Să treacă dreapta prin punctul M1 (x1, y1, z1) și să fie paralelă cu vectorul (m ,n, l). Să scriem o ecuație pentru această dreaptă.

Să luăm un punct arbitrar M (x, y, z) pe această dreaptă și să găsim relația dintre x, y, z. Să construim un vector

Vectorii sunt coliniari.

- ecuația canonică a unei drepte în spațiu.

44 Ecuații parametrice ale unei drepte

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este o ecuație parametrică a dreptei.

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate:

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Definiție. Cosinusurile de direcție ale dreptei sunt cosinusurile de direcție ale vectorului, care pot fi calculate prin formulele:

De aici obținem: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Numerele m, n, p se numesc panta dreptei. Deoarece este un vector diferit de zero, atunci m, n și p nu pot fi egali cu zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi egale cu zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

45 Ecuația unei drepte în spațiu care trece prin două puncte diferite date.

Geometrie analitică

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie M1(x1y1) și M2(x2y2) date în plan. Să compunem ecuația canonică a dreptei care trece prin aceste două puncte, ca vector de direcție S luăm M1M2

troica.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte date (x1 y1) și (x2, y2)

Să ne întoarcem acum la ecuațiile dreptei și ale planului în spațiu.

Geometrie analitică în spațiul tridimensional

În mod similar cu cazul bidimensional, orice ecuație de gradul întâi în raport cu trei variabile x, y, z este o ecuație a unui plan în planurile spațiului Оxyz. Ecuația canonică a planului care trece prin punctul M(x0,y0,z0) și având normala N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – care este această ecuație?

Valorile x-x0, y-y0 și z-z0 sunt diferențele dintre coordonatele punctului curent și ale punctului fix. Prin urmare, vectorul a (x-x 0, y-y0, z-z0) este un vector situat în planul descris, iar vectorul N este un vector perpendicular pe plan, ceea ce înseamnă că sunt perpendiculari unul pe celălalt.

Atunci produsul lor scalar trebuie să fie egal cu zero.

În forma de coordonate (N,a)=0 arată astfel:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

În spațiu, se disting triplele de vectori dreapta și stânga. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c se numește drept dacă, din originea lor comună, parcurgerea capetelor vectorilor a, b, c în ordinea specificată pare să meargă în sensul acelor de ceasornic. În caz contrar, rămân a,b,c.

46 Unghiul dintre liniile din spațiu

Un unghi între linii drepte în spațiu este oricare dintre colțurile adiacente, format din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și. Deoarece, conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l1 este paralel cu l2 dacă și numai dacă este paralel .

Două drepte sunt perpendiculare dacă și numai dacă suma produselor coeficienților corespunzători este egală cu zero: .

Aflați ecuațiile dreptei care trece prin punctul М1(1;2;3) paralel cu dreapta l1:

Deoarece linia dorită l este paralelă cu l1, atunci ca vector de direcție al dreptei dorite l, putem lua vectorul de direcție al dreptei l1.

Unul dintre sub-articolele subiectului „Ecuația unei drepte pe un plan” este problema compilării ecuațiilor parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Articolul de mai jos discută principiul compilării unor astfel de ecuații pentru anumite date cunoscute. Să arătăm cum să trecem de la ecuații parametrice la ecuații de altă formă; Să analizăm soluția problemelor tipice.

O anumită linie poate fi definită prin specificarea unui punct care aparține acelei linii și a unui vector de direcție pentru linie.

Să presupunem că ni se dă un sistem de coordonate dreptunghiular O x y . Și, de asemenea, este dată linia dreaptă a, indicând punctul M 1 care se află pe ea (x 1, y 1) și vectorul de direcție al dreptei date. a → = (a x , a y) . Oferim o descriere a liniei date a folosind ecuații.

Folosim un punct arbitrar M (x, y) și obținem un vector M1 M →; calculați coordonatele acestuia din coordonatele punctelor de început și de sfârșit: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Să descriem rezultatul: linia este dată de o mulțime de puncte M (x, y), trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector de direcție a → = (a x , a y) . Mulțimea specificată definește o linie dreaptă numai atunci când vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) sunt coliniari.

Există o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea vectorilor, care în acest caz pentru vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) se poate scrie ca un ecuaţie:

M 1 M → = λ · a → , unde λ este un număr real.

Definiția 1

Ecuația M 1 M → = λ · a → se numește ecuația vector-parametrică a dreptei.

În formă de coordonate, arată astfel:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ecuațiile sistemului rezultat x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ se numesc ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Esența numelui este următoarea: coordonatele tuturor punctelor dreptei pot fi determinate prin ecuații parametrice pe planul formei x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ atunci când se repetă peste toate valorile reale ​a parametrului λ

Conform celor de mai sus, ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe planul x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ determină o dreaptă care este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector ghid a → = (a x , a y) . Prin urmare, dacă sunt date coordonatele unui anumit punct al dreptei și coordonatele vectorului său de direcție, atunci este posibil să se noteze imediat ecuațiile parametrice ale dreptei date.

Exemplul 1

Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, dacă sunt date punctul M 1 (2, 3) care îi aparține și vectorul său de direcție. a → = (3 , 1) .

Soluţie

Pe baza datelor inițiale, obținem: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ecuațiile parametrice vor arăta astfel:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Să ilustrăm clar:

Răspuns: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

De remarcat: dacă vectorul a → = (a x , a y) servește ca vector de direcție al dreptei a, iar punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) aparțin acestei linii, atunci poate fi determinată prin stabilirea ecuațiilor parametrice de forma : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , precum și această opțiune: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

De exemplu, ni se dă un vector de direcție al unei linii drepte a → \u003d (2, - 1), precum și punctele M 1 (1, - 2) și M 2 (3, - 3) aparținând acestei linii. Atunci linia dreaptă se determină prin ecuații parametrice: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ sau x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

De asemenea, trebuie acordată atenție următorului fapt: dacă a → = (a x , a y) este vectorul de direcție al dreptei a , atunci oricare dintre vectori va fi și vectorul său de direcție μ a → = (μ a x , μ a y) , unde μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Astfel, o dreaptă a pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi definită prin ecuații parametrice: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pentru orice valoare diferită de zero a lui μ.

Să presupunem că linia a este dată de ecuațiile parametrice x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Apoi a → = (2 , - 5) - vectorul de direcție al acestei linii. Și, de asemenea, oricare dintre vectorii μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 va deveni vectorul de direcție pentru dreapta dată. Pentru claritate, considerăm un vector specific - 2 · a → = (- 4 , 10) , acesta corespunde valorii μ = - 2 . În acest caz, linia dreaptă dată poate fi determinată și de ecuațiile parametrice x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Tranziția de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe un plan la alte ecuații ale unei linii drepte date și invers

În rezolvarea unor probleme, utilizarea ecuațiilor parametrice nu este cea mai optimă opțiune, atunci devine necesară traducerea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în ecuații ale unei linii drepte de alt tip. Să vedem cum se face.

Ecuațiile parametrice ale dreptei x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vor corespunde ecuației canonice a dreptei pe planul x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile parametrice în raport cu parametrul λ, echivalăm părțile drepte ale egalităților obținute și obținem ecuația canonică a dreptei date:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

În acest caz, nu ar trebui să fie jenant dacă un x sau un y va fi egal cu zero.

Exemplul 2

Este necesar să se efectueze trecerea de la ecuațiile parametrice ale dreptei x = 3 y = - 2 - 4 · λ la ecuația canonică.

Soluţie

Scriem ecuațiile parametrice date în următoarea formă: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Exprimăm parametrul λ în fiecare dintre ecuații: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Echivalăm părțile corecte ale sistemului de ecuații și obținem ecuația canonică necesară a unei linii drepte în plan:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Răspuns: x - 3 0 = y + 2 - 4

În cazul în care este necesar să se noteze ecuația dreptei de forma A x + B y + C = 0 , în timp ce sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei pe plan, este necesar mai întâi să se facă trecerea la ecuația canonică și apoi la ecuația generală a dreptei. Să scriem întreaga secvență de acțiuni:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 3

Este necesar să se noteze ecuația generală a unei drepte dacă sunt date ecuațiile parametrice care o definesc: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Soluţie

Mai întâi, să facem tranziția la ecuația canonică:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporția rezultată este identică cu egalitatea - 3 · (x + 1) = 2 · y. Să deschidem parantezele și să obținem ecuația generală a dreptei: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Răspuns: 3x + 2y + 3 = 0

Urmând logica acțiunilor de mai sus, pentru a obține ecuația unei linii drepte cu factor de pantă, ecuația unei drepte în segmente sau ecuația normală a unei drepte, este necesar să se obțină ecuația generală a unei drepte și din aceasta să se efectueze o tranziție ulterioară.

Acum luați în considerare acțiunea inversă: scrierea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte pentru o formă dată diferită a ecuațiilor acestei linii drepte.

Cea mai ușoară trecere: de la ecuația canonică la cele parametrice. Să fie dată ecuația canonică de forma: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Luăm fiecare dintre relațiile acestei egalități egale cu parametrul λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Să rezolvăm ecuațiile rezultate pentru variabilele x și y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Exemplul 4

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei dacă se cunoaște ecuația canonică a dreptei pe plan: x - 2 5 = y - 2 2

Soluţie

Să echivalăm părțile ecuației cunoscute cu parametrul λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Din egalitatea obținută obținem ecuațiile parametrice ale dreptei: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Răspuns: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Când este necesar să se facă o tranziție la ecuații parametrice dintr-o ecuație generală dată a unei linii drepte, o ecuație a unei linii drepte cu o pantă sau o ecuație a unei linii drepte în segmente, este necesar să se aducă ecuația inițială la canonic, apoi faceți tranziția la ecuații parametrice.

Exemplul 5

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei cu ecuația generală cunoscută a acestei drepte: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Soluţie

Transformăm ecuația generală dată într-o ecuație de forma canonică:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Echivalăm ambele părți ale egalității cu parametrul λ și obținem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Exemple și probleme cu ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan

Să luăm în considerare cele mai comune tipuri de probleme folosind ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

1. În problemele de primul tip sunt date coordonatele punctelor, indiferent dacă acestea aparțin sau nu unei drepte descrise prin ecuații parametrice.

Rezolvarea unor astfel de probleme se bazează pe următorul fapt: numerele (x, y) determinate din ecuațiile parametrice x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pentru o valoare reală λ sunt coordonatele unui punct aparținând dreptei, în care sunt descrise aceste ecuații parametrice.

Exemplul 6

Este necesar să se determine coordonatele unui punct care se află pe o dreaptă dată de ecuațiile parametrice x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pentru λ = 3 .

Soluţie

Înlocuim valoarea cunoscută λ = 3 în ecuațiile parametrice date și calculăm coordonatele necesare: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Răspuns: 1 1 2 , 5

Este posibilă și următoarea problemă: să fie dat un punct M 0 (x 0, y 0) pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular și este necesar să se determine dacă acest punct aparține dreptei descrise de ecuațiile parametrice x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Pentru a rezolva o astfel de problemă, este necesar să înlocuim coordonatele unui punct dat în ecuațiile parametrice cunoscute ale unei drepte. Dacă se determină că este posibilă o astfel de valoare a parametrului λ = λ 0, în care ambele ecuații parametrice sunt adevărate, atunci punctul dat aparține dreptei date.

Exemplul 7

Sunt date punctele M 0 (4, - 2) și N 0 (- 2, 1). Este necesar să se determine dacă aparțin dreptei definite de ecuațiile parametrice x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Soluţie

Inlocuim coordonatele punctului M 0 (4, - 2) in ecuatiile parametrice date:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Concluzionăm că punctul M 0 aparține unei drepte date, deoarece corespunde valorii λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Este evident că nu există un astfel de parametru λ căruia să îi corespundă punctul N 0. Cu alte cuvinte, linia dată nu trece prin punctul N 0 (- 2 , 1) .

Răspuns: punctul M 0 aparține unei linii date; punctul N 0 nu aparține dreptei date.

1. În problemele de al doilea tip, se cere să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cel mai simplu exemplu al unei astfel de probleme (cu coordonatele cunoscute ale punctului liniei și ale vectorului de direcție) a fost considerat mai sus. Acum să ne uităm la exemple în care trebuie mai întâi să găsiți coordonatele vectorului de direcție și apoi să scrieți ecuațiile parametrice.

Este dat punctul M 1 1 2 , 2 3. Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei linii drepte care trece prin acest punct și o dreaptă paralelă x 2 \u003d y - 3 - 1.

Soluţie

În funcție de starea problemei, linia dreaptă, a cărei ecuație trebuie să o avansăm, este paralelă cu linia dreaptă x 2 \u003d y - 3 - 1. Apoi, ca vector de direcție, linia dreaptă trece prin punct dat, se poate folosi vectorul direcție al dreptei x 2 = y - 3 - 1 , pe care îl scriem sub forma: a → = (2 , - 1) . Acum sunt cunoscute toate datele necesare pentru a compune ecuațiile parametrice dorite:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Răspuns: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Exemplul 9

Este dat punctul M 1 (0, - 7). Este necesar să scrieți ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin acest punct perpendicular pe dreapta 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Soluţie

Ca vector de direcție al dreptei, a cărei ecuație trebuie să fie compusă, se poate lua vectorul normal al dreptei 3 x - 2 y - 5 = 0 . Coordonatele sale sunt (3 , - 2) . Scriem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. În problemele de al treilea tip, este necesară o tranziție de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte date la alte tipuri de ecuații care o determină. Soluţie exemple similare am considerat mai sus, vom mai da unul.

Dată o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, definită de ecuațiile parametrice x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Este necesar să găsiți coordonatele unui vector normal al acestei linii.

Soluţie

Pentru a determina coordonatele dorite ale vectorului normal, vom face tranziția de la ecuațiile parametrice la ecuația generală:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Coeficienții variabilelor x și y ne oferă coordonatele necesare ale vectorului normal. Astfel, vectorul normal al dreptei x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ are coordonatele 1 , 3 4 .

Răspuns: 1 , 3 4 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Echivalarea în ecuațiile canonice ale dreptei fiecare dintre fracții la un parametru t:

Obținem ecuații care exprimă coordonatele curente ale fiecărui punct al dreptei prin parametru t.

astfel, ecuațiile parametrice ale dreptei au forma:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie două puncte M 1 (x1,y1,z1)și M2 (x2,y2,z2). Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date se obțin în același mod ca o ecuație similară pe un plan. Prin urmare, dăm imediat forma acestei ecuații.

O linie dreaptă la intersecția a două plane. Ecuația generală a unei drepte în spațiu.

Dacă luăm în considerare două plane neparalele, atunci intersecția lor va fi o linie dreaptă.

Dacă vectori normali și necoliniare.

Mai jos, când luăm în considerare exemple, vom arăta o modalitate de a transforma astfel de ecuații drepte în ecuații canonice.

5.4 Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Un unghi între două linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Fie două drepte date de ecuațiile lor canonice.

Pentru unghiul dintre două drepte vom lua unghiul dintre vectorii de direcție.

Și

Condiția de perpendicularitate a două drepte se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor lor de direcție și , adică la egalitatea la zero a produsului scalar: sau sub formă de coordonate: .

Condiția de paralelism a două drepte se reduce la condiția de paralelism a vectorilor lor de direcție și

5.5 Aranjament reciproc drept și plan.

Să fie date ecuațiile dreptei:

si avioane. Unghiul dintre linie și plan va fi oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de linie și proiecția acesteia pe plan (Figura 5.5).

Figura 5.5

Dacă linia este perpendiculară pe plan, vectorul de direcție al dreptei și vectorul normal pe plan sunt coliniare. Astfel, condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția vectorilor coliniari

În cazul paralelismului unei drepte și unui plan, vectorii lor indicați mai sus sunt reciproc perpendiculari. Prin urmare, condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor; acestea. produsul lor punctual este zero sau sub formă de coordonate: .

Mai jos sunt exemple de rezolvare a problemelor legate de subiectul capitolului 5.

Exemplul 1:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A (1,2,4) perpendicular pe dreapta dată de ecuația:

Soluţie:

Folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, luăm punctul A (1,2,4), prin care planul trece prin condiție.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei, cunoaștem vectorul paralel cu dreapta.

Datorită faptului că, prin condiție, linia dreaptă este perpendiculară pe planul dorit, vectorul direcție poate fi luat ca vector normal al planului.

Astfel, obținem ecuația planului sub forma:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Exemplul 2:

Găsiți în avion 4x-7y+5z-20=0 un punct P pentru care OP face unghiuri egale cu axele de coordonate.

Soluţie:

Să facem un desen schematic. (Figura 5.6)

la

Figura 5.6

Punctul gol Р are coordonate. Deoarece vectorul formează aceleași unghiuri cu axele de coordonate, cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt egale între ele

Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt ușor de găsit.

Din egalitatea cosinusurilor direcției rezultă egalitatea:

x p \u003d y p \u003d z p

întrucât punctul P se află pe plan, înlocuirea coordonatelor acestui punct în ecuația planului îl transformă într-o identitate.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respectiv: y r=10; z p=10.

Astfel, punctul dorit P are coordonatele P (10; 10; 10)

Exemplul 3:

Date două puncte A (2, -1, -2) și B (8, -7,5). Aflați ecuația planului care trece prin punctul B, perpendicular pe segmentul AB.

Soluţie:

Pentru a rezolva problema, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, folosim punctul B (8, -7.5), iar ca vector perpendicular pe plan, vector. Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci obținem ecuația planului sub forma:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Exemplul 4:

Aflați ecuația unui plan paralel cu axa OY și care trece prin punctele K(1,-5,1) și M(3,2,-2).

Soluţie:

Deoarece planul este paralel cu axa OY, vom folosi ecuația incompletă a planului.

Ax+Cz+D=0

Datorită faptului că punctele K și M se află pe plan, obținem două condiții.

Să exprimăm din aceste condiții coeficienții A și C în termenii lui D.

Înlocuim coeficienții găsiți în ecuația incompletă a planului:

deoarece , atunci reducem D:

Exemplul 5:

Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Soluţie:

Să folosim ecuația unui plan care trece prin 3 puncte date.

înlocuind coordonatele punctele M, K, R ca primul, al doilea și al treilea obținem:

extinde determinantul de-a lungul primei linii.

Exemplul 6:

Aflați ecuația planului care trece prin punctele M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) și perpendicular pe plan 3x+5y-7z-21=0

Soluţie:

Să facem un desen schematic (Figura 5.7)

Figura 5.7

Notăm planul dat P 2 și planul dorit P 2. . Din ecuația unui plan dat Р 1 determinăm proiecțiile vectorului perpendicular pe planul Р 1.

Vectorul poate fi mutat în planul P 2 prin translație paralelă, deoarece, conform condiției problemei, planul P 2 este perpendicular pe planul P 1, ceea ce înseamnă că vectorul este paralel cu planul P 2 .

Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul Р 2:

acum avem doi vectori si situati in planul R 2 . evident vector , egal cu produsul vectorial al vectorilor și va fi perpendicular pe planul R2, deoarece este perpendicular și, prin urmare, vectorul său normal pe planul R2.

Vectorii și sunt dați de proiecțiile lor, prin urmare:

Apoi, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector. Ca punct, puteți lua oricare dintre punctele M 1 sau M 2, de exemplu M 1 (8, -3,1); Ca vector normal al planului Р 2 luăm .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Exemplul 7:

O linie dreaptă este definită de intersecția a două plane. Găsiți ecuațiile canonice ale dreptei.

Soluţie:

Avem o ecuație sub forma:

Trebuie să găsesc un punct x 0, y 0, z 0) prin care trece linia dreaptă și vectorul direcție.

Alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. De exemplu, z=1, atunci obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Astfel, am găsit un punct situat pe dreapta dorită (2,0,1).

Ca vector de direcție al dreptei dorite, luăm produsul încrucișat al vectorilor și , care sunt vectori normali deoarece , ceea ce înseamnă paralel cu linia dorită.

Astfel, vectorul direcție al dreptei are proiecții . Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu un vector dat:

Deci ecuația canonică dorită are forma:

Exemplul 8:

Aflați coordonatele punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan 2x+3y+3z-8=0

Soluţie:

Să scriem ecuația dată a unei linii drepte într-o formă parametrică.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

fiecărui punct al dreptei îi corespunde o singură valoare a parametrului t. Pentru a găsi parametrul t corespunzând punctului de intersecție al dreptei și al planului, înlocuim expresia în ecuația planului x, y, z prin intermediul parametrului t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

apoi coordonatele punctului dorit

punctul de intersecție dorit are coordonatele (1;1;1).

Exemplul 9:

Aflați ecuația unui plan care trece prin drepte paralele.

Să facem un desen schematic (Figura 5.9)

Figura 5.9

Din ecuații date linii și determinați proiecțiile vectorilor de direcție ai acestor drepte. Găsim proiecțiile vectorului situat în planul P și luăm punctele și din ecuațiile canonice ale dreptelor M 1 (1, -1,2) și M 2 (0,1, -2).

1. Ecuația parametrică a unei drepte

Fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pe o dreaptă și un vector s = (l ,m ,n ) situat pe

această linie (sau paralelă cu ea). Se mai numește vectorul s vector de ghidare drept.

Aceste condiții definesc în mod unic o linie dreaptă în spațiu. Să o găsim

ecuația. Luați un punct arbitrar M (x, y, z) pe linie. Este clar că vectorii

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) și s sunt coliniare.

Prin urmare, M 0 M = t s − este o ecuație vectorială a unei drepte.

În notația de coordonate, ultima ecuație are următoarea reprezentare parametrică

două unghiuri formate din două drepte, respectiv, paralele cu cea dată și care trec printr-un punct (ceea ce poate necesita translația paralelă a uneia dintre drepte).

Din definiție rezultă că unul dintre unghiuri este egal cu unghiul ϕ dintre

Dreptele sunt perpendiculare pe s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Unghiul dintre o linie și un plan. Condițiile « » și « » direct și

avion

Fie ca dreapta L să fie dată de ecuația sa canonică x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

iar planul P prin ecuație

Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. Unghiul dintre linia L

iar planul p se numeste colt ascutitîntre dreapta L şi proiecţia ei pe plan.

Din definiție (și figură) rezultă că unghiul necesar ϕ este suplimentar (până la unghi drept) la unghiul dintre vectorul normal n (A , B ,C ) si

vector de direcție s (l ,m ,n ) .

(. se ia pentru a obține un unghi ascuțit).

Dacă L Р, atunci s n (s, n) = 0

Acum, dacă înlocuim „t” găsit în ecuațiile parametrice ale dreptei, atunci vom găsi punctul de intersecție dorit

Una dintre principalele operații ale analizei matematice este operația de trecere la limită, care are loc în curs sub diferite forme. Începem cu cea mai simplă formă a operației de trecere la limită, bazată pe conceptul de limită a așa-numitei șiruri numerice. Aceasta va facilita introducerea unei alte forme foarte importante de trecere la operația limită, limita unei funcții. In cele ce urmeaza, constructiile de treceri la limita vor fi folosite in constructia calculului diferential si integral.



 Secvențe infinitezimale și infinit de mari

 Relația dintre secvențe infinit de mari și infinit de mici.

 Cele mai simple proprietăți ale secvențelor infinitezimale

 Limită de secvență.

 Proprietăţi ale secvenţelor convergente

 Operații aritmetice pe secvențe convergente

 Secvențe monotone

 Criteriul de convergență Cauchy

 Numărul e și ilustrația sa economică.

 Aplicarea limitelor în calculele economice

§ 1. Secvențe numerice și proprietăți simple

1. Conceptul de succesiune numerică. Operații aritmetice pe secvențe

Secvențele de numere sunt seturi infinite de numere. Exemple de secvențe sunt cunoscute de la școală:

1) succesiunea tuturor membrilor unei progresii aritmetice și geometrice infinite;

2) succesiune de perimetre regulate n-gonuri înscrise într-un cerc dat;

va fi numită secvența de numere (sau doar o secvență).

Numerele separate x 3 , x 5 , x n vor fi numite elemente sau membri ai succesiunii (1). Simbolul x n este numit membru comun sau al n-lea al acestei secvențe. Dând valoarea n = 1, 2, … în termenul comun x n obținem, respectiv, primul x 1 , al doilea x 2 și așa mai departe. membrii.

O secvență este considerată dată (vezi Def.) dacă este specificată o metodă pentru obținerea oricăruia dintre elementele sale. Adesea, o secvență este dată de o formulă pentru termenul comun al șirului.

Pentru a scurta notația, șirul (1) se scrie uneori ca

Structura termenului comun (formula sa) poate fi complexă. De exemplu,

Uneori succesiunea este dată de așa-numitul formule recurente, adică formule care vă permit să găsiți membrii ulterioare ai secvenței din cei anterioare cunoscuți.

Exemplu (numerele Fibonacci). Fie x 1 = x 2 = 1 și formula recurentă x n = x n − 1 + x n − 2 pentru n = 3, 4, … este dată. Atunci avem șirul 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numerele lui Leonardo din Pisa, supranumit Fibonacci). Geometric, o secvență numerică poate fi reprezentată pe un număr

axă sub forma unei succesiuni de puncte ale căror coordonate sunt egale cu cele corespunzătoare

membrii corespunzători ai secvenței. De exemplu, ( x n ) = 1 n .

Curs № 8-9 Fundamentele analizei matematice prof. Dymkov M.P. 66

Considerăm împreună cu șirul ( x n ) o altă secvență ( y n ): y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definiție. Suma (diferența, produsul, coeficientul) secvenței

valorile ( xn ) și ( yn ) se numește o secvență ( zn ) ai cărei membri sunt

Produsul unei secvențe ( xn ) și un număr c R este o secvență ( c xn ) .

Definiție. Secvența ( xn ) se numește mărginită

de sus (de jos), dacă există un număr real M (m) astfel încât fiecare element al acestei secvențe xn satisface inegalul

xn ≤ M (xn ≥ m) . O secvență se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și sub m ≤ xn ≤ M . Se numește șirul xn

este nemărginit dacă pentru un număr pozitiv A (arbitrar de mare) exista cel putin un element al secvenței xn , satisface

care dă inegalitatea xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − este mărginită de jos de 1, dar este nemărginită.

( x n ) = ( − n ) − mărginit de sus (–1), dar și nemărginit.

Definiție. Se numește șirul ( x n ). infinitezimal,

dacă pentru orice număr real pozitiv ε (oricât de mic este luat) există un număr N care depinde, în general, de ε , (N = N (ε )) astfel încât pentru tot n ≥ N inegalitatea x n< ε .

Exemplu. ( x n ) = 1 n .

Definiție. Se numește șirul ( xn ). durere nesfârșită-

nu dacă pentru un număr real pozitiv A (indiferent cât de mare este acesta) există un număr N (N = N(A)) astfel încât pentru toți n ≥ N

se obţine inegalitatea xn > A.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția paralelismului a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

În acest fel, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare valoare parametru t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yși zși punct M se deplasează în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, Prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l poți să iei produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

UNGHI ÎNTRE DREPTURI

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem