespunzătoare din alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale unei matrice;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică acelea, ale căror elemente sunt egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale, cu excepția uneia.

Teorema. Transformarea elementară nu schimbă rangul matricei. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A mergi la matrice B, apoi .

Se consideră o matrice A de dimensiune .

A=
Selectați k rânduri și k coloane în el (
).

Definiția 26:Minor Ordinul k-lea al matricei A este determinantul matricei pătrate, care se obține din cea dată prin selecție în ea.

k rânduri și k coloane.

Definiția 27:rang matricea este numită cea mai mare dintre ordinele diferite de zero ale minorilor săi, r(A).

Definiția 28: Un minor a cărui ordine este aceeași cu rangul său este numit minor de bază.

Afirmație:

1. Rangul este exprimat ca un număr întreg.(
)

2.r=0,
când A este zero.

Transformări elementare ale matricelor.

Transformările elementare ale matricelor includ următoarele:

1) înmulțirea tuturor elementelor din orice rând (coloană) a matricei cu același număr.

2) adăugarea la elementele oricărui rând (coloană) din matricea elementelor corespunzătoare din alt rând (coloană) înmulțită cu același număr;

3) permutarea rândurilor (coloanelor) matricei;

4) eliminarea rândului zero (coloana);

5) înlocuirea rândurilor matricei cu coloane corespunzătoare.

Definiția 29: Matricele obtinute una de la alta, prin transformari elementare, se numesc matrici echivalente, notate cu „~“

Proprietatea principală a matricelor echivalente: Rândurile matricelor echivalente sunt egale.

Exemplul 18: Calculați r(A),

Soluţie:Înmulțiți prima linie pas cu pas cu (-4)(-2)

(-7) și apoi adăugați la al doilea, al treilea și, respectiv, al patrulea rând.

~

schimbați a doua și a patra linie
înmulțiți al doilea rând cu (-2) și adăugați la al patrulea rând; adăugați al doilea și al treilea rând.

adăugați al treilea și al patrulea rând.

~
eliminați linia nulă

~
r(A)=3
rangul matricei originale

este egal cu trei.

Definiția 30: Numim o matrice A o matrice în trepte dacă toate elementele diagonalei principale 0, iar elementele de sub diagonala principală sunt zero.

Propoziție:

1) rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale;

2) orice matrice poate fi redusă la o formă de pas cu ajutorul transformărilor elementare.

Exemplul 19: La ce valori ale matricei 
are rang egal cu unu?

Soluţie: Rangul este egal cu unu dacă determinantul de ordinul doi este egal cu zero, i.e.

§6. Sisteme de ecuații liniare de formă generală.

sistem de vizualizare
---(9) se numește sistem de formă generală.

Definiția 31: Se spune că două sisteme sunt echivalente (echivalente) dacă fiecare soluție a primului sistem este o soluție a celui de-al doilea și invers.

În sistemul (1) matricea A=
va fi numită matricea principală a sistemului și =
sistem de matrice extinsă

Teorema. Kronecker-Cappelli

Pentru ca sistemul (9) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică r(A)=r( )

Teorema 1. Dacă rangul matricei unui sistem consistent este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 2. Dacă rangul matricei unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Regula pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1) găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. În cazul în care un
, atunci sistemul este inconsecvent.

2) Dacă
=r, atunci sistemul este consistent. Găsiți un element minor de ordinul r. Vom numi minorul de bază, pe baza căruia a fost determinat rangul matricei.

Necunoscutele ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază sunt numite principale (de bază) și sunt lăsate în stânga, în timp ce necunoscutele rămase sunt numite libere și transferate în partea dreaptă a ecuației.

3) Găsiți expresiile principalelor necunoscute în ceea ce privește cele libere. Se obține soluția generală a sistemului.

Exemplul 20: Investigați sistemul și, în cazul compatibilității acestuia, găsiți fie o soluție unică, fie generală

Soluţie: 1) conform lui T. Kronecker-Capelli, găsim rândurile matricelor extinse și de bază ale sistemului:

~
~

~
~
rangul matricei principale este de doi

2) găsiți rangul matricei augmentate
~
~
~

3) Concluzie:
=2, atunci sistemul este consistent.

Dar

sistemul este nedefinit și are un număr infinit de soluții.

4) Necunoscute de bază și , întrucât aparțin minorului de bază, și - gratuit necunoscut.

Lăsa =c, unde c este orice număr.

5) Ultima matrice corespunde sistemului

6) Raspuns:

7) Verificare: în oricare dintre ecuațiile sistemului original, unde toate necunoscutele sunt prezente, înlocuim valorile găsite.

Numărul r se numește rangul matricei A dacă:
1) matricea A conține un minor non-nul de ordinul r;
2) toți minorii de ordin (r + 1) și mai mari, dacă există, sunt egali cu zero.
În caz contrar, rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero.
Denumiri: rangA , r A sau r .
Din definiție rezultă că r este un număr întreg pozitiv. Pentru o matrice nulă, rangul este considerat zero.

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi rangul matricei. Soluția este salvată în format Word și Excel. vezi exemplu de solutie.

Instruire. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Definiție . Fie dată o matrice de rang r. Orice matrice minoră, alta decât zero și de ordinul r, se numește de bază, iar rândurile și coloanele componentelor sale sunt numite rânduri și coloane de bază.
Conform acestei definiții, matricea A poate avea mai multe baze minore.

Rangul matricei de identitate E este n (număr de rânduri).

Exemplul 1 . Având în vedere două matrice, și minorii lor , . Care dintre ele poate fi luată ca bază?
Soluţie. Minorul M 1 =0, deci nu poate fi o bază pentru niciuna dintre matrice. Minor M 2 =-9≠0 și are ordinul 2, deci poate fi luat ca matrice de bază a lui A sau / și B, cu condiția ca acestea să aibă ranguri egale cu 2 . Deoarece detB=0 (ca determinant cu două coloane proporționale), atunci rangB=2 și M 2 pot fi luate ca bază minoră a matricei B. Rangul matricei A este 3, datorită faptului că detA=-27≠ 0 și, prin urmare, ordinea bazei minore a acestei matrice trebuie să fie 3, adică M 2 nu este o bază pentru matricea A . Rețineți că matricea A are o bază unică minoră egală cu determinantul matricei A .

Teoremă (pe minorul de bază). Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Consecințele din teoremă.

1. Orice (r+1) coloane (rânduri) ale unei matrice de rang r sunt dependente liniar.
2. Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul rândurilor (coloanelor) sale, atunci rândurile (coloanelor) sale sunt dependente liniar. Dacă rangA este egal cu numărul de rânduri (coloane) sale, atunci rândurile (coloanele) sunt liniar independente.
3. Determinantul unei matrice A este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) ale acesteia sunt dependente liniar.
4. Dacă un alt rând (coloană) înmulțit cu orice număr altul decât zero este adăugat la un rând (coloană) al unei matrice, atunci rangul matricei nu se va modifica.
5. Dacă tăiați un rând (coloană) din matrice, care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci rangul matricei nu se va schimba.
6. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale acesteia.
7. Numărul maxim de rânduri liniar independente este același cu număr maxim coloane liniar independente.

Exemplul 2 . Aflați rangul unei matrice .
Soluţie. Pe baza definiției rangului unei matrice, vom căuta un minor de ordinul cel mai înalt care este diferit de zero. Mai întâi, transformăm matricea într-o formă mai simplă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei cu (-2) și adăugați la al doilea, apoi înmulțiți-l cu (-1) și adăugați la al treilea.

Acest articol va discuta un astfel de concept precum rangul unei matrice și conceptele suplimentare necesare. Vom oferi exemple și dovezi de găsire a rangului unei matrice și, de asemenea, vă vom spune ce este o matrice minoră și de ce este atât de importantă.

Matrice minoră

Pentru a înțelege care este rangul unei matrice, este necesar să înțelegem un astfel de concept ca o matrice minoră.

Definiția 1

Minorkmatricea de ordinul al-lea - determinantul unei matrici pătrate de ordinul k × k, care este compusă din elementele matricei A, situate în k-rânduri și k-coloane preselectate, menținând în același timp poziția elementelor matricei A.

Mai simplu spus, dacă în matricea A ștergem (p-k) rânduri și (n-k) coloane, iar din acele elemente care rămân, facem o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate este ​minorul de ordin k al matricei A.

Din exemplu rezultă că minorii de ordinul întâi ale matricei A sunt elementele matricei în sine.

Putem da mai multe exemple de minori de ordinul 2. Să alegem două rânduri și două coloane. De exemplu, primul și al doilea rând, a treia și a patra coloană.

Cu această alegere a elementelor, minorul de ordinul doi va fi - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Un alt minor de ordinul 2 al matricei A este 0 0 1 1 = 0

Să oferim ilustrări ale construcției minorilor de ordinul doi ai matricei A:

Minorul de ordinul 3 se obține prin ștergerea celei de-a treia coloane a matricei A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

O ilustrare a modului în care se obține minorul de ordinul 3 al matricei A:

Pentru o matrice dată, nu există minori mai mari decât ordinul 3, deoarece

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Câte minore de ordinul k există pentru o matrice A de ordinul p×n?

Numărul de minori se calculează folosind următoarea formulă:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! și C nk = n ! k! (n - k) ! - numărul de combinații de la p la k, respectiv de la n la k.

După ce am decis care sunt minorele matricei A, putem trece la determinarea rangului matricei A.

Rang matrice: metode de găsire

Rangul matricei - ordinul cel mai înalt al matricei, altul decât zero.

Denumirea 1

Rang (A), Rg(A), Rang(A).

Din definiția rangului unei matrice și a minorului unei matrice, devine clar că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice non-zero este diferit de zero.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție

Metoda de enumerare minoră - o metodă bazată pe determinarea rangului unei matrice.

Algoritmul acțiunilor prin enumerarea minorilor :

Este necesar să găsim rangul matricei A de ordin p× n. Dacă există cel puțin un element diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unul ( deoarece este un minor de ordinul 1 care nu este egal cu zero).

Urmează apoi enumerarea minorilor de ordinul 2. Dacă toți minorii de ordinul 2 sunt egali cu zero, atunci rangul este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al II-lea diferit de zero, este necesar să treceți la enumerarea minorilor de ordinul al III-lea, iar rangul matricei, în acest caz, va fi de cel puțin doi.

Să facem același lucru cu rangul de ordinul 3: dacă toți minorii matricei sunt egali cu zero, atunci rangul va fi egal cu doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei diferit de zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei. Și așa mai departe, prin analogie.

Exemplul 2

Aflați rangul unei matrice:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său este cel puțin egal cu unu.

Minorul de ordinul 2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 este diferit de zero. Aceasta înseamnă că rangul matricei A este de cel puțin două.

Sortăm minorii de ordinul al treilea: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 bucăți.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minorii de ordinul 3 sunt zero, deci rangul matricei este doi.

Răspuns : Rang (A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor

Metoda de franjuri minore - o metodă care vă permite să obțineți un rezultat cu mai puțină muncă de calcul.

Minor cu franjuri - minor M o k (k + 1) -al-lea ordin al matricei A, care mărginește M minorul de ordinul k al matricei A, dacă matricea care corespunde minorului M o k „conține” matricea care corespunde minorului M.

Mai simplu spus, matricea corespunzătoare minorului marginit M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M o k prin ștergerea elementelor unui rând și a unei coloane.

Exemplul 3

Aflați rangul unei matrice:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Pentru a găsi rangul, luăm minorul de ordinul 2 M = 2 - 1 4 1

Notăm toți minorii învecinați:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Pentru fundamentarea metodei minorilor limită, prezentăm o teoremă a cărei formulare nu necesită o bază de probă.

Teorema 1

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k + 1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Algoritm de acțiune :

Pentru a găsi rangul unei matrice, nu este necesar să parcurgeți toți minorii, doar uitați-vă la granițe.

Dacă minorii învecinați sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este zero. Dacă există cel puțin un minor care nu este egal cu zero, atunci luăm în considerare minorii învecinați.

Dacă toate sunt zero, atunci rangul (A) este doi. Dacă există cel puțin un minor la graniță diferit de zero, atunci trecem să luăm în considerare minorii la graniță. Și așa mai departe, într-un mod similar.

Exemplul 4

Găsiți rangul unei matrice prin metoda franjării minorilor

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Cum să decizi?

Deoarece elementul a 11 al matricei A nu este egal cu zero, atunci luăm minorul de ordinul I. Să începem să căutăm un minor la graniță, altul decât zero:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Am găsit un minor învecinat de ordinul 2 care nu este egal cu zero 2 0 4 1 .

Să enumerăm minorii învecinați - (sunt (4 - 2) × (5 - 2) = 6 bucăți).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Răspuns : Rang(A) = 2.

Găsirea rangului unei matrice prin metoda Gauss (folosind transformări elementare)

Amintiți-vă ce sunt transformările elementare.

Transformări elementare:

• prin rearanjarea rândurilor (coloanelor) matricei;
• prin înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar non-nul k;

prin adăugarea la elementele oricărui rând (coloană) elemente care corespund altui rând (coloană) a matricei, care se înmulțesc cu un număr arbitrar k.

Definiția 5

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda Gauss - o metodă bazată pe teoria echivalenței matriceale: dacă matricea B se obține din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B).

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din definiția matricei:

• în cazul unei permutări a rândurilor sau coloanelor unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când permutați rânduri sau coloane rămâne egal cu zero;
• în cazul înmulțirii tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k, care nu este egal cu zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale, care se înmulțește prin k;

în cazul adunării la elementele unui anumit rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, care se înmulțesc cu numărul k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare : reduceți matricea, al cărei rang este de găsit, la una trapezoidală folosind transformări elementare.

Pentru ce?

Rangul matricelor de acest fel este destul de ușor de găsit. Este egal cu numărul de rânduri care au cel puțin un element non-null. Și deoarece rangul nu se schimbă în timpul transformărilor elementare, acesta va fi rangul matricei.

Să ilustrăm acest proces:

• pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri mai mult număr coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• pentru matrice dreptunghiulară A de ordinul p cu n, al căror număr de rânduri este mai mic decât numărul de coloane:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ p 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• pentru matrici pătrateȘi ordonați n după n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮ 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Exemplul 5

Găsiți rangul matricei A folosind transformări elementare:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Cum să decizi?

Deoarece elementul a 11 este diferit de zero, este necesar să se înmulțească elementele primului rând al matricei A cu 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Adăugăm elementelor din al 2-lea rând elementele corespunzătoare din primul rând, care se înmulțesc cu (-3). La elementele din al 3-lea rând adăugăm elementele din primul rând, care se înmulțesc cu (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Elementul a 22 (2) este diferit de zero, așa că înmulțim elementele din al 2-lea rând al matricei A cu A (2) cu a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• La elementele rândului 3 al matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din rândul 2, care se înmulțesc cu 3 2 ;
• la elementele din al 4-lea rând - elementele din al 2-lea rând, care se înmulțesc cu 9 2 ;
• la elementele din al 5-lea rând - elementele din al 2-lea rând, care se înmulțesc cu 3 2 .

Toate elementele de rând sunt zero. Astfel, cu ajutorul transformărilor elementare, am redus matricea la o formă trapezoidală, din care se poate observa că R a n k (A (4)) = 2 . Rezultă că rangul matricei originale este, de asemenea, egal cu doi.

cometariu

Dacă efectuați transformări elementare, atunci valorile aproximative nu sunt permise!

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter