derivat privat funcțiile z = f(x, y prin variabila x derivata acestei funcții se numește la o valoare constantă a variabilei y, se notează sau z "x.

derivat privat funcții z = f(x, y) prin variabila y numită derivată față de y la o valoare constantă a variabilei y; se notează sau z „y.

Derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile față de o variabilă este definită ca derivată a acestei funcții față de variabila corespunzătoare, cu condiția ca celelalte variabile să fie considerate constante.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) la un moment dat M(X, y) se numește expresie

,

Unde și sunt calculate în punctul M(x, y) și dx = , dy = y.

Exemplul 1

Calculați diferența totală a funcției.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 în punctul M (1; 2)

Soluţie:

1) Găsiți derivate parțiale:

2) Calculați valoarea derivatelor parțiale în punctul M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Întrebări pentru autocontrol:

1. Ce se numește antiderivat? Enumerați proprietățile unui antiderivat.

2. Ce se numește integrală nedefinită?

3. Enumerați proprietățile integralei nedefinite.

4. Enumerați formulele de integrare de bază.

5. Ce metode de integrare cunoașteți?

6. Care este esența formulei Newton-Leibniz?

7. Dați o definiție a unei integrale definite.

8. Care este esența calculării unei integrale definite prin metoda substituției?

9. Care este esența metodei de calcul a unei integrale determinate pe părți?

10. Ce funcție se numește funcție a două variabile? Cum este desemnat?

11. Ce funcție se numește funcție a trei variabile?

12. Ce mulţime se numeşte domeniul unei funcţii?

13. Cu ajutorul ce inegalități se poate defini o regiune D închisă pe un plan?

14. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) în raport cu variabila x? Cum este desemnat?

15. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila y? Cum este desemnat?

16. Ce expresie se numește diferența totală a unei funcții

Tema 1.2 Ecuații diferențiale obișnuite.

Probleme care duc la ecuații diferențiale. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Soluții generale și private. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Liniar ecuații omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Lecția practică nr. 7 „Găsirea de soluții generale și particulare ecuatii diferentiale cu variabile separabile"*

Lecția practică nr. 8 „Ecuații diferențiale liniare și omogene”

Lecția practică nr.9 „Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul 2 cu coeficienți constanți»*

L4, capitolul 15, p. 243 - 256

Instrucțiuni

Lucrare practică №2

„Diferenţial de funcţii”

Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe o anumită temă.

Întrebări de teorie (nivel inițial):

1. Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor până la extrem.

2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.

3. Diferenţial complet funcţiile multor variabile.

4. Starea corpului în funcție de multe variabile.

5. Calcule aproximative.

6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferenţialului total.

7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.

(autoformare)

1. răspunde la întrebări pe tema lecției;

2. rezolva exemple.

Exemple

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor

Condiția ca funcția y = f(x) să crească pe segmentul [a, b]

Condiția ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]

Condiția pentru funcția maximă y=f(x) la x= a

f"(a)=0 și f""(a)<0

Dacă pentru x \u003d a derivatele f "(a) \u003d 0 și f "(a) \u003d 0, atunci este necesar să se investigheze f "(x) în vecinătatea punctului x \u003d a. Funcția y \u003d f (x) pentru x \u003d a are un maxim, dacă la trecerea prin punctul x \u003d și derivata f "(x) își schimbă semnul de la "+" la "-", în cazul unui minim - de la „-” la „+” Dacă f „(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă

Diferenţial de funcţie.

Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:

Diferenţialul funcţiei y=f(x)

Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v

Diferenţialul produsului a două funcţii y=uv

Diferenţialul coeficient a două funcţii y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Creșterea funcției

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

unde Δx: este incrementul argumentului.

Calculul aproximativ al valorii funcției:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f „(x) Δx

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Diferența este utilizată pentru a calcula erorile absolute și relative în măsurători indirecte u \u003d f (x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Eroarea relativă a rezultatului măsurării

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

Diferența de funcție ca parte principală a incrementului de funcție și. Conceptul de diferenţial al unei funcţii este strâns legat de conceptul de derivată. Lasă funcția f(x) continuu pentru valori date Xși are o derivată

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde creste functia Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dx® 0. Să definim ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:

Prin urmare, infinitezimal f¢(x)Dxși Dx au același ordin de mărime, adică f¢(x)Dx = O.

Să definim ordinea infinitezimalului a(Dх)Dхîn raport cu infinitezimalul Dx:

Prin urmare, infinitezimalul a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime decât infinitezimalul Dx, acesta este a(Dx)Dx = o.

Astfel, un increment infinitezimal Df funcția diferențiabilă poate fi reprezentată sub forma a doi termeni: un infinitezimal f¢(x)Dx de aceeași ordin de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dx® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică. a(Dx)Dx = o.

Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit diferenţial de funcţie f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de joc” sau „de ef”). Asa de,

dy = df = f¢(x)Dx.

Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de incrementul unei funcţii printr-un infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.

Exemplu. Calculați valoarea diferenţialului unei funcţii f(x) = x 3 + 2x, când X variază de la 1 la 1,1.

Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:

Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1și x=1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.

Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivată parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare X la punctul luat în considerare (X y) numită limită

dacă există.

Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X notat cu unul dintre următoarele caractere:

În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:

Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil să o calculăm. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.

Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), presupunând că acesta din urmă este o funcție a unui argument X, A la- permanentă; a găsi df/dy- viceversa.

Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x2 + y2 la punct P(1;2).

Soluţie. Socoteală f(x,y) funcție cu un singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

Considerând f(x; y) în funcție de un argument y, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTĂ A ELEVULUI:

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

Rezolvați următoarele sarcini:

1. Cu cât va scădea aria unui pătrat cu latura x = 10 cm dacă latura se reduce cu 0,01 cm?

2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2 , unde s se exprimă în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.

LITERATURĂ

1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M .: „Școala Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M .: „Școala superioară”, 1987. C16-20.

Luați în considerare schimbarea unei funcții atunci când creșteți doar unul dintre argumentele sale - x i, și să-i spunem .

Definiția 1.7.derivat privat funcţionează prin argument x i numit .

Denumiri: .

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile este de fapt definită ca derivată a funcției o variabilă - x i. Prin urmare, toate proprietățile derivatelor demonstrate pentru o funcție a unei variabile sunt valabile pentru aceasta.

Cometariu. În calculul practic al derivatelor parțiale, folosim regulile obișnuite pentru diferențierea unei funcții a unei variabile, presupunând că argumentul în raport cu care se realizează diferențierea este variabil, iar argumentele rămase sunt constante.

1. z= 2X² + 3 X y –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = x y ,

Interpretarea geometrică a derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile.

Luați în considerare ecuația suprafeței z = f(x,y) si deseneaza un avion x = const. Să alegem un punct pe linia de intersecție a planului cu suprafața M (x, y). Dacă setezi argumentul la increment Δ lași luați în considerare punctul T de pe curba cu coordonatele ( x, y+Δ y, z+Δy z), apoi tangenta unghiului format de secanta MT cu direcția pozitivă a axei O la, va fi egal cu . Trecând la limita la , obținem că derivata parțială este egală cu tangentei unghiului format de tangenta la curba rezultată în punctul M cu direcția pozitivă a axei O y.În consecință, derivata parțială este egală cu tangenta unghiului cu axa O X tangentă la curba rezultată din secţiunea suprafeţei z = f(x,y) avion y= const.

Definiție 2.1. Se numește incrementul complet al funcției u = f(x, y, z).

Definiție 2.2. Dacă incrementul funcției u \u003d f (x, y, z) în punctul (x 0, y 0, z 0) poate fi reprezentat sub forma (2.3), (2.4), atunci funcția se numește diferențiabilă în acest moment, iar expresia se numește partea liniară principală a incrementului sau diferența totală a funcției luate în considerare.

Notație: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

La fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferențele variabilelor independente sunt incrementele lor arbitrare, prin urmare

Observația 1. Astfel, afirmația „funcția este diferențiabilă” nu este echivalentă cu afirmația „funcția are derivate parțiale” – diferențiabilitatea necesită și continuitatea acestor derivate în punctul luat în considerare.

4. Plan tangent și normal la suprafață. Sensul geometric al diferenţialului.

Lasă funcția z = f(x, y) este diferențiabilă într-o vecinătate a punctului M (x 0, y 0). Atunci derivatele sale parțiale sunt pantele tangentelor la liniile de intersecție ale suprafeței z = f(x, y) cu avioane y = y 0și x = x 0, care va fi tangentă la suprafața însăși z = f(x, y). Să scriem o ecuație pentru planul care trece prin aceste drepte. Vectorii de direcție ai tangentelor au forma (1; 0; ) și (0; 1; ), deci normala la plan poate fi reprezentată ca produsul lor vectorial: n = (- ,- , 1). Prin urmare, ecuația planului poate fi scrisă astfel:

Unde z0 = .

Definiție 4.1. Se numește planul definit de ecuația (4.1). plan tangent la graficul funcției z = f(x, y)în punctul cu coordonate (x 0, y 0, z 0).

Din formula (2.3) pentru cazul a două variabile rezultă că incrementul funcției fîn vecinătatea punctului M poate fi reprezentat ca:

Prin urmare, diferența dintre aplicațiile graficului funcției și planul tangent este de ordin infinitezimal mai mare decât ρ, la ρ→ 0.

În acest caz, diferenţialul funcţiei f se pare ca:

care corespunde creşterea aplicaţiei planului tangent la graficul funcţiei. Acesta este sensul geometric al diferenţialului.

Definiție 4.2. Vector diferit de zero perpendicular pe planul tangent într-un punct M (x 0, y 0) suprafete z = f(x, y), se numește normal la suprafata in acel punct.

Ca o normală a suprafeței luate în considerare, este convenabil să luăm vectorul - n = { , ,-1}.

Lasă funcția să fie definită într-un domeniu (deschis). D puncte
spațiu dimensional și
este un punct în acest domeniu, adică
D.

Creșterea parțială a unei funcții multe variabile pentru orice variabilă se numește increment pe care îl va primi funcția dacă dăm un increment acestei variabile, presupunând că toate celelalte variabile au valori constante.

De exemplu, creșterea parțială a unei funcții peste o variabilă va fi

Derivată parțială față de variabila independentă la punct
din funcție se numește limita (dacă există) a relației de increment parțial
funcții pentru a crește
variabil în timp ce se străduieşte
la zero:

Derivata parțială se notează cu unul dintre simbolurile:

;
.

Cometariu. Index mai jos, în această notație, indică doar din care variabile este luată derivata și nu este legată în ce moment
se calculează această derivată.

Calculul derivatelor parțiale nu este nimic nou în comparație cu calculul derivatei obișnuite, este necesar doar să ne amintim că atunci când diferențiem o funcție față de orice variabilă, toate celelalte variabile sunt luate ca constante. Să arătăm asta cu exemple.

Exemplul 1Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.

Soluţie. La calcularea derivatei parțiale a unei funcții
prin argumentare luați în considerare funcția în funcţie de o singură variabilă , adică crede asta are o valoare fixă. La un fix funcţie
este funcția de putere a argumentului . Conform formulei de diferențiere a unei funcții de putere, obținem:

În mod similar, la calcularea derivatei parțiale presupunem că valoarea este fixă , și luați în considerare funcția
ca funcţie exponenţială a argumentului . Ca rezultat, obținem:

Exemplul 2. Hgăsiți derivate parțiale și funcții
.

Soluţie. La calcularea derivatei parțiale în raport cu funcţie dată vom considera ca functie a unei variabile , și expresii care conțin , vor fi factori constanți, adică
actioneaza ca un factor constant cu o funcție de putere (
). Diferenţierea acestei expresii în raport cu , primim:

.

Acum, dimpotrivă, funcția considerată în funcție de o variabilă , în timp ce expresiile care conțin , acționează ca un coeficient
(
).Diferentiere conform regulilor de diferențiere a funcțiilor trigonometrice, obținem:

Exemplul 3 Calculați derivatele parțiale ale unei funcții
la punct
.

Soluţie. Mai întâi găsim derivatele parțiale ale acestei funcții într-un punct arbitrar
domeniul său de definire. La calcularea derivatei parțiale în raport cu crede asta
sunt permanente.

la diferenţierea prin va fi permanent
:

iar la calcularea derivatelor parţiale cu privire la și prin , în mod similar, va fi constantă, respectiv,
și
, adică:

Acum calculăm valorile acestor derivate la punctul
, substituind valori specifice ale variabilelor în expresiile acestora. Ca rezultat, obținem:

11. Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții

Dacă acum la o creștere privată
se aplică teorema lui Lagrange pe incremente finite în raport cu o variabilă , apoi, numărând continuu se obtin urmatoarele relatii:

Unde
,
este o mărime infinitezimală.

Diferențial parțial al unei funcții după variabilă se numește partea liniară principală a incrementului parțial
, egal cu produsul derivatei parțiale față de această variabilă și incrementul acestei variabile și se notează

Evident, diferența parțială diferă de incrementul parțial printr-un ordin superior infinitezimal.

Creștere completă a funcției multe variabile se numește incrementul său, pe care îl va primi atunci când dăm un increment tuturor variabilelor independente, adică.

unde este toata lumea
, depind și împreună cu ei tind la zero.

Sub diferențiale ale variabilelor independente a fost de acord să însemne arbitrar incremente
și etichetați-le
. Astfel, expresia diferenţialului parţial va lua forma:

De exemplu, o diferență parțială pe este definit astfel:

.

diferenţial complet
funcțiile multor variabile se numește partea liniară principală a incrementului total
egal cu, i.e. suma tuturor diferenţialelor sale parţiale:

Dacă funcţia
are derivate parțiale continue

la punct
, atunci ea diferentiabila la un punct dat.

Pentru suficient de mic pentru o funcție diferențiabilă
există egalităţi aproximative

,

care poate fi folosit pentru calcule aproximative.

Exemplul 4Aflați diferența totală a unei funcții
trei variabile
.

Soluţie.În primul rând, găsim derivatele parțiale:

Menționând că acestea sunt continue pentru toate valorile
, găsim:

Pentru diferențiale de funcții ale mai multor variabile sunt adevărate toate teoremele privind proprietățile diferențialelor, care au fost dovedite pentru cazul funcțiilor unei variabile, de exemplu: dacă și sunt funcții continue ale variabilelor
, care au derivate parțiale continue în raport cu toate variabilele și și sunt constante arbitrare, atunci:

(6)

transcriere

1 PRELEGERE N Diferenţială totală, derivate parţiale şi diferenţiale de ordin superior Diferenţial total Diferenţiale parţiale Derivate parţiale de ordin superior Diferenţiale de ordin superior 4 Derivate ale funcţiilor complexe 4 Diferenţial total Diferenţiale parţiale Dacă o funcţie z=f(,) este diferenţiabilă, atunci totalul ei diferenţialul dz este egal cu dz= a +B () z z Reţinând că A=, B =, scriem formula () în următoarea formă z z dz= + () Extindem conceptul de diferenţială funcţie la variabile independente, stabilind diferenţialele variabilelor independente egale cu incrementele lor: d= ; d= După aceea, formula diferenţialului total al funcţiei va lua forma z z dz= d + d () d + d n variabile, apoi du= d (d =) = Expresia d z=f (,)d (4) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabilă; expresia d z=f (,)d (5) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabila Din formulele (), (4) și (5) rezultă că diferența totală a o funcție este suma diferențelor sale parțiale: dz=d z+d z incrementul z= z z + + α (,) + β (,) diferă de partea sa liniară dz= z z + numai prin suma ultimilor termeni α + β, care la 0 și 0 sunt de ordin infinitezimal mai mare decât termenii părții liniare. Prin urmare, pentru dz 0, partea liniară a incrementului funcției diferențiabile se numește partea principală a incrementului funcției și formula aproximativă z se folosește dz, care va fi cu cât mai precis, cu atât valoarea absolută a incrementelor argumentelor este mai mică,97 Exemplu Calculați aproximativ arctg(),0

2 Soluție Luați în considerare funcția f(,)=arctg() Folosind formula f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, obținem arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] sau + + arctg() arctg() () + () Fie =, =, apoi =-0,0, =0,0 Prin urmare, (0,0 0,0 arctg) arctg() + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Se poate arăta că eroarea rezultată din aplicarea formulei aproximative z dz nu depășește numărul = M (+), unde M este cea mai mare valoare a valorilor absolute ale derivatelor parțiale a doua f (,), f (,), f (,) atunci când argumentele se schimbă de la la + și de la la + Derivate parțiale de ordin superior Dacă funcția u =f (, z) are o derivată parțială față de una dintre variabilele dintr-un domeniu (deschis) D, atunci derivata găsită, fiind ea însăși o funcție a lui z, poate, la rândul său, să aibă derivate parțiale la un moment dat (0, 0). , z 0) în raport cu aceeași variabilă sau orice altă variabilă Pentru funcția originală u=f(, z), aceste derivate vor fi derivate parțiale de ordinul doi Dacă s-a luat prima derivată, de ex. ep, in, atunci derivata sa în raport cu, z se notează astfel: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = sau u, u, u z z z Derivatele ordinelor a treia, a patra și așa mai departe sunt determinate în mod similar.De rețineți că derivata parțială de ordin superior luată în raport cu diferite variabile, de exemplu, ; numită derivată parțială mixtă Exemplu u= 4 z, atunci, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; uz =8 z; uz =6 4 z; u z =6 4 z funcția f(,) este definită într-un domeniu (deschis) D,) în acest domeniu există derivate prime f și f, precum și derivate secundare mixte f și f și, în final,) aceste ultime derivate f și f, ca funcții ale lui u, sunt continue într-un anumit punct (0, 0) al regiunii D Atunci în acest punct f (0, 0)=f (0, 0) Demonstrație Luați în considerare expresia

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, unde, sunt diferite de zero, de exemplu, sunt pozitive și, în plus, sunt atât de mici încât D conține întregul dreptunghi [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= și deci continuu Cu această funcție f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f ( 0, 0) expresia W, care este egală cu W= poate fi rescrisă ca: ϕ (0 +) ϕ (0) W= deci: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0) + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Vedem că du este și o funcție de, Dacă presupunem existența unor derivate parțiale continue de ordinul doi pentru u, atunci du va avea derivate parțiale continue de ordinul întâi și putem vorbi despre diferenţialul total al acestei diferenţiale du , d(du), care se numește diferențială de ordinul doi (sau diferențială a doua) a lui u; se notează cu d u Subliniem că incrementele d, d, d sunt considerate constante și rămân aceleași la trecerea de la o diferență la alta (mai mult, d, d va fi zero) Deci, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d sau d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + În mod similar, se definește diferența de ordinul trei d u și așa mai departe Dacă funcția u are derivate parțiale continue de toate ordinele până la și inclusiv al n-a, atunci existența a n-a diferenţială este garantată.Dar expresiile pentru ele devin din ce în ce mai complexe Putem simplifica notaţia Să scoatem „litera u” din expresia primei diferenţiale Apoi, notaţia va fi simbolică: du=(d + d + + d) u; d u=(d + d + + d) u; d n n u=(d + d + + d) u, care trebuie înțeles după cum urmează: în primul rând, „polinomul” dintre paranteze este ridicat formal la o putere conform regulilor algebrei, atunci toți termenii rezultați sunt „înmulțiți” cu u (care se adaugă la n în numărătorii de la) , și numai după aceea toate simbolurile își returnează valoarea ca derivate și diferențiale u d) d u pe variabila t într-un anumit interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Fie, în plus, ca t se modifică, punctele (, z) nu depășesc regiunea D Înlocuind valorile, și z în funcția u, obținem o funcție complexă: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Să presupunem că u are derivate parțiale continue u, u și u z în și z și că t, t și z t există Atunci este posibil să se demonstreze existența unei derivate a unei funcții complexe și să o calculeze. Dăm variabilei t un increment t , atunci și z vor primi creșteri, respectiv, și z, funcția u va primi o creștere u Să reprezentăm incrementul funcției u sub forma: (asta se poate face, deoarece am presupus existența unor derivate parțiale continue u, u și u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, unde α, β, χ 0 at, z 0 Împărțim ambele parte a egalității pe t, obținem u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t t 4

5 Să lăsăm acum incrementul t să se apropie de zero: atunci, z va tinde spre zero, deoarece funcțiile, z ale lui t sunt continue (am presupus existența derivatelor t, t, z t) și, prin urmare, α, β, χ de asemenea, tind spre zero În limita obținem u t =u t +u t +u z z t () Vedem că, în baza ipotezelor făcute, derivata funcției complexe chiar există.Dacă folosim notația diferențială, atunci du d d dz () va căuta ca , z în mai multe variabile t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Pe lângă existența și continuitatea derivatelor parțiale ale funcției f(, z), avem presupunem aici existența derivatelor de funcții, z față de t și v Acest caz nu diferă semnificativ de cel deja considerat, deoarece la calcularea derivatei parțiale a unei funcții a două variabile, fixăm una dintre variabile și vom rămân cu o funcție a unei singure variabile, formula () va fi aceeași z și () trebuie rescrisă ca: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Exemplu u= ; =ϕ(t)=t; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funcții ale mai multor variabile În multe întrebări de geometrie a științelor naturii și a altor discipline, trebuie să se ocupe de funcții a două trei sau mai multe variabile Exemple: Aria unui triunghi S a h unde a este baza

13. Derivate parțiale ale ordinelor superioare Fie = au și definite pe D O. Funcțiile și sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții sau derivate parțiale primare ale unei funcții. si in general

Aplicație Definiția derivatei Fie și valorile argumentului, și f) și f) - ((valorile corespunzătoare ale funcției f () Diferența se numește increment al argumentului, iar diferența este creșterea funcției pe segment,

Exercițiu practic DIFERENȚIAREA UNEI FUNCȚII COMPLEXE ȘI IMPLICITE Diferențierea unei funcții complexe Diferențierea unei funcții implicite dată de o ecuație Sisteme de date implicite și parametrice

FUNCȚIILE MULTIPLE VARIABILE Funcțiile unei variabile independente nu acoperă toate dependențele care există în natură. Prin urmare, este firesc să extindem binecunoscutul concept de dependență funcțională și să introducem

6 Funcții implicite 6.1 Definiții, context

1. Concepte de bază. Funcțiile mai multor variabile. Vom studia funcția mai multor variabile folosind exemple de funcții a două și trei variabile, deoarece toate aceste definiții și rezultatele obținute

2.2.7. Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative. Diferenţialul funcţiei y = depinde de x şi este partea principală a incrementului x. Puteți folosi și formula: dy d Apoi eroarea absolută:

Cursul 9. Derivate și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor. Punctele extreme ale funcției. teoremele lui Fermat și Rolle. Fie funcția y diferențiabilă pe un anumit segment [b]. În acest caz, derivatul său

5 Punctul în care nu există F F F sau cel puțin una dintre aceste derivate se numește punct singular al suprafeței.Într-un astfel de punct, suprafața poate să nu aibă un plan tangent Definiție Normală la suprafață

INTEGRALA DEFINITA. Sume integrale și integrală definită Fie o funcție y = f () definită pe segmentul [, b ], unde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE DE ORDINUL I. Concepte de bază O ecuație diferențială este o ecuație în care o funcție necunoscută intră sub semnul derivat sau diferențial.

6. Diferenţialul unei funcţii 1. Definiţie şi semnificaţie geometrică DEFINIŢIE. O functie y = f(x) se numeste diferentiabila intr-un punct x 0 daca incrementul ei in acel punct se poate scrie ca suma unui liniar

Prelegeri Capitolul Funcțiile mai multor variabile Concepte de bază Unele funcții ale mai multor variabile sunt bine cunoscute Să dăm câteva exemple Pentru a calcula aria unui triunghi, se cunoaște formula lui Heron S

~ 1 ~ FUNCȚIA MULTIPLE VARIABILE 3 Funcția a două variabile, domeniul de definire, modalități de specificare și semnificație geometrică. Definiție: z f, se numește funcție a două variabile, dacă fiecare pereche de valori,

Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata Teorema existenței și unicității pentru o soluție În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul întâi are forma F ()

Cursul 3 Extremul unei funcții a mai multor variabile Fie definită o funcție a mai multor variabile u = f (x, x) în domeniul D, iar punctul x (x, x) = aparține acestui domeniu Funcția u = f ( x, x) are

Modul Subiect Secvențe de funcții și serii Proprietăți de convergență uniformă a secvențelor și a seriilor Serii de putere Curs Definiții de secvențe de funcții și serii uniform

9 Derivată și diferențială 91 Formule de bază și definiții pentru rezolvarea problemelor Definiție Fie funcția y f () este definită pe o f (Δ) f () Δy vecinătate a punctului Limita relației pentru Δ Δ Δ, dacă

1 Tema 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi 1.0. Definiții și teoreme de bază Ecuație diferențială de ordinul întâi: variabilă independentă; y = y() este funcția dorită; y = y () derivata sa.

Cursul 8 Diferențierea unei funcții complexe Considerăm o funcție complexă t t t f unde ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uhova, Yu.A. Şurinov

II ECUAȚII DIFERENȚIALE Ecuații diferențiale de ordinul întâi Definiție Relațiile în care variabilele necunoscute și funcțiile lor sunt sub semnul derivat sau diferențial se numesc

6 Probleme care duc la conceptul de derivată Fiți un punct material să se miște în linie dreaptă într-o direcție conform legii s f (t), unde t este timpul și s este calea parcursă de punctul în timp t Rețineți un anumit moment

Cursul 3. Integrală nedefinită. Antiderivată și integrală nedefinită În calculul diferențial se rezolvă problema: pentru o funcție dată f () găsiți derivata (sau diferențiala). Calcul integral

1 Cursul 7 Derivate și diferențiale de ordin superior Rezumat: Se introduce conceptul de funcție diferențiabilă, se dă o interpretare geometrică a primei diferențiale și se demonstrează invarianța acesteia

Funcții ale mai multor argumente Conceptul de funcție pentru fiecare element x din mulțimea X conform unei legi y \u003d f (x) este asociat cu o singură valoare a variabilei y din mulțimea Y ​​la fiecare pereche de numere

Compilat de VPBelkin 1 Curs 1 Funcția mai multor variabile 1 Concepte de bază Dependența \u003d f (1, n) a unei variabile de variabilele 1, n se numește funcție a n argumente 1, n În cele ce urmează, vom lua în considerare

ECUATII DIFERENTIALE Concepte generale Ecuatiile diferentiale au aplicatii numeroase si foarte diverse in mecanica, fizica, astronomie, tehnologie si in alte ramuri ale matematicii superioare (de exemplu,

I Definirea unei funcții a mai multor variabile Domeniul de definiție Când studiem mai multe fenomene, trebuie să ne ocupăm de funcții a două sau mai multe variabile independente, de exemplu temperatura corpului la un moment dat.

Cursul 8 Teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange si L'Hospital

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Cursul 4 Diferențierea funcțiilor complexe Diferențierea implicită Reamintim regula de diferențiere pentru funcțiile unei variabile, numită și regula lanțului (vezi

Secțiune Calcul diferențial al funcțiilor uneia și mai multor variabile Funcția argument real Numere reale Numerele întregi pozitive se numesc numere naturale Adăugați la numerele naturale

Atelier: „Diferențiabilitate și diferențială a unei funcții” Dacă funcția y f () are o derivată finită într-un punct, atunci incrementul funcției în acest punct poate fi reprezentat ca: y (,) f () () (), unde () la

Curs Ecuații diferențiale de ordinul al treilea Principalele tipuri de ecuații diferențiale de ordinul al treilea și soluția lor Ecuațiile diferențiale sunt unul dintre cele mai comune mijloace de matematică

TEMA 1 FUNCȚIA DERIVATĂ FUNȚIA DIFERENȚIALĂ PROGRAMUL ÎNTREBĂRI: 11 Conexiune funcțională Limită funcție 1 Derivată funcție 1 Semnificația fizică și geometrică mecanică a derivatei 14 De bază

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I O INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT AUTONOM DE STAT FEDERAL DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR „Național de Cercetare

DISCIPLINĂ Curs „Matematică superioară”, semestru Forma de studiu prin corespondență TEMA Matrix Algebra

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile. Diferențiabilitatea unei funcții într-un punct. Condiții suficiente de diferențiabilitate în ceea ce privește derivatele parțiale. Diferențierea complexă

Capitolul 4 Limita unei funcţii 4 1 CONCEPTUL DE LIMITE A UNEI FUNCŢII Acest capitol se concentrează pe conceptul de limită a unei funcţii. S-a definit care este limita unei funcții la infinit și apoi limita într-un punct, limite

PRELARE 23 TRANSFORMĂRI CANONICE. TEOREMA LUI LIOUVILLE PRIVIND CONSERVAREA VOLUMULUI FAZELOR. FUNCȚIA GENERATORĂ A TRANSFORMĂRII LIBERE Continuăm să studiem transformările canonice. Să ne amintim mai întâi principalul

Departamentul de Matematică și Informatică Analiză matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții HPE care studiază cu utilizarea tehnologiilor la distanță Modulul 3 Calcul diferențial al funcțiilor unui

55 este la o valoare infinitezimală de ordin mai mare a micșorării în comparație cu ρ n (,), unde ρ () + (), atunci poate fi reprezentat în forma Peano n R, ρ Exemplu Scrieți formula Taylor pentru n cu

Subiect Integrală definită Integrală definită Probleme care duc la conceptul de integrală definită Problema calculării ariei unui trapez curbiliniu În sistemul de coordonate Oxy, este dat un trapez curbiliniu,

5 Seria de puteri 5 Seria de puteri: definiție, regiune de convergență Seria de funcții de forma (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numerele se numesc serii de puteri Numere

Seria numerică Secvența numerică Opr O secvență numerică este o funcție numerică definită pe mulțimea numerelor naturale x - un membru comun al șirului x =, x =, x =, x =,

Ecuații diferențiale curs 4 Ecuații în diferențiale totale. Factorul integrator Lector Anna Igorevna Sherstneva 9. Ecuații în diferențiale totale Ecuația d + d = 14 se numește ecuație

Facultatea de Metalurgie Departamentul de Matematică Superioară

Analiza matematică Secțiunea: Funcția mai multor variabile Tema: Diferențiabilitatea FNP (sfârșit. Derivate parțiale și diferențiale ale FNP complexe. Diferențierea funcțiilor implicite Lector Rozhkova S.V.

(Teorema lui Fermat - teorema lui Darboux - teorema lui Rolle - teorema lui Lagrange teorema valorii medii - interpretarea geometrică a teoremei valorii medii - teorema lui Cauchy - formula de increment finit - regula lui L'Hopital

Capitolul 4 Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Dezvăluirea incertitudinilor Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Teorema lui Fermat (Pierre Fermat (6-665) matematician francez) Dacă funcţia y f

CURTEA 7 CALCULUL DIFERENȚIAL AL ​​O FUNCȚIE A UNEI VARIABILE 1 Conceptul de derivată a unei funcții

Ministerul Educației al Republicii Belarus Subiectul Universității Tehnologice de Stat din Vitebsk. „Rânduri” Catedra de Matematică Teoretică și Aplicată. dezvoltat de Conf. univ. E.B. Dunina. Principal

Cursul 3 Seria Taylor și Maclaurin Aplicarea serii de puteri Extinderea funcțiilor în serii de puteri Seria Taylor și Maclaurin Pentru aplicații, este important să puteți extinde o funcție dată într-o serie de puteri, acele funcții

58 Integrală determinată Fie dată pe interval funcția () Vom considera funcția continuă, deși acest lucru nu este necesar. Alegem numere arbitrare pe interval, 3, n-, îndeplinind condiția:

Ecuații diferențiale de ordin superior. Konev V.V. Planuri de prelegere. Cuprins 1. Concepte de bază 1 2. Ecuații care permit reducerea ordinului 2 3. Ecuații diferențiale liniare de ordin superior

Curs 20 TEOREMA PRIVIND DERIVATA UNEI FUNCȚII COMPLEXE. Fie y = f(u) și u= u(x). Obținem o funcție y în funcție de argumentul x: y = f(u(x)). Ultima funcție se numește funcție a unei funcții sau funcție complexă.

Diferențierea unei funcții implicite Luați în considerare funcția (,) = C (C = const) Această ecuație definește o funcție implicită () Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am găsit o expresie explicită = () Acum putem

Institutul de Aviație din Moscova (Universitatea Națională de Cercetare) Departamentul de Matematică Superioară Limite Derivate Funcții ale mai multor variabile Orientări și opțiuni de control

LUCRĂRI DE LABORATOR 7 FUNCȚII GENERALIZATE I. CONCEPTE ȘI TEOREME DE BAZĂ Se notează cu D mulțimea tuturor funcțiilor finite infinit derivabile ale unei variabile reale. aceasta

Capitolul 3. Investigarea funcţiilor cu ajutorul derivatelor 3.1. Extreme și monotonitate Se consideră o funcție y = f () definită pe un interval I R. Se spune că are un maxim local în punctul

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de „Științe fundamentale” Departamentul de „Modelare matematică” А.Н. Kanatnikov,

Orientări și variante ale RGR pe tema Funcția mai multor variabile pentru studenții specialității Design. Dacă cantitatea este determinată în mod unic prin stabilirea valorilor cantităților și independent unele de altele,

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de „Științe fundamentale” Departamentul de „Modelare matematică” А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU SARCINI DE CALCUL LA CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIOR „SERIA DE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE INTEGRALE DUBLE” PARTEA III SERIE TEMATICĂ Cuprins Serie Seria numerică Convergență și divergență

Limita functiei. Definirea limitei secvenței numerice. O secvență numerică infinită (sau pur și simplu o secvență numerică) este o funcție f f (, definită pe mulțimea tuturor

Curs 19 DERIVATIVUL ŞI APLICAŢIILE EI. DEFINIȚIA DERIVATULUI. Să avem o funcție y=f(x) definită pe un anumit interval. Pentru fiecare valoare a argumentului x din acest interval, funcția y=f(x)

Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile Funcţiile mai multor variabile O mărime se numeşte funcţie a variabilelor n dacă fiecărui punct M n aparţinând unei mulţimi X este atribuit

PRELARE N 7 .Puterea

Cursul 3 Teorema de existență și unicitate pentru o soluție a unei ecuații scalare Enunțul problemei Rezultatul principal Să considerăm problema Cauchy d f () d =, () =

Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat de Geodezie și Cartografie din Moscova (MIIGAiK) INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE ȘI SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ la cursul MATEMATICĂ SUPERIORĂ