vektörler arasındaki açı

İki vektörün çapraz çarpımı kavramını tanıtabilmemiz için, önce bu vektörler arasındaki açı gibi bir kavramla ilgilenmeliyiz.

Bize $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ olmak üzere iki vektör verilsin. Uzayda bir $O$ noktası alalım ve ondan $\overline(α)=\overline(OA)$ ve $\overline(β)=\overline(OB)$ vektörlerini, sonra $AOB açısını bir kenara koyalım $, bu vektörler arasındaki açı olarak adlandırılacaktır (Şekil 1).

Gösterim: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Vektörlerin çapraz çarpımı kavramı ve bulma formülü

tanım 1

İki vektörün vektör çarpımı, verilen her iki vektöre de dik olan bir vektördür ve uzunluğu, bu vektörlerin uzunluklarının bu vektörler arasındaki açının sinüsü ile çarpımına eşit olacaktır ve bu vektörün iki başlangıçlı vektörü aynıdır. Kartezyen koordinat sistemi olarak oryantasyon.

Gösterim: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ ve $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ aynı odaklı (Şekil 2)

Açıkçası, vektörlerin dış çarpımı iki durumda sıfır vektörüne eşit olacaktır:

1. Vektörlerden birinin veya her ikisinin uzunluğu sıfırsa.
2. Bu vektörler arasındaki açı 180$^\circ$ veya $0^\circ$'a eşitse (çünkü bu durumda sinüs sıfıra eşittir).

Vektörlerin çapraz çarpımının nasıl bulunduğunu açıkça görmek için aşağıdaki çözüm örneklerini inceleyin.

örnek 1

$\overline(α)=(0,4,0)$ ve $\overline(β) koordinatlarıyla vektörlerin çapraz çarpımının sonucu olacak $\overline(δ)$ vektörünün uzunluğunu bulun =(3,0,0 )$.

Çözüm.

Bu vektörleri Kartezyen koordinat uzayında gösterelim (Şekil 3):

Şekil 3. Kartezyen koordinat uzayında vektörler. Author24 - öğrenci belgelerinin çevrimiçi değişimi

Bu vektörlerin sırasıyla $Ox$ ve $Oy$ eksenlerinde yattığını görüyoruz. Bu nedenle, aralarındaki açı $90^\circ$'a eşit olacaktır. Bu vektörlerin uzunluklarını bulalım:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Ardından, Tanım 1 ile $|\overline(δ)|$ modülünü elde ederiz.

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Cevap: 12$.

Vektörlerin koordinatları ile çapraz ürünün hesaplanması

Tanım 1 hemen iki vektör için çapraz ürünü bulmanın bir yolunu ima eder. Bir vektörün bir değere ek olarak bir yönü de olduğundan, onu sadece skaler bir değer kullanarak bulmak imkansızdır. Ama bunun yanında koordinatları kullanarak bize verilen vektörleri bulmanın başka bir yolu daha var.

Bize sırasıyla $(α_1,α_2,α_3)$ ve $(β_1,β_2,β_3)$ koordinatlarına sahip olacak $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ vektörleri verilsin. Daha sonra çapraz ürünün vektörü (yani koordinatları) aşağıdaki formülle bulunabilir:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Aksi takdirde, determinantı genişleterek aşağıdaki koordinatları elde ederiz.

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Örnek 2

$(0,3,3)$ ve $(-1,2,6)$ koordinatlarıyla $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ eşdoğrusal vektörlerinin çapraz çarpımının vektörünü bulun.

Çözüm.

Yukarıdaki formülü kullanalım. Almak

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Cevap: $(12,-3,3)$.

Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri

Rastgele karışık üç vektör $\overline(α)$, $\overline(β)$ ve $\overline(γ)$ ve ayrıca $r∈R$ için, aşağıdaki özellikler geçerlidir:

Örnek 3

Köşeleri $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ve $(3,8,0) koordinatlarına sahip bir paralelkenarın alanını bulun $.

Çözüm.

İlk önce, bu paralelkenarı koordinat uzayında çizin (Şekil 5):

Şekil 5. Koordinat uzayında paralelkenar. Author24 - öğrenci belgelerinin çevrimiçi değişimi

Bu paralelkenarın iki tarafının $\overline(α)=(3,0,0)$ ve $\overline(β)=(0,8,0)$ koordinatlarına sahip eşdoğrusal vektörler kullanılarak oluşturulduğunu görüyoruz. Dördüncü özelliği kullanarak şunları elde ederiz:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

$\overline(α)х\overline(β)$ vektörünü bulun:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Sonuç olarak

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Bir vektör çarpımı kavramını vermeden önce, a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsünün üç boyutlu uzayda yönelimi sorununa dönelim.

Başlangıç ​​olarak, a → , b → , c → vektörlerini bir noktadan ayıralım. a → , b → , c → üçlüsünün oryantasyonu, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağ veya soldur. a → vektöründen b → c → vektörüne en kısa dönüşün yapıldığı yönden, a → , b → , c → üçlüsünün şekli belirlenecektir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine ise, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsüne denir. Sağ saat yönünde ise - ayrıldı.

Ardından, iki doğrusal olmayan vektör a → ve b → alın. O halde A B → = a → ve A C → = b → vektörlerini A noktasından erteleyelim. Hem A B → hem de A C → 'ye aynı anda dik olan bir A D → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, A D → = c → vektörünü oluştururken, ona bir yön veya tersi vererek iki şey yapabiliriz (şekle bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, bildiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdan, bir vektör ürününün tanımını sunabiliriz. Bu tanımüç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

tanım 1

a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımı Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen böyle bir vektörü şöyle adlandıracağız:

• a → ve b → vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olacaktır;
• hem a →​ vektörüne hem de b → vektörüne dik olacaktır. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü verilen koordinat sistemiyle aynı yönelime sahiptir.

a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımı aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Çapraz ürün koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektörlerin verilen koordinatlarından koordinatlarını bulmanızı sağlayacak vektör ürününün ikinci bir tanımını yapmak mümkündür.

tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; b z) vektörlerinin vektör ürünü c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör ürünü bir determinant olarak gösterilebilir. Kare matris birinci satırın i → , j → , k → vektörleri olduğu üçüncü mertebeden, ikinci satır a → vektörünün koordinatlarını içerir ve üçüncü satır, verilen bir dikdörtgen koordinatta b → vektörünün koordinatlarını içerir sistemde bu matris determinantı şöyle görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın öğeleri üzerinde genişleterek, eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b a = × k = → bir y b z - bir z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - bir y b x) k →

Çapraz ürün özellikleri

Koordinatlardaki vektör ürününün c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir, daha sonra tabanda matris belirleyici özellikler aşağıdaki vektör ürün özellikleri:

1. antideğişimlilik a → × b → = - b → × a → ;
2. dağılabilirlik a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. birleştirilebilirlik λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b → , burada λ keyfi bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin karmaşık kanıtları yoktur.

Örneğin, bir vektör ürününün anti-değişmezlik özelliğini kanıtlayabiliriz.

anti-değişmezlik kanıtı

Tanım olarak, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ve eğer matrisin iki satırı değiştirilirse, o zaman matrisin determinantının değeri tersine değişmelidir, bu nedenle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu ve vektör ürününün anti-değişmezliğini ispatlar.

Vektör Ürün - Örnekler ve Çözümler

Çoğu durumda, üç tür görev vardır.

Birinci tip problemlerde, genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir, ancak çapraz ürünün uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda, aşağıdaki formülü kullanın c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 biliniyorsa, a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunun tanımını kullanarak, bu problemi çözeriz: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tür görevlerin vektörlerin koordinatları ile bağlantısı vardır, bir vektör ürünü, uzunluğu vb. verilen vektörlerin bilinen koordinatları üzerinden aranır. a → = (a x ; a y ; bir z) ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür bir görev için, görevler için birçok seçeneği çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları değil, formun koordinat vektörlerindeki açılımları b → = b x ben → + b y j → + b z k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → veya a → ve b → vektörleri bunların koordinatlarıyla verilebilir. başlangıç ​​ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

Bir dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör ayarlanır a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Vektör ürünlerini bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlarda iki vektörün vektör ürününü buluruz: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ben → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2k → .

Çapraz çarpımı matris determinantı cinsinden yazarsak, o zaman çözüm bu örnekşuna benzer: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = ben → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin i → - j → ve i → + j → + k → , burada i → , j → , k → - vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

İlk olarak, verilen dikdörtgen koordinat sisteminde verilen i → - j → × i → + j → + k → vektör ürününün koordinatlarını bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1 ; - 1 ; 0) ve (1 ; 1 ; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matris determinantını kullanarak vektör ürününün uzunluğunu bulun, sonra i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Bu nedenle, vektör ürünü i → - j → × i → + j → + k → verilen koordinat sisteminde koordinatlara (- 1 ; - 1 ; 2) sahiptir.

Vektör ürününün uzunluğunu formülle buluruz (vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × ben → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) üç noktasının koordinatları dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir. Aynı anda A B → ve A C →'ye dik bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve AC → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) koordinatlarına sahiptir. A B → ve A C → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, tanımı gereği hem A B → hem de A C → 'ye dik bir vektör olduğu açıktır, yani problemimizin çözümü budur. Bul A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4k → . dik vektörlerden biridir.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini kullanmaya odaklanmıştır. Hangisini uyguladıktan sonra, verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. Çapraz ürünün uzunluğunu bulun 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Çözüm

Vektör ürününün dağılabilirlik özelliğine göre 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkisellik özelliğiyle, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinin ötesindeki sayısal katsayıları alıyoruz: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör ürünleri 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ve b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , sonra 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektör ürününün anti-değişmezliğinden şu sonuç çıkar: - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektör ürününün özelliklerini kullanarak, 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşul olarak, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı π 2'ye eşittir. Şimdi geriye sadece bulunan değerleri karşılık gelen formüllerle değiştirmek kalıyor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → günah (a →, b →) = 5 3 4 günah π 2 = 60.

Cevap: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Tanım olarak vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğu a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → şeklindedir. Zaten bilindiği için ( okul kursu) bir üçgenin alanı, verilen kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpılan iki kenarının uzunluklarının çarpımının yarısıdır. Bu nedenle, vektör ürününün uzunluğu bir paralelkenarın alanına eşittir - bir çift üçgen, yani, a → ve b → vektörleri şeklinde kenarların ürünü, bir noktadan sinüs tarafından bırakılmıştır. aralarındaki açının sin ∠ a → , b → .

işte bu geometrik anlam vektör ürün.

Vektör ürününün fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte, vektör çarpımı sayesinde uzayda bir noktaya göre kuvvet momentini belirleyebilirsiniz.

tanım 3

A noktasına göre B noktasına uygulanan F → kuvvet momenti altında, aşağıdaki vektör ürünü A B → × F → anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu derste, vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin çapraz çarpımı ve vektörlerin karışık çarpımı (ihtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam bir mutluluk için olur, buna ek olarak vektörlerin nokta çarpımı, daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Vektör bağımlılığı böyledir. Analitik geometri ormanına girdiğimiz izlenimi edinilebilir. Bu doğru değil. Yüksek matematiğin bu bölümünde, Pinokyo'ya yetecek kadar dışında, genellikle çok az yakacak odun vardır. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynısından neredeyse daha zor skaler ürün, hatta daha az tipik görev olacaktır. Analitik geometrideki ana şey, birçok kişinin göreceği veya zaten görmüş olduğu gibi, HESAPLARI YANLIŞ YAPMAMAKTIR. Büyü gibi tekrar edersen mutlu olursun =)

Vektörler uzak bir yerde parlıyorsa, ufuktaki şimşek gibi, önemli değil, dersle başlayın. Aptallar için vektörler geri yüklemek veya yeniden satın almak temel bilgi vektörler hakkında. Daha hazırlıklı okuyucular, bilgileri seçici olarak tanıyabilir, sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni ne mutlu edecek? Ben küçükken iki, hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi çalıştı. Şimdi dikkate alacağımız için hiç hokkabazlık yapmaya gerek yok. sadece uzay vektörleri, ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Niye? Bu eylemler böyle doğdu - vektörlerin vektör ve karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlemde, skaler çarpımda olduğu gibi, iki vektör. Bozulmaz harfler olsun.

Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ama ben vektörlerin çapraz çarpımını bu şekilde, köşeli parantez içinde çarpı işaretiyle göstermeye alışkınım.

Ve derhal soru: varsa vektörlerin nokta çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Net bir fark, her şeyden önce, SONUÇ:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu bir SAYI:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu bir VEKTÖR'dür.: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında, operasyonun adı buradan geliyor. Çeşitli eğitim literatüründe, atamalar da değişebilir, harfi kullanacağım.

çapraz ürünün tanımı

Önce resimli bir tanım, ardından yorumlar olacak.

Tanım: Çapraz ürün doğrusal olmayan vektörler , bu sırayla alınan, VEKTÖR denir, uzunluk sayısal olarak hangisi paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine kurulu; vektör vektörlere dik, ve temelin doğru bir yönelime sahip olması için yönlendirilir:

Tanımı kemiklerle analiz ediyoruz, çok ilginç şeyler var!

Bu nedenle, aşağıdaki önemli noktaları vurgulayabiliriz:

1) Tanım olarak kırmızı oklarla gösterilen kaynak vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörlerin durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Alınan vektörler sıkı bir sırayla: – "a", "be" ile çarpılır, "a" için "olmak" değil. Vektör çarpmasının sonucu mavi ile gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa, uzunluk olarak eşit ve zıt yönde (kızıl renk) bir vektör elde ederiz. yani eşitlik .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün UZUNLUĞU (ve dolayısıyla kıpkırmızı vektör), sayısal olarak vektörler üzerine kurulmuş paralelkenarın ALANına eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyah renkle gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz ürünün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: paralelkenarın alanı, bitişik kenarların ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör ürününün UZUNLUĞUNU hesaplama formülü geçerlidir:

Formülde vektörün kendisi hakkında değil, vektörün UZUNLUĞU hakkında konuştuğumuzu vurguluyorum. Ne pratik anlamda? Ve anlamı, analitik geometri problemlerinde, bir paralelkenarın alanı genellikle bir vektör ürünü kavramıyla bulunur:

İkinci önemli formülü elde ediyoruz. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler (kırmızı gölgeleme) üzerine kurulu bir üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek, vektörün vektörlere dik olmasıdır, yani . Elbette, zıt yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör öyle yönlendirilir ki temel sahip Sağ oryantasyon. hakkında bir derste yeni bir temele geçiş hakkında detaylı konuştum düzlem yönelimi, ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu anlayacağız. parmaklarında açıklayacağım sağ el. Zihinsel olarak birleştir işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuzun içine bastırın. Sonuç olarak baş parmak- vektör ürünü yukarı bakacak. Bu, doğru temeldir (şekilde gösterilmiştir). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde, sonuç olarak, başparmak dönecek ve vektör ürünü zaten aşağı bakacak. Bu aynı zamanda hak odaklı bir temeldir. Belki bir sorunuz var: hangi temelin sol yönelimi var? Aynı parmakları "atayın" sol el vektörler ve sol temel ve sol boşluk yönlendirmesini alın (bu durumda başparmak alt vektör yönünde yer alacaktır). Mecazi olarak konuşursak, bu tabanlar "bükülür" veya alanı farklı yönlere yönlendirir. Ve bu kavram çok zorlanmış veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, en sıradan ayna, uzayın yönünü değiştirir ve “yansıyan nesneyi aynadan çekerseniz”, genel olarak mümkün olmayacaktır. "orijinal" ile birleştirin. Bu arada, aynaya üç parmağınızı getirin ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu bilmek ne kadar iyi sağ ve sol yönlü bazı hocaların oryantasyon değişikliği ile ilgili açıklamaları korkunç olduğu için =)

Doğrusal vektörlerin vektör çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak yapıldı, vektörler doğrusal olduğunda ne olduğunu bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, bunlar tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilir ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi, böyle bir alan, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynısı formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir.

Böylece, eğer öyleyse ve . Lütfen çapraz çarpımın kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğuna dikkat edin, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve sıfıra eşit olduğu yazılır.

özel durum bir vektörün ve kendisinin çapraz ürünüdür:

Çapraz çarpımı kullanarak, üç boyutlu vektörlerin doğrusallığını kontrol edebilirsiniz ve diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

Pratik örnekleri çözmek için gerekli olabilir trigonometrik tablo ondan sinüslerin değerlerini bulmak için.

Pekala, hadi bir ateş başlatalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz.

b) Vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanını bulun:

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, koşul öğelerindeki ilk verileri kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Duruma göre bulunması gerekir. uzunluk vektör (vektör çarpımı). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk sorulduğundan, cevapta boyut - birimleri belirtiyoruz.

b) Koşullara göre bulunması gerekir. Meydan vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı, çapraz ürünün uzunluğuna sayısal olarak eşittir:

Cevap:

Lütfen vektör ürünü hakkındaki cevapta hiç konuşma olmadığını, bize sorulduğuna dikkat edin. şekil alanı, sırasıyla, boyut kare birimlerdir.

Her zaman koşul tarafından bulunması gereken NE'ye bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. açık Cevap. Gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterince gerçekçi var ve iyi şansı olan görev gözden geçirilmek üzere iade edilecek. Bu özellikle gergin bir nitpick olmasa da - cevap yanlışsa, kişinin basit şeyleri anlamadığı ve / veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Bu an her zaman kontrol altında tutulmalı, yüksek matematikte ve diğer derslerde de herhangi bir problem çözülmelidir.

Büyük "en" harfi nereye gitti? Prensip olarak, ayrıca çözüme takılıp kalabilir, ancak rekoru kısaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin tanımıdır.

Kendin yap çözümü için popüler bir örnek:

Örnek 2

Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Vektör ürünü aracılığıyla bir üçgenin alanını bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Uygulamada, görev gerçekten çok yaygındır, üçgenler genellikle işkence edilebilir.

Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:

Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri

Vektör ürününün bazı özelliklerini zaten düşündük, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

İsteğe bağlı vektörler ve isteğe bağlı bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu öğe genellikle özelliklerde ayırt edilmez, ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) - mülk yukarıda da tartışılır, bazen denir antikomütativite. Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kombinasyon veya ilişkisel vektör ürün yasaları. Sabitler, vektör ürününün sınırlarının dışına kolayca çıkarılabilir. Gerçekten, orada ne yapıyorlar?

4) - dağıtım veya dağıtım vektör ürün yasaları. Parantez açmada da herhangi bir sorun yok.

Bir gösteri olarak, kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3

Eğer bulun

Çözüm: Koşul olarak, vektör ürününün uzunluğunun tekrar bulunması gerekir. Minyatürümüzü boyayalım:

(1) İlişkisel yasalara göre, vektör ürününün sınırlarının ötesindeki sabitleri alıyoruz.

(2) Modül eksi işaretini “yerken” sabiti modülden çıkarıyoruz. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Bundan sonrası açıktır.

Cevap:

Ateşe odun atma zamanı:

Örnek 4

Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın, eğer

Çözüm: Formülü kullanarak bir üçgenin alanını bulun . Buradaki pürüz, "ce" ve "te" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini biraz anımsatır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik için üç adıma ayıralım:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin. Uzunluğu hakkında henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştiririz.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak vektör çarpımlarının ötesindeki tüm sabitleri çıkarırız. Çok az deneyimle 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Hoş özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektör) eşittir. İkinci terimde, vektör ürününün anti-değişmezlik özelliğini kullanırız:

(5) Benzer terimler sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı, bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu hareketÖrnek 3'ü hatırlatan:

3) İstediğiniz üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. Adımları tek satırda düzenlenebilir.

Cevap:

Düşünülen sorun oldukça yaygındır. kontrol işi, işte kendin yap çözümüne bir örnek:

Örnek 5

Eğer bulun

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap. Önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davrandığınızı görelim ;-)

Koordinatlarda vektörlerin çapraz çarpımı

Formül gerçekten basit: determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, vektörlerin koordinatlarını ikinci ve üçüncü satırlara “paketliyoruz” ve sıkı bir şekilde- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırada çarpılması gerekiyorsa, satırlar da değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
a)
b)

Çözüm: Test, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: vektörler eşdoğrusal ise, çapraz çarpımı sıfırdır (sıfır vektör): .

a) Vektör ürününü bulun:

Yani vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör ürününü bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada, belki de vektörlerin vektör çarpımı hakkındaki tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Bu bölüm vektörlerin karışık çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan çok büyük olmayacaktır. Aslında, her şey tanım, geometrik anlam ve birkaç çalışma formülüne dayanacaktır.

Vektörlerin karışık çarpımı, üç vektörün çarpımıdır.:

İşte böyle tren gibi sıraya girip beklerler, hesaplanana kadar bekleyemezler.

Önce yine tanım ve resim:

Tanım: Karışık ürün eş düzlemli olmayan vektörler , bu sırayla alınan, denir paralel borunun hacmi, bu vektörler üzerine inşa edilmiş, temel doğruysa bir "+" işaretiyle ve temel solsa bir "-" işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bize görünmeyen çizgiler noktalı bir çizgiyle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Alınan vektörler belirli bir sırayla, yani, tahmin edebileceğiniz gibi, üründeki vektörlerin permütasyonu sonuçsuz gitmez.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce, bariz gerçeği not edeceğim: vektörlerin karışık ürünü bir NUMBER'dir: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir, "pe" harfi ile karışık bir ürün ve hesaplamaların sonucunu belirtirdim.

Tanım olarak karışık ürün paralel borunun hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani, sayı verilen paralelyüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve uzayın yönelimi kavramıyla tekrar uğraşmayalım. Son kısmın anlamı, hacme bir eksi işareti eklenebilir olmasıdır. basit kelimelerle, karışık ürün negatif olabilir: .

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmini hesaplama formülü, doğrudan tanımdan gelir.

Çapraz çarpım tablosunu kullanacağız vektörler i,jİngiltere:

birinci vektörden ikinciye giden en kısa yolun yönü okun yönü ile çakışıyorsa, çarpım üçüncü vektöre eşittir, eşleşmezse üçüncü vektör eksi işareti ile alınır.

a=axi +ayj +azk ve b =bxi +byj +bzk olmak üzere iki vektör verilsin. Bu vektörlerin vektör çarpımını polinom olarak çarparak bulalım (vektör çarpımının özelliklerine göre):
Ortaya çıkan formül daha da kısa yazılabilir: eşitliğin (7.1) sağ tarafı, üçüncü mertebeden determinantın ilk satırın elemanları açısından açılımına karşılık geldiği için Eşitlik (7.2)'nin hatırlanması kolaydır.

7.4. Çapraz ürünün bazı uygulamaları

Vektörlerin doğrusallığının kurulması.
Paralelkenar ve üçgenin alanını bulma

a ve b vektörlerinin çapraz çarpım tanımına göre |a xb | = |a| * |b |sing , yani S çiftleri = |a x b |. Ve bu nedenle, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Bir nokta etrafındaki kuvvet momentini belirleme

A noktasına bir F = AB kuvveti uygulansın ve O uzayda bir nokta olsun Fizikten, O noktasına göre F kuvvet momentinin, O noktasından geçen M vektörü olduğu bilinmektedir ve:

1) O, A, B noktalarından geçen düzleme dik;

2) kuvvetin ürününe sayısal olarak eşittir ve kol 3) OA ve A B vektörleriyle bir dik üçlü oluşturur.

Yani, M=OA x F. Doğrusal dönme hızını bulma

Hız v noktası M sağlam vücut sabit bir eksen etrafında açısal hız w ile dönen , Euler formülü v \u003d w x r ile belirlenir, burada r \u003d OM, burada O, eksenin sabit bir noktasıdır (bkz. Şekil 21).

vektörler arasındaki açı

İki vektörün skaler çarpımının tanımından, eğer vektörler ve koordinatlar tarafından verilirse ve , sonra formül (1.6.3.1) şu şekilde yazılabilir:

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanı

Parçaların uzunluklarını, noktalar arasındaki mesafeleri, yüzey alanlarını ve cisimlerin hacimlerini ölçmeye yönelik görevler, yaygın olarak metrik olarak adlandırılan önemli bir problem sınıfına aittir. Önceki bölümde, noktalar arasındaki çizgi uzunluklarını ve mesafeleri hesaplamak için vektör cebirinin nasıl kullanılacağını öğrendik. Şimdi alanları ve hacimleri hesaplamanın yollarını bulacağız. Vektör cebiri, benzer problemleri sadece oldukça basit durumlar için belirlememize ve çözmemize izin verir. Rasgele yüzeylerin alanlarını ve keyfi cisimlerin hacimlerini hesaplamak için analiz yöntemleri gereklidir. Ancak analiz yöntemleri de esas olarak vektör cebirinin verdiği sonuçlara dayanır.

Sorunu çözmek için, Gilbert Strang tarafından önerilen, çok sayıda geometrik dönüşüm ve özenli cebirsel hesaplamalarla ilişkili oldukça uzun ve zor bir yol seçtik. Bu yolu, hedefe daha hızlı götüren başka yaklaşımlar olmasına rağmen, bize doğrudan ve doğal göründüğü için seçtik. Bilimde doğrudan yol her zaman en kolay yol değildir. Gelişmiş insanlar bunu bilir ve dolambaçlı yolları tercih eder, ancak düz gitmeye çalışmazsanız, o zaman teorinin bazı inceliklerinden habersiz kalabilirsiniz.

Seçtiğimiz yolda uzayın yönelimi, determinant, vektör ve karışık çarpımlar gibi kavramlar doğal olarak karşımıza çıkıyor. Özellikle açık bir şekilde, mikroskop altında olduğu gibi, determinantın geometrik anlamı ve özellikleri kendini gösterir. Geleneksel olarak, bir determinant kavramı lineer denklem sistemleri teorisinde tanıtılmıştır, ancak determinantın neredeyse işe yaramaz olduğu bu tür sistemleri çözmek içindir. Determinantın geometrik anlamı, vektör ve tensör cebiri için esastır.

Şimdi sabırlı olalım ve en basit ve en anlaşılır vakalarla başlayalım.

1. Vektörler, Kartezyen koordinat sisteminin koordinat eksenleri boyunca yönlendirilir.

a vektörü x ekseni boyunca ve b vektörü y ekseni boyunca yönlendirilsin. Şek. Şekil 21 koordinat eksenlerine göre vektörlerin düzenlenmesi için dört farklı seçeneği göstermektedir.

Koordinat biçiminde a ve b vektörleri: Burada a ve b, karşılık gelen vektörün modülünü gösterir ve vektörün koordinatının işaretidir.

Vektörler dik olduğundan, üzerlerine kurulan paralelkenarlar dikdörtgendir. Alanları basitçe yanlarının ürünüdür. Bu ürünleri dört durum için de vektörlerin koordinatları cinsinden ifade edelim.

Alanı hesaplamak için dört formül de işaret dışında aynıdır. Sadece gözlerini kapatıp yazabilirsin, ki her durumda. Bununla birlikte, başka bir olasılığın daha üretken olduğu ortaya çıkıyor: işarete bir anlam vermek. Figür'e yakından bakalım. 21. Vektörün vektöre dönüşünün saat yönünde gerçekleştirildiği durumlarda. Formülde eksi işaretini kullanmak zorunda kaldığımız durumlarda, vektörün vektöre dönüşü saat yönünün tersine gerçekleştirilir. Bu gözlem, alan ifadelerindeki işareti düzlemin yönü ile ilişkilendirmeyi mümkün kılar.

Artı veya eksi işareti olan a ve b vektörleri üzerine inşa edilen dikdörtgenin alanı yönlendirilmiş alan olarak kabul edilirken, işaret vektörlerin verdiği yönlendirme ile ilişkilendirilecektir. Yönlendirilmiş bir alan için, dikkate alınan dört durumun tümü için tek bir formül yazabiliriz: . S harfinin üzerindeki "vektör" çizgisinin işareti, her zaman pozitif olan olağan alanı yönlendirilmiş olandan ayırt etmek için tanıtıldı.

Bu durumda, farklı bir sırada alınan aynı vektörlerin zıt yönelimi belirlediği açıktır, bu nedenle, . Sadece alan S harfi ile gösterilmeye devam edecek ve bu nedenle .

Şimdi, alan kavramını genişletmenin bedeli gibi görünen bir şekilde, genel bir ifade elde ettiğimize göre, dikkatli okuyucu tüm olasılıkları göz önünde bulundurmadığımızı söyleyecektir. Gerçekten de, Şekil 2'de gösterilen vektörlerin konumu için dört seçeneğe ek olarak. 21, dört tane daha var (Şekil 22) Vektörleri ve koordinat formunda tekrar yazalım: Alanları vektörlerin koordinatları cinsinden ifade edelim. dört.. Yeni ifadelerdeki işaretler değişmedi, ancak maalesef önceki dört duruma göre yönelim değişti. Bu nedenle, yönlendirilmiş alan için şunu yazmak zorunda kalıyoruz: . Ustaca basitlik ümidi haklı çıkmasa da, yine de dört durum için genel bir ifade yazabiliriz.

Yani, vektörler üzerine kurulmuş bir dikdörtgenin yönlendirilmiş alanı, yanlarda olduğu gibi, vektörlerin koordinatlarından oluşan, sütunlardan olduğu gibi determinantına eşittir.

Okuyucunun belirleyiciler teorisine aşina olduğuna inanıyoruz, bu nedenle bu kavram üzerinde ayrıntılı olarak durmuyoruz. Yine de, vurguyu değiştirmek ve bu kavrama saf geometrik düşüncelerden ulaşılabileceğini göstermek için uygun tanımları veriyoruz. , , - aynı kavram için farklı adlandırma biçimleri - vektörlerin koordinatlarından oluşan belirleyici, sütunlardan olduğu gibi. eşitlik iki boyutlu durum için tanımı olarak alınabilir.

2. b vektörü x eksenine paralel değildir; a/ vektörü keyfi bir vektördür.

Bu durumu zaten bilinenlere indirgemek için, vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın bazı geometrik dönüşümlerini ele alıyoruz ve (Şekil . vektörlerin karışık ürünleri ve özellikleri