Bir örnek için, olasılık teorisindeki rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerine benzer bir dizi sayısal özellik tanımlayabilirsiniz ( beklenen değer, varyans, standart sapma, mod, medyan) ve bir anlamda (daha sonra netleşecek) yaklaşık değerleridir.

Örneklem büyüklüğünün istatistiksel dağılımı verilsin n frekanslar ve bağıl frekanslar için:

Toplam işaretinin altına bir çarpan eklersek, göreli frekanslar cinsinden örnek ortalamanın formülünü elde ederiz:

.

Bir aralık serisi söz konusu olduğunda, sayılar ise aynı formüller kullanılarak örnek ortalamasının hesaplandığını unutmayın. X 1 , … , X k aralıkların orta noktalarını alın: , … ,.

Örnek varyansörnek değerlerinin örnek ortalamalarından sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması olarak adlandırılır:

Toplam işaretinin altına tekrar bir faktör ekleyerek, göreli frekanslar açısından örnek varyansı için bir formül elde ederiz:

Basit dönüşümler, örnek varyansını hesaplamak için daha uygun bir formüle yol açar

,

incelenen rastgele değişkenin karesinin örnek ortalaması nerede, yani

Örnek bir aralık istatistiksel serisi ile temsil ediliyorsa, örnek varyansı için formüller aynı kalır, burada her zamanki gibi sayılarla gösterilir. X 1 , … , X k aralıkların orta noktaları alınır: , … ,.

Numune standart sapması aranan Kare kökörnek varyansından

.

Süpürme varyasyonu Rörnekteki maksimum ve minimum değerler arasındaki farktır. Örnekteki seçenekler sıralanırsa (artan sıraya yerleştirilirse), o zaman

.

varyasyon katsayısı formül tarafından belirlenir

.

Moda M hakkında varyasyon serisi, en yüksek frekansa (veya göreceli frekansa) sahip varyant olarak adlandırılır.

medyan M e varyasyon serisine ortadaki sayı denir. Tek sayılı ayrık bir seri için ortanca değişken, ortadaki değişkene eşittir. Seçeneklerin sayısı çift ise, Medine iki orta seçeneğin ortalamasına (yani toplamının yarısına) eşittir.

Bir dizi ölçümün (varyasyon serileri) ana istatistiksel özellikleri, konum özelliklerini (ortalama karakteristikler veya numunenin merkezi eğilimi); saçılma özellikleri (varyasyonlar veya dalgalanmalar) ve dağılım şeklinin özellikleri.

İle pozisyon özellikleri aritmetik ortalama (ortalama), mod ve medyanı içerir.

Saçılma özelliklerine(varyasyonlar veya dalgalanmalar) şunları içerir: varyasyon aralığı, varyans, ortalama karekök (standart) sapma, aritmetik ortalamanın hatası (ortalamanın hatası), varyasyon katsayısı vb.

Formun özelliklerineçarpıklık, çarpıklık ve basıklığı içerir.

51. Genel popülasyon parametrelerinin tahmini. Nokta ve aralık tahmini. Güven aralığı. Önem düzeyi

Parametre Tahmini nüfus

Genel parametrelerin nokta ve aralık tahminleri vardır.

noktalı bir numara. Bu tahminler, örneğin,

İle istatistiksel tahminler tahmin edilen parametrelerin "iyi" yaklaşımlarını verdiyse, bunlar şöyle olmalıdır:

tarafsız;

etkili;

zengin.

Örnek dağılımının matematiksel beklentisi genel parametrenin değeri ile çakışıyorsa, bir tahmin tarafsız olarak adlandırılır.

Puan Tahmini Diğer benzer tahminlere kıyasla örnek dağılımının en küçük varyansına sahipse etkin olarak adlandırılır, yani. en küçük rastgele varyasyonu bulur.

Örneklem büyüklüğündeki artışla birlikte genel parametrenin değerine yöneliyorsa, nokta tahmini tutarlı olarak adlandırılır.

Örneğin,örnek ortalama, popülasyon ortalamasının tutarlı, tarafsız bir tahminidir. Normal bir popülasyondan bir örnek için bu tahmin de etkilidir.

Küçük bir hacimden numune alırken nokta tahmini, tahmin edilen parametreden önemli ölçüde farklılık gösterebilir, yani. büyük hatalara yol açar. Bu nedenle küçük bir örneklem büyüklüğü ile aralık puanları.

Aralık belirlenen tahmin denir iki sayı– aralık biter– güven aralığı.

Aralık tahminleri, tahminlerin doğruluğunu ve güvenilirliğini belirlemeyi mümkün kılar.

Bir güven aralığı kullanarak genel parametreyi tahmin etmek için üç miktar gereklidir:

Örneğin, genel ortalamanın güven aralığı şu formülle bulunur: anlamlılık düzeyinde .

Güven aralığı- küçük bir örneklem büyüklüğü ile nokta tahmininden daha fazla tercih edilen istatistiksel parametrelerin aralık tahmini için matematiksel istatistiklerde kullanılan bir terim.

Önem düzeyi - farklılıkları anlamlı olarak kabul ettiğimiz, ancak aslında rastgele oldukları olasılığıdır.

Farklılıkların %5 anlamlılık düzeyinde veya R< 0,05 , o zaman hala güvenilmez olma olasılığının 0,05 olduğunu kastediyoruz.

Farklılıkların %1 anlamlılık düzeyinde veya R< 0,01 , o zaman hala güvenilmez olma olasılığının 0,01 olduğunu kastediyoruz.

Tüm bunları daha resmi bir dile çevirirsek, anlamlılık düzeyi, doğru olduğu halde sıfır hipotezini reddetme olasılığıdır.

Doğru olduğunda sıfır hipotezini reddettiğimiz hataya tip 1 hata denir. (Bkz. Tablo 1)

Sekme. 1. Boş ve alternatif hipotezler ve olası test durumları.

Böyle bir hatanın olasılığı genellikle şu şekilde gösterilir: α. Aslında, p yerine parantez içine almamız gerekirdi. < 0,05 veya p < 0.01 ve α < 0,05 veya α < 0,01.

Hata olasılığı ise α , sonra doğru karar olasılığı: 1-α. α ne kadar küçükse, doğru çözüm olasılığı o kadar yüksek olur.

Tarihsel olarak, psikolojide, %5 düzeyini (p≤0.05) en düşük istatistiksel anlamlılık düzeyi olarak kabul etmek gelenekseldir: %1 düzeyi yeterlidir (p≤0.01) ve en yüksek %0.1 düzeyi (p≤0.001), bu nedenle, kritik değerler tablolarında, genellikle p≤0.05 ve p≤0.01, bazen - p≤0.001 istatistiksel anlamlılık seviyelerine karşılık gelen kriterlerin değerleri verilir. Bazı kriterler için tablolar, farklı ampirik değerlerinin tam anlamlılık seviyesini gösterir. Örneğin, φ*=1.56 için p=0.06.

Ancak, istatistiksel anlamlılık düzeyi p=0,05'e ulaşana kadar, henüz boş hipotezi reddetme hakkına sahip değiliz. Fark yok hipotezini (HO) reddetmek ve farklılıkların istatistiksel önemi hipotezini (H 1) kabul etmek için aşağıdaki kurala bağlı kalacağız.

Numunenin sonuçlarının matematiksel-istatistiksel analizi için sadece pozisyonun özelliklerini bilmek yeterli değildir. Aynı ortalama değer, tamamen farklı örnekleri karakterize edebilir.

Bu nedenle, bunlara ek olarak, istatistikler de dikkate saçılma özellikleri (varyasyonlar, veya oynaklık ) Sonuçlar.

1. Varyasyon aralığı

Tanım. büyük bir şekilde varyasyon, belirtilen en büyük ve en küçük örnek sonuçları arasındaki farktır. R ve kararlı

R=X maksimum X dk.

Bu göstergenin bilgi içeriği yüksek değildir, ancak küçük örneklem boyutlarıyla sporcuların en iyi ve en kötü sonuçları arasındaki farkı tahmin etmek kolaydır.

2. Dağılım

Tanım. dağılım öznitelik değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmasının ortalama karesi denir.

Gruplandırılmamış veriler için, varyans formülle belirlenir.

nerede X i- özelliğin değeri, - ortalama.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için varyans formülle belirlenir.

,

nerede X i- kastetmek i gruplama aralığı, n i– aralık frekansları.

Hesaplamaları basitleştirmek ve sonuçları yuvarlarken (özellikle örneklem boyutunu arttırırken) hesaplama hatalarını önlemek için, varyansı belirlemek için başka formüller de kullanılır. Aritmetik ortalama zaten hesaplanmışsa, gruplandırılmamış veriler için aşağıdaki formül kullanılır:

 2 =
,

gruplandırılmış veriler için:

.

Bu formüller, toplam işaretinin altındaki farkın karesini genişleterek öncekilerden elde edilir.

Aritmetik ortalama ve varyansın aynı anda hesaplandığı durumlarda aşağıdaki formüller kullanılır:

gruplandırılmamış veriler için:

 2 =
,

gruplandırılmış veriler için:

.

3. Ortalama kare(standart)sapma

Tanım. Kök kare ortalama (standart ) sapma sonuçların mutlak birimlerdeki ortalama değerden sapma derecesini karakterize eder, çünkü dağılımın aksine, ölçüm sonuçlarıyla aynı ölçüm birimlerine sahiptir. Başka bir deyişle, standart sapma, bir gruptaki sonuçların ortalama etrafındaki dağılım yoğunluğunu veya grubun homojenliğini gösterir.

Gruplandırılmamış veriler için standart sapma formüllerle belirlenebilir.

 =
,

 =
veya  =
.

Aralıklar halinde gruplandırılmış veriler için standart sapma aşağıdaki formüllerle belirlenir:

,

veya
.

4. Aritmetik ortalama hatası (ortalama hatası)

Aritmetik ortalama hata ortalamanın dalgalanmasını karakterize eder ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

.

Formülden de anlaşılacağı gibi örneklem büyüklüğü arttıkça ortalamanın hatası örneklem büyüklüğünün karekökü oranında azalmaktadır.

5. Varyasyon katsayısı

varyasyon katsayısı yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranı olarak tanımlanır:

.

Varyasyon katsayısı %10'u geçmezse, numunenin homojen olarak kabul edilebileceğine, yani bir genel popülasyondan elde edildiğine inanılmaktadır.

Matematik istatistikleri bir deneyin sonuçlarına dayalı olarak dağılım yasalarını ve sayısal özellikleri bulmak için yaklaşık yöntemleri inceleyen bir matematik dalıdır.

Nüfus Yapılabilecek bazı özelliklere göre homojen gözlemlerin (nesnelerin) akla gelebilecek tüm değerlerinin kümesidir.

Örneklem – bu, genel popülasyondan doğrudan çalışma için rastgele seçilmiş gözlemlerin (nesnelerin) bir koleksiyonudur.

İstatistiksel dağılım x i seçeneklerinin ve bunlara karşılık gelen frekansların bir birleşimidir n i .

Frekans histogramı tabanları aynı ve sınıfın genişliğine eşit olan ve yüksekliği ya n i aralığına düşme frekansına ya da n i bağıl frekansına eşit olan bu düz çizgi tarafından oluşturulan bitişik dikdörtgenlerden oluşan basamaklı bir şekildir. /n. Aralık genişliği belirlenebilir Sturges formülüne göre:

I=(x maks -x min)/(1+3.32lgn),

x max maksimum ise; x min, seçeneğin minimum değeridir ve aralarındaki farka denir. varyasyon aralığı; n örnek boyutudur.

Frekans poligonu – segmentleri x i , n i koordinatlarına sahip noktaları birleştiren kesik bir çizgi.

5. Konum (mod, medyan, numune ortalaması) ve saçılma (numune varyansı ve numune standart sapması) özellikleri.

moda (M hakkında ) – önceki ve sonraki değerlerin daha düşük oluşum frekanslarına sahip olduğu bir değişken değerdir.

Tek modlu dağılımlar için mod, belirli bir popülasyonda en sık meydana gelen değişkendir.

Aralık serisinin modunu belirlemek için formül:

M 0 =x daha düşük +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

burada х alt, mod sınıfının alt sınırıdır, yani. en yüksek oluşum sıklığına sahip sınıf n 2 ; n 2 – modsal sınıf frekansı; n 1 - moddan önceki sınıfın frekansı; n 3 kipi izleyen sınıfın frekansıdır; i sınıf aralığının genişliğidir.

Medyan (M e )- özelliğin değeridir. Dağıtım serisinin hacim olarak eşit 2 parçaya bölündüğüne göre.

örnek ortalama - bu, istatistiksel serinin varyantının aritmetik ortalamasıdır

Örnek varyans- varyantın ortalama değerlerinden sapmasının karelerinin aritmetik ortalaması:

Standart sapma – örnek varyansının karekökü:

S içinde =√(S içinde 2 )

6. Numunesine (nokta ve aralık) dayalı olarak genel popülasyonun parametrelerinin tahmini. Güven aralığı ve güven olasılığı.

Genel popülasyonu karakterize eden sayısal değerlere denir. parametreler.

İstatistiksel değerlendirme iki şekilde yapılabilir:

1)Nokta tahmini- belirli bir nokta için verilen bir tahmin;

2)aralık tahmini– örnek verilere göre, gerçek değerin bulunduğu aralık tahmin edilir. verilen olasılık.

Puan Tahmini tek bir sayı ile belirlenen bir tahmindir. Ve bu sayı örnek tarafından belirlenir.

Nokta tahmini denir zengin, örneklem büyüklüğündeki bir artışla, örneklem özelliği genel popülasyonun karşılık gelen karakteristiğine yönelirse.

Nokta tahmini denir etkili diğer benzer tahminlere kıyasla en küçük örnek dağılım varyansına sahipse.

Nokta tahmini denir tarafsız, matematiksel beklentisi herhangi bir örneklem büyüklüğü için tahmin parametresine eşitse.

Genel ortalamanın yansız tahmincisi(matematiksel beklenti) aşağıdaki örnek ortalamadır:

içinde = i n i ,

nerede x i – örnekleme seçenekleri; n i – oluşum sıklığı değişkeni x i ; n örnek boyutudur.

Aralık Tahmini- bu, iki sayı ile belirlenen sayısal bir aralıktır - genel popülasyonun bilinmeyen bir parametresini içeren aralığın sınırları.

Güven aralığı- bu, önceden belirlenmiş bir olasılıkla, genel popülasyonun bilinmeyen bir parametresinin olduğu aralıktır.

güven olasılığıp – öyle bir olasılıktır ki, olasılık olayı (1-p) imkansız olarak kabul edilebilir. α=1-p anlamlılık düzeyidir. Genellikle 1'e yakın olasılıklar güven olasılıkları olarak kullanılır, o zaman aralığın özelliği kapsadığı olay pratik olarak güvenilir olacaktır. Bunlar p≥0.95, p≥0.99, p≥0.999'dur.

Küçük bir örneklem boyutu için (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

içinde - mt≤≤ içinde + mt (p≥0.95),

genel ortalama nerede; c – örnek ortalama; t, genel parametrenin bu aralığa düşme olasılığı ile belirlenen, (n-1) serbestlik dereceli normalleştirilmiş Student dağılım indeksidir; m, örnek ortalamanın hatasıdır.

Ortalama özellikler ne kadar önemli olursa olsun, ancak sayısal veri dizisinin daha az önemli olmayan özelliği, dizinin kalan üyelerinin ortalamaya göre davranışı, ortalamadan ne kadar farklı oldukları, dizinin kaç üyesinin farklı olduğudur. ortalamadan önemli ölçüde. Atış eğitiminde sonuçların doğruluğu hakkında konuşurlar, istatistiklerde saçılmanın (saçılma) özelliklerini incelerler.

Herhangi bir x değerinin ortalama x değerinden farkı denir. sapma ve x, - x farkı olarak hesaplanır. Bu durumda sapma, sayı ortalamadan büyükse hem pozitif değerler hem de sayı ortalamadan küçükse negatif değerler alabilir. Bununla birlikte, istatistikte, veri dizisinin tüm sayısal öğelerinin "doğruluğunu" karakterize eden tek bir sayı ile çalışabilmek genellikle önemlidir. Pozitif ve negatif sapmalar birbirini iptal ettiğinden, dizi üyelerinin tüm sapmalarının herhangi bir toplamı sıfır ile sonuçlanacaktır. Sıfırlamayı önlemek için, karesi alınmış farklar, saçılımı, daha kesin olarak karesi alınmış sapmaların aritmetik ortalamasını karakterize etmek için kullanılır. Bu saçılma özelliğine denir örnek varyans.

Varyans ne kadar büyük olursa, rastgele değişkenin değerlerinin dağılımı o kadar büyük olur. Varyansı hesaplamak için, veri dizisinin tüm üyeleriyle ilgili olarak bir basamak marjı ile örnek ortalama x'in yaklaşık bir değeri kullanılır. Aksi takdirde, çok sayıda yaklaşık değer toplanırken önemli bir hata birikir. Sayısal değerlerin boyutuyla bağlantılı olarak, örnek varyansı gibi bir saçılma indeksinin bir dezavantajına dikkat edilmelidir: varyans ölçüm birimi D değer biriminin karesidir X, özelliği dağılımdır. Bu eksiklikten kurtulmak için istatistikler şöyle bir saçılma özelliği getirdi: Numune standart sapması , sembolü ile gösterilen a ("sigma" okuyun) ve formülle hesaplanır

Normal olarak, veri dizisinin üyelerinin yarısından fazlası, ortalamadan standart sapma değerinden daha az farklılık gösterir, yani. segmente ait [X - a; x + bir]. Aksi takdirde derler ki: verilerin yayılmasını hesaba katan ortalama gösterge x ± a'dır.

Başka bir saçılma özelliğinin tanıtılması, veri dizisinin üyelerinin boyutuyla ilgilidir. İstatistiklerdeki tüm sayısal özellikler, farklı rastgele değişkenleri karakterize eden farklı sayısal dizilerin çalışmasının sonuçlarını karşılaştırmak için tanıtıldı. Ancak, özellikle bu değerlerin boyutları da farklıysa, farklı veri dizilerinin farklı ortalama değerlerinden standart sapmaları karşılaştırmak anlamlı değildir. Örneğin, herhangi bir nesnenin uzunluğu ve ağırlığı veya saçılma, mikro ve makro ürünlerin imalatında karşılaştırılırsa. Yukarıdaki düşüncelerle bağlantılı olarak, nispi saçılmanın bir özelliği tanıtılmıştır. varyasyon katsayısı ve formülle hesaplanır

Rastgele bir değişkenin değerlerinin dağılımının sayısal özelliklerini hesaplamak için tabloyu kullanmak uygundur (Tablo 6.9).

Tablo 6.9

Rastgele bir değişkenin değerlerinin saçılmasının sayısal özelliklerinin hesaplanması

Bu tabloyu doldurma sürecinde örnek ortalama X, daha sonra iki şekilde kullanılacaktır. Nihai ortalama özelliği olarak (örneğin, tablonun üçüncü sütununda) örnek ortalama X sayısal veri dizisinin herhangi bir üyesinin en küçük basamağına karşılık gelen en yakın basamağa yuvarlanmalıdır x r Ancak, bu gösterge tabloda daha sonraki hesaplamalar için kullanılır ve bu durumda, yani tablonun dördüncü sütununda hesaplanırken, örnek ortalama X sayısal veri dizisinin herhangi bir üyesinin en küçük basamağından bir basamak yukarı yuvarlanmalıdır X ( .

Sekme gibi bir tablo kullanılarak yapılan hesaplamaların sonucu. 6.9, örnek varyansının değerini alacaktır ve cevabı kaydetmek için, örnek varyansının değerine göre standart sapma a değerini hesaplamak gerekir.

Cevap şunları gösterir: a) formdaki verilerin dağılımını dikkate alarak ortalama sonuç x±o; b) veri kararlılığı özelliği v. Cevap, varyasyon katsayısının kalitesini değerlendirmelidir: iyi veya kötü.

Spor araştırmalarında sonuçların homojenliğinin veya kararlılığının bir göstergesi olarak kabul edilebilir bir varyasyon katsayısı %10-15'tir. varyasyon katsayısı V= Herhangi bir çalışmada %20 çok büyük bir gösterge olarak kabul edilir. örnek boyutu ise P> 25, o zaman V> %32 çok kötü bir gösterge.

Örneğin, ayrı bir varyasyon dizisi 1 için; 5; dört; dört; 5; 3; 3; bir; bir; bir; bir; bir; bir; 3; 3; 5; 3; 5; dört; dört; 3; 3; 3; 3; 3 sekmesi. 6.9 aşağıdaki gibi doldurulacaktır (Tablo 6.10).

Tablo 6.10

Değer dağılımının sayısal özelliklerini hesaplama örneği

Cevap: a) Verilerin dağılımını dikkate alan ortalama karakteristik, X± bir = = 3 ± 1.4; b) Varyasyon katsayısı nedeniyle elde edilen ölçümlerin kararlılığı düşük seviyededir. V = 48% > 32%.

Tablo analogu. 6.9, bir aralık varyasyon serisinin saçılma özelliklerini hesaplamak için de kullanılabilir. Aynı zamanda seçenekler x r boşlukların temsilcileri tarafından değiştirilecek xv ja mutlak frekans seçeneği f(- boşlukların mutlak frekanslarına fv

Yukarıdakilere dayanarak, aşağıdakiler yapılabilir sonuçlar.

Kütle fenomeni hakkında bilgi işlenirse, matematiksel istatistiklerin sonuçları akla yatkındır.

Genellikle, temsili olması gereken nesnelerin genel popülasyonundan bir örnek incelenir.

Örnek nesnelerin herhangi bir özelliğinin incelenmesi sonucunda elde edilen deneysel veriler, rastgele bir değişkenin değeridir, çünkü araştırmacı, belirli bir nesneye hangi sayının karşılık geleceğini önceden tahmin edemez.

Deneysel verilerin tanımı ve birincil işlenmesi için bir veya başka bir algoritma seçmek için, rastgele değişken türünü belirleyebilmek önemlidir: ayrık, sürekli veya karışık.

Ayrık rasgele değişkenler, ayrı bir varyasyon serisi ve onun grafik biçimi - bir frekans poligonu ile tanımlanır.

Karışık ve sürekli rasgele değişkenler, bir aralık varyasyon serisi ve grafik biçimi olan bir histogram ile tanımlanır.

Belirli bir özelliğin oluşturduğu ™ seviyesine göre birkaç numuneyi karşılaştırırken, ortalamaya göre rastgele bir değişkenin dağılımının ortalama sayısal özellikleri ve sayısal özellikleri kullanılır.

Ortalama karakteristik hesaplanırken, uygulama alanı için yeterli olan ortalama karakteristik tipinin doğru seçilmesi önemlidir. Yapısal ortalama değerler modu ve medyan, sıralı bir deneysel veri dizisinde varyantın konumunun yapısını karakterize eder. Nicel ortalama, bir varyantın ortalama boyutunu (örnek ortalama) yargılamayı mümkün kılar.

Saçılmanın sayısal özelliklerini (örnek varyansı, standart sapma ve varyasyon katsayısı) hesaplamak için tablo yöntemi etkilidir.

Varyasyon serisi

Genel popülasyonda, belirli bir nicel özellik araştırılmaktadır. Bir hacim örneği ondan rastgele çıkarılır. n, yani örnekteki eleman sayısı n. İstatistiksel işlemenin ilk aşamasında, değişenörnekler, yani numara siparişi x1, x2, …, xn Artan. Gözlenen her değer xi aranan seçenek. Sıklık mi değerin gözlem sayısıdır xiörnekte. Bağıl frekans (frekans) wi frekans oranı miörnek boyutuna n: wi=min/n.

Bir varyasyon serisini incelerken, kümülatif frekans ve kümülatif frekans kavramları da kullanılır. İzin vermek x biraz sayı. Daha sonra seçenek sayısı , değerleri daha az olan x, kümülatif frekans olarak adlandırılır: xi için minak=mi kümülatif frekans denir: winak=miak/n.