Önlem 1 : n n büyüklüğünde bir matriste en az bir satır (sütun) sıfıra eşitse, matrisin satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt:İlk satır boş olsun, o zaman

nerede 1 0. Hangisi gerekliydi.

Tanım: Ana köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan matrise denir. üçgensel:

ve ij = 0, ben>j.

Önlem 2: Üçgen matrisin determinantı, ana köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir.

Kanıtı, matrisin boyutu üzerinde tümevarım yoluyla gerçekleştirmek kolaydır.

teorem hakkında doğrusal bağımsızlık vektörler.

a)İhtiyaç: lineer bağımlı D=0 .

Kanıt: lineer bağımlı olsun, j=,

yani, hepsi sıfıra eşit olmayan bir j vardır, j= , ne a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... bir n A n = , A j - matris sütunları ANCAK.Örneğin, bir n ¹0.

Sahibiz bir j * = bir j / bir n , j £ n-1a 1 * A 1 + bir 2 * A 2 + ... bir n -1 * Bir n -1 + A n = .

Matrisin son sütununu değiştirelim ANCAKüzerinde

A n * \u003d a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... bir n -1 A n -1 + A n \u003d.

Yukarıda kanıtlanan determinantın özelliğine göre (matristeki herhangi bir sütuna başka bir sütun eklenirse, bir sayı ile çarpılırsa değişmez), yeni matrisin determinantı orijinal matrisin determinantına eşittir. Ancak yeni matriste, bir sütun sıfırdır, yani bu sütundaki determinantı genişleterek şunu elde ederiz: D=0, Q.E.D.

b)Yeterlilik: boyut matrisi n nlineer bağımsız satırlarla determinantın mutlak değerini değiştirmeyen dönüşümler yardımıyla üçgen formuna indirgemek her zaman mümkündür. Bu durumda, orijinal matrisin satırlarının bağımsızlığı, determinantının sıfıra eşit olmadığı anlamına gelir.

1. Boyut matrisinde ise n n lineer bağımsız satır elemanı ile 11 sıfıra eşittir, ardından elemanlı sütun ve 1 j ¹ 0. Lemma 1'e göre, böyle bir unsur var. Bu durumda, dönüştürülmüş matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantından yalnızca işaret olarak farklı olabilir.

2. Sayılı satırlardan ben>1 kesir ile çarpılan ilk satırı çıkar ben 1 / 11. Aynı zamanda, sayıların olduğu satırların ilk sütununda ben>1 boş elemanlar elde edilecektir.

3. Ortaya çıkan matrisin determinantını ilk sütunda genişleterek hesaplamaya başlayalım. İlki hariç, içindeki tüm elemanlar sıfıra eşit olduğundan,

D yeni = 11 yeni (-1) 1+1 D 11 yeni,

nerede d 11 yeni daha küçük bir matrisin determinantıdır.

Ardından, determinantı hesaplamak için D11 son determinant boyut matrisinin determinantı olana kadar 1, 2, 3 adımlarını tekrarlayın 1 1. 1. madde sadece dönüştürülmüş matrisin determinantının işaretini değiştirdiğinden ve 2. madde determinantın değerini hiç değiştirmediğinden, bir işarete kadar, sonunda orijinal matrisin determinantını elde edeceğiz. Bu durumda, orijinal matrisin satırlarının doğrusal bağımsızlığından dolayı, 1. madde her zaman uygulanabilir olduğundan, ana köşegenin tüm elemanları sıfırdan farklı olacaktır. Böylece, yukarıdaki algoritmaya göre nihai belirleyici, ana köşegen üzerindeki sıfır olmayan elemanların çarpımına eşittir. Bu nedenle, orijinal matrisin determinantı sıfıra eşit değildir. Q.E.D.

Ek 2

Aşağıda, doğrusal bağımlılık ve buna bağlı olarak vektör sistemlerinin doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler verilmektedir.

Teorem. (Vektörlerin lineer bağımlılığı için gerekli ve yeterli bir koşul.)

Bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda bağımlıdır.

Kanıt. İhtiyaç. Sistemin lineer bağımlı olmasına izin verin. Daha sonra, tanım gereği, boş vektörü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir kombinasyonu vardır:

burada bu lineer kombinasyonun katsayılarından en az biri sıfıra eşit değildir. İzin vermek , .

Önceki eşitliğin her iki bölümünü de bu sıfır olmayan katsayıya bölün (yani şuyla çarpın:

Belirtin: , nerede .

şunlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir, vb.

Yeterlilik Sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilsin:

Vektörü bu eşitliğin sağına kaydıralım:

Vektörün katsayısı olduğu için, vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir sıfır temsiline sahibiz, bu da bu vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, vb.

Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuçlar.

1. Bir vektör uzayındaki vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmemişse, doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Bir sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektörler sistemi lineer bağımlıdır.

Kanıt.

1) Gereklilik. Sistemin lineer bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayın ve bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir sistem vektörü var. O zaman, teoreme göre sistem lineer bağımlıdır ve bir çelişkiye ulaşırız.

Yeterlilik Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin lineer olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak bu teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla lineer olarak ifade edilen bir sistem vektörü olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.

2a) Sistemin bir sıfır vektörü içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün :. Daha sonra eşitlik

şunlar. sistemin vektörlerinden biri, bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden, böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu sonucu çıkar.

Bu gerçeğin doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminden doğrudan kanıtlanabileceğini unutmayın.

olduğundan, aşağıdaki eşitlik açıktır

Bu, sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsilidir; bu, sistemin lineer olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. için izin verin. Daha sonra eşitlik

Şunlar. birinci vektör, aynı sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden şu sonucu çıkar: bu sistem lineer bağımlı, vb.

Bir öncekine benzer şekilde, bu iddia da doğrudan lineer bağımlı bir sistemin tanımından kanıtlanabilir.O zaman bu sistem sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder.

sistemin lineer bağımlılığını buradan takip eder.

Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuçlar. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfırdan farklıysa lineer olarak bağımsızdır.

fonksiyonlar denir Doğrusal bağımsız, eğer

(sadece sıfıra eşit olan önemsiz bir doğrusal fonksiyon kombinasyonuna izin verilir). Vektörlerin lineer bağımsızlığının aksine, burada lineer kombinasyonun kimliği eşitlik değil sıfırdır. Bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü doğrusal kombinasyonun sıfıra eşitliği, argümanın herhangi bir değeri için sağlanmalıdır.

fonksiyonlar denir lineer bağımlı, sıfır olmayan bir sabitler kümesi varsa (tüm sabitler sıfıra eşit değilse), öyle ki (aynı şekilde sıfıra eşit olan önemsiz olmayan bir doğrusal fonksiyon kombinasyonu vardır).

Teorem.Fonksiyonların lineer bağımlı olması için, bunlardan herhangi birinin geri kalanlar cinsinden lineer olarak ifade edilmesi (doğrusal kombinasyonları olarak temsil edilir) gerekli ve yeterlidir.

Bu teoremi kendiniz kanıtlayın, vektörlerin lineer bağımlılığına benzer teorem ile aynı şekilde kanıtlayın.

Vronsky'nin determinantı.

Fonksiyonlar için Wronsky determinantı, sütunları sıfırdan (fonksiyonların kendileri) n-1. mertebeye kadar bu fonksiyonların türevleri olan bir determinant olarak tanıtıldı.

.

teorem. eğer fonksiyonlar lineer bağımlı, o zaman

Kanıt. fonksiyonlar beri lineer bağımlıdır, o zaman bunlardan biri lineer olarak geri kalanı cinsinden ifade edilir, örneğin,

Kimlik farklılaştırılabilir, yani

Daha sonra Wronsky determinantının ilk sütunu, kalan sütunlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilir, bu nedenle Wronsky determinantı aynı şekilde sıfıra eşittir.

Teorem.Doğrusal homojenliği çözmek için diferansiyel denklem n. mertebe lineer bağımlıdır, gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Gereklilik önceki teoremden çıkar.

Yeterlilik Bir noktayı düzeltelim. olduğundan, bu noktada hesaplanan determinantın sütunları lineer bağımlı vektörlerdir.

, ilişkilerin

Doğrusal çözümlerin doğrusal bir kombinasyonundan beri homojen denklemçözümü ise, o zaman formun bir çözümünü sunabiliriz

Aynı katsayılara sahip doğrusal bir çözüm kombinasyonu.

Bu çözüm için sıfır başlangıç ​​koşullarını sağladığına dikkat edin, bu, yukarıda yazılan denklem sisteminden kaynaklanmaktadır. Ancak lineer homojen bir denklemin önemsiz çözümü de aynı sıfır başlangıç ​​koşullarını sağlar. Bu nedenle, Cauchy teoreminden, tanıtılan çözümün önemsiz olana eşit olduğu sonucu çıkar, bu nedenle,

yani çözümler lineer bağımlıdır.

Sonuçlar.Doğrusal homojen bir denklemin çözümleri üzerine kurulu Wronsky determinantı en az bir noktada yok oluyorsa, o zaman aynı şekilde sıfıra eşittir.

Kanıt. ise, çözümler lineer bağımlıdır, bu nedenle, .

Teorem.1. Çözümlerin doğrusal bağımlılığı için gerekli ve yeterlidir(veya ).

2. Çözümlerin lineer bağımsızlığı için gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. İlk iddia, yukarıda kanıtlanan teoremden ve bunun sonucundan gelir. İkinci iddia, çelişkiyle kolayca kanıtlanır.

Çözümler lineer bağımsız olsun. ise, çözümler lineer bağımlıdır. çelişki. Sonuç olarak, .

İzin vermek . Çözümler lineer bağımlıysa, , dolayısıyla bir çelişki. Bu nedenle çözümler lineer bağımsızdır.

Sonuçlar.Wronsky determinantının en az bir noktada kaybolması, lineer homojen bir denklemin çözümlerinin lineer bağımlılığı için bir kriterdir.

Wronsky determinantının sıfırdan farkı, doğrusal homojen bir denklemin çözümlerinin doğrusal bağımsızlığı için bir kriterdir.

Teorem.N'inci dereceden doğrusal homojen bir denklemin çözüm uzayının boyutu n'ye eşittir.

Kanıt.

a) n. mertebeden lineer homojen bir diferansiyel denklemin lineer bağımsız n tane çözümü olduğunu gösterelim. Çözümleri Düşünün , aşağıdaki başlangıç ​​koşullarını sağlayan:

...........................................................

Bu tür çözümler var. Gerçekten de, nokta yoluyla Cauchy teoremi ile tek integral eğriyi geçer - çözüm. nokta aracılığıyla çözümü noktadan geçirir

- bir nokta ile çözüm - çözüm .

Bu çözümler lineer bağımsızdır, çünkü .

b) Lineer homojen bir denklemin herhangi bir çözümünün bu çözümler cinsinden lineer olarak ifade edildiğini gösterelim (onların lineer kombinasyonudur).

İki çözüm düşünelim. Başlangıç ​​koşulları ile tek - keyfi çözüm . adil oran

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı kavramları, boyut ve uzay temeli kavramları onlara dayandığından, vektör cebiri çalışmasında çok önemlidir. Bu yazıda tanımlar vereceğiz, doğrusal bağımlılık ve bağımsızlığın özelliklerini ele alacağız ve bir vektör sistemini incelemek için bir algoritma elde edeceğiz. doğrusal bağımlılıkÖrneklere ayrıntılı olarak bakalım.

Sayfa gezintisi.

Bir vektör sisteminin lineer bağımlılığının ve lineer bağımsızlığının belirlenmesi.

Bir dizi p n-boyutlu vektör düşünün, bunları aşağıdaki gibi belirtin. Bu vektörlerin ve rastgele sayıların doğrusal bir kombinasyonunu oluşturun (gerçek veya karmaşık): . n-boyutlu vektörler üzerindeki işlemlerin tanımına ve vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma işlemlerinin özelliklerine dayanarak, kaydedilen doğrusal kombinasyonun bir n-boyutlu vektör olduğu iddia edilebilir, yani, .

Böylece vektör sisteminin lineer bağımlılığının tanımına geldik.

Tanım.

Sayılar arasında doğrusal bir kombinasyon sıfır vektör olabilirse sıfır dışında en az bir tane varsa, vektörler sistemi denir lineer bağımlı.

Tanım.

Doğrusal kombinasyon yalnızca tüm sayılar olduğunda boş bir vektörse sıfıra eşitse, vektörler sistemi denir Doğrusal bağımsız.

Doğrusal bağımlılık ve bağımsızlığın özellikleri.

Bu tanımlara dayanarak formüle eder ve kanıtlarız. bir vektör sisteminin lineer bağımlılığının ve lineer bağımsızlığının özellikleri.

Doğrusal olarak bağımlı bir vektör sistemine birkaç vektör eklenirse, sonuçta ortaya çıkan sistem doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

Kanıt.

Vektörler sistemi lineer bağımlı olduğundan, sayılardan en az bir sıfır olmayan sayı varsa eşitlik mümkündür. . İzin vermek .

Orijinal vektör sistemine s tane daha vektör ekleyelim. , ve sistemi alıyoruz . O zamandan beri, bu form sisteminin vektörlerinin doğrusal kombinasyonu

boş bir vektördür ve . Bu nedenle, elde edilen vektör sistemi lineer olarak bağımlıdır.

Doğrusal olarak bağımsız bir vektör sisteminden birkaç vektör çıkarılırsa, sonuçta ortaya çıkan sistem doğrusal olarak bağımsız olacaktır.

Kanıt.

Ortaya çıkan sistemin lineer bağımlı olduğunu varsayıyoruz. Atılan tüm vektörleri bu vektör sistemine ekleyerek, orijinal vektör sistemini elde ederiz. Koşul olarak, doğrusal olarak bağımsızdır ve doğrusal bağımlılığın önceki özelliği nedeniyle, doğrusal olarak bağımlı olmalıdır. Bir çelişkiye ulaştık, dolayısıyla varsayımımız yanlış.

Bir vektör sistemi en az bir sıfır vektöre sahipse, böyle bir sistem lineer bağımlıdır.

Kanıt.

Bu vektör sisteminde vektör sıfır olsun. Orijinal vektör sisteminin lineer bağımsız olduğunu varsayalım. O zaman vektör eşitliği ancak . Ancak, sıfırdan farklı bir şey alırsak, eşitlik hala geçerli olacaktır, çünkü . Bu nedenle, varsayımımız yanlıştır ve orijinal vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Bir vektör sistemi lineer olarak bağımlıysa, vektörlerinden en az biri, diğerleri cinsinden lineer olarak ifade edilir. Vektörler sistemi lineer olarak bağımsız ise, vektörlerin hiçbiri diğerleri cinsinden ifade edilemez.

Kanıt.

Önce ilk iddiayı ispatlayalım.

Vektörler sistemi lineer bağımlı olsun, o zaman en az bir sıfır olmayan sayı vardır ve eşitlik doğrudur. Bu eşitlik ile ilgili olarak çözülebilir, çünkü bu durumda,

Sonuç olarak, vektör, ispatlanacak olan sistemin kalan vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir.

Şimdi ikinci iddiayı kanıtlıyoruz.

Vektörler sistemi lineer olarak bağımsız olduğundan, eşitlik yalnızca için mümkündür.

Sistemin bazı vektörlerinin diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğini varsayalım. O zaman bu vektör olsun. Bu eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir, sol tarafı sistem vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonunu içerir ve vektörün önündeki katsayı sıfırdan farklıdır, bu da orijinal vektör sisteminin doğrusal bir bağımlılığını gösterir. Böylece, özelliğin kanıtlandığı anlamına gelen bir çelişkiye geldik.

Son iki özellikten önemli bir açıklama gelir:
vektörler sistemi vektörler içeriyorsa ve , burada keyfi bir sayı ise, o zaman lineer bağımlıdır.

Lineer bağımlılık için vektörler sisteminin incelenmesi.

Görevi belirleyelim: vektör sisteminin doğrusal bir bağımlılığını veya doğrusal bağımsızlığını oluşturmamız gerekiyor.

Mantıksal soru şudur: “nasıl çözülür?”

Pratik açıdan yararlı bir şey, bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığının ve bağımsızlığının yukarıdaki tanımlarından ve özelliklerinden türetilebilir. Bu tanımlar ve özellikler, aşağıdaki durumlarda bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığını oluşturmamıza izin verir:

Peki ya çoğunluk olan diğer durumlarda?

Bununla ilgilenelim.

Teoremin, makalede bahsettiğimiz matris sıralamasındaki formülasyonunu hatırlayın.

Teorem.

İzin vermek r, n'ye göre p dereceli A matrisinin sırasıdır, . M, A matrisinin temel minörü olsun. A matrisinin temel minör M'nin oluşumuna katılmayan tüm satırları (tüm sütunları), temel minör M'yi oluşturan matrisin satırları (sütunları) aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir.

Ve şimdi bir matrisin rankı üzerindeki teoremin lineer bir bağımlılık için bir vektörler sistemi çalışmasıyla bağlantısını açıklayalım.

Satırları incelenen sistemin vektörleri olacak bir A matrisi yapalım:

Vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığı ne anlama gelecek?

Bir vektörler sisteminin lineer bağımsızlığının dördüncü özelliğinden, sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilemeyeceğini biliyoruz. Başka bir deyişle, A matrisinin hiçbir satırı diğer satırlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilmeyecektir, bu nedenle, vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığı, Rank(A)=p koşuluna eşdeğer olacaktır..

Vektörler sisteminin doğrusal bağımlılığı ne anlama gelecek?

Her şey çok basit: A matrisinin en az bir satırı, geri kalanı cinsinden doğrusal olarak ifade edilecektir, bu nedenle, vektör sisteminin lineer bağımlılığı, Rank(A) koşuluna eşdeğer olacaktır.

.