Makale, 2017 için matematikteki profil sınavından 15 numaralı görevlerin analizine ayrılmıştır. Bu görevde öğrencilere, çoğunlukla logaritmik olan eşitsizlikleri çözmeleri önerilir. Her ne kadar gösterge olabilirler. Bu makale örneklere genel bir bakış sağlar logaritmik eşitsizlikler logaritmanın tabanında bir değişken içerenler dahil. Tüm örnekler matematikteki (profildeki) USE atamalarının açık bankasından alınmıştır, dolayısıyla benzer eşitsizlikler büyük olasılıkla Görev 15 olarak sınava yakalanabilirsiniz. Sınavdan daha fazla puan almak için matematikte profil sınavının ikinci bölümünden görev 15'i kısa sürede nasıl çözeceğinizi öğrenmek isteyenler için idealdir.

Matematikte profil sınavından 15 görev analizi

Matematikte (profil) Birleşik Devlet Sınavının 15. görevlerinde, genellikle logaritmik eşitsizlikler bulunur. Logaritmik eşitsizliklerin çözümü, kabul edilebilir değerler aralığının tanımlanmasıyla başlar. Bu durumda, her iki logaritmanın tabanında da değişken yoktur, yalnızca görevi büyük ölçüde basitleştiren 11 sayısı vardır. Bu nedenle, burada sahip olduğumuz tek kısıtlama, logaritma işareti altındaki her iki ifadenin de pozitif olmasıdır:

Title="(!LANG:QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Sistemdeki ilk eşitsizlik ikinci dereceden eşitsizliktir. Bunu çözmek için, sol tarafı çarpanlara ayırsak gerçekten iyi olur. Sanırım formun herhangi bir kare trinomialini biliyorsunuz. Aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

nerede ve denklemin kökleridir. Bu durumda katsayı 1'dir (bu, önündeki sayısal katsayıdır). Katsayı da 1'e eşittir ve katsayı serbest bir terimdir, -20'ye eşittir. Bir üç terimlinin kökleri, Vieta teoremini kullanarak en kolay şekilde belirlenir. Denklemimiz indirgenir, yani köklerin toplamı anlamına gelir ve zıt işaretli katsayıya, yani -1'e eşit olacak ve bu köklerin çarpımı katsayıya, yani -20'ye eşit olacaktır. Köklerin -5 ve 4 olacağını tahmin etmek kolaydır.

Artık eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılabilir: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X-5 ve 4. noktalarda Bu nedenle, eşitsizliğin istenen çözümü aralıktır. Burada yazılanları anlamayanlar için videoda detayları şu andan itibaren görebilirsiniz. Orada ayrıca sistemin ikinci eşitsizliğinin nasıl çözüldüğüne dair ayrıntılı bir açıklama bulacaksınız. Çözülüyor. Üstelik cevap, sistemin birinci eşitsizliği ile tamamen aynıdır. Yani yukarıda yazılan küme, eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin alanıdır.

Böylece, çarpanlara ayırmayı hesaba katarsak, orijinal eşitsizlik şu şekli alır:

Formülü kullanarak, ilk logaritmanın işaretinin altındaki ifadenin kuvvetine 11 ekleyelim ve ikinci logaritmayı eşitsizliğin sol tarafına taşıyarak işaretini tersine çevirelim:

İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:

Fonksiyondaki artıştan kaynaklanan son eşitsizlik, eşitsizliğe eşdeğerdir. , çözümü aralık olan . Kabul edilebilir eşitsizlik değerleri alanı ile geçmeye devam ediyor ve bu, tüm görevin cevabı olacak.

Böylece, göreve istenen cevap şu şekildedir:

Bu görevi çözdük, şimdi matematikte (profil) Birleşik Devlet Sınavının bir sonraki görev 15 örneğine geçiyoruz.

Bu eşitsizliğin kabul edilebilir değer aralığını belirleyerek çözüme başlıyoruz. Her logaritmanın tabanı 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olmalıdır. Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olmalıdır. Bir kesrin paydası sıfır olmamalıdır. Son koşul eşdeğerdir, çünkü yalnızca aksi halde paydadaki her iki logaritma da yok olur. Tüm bu koşullar, aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından verilen bu eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirler:

Title="(!LANG:QuickLaTeX.com tarafından oluşturuldu">!}

Kabul edilebilir değerler aralığında, eşitsizliğin sol tarafını sadeleştirmek için logaritma dönüşüm formüllerini kullanabiliriz. formülü kullanma paydadan kurtul:

Şimdi sadece temel logaritmalarımız var. Zaten daha uygun. Daha sonra, formülü ve ayrıca formülü zafere değer ifadeyi aşağıdaki forma getirmek için kullanıyoruz:

Hesaplamalarda kabul edilebilir değerler aralığında olanı kullandık. İkame işlemini kullanarak şu ifadeye ulaşırız:

Bir ikame daha kullanalım: . Sonuç olarak şu sonuca varıyoruz:

Bu nedenle, yavaş yavaş orijinal değişkenlere dönün. İlk önce değişkene:

Bölümler: Matematik

Çoğu zaman, logaritmik eşitsizlikleri çözerken, logaritmanın değişken tabanıyla ilgili sorunlar vardır. Yani, formun bir eşitsizliği

standart bir okul eşitsizliğidir. Kural olarak, bunu çözmek için eşdeğer bir sistem grubuna geçiş kullanılır:

dezavantaj Bu method iki sistem ve bir kümeyi saymadan yedi eşitsizliği çözme ihtiyacıdır. Verilen ikinci dereceden fonksiyonlarla bile, popülasyon çözümü çok zaman gerektirebilir.

Bu standart eşitsizliği çözmenin alternatif, daha az zaman alan bir yolu önerilebilir. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi dikkate alıyoruz.

Teorem 1. Bir X kümesinde sürekli artan bir fonksiyon olsun. O zaman bu kümede fonksiyonun artış işareti, argümanın artışının işaretiyle çakışacaktır, yani. , nerede .

Not: X kümesinde sürekli azalan bir fonksiyon varsa, o zaman .

Eşitsizliğe geri dönelim. Ondalık logaritmaya geçelim (sabit tabanı birden büyük olan herhangi birine gidebilirsiniz).

Şimdi teoremi kullanabiliriz, payda fonksiyonların artışını fark edebiliriz. ve paydada. bu yüzden doğru

Sonuç olarak, cevaba götüren hesaplamaların sayısı yaklaşık yarı yarıya azalır, bu sadece zamandan tasarruf etmekle kalmaz, aynı zamanda potansiyel olarak daha az aritmetik ve dikkatsiz hata yapmanıza da olanak tanır.

örnek 1

(1) ile karşılaştırarak buluruz , , .

(2)'ye geçerek şunları elde ederiz:

Örnek 2

(1) ile karşılaştırarak , , .

(2)'ye geçerek şunları elde ederiz:

Örnek 3

Eşitsizliğin sol tarafı artan bir fonksiyon olduğundan ve , o zaman cevap belirlenir .

Terme 1'in uygulanabileceği örnekler dizisi, Terme 2 dikkate alındığında kolaylıkla genişletilebilir.

sette olsun X, , , işlevleri tanımlanır ve bu kümede işaretler ve çakışır, yani, o zaman adil olur.

Örnek 4

Örnek 5

Standart yaklaşımla, örnek şemaya göre çözülür: Faktörler farklı işaretlerde olduğunda çarpım sıfırdan küçüktür. Şunlar. Başlangıçta belirtildiği gibi, her bir eşitsizliğin yediye daha ayrıldığı iki eşitsizlik sistemi kümesini ele alıyoruz.

Teorem 2'yi hesaba katarsak, o zaman (2)'yi hesaba katan faktörlerin her biri, bu O.D.Z. örneğinde aynı işarete sahip başka bir fonksiyonla değiştirilebilir.

Teorem 2'yi dikkate alarak, bir fonksiyonun artışını argümanın bir artışıyla değiştirme yöntemi, tipik C3 USE problemlerini çözerken çok uygun olduğu ortaya çıkıyor.

Örnek 6

Örnek 7

. belirtelim. Almak

. Değiştirmenin şu anlama geldiğini unutmayın: . Denkleme dönersek, .

Örnek 8

Kullandığımız teoremlerde fonksiyonların sınıflarında herhangi bir kısıtlama yoktur. Bu makalede örnek olarak logaritmik eşitsizliklerin çözümüne teoremler uygulanmıştır. Aşağıdaki birkaç örnek, diğer eşitsizlik türlerini çözme yönteminin vaadini gösterecektir.

KULLANIMDAKİ LOGARİTMİK EŞİTSİZLİKLER

Sechin Mihail Aleksandroviç

Kazakistan Cumhuriyeti Öğrencileri için Küçük Bilimler Akademisi "Arayıcı"

MBOU "1 Nolu Sovyet orta okulu", 11. sınıf, kasaba. Sovyet Sovyet bölgesi

Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "1 Nolu Sovyet orta okulu" öğretmeni

Sovyet bölgesi

Amaç: standart olmayan yöntemler kullanarak logaritmik C3 eşitsizliklerini çözme mekanizmasının incelenmesi, tanımlanması ilginç gerçekler logaritma.

Çalışma konusu:

3) Standart olmayan yöntemler kullanarak belirli logaritmik C3 eşitsizliklerini çözmeyi öğrenin.

Sonuçlar:

İçerik

Giriş………………………………………………………………………….4

Bölüm 1. Arka Plan…………………………………………………………...5

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması …………………………… 7

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi……………… 7

2.2. Rasyonelleştirme yöntemi ………………………………………………… 15

2.3. Standart olmayan ikame………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Tuzaklarla Görevler…………………………………………………… 27

Sonuç………………………………………………………………… 30

Edebiyat……………………………………………………………………. 31

giriiş

11. sınıftayım ve matematiğin temel ders olduğu bir üniversiteye girmeyi planlıyorum. Ve bu yüzden C bölümünün görevleriyle çok çalışıyorum. C3 görevinde, standart olmayan bir eşitsizliği veya genellikle logaritmalarla ilişkilendirilen bir eşitsizlikler sistemini çözmeniz gerekiyor. Sınava hazırlanırken C3'te sunulan sınav logaritmik eşitsizliklerini çözmek için yöntem ve tekniklerin eksikliği sorunuyla karşılaştım. Üzerinde çalışılan yöntemler Okul müfredatı bu konuda, C3 görevlerini çözmek için bir temel sağlamayın. Matematik öğretmeni onun rehberliğinde C3 ödevleriyle kendi başıma çalışmamı önerdi. Ayrıca şu soruyla ilgilendim: Hayatımızda logaritma var mı?

Bu düşünceyle tema seçildi:

"Sınavda logaritmik eşitsizlikler"

Amaç: Logaritma hakkında ilginç gerçekleri ortaya çıkaran standart olmayan yöntemler kullanarak C3 problemlerini çözme mekanizmasının incelenmesi.

Çalışma konusu:

1) Logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemler hakkında gerekli bilgileri bulun.

2) Logaritmalar hakkında ek bilgi bulun.

3) Standart olmayan yöntemler kullanarak belirli C3 problemlerini çözmeyi öğrenin.

Sonuçlar:

pratik önemi C3 problemlerini çözmek için aparatı genişletmektir. Bu materyal bazı derslerde, çemberleri yürütmek için, matematikte isteğe bağlı derslerde kullanılabilir.

Proje ürünü "Çözümlü Logaritmik C3 eşitsizlikleri" koleksiyonu olacaktır.

Bölüm 1. Arka Plan

16. yüzyılda, öncelikle astronomide, yaklaşık hesaplamaların sayısı hızla arttı. Aletlerin geliştirilmesi, gezegen hareketlerinin incelenmesi ve diğer işler, bazen uzun yıllar boyunca devasa hesaplamalar gerektiriyordu. Astronomi, tamamlanmayan hesaplamalarda boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Diğer alanlarda da zorluklar ortaya çıktı, örneğin sigortacılıkta, çeşitli yüzde değerleri için bileşik faiz tablolarına ihtiyaç duyuldu. Asıl zorluk çarpma, çok basamaklı sayıların, özellikle trigonometrik büyüklüklerin bölünmesiydi.

Logaritmaların keşfi, 16. yüzyılın sonunda ilerlemelerin iyi bilinen özelliklerine dayanıyordu. Arşimet, Mezmur'daki q, q2, q3, ... geometrik diziliminin üyeleri ile 1, 2, 3, ... göstergelerinin aritmetik dizilişi arasındaki bağlantıdan bahsetti. Bir diğer ön koşul, derece kavramının negatif ve kesirli üslere genişletilmesiydi. Birçok yazar, çarpma, bölme, bir kuvvete yükseltme ve bir kök çıkarmanın üstel olarak aritmetikte - aynı sırada - toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye karşılık geldiğine dikkat çekmiştir.

İşte bir üs olarak logaritma fikriydi.

Logaritma doktrininin gelişim tarihinde birkaç aşama geçti.

1. Aşama

Logaritmalar en geç 1594'te bağımsız olarak İskoç baron Napier (1550-1617) ve on yıl sonra İsviçreli tamirci Burgi (1552-1632) tarafından icat edildi. Her ikisi de, bu soruna farklı şekillerde yaklaşsalar da, aritmetik hesaplamalar için yeni bir uygun araç sağlamak istediler. Napier, logaritmik fonksiyonu kinematik olarak ifade etti ve böylece fonksiyon teorisinin yeni bir alanına girdi. Bürgi, ayrık ilerlemelerin dikkate alınması temelinde kaldı. Ancak, her ikisi için de logaritmanın tanımı modern olana benzemiyor. "Logaritma" (logaritmus) terimi Napier'e aittir. Yunanca kelimelerin birleşiminden ortaya çıktı: logos - "ilişki" ve ariqmo - "ilişki sayısı" anlamına gelen "sayı". Başlangıçta, Napier farklı bir terim kullandı: sayısal yapaylar - sayısal doğal sayıların aksine "yapay sayılar" - "doğal sayılar".

1615'te, Londra'daki Gresh College'da matematik profesörü olan Henry Briggs (1561-1631) ile yaptığı bir konuşmada Napier, birin logaritması için sıfırın ve on'un logaritması için 100'ün ya da ne anlama geldiğinin aynısını almayı önerdi. , sadece 1. Ondalık logaritmalar ve ilk logaritmik tablolar bu şekilde basıldı. Daha sonra, Briggs tabloları Hollandalı kitapçı ve matematikçi Andrian Flakk (1600-1667) tarafından desteklendi. Napier ve Briggs, logaritmalara herkesten önce gelseler de tablolarını diğerlerinden daha sonra yayınladılar - 1620'de. İşaretler log ve Log, 1624 yılında I. Kepler tarafından tanıtıldı. "Doğal logaritma" terimi 1659'da Mengoli tarafından tanıtıldı, ardından 1668'de N. Mercator ve Londra öğretmeni John Spadel "Yeni Logaritmalar" adı altında 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını yayınladı.

Rusça'da ilk logaritmik tablolar 1703'te yayınlandı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplamada hatalar yapılmıştır. İlk hatasız tablolar, Alman matematikçi K. Bremiker'in (1804-1877) işlenmesinde 1857'de Berlin'de yayınlandı.

2. aşama

Logaritma teorisinin daha da geliştirilmesi, analitik geometri ve sonsuz küçük hesabın daha geniş bir uygulamasıyla ilişkilidir. O zamana kadar, bir eşkenar hiperbolün karesi ile doğal logaritma. Bu dönemin logaritma teorisi, bir dizi matematikçinin adıyla ilişkilidir.

Alman matematikçi, astronom ve mühendis Nikolaus Mercator makalesinde

"Logarithmotechnics" (1668), ln(x + 1)'nin aşağıdaki açılardan açılımını veren bir seri verir.

güçler x:

Bu ifade, elbette, d, ... işaretlerini kullanmamasına rağmen, daha hantal semboller kullanmasına rağmen, tam olarak düşüncesinin seyrine karşılık gelir. Logaritmik serilerin keşfiyle, logaritma hesaplama tekniği değişti: sonsuz seriler kullanılarak belirlenmeye başlandı. 1907-1908'de okunan "Daha yüksek bir bakış açısından temel matematik" derslerinde F. Klein, formülü logaritma teorisini oluşturmak için bir başlangıç ​​noktası olarak kullanmayı önerdi.

Sahne 3

Tersinin bir fonksiyonu olarak logaritmik bir fonksiyonun tanımı

üstel, belirli bir tabanın üssü olarak logaritma

hemen formüle edilmedi. Leonhard Euler'in (1707-1783) eseri

"Sonsuz küçüklerin analizine giriş" (1748) ayrıca

logaritmik fonksiyon teorisinin gelişimi. Böylece,

Logaritmaların ilk tanıtılmasından bu yana 134 yıl geçti

(1614'ten itibaren) matematikçiler bir tanım bulmadan önce

şimdi okul kursunun temeli olan logaritma kavramı.

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması

2.1. Eşdeğer geçişler ve genelleştirilmiş aralıklar yöntemi.

eşdeğer geçişler

eğer bir > 1

0 ise < а < 1

Genelleştirilmiş aralık yöntemi

Bu yöntem, hemen hemen her türden eşitsizliği çözmede en evrensel olanıdır. Çözüm şeması şöyle görünür:

1. Eşitsizliği, fonksiyonun sol tarafta bulunduğu bir forma getirin
, ve sağda 0.

2. Fonksiyonun kapsamını bulun
.

3. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulun
, yani, denklemi çöz
(ve bir denklemi çözmek genellikle bir eşitsizliği çözmekten daha kolaydır).

4. Fonksiyonun tanım tanım kümesini ve sıfırlarını gerçek bir çizgi üzerinde çizin.

5. Fonksiyonun işaretlerini belirleyin
alınan aralıklarda

6. Fonksiyonun gerekli değerleri aldığı aralıkları seçin ve cevabı yazın.

örnek 1

Çözüm:

Aralık yöntemini uygulayın

nerede

Bu değerler için logaritma işaretleri altındaki tüm ifadeler pozitiftir.

Cevap:

Örnek 2

Çözüm:

1 inci yol . ODZ eşitsizlik tarafından belirlenir x> 3. Bunun için logaritma alınması x 10 tabanında, elde ederiz

Son eşitsizlik, ayrıştırma kuralları uygulanarak çözülebilir, yani. Faktörlerin sıfır ile karşılaştırılması. Ancak bu durumda fonksiyonun sabitlik aralıklarını belirlemek kolaydır.

Böylece aralık yöntemi uygulanabilir.

İşlev f(x) = 2x(x- 3.5) lgǀ x- 3ǀ için süreklidir x> 3 ve noktalarda kaybolur x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Böylece fonksiyonun sabitlik aralıklarını belirliyoruz. f(x):

Cevap:

2. yol . Aralıklar yönteminin fikirlerini doğrudan orijinal eşitsizliğe uygulayalım.

Bunun için şu ifadeleri hatırlıyoruz: a b- a c ve ( a - 1)(b- 1) bir işareti var. O zaman eşitsizliğimiz x> 3 eşitsizliğe eşdeğerdir

veya

Son eşitsizlik aralık yöntemiyle çözülür.

Cevap:

Örnek 3

Çözüm:

Aralık yöntemini uygulayın

Cevap:

Örnek 4

Çözüm:

2'den beri x 2 - 3x+ 3 > 0 tüm gerçekler için x, sonra

İkinci eşitsizliği çözmek için aralık yöntemini kullanırız.

İlk eşitsizlikte, değişikliği yaparız

sonra 2y 2 eşitsizliğine ulaşırız - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, -0,5 eşitsizliğini sağlayan< y < 1.

Nereden, çünkü

eşitsizliği elde ederiz

ile gerçekleştirilir x, bunun için 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Şimdi, sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümünü dikkate alarak, sonunda

Cevap:

Örnek 5

Çözüm:

Eşitsizlik bir dizi sisteme eşdeğerdir

veya

Aralık yöntemini uygulayın veya

Cevap:

Örnek 6

Çözüm:

Eşitsizlik bir sistemle eşdeğerdir

İzin vermek

sonra y > 0,

ve ilk eşitsizlik

sistem şeklini alır

veya, genişleyen

faktörlere kare trinomial,

Aralık yöntemini son eşitsizliğe uygulayarak,

çözümlerinin koşulu sağladığını görüyoruz. y> 0 hepsi olacak y > 4.

Böylece, orijinal eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:

Yani eşitsizliğin çözümlerinin hepsi

2.2. rasyonalizasyon yöntemi.

Daha önce eşitsizliğin rasyonelleştirilmesi yöntemi çözülmedi, bilinmiyordu. Bu yeni modern etkili yöntemüstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözümleri" (Kolesnikova S.I. kitabından alıntı)
Ve öğretmen onu tanıyor olsa bile bir korku vardı - ama USE uzmanı onu tanıyor mu ve neden okulda vermiyorlar? Öğretmenin öğrenciye "Nereden aldın? Otur - 2." dediği durumlar oldu.
Şimdi yöntem her yerde tanıtılıyor. Ve uzmanlar için var yönergeler bu yöntemle ilişkili ve C3 çözümündeki "Standart varyantların en eksiksiz sürümleri ..." bölümünde bu yöntem kullanılır.
YÖNTEM BÜYÜK!

"Sihirli Tablo"

diğer kaynaklarda

eğer a >1 ve b >1, ardından a b >0 ve (a -1)(b -1)>0'ı günlüğe kaydedin;

eğer a >1 ve 0

0 ise<a<1 и b >1, ardından a b'yi günlüğe kaydedin<0 и (a -1)(b -1)<0;