Acum că am învățat cum să adunăm și să înmulțim fracții individuale, putem lua în considerare structuri mai complexe. De exemplu, ce se întâmplă dacă într-o singură problemă apar adunarea, scăderea și înmulțirea fracțiilor?

În primul rând, trebuie să convertiți toate fracțiile în fracțiuni necorespunzătoare. Apoi executăm secvențial acțiunile necesare - în aceeași ordine ca și pentru numerele obișnuite. Și anume:

1. În primul rând, se efectuează exponențiarea - scăpați de toate expresiile care conțin exponenți;
2. Apoi - împărțirea și înmulțirea;
3. Ultimul pas este adunarea și scăderea.

Desigur, dacă există paranteze în expresie, ordinea acțiunilor se schimbă - tot ceea ce este în interiorul parantezelor trebuie luat în considerare mai întâi. Și amintiți-vă despre fracțiile improprii: trebuie să selectați întreaga parte numai atunci când toate celelalte acțiuni au fost deja finalizate.

Să traducem toate fracțiile din prima expresie în unele improprii și apoi să efectuăm următoarele acțiuni:

Acum să găsim valoarea celei de-a doua expresii. Nu există fracții cu o parte întreagă, dar există paranteze, așa că mai întâi efectuăm adunarea și abia apoi împărțirea. Rețineți că 14 = 7 2 . Apoi:

În cele din urmă, luați în considerare al treilea exemplu. Există paranteze și un grad aici - este mai bine să le numărați separat. Având în vedere că 9 = 3 3 , avem:

Atenție la ultimul exemplu. Pentru a ridica o fracție la o putere, trebuie să ridicați separat numărătorul la această putere și separat numitorul.

Puteți decide altfel. Dacă ne amintim definiția gradului, problema se va reduce la înmulțirea obișnuită a fracțiilor:

Fracții cu mai multe etaje

Până acum am luat în considerare doar fracțiile „pure”, când numărătorul și numitorul sunt numere obișnuite. Acest lucru este în concordanță cu definiția unei fracții numerice dată în prima lecție.

Dar ce se întâmplă dacă un obiect mai complex este plasat în numărător sau numitor? De exemplu, o altă fracție numerică? Astfel de construcții apar destul de des, mai ales când se lucrează cu expresii lungi. Iată câteva exemple:

Există o singură regulă pentru lucrul cu fracții cu mai multe etaje: trebuie să scapi imediat de ele. Îndepărtarea podelelor „în plus” este destul de simplă, dacă vă amintiți că bara fracțională înseamnă operația standard de împărțire. Prin urmare, orice fracție poate fi rescrisă după cum urmează:

Folosind acest fapt și urmând procedura, putem reduce cu ușurință orice fracție cu mai multe etaje la una obișnuită. Aruncă o privire la exemple:

O sarcină. Convertiți fracțiile cu mai multe etaje în fracții comune:

În fiecare caz, rescriem fracția principală, înlocuind linia de despărțire cu un semn de diviziune. De asemenea, amintiți-vă că orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. Adică, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Primim:

În ultimul exemplu, fracțiile au fost reduse înainte de înmulțirea finală.

Specificul lucrului cu fracții cu mai multe etaje

Există o subtilitate în fracțiile cu mai multe etaje care trebuie reținută întotdeauna, altfel puteți obține răspunsul greșit, chiar dacă toate calculele au fost corecte. Aruncă o privire:

1. La numărător există un număr separat 7, iar la numitor - fracția 12/5;
2. Numătorul este fracția 7/12, iar numitorul este singurul număr 5.

Deci, pentru o singură înregistrare, am primit două interpretări complet diferite. Dacă numărați, răspunsurile vor fi și ele diferite:

Pentru a vă asigura că înregistrarea este întotdeauna citită fără ambiguitate, utilizați o regulă simplă: linia de despărțire a fracției principale trebuie să fie mai lungă decât linia imbricată. De preferat de mai multe ori.

Dacă urmați această regulă, atunci fracțiile de mai sus ar trebui scrise după cum urmează:

Da, probabil că este urâtă și ocupă prea mult spațiu. Dar vei număra corect. În cele din urmă, câteva exemple în care apar cu adevărat fracții cu mai multe niveluri:

O sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Deci, să lucrăm cu primul exemplu. Să convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi să efectuăm operațiile de adunare și împărțire:

Să facem același lucru cu al doilea exemplu. Convertiți toate fracțiile în improprii și efectuați operațiile necesare. Pentru a nu plictisi cititorul, voi omite câteva calcule evidente. Avem:

Datorită faptului că numărătorul și numitorul fracțiilor principale conțin sume, se respectă automat regula de scriere a fracțiilor cu mai multe etaje. De asemenea, în ultimul exemplu, am lăsat în mod deliberat numărul 46/1 sub formă de fracție pentru a efectua împărțirea.

De asemenea, observ că în ambele exemple, bara fracțională înlocuiește de fapt parantezele: în primul rând, am găsit suma și abia apoi - coeficientul.

Cineva va spune că trecerea la fracții improprii în al doilea exemplu a fost în mod clar redundantă. Poate că așa stau lucrurile. Dar astfel ne asigurăm de greșeli, pentru că data viitoare exemplul se poate dovedi mult mai complicat. Alegeți singur ceea ce este mai important: viteza sau fiabilitatea.

Materialul acestui articol este o privire generală asupra transformării expresiilor care conțin fracții. Aici vom lua în considerare transformările de bază care sunt caracteristice expresiilor cu fracții.

Navigare în pagină.

Expresii fracționale și expresii fracționale

Pentru început, să clarificăm cu ce fel de transformare a expresiei ne vom ocupa.

Titlul articolului conține expresia care se explică de la sine „ expresii cu fracții". Adică, mai jos vom vorbi despre transformarea expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile, în înregistrarea cărora se află cel puțin o fracție.

Observăm imediat că, după publicarea articolului „Transformarea fracțiilor: o viziune generală”Nu mai suntem interesați de fracții individuale. Astfel, mai departe vom lua în considerare sumele, diferențele, produsele, parțiale și nu numai expresii complexe cu rădăcini, grade, logaritmi, care sunt unite doar prin prezența a cel puțin unei fracții.

Și să vorbim despre expresii fracționale. Aceasta nu este același lucru cu expresiile cu fracții. Expresii cu fracții - mai multe concept general. Nu orice expresie cu fracții este o expresie fracțională. De exemplu, expresia nu este o expresie fracțională, deși conține o fracție, este o expresie rațională întreagă. Deci nu numiți o expresie cu fracții expresie fracțională fără a fi complet sigur că este.

Transformări identice de bază ale expresiilor cu fracții

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

În acest caz, puteți deschide parantezele, care vor da expresia , care conține termeni similari și , precum și −3 și 3 . După reducerea lor, obținem o fracție.

Să arătăm forma scurta intrări soluție:

Răspuns:

.

Lucrul cu fracții individuale

Expresiile despre care vorbim transformare diferă de alte expresii în principal prin prezența fracțiilor. Și prezența fracțiilor necesită instrumente pentru a lucra cu ele. În acest paragraf vom discuta despre transformarea fracțiilor individuale incluse în înregistrarea acestei expresii, iar în paragraful următor vom proceda la efectuarea operațiilor cu fracțiile care alcătuiesc expresia inițială.

Cu orice fracție care este parte integrantă expresie originală, puteți efectua oricare dintre conversiile prezentate în articolul Conversie fracțiuni. Adică, puteți lua o fracție separată, puteți lucra cu numărătorul și numitorul ei, să o reduceți, să o aduceți la un nou numitor etc. Este clar că odată cu această transformare, fracția selectată va fi înlocuită cu o fracție identic egală cu aceasta, iar expresia inițială va fi înlocuită cu o expresie identic egală cu aceasta. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Convertiți expresia cu fracție la o formă mai simplă.

Soluţie.

Să începem transformarea lucrând cu o fracție. Mai întâi, deschideți parantezele și dați termeni similari în numărătorul fracției: . Acum se impune bracketingul factorului comun x în numărător și reducerea ulterioară a fracției algebrice: . Rămâne doar să înlocuim rezultatul obținut în locul unei fracții în expresia originală, care dă .

Răspuns:

.

Efectuarea de acțiuni cu fracții

O parte a procesului de conversie a expresiilor cu fracții este adesea de făcut acțiuni cu fracții. Acestea se desfășoară în conformitate cu procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. De asemenea, merită să rețineți că orice număr sau expresie poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Problema poate fi abordată din diferite unghiuri. În contextul subiectului luat în considerare, vom trece prin efectuarea de acțiuni cu fracții. Să începem prin înmulțirea fracțiilor:

Acum scriem produsul ca fracție cu numitorul 1, după care scădem fracțiile:

Dacă se dorește și este necesar, se mai poate scăpa de iraționalitatea din numitor , pe care puteți finaliza transformarea.

Răspuns:

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, puterilor, logaritmilor etc.

Clasa de expresii cu fracții este foarte largă. Astfel de expresii, pe lângă fracțiile în sine, pot conține rădăcini, grade cu exponenți diferiți, module, logaritmi, funcții trigonometrice etc. Desigur, atunci când sunt convertite, se aplică proprietățile corespunzătoare.

Aplicabil fracțiilor, este de evidențiat proprietatea rădăcinii fracției, proprietatea fracției la grad, proprietatea modulului coeficientului și proprietatea logaritmului diferenței .

Pentru claritate, dăm câteva exemple. De exemplu, în expresia Poate fi util, pe baza proprietăților gradului, să înlocuim prima fracție cu un grad, ceea ce ne permite în continuare să reprezentăm expresia ca o diferență la pătrat. La conversia unei expresii logaritmice este posibil să înlocuim logaritmul unei fracții cu diferența de logaritmi, ceea ce ne permite în continuare să aducem termeni similari și prin urmare să simplificăm expresia: . Conversia expresiilor trigonometrice poate necesita înlocuirea raportului dintre sinus și cosinus al aceluiași unghi cu o tangentă. De asemenea, poate fi necesar să treceți de la o jumătate de argument folosind formulele adecvate la un argument întreg, scăpând astfel de argumentul fracțiunii, de exemplu, .

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, gradelor etc. la transformarea expresiilor este tratată mai detaliat în articolele:

• Transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor,
• Transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor,
• Conversia expresiilor logaritmice folosind proprietățile logaritmilor,
• Conversia expresiilor trigonometrice.

De la cursul de algebră curiculumul scolar Să trecem la detalii. În acest articol, vom studia în detaliu un tip special de expresii raționale − fracții raționale, și, de asemenea, analiza ce caracteristică identică transformări ale fracțiilor raționale avea loc.

Observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege același lucru în fracțiile raționale și algebrice.

Ca de obicei, începem cu o definiție și exemple. În continuare, să vorbim despre aducerea unei fracții raționale la un nou numitor și despre schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceea, vom analiza modul în care se realizează reducerea fracțiilor. În sfârșit, să ne oprim asupra reprezentării unei fracții raționale ca sumă a mai multor fracții. Toate informațiile vor fi furnizate cu exemple cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de fracții raționale

Fracțiile raționale sunt studiate în lecțiile de algebră din clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru clasele a VIII-a de Yu. N. Makarychev și alții.

LA această definiție nu se precizează dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie sau nu polinoame de formă standard. Prin urmare, vom presupune că fracțiile raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.

Iată câteva exemple de fracții raționale. Deci, x/8 și - fracții raționale. Și fracții și nu se potrivesc cu definiția sonoră a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele numărătorul nu este un polinom, iar în a doua atât numărătorul, cât și numitorul conțin expresii care nu sunt polinoame.

Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale

Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt expresii matematice autosuficiente, în cazul fracțiilor raționale sunt polinoame, într-un caz anume sunt monomii și numere. Prin urmare, cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca și în cazul oricărei expresii, pot fi efectuate transformări identice. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie care este identic egală cu aceasta, la fel ca și numitorul.

În numărătorul și numitorul unei fracții raționale se pot efectua transformări identice. De exemplu, la numărător, puteți grupa și reduce termeni similari, iar la numitor, produsul mai multor numere poate fi înlocuit cu valoarea acestuia. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la o formă standard sau reprezentare ca produs.

Pentru claritate, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Convertiți fracția rațională astfel încât numărătorul este un polinom de forma standard, iar numitorul este produsul polinoamelor.

Soluţie.

Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal la adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia

Proprietatea de bază a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele termenilor fracției. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție care este identic egală cu cea dată. O astfel de transformare trebuie folosită destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.

Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului unei fracții, vei obține o fracție egală cu cea inițială. Această afirmație corespunde egalității.

Să luăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele inversate ale numărătorului și numitorului formei.

Cu fracțiile, se poate realiza încă o transformare identică, în care semnul este schimbat fie la numărător, fie la numitor. Să trecem peste regula potrivită. Dacă înlocuiți semnul unei fracții împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu originalul. Declarația scrisă corespunde egalităților și .

Nu este greu să dovedești aceste egalități. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele: . Cu ajutorul unor transformări similare se demonstrează și egalitatea.

De exemplu, o fracție poate fi înlocuită cu o expresie sau .

Pentru a încheia această subsecțiune, prezentăm încă două egalități utile și . Adică dacă schimbi semnul doar numărătorului sau numai numitorului, atunci fracția își va schimba semnul. De exemplu, și .

Transformările luate în considerare, care permit schimbarea semnului termenilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracțional.

Reducerea fracțiilor raționale

Următoarea transformare a fracțiilor raționale, numită reducerea fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității, unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero.

Din egalitatea de mai sus, devine clar că reducerea unei fracții raționale implică eliminarea factorului comun din numărătorul și numitorul ei.

Exemplu.

Reduceți fracția rațională.

Soluţie.

Factorul comun 2 este imediat vizibil, să-l reducem (la scriere, este convenabil să tăiați factorii comuni prin care se face reducerea). Avem . Deoarece x 2 \u003d x x și y 7 \u003d y 3 y 4 (a se vedea dacă este necesar), este clar că x este un factor comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, cum ar fi y 3 . Să reducem prin acești factori: . Aceasta completează reducerea.

Mai sus, am efectuat reducerea secvențială a unei fracții raționale. Și a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2·x·y 3 . În acest caz, soluția ar arăta astfel: .

Răspuns:

.

La reducerea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. Mai mult decât atât, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau pentru a vă asigura că acesta nu există, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții raționale. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie redusă, în caz contrar, se efectuează reducerea.

În procesul de reducere a fracțiilor raționale, pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități cu exemple și detalii sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice.

Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.

Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții

Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.

O fracție rațională, în numărătorul căreia se află un polinom, care este suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca sumă a fracțiilor cu aceiași numitori, în numărătorii cărora se află monomiile corespunzătoare. De exemplu, . Această reprezentare se explică prin regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice cu aceiași numitori.

În general, orice fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a/b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c/d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a/b și c/d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea . De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Reprezentăm fracția inițială ca sumă a unei expresii întregi și a unei fracții. După împărțirea numărătorului la numitor la o coloană, obținem egalitatea . Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n=3, n=1, n=5 și respectiv n=−1.

Răspuns:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 2 p.m. Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

La școala de tip VIII, elevii se familiarizează cu următoarele transformări ale fracțiilor: exprimarea unei fracții în fracții mai mari (clasa a VI-a), exprimarea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt (clasa a VI-a), exprimarea fracțiilor în părți egale. (clasa a VII-a), exprimarea unui număr mixt ca fracție improprie (clasa a VII-a).

Exprimarea necorespunzătoare a fracțiuniisau număr mixt

I Studiul acestui material ar trebui să înceapă cu sarcina: luați 2 cercuri cusute și împărțiți fiecare dintre ele în 4 părți egale, numărați numărul de a patra părți (Fig. 25). În plus, se propune să scrieți această sumă ca o fracție (t). Apoi se adaugă a patra părți între ele și elevii sunt convinși că s-a dovedit

primul cerc. Prin urmare, -t= unu . Se adaugă la patru sferturi - succesiv mai multe -t, iar elevii notează: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Profesorul atrage atenția elevilor asupra faptului că în toate cazurile luate în considerare au luat o fracție improprie, iar în urma transformării au primit fie un număr întreg, fie un număr mixt, adică au exprimat o fracție improprie ca număr întreg. sau număr mixt. În continuare, trebuie să ne străduim să ne asigurăm că studenții determină în mod independent ce operație aritmetică poate fi efectuată această transformare.Exemple vii care conduc la răspuns

patru . 8 0 5 .1 7 .3 „ L

la întrebare sunt: ​​-2-=! și t = 2, 4" = 1t și t T " YV °D : la

Pentru a exprima o fracție improprie ca număr întreg sau număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la numitor, să scrieți câtul ca număr întreg, să scrieți restul în numărător și să lăsați numitorul același. Deoarece regula este greoaie, nu este deloc necesar ca elevii să o memoreze. Ei ar trebui să poată spune în mod constant despre acțiunile când efectuează această transformare.

Înainte de a introduce elevii în exprimarea unei fracții improprie printr-un număr întreg sau mixt, este indicat să repetați împreună cu ei împărțirea unui număr întreg la un număr întreg cu rest.

Consolidarea unei noi transformări pentru studenți este facilitată de rezolvarea unor probleme de natură vitală și practică, de exemplu:

„În vază sunt nouă sferturi dintr-o portocală. Skol| Portocalele întregi pot fi adăugate din aceste acțiuni? Câte sferturi vor mai rămâne?"

„Pentru fabricarea capacelor pentru cutii, fiecare coală a cardului

35 este tăiat în 16 părți egale. A primit -^. Câte goluri!

Tăiați foi de carton? Câte șaisprezemi dintr-o tăietură! din bucata urmatoare? etc.

Exprimarea numărului întreg și a numărului mixtfracție improprie

Introducerea studenților în această nouă transformare ar trebui precedată de rezolvarea problemelor, de exemplu:

„2 bucăți de țesătură, de lungime egală, având forma unui pătrat. > se taie in 4 parti egale. Din fiecare astfel de părți a fost cusută câte o batistă. Câte batiste ai luat? Înregistrez: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

ai luat vin? Scrieți: au fost 1 * cercuri, au devenit * cercuri, ceea ce înseamnă

Astfel, pe o bază vizuală și practică, luăm în considerare o serie de exemple. În exemplele luate în considerare, elevii sunt rugați să compare numărul inițial (mixt sau întreg) și numărul care a rezultat după conversie (fracție improprie).

Pentru a familiariza elevii cu regula exprimării unui întreg și a unui număr mixt ca fracție improprie, este necesar să le atragă atenția asupra comparației numitorilor unui număr mixt și a unei fracții improprie, precum și asupra modului în care se obține numărătorul, pt. exemplu:

1 2"=?, 1 = 2", plus ^, total ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, total

va fi -^-. Ca urmare, se formulează regula: astfel încât un număr mixt

exprimat ca o fracție improprie, este necesar să înmulțiți numitorul cu un număr întreg, să adăugați numărătorul la produs și să scrieți suma ca numărător și să lăsați numitorul neschimbat.

În primul rând, trebuie să-i exersați pe elevi în exprimarea unei unități ca o fracție improprie, apoi a oricărui alt număr întreg cu un numitor și abia apoi un număr mixt:

Proprietatea de bază a unei fracții 1

[conceptul de imuabilitate a unei fracții în creștere

1 scădere a membrilor săi, adică numărătorul și numitorul, sunt asimilate cu mare dificultate de elevii școlii de tip VIII. Acest concept trebuie introdus pe materialul vizual și didactic,

De ce este important ca elevii nu numai să observe activitățile profesorului, ci și să lucreze activ cu material didactic și, pe baza observațiilor și activităților practice, să ajungă la anumite concluzii, generalizări.

De exemplu, profesorul ia un nap întreg, îl împarte în 2 răzbunări egale și întreabă: „Ce ai obținut la împărțirea întregului nap.

în jumătate? (2 jumătăți.) Arată * napi. Să tăiem (separam)

jumătate de nap în încă 2 părți egale. Ce vom primi? -y. Hai să scriem:

tt \u003d - m - Să comparăm numărătorii și numitorii acestor fracții. In cat timp

ori a crescut numărătorul? De câte ori a crescut numitorul? De câte ori au crescut atât numărătorul, cât și numitorul? S-a schimbat fracția? De ce nu s-a schimbat? Care au fost acțiunile: mai mari sau mai mici? Numărul a crescut sau a scăzut

Apoi toți elevii împart cercul în 2 părți egale, fiecare jumătate este împărțită în încă 2 părți egale, fiecare sfert este împărțit în continuare în

2 părți egale etc. și notează: „o ^ A ^ tg ^ tgg și t - L- Apoi stabilesc de câte ori au crescut numărătorul și numitorul fracției, dacă fracția s-a schimbat. Apoi desenează un segment. și împărțiți-l succesiv la 3, 6, 12 părți egale și scrieți:

1 21 4 La compararea fracțiilor -^ și -^, -^ și -^, se constată că

numărătorul și numitorul fracției r crește de același număr de ori, fracția nu se modifică din aceasta.

După ce au luat în considerare o serie de exemple, elevii ar trebui să fie rugați să răspundă la întrebarea: „Se va schimba fracția dacă numărătorul?”, în orele de nivelare pentru copiii cu dificultăți de învățare la matematică. În acest manual, paragrafele care oferă o metodologie pentru studierea acestui material,

marcate cu un asterisc (*).

Exemple similare sunt date atunci când se consideră reducerea numărătorului și numitorului cu același număr de ori (număratorii și numitorul sunt împărțite la același număr). De exemplu, cr>"

( 4 \ împărțit în 8 părți egale, luați 4 optimi de cerc I -o-]

după ce au mărit acțiunile, iau a patra, vor fi 2. După ce au mărit acțiunile

4 2 1 ia a doua. Va fi 1 : ~ al-lea = -d--%- Compară adeptul!I

numărătorii și numitorii acestor fracții, răspunzând la întrebările: „În<>de câte ori scade numărătorul și numitorul? Se va schimba fracția?

Un bun beneficiu îl reprezintă dungile, împărțite în 12, 6, 3 părți egale (Fig. 26).

H

12 6 3 Fig. 26

Acest material generalizat este cunoscut din curs şcolar matematică. Ne uităm la fracții aici. vedere generala cu numere, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice sau alte obiecte. Se vor lua în considerare transformările de bază ale fracțiilor, indiferent de tipul lor.

Ce este o fracție?

Există mai multe definiții.

Definiția 2

Bara oblică orizontală care separă A și B se numește fracție sau linie fracționară.

Definiția 3

Se numește expresia de deasupra barei unei fracții numărător si sub - numitor.

De la fracții obișnuite la fracții generale

Cunoașterea unei fracții are loc în clasa a V-a, când fracțiile obișnuite trec. Din definiție se poate observa că numărătorul și numitorul sunt numere naturale.

Exemplul 1

De exemplu 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , care poate fi scris ca 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

După ce am studiat operațiile cu fracții obișnuite, ne ocupăm de fracții care nu au un număr natural la numitor, ci expresii cu numere naturale.

Exemplul 2

De exemplu, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Când avem de-a face cu fracții, unde există litere sau expresii literale, se scrie după cum urmează:

a + b c , a - b c , a c b d .

Definiția 4

Fixați regulile de adunare, scădere, înmulțire a fracțiilor ordinare a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Pentru a calcula, este adesea necesar să ajungeți la o traducere numere mixteîn fracții obișnuite. Când notăm partea întreagă ca a, atunci partea fracțională are forma b / c, obținem o fracție de forma a · c + b c, din care reiese clar apariția unor astfel de fracții 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 și așa mai departe.

Linia unei fracții este privită ca un semn de împărțire. Prin urmare, înregistrarea poate fi convertită într-un alt mod:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2 , unde câtul 4: 2 poate fi înlocuit cu o fracție, apoi obținem o expresie a formei

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Calculele cu fracții raționale ocupă un loc special în matematică, deoarece numărătorul și numitorul pot conține nu doar valori numerice, ci și polinoame.

Exemplul 3

De exemplu, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Expresiile raționale sunt considerate ca fracții ale unei forme generale.

Exemplul 4

De exemplu, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Studiul rădăcinilor, puterilor cu exponenți raționali, logaritmilor, funcții trigonometrice spune că aplicarea lor apare în fracții date de forma:

Exemplul 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Fracțiile pot fi combinate, adică au forma x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1.

Tipuri de conversii de fracții

Pentru un număr de transformări identice, sunt luate în considerare mai multe tipuri:

Definiția 5

• transformare specifică lucrului cu numărătorul și numitorul;
• schimbarea semnului înaintea unei expresii fracționale;
• reducerea la un numitor comun și reducerea fracțiilor;
• reprezentarea unei fracții ca sumă de polinoame.

Conversia expresiilor la numărător și numitor

Cu expresii identice egale, avem că fracția rezultată este identic egală cu cea originală.

Dacă este dată o fracție din forma A / B, atunci A și B sunt niște expresii. Apoi, la înlocuire, obținem o fracție de forma A 1 / B 1 . Este necesar să se demonstreze egalitatea A / A 1 = B / B 1 pentru orice valoare a variabilelor care satisfac ODZ.

Avem asta Ași A 1și Bși B1 sunt identic egale, atunci și valorile lor sunt egale. Rezultă că pentru orice valoare A/Bși A 1 / B 1 fracțiile vor fi egale.

Această conversie face mai ușor să lucrați cu fracții dacă trebuie să convertiți separat numărătorul și numitorul.

Exemplul 6

De exemplu, să luăm o fracție de forma 2 / 18, pe care o transformăm în 2 2 · 3 · 3. Pentru a face acest lucru, descompunem numitorul în factori simpli. Fracția x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 are un numărător de forma x 2 + x y, înseamnă că este necesar să se înlocuiască cu x (x + y) , care se va obţine prin bracketing factorul comun x . Numitorul unei fracții date x 2 + 2 x y + y 2 colaps prin formula de multiplicare prescurtată. Atunci obținem că expresia sa identic egală este (x + y) 2 .

Exemplul 7

Dacă este dată o fracție de forma sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6, atunci pentru a simplifica este necesar să înlocuiți numărătorul cu 1 conform formulei și să aduceți numitorul la forma φ 11 12. Atunci obținem că 1 φ 11 12 este egal cu fracția dată.

Schimbarea semnului în fața unei fracții, în numărătorul, numitorul acesteia

Conversiile fracțiilor sunt, de asemenea, înlocuirea semnelor din fața fracției. Să ne uităm la câteva reguli:

Definiția 7

• când schimbăm semnul numărătorului, obținem o fracție care este egală cu cea dată și arată literalmente ca _ - A - B \u003d A B, unde A și B sunt câteva expresii;
• la schimbarea semnului înaintea fracției și înaintea numărătorului, obținem că - - A B = A B ;
• la înlocuirea semnului în fața fracției și a numitorului acesteia, obținem că - A - B = A B .

Dovada

Semnul minus este în cele mai multe cazuri tratat ca un factor cu semn - 1, iar bara oblică este diviziune. De aici obținem că - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Grupând factorii, avem asta

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

După ce demonstrăm prima afirmație, justificăm restul. Primim:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Luați în considerare exemple.

Exemplul 8

Când este necesară convertirea fracției 3/7 la forma - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, atunci se realizează în mod similar cu o fracție de forma - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Transformările se efectuează după cum urmează:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Aducerea unei fracții la un nou numitor

Când studiem fracțiile obișnuite, am atins proprietatea de bază a fracțiilor, care vă permite să înmulțiți, să împărțiți numărătorul și numitorul cu același număr natural. Acest lucru se poate observa din egalitatea a · m b · m = a b și a: m b: m = a b , unde a , b , m sunt numere naturale.

Această egalitate este valabilă pentru orice valori a , b , m și toate a, cu excepția b ≠ 0 și m ≠ 0 . Adică obținem că dacă numărătorul fracției A/B cu A și C, care sunt niște expresii, este înmulțit sau împărțit cu expresia M, diferită de 0, atunci obținem o fracție care este identic egală cu cea inițială. Se obține că A · M B · M = A B și A: M B: M = A B .

Aceasta arată că transformările se bazează pe 2 transformări: reducerea la un numitor comun, reducerea.

La reducerea la un numitor comun, înmulțirea se realizează cu același număr sau expresie, numărător și numitor. Adică, trecem la rezolvarea fracției identice convertite egale.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 9

Dacă luăm fracția x + 1 0, 5 x 3 și înmulțim cu 2, atunci obținem că noul numitor va fi 2 x 0, 5 x 3 = x 3, iar expresia va lua forma 2 x + 1 x 3.

Exemplul 10

Pentru a reduce fracția 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x la un alt numitor de forma 6 x 1 + ln x 3, numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Ca rezultat, obținem fracția 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

O astfel de transformare precum eliminarea iraționalității din numitor este de asemenea aplicabilă. Elimină prezența unei rădăcini în numitor, ceea ce simplifică procesul de rezolvare.

Reducerea fracțiilor

Proprietatea principală este o transformare, adică reducerea ei directă. Când reducem, obținem o fracție simplificată. Să ne uităm la un exemplu:

Exemplul 11

Sau o fracție de forma x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, unde reducerea se face folosind x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 sau o expresie ca x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 . Apoi obținem fracția x 2 3 + 1 3 x

Reducerea fracțiilor este simplă atunci când factorii comuni sunt imediat vizibili. În practică, acest lucru nu se întâmplă des, prin urmare, este necesar mai întâi să se efectueze unele transformări ale expresiilor de acest fel. Există cazuri când este necesar să se găsească un factor comun.

Dacă există o fracție de forma x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3, atunci este necesar să se aplice formule trigonometrice și proprietățile puterilor pentru a putea convertiți fracția în forma x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 . Aceasta va face posibilă reducerea lui cu x 1 3 · sin 2 x .

Reprezentarea unei fracții ca sumă

Când numărătorul are o sumă algebrică de expresii ca A 1 , A 2 , … , A n, iar numitorul este notat B, atunci această fracție poate fi reprezentată ca A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Definiția 8

Pentru a face acest lucru, remediați acest A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Această transformare este fundamental diferită de adunarea fracțiilor cu aceiași exponenți. Luați în considerare un exemplu.

Exemplul 12

Având în vedere o fracție de forma sin x - 3 x + 1 + 1 x 2, pe care o vom reprezenta ca o sumă algebrică a fracțiilor. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă ca sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 sau sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 sau sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Orice fracție care are forma A/B este reprezentată în orice fel ca o sumă de fracții. Expresia A din numărător poate fi redusă sau mărită cu orice număr sau expresie A 0 care va face posibilă ajungerea la A + A 0 B - A 0 B .

Descompunerea unei fracții în cea mai simplă este un caz special pentru transformarea unei fracții într-o sumă. Cel mai adesea este folosit în calcule complexe pentru integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter