Se consideră o matrice A de dimensiune .

A=
Selectați k rânduri și k coloane în el (
).

Definiția 26:Minor Ordinul k al matricei A se numește determinant matrice pătrată, care rezultă din selecția dată în acesta.

k rânduri și k coloane.

Definiția 27:rang matricea este numită cea mai mare dintre ordinele diferite de zero ale minorilor săi, r(A).

Definiția 28: Un minor a cărui ordine este aceeași cu rangul său este numit minor de bază.

Afirmație:

1. Rangul este exprimat ca un număr întreg.(
)

2.r=0,
când A este zero.

Transformări elementare ale matricelor.

Transformările elementare ale matricelor includ următoarele:

1) înmulțirea tuturor elementelor din orice rând (coloană) a matricei cu același număr.

2) adăugarea la elementele oricărui rând (coloană) din matricea elementelor corespunzătoare din alt rând (coloană) înmulțită cu același număr;

3) permutarea rândurilor (coloanelor) matricei;

4) eliminarea rândului zero (coloana);

5) înlocuirea rândurilor matricei cu coloane corespunzătoare.

Definiția 29: Matricele obtinute una de la alta, prin transformari elementare, se numesc matrici echivalente, notate cu „~“

Proprietatea principală a matricelor echivalente: Rândurile matricelor echivalente sunt egale.

Exemplul 18: Calculați r(A),

Soluţie:Înmulțiți prima linie pas cu pas cu (-4)(-2)

(-7) și apoi adăugați la al doilea, al treilea și, respectiv, al patrulea rând.

~

schimbați a doua și a patra linie
înmulțiți al doilea rând cu (-2) și adăugați la al patrulea rând; adăugați al doilea și al treilea rând.

adăugați al treilea și al patrulea rând.

~
eliminați linia nulă

~
r(A)=3
rangul matricei originale

este egal cu trei.

Definiția 30: Numim o matrice A o matrice în trepte dacă toate elementele diagonalei principale 0, iar elementele de sub diagonala principală sunt zero.

Propoziție:

1) rangul unei matrice pas este egal cu numărul rândurilor sale;

2) orice matrice poate fi redusă la o formă de pas cu ajutorul transformărilor elementare.

Exemplul 19: La ce valori ale matricei 
are rang egal cu unu?

Soluţie: Rangul este egal cu unu dacă determinantul de ordinul doi este egal cu zero, i.e.

§6. Sisteme de ecuații liniare de formă generală.

sistem de vizualizare
---(9) se numește sistem de formă generală.

Definiția 31: Se spune că două sisteme sunt echivalente (echivalente) dacă fiecare soluție a primului sistem este o soluție a celui de-al doilea și invers.

În sistemul (1) matricea A=
va fi numită matricea principală a sistemului și =
sistem de matrice extinsă

Teorema. Kronecker-Cappelli

Pentru ca sistemul (9) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică r(A)=r( )

Teorema 1. Dacă rangul matricei unui sistem consistent este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 2. Dacă rangul matricei unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Regula pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1) găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. În cazul în care un
, atunci sistemul este inconsecvent.

2) Dacă
=r, atunci sistemul este compatibil. Găsiți un element minor al ordinului r. Vom numi minorul de bază, pe baza căruia a fost determinat rangul matricei.

Necunoscutele ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază sunt numite principale (de bază) și sunt lăsate în stânga, în timp ce necunoscutele rămase sunt numite libere și transferate în partea dreaptă a ecuației.

3) Găsiți expresiile principalelor necunoscute în ceea ce privește cele libere. Se obține soluția generală a sistemului.

Exemplul 20: Investigați sistemul și, în cazul compatibilității acestuia, găsiți fie o soluție unică, fie generală

Soluţie: 1) conform lui T. Kronecker-Capelli, găsim rândurile matricelor extinse și de bază ale sistemului:

~
~

~
~
rangul matricei principale este de doi

2) găsiți rangul matricei augmentate
~
~
~

3) Concluzie:
=2, atunci sistemul este compatibil.

Dar

sistemul este nedefinit și are un număr infinit de soluții.

4) Necunoscute de bază și , întrucât aparțin minorului de bază, și - gratuit necunoscut.

Lăsa =c, unde c este orice număr.

5) Ultima matrice corespunde sistemului

6) Raspuns:

7) Verificare: în oricare dintre ecuațiile sistemului original, unde toate necunoscutele sunt prezente, înlocuim valorile găsite.

Să fie dată o matrice:

.

Selectați în această matrice linii arbitrare şi coloane arbitrare
. Apoi determinantul ordinul al-lea, compus din elemente de matrice
situat la intersecția rândurilor și coloanelor selectate se numește minor matricea de ordinul al-lea
.

Definiția 1.13. Rangul matricei
este cel mai mare ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

Pentru a calcula rangul unei matrice, ar trebui să se ia în considerare toți minorii ei de ordinul cel mai mic și, dacă cel puțin unul dintre ei este diferit de zero, se trece la luarea în considerare a minorilor de ordinul cel mai înalt. Această abordare de determinare a rangului unei matrice se numește metoda limită (sau metoda minorilor limită).

Sarcina 1.4. Prin metoda limitării minorilor, determinați rangul unei matrice
.

.

Luați în considerare marginea de ordinul întâi, de exemplu,
. Apoi ne întoarcem la luarea în considerare a unor margini de ordinul doi.

De exemplu,
.

În cele din urmă, să analizăm marginea celui de-al treilea ordin.

.

În acest fel, ordinul cel mai înalt minor non-zero este 2, deci
.

La rezolvarea problemei 1.4, se poate observa că seriile de minori învecinați de ordinul doi sunt nenule. În acest sens, are loc următoarea noțiune.

Definiția 1.14. Minorul de bază al unei matrice este orice minor non-zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Teorema 1.2.(Teorema minoră de bază). Rândurile de bază (coloanele de bază) sunt liniar independente.

Rețineți că rândurile (coloanele) unei matrice sunt dependente liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre ele poate fi reprezentată ca o combinație liniară a celorlalte.

Teorema 1.3. Numărul de rânduri de matrice liniar independente este egal cu numărul de coloane de matrice liniar independente și este egal cu rangul matricei.

Teorema 1.4.(Condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul -a ordine este egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

Calcularea rangului unei matrice pe baza definiției sale este prea greoaie. Acest lucru devine deosebit de important pentru matricele de ordin înalt. În acest sens, în practică, rangul unei matrice este calculat pe baza aplicării teoremelor 10.2 - 10.4, precum și a utilizării conceptelor de echivalență a matricei și transformări elementare.

Definiția 1.15. Două matrice
și sunt numite echivalente dacă rangurile lor sunt egale, adică
.

Dacă matrice
și sunt echivalente, apoi rețineți
 .

Teorema 1.5. Rangul unei matrice nu se schimbă de la transformările elementare.

Vom numi transformări elementare ale matricei
oricare dintre următoarele acțiuni asupra matricei:

Înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rândurile corespunzătoare;

Permutarea rândurilor matricei;

Tăierea unei linii, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero;

Înmulțirea oricărui șir cu un număr diferit de zero;

Adăugând la elementele unui rând elementele corespunzătoare ale altui rând înmulțite cu același număr
.

Corolarul teoremei 1.5. Dacă matricea
obtinut din matrice folosind un număr finit de transformări elementare, apoi matricele
și sunt echivalente.

Când se calculează rangul unei matrice, aceasta ar trebui redusă la o formă trapezoidală folosind un număr finit de transformări elementare.

Definiția 1.16. Vom numi trapezoidală o astfel de formă de reprezentare a unei matrice atunci când în marginea minoră de ordinul cel mai mare, altul decât zero, toate elementele de sub cele diagonale dispar. De exemplu:

.

Aici
, elemente de matrice
transforma la zero. Apoi forma de reprezentare a unei astfel de matrice va fi trapezoidală.

De regulă, matricele sunt reduse la o formă trapezoidală folosind algoritmul gaussian. Ideea algoritmului gaussian este că, înmulțind elementele primului rând al matricei cu factorii corespunzători, se realizează ca toate elementele primei coloane situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Apoi, înmulțind elementele coloanei a doua cu multiplicatorii corespunzători, obținem ca toate elementele coloanei a doua situate sub elementul
, s-ar transforma la zero. Continuați în mod similar.

Sarcina 1.5. Determinați rangul unei matrice prin reducerea acesteia la o formă trapezoidală.

.

Pentru comoditatea aplicării algoritmului gaussian, puteți schimba primul și al treilea rând.








.

Evident aici
. Cu toate acestea, pentru a aduce rezultatul într-o formă mai elegantă, pot fi continuate transformări ulterioare asupra coloanelor.










.

Rangul unei matrice este important caracteristica numerica. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea compatibilității unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol, vom oferi conceptul de rang al unei matrice și vom lua în considerare metodele de găsire a acesteia. Pentru o mai bună asimilare a materialului, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, trebuie să înțelegeți bine conceptul de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Așa că recomandăm, dacă este necesar, să reamintim teoria articolului, metode de găsire a determinantului matriceal, proprietăți ale determinantului.

Luați o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine k-a minoră matricea A este determinantul matricei pătrate de ordin, compusă din elementele matricei A, care se află în k rânduri și k coloane preselectate, iar locația elementelor matricei A este păstrată.

Cu alte cuvinte, dacă ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane din matricea A și formăm o matrice din elementele rămase, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul matricei rezultate este ​un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am alcătuit determinantul din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul întâi
și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere, avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi format și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
și .

Minorii de ordinul trei ai matricei A pot fi găsite în mod similar. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane pentru aceste rânduri, atunci obținem un minor de ordinul trei

Poate fi construit și prin ștergerea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată un desen care arată construcția acestor minori de ordinul trei
și .

Pentru o matrice dată A, nu există minore de ordin mai mari decât a treia, deoarece .

Câte minore de ordin k ale matricei A de ordin există?

Numărul de ordine k minori poate fi calculat ca , unde și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum se construiesc toate minorele de ordin k ale matricei A de ordinul p pe n?

Avem nevoie de un set de numere de rând matrice și un set de numere de coloane. Înregistrând totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A la construirea unui minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând, adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente prin k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorele de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de numere de coloană 3 cu 2 sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Luați primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană pentru aceste rânduri, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană, obținem, respectiv, minorele

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, se găsesc toți cei nouă minori de ordinul doi al matricei A.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al matricei minore diferite de zero.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . De asemenea, puteți vedea denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului unei matrice și ale minorului unei matrice, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule este cel puțin unul.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare minoră. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Descrie pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin metoda enumerarii minorilor.

Dacă există cel puțin un element de matrice care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, repetăm ​​minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi diferit de zero, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei diferit de zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul unei matrice nu poate depăși cel mai mic dintre p și n.

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea. Toti lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor.

Există și alte metode pentru a găsi rangul unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

Una dintre aceste metode este metoda de franjuri minore.

Să ne ocupăm de noţiunea de minor învecinat.

Se spune că minorul M ok de ordinul (k+1) al matricei A îl înconjoară pe minorul M de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginit M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul doi. Să notăm toți minorii la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k + 1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a afla rangul unei matrice, nu este necesar să enumerați toți minorii care se învecinează suficient. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A de ordin se găsește prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore de ordinul al matricei A . Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului unei matrice prin metoda franjării minorilor. Descrie pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci luăm orice element al matricei A care este diferit de zero ca un minor de ordinul întâi. Considerăm minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este egală cu doi), atunci trecem la luarea în considerare a minorilor săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2 . Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este egală cu trei), atunci luăm în considerare minorii învecinați. Si asa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există o valoare diferită de zero. minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să analizăm metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice prin metoda minorilor limitrofe.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor la graniță, altul decât zero:

Se găsește un minor de ordinul doi, care nu este zero. Să enumerăm minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul unei matrice cu ajutorul minorilor învecinaţi.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A . Fringing it minor de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un minor marginal pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări elementare ale matricei (prin metoda Gauss).

Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

• permutarea rândurilor (sau coloanelor) ale matricei;
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a matricei cu un număr arbitrar k diferit de zero;
• adunând la elementele oricărui rând (coloană) elementele corespunzătoare altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A cu ajutorul unui număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor se notează prin simbolul „~”, adică se scrie A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

• Când rândurile (sau coloanele) unei matrice sunt permutate, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când permutați rândurile (coloanele), rămâne egal cu zero.
• Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) al matricei cu un număr arbitrar k diferit de zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
• Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare este să aducem matricea, al cărei rang trebuie să-l găsim, la un trapez (într-un caz particular, la unul triunghiular superior) folosind transformări elementare.

Pentru ce este? Rangul matricelor de acest fel este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de rânduri care conțin cel puțin un element non-nul. Și deoarece rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Forma lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Să presupunem că trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1), adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din al treilea rând, se adaugă elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate din rândurile de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal cu unu .

Dacă există cel puțin un element diferit de zero în rândurile de la al doilea până la p, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm exact în același mod, dar numai cu partea din matricea A marcată în figura (2)

Dacă , atunci rearanjam rândurile și (sau) coloanele matricei A (2) astfel încât elementul „nou” să devină diferit de zero.

Orice matrice A Ordin m×n poate fi privit ca o colecție m vectori rând sau n vectori coloană .

rang matrici A Ordin m×n este numărul maxim de vectori coloană liniar independenți sau vectori rând.

Dacă rangul matricei A egală r, atunci este scris:

Găsirea rangului unei matrice

Lăsa A matrice de ordine arbitrară m× n. Pentru a afla rangul unei matrice A se aplică metoda eliminării lui Gauss.

Rețineți că, dacă, la o anumită etapă a eliminării, elementul principal se dovedește a fi egal cu zero, atunci schimbăm acest șir cu un șir în care elementul principal este diferit de zero. Dacă se dovedește că nu există un astfel de rând, trecem la următoarea coloană și așa mai departe.

După mișcarea înainte a eliminării gaussiene, obținem o matrice ale cărei elemente de sub diagonala principală sunt egale cu zero. În plus, pot exista vectori rând nuli.

Numărul de vectori rând diferit de zero va fi rangul matricei A.

Să ne uităm la toate acestea cu exemple simple.

Exemplul 1

Înmulțind primul rând cu 4 și adăugând la al doilea rând și înmulțind primul rând cu 2 și adăugând la al treilea rând avem:

Înmulțiți al doilea rând cu -1 și adăugați-l la al treilea rând:

Avem două rânduri diferite de zero și, prin urmare, rangul matricei este 2.

Exemplul 2

Aflați rangul următoarei matrice:

Înmulțiți primul rând cu -2 și adăugați la al doilea rând. În mod similar, setați elementele celui de-al treilea și al patrulea rând din prima coloană la zero:

Să resetam elementele rândurilor al treilea și al patrulea din a doua coloană adăugând rândurile corespunzătoare celui de-al doilea rând înmulțit cu numărul -1.

În fiecare matrice, se pot asocia două ranguri: un rang de rând (rangul sistemului de rânduri) și un rang de coloană (rangul sistemului de coloane).

Teorema

Rangul rândului unei matrice este egal cu rangul coloanei sale.

Rangul matricei

Definiție

Rangul matricei$A$ este rangul sistemului său de rânduri sau coloane.

Notat cu $\operatorname(rang) A$

În practică, pentru a găsi rangul unei matrice, se folosește următoarea afirmație: rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero după ce matricea a fost redusă la o formă în trepte.

Transformările elementare pe rânduri (coloane) ale unei matrice nu îi schimbă rangul.

Rangul unei matrice de pas este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Exemplu

Exercițiu. Găsiți rangul unei matrice $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) și (18) și (40) și (17) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(array)\right) $

Soluţie. Folosind transformări elementare peste rândurile sale, reducem matricea $A$ la o formă de pas. Pentru a face acest lucru, mai întâi scădeți pe al doilea rând din a treia linie:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) și (2) și (4) și (3) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Din a doua linie scadem a patra linie, inmultita cu 4; din a treia - două sferturi:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) și (-12) și (-30) și (-3) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Adăugăm primele cinci la a doua linie și trei treimi la a treia:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

Schimbați prima și a doua linie:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (1) și (7) și (17) și (3)\end(matrice)\right) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) și (0) și (0) și (0) \\ (0) și (0) și (0) și (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$

Răspuns.$ \operatorname(rank) A=2 $

Metoda de margine minoră

O altă metodă pentru găsirea rangului unei matrice se bazează pe această teoremă - metoda de margine minoră. Esența acestei metode este găsirea minorilor, pornind de la ordinele inferioare și trecând la cele superioare. Dacă ordinul $n$-al-lea minor este diferit de zero și toate $n+1$-lea minore sunt egale cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu $n$ .

Exemplu

Exercițiu. Găsiți rangul unei matrice $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ folosind metoda marginilor minore.

Soluţie. Minorii de ordin minim sunt minorii de ordinul I, care sunt egali cu elementele matricei $A$ . Luați în considerare, de exemplu, minorul $ M_(1)=1 \neq 0 $ . situat în primul rând și prima coloană. Mărginindu-l cu al doilea rând și a doua coloană, obținem minorul $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; consideram un alt minor de ordinul doi, pentru aceasta marginim minorul $M_1$ cu ajutorul randului al doilea si coloanei a treia, apoi avem minorul $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , adică rangul matricei este ​cel putin doua. În continuare, luăm în considerare minorii de ordinul trei care îl înconjoară pe minor $ M_(2)^(2) $ . Există doi astfel de minori: o combinație a celui de-al treilea rând cu a doua coloană sau cu a patra coloană. Noi calculăm acești minori.