1. Düz bir çizginin parametrik denklemi

Düz bir doğru üzerinde bir M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) noktası ve üzerinde bir s = (l ,m ,n ) vektörü verilsin.

bu çizgi (veya ona paralel). s vektörü de denir kılavuz vektörü düz.

Bu koşullar, uzayda benzersiz bir şekilde düz bir çizgi tanımlar. onu bulalım

denklem. Doğru üzerinde rastgele bir M (x, y, z) noktası alın. Açıktır ki, vektörler

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) ve s eşdoğrusaldır.

Bu nedenle, M 0 M = t s − düz bir çizginin vektör denklemidir.

Koordinat notasyonunda, son denklem aşağıdaki parametrik gösterime sahiptir.

sırasıyla verilene paralel ve bir noktadan geçen (düz çizgilerden birinin paralel ötelenmesini gerektirebilecek) iki düz çizginin oluşturduğu iki açı.

Açılardan birinin, aralarındaki ϕ açısına eşit olduğu tanımdan çıkar.

Çizgiler s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0'a diktir.

4. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı. Koşullar « » ve « » doğrudan ve

uçak

L doğrusu, kurallı denklemi x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ile verilsin,

ve denkleme göre P düzlemi

Balta + By + Cz + D = 0.

Tanım. L çizgisi arasındaki açı

ve düzlem p denir keskin köşe L çizgisi ile düzleme izdüşümü arasında.

Tanımdan (ve şekilden) gerekli ϕ açısının ek (en fazla) olduğu sonucu çıkar. dik açı) normal vektörü n (A , B ,C ) ve arasındaki açıya

yön vektörü s (l ,m ,n ) .

(. dar açı elde etmek için alınır).

L Р ise, o zaman s n (s, n) = 0

Şimdi, bulunan "t"yi düz çizginin parametrik denklemlerinde yerine koyarsak, istenen kesişim noktasını bulacağız.

Matematiksel analizin temel işlemlerinden biri, derste çeşitli şekillerde gerçekleşen sınıra geçiş işlemidir. Sözde sayı dizisinin limiti kavramına dayalı olarak, limit işlemine geçişin en basit biçimiyle başlıyoruz. Bu, bir fonksiyonun limiti olan limit işlemine geçişin çok önemli başka bir formunun tanıtılmasını kolaylaştıracaktır. Aşağıda, sınıra geçiş yapıları, diferansiyel ve integral hesabının yapımında kullanılacaktır.



 Sonsuz küçük ve sonsuz büyük diziler

 Sonsuz büyük ve sonsuz küçük diziler arasındaki ilişki.

 Sonsuz küçük dizilerin en basit özellikleri

 Sıra sınırı.

 Yakınsak dizilerin özellikleri

 Yakınsak dizilerde aritmetik işlemler

 monoton diziler

 Cauchy Yakınsama Kriteri

 E sayısı ve ekonomik gösterimi.

 Ekonomik hesaplamalarda limitlerin uygulanması

§ 1. Sayısal diziler ve basit özellikler

1. Sayısal dizi kavramı. Dizilerde aritmetik işlemler

Sayı dizileri sonsuz sayı kümeleridir. Örnek diziler okuldan bilinmektedir:

1) sonsuz bir aritmetik ve geometrik ilerlemenin tüm üyelerinin dizisi;

2) düzenli çevre dizisi belirli bir daireye yazılan n-gonlar;

sayı dizisi olarak adlandırılacak (veya sadece bir dizi).

Ayrı sayılar x 3 , x 5 , x n, dizinin (1) öğeleri veya üyeleri olarak adlandırılacaktır. x n sembolüne bu dizinin ortak veya n'inci üyesi denir. Ortak terim x n'de n = 1, 2, … değerini vererek, sırasıyla birinci x 1 , ikinci x 2 vb. elde ederiz. üyeler.

Bir dizi, öğelerinden herhangi birini elde etmek için bir yöntem belirtilmişse, verilmiş olarak kabul edilir (bkz. Tanım). Genellikle bir dizi, dizinin ortak terimi için bir formülle verilir.

Gösterimi kısaltmak için, (1) dizisi bazen şu şekilde yazılır:

Ortak terimin yapısı (formülü) karmaşık olabilir. Örneğin,

Bazen dizi sözde tarafından verilir yinelenen formüller, yani Bilinen öncekilerden dizinin sonraki üyelerini bulmanızı sağlayan formüller.

Örnek (Fibonacci sayıları). x 1 = x 2 = 1 ve n = 3, 4, … için tekrarlayan formül x n = x n − 1 + x n − 2 verilsin. O zaman 1, 1 dizimiz var,

2, 3, 5, 8, ... (Fibonacci lakaplı Pisa'dan Leonardo'nun sayıları). Geometrik olarak, sayısal bir dizi sayısal bir dizi üzerinde gösterilebilir.

koordinatları karşılık gelen noktalara eşit olan bir dizi nokta şeklinde eksen

dizinin karşılık gelen üyeleri. Örneğin, ( x n ) = 1 n .

Ders № 8-9 Matematiksel analizin temelleri prof. Dymkov M.P. 66

( x n ) dizisiyle birlikte başka bir dizi ( y n ) düşünün: y 1 , y 2 , y ,n (2).

Tanım. Dizinin toplamı (fark, çarpım, bölüm)

( xn ) ve ( yn ) değerlerine üyeleri olan bir dizi ( zn ) denir.

Bir (xn) dizisinin ve bir c R sayısının çarpımı bir dizidir (cxn).

Tanım. ( xn ) dizisine sınırlı denir

yukarıdan (aşağıdan), eğer bu dizinin her elemanı xn eşit olmayanı sağlayacak şekilde bir M (m) gerçek sayısı varsa

xn ≤ M (xn ≥ m) . Bir dizi, m ≤ xn ≤ M'nin hem üstünde hem altında sınırlıysa sınırlı olarak adlandırılır. xn dizisi denir

pozitif A sayısı için (keyfi olarak büyük) ise sınırsızdır en azından var xn dizisinin bir elemanı

bu da xn > A eşitsizliğini verir.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − aşağıdan 1 ile sınırlıdır, ancak sınırsızdır.

( x n ) = ( − n ) − yukarıdan sınırlandırılır (–1), fakat aynı zamanda sınırsızdır.

Tanım. ( x n ) dizisi denir sonsuz küçük,

herhangi bir pozitif gerçek sayı ε için (ne kadar küçük alınırsa alınsın) bir N sayısı varsa, genel olarak konuşursak, ε 'ye (N = N (ε )) bağlıysa, öyle ki tüm n ≥ N için eşitsizlik x n< ε .

Örnek. (xn) = 1n.

Tanım. ( xn ) dizisi denir Sonsuz acı-

eğer pozitif bir gerçek sayı A için (ne kadar büyük olursa olsun) bir N sayısı (N = N(A)) varsa, öyle ki tüm n ≥ N için

xn > A eşitsizliği elde edilir.

Bu paragrafı mutlaka okuyun! parametrik denklemler elbette, uzaysal geometrinin alfa ve omegası değil, birçok görevin işçi karıncası. Ayrıca, bu tür denklemler genellikle beklenmedik bir şekilde ve zarif bir şekilde uygulanır.

Doğruya ait nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa, sistem tarafından bu doğrunun parametrik denklemleri verilir:

Derslerde parametrik denklem kavramından bahsettim. Düz bir çizginin düzlemde denklemi ve Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi.

Her şey buğulanmış şalgamdan daha basittir, bu yüzden görevi renklendirmeniz gerekir:

Örnek 7

Çözüm: Doğrular kanonik denklemlerle verilmiştir ve ilk aşamada doğruya ve yön vektörüne ait bir nokta bulunmalıdır.

a) Denklemlerden nokta ve yön vektörünü çıkarın: . Başka bir nokta seçebilirsiniz (bunun nasıl yapılacağı yukarıda açıklanmıştır), ancak en belirgin olanı almak daha iyidir. Bu arada, hatalardan kaçınmak için her zaman koordinatlarını denklemlerde değiştirin.

Bu düz çizginin parametrik denklemlerini oluşturalım:

Parametrik denklemlerin rahatlığı, onların yardımıyla çizginin diğer noktalarını bulmanın çok kolay olmasıdır. Örneğin, koordinatları parametrenin değerine karşılık gelen bir nokta bulalım:

Böylece:

b) Kanonik denklemleri göz önünde bulundurun. Burada nokta seçimi basit ama sinsidir: (koordinatları karıştırmamaya dikkat edin!!!). Kılavuz vektör nasıl çıkarılır? Bu düz çizginin neye paralel olduğunu tartışabilir veya basit bir biçimsel numara kullanabilirsiniz: orantı “y” ve “z” dir, bu yüzden yön vektörünü yazarız ve kalan boşluğa sıfır koyarız: .

Düz çizginin parametrik denklemlerini oluşturuyoruz:

c) Denklemleri formda yeniden yazalım, yani "Z" herhangi bir şey olabilir. Ve varsa, örneğin, izin verin. Dolayısıyla nokta bu doğruya aittir. Yön vektörünü bulmak için aşağıdaki biçimsel tekniği kullanırız: ilk denklemlerde "x" ve "y" vardır ve yön vektöründe bu yerlere yazarız sıfırlar: . Kalan yere koyduğumuz birim: . Bir yerine, sıfır dışında herhangi bir sayı yapacaktır.

Düz çizginin parametrik denklemlerini yazıyoruz:

Eğitim için:

Örnek 8

Aşağıdaki satırlar için parametrik denklemler yazın:

Çözümler ve cevaplar dersin sonunda. Cevaplarınız benim cevaplarımdan biraz farklı olabilir, gerçek şu ki parametrik denklemler birden fazla şekilde yazılabilir. Sizin ve benim yön vektörlerimin eşdoğrusal olması ve noktanızın denklemlerime "uyması" önemlidir (peki ya da tam tersi, benim denklemlerinizle benim amacım).

Uzayda düz bir çizgiyi başka nasıl tanımlayabilirsiniz? Normal vektörle bir şeyler bulmak istiyorum. Ancak sayı çalışmayacaktır, bir uzay çizgisi için normal vektörler tamamen farklı yönlere bakabilir.

Derste başka bir yöntemden daha önce bahsedilmiştir. düzlem denklemi ve bu makalenin başında.

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle verilen iki α 1 ve α 2 düzlemini ele alalım:

Altında köşe iki düzlem arasında, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini kastediyoruz. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu veya . Bu yüzden . Çünkü ve , sonra

.

Örnek. Uçaklar arasındaki açıyı belirleyin x+2y-3z+4=0 ve 2 x+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralellik durumu.

İki düzlem α 1 ve α 2, ancak ve ancak normal vektörleri paralelse ve paralelse paraleldir ve dolayısıyla .

Dolayısıyla, iki düzlem birbirine paraleldir, ancak ve ancak karşılık gelen koordinatlardaki katsayılar orantılıysa:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu, ancak ve ancak normal vektörleri dik ise ve dolayısıyla veya .

Böylece, .

Örnekler.

DOĞRUDAN UZAYDA.

VEKTÖR DENKLEM DOĞRUDAN.

PARAMETRİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

Düz bir çizginin uzaydaki konumu, sabit noktalarından herhangi biri belirlenerek tamamen belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir. yol gösterici bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz olsun ben bir noktadan geçer M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmak .

Keyfi bir nokta düşünün M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden de anlaşılacağı .

Vektörler ve eşdoğrusaldır, yani böyle bir sayı vardır. t, ne , çarpan nerede t noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgide. faktör t parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirtmek M 1 ve M sırasıyla ve aracılığıyla, elde ederiz. Bu denklem denir vektör düz çizgi denklemi. Her parametre değerinin t bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M düz bir çizgide yatmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazıyoruz. Dikkat edin, ve buradan

Ortaya çıkan denklemler denir parametrik düz çizgi denklemleri.

Parametreyi değiştirirken t koordinatlar değişir x, y ve z ve nokta M düz bir çizgide hareket eder.

KANONİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

İzin vermek M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, ve yön vektörüdür. Yine, düz bir çizgi üzerinde keyfi bir nokta alın M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin ve eşdoğrusal oldukları açıktır, bu nedenle ilgili koordinatları orantılı olmalıdır, dolayısıyla

– kanonik düz çizgi denklemleri.

Açıklama 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik denklemlerden elde edilebileceğini unutmayın. t. Gerçekten de, elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Düz bir çizginin denklemini yazın parametrik bir şekilde.

belirtmek , buradan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Açıklama 2.Çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin. Öküz. O zaman çizginin yön vektörü diktir Öküz, Sonuç olarak, m=0. Sonuç olarak, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekli alır:

Parametrenin denklemlerden çıkarılması t, şeklinde düz çizginin denklemlerini elde ederiz.

Ancak, bu durumda da, düz çizginin kanonik denklemlerini formda resmi olarak yazmayı kabul ediyoruz. . Bu nedenle, kesirlerden birinin paydası sıfır ise, bu, doğrunun ilgili koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik düz bir çizgiye karşılık gelir Öküz ve Oy veya paralel eksen Öz.

Örnekler.

GENEL DENKLEMLER İKİ UÇAĞIN KESİNTİSİ DOĞRUSU OLARAK DOĞRUDAN BİR DOĞRU

Uzaydaki her düz çizgiden sonsuz sayıda düzlem geçer. Herhangi ikisi, kesişen, onu uzayda tanımlar. Bu nedenle, birlikte düşünülen bu tür iki düzlemin denklemleri bu doğrunun denklemleridir.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgilerini belirleyin. Bu denklemler denir genel denklemler dümdüz.

Örnekler.

Denklemlerle verilen düz bir çizgi oluşturun

Bir doğru oluşturmak için herhangi iki noktasından birini bulmak yeterlidir. En kolay yol, doğrunun koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, düzlemle kesişme noktası xOy varsayarak, düz bir çizginin denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözerek, noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak y= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını elde ederiz. xOz:

Düz bir çizginin genel denklemlerinden, kanonik veya parametrik denklemlerine geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmalısın M 1 çizgi üzerinde ve çizginin yön vektörü.

nokta koordinatları M 1 koordinatlardan birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için, bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğine dikkat edin. ve . Bu nedenle, doğrunun yön vektörü için ben alabilirsin vektör ürün normal vektörler:

.

Örnek.Öncülük etmek genel denklemler dümdüz kanonik forma dönüştürülür.

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta bulun. Bunu yapmak için, keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, y= 0 ve denklem sistemini çözün:

Çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır. Bu nedenle, yön vektörü düz olacaktır.

. Sonuç olarak, ben: .

HAKLAR ARASINDAKİ AÇI

köşe uzaydaki satırlar arasında herhangi birini arayacağız bitişik köşeler verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizgiden oluşur.

Uzayda iki doğru verilsin:

Açıkçası, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ile arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüs formülüne göre elde ederiz.

Nokta ile birlikte düz çizgi, uzayda ve düzlemde birçok figürün inşa edildiği geometrinin önemli unsurlarıdır. Bu makale, bu geometrik eleman için parametrik ve diğer denklem türleri ile ilişkisini ayrıntılı olarak tartışmaktadır.

Düz çizgi ve onu tanımlayan denklemler

Geometride düz bir çizgi, uzayda rastgele iki noktayı en küçük uzunluğa sahip bir parça ile birleştiren noktalar topluluğudur. Bu segment düz bir çizginin parçasıdır. Uzayda iki sabit noktayı birleştiren diğer eğriler büyük bir uzunluğa sahip olacaktır, dolayısıyla bunlar düz çizgiler değildir.

Yukarıdaki resimde iki siyah nokta görülmektedir. Bunları birbirine bağlayan mavi çizgi düz, kırmızı çizgi ise kavislidir. Açıkçası, siyah noktalar arasındaki kırmızı çizgi mavi olandan daha uzun.

Üç boyutlu uzayda veya iki boyutlu uzayda bir düz çizgiyi tanımlamak için kullanılabilecek birkaç tür düz çizgi denklemi vardır. Aşağıda bu denklemlerin isimleri verilmiştir:

• vektör;
• parametrik;
• segmentlerde;
• simetrik veya kanonik;
• genel tip.

Bu yazıda düz bir çizginin parametrik denklemini ele alacağız, ancak onu vektörden türeteceğiz. Parametrik ve simetrik veya kanonik denklemler arasındaki ilişkiyi de göstereceğiz.

vektör denklemi

Dikkate alınan geometrik eleman için yukarıdaki tüm denklem türlerinin birbirine bağlı olduğu açıktır. Bununla birlikte, vektör denklemi hepsi için temeldir, çünkü doğrudan bir düz çizginin tanımından gelir. Geometriye nasıl dahil edildiğini ele alalım.

Bize P(x 0 ; y 0 ; z 0) uzayında bir nokta verildiğini varsayalım. Bu noktanın doğruya ait olduğu bilinmektedir. Üzerinden kaç çizgi çekilebilir? Sonsuz küme. Bu nedenle, tek bir düz çizgi çizebilmek için ikincisinin yönünü ayarlamak gerekir. Yön, bildiğiniz gibi, vektör tarafından belirlenir. Bunu v¯(a; b; c) olarak gösterelim, burada parantez içindeki semboller onun koordinatlarıdır. İncelenen doğru üzerinde bulunan her bir Q(x; y; z) noktası için eşitliği yazabiliriz:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Burada α sembolü, kesinlikle herhangi bir gerçek değeri alan bir parametredir (bir vektörü bir sayı ile çarpmak, yalnızca modülünü veya yönünü tersine değiştirebilir). Bu eşitliğe, üç boyutlu uzayda düz bir çizgi için vektör denklemi denir. α parametresini değiştirerek, bu doğruyu oluşturan tüm noktaları (x; y; z) elde ederiz.

Denklemdeki v¯(a; b; c) vektörüne yön vektörü denir. Düz bir çizginin belirli bir yönü yoktur ve uzunluğu sonsuzdur. Bu gerçekler, v¯ ile çarpılarak elde edilen herhangi bir vektörün gerçek Numara, aynı zamanda düz çizgi için bir rehber olacaktır.

P(x 0; y 0; z 0) noktasına gelince, bunun yerine, düz bir çizgi üzerinde uzanan denklemde keyfi bir nokta ikame edilebilir ve ikincisi değişmez.

Yukarıdaki şekil, bir yön vektörü (kırmızı çizgi parçası) aracılığıyla uzayda tanımlanan düz bir çizgiyi (mavi çizgi) göstermektedir.

İki boyutlu durum için benzer bir eşitlik elde etmek zor değildir. Benzer bir akıl yürütmeyi kullanarak şu ifadeye ulaşırız:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Bir öncekiyle tamamen aynı olduğunu görüyoruz, noktaları ve vektörleri belirtmek için üç yerine sadece iki koordinat kullanılıyor.

parametrik denklem

İlk olarak, uzayda düz bir çizginin parametrik denklemini elde ederiz. Yukarıda vektör eşitliği yazılırken içinde bulunan parametreden zaten bahsedilmişti. Parametrik bir denklem elde etmek için vektörü genişletmek yeterlidir. Alırız:

x = x 0 + α × bir;

y = y0 + a × b;

z = z 0 + α × c

Her biri bir değişken koordinat ve α parametresine sahip olan bu üç lineer eşitlik kümesine genellikle uzayda düz bir çizginin parametrik denklemi denir. Aslında, yeni bir şey yapmadık, sadece karşılık gelen vektör ifadesinin anlamını açıkça kaydettik. Sadece bir noktaya dikkat çekiyoruz: α sayısı, keyfi olmasına rağmen, üç eşitlik için de aynıdır. Örneğin, 1. eşitlik için α \u003d -1.5 ise, noktanın koordinatlarını belirlerken aynı değeri ikinci ve üçüncü eşitliklerde değiştirilmelidir.

Düzlemdeki düz bir çizginin parametrik denklemi, uzaysal durum için olana benzer. Şu şekilde yazılır:

x = x 0 + α × bir;

y = y0 + α × b

Bu nedenle, bir düz çizginin parametrik denklemini oluşturmak için, onun vektör denklemini açık bir biçimde yazmak gerekir.

Kanonik denklemin elde edilmesi

Yukarıda belirtildiği gibi, uzayda ve düzlemde bir doğru tanımlayan tüm denklemler birbirinden elde edilir. Parametrik bir denklemden kanonik bir doğrunun nasıl elde edileceğini gösterelim. Uzaysal durum için elimizde:

x = x 0 + α × bir;

y = y0 + a × b;

z = z 0 + α × c

Parametreyi her eşitlikte ifade edelim:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Sol taraflar aynı olduğundan, eşitliklerin sağ tarafları da birbirine eşittir:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Bu, uzayda düz bir çizgi için kanonik denklemdir. Her ifadede paydanın değeri karşılık gelen koordinattır.Payda her değişkenden çıkarılan değerler o doğru üzerindeki bir noktanın koordinatlarıdır.

Düzlemdeki durum için karşılık gelen denklem şu şekildedir:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

2 noktadan geçen bir doğrunun denklemi

Hem düzlemde hem de uzayda iki sabit noktanın benzersiz bir şekilde düz bir çizgiyi tanımladığı bilinmektedir. Düzlemde aşağıdaki iki noktanın verildiğini varsayalım:

Onlardan geçen bir doğrunun denklemi nasıl yazılır? İlk adım bir yön vektörü tanımlamaktır. Koordinatları aşağıdaki gibidir:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​- y 1)

Şimdi denklemi yukarıdaki paragraflarda tartışılan üç biçimden herhangi birinde yazabilirsiniz. Örneğin, düz bir çizginin parametrik denklemi şu şekli alır:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

Kurallı biçimde, şu şekilde yeniden yazabilirsiniz:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Kanonik denklemin her iki noktanın koordinatlarını içerdiği ve bu noktaların payda değiştirilebildiği görülmektedir. Böylece, son denklem aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Tüm yazılı ifadelere 2 noktadan geçen bir doğrunun denklemleri denir.

Üç nokta sorunu

Aşağıdaki üç noktanın koordinatları verilmiştir:

Bu noktaların aynı doğru üzerinde olup olmadığını tespit etmek gerekir.

Bu problem şu şekilde çözülmelidir: önce herhangi iki nokta için bir düz çizgi denklemi çizin ve ardından üçüncünün koordinatlarını bunun içine koyun ve elde edilen eşitliği sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edin.

Parametrik formda M ve N cinsinden bir denklem oluşturuyoruz. Bunun için yukarıdaki paragrafta elde edilen ve üç boyutlu duruma genelleştirdiğimiz formülü uyguluyoruz. Sahibiz:

x = 5 + a × (-3);

y = 3 + a × (-1);

z = -1 + α × 1

Şimdi bu ifadelere K noktasının koordinatlarını koyalım ve bunlara karşılık gelen alfa parametresinin değerini bulalım. Alırız:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Her biri α parametresinin farklı bir değerini alırsa, üç eşitliğin de geçerli olacağını öğrendik. İkinci gerçek, tüm denklemler için α'nın eşit olması gereken düz bir çizginin parametrik denkleminin koşuluyla çelişir. Bu, K noktasının MN doğrusuna ait olmadığı anlamına gelir; bu, üç noktanın da aynı doğru üzerinde olmadığı anlamına gelir.

Paralel çizgiler sorunu

Parametrik biçimde iki doğru denklemi verilmiştir. Aşağıda sunulmuştur:

x = -1 + 5 × a;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Doğruların paralel olup olmadığını belirlemek gerekir. İki doğrunun paralelliğini belirlemenin en kolay yolu yön vektörlerinin koordinatlarını kullanmaktır. dönerek Genel formül iki boyutlu uzayda parametrik denklem, her düz çizginin yön vektörlerinin koordinatlara sahip olacağını elde ederiz:

Biri diğerini bir sayı ile çarparak elde edilebiliyorsa, iki vektör paraleldir. Vektörlerin koordinatlarını çiftlere böleriz, şunu elde ederiz:

Demek oluyor:

v 2 ¯ = -1.2 × v 1 ¯

Yön vektörleri v 2 ¯ ve v 1 ¯ paraleldir, yani problem ifadesindeki doğrular da paraleldir.

Aynı satır olup olmadıklarını kontrol edelim. Bunu yapmak için, denklemdeki herhangi bir noktanın koordinatlarını bir başkasıyla değiştirmeniz gerekir. (-1; 3) noktasını alın, ikinci düz çizgi için denklemde değiştirin:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Yani çizgiler farklı.

Doğruların dikliği sorunu

İki düz çizginin denklemleri verilmiştir:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Bu çizgiler dik mi?

Yön vektörlerinin nokta çarpımı sıfır ise, iki doğru dik olacaktır. Bu vektörleri yazalım:

skaler çarpımını bulalım:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Böylece, dikkate alınan çizgilerin dik olduğunu öğrendik. Yukarıdaki resimde gösterilmektedirler.

Bunun dışında bir denklem bilinmeyen değer olarak adlandırılan bazı alanlardan farklı değerler alabilen başka bir ek değer içerir. parametrik. Denklemdeki bu ek niceliğe denir parametre. Aslında, her parametrik denklemle birçok denklem yazılabilir. Parametrik bir denklemin modülünü ve basit parametrik denklemlerin çözümünü ele alacağız.

Görev 1$x$ ile ilgili denklemleri çözün
A) $x + a = 7$
B) 2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Çözüm:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, yani bu denklemin çözümü bulundu.
Çeşitli parametre değerleri için çözümler $x = 7 – a$ şeklindedir.

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​\Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, a, 0'dan farklı olduğunda, her iki parçayı da a'ya bölebiliriz ve $x = 5$ elde ederiz.
$a = 0$ ise, 0,x = 5$ gibi çözümü olmayan bir denklem elde ederiz;

E) $a – x ​​​​ = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) a = 0 olduğunda, ax = 3a denklemi 0.x = 0'dır.
Bu nedenle, herhangi bir x bir çözümdür. a 0'dan farklıysa, o zaman
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Görev 2 a bir parametre ise, denklemi çözün:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = balta + 4$
C) $a^2x – x = bir$
D) $a^2x + x = bir$

Çözüm:

A) $a + 1$ 0'dan farklıysa, yani $a \neq -1$,
sonra $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
$a + 1 = 0$ ise, yani $a = - 1$
denklem $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$ olur
$0\cdot x = 1$, çözümü olmayan;

B) $2a + x = balta + 4 \Leftrightarrow$
$x – balta = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
$(1 – a) \neq 0$ ise, o zaman bir $\neq 1$; karar verecek
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
$a = 1$ ise denklem $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$ olur
$0\cdot x = 2$, çözümü yok

C) $a^2x – x = bir \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = bir \Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = bir$
$a - 1 \neq 0$ ve $a + 1 \neq 0$ ise, yani $a \neq 1, -1$,
çözüm şudur: $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
$a = 1$ veya $a = -1$ ise, denklem $0\cdot x = \pm 1$ olur ve çözümü yoktur

D) $a^2x + x = bir \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = bir$
Bu durumda herhangi bir $a$ için $a^2 + 1 \neq 0$ çünkü pozitif bir sayı (1) ve bir negatif sayının toplamıdır
$(a^2 \geq 0)$ yani $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Görev 3 a ve b parametre ise, denklemleri çözün:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Çözüm:

A) $ax + b = 0 \Sol sağ ok baltası = -b$
$a \neq 0$ ise, çözüm $x = -\frac(b)(a)$'dır.
$a = 0, b \neq 0$ ise, denklem $0\cdot x = -b$ olur ve çözümü yoktur.
$a = 0$ ve $b = 0$ ise, denklem $0\cdot x = 0$ olur ve herhangi bir $x$ bir çözümdür;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow balta – x ​​= -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
$a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq 1$, çözüm şudur: $x = -\frac(2b)(a-1)$
$a - 1 = 0$, yani $a = 1$ ve $b \neq 0$ ise, denklem $0\cdot x = - 2b$ olur ve çözümü yoktur

C) $b - 1 \neq 0$ ise, bu $b \neq 1$'dır,
çözüm $y = \frac(1-a)(b-1)$
$b - 1 = 0$ ise, yani $b = 1$, ancak $1 bir \neq 0$ ise,
yani $a \neq 1$, denklem $0\cdot y = 1 – a$ olur ve çözümü yoktur.
$b = 1$ ve $a = 1$ ise denklem $0\cdot y = 0$ olur ve herhangi bir $y$ bir çözümdür

D) $b^2 + 1 \neq 0$ herhangi bir $b$ için (neden?), yani
$y = \frac(a+2)(b^2)$ denklemin çözümüdür.

Sorun 4$$x$ hangi değerler için aşağıdaki ifadeler eşit anlamlara sahiptir:
A) 5x + a$ ve 3ax + 4$
B) 2x - 2$ ve 4x + 5a$

Çözüm:

Aynı değerleri elde etmek için denklemlerin çözümlerini bulmalıyız.
$5x + a = 3ax + 4$ ve $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – bir \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 - bir$
5 - 3a \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(5)(3)$, çözümler $x = \frac(4-a)(5-3a)$'dır
5 - 3a = 0$ ise, yani. $a = \frac(5)(3)$, denklem $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$ olur
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, çözümü olmayan

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Görev 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Çözüm:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow balta + 2 = 4$ veya $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ veya $ax = - 6$
$a \neq 0$ ise, denklemler $x = \frac(2)(a)$ veya $x = -\frac(6)(a)$ olur
$a = 0$ ise, denklemin çözümü yoktur.

B) $a ise $a > 0$ ise, bu 2x + 1 = 3a$'a eşittir
veya $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ veya
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Sol Sağ ok baltası + 2a = 3$ veya $ax + 2a = - 3$,
ve $ax = 3 - 2a$ veya $ax = -3 - 2a$ buluyoruz
a = 0 ise, $a \neq 0$ ise çözüm yoktur
çözümler: $x = \frac(3-2a)(a)$ ve $x = -\frac(3+2a)(a)$

Görev 6 2 - x = 2b - 2ax$ denklemini çözün, burada a ve b gerçek parametrelerdir. $b = 7$ ise bir denklemin hangi değerlerinin çözüm olarak doğal sayıya sahip olduğunu bulun.

Çözüm:

Bu denklemi şu biçimde temsil ederiz: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Aşağıdaki seçenekler mümkündür:
2a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(2)$, denklemin benzersiz bir çözümü var
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ ve $b = 1$ ise, denklem $0\cdot x = 0$ olur ve herhangi bir $x$ bir çözümdür
$a = \frac(1)(2)$ ve $b \neq 1$ ise, $0\cdot x = 2(b - 1)$ elde ederiz, burada $2(b - 1) \neq 0$
Bu durumda denklemin çözümü yoktur.
$b = 7$ ve $a \neq \frac(1)(2)$ ise tek çözüm
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
a bir tamsayıysa, o zaman $2a - 1$ da bir tamsayıdır ve çözüm
$x = \frac(12)(2a-1)$ şu durumda bir doğal sayıdır:
2a - 1$, 12$ için pozitif bir bölendir.
a'nın tam sayı olması için 12$'ın böleni tek olmalıdır. Ancak sadece 1$ ve 3$ 12 ile bölünebilen pozitif tek sayılardır.
Bu nedenle 2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ veya 2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ veya 2a - 1 = 1 \Sol ok a = 1$

Görev 7$|ax - 2 – a| denklemini çözün = 4$, burada a bir parametredir. Denklemin köklerinin hangi değerlerinin negatif tam sayılar olduğunu bulun.

Çözüm:

Modül tanımından elde ettiğimiz
$|ax - 2 – x| = 4 \Sol Sağ ok baltası - 2 - x = 4$ veya $ax - 2 - x = - 4$
İlk eşitlikten $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$ elde ederiz.
$(a - 1)x = 4 + 2 \Sol ok (a - 1)x = 6$
İkinci eşitlikten $(a - 1)x = -2$ elde ederiz.
$a - 1 = 0$ ise, yani $a = 1$, son denklemin çözümü yok.
$a \neq 1$ ise, $x = \frac(6)(a-1)$ veya $x = -\frac(2)(a-1)$ olduğunu buluruz
Bu köklerin tamsayı negatif sayılar olması için aşağıdakilerin olması gerekir:
İlki için $a - 1$, 6'nın negatif böleni ve ikincisi için 2'nin pozitif böleni olmalıdır.
Sonra $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ veya $a - 1 = 1; 2$
$a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Sol ok a = -2; a - 1 = -6 \Sol ok a = -5$
veya $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Sol ok a = 3$
Sonra $a = -5; -2; -bir; 0; 2; 3$ problemin çözümüdür.

Görev 8 Denklemi çözün:
A) $3ax - a = 1 - x$, burada a bir parametredir;
B) $2ax + b = 2 + x$ burada a ve b parametrelerdir

Çözüm:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
3a + 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq -11 /3 /3$ , bir çözüm var
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
$a = -\frac(1)(3)$ ise denklem $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ olur ve bunun çözümü yoktur.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
2a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ çözümdür.
$a = \frac(1)(2)$ ise denklem 0,x = 2 – b$ olur
O zaman $b = 2$ ise, herhangi bir x bir çözümdür, eğer $b \neq 2$ ise, denklemin çözümü yoktur.

Görev 9$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ denklemi verilmiştir, burada k bir tam sayıdır. Denklemin hangi k değerlerini bulun:
A) $-\frac(4)(3)$ köküne sahiptir
B) çözümü yoktur;
C) Doğal sayı olarak bir kökü vardır.

Çözüm:

Denklemi $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$ olarak yeniden yazın

A) $x = -\frac(4)(3)$ ise, k için $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$ denklemini alırız

B) $kx = 12$ denkleminin $k = 0$ olduğunda çözümü yoktur.

C) $k \neq 0$ $x = \frac(12)(k)$ kökü olduğunda ve bu bir doğal sayıysa, k 12 ile bölünebilen pozitif bir tam sayı ise, yani. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Görev 10 Denklemi çözün:
A) $2ax + 1 = x + a$, burada a bir parametredir;
B) $2ax + 1 = x + b$, burada a ve b parametrelerdir.

Çözüm:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = bir - 1$
2a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(2)$, denklemin tek çözümü
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
2a - 1 = 0$ ise, yani $a = \frac(1)(2)$, denklem şöyle olur
0,x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, çözümü yok

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
2a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(2)$, çözüm
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ ise, denklem 0,x = b - 1$'a eşittir
b = 1 ise herhangi bir x bir çözümse, $b \neq 1$ ise çözüm yoktur.

Görev 11 Parametrenin bir tamsayı olduğu $3(ax - 4) + 4 = 2ax$ denklemi verilmiştir. Bir denklemin hangi değerlerinin köklere sahip olduğunu bulun:
A) $\sol(-\frac(2)(3)\sağ)$
B) bir tam sayı
C) doğal sayı

Çözüm:

A) $x = -\frac(2)(3)$ denklemin bir çözümü ise, bu doğru olmalıdır
$3\sol + 4 = 2a\sol(-\frac(2)(3)\sağ) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Sol sağ ok a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow balta = 8$
$a \neq 0$ ise çözüm $x = \frac(8)(a)$ ise, a $8$'ın bir bölüneni ise bu bir tamsayıdır.
Bu yüzden; $±2; ±4; ±8$
$a=0$ ise, denklemin çözümü yoktur

C) Bu çözüm için doğal (pozitif tamsayı) bir sayı elde etmek için $x=\frac(8)(a)$ şu olmalıdır: $a=1, 2, 4, 8$

Görev 12$a$ ve $b$'ın parametreler olduğu 2 – x = 2b – 2ax$ denklemi verilmiştir. $b = 7$ ise bir denklemin hangi değerlerinin doğal sayı şeklinde çözümleri olduğunu bulun.

Çözüm:

$b = 7$'ı denklemde yerine koyarız ve 2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$ elde ederiz
2ax – x = 14 – 2 \Sol ok (2a - 1)x = 12$
2a -1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(2)$, denklem şöyle olur
$x = \frac(12)(2a-1)$ ve payda 2a - 1$ pozitif bölünebilir bir 12$ ise ve bir tam sayı olmasının yanı sıra, 2a - 1$ tek sayıydı.
Yani 2a - 1$, 1$ veya 3$ olabilir
2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ ve 2a - 1 = 3$'dan itibaren
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Görev 13$f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ işlevi verildiğinde, burada a bir parametredir. Fonksiyonun grafiğinin hangi değerlerini bulun:
A) x eksenini geçer;
B) x eksenini keser

Çözüm:

Fonksiyon grafiğinin x eksenini geçebilmesi için,
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ bir çözüme sahipti ve x eksenini geçmemek için bir çözümü yoktu.
Denklemden $(3a - 1)x = 2a - 1$ elde ederiz.
3a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq \frac(1)(3)$, denklemin çözümleri var
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, yani fonksiyonun grafiği x eksenini keser.
$a = \frac(1)(3)$ ise, 0,x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$ alırız, bu da olmaz çözümleri var.
Bu nedenle, $a = \frac(1)(3)$ ise, fonksiyon grafiği x eksenini geçmez.

Görev 14 Parametrik denklemi çözün:
A) $|x -2| = bir$
B) $|balta -1| = 3$
C) $|ax - 1| = bir - 2 $

Çözüm:

A) $a 0$ ise şunu elde ederiz:
$|x - 2| = a \Sol ok x - 2 = a$ veya $x - 2 = -a$
$x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$'dan ve
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
$a = 0$ ise, o zaman $x - 2 = 0$ veya $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Sol ok baltası - 1 = 3$ veya $ax - 1 = -3$
nereden $ax = 4$ veya $ax = - 2$
$a \neq 0$ ise çözümler: $x = \frac(4)(a)$ veya $x = -\frac(2)(a)$
$a = 0$ ise burada çözüm yok

C) $a - 2 ise $a - 2 > 0$ ise, yani. $a > 2$ elde ederiz
$|balta - 1| = a - 2 \Leftrightarrow balta - 1 = a - 2$ veya $ax - 1 = 2 – a$
Böylece $ax = a - 1$ veya $ax = 3 – a$ elde ederiz.
$a > 2 olduğundan, a \neq 0$, dolayısıyla
$x = \frac(a-1)(a)$ veya $x = \frac(3-a)(a)$.
$a = 2$ ise, denklemler eşdeğerdir
2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$

Görev 15 m (a) parametresinin hangi değerleri için iki denklemin eşdeğer olduğunu bulun:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ ve $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ ve $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ ve $ax + 2a = 1 + x$ eğer $x > 3$ ise

Çözüm:

A) İkinci denklemi çözelim. şeklinde yazalım:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Sol ok x = 0$
ilk aldığımız için
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Bu iki denklem, aynı köklere sahiplerse eşdeğerdir, yani.
2 - 3 milyon = 0 \Sol ok$ milyon = \frac(2)(3)$

B) Birinci denklem için çözüm $x = 2 - 3m$'dır ve ikinci denklem için şunu elde ederiz:
$x – m = 3 - 6 milyon \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5 milyon$
Aynı köklere sahip olduklarında
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) $x > 3, 3 – x $|3 – x| olduğundan = -(3 - x) = x - 3 $
İlk denklem şöyle görünecektir: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​​​ - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ veya $x = 4$
$x > 3$ koşuluyla, sadece $x = 4$ bir çözümdür. İkinci denklem için,
$ax – x = 1 - 2a \Sol ok (a - 1)x = 1 - 2a$
$a - 1 = 0$ ise çözüm yok (Neden?), $a - 1 \neq 0$ ise, yani. $a \neq 1$, bir çözüm var
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ ise bu iki denklem eşittir Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$