Bölüm 2. Formüllerin mantıksal denkliği. Önerme Cebir Formülleri için Normal Formlar

denklik bağıntısı

Doğruluk tablolarının yardımıyla, girdi değişkenlerinin hangi doğruluk değerleri setleri altında formülün doğru veya yanlış bir değer alacağını (aynı zamanda karşılık gelen mantıksal yapıya sahip bir ifade), hangi formüllerin totoloji olacağını belirleyebilir. veya çelişkiler ve ayrıca verilen iki formülün olup olmadığını belirleyin eşdeğer.

Mantıkta, her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlışsa iki cümlenin eşdeğer olduğu söylenir. Bu ifadedeki "aynı anda" kelimesi belirsizdir. Yani, "Yarın Salı olacak" ve "Dün Pazardı" cümleleri için bu kelimenin gerçek anlamı vardır: Pazartesi günü ikisi de doğrudur ve haftanın geri kalanında ikisi de yanlıştır. denklemler için " x = 2" ve " 2x = 4» "eşzamanlı", "değişkenin aynı değerleriyle" anlamına gelir. “Yarın yağmur yağacak” ve “Yarın yağmur yağmayacağı doğru değil” tahminleri aynı anda doğrulanacak (doğru olduğu ortaya çıkacak) veya onaylanmayacak (yanlış olduğu ortaya çıkacak). Özünde, bu iki şekilde ifade edilen aynı tahmindir. değişik formlar formüllerle gösterilebilen X ve . Bu formüller aynı anda "doğru" veya "yanlış" değerini alır. Kontrol etmek için bir doğruluk tablosu yapmak yeterlidir:

İlk ve son sütunlardaki doğruluk değerlerinin aynı olduğunu görüyoruz. Bu tür formüller ve bunlara karşılık gelen cümleler doğal olarak eşdeğer kabul edilir.

F1 ve F2 formülleri, eşdeğerleri bir totoloji ise eşdeğer olarak adlandırılır.

İki formülün denkliği şu şekilde yazılır: (okuyun: formül F1 formüle eşdeğerdir F2).

Formüllerin eşdeğer olup olmadığını kontrol etmenin üç yolu vardır: 1) eşdeğerlerini yapın ve bir totoloji olup olmadığını kontrol etmek için doğruluk tablosunu kullanın; 2) her formül için bir doğruluk tablosu yapın ve nihai sonuçları karşılaştırın; aynı değişken değer kümeleri için toplam sütunlarda ise her iki formülün de doğruluk değerleri eşit olacaktır, o zaman formüller eşdeğerdir; 3) eşdeğer dönüşümlerin yardımıyla.

Örnek 2.1: Formüllerin eşdeğer olup olmadığını öğrenin: 1) , ; 2) , .

1) Denkliği belirlemek için ilk yöntemi kullanalım, yani formüllerin denkliğinin bir totoloji olup olmadığını öğrenelim.

Formüllerin denkliğini yapalım: . Ortaya çıkan formül iki farklı değişken içerir ( ANCAK ve AT) ve 6 işlem: 1) ; 2) ; 3) ; dört); 5) ; 6). Bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 8 sütuna sahip olacağı anlamına gelir:

Doğruluk tablosunun son sütunundan, derlenen eşdeğerliğin bir totoloji olduğu ve dolayısıyla .

2) Formüllerin eşdeğer olup olmadığını bulmak için ikinci yöntemi kullanırız, yani formüllerin her biri için bir doğruluk tablosu derler ve son sütunları karşılaştırırız. ( Yorum. İkinci yöntemin etkin bir şekilde kullanılabilmesi için derlenen tüm doğruluk tablolarının aynı şekilde başlaması gerekmektedir. değişken değer kümeleri ilgili satırlarda aynıydı .)

Formülün iki farklı değişkeni ve 2 işlemi vardır; bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 4 sütuna sahip olduğu anlamına gelir:

Formülün iki farklı değişkeni ve 3 işlemi vardır; bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 5 sütuna sahip olduğu anlamına gelir:

Derlenmiş doğruluk tablolarının son sütunlarını karşılaştırdığımızda (tablolar aynı şekilde başladığı için değişken değer kümelerini yok sayabiliriz), eşleşmediklerini ve bu nedenle formüllerin eşdeğer olmadığını görüyoruz ().

İfade bir formül değildir (çünkü " " sembolü herhangi bir mantıksal işlemi ifade etmez). ifade eder davranış formüller arasında (sayılar arasında eşitlik, doğrular arasında paralellik vb.)

Eşdeğerlik ilişkisinin özelliklerine ilişkin teorem geçerlidir:

Teorem 2.1.Önerme cebir formülleri arasındaki denklik bağıntısı:

1) refleks olarak: ;

2) simetrik olarak: eğer , o zaman ;

3) geçişli: if ve , o zaman .

mantık yasaları

Önerme mantığı formüllerinin denklikleri genellikle mantık yasaları. Bunlardan en önemlilerini sıralıyoruz:

1. - kimlik yasası.

2. - dışlanan ortanın yasası

3. - çelişki yasası

4. - sıfır ile ayrılma

5. - sıfır ile bağlantı

6. - ünite ile ayrılma

7. - ünite ile bağlantı

8. - çifte olumsuzlama yasası

9. - bağlacın değişebilirliği

10. – ayrılmanın değişebilirliği

11. - bağlaçların birlikteliği

12. - ayrılma çağrışımı

13. – bağlaçların dağılımı

14. – dağıtımsal ayrılma

15. - iktidarsızlık yasaları

16. ; - absorpsiyon yasaları

17. ; - De Morgan'ın yasaları

18. ayrım yoluyla imayı ifade eden yasadır

19. - karşı koyma yasası

20. - diğer mantıksal işlemler yoluyla denkliği ifade eden yasalar

Mantık yasaları, karmaşık formülleri basitleştirmek ve formüllerin aynı şekilde doğru veya yanlış olduğunu kanıtlamak için kullanılır.

Eşdeğer dönüşümler. Formülleri Basitleştirme

Her yerde eşdeğer formüllerde bir değişken yerine aynı formülü değiştirirsek, yeni elde edilen formüller de ikame kuralına göre eşdeğer olacaktır. Bu şekilde her bir denklikten istenilen sayıda yeni denklik elde edilebilir.

Örnek 1: Bunun yerine De Morgan yasasında ise X yerine, yerine Y yerine koyarsak yeni bir denklik elde ederiz. Elde edilen eşdeğerliğin geçerliliği doğruluk tablosunu kullanarak kontrol etmek kolaydır.

Formülün parçası olan herhangi bir formül varsa F, formüle eşdeğer bir formülle değiştirilirse, elde edilen formül formüle eşdeğer olacaktır. F.

Ardından, Örnek 2'deki formül için aşağıdaki ikameleri yapabiliriz:

- çifte olumsuzlama yasası;

- De Morgan yasası;

- çifte olumsuzlama yasası;

- birlik yasası;

idempotence yasasıdır.

Eşdeğerlik bağıntısının geçişlilik özelliğinden yola çıkarak şunu söyleyebiliriz: .

Bir formülün, ona eşdeğer olan başka bir formülle değiştirilmesine denir. eşdeğer dönüşüm formüller.

Altında sadeleştirme ima ve eşdeğerlik işaretleri içermeyen formüller, temel olmayan formüllerin olumsuzlamalarını (özellikle çift olumsuzlamaları) içermeyen veya toplamda orijinalden daha az sayıda birleşme ve ayrılma işareti içeren bir formüle yol açan eşdeğer bir dönüşümü anlar. bir.

Örnek 2.2: formülü sadeleştirelim .

İlk adımda, imayı bir ayrıma dönüştüren yasayı uyguladık. İkinci aşamada, değişme yasası uygulandı. Üçüncü adımda, impotency yasası uygulandı. Dördüncüsü - De Morgan yasası. Ve beşincisinde - çifte olumsuzlama yasası.

Açıklama 1. Belirli bir formül bir totoloji ise, buna eşdeğer herhangi bir formül de bir totolojidir.

Bu nedenle, belirli formüllerin aynı doğruluğunu kanıtlamak için eşdeğer dönüşümler de kullanılabilir. Bunu yapmak için, bu formülün eşdeğer dönüşümlerle totoloji olan formüllerden birine indirgenmesi gerekir.

Açıklama 2. Bazı totolojiler ve eşdeğerlikler çiftler halinde birleştirilir (çelişki yasası ve alternatif, değişmeli, birleştirici yasalar, vb.). Bu yazışmalarda sözde dualite ilkesi .

İma ve denklik işaretleri içermeyen iki formüle denir. çift , eğer her biri diğerinden işaretleri sırasıyla , ile değiştirerek elde edilebilirse.

İkilik ilkesi şunları ifade eder:

Teorem 2.2:Çıkarım ve denklik işaretleri içermeyen iki formül eşdeğer ise, ikili formülleri de eşdeğerdir.

normal formlar

normal biçim belirli bir işlevi uygulayan bir formül yazmanın sözdizimsel olarak açık bir yoludur.

Bilinen mantık yasalarını kullanarak, herhangi bir formül, formun eşdeğer bir formülüne dönüştürülebilir. , burada ve her biri ya bir değişken ya da bir değişkenin olumsuzlaması ya da değişkenlerin birleşimi ya da olumsuzlamalarıdır. Başka bir deyişle, herhangi bir formül, basit bir standart formun eşdeğer bir formülüne indirgenebilir; bu, her biri bir olumsuzlama işareti olan veya olmayan ayrı farklı mantıksal değişkenlerin birleşimi olan öğelerin bir ayrımı olacaktır.

Örnek 2.3: Büyük formüllerde veya çoklu dönüşümlerde, bağlaç işaretini (çarpma işaretine benzer şekilde) atlamak gelenekseldir: . Yapılan dönüşümlerden sonra formülün üç bağlacın ayrımı olduğunu görüyoruz.

Bu forma denir ayrık normal form (DNF). Bir DNF'nin tek bir elemanına denir temel bağlaç veya kurucu birim.

Benzer şekilde, herhangi bir formül, her biri bir olumsuzlama işareti olan veya olmayan mantıksal değişkenlerin bir ayrımı olacak olan öğelerin bir birleşimi olacak eşdeğer bir formüle indirgenebilir. Yani, her formül, formun eşdeğer bir formülüne indirgenebilir. , burada ve her biri ya bir değişkendir ya da bir değişkenin olumsuzlaması ya da değişkenlerin ayrılması ya da olumsuzlamalarıdır. Bu forma denir bağlaç normal formu (KNF).

Örnek 2.4:

CNF'nin tek bir elemanına denir. temel ayrılma veya sıfırın bileşeni.

Açıkçası, her formülde sonsuz sayıda DNF ve CNF bulunur.

Örnek 2.5: Formül için birkaç DNF bulalım .

Mükemmel normal formlar

SDNF (mükemmel DNF), her bir temel bağlacının tüm temel ifadeleri içerdiği veya bir kez olumsuzlamalarını içerdiği, temel bağlaçların tekrarlanmadığı bir DNF'dir.

SKNF (mükemmel CNF), böyle bir CNF'dir, burada her bir temel ayrım, tüm temel önermeleri veya bunların olumsuzlamalarını bir kez içerir, temel ayrımlar tekrarlanmaz.

Örnek 2.6: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

SDNF'nin (SKNF) karakteristik özelliklerini formüle edelim.

1) Ayrılmanın (bağlaç) tüm üyeleri farklıdır;

2) Her birleşimin (ayrılmanın) tüm üyeleri farklıdır;

3) Hiçbir bağlaç (ayrılma) hem bir değişkeni hem de onun olumsuzluğunu içermez;

4) Her bağlaç (ayrılma), orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içerir.

Gördüğümüz gibi, özellikler (fakat formlar değil!) dualitenin tanımını karşılar, bu nedenle her ikisini de nasıl elde edeceğinizi öğrenmek için bir formu anlamak yeterlidir.

Denk dönüşümler yardımıyla DNF'den (CNF) SDNF'yi (SKNF) elde etmek kolaydır. Mükemmel normal formlar elde etme kuralları da ikili olduğundan, SMNF elde etme kuralını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz ve dualite tanımını kullanarak SKNF'yi bağımsız olarak elde etme kuralını formüle edeceğiz.

Genel kural eşdeğer dönüşümleri kullanarak formülü SDNF'ye getirmek:

Formülü vermek için F SDNF için aynı şekilde yanlış olmayan , bu yeterlidir:

1) biraz DNF'ye getirin;

2) değişkeni içeren ayrılığın üyelerini, olumsuzlaması (varsa) ile birlikte çıkarın;

3) ayrılığın aynı üyelerinden (varsa), biri hariç hepsini çıkarın;

4) her bağlacın (varsa) özdeş üyelerinden biri hariç hepsini çıkarın;

5) Herhangi bir bağlaç, orijinal formülde yer alan değişkenler arasından bir değişken içermiyorsa, bu bağlaca bir terim ekleyin ve karşılık gelen dağılım yasasını uygulayın;

6) Ortaya çıkan ayrılma aynı terimleri içeriyorsa, reçete 3'ü kullanın.

Ortaya çıkan formül, bu formülün SDNF'sidir.

Örnek 2.7: Formül için SDNF ve SKNF'yi bulalım .

Bu formül için DNF zaten bulunduğundan (bkz. Örnek 2.5), SDNF'yi alarak başlayacağız:

2) Ortaya çıkan ayrımda, olumsuzlamalarıyla birlikte hiçbir değişken yoktur;

3) ayrılıkta özdeş üyeler yoktur;

4) herhangi bir bağlaçta özdeş değişken yoktur;

5) ilk temel bağlaç, orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içerir ve ikinci temel bağlaçta bir değişken yoktur. z, buna bir terim ekleyelim ve dağılım yasasını uygulayalım: ;

6) Ayrımda aynı terimlerin geçtiğini görmek kolaydır, bu yüzden bir tanesini kaldırıyoruz (reçete 3);

3) aynı ayrımlardan birini kaldırın: ;

4) kalan ayrımlarda özdeş terimler yoktur;

5) temel ayrımların hiçbiri orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içermez, bu nedenle her birini bağlaçla tamamlarız : ;

6) Ortaya çıkan bağlaçta özdeş ayrımlar yoktur, bu nedenle bulunan bağlaç biçimi mükemmeldir.

SKNF ve SDNF'nin toplamından beri formüller F 8 üye, o zaman büyük olasılıkla doğru bulunurlar.

Her tatmin edici (çürütülebilir) formülde tek bir SDNF ve bir tek SKNF bulunur. Bir totolojinin SKNF'si yoktur ve bir çelişkinin SDNF'si yoktur.

Matematikte açık ders "Bernoulli şeması. Bernoulli ve Laplace şemasını kullanarak problem çözme"

Didaktik: olasılıkları hesaplamak için Bernoulli şemasıyla çalışmak için beceri ve yeteneklerin kazanılması.

Geliştirme: bilgiyi uygulamada uygulama becerilerinin geliştirilmesi, öğrencilerin işlevsel düşünmesinin oluşumu ve gelişimi, karşılaştırma, analiz ve sentez becerilerinin geliştirilmesi, çiftler halinde çalışma becerileri, mesleki kelime dağarcığının genişletilmesi.

Bu oyun nasıl oynanır:

Eğitsel: Teorinin pratik uygulaması yoluyla konuya ilgiyi teşvik etmek, öğrencilerin eğitim materyallerinin bilinçli bir şekilde özümsenmesini sağlamak, bir takım halinde çalışma yeteneğinin oluşumu, bilgisayar terimlerinin doğru kullanımı, bilime ilgi, bilime saygı. Geleceğin Mesleği.

Bilimsel bilgi: B

Ders türü: birleşik ders:

• önceki sınıflarda kapsanan malzemenin konsolidasyonu;
• tematik, bilgi-sorun teknolojisi;
• Bu derste çalışılan materyalin genelleştirilmesi ve pekiştirilmesi.

Öğretim yöntemi: açıklayıcı - açıklayıcı, sorunlu.

Bilgi kontrolü: önden anket, problem çözme, sunum.

Dersin malzeme ve teknik donanımı. bilgisayar, multimedya projektörü.

Metodolojik destek: referans materyalleri, dersin konusuyla ilgili sunum, bulmaca.

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı: 5 dk.

(selamlama, grubun derse hazır olması).

2. Bilgi kontrolü:

Soruları slaytlarda önden kontrol edin: 10 dk.

• “Olasılık Teorisi” bölümünün tanımları
• “Olasılık Teorisi” bölümünün ana konsepti
• Olasılık Teorisi ile hangi olaylar incelenir?
• rastgele bir olayın özelliği
• olasılıkların klasik tanımı

Özetleme. 5 dakika.

3. Sıralı problem çözme: 5 dk.

Görev 1. Bir zar atılır. 5'ten küçük bir çift sayı gelme olasılığı nedir?

Görev 2. Bir kutuda, üçü kullanımda olan dokuz özdeş radyo tüpü vardır. Çalışma günü boyunca, usta, ekipmanı onarmak için iki radyo tüpü almak zorunda kaldı. Her iki lambanın da kullanılmış olma olasılığı nedir?

Görev 3. Üç sinema salonunda üç farklı film var. 1. salonun gişesinde belirli bir saat için bilet olma olasılığı 0.3, 2. salonun gişesinde - 0.2 ve 3. salonun gişesinde - 0.4. Belirli bir saatte en az bir film için bilet almanın mümkün olma olasılığı nedir?

4. Sorunların nasıl çözüleceğini tahtada kontrol etmek. Uygulama 1. 5 dk.

Sorunların çözümüne ilişkin 5. Sonuç:

Bir olayın meydana gelme olasılığı her görev için aynıdır: m ve n - const

6. Görev boyunca hedef belirleme: 5 dak.

Bir görev. İki eşit satranç oyuncusu satranç oynar. Dört oyundan ikisini kazanma olasılığı nedir?

Altı oyundan üçünün kazanma olasılığı nedir (beraberlikler dikkate alınmaz)?

Soru. Bu problemin soruları ile önceki problemlerin soruları arasındaki farkı düşünün ve adlandırın?

Akıl yürüterek, kıyaslayarak bir cevap elde edin: sorularda m ve n farklıdır.

7. Ders konusu:

p-sabit ile yapılan n deneyden k kez bir olayın meydana gelme olasılığının hesaplanması.

Her bir denemede A olayının meydana gelme olasılığının diğer denemelerin sonuçlarına bağlı olmadığı denemeler yapılırsa, bu tür denemeler A olayına göre bağımsız olarak adlandırılır. olay aynı.

Bernoulli formülü. Her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının p'ye eşit olduğu n bağımsız denemede olma olasılığı (0

veya Ek 2 Bernoulli formülü, burada k,n-küçük sayılar burada q = 1-p

Çözüm: Eşit satranç oyuncuları oynuyorlar, dolayısıyla kazanma olasılığı p=1/2'dir; dolayısıyla q'yu kaybetme olasılığı da 1/2'dir. Tüm oyunlarda kazanma olasılığı sabit olduğundan ve oyunların hangi sırayla kazanıldığı önemli olmadığından Bernoulli formülü geçerlidir. 5 dakika

Dört oyundan ikisinin kazanılması olasılığını bulun:

Altı oyundan üçünün kazanma olasılığını bulun:

P4 (2) > P6 (3) olduğundan, altıda üçten dörtte iki oyun kazanma olasılığı daha yüksektir.

8. Görev.

Her denemede bu olayın olma olasılığı 0.25 ise, A olayının 243 denemede tam olarak 70 kez meydana gelme olasılığını bulun.

k=70, n=243 Bu, k ve n'nin büyük sayılar olduğu anlamına gelir. Bu, Bernoulli formülüne göre hesaplamanın zor olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda yerel Laplace formülü uygulanır:

x'in pozitif değerleri için Ek 3 Ek 4'te verilmiştir; x'in negatif değerleri için aynı tabloyu kullanın ve = .

9. Problemi çözmek için bir algoritma oluşturun: 5 dk.

• x'in değerini bulun ve yüzde bire (0.01) yuvarlayın;
• bulacağımız Laplace fonksiyonunun tablosuna göre;
• Laplace fonksiyonunun değerini Laplace formülüyle değiştiririz

10. Tahtada analiz yaparak problem çözme. Ek 5. 10 dak.

11. Sunumlar aracılığıyla ders bilgilerini özetleme

• “Olasılık Teorisi” bölümü hakkında kısa bilgi; 5 dakika.
• bilim adamları Bernoulli ve Laplace hakkında tarihi materyaller. 5 dakika.

Birinin çözülmekte olan denklemden sözde denkleme geçmesine izin vermek eşdeğer denklemler ve doğal denklemler, orijinal denklemin çözümünü belirlemenin mümkün olduğu çözümlerle. Bu makalede, hangi denklemlerin eşdeğer ve hangilerinin sonuç denklemleri olarak adlandırıldığını ayrıntılı olarak inceleyeceğiz, karşılık gelen tanımları vereceğiz, açıklayıcı örnekler vereceğiz ve bir eşdeğer denklemin bilinen köklerinden bir denklemin köklerinin nasıl bulunacağını açıklayacağız. sonuç denklemi.

Eşdeğer denklemler, tanım, örnekler

Eşdeğer denklemlerin bir tanımını verelim.

Tanım

Eşdeğer Denklemler kökleri aynı olan veya kökleri olmayan denklemlerdir.

Anlam bakımından benzer, ancak ifade bakımından biraz farklı olan tanımlar, çeşitli matematik ders kitaplarında verilmektedir, örneğin,

Tanım

İki denklem f(x)=g(x) ve r(x)=s(x) olarak adlandırılır eşdeğer, aynı köklere sahiplerse (veya özellikle her iki denklemin de kökü yoksa).

Tanım

Kökleri aynı olan denklemlere denir eşdeğer denklemler. Kökü olmayan denklemler de eşdeğer kabul edilir.

Aynı kökler ile şu anlama gelir: eğer bir sayı eşdeğer denklemlerden birinin kökü ise, o zaman o aynı zamanda bu denklemlerden herhangi birinin köküdür ve eşdeğer denklemlerden hiçbirinin kökü olmayan bir köke sahip olamaz. bu denklemlerden herhangi birinin kökü.

Eşdeğer denklemlere örnekler verelim. Örneğin, üç denklem 4 x=8 , 2 x=4 ve x=2 eşdeğerdir. Aslında, her birinin benzersiz bir kökü 2 vardır, bu nedenle tanım gereği eşdeğerdirler. Başka bir örnek: iki denklem x 0=0 ve 2+x=x+2 eşdeğerdir, çözümlerinin kümeleri aynıdır: birincisinin ve ikincisinin kökü herhangi bir sayıdır. x=x+5 ve x 4 =−1 denklemleri de eşdeğer denklemlere örnektir, her ikisinin de gerçek çözümleri yoktur.

Resmi tamamlamak için eşdeğer olmayan denklemlere örnekler vermeye değer. Örneğin, x=2 ve x 2 =4 denklemleri eşdeğer değildir, çünkü ikinci denklemin kökü −2'dir, bu birinci denklemin kökü değildir. Denklemler ve ayrıca eşdeğer değildir, çünkü ikinci denklemin kökleri herhangi bir sayıdır ve sıfır sayısı birinci denklemin kökü değildir.

Denklem denklemlerinin sağlam tanımı hem tek değişkenli denklemler hem de çok sayıda değişkenli denklemler için geçerlidir. Ancak, iki, üç, vb. olan denklemler için. değişkenler, tanımdaki "kökler" kelimesi "çözümler" kelimesi ile değiştirilmelidir. Yani,

Tanım

Eşdeğer Denklemlerçözümleri aynı olan veya olmayan denklemlerdir.

Birkaç değişkenli eşdeğer denklemlere bir örnek gösterelim. x 2 +y 2 +z 2 =0 ve 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - işte üç değişkenli x, y ve z eşdeğer denklemlere bir örnek, her ikisinin de benzersiz bir çözümü var (0, 0 , 0) . Ancak x + y=5 ve x y=1 olmak üzere iki değişkenli denklemler eşdeğer değildir, çünkü örneğin x=2 , y=3 değer çifti ilk denklemin çözümüdür (bu değerleri değiştirirken ​​ilk denklemde 2+3=5 doğru eşitliğini elde ederiz ), ancak ikincisinin çözümü değildir (bu değerleri ikinci denklemde yerine koyarken yanlış eşitliği 2 3=1 elde ederiz).

doğal denklemler

İşte okul ders kitaplarındaki sonuç denklemlerinin tanımları:

Tanım

f(x)=g(x) denkleminin her kökü aynı zamanda p(x)=h(x) denkleminin kökü ise, o zaman p(x)=h(x) denklemi denir. sonuçlar denklemler f(x)=g(x) .

Tanım

Birinci denklemin tüm kökleri ikinci denklemin kökleri ise ikinci denklem denir. sonuçlar ilk denklem.

Birkaç sonuç denklemi örneği verelim. x 2 =3 2 denklemi, x−3=0 denkleminin bir sonucudur. Gerçekten de, ikinci denklemin tek bir x=3 kökü vardır, bu kök aynı zamanda x 2 =3 2 denkleminin köküdür, bu nedenle, tanım gereği, x 2 =3 2 denklemi, x−3= denkleminin bir sonucudur. 0 . Başka bir örnek: (x−2) (x−3) (x−4)=0 denklemi, denklemin bir sonucudur , ikinci denklemin tüm kökleri (ikisi vardır, bunlar 2 ve 3 ) olduğundan, açıkçası, birinci denklemin kökleridir.

Sonuç denkleminin tanımından, kesinlikle herhangi bir denklemin kökü olmayan herhangi bir denklemin sonucu olduğu sonucu çıkar.

Eşdeğer denklemlerin tanımından ve bir sonuç denkleminin tanımından oldukça açık birkaç sonuçtan bahsetmeye değer:

• İki denklem eşdeğer ise, her biri diğerinin bir sonucudur.
• İki denklemin her biri diğerinin sonucuysa, bu denklemler eşdeğerdir.
• İki denklem, ancak ve ancak her biri diğerinin sonucuysa eşdeğerdir.