Paralel yüzlü, 6 yüzü paralelkenar olan geometrik bir şekildir.

Bu paralelkenarların türüne bağlı olarak, aşağıdaki paralel boru türleri ayırt edilir:

• dümdüz;
• eğimli;
• dikdörtgen.

Dik paralelyüzlü, kenarları taban düzlemi ile 90 ° açı yapan dörtgen bir prizmadır.

Dikdörtgen paralelyüzlü, tüm yüzleri dikdörtgen olan dörtgen bir prizmadır. Küp, tüm yüzleri ve kenarları eşit olan bir tür dörtgen prizmadır.

Bir figürün özellikleri, özelliklerini önceden belirler. Bunlar aşağıdaki 4 ifadeyi içerir:

Yukarıdaki tüm özellikleri hatırlamak basittir, anlaşılması kolaydır ve tür ve özelliklere dayalı olarak mantıksal olarak türetilmiştir. geometrik gövde. Ancak, basit ifadeler tipik USE görevlerini çözerken inanılmaz derecede faydalı olabilir ve testi geçmek için gereken zamandan tasarruf sağlar.

paralel uçlu formüller

Soruna cevap bulmak için sadece şeklin özelliklerini bilmek yeterli değildir. Geometrik bir cismin alanını ve hacmini bulmak için bazı formüllere de ihtiyacınız olabilir.

Bazların alanı, bir paralelkenar veya dikdörtgenin karşılık gelen göstergesi olarak da bulunur. Paralelkenarın tabanını kendiniz seçebilirsiniz. Kural olarak, problemleri çözerken, dikdörtgene dayalı bir prizma ile çalışmak daha kolaydır.

Test görevlerinde paralel borunun yan yüzeyini bulma formülüne de ihtiyaç duyulabilir.

Tipik KULLANIM görevlerini çözme örnekleri

1. Egzersiz.

verilen: 3, 4 ve 12 cm ölçülerinde bir küboid.
GerekliŞeklin ana köşegenlerinden birinin uzunluğunu bulun.
Çözüm: Geometrik bir problemin herhangi bir çözümü, üzerinde “verilen” ve istenen değerin gösterileceği doğru ve net bir çizimin oluşturulmasıyla başlamalıdır. Aşağıdaki şekil, görev koşullarının doğru biçimlendirilmesinin bir örneğini göstermektedir.

Yapılan çizimi göz önünde bulundurarak ve geometrik bir cismin tüm özelliklerini hatırlayarak, onu çözmenin tek doğru yoluna geliyoruz. Paralel yüzün 4. özelliğini uygulayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Basit hesaplamalardan sonra b2=169, dolayısıyla b=13 ifadesini elde ederiz. Görevin cevabı bulundu, aranması ve çizilmesi 5 dakikadan fazla sürmemelidir.

Görev 2.

verilen: yan kenarı 10 cm olan eğik bir kutu, şeklin belirtilen kenara paralel bir bölümü olan 5 ve 7 cm boyutlarında bir KLNM dikdörtgeni.
Gerekli Dörtgen prizmanın yan yüzeyinin alanını bulun.
Çözüm: İlk önce verileri çizmeniz gerekir.

Çözümler için verilen görev zeka gereklidir. Şekilden, KL ve AD kenarlarının yanı sıra ML ve DC çiftinin eşit olmadığı görülebilir. Ancak, bu paralelkenarların çevreleri açıkça eşittir.

Bu nedenle, şeklin yanal alanı, AA1 nervürü ile çarpılan kesit alanına eşit olacaktır, çünkü kaburga, kesite dik olduğu koşuluyla. Cevap: 240 cm2.

Teorem. Herhangi bir paralelyüzde, zıt yüzler eşit ve paraleldir.

Böylece, (Şek.) BB 1 C 1 C ve AA 1 D 1 D yüzleri paraleldir, çünkü bir yüzün kesişen iki çizgisi BB 1 ve B 1 C 1, yüzün kesişen iki çizgisi AA 1 ve A 1 D 1'e paraleldir. diğeri. Bu yüzler eşittir, çünkü B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (paralelkenarların zıt kenarları olarak) ve ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorem. Herhangi bir paralelyüzde, dört köşegenin tümü bir noktada kesişir ve bu noktada ikiye bölünür.

(Şek.) Paralel uçlu herhangi iki köşegeni alın, örneğin AC 1 ve DB 1 ve AB 1 ve DC 1 düz çizgileri çizin.

AD ve B 1 C 1 kenarları sırasıyla BC kenarına eşit ve paralel olduğundan, birbirlerine eşit ve paraleldirler.

Sonuç olarak, ADC 1 B 1 şekli, C 1 A ve DB 1'in köşegen olduğu ve paralelkenarda köşegenlerin yarı yarıya kesiştiği bir paralelkenardır.

Bu ispat her iki köşegen için tekrar edilebilir.

Bu nedenle, AC 1 köşegeni BD 1 ile yarı yarıya, BD 1 köşegeni A 1 C ile yarı yarıya kesişir.

Böylece, tüm köşegenler yarıda ve dolayısıyla bir noktada kesişir.

Teorem. Bir küboidde, herhangi bir köşegenin karesi toplamına eşittirüç boyutunun kareleri.

(Şek.) AC 1 dikdörtgen paralel yüzlü bir köşegen olsun.

AC çizdikten sonra iki üçgen elde ederiz: AC 1 C ve ACB. İkisi de dikdörtgen.

ilki kutu düz olduğundan ve dolayısıyla CC 1 kenarı tabana dik olduğundan,

ikincisi, paralel borunun dikdörtgen olması, yani tabanında bir dikdörtgene sahip olmasıdır.

Bu üçgenlerden şunu buluruz:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 ve AC 2 = AB 2 + BC 2

Bu nedenle, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Sonuçlar. Küboidde tüm köşegenler eşittir.

Öğrenciler genellikle öfkeyle sorarlar: “Bu benim için hayatta nasıl faydalı olacak?”. Her konunun herhangi bir konusu üzerinde. Paralel borunun hacmi ile ilgili konu bir istisna değildir. Ve burada sadece şunu söylemek mümkün: "İşe yarayacak."

Örneğin, bir paketin posta kutusuna sığıp sığmayacağını nasıl öğrenebilirim? Tabii ki, deneme yanılma yoluyla doğru olanı seçebilirsiniz. Peki ya böyle bir olasılık yoksa? Sonra hesaplamalar kurtarmaya gelecek. Kolinin kapasitesini bilerek kolinin hacmini (en az yaklaşık olarak) hesaplayabilir ve soruyu cevaplayabilirsiniz.

Paralel boru ve çeşitleri

Adını tam anlamıyla eski Yunancadan çevirirsek, bunun paralel düzlemlerden oluşan bir rakam olduğu ortaya çıkıyor. Paralel yüzün böyle eşdeğer tanımları vardır:

• paralelkenar şeklinde bir tabanı olan bir prizma;
• her yüzü bir paralelkenar olan çokyüzlü.

Türleri, tabanında hangi figürün bulunduğuna ve yan nervürlerin nasıl yönlendirildiğine bağlı olarak ayırt edilir. Genel olarak, birinin bahsettiği eğik paralelyüz tabanı ve tüm yüzleri paralelkenar olan. Önceki görünümün yan yüzleri dikdörtgen olursa, zaten çağrılması gerekir. doğrudan. ve dikdörtgen ve taban ayrıca 90º açıya sahiptir.

Ayrıca, geometride, ikincisini, tüm kenarların paralel olduğu fark edilecek şekilde tasvir etmeye çalışırlar. Burada, bu arada, matematikçiler ve sanatçılar arasındaki temel fark gözlemlenir. İkincisinin bedeni perspektif yasasına uygun olarak iletmesi önemlidir. Ve bu durumda, kenarların paralelliği tamamen görünmezdir.

Tanıtılan gösterim hakkında

Aşağıdaki formüllerde tabloda belirtilen tanımlamalar geçerlidir.

Eğik bir kutu için formüller

Alanlar için birinci ve ikinci:

Üçüncüsü, kutunun hacmini hesaplamak içindir:

Taban bir paralelkenar olduğundan, alanını hesaplamak için uygun ifadeleri kullanmanız gerekecektir.

Bir küboid için formüller

İlk paragrafa benzer şekilde - alanlar için iki formül:

Ve hacim için bir tane daha:

İlk görev

Şart. Hacmi bulunacak bir dikdörtgen paralelyüz verilmiş. Köşegen bilinmektedir - 18 cm - ve yan yüzün düzlemi ve yan kenar ile sırasıyla 30 ve 45 derecelik açılar oluşturduğu bilinmektedir.

Çözüm. Sorunun sorusunu cevaplamak için, tüm kenarları üç dik üçgende bulmanız gerekir. Hacmi hesaplamanız gereken gerekli kenar değerlerini verecektir.

İlk önce 30º açının nerede olduğunu bulmanız gerekir. Bunu yapmak için, paralelkenarın ana köşegeninin çizildiği aynı tepe noktasından yan yüzün bir köşegenini çizmeniz gerekir. Aralarındaki açı ihtiyacınız olan şey olacaktır.

Tabanın kenarlarından birini verecek olan ilk üçgen aşağıdaki gibi olacaktır. İstenilen kenar ve çizilmiş iki köşegen içerir. Dikdörtgendir. Şimdi karşı bacağın (taban tarafı) ve hipotenüsün (diyagonal) oranını kullanmanız gerekiyor. 30º'nin sinüsüne eşittir. Yani tabanın bilinmeyen tarafı köşegen ile sinüsün 30º veya ½ çarpımı olarak belirlenecektir. "a" harfi ile işaretlenmesine izin verin.

İkincisi, bilinen bir köşegen ve 45º oluşturduğu bir kenar içeren bir üçgen olacaktır. Aynı zamanda dikdörtgendir ve bacağın hipotenüse oranını tekrar kullanabilirsiniz. Başka bir deyişle, yan kenar köşegendir. 45º'nin kosinüsüne eşittir. Yani "c" köşegen ile 45º'nin kosinüsünün çarpımı olarak hesaplanır.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Aynı üçgende başka bir bacak bulmanız gerekiyor. Bu, üçüncü bilinmeyeni hesaplamak için gereklidir - "in". "x" harfi ile işaretlensin. Pisagor teoremini kullanarak hesaplamak kolaydır:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Şimdi başka bir dik üçgen düşünmeliyiz. Zaten bilinen tarafları "c", "x" ve sayılması gereken "c" taraflarını içerir:

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Her üç miktar da bilinmektedir. Hacim için formülü kullanabilir ve hesaplayabilirsiniz:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Cevap: paralel yüzün hacmi 729√2 cm 3'tür.

İkinci görev

Şart. Paralel yüzün hacmini bulun. Tabanda bulunan paralelkenarın kenarlarını, 3 ve 6 cm'yi ve ayrıca dar açısını - 45º'yi bilir. Yan kaburga, 30º'lik bir tabana eğimlidir ve 4 cm'ye eşittir.

Çözüm. Sorunun sorusunu cevaplamak için, eğimli bir paralel borunun hacmi için yazılmış formülü almanız gerekir. Ancak içinde her iki miktar da bilinmiyor.

Tabanın alanı, yani paralelkenar, bilinen kenarları ve aralarındaki dar açının sinüsünü çarpmanız gereken formülle belirlenecektir.

S o \u003d 3 * 6 günah 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

İkinci bilinmeyen miktar yüksekliktir. Tabanın üzerindeki dört köşeden herhangi birinden çizilebilir. Yüksekliğin bacak ve yan kenarın hipotenüs olduğu bir dik üçgenden bulunabilir. Bu durumda, bilinmeyen yüksekliğin karşısında 30º'lik bir açı bulunur. Böylece, bacağın hipotenüse oranını kullanabilirsiniz.

n \u003d 4 * günah 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Artık tüm değerler biliniyor ve hacmi hesaplayabilirsiniz:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Cevap: hacim 18 √2 cm 3 .

Üçüncü görev

Şart. Düz bir çizgi olduğu biliniyorsa paralelyüzün hacmini bulun. Tabanının kenarları paralelkenar oluşturur ve 2 ve 3 cm'ye eşittir. Keskin köşe aralarında 60º. Paralel yüzün daha küçük köşegeni, tabanın daha büyük köşegenine eşittir.

Çözüm. Paralel borunun hacmini bulmak için taban alanı ve yüksekliği olan formülü kullanırız. Her iki miktar da bilinmemektedir, ancak hesaplanması kolaydır. Birincisi yükseklik.

Paralel yüzün daha küçük köşegeni, daha büyük tabanla aynı boyutta olduğundan, aynı harf d ile gösterilebilirler. Bir paralelkenarın en büyük açısı 120º'dir, çünkü dar açı ile 180º oluşturur. Tabanın ikinci köşegeni "x" harfi ile gösterilsin. Şimdi, tabanın iki köşegeni için kosinüs teoremleri yazılabilir:

d 2 \u003d 2 + 2 - 2av cos 120º'de,

x 2 \u003d 2 + 2 - 2ab çünkü 60º.

Kareler olmadan değerleri bulmak mantıklı değil, çünkü o zaman tekrar ikinci güce yükseltilecekler. Verileri değiştirdikten sonra ortaya çıkıyor:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 çünkü 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d 2 + 2 - 2ab'de çünkü 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Şimdi paralel borunun yan kenarı olan yükseklik, üçgendeki bacak olacaktır. Hipotenüs vücudun bilinen köşegeni olacak ve ikinci bacak "x" olacaktır. Pisagor Teoremini yazabilirsiniz:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Dolayısıyla: n = √12 = 2√3 (cm).

Şimdi ikinci bilinmeyen miktar, tabanın alanıdır. İkinci problemde belirtilen formül kullanılarak hesaplanabilir.

S o \u003d 2 * 3 günah 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Her şeyi bir hacim formülünde birleştirerek şunları elde ederiz:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Cevap: V \u003d 18 cm3.

dördüncü görev

Şart. Aşağıdaki koşulları karşılayan bir paralel borunun hacmini bulmak gerekir: taban 5 cm kenarlı bir karedir; yan yüzler eşkenar dörtgendir; tabanın üzerindeki köşelerden biri, tabanda bulunan tüm köşelerden eşit uzaklıktadır.

Çözüm.İlk önce durumla başa çıkmanız gerekir. İlk paragrafta kare ile ilgili soru yok. Eşkenar dörtgenlerle ilgili ikincisi, paralel borunun eğimli olduğunu açıkça ortaya koyuyor. Ayrıca, eşkenar dörtgenin kenarları aynı olduğu için tüm kenarları 5 cm'ye eşittir. Ve üçüncüden, ondan çizilen üç köşegenin eşit olduğu açıkça ortaya çıkıyor. Bunlar yan yüzlerde yer alan iki tanedir ve sonuncusu paralel borunun içindedir. Ve bu köşegenler kenara eşittir, yani uzunlukları da 5 cm'dir.

Hacmi belirlemek için eğimli bir paralel boru için yazılmış bir formüle ihtiyacınız olacak. Yine, içinde bilinen bir miktar yoktur. Ancak tabanın alanı kare olduğu için hesaplanması kolaydır.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Yükseklik ile durum biraz daha zor. Üç şekilde böyle olacak: paralel yüzlü, dörtgen piramit ve bir ikizkenar üçgen. Son durum kullanılmalıdır.

Yükseklik olduğu için dik üçgende bir bacaktır. İçindeki hipotenüs bilinen bir kenar olacaktır ve ikinci bacak karenin köşegeninin yarısına eşittir (yükseklik de medyandır). Ve tabanın köşegenini bulmak kolaydır:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Yüksekliğin, kenarın ikinci derecesinin farkı ile köşegenin yarısının karesinin farkı olarak hesaplanması gerekecek ve karekökü çıkarmayı unutmayın:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Cevap: 62,5 √2 (cm 3).

Dikdörtgen paralel yüzlü (PP), tabanı dikdörtgen olan bir prizmadan başka bir şey değildir. PP'de, tüm köşegenler eşittir, bu, köşegenlerinden herhangi birinin aşağıdaki formülle hesaplandığı anlamına gelir:

• a, PP'nin tabanına doğru;

  onun yüksekliği ile.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi dikkate alınarak başka bir tanım verilebilir:

PP köşegeni, Kartezyen koordinat sisteminde x, y ve z koordinatlarıyla verilen uzaydaki herhangi bir noktanın yarıçap vektörüdür. Bu yarıçap vektörü noktaya orijinden çizilir. Ve noktanın koordinatları, yarıçap vektörünün (köşegen PP) koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri olacaktır. Çıkıntılar, verilen paralelyüzün köşeleri ile çakışmaktadır.



Bir küboid, tabanında bir dikdörtgen olan 6 yüzden oluşan bir tür çokyüzlüdür. Köşegen, bir paralelkenarın zıt köşelerini birleştiren bir doğru parçasıdır.

Bir köşegenin uzunluğunu bulma formülü, köşegenin karesinin, paralelkenarın üç boyutunun karelerinin toplamına eşit olmasıdır.



İnternette paralel borudaki her şeyin tam bir listesini içeren iyi bir şema tablosu buldum. d ile gösterilen köşegeni bulmak için bir formül var.

Kutu için önemli olan bir yüz, tepe noktası ve diğer şeylerin bir görüntüsü var.



Bir küboidin uzunluğu, yüksekliği ve genişliği (a,b,c) biliniyorsa, köşegeni hesaplama formülü şöyle görünecektir:



Genellikle öğretmenler öğrencilerine "çıplak" teklifinde bulunmazlar; formüle edin, ancak yönlendirici sorular sorarak bağımsız olarak türetebilmeleri için çaba gösterin:

• neyi bilmemiz gerekiyor, elimizde hangi veriler var?
• Dikdörtgen paralel borunun özellikleri nelerdir?
• Pisagor Teoremi burada geçerli mi? Nasıl?
• Pisagor teoremini uygulamak için yeterli veri var mı, yoksa biraz daha hesaplamaya mı ihtiyacımız var?

Genellikle, sorulan soruları yanıtladıktan sonra öğrenciler bu formülü kolayca kendi başlarına türetebilirler.

Dikdörtgen paralel yüzün köşegenleri eşittir. Karşı yüzlerinin köşegenlerinin yanı sıra. Köşegenin uzunluğu, bir köşeden çıkan paralelkenarın kenarlarının uzunluğu bilinerek hesaplanabilir. Bu uzunluk, kaburgalarının uzunluklarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.



Bir küboid, her biri bir dikdörtgen olan 6 yüzden oluşan çokyüzlülerden biridir. Köşegen, bir paralelkenarın zıt köşelerini birleştiren bir doğru parçasıdır. Bir dikdörtgen kutunun uzunluğu, genişliği ve yüksekliği sırasıyla a, b, c olarak alınırsa, köşegeninin (D) formülü şöyle görünür: D^2=a^2+b^2+c^2 .



Bir küboidin köşegeni zıt köşelerini birleştiren bir segmenttir. Böylece sahibiz küboid köşegen d ve kenarlar a, b, c ile. Paralel yüzün özelliklerinden biri, bir karenin diyagonal uzunluk d, a, b, c üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla şu sonuca varılıyor: diyagonal uzunluk aşağıdaki formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir:



Ayrıca:

Paralel borunun yüksekliği nasıl bulunur?

• çapraz kare, kare küboidin (kare küboidin özelliklerine bakın) üç farklı kenarının (genişlik, yükseklik, kalınlık) karelerinin toplamına eşittir ve buna göre kare küboidin köşegeni köke eşittir bu toplamın.

  Okul müfredatını geometride hatırlıyorum, şunu söyleyebilirsiniz: paralel yüzlü bir köşegen, üç tarafının toplamından elde edilen kareköküne eşittir (küçük harflerle a, b, c ile gösterilir).

  Dikdörtgen prizmanın köşegen uzunluğu, kenarlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

  bildiğim kadarıyla Okul müfredatı, sınıf 9, yanılmıyorsam ve hafıza işe yararsa, dikdörtgen paralelyüzün köşegeni, üç kenarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

  köşegenin karesi genişlik, yükseklik ve uzunluğun karelerinin toplamına eşittir, bu formüle göre cevabımızı alırız, köşegen eşittir üç farklı boyutunun toplamının kareköküne eşittir, ile gösterirler harfler nсz abc

Paralel yüzün tüm yüzleri paralelkenar olduğundan, AD doğrusu BC doğrusuna paraleldir ve doğrusu da doğruya paraleldir. Bundan, dikkate alınan yüzlerin düzlemlerinin paralel olduğu sonucu çıkar.

Paralel yüzün yüzlerinin paralelkenar olması gerçeğinden AB, , CD ve paralel ve eşittir. Bundan, yüzün AB kenarı boyunca paralel öteleme ile yüz ile birleştirildiği sonucuna varıyoruz. Bu nedenle, bu kenarlar eşittir.

2 ) Paralel borunun iki köşegenini alın (Şekil 5), örneğin ve , ve ek çizgiler çizin ve . AB ve sırasıyla DC kenarına eşit ve paraleldir, dolayısıyla birbirlerine eşit ve paraleldirler; sonuç olarak, şekil düz çizgilerin ve köşegenlerin olduğu bir paralelkenardır ve bir paralelkenarda köşegenlerin kesişme noktasında yarıya bölündüğü bir paralelkenardır. Benzer şekilde, diğer iki köşegenin bir noktada kesiştiğini ve bu noktayı ikiye böldüğünü ispatlayabiliriz. Her bir köşegen çiftinin kesişme noktası, köşegenin orta noktasında yer alır. Böylece, paralelyüzün dört köşegeninin tümü bir O noktasında kesişir ve bu noktayı ikiye böler. Bu nedenle, paralel borunun köşegenlerinin kesişme noktası, simetri merkezidir.

teorem:

Bir küboidin köşegeninin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir.

Kanıt:

Bu, uzaysal Pisagor teoreminden ortaya çıkar. Dikdörtgen paralel yüzün köşegeni ise , daha sonra projeksiyonları üç çift dikey çizgi üzerinedir (Şekil 6). Sonuç olarak, .