Dersin amacı: öğrencilerin bir sayının logaritması, özellikleri hakkındaki bilgilerini tekrar eder; logaritmik denklemleri nasıl çözeceğinizi ve alıştırmalar yaparken bunları nasıl birleştireceğinizi öğrenin.

Görevler:

Eğitsel: logaritmaların tanımını ve temel özelliklerini tekrarlayın, bunları logaritma hesaplamalarında, logaritmik denklemlerin çözümünde uygulayabilme;

Geliştirme: logaritmik denklemleri çözme yeteneği oluşturmak;

Eğitim: azim, bağımsızlık geliştirmek; konuya ilgi uyandırmak

Ders türü: ders yeni malzeme öğrenme.

Gerekli teknik ekipman:bilgisayar, projektör, ekran.

Dersin yapısı ve seyri:

1. Organizasyon zamanı.

Öğretmen .

Merhaba, oturun! Bugün dersimizin konusu, logaritmaların tanımını ve özelliklerini kullanarak bunları çözmenin yollarını tanıyacağımız "logaritmik denklemlerin çözümü".(1 numaralı slayt)

1. sözlü çalışma

Logaritma kavramının konsolidasyonu, temel özelliklerinin tekrarı ve logaritmik fonksiyonun özellikleri:

1. Teori ısınması:

1. Logaritmayı tanımlayın.(2 numaralı slayt)

2. Herhangi bir sayının logaritmasını bulmak mümkün müdür?

3. Logaritmanın tabanında hangi sayı olabilir?

4. Fonksiyon y=log 0.8 x artıyor veya azalıyor Neden?

5. Bir logaritmik fonksiyon hangi değerleri alabilir?

6. Hangi logaritmalara ondalık, doğal denir?

7. Logaritmaların temel özellikleri nelerdir.(slayt numarası 3)

8. Logaritmanın bir tabanından diğerine geçmek mümkün müdür? Nasıl yapılır?(slayt numarası 4)

2. Kart üzerinde çalışın (3-4 öğrenci):

Kart numarası 1: Hesaplayın: a) log 6 4 + günlük 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Denklemi çöz: günlük 5 x \u003d 4 günlük 5 3 - 1/3 günlük 5 27

Kart #2:

Hesaplayın: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Denklemi çöz: günlük 7 x \u003d 2 günlük 7 5 + 1/2 günlük 7 36 - 1/3 günlük 7 125.

Ön sınıf araştırması (sözlü egzersizler)

Hesapla: (slayt numarası 5)

Rakamları karşılaştırın: (slayt numarası 6)

1. log ½ e ve log ½ π;
2. log 2 √5/2 ve log 2 √3/2.

Bir ifadenin işaretini bulun günlük 0.8 3 günlük 6 2/3. (slayt numarası 7)

1. ödev kontrolü:

Eve şu alıştırmalar verildi: No. 327 (saatlik olmayan), 331 (saatlik olmayan), 333 (2) ve 390 (6). Bu görevlerin cevaplarını kontrol edin ve öğrencilerin sorularını cevaplayın.

1. Yeni materyal öğrenmek:

Tanım: Logaritmanın işareti altında bir değişken içeren denkleme logaritmik denklem denir.

Logaritmik denklemin en basit örneği denklemdir.
kayıt a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Logaritmik denklemleri çözmenin yolları:(slayt numarası 8)

1. Logaritmanın tanımına dayalı denklemlerin çözümü.(slayt numarası 9)

bir günlüğe kaydet x = c (a > 0, a≠ 1) x = a çözümüne sahiptirİle birlikte .

Logaritmanın tanımına dayanarak, denklemler şu şekilde çözülür:

• tabanlar ve sayı verildiğinde, logaritma belirlenir,
• Logaritma ve taban verildiğinde, bir sayı belirlenir
• taban verilen sayı ve logaritma ile belirlenir.

Örnekler:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) günlük 7 (3x-1)=2 (cevap: x=3 1/3)

b) günlük 2 (7-8x)=2 (cevap: x=3/8).

1. güçlendirme yöntemi.(slayt numarası 10)

Güçlendirme ile logaritma içeren bir eşitlikten onları içermeyen bir eşitliğe geçiş kastedilmektedir, yani.

Log a f(x) = log a g(x), sonra f(x) = g(x), f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1 olması şartıyla.

Örnek:

Denklemi çözün =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - yanlış

Cevap: Çözüm yok.

lg(x 2 -2) \u003d lg x (cevap: x \u003d 2)

1. Temel logaritmik özdeşlik uygulanarak çözülen denklemler.(slayt numarası 11)

Örnek:

Denklemi çözün=günlük 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

günlük 2 x 2 >0;

x2 >0.

Sistem çözümü: (0;1)Ụ (1;6).

Günlük 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 ODZ'ye ait değil.

x=2 ODZ'ye aittir.

Cevap: x=2

Sınıf ile aşağıdaki denklemi çözün:

= (cevap: x=1)

1. Logaritmaları aynı tabana indirgeme yöntemi.(slayt numarası 12)

Örnek:

Günlük denklemini çözün 16 x+ günlük 4 x+ günlük 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 günlük 2 x=7

günlük 2 x=4

х=16 – ODZ'ye aittir.

Cevap: x=16.

Aşağıdaki denklemi sınıfla çözün:

3 (cevap: x=5/3)

1. Logaritmanın özellikleri uygulanarak çözülen denklemler.(slayt numarası 13)

Örnek:

Günlük denklemini çözün 2 (x +1) - günlük 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Bölümün logaritmasının logaritma farkını dönüştürmek için formülü kullanıyoruz, log alıyoruz 2 = 2, nereden geliyor= 4.

Son denklemi çözerek x \u003d 3, 3\u003e 1 - sağı buluruz

Cevap: x = 3.

Aşağıdaki denklemleri sınıfla çözün:

a) günlük 5 (x + 1) + günlük 5 (x +5) = 1 (cevap: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0,x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Günlük 9 (37-12x) / günlük 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Günlük 3 (37-12x) = günlük 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 yabancı bir köktür.

Cevap: x=1 denklemin köküdür.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - yabancı kök.

Kontrol, denklemin 9 kökünü gösterir.

Cevap: 9

1. Denklemler yeni bir değişken tanıtılarak çözülür.(slayt numarası 14)

Örnek:

lg denklemini çöz 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

lgx = p olsun, sonra p 2 -6p+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Değiştirmeye geri dön:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – doğru x=100000, 100000>0 – doğru

Cevap: 10, 100000

Aşağıdaki denklemi sınıfla çözün:

Günlük 6 2 x + günlük 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [ 0.4).

Günlük 6 2 x + günlük 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Günlük 6 2 x + günlük 6 x -2 = 0

Günlük değiştir 6 x = t

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Günlük 6 x = 1, x = 6 yabancı bir köktür.

Günlük 6 x=-2, x=1/36, 1/36'nın kök olduğunu kontrol edin.

Cevap: 1/36.

1. Çarpanlara Ayrılarak Çözülen Denklemler.(slayt numarası 15)

Örnek:

Günlük denklemini çözün 4 (2x-1) ∙ günlük 4 x \u003d 2 günlük 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 veya log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - ODZ'ye ait

Cevap: 1;16

Aşağıdaki denklemi sınıfla çözün:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (cevap: x=1)

1. Denklemin her iki bölümünün logaritmasını alma yöntemi.(slayt numarası 16)

Örnek:

Denklemleri Çöz

3 tabanındaki denklemin her iki tarafının logaritmasını alın.

Log 3 = log 3 (3x) elde ederiz.

elde ederiz: günlük 3 x 2 günlük 3 x \u003d günlük 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 günlük 3 2 x \u003d günlük 3 x +1,

2 günlük 3 2 x - günlük 3 x -1=0,

log 3'ü değiştir x = p, x > 0

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

Günlük 3 x = 1, x=3,

günlük 3 x \u003d -1 / 2, x \u003d 1 / √3.

Cevap: 3; 1/√3

Aşağıdaki denklemi sınıfla çözün:

2 x - 1 günlüğe kaydet

x \u003d 64 (cevap: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. İşlevsel olarak - grafik yöntemi. (slayt numarası 17)

Örnek:

Denklemleri çözün: günlük 3x = 12x.

y = log fonksiyonundan beri 3 x artıyor ve y = 12-x fonksiyonu (0; + ∞) üzerinde azalıyor, sonra verilen denklem bu aralıkta bir kök vardır.

Tek bir koordinat sisteminde iki fonksiyonun grafiklerini oluşturalım: y = log 3 x ve y = 12 x.

x=10'da verilen denklem doğru sayısal eşitlik 1=1'e dönüşür. Cevap x=10'dur.

Aşağıdaki denklemi sınıfla çözün:

1-√x \u003d ln x (cevap: x \u003d 1).

1. Özetle, yansıma (erkeklerin ruh hallerini bir resimle işaretlediği daireleri dağıtın).(slayt numarası 18,19)

Denklemi çözme yöntemini belirleyin:

1. Ödev: 340(1), 393(1), 395(1.3), 1357(1.2), 337(1), 338(1), 339(1)

Edebiyat

1. Ryazanovsky, A.R. Matematik. 5 - 11. Sınıflar: Matematik dersi için ek materyaller / A.R. Ryazanovsky, E.A. Zaitsev. - 2. baskı, klişe. - M.: Bustard, 2002
2. Matematik. "Birinci Eylül" gazetesine ek. 1997. No. 1, 10, 46, 48; 1998. Sayı 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Skorkina, N.M. Standart olmayan ders dışı çalışma biçimleri. Ortaokul ve lise için / N.M. Skorkin. - Volgograd: Öğretmen, 2004
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. didaktik malzemeler 10./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - 3. baskı, düzeltildi. - St. Petersburg: "CheRo-on-Neva", 2004
5. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Teknik Okullar İçin Matematik / ed. G.N. Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Ön izleme:

Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri Matematik öğretmeni: Plotnikova T.V. MBOU "Suzdal'ın 1 Numaralı Ortaokulu"

Tanım a>0, a≠1 olmak üzere a tabanına göre pozitif bir b sayısının logaritması, b'yi elde etmek için a'ya yükseltmeniz gereken böyle bir c üssüdür.

Logaritmanın özellikleri log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Baz Transfer Formülleri 4

Hesapla: 5

Karşılaştır 6

7 Sayının işaretini belirleyin:

Logaritmik denklemleri çözmek için temel yöntemler

1. Logaritma tanımını kullanarak lg 2 128= x log x 27= 3 Aşağıdaki denklemleri çözün: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Güçlendirme yöntemi Aşağıdaki denklemi çözelim: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Temel Logaritmik Kimlik Uygulanarak Çözülen Denklemler Aşağıdaki denklemi çözelim: 1

12 4 . Logaritmaları aynı tabana indirgeme yöntemi log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Aşağıdaki denklemi çözün:

13 5. Logaritmanın özelliklerini uygulayarak çözülen denklemler log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 Aşağıdaki denklemleri çözeriz: a) log 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) günlük 9 (37-12x) günlük 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Yeni bir değişken tanıtılarak çözülen denklemler l g 2 x - 6lgx +5 = 0 Aşağıdaki denklemleri çözeriz: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Çarpanlara Ayrılarak Çözülen Denklemler log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Aşağıdaki denklemleri çözün: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2 ) 1

8. Logaritma yöntemi Aşağıdaki denklemi çözelim: 16

9. İşlevsel olarak - grafiksel yöntem log 3 x = 12-x Aşağıdaki denklemi çözelim: 17 1

Denklemi çözmek için yöntemi belirleyin: Denklem: Başka bir tabana logaritmanın geçişini belirlemeye yönelik çözüm yöntemi çarpanlara ayırma potansiasyonu yeni bir değişkenin başka bir tabana geçişi logaritma logaritma özelliklerinin kullanımı grafiği 18

Evet! Ve bu logaritmik denklemleri kim buldu! Her şeyi yapabilirim!!! Birkaç örneğe daha mı ihtiyacınız var? yansıma 19

giriiş

Matematik derslerinde zihinsel yükün artması, öğrencilerin ders boyunca çalışılan materyale, etkinliklerine olan ilgilerini nasıl sürdürebileceğimizi düşünmemizi sağlar. Bu bağlamda, yeni etkili öğretim yöntemleri ve öğrencilerin düşüncelerini harekete geçirecek, onları bağımsız olarak bilgi edinmeye teşvik edecek bu tür metodolojik teknikler için arayışlar devam etmektedir.

Önemli sayıda öğrenci arasında matematiğe ilginin ortaya çıkması, büyük ölçüde öğretiminin metodolojisine, eğitim çalışmasının ne kadar ustalıkla inşa edileceğine bağlıdır. Öğrencilerin dikkatini matematiğin ne üzerinde çalıştığına zamanında çekmek Genel Özelliklerçevreleyen dünyanın nesneleri ve fenomenleri, nesnelerle değil, soyut kavramlarla ilgilenir, matematiğin gerçeklikle bağlantıyı kesmediğini, aksine, daha derinden incelemeyi, genelleştirilmiş çizmeyi mümkün kıldığını anlayabilirsiniz. pratikte yaygın olarak kullanılan teorik sonuçlar.

Pedagojik fikirler festivaline katılmak "Açık Ders" 2004-2005 okul yılı, "Logaritmik fonksiyon" konusunda bir ders verdim (diploma No. 204044). Bu özel durumda bu yöntemin en başarılı olduğunu düşünüyorum. Çalışmanın sonucunda öğrenciler, bir sonraki derslere hazırlanmalarını kolaylaştıracak konuyla ilgili ayrıntılı bir özet ve kısa bir taslak elde ederler. Özellikle, tamamen logaritmik fonksiyon ve özelliklerinin çalışmasına dayanan "logaritmik denklemlerin çözümü" konusunda.

Temel matematiksel kavramları oluştururken, öğrenciler arasında her birini tanıtmanın uygunluğu ve uygulama olasılığı hakkında bir fikir oluşturmak önemlidir. Bunun için bir kavramın tanımını formüle ederken, mantıksal yapısı üzerinde çalışırken, bu kavramın ortaya çıkış tarihi ile ilgili soruların dikkate alınması gerekir. Bu yaklaşım, öğrencilerin yeni kavramın gerçekliğin gerçeklerinin bir genellemesi olarak hizmet ettiğini anlamalarına yardımcı olacaktır.

Logaritmaların ortaya çıkış tarihi, geçen yılın çalışmalarında ayrıntılı olarak sunulmaktadır.

Bir ortaöğretim ihtisas eğitim kurumunda ve bir üniversitede matematik öğretiminde sürekliliğin önemini ve öğrenciler için tek tip gereksinimlere uyma ihtiyacını dikkate alarak, öğrencileri logaritmik denklemlerin çözümü ile tanıştırmak için aşağıdaki yöntemi tanıtmayı uygun görüyorum.

Logaritmanın işareti altında (özellikle logaritmanın tabanında) bir değişken içeren denklemlere denir. logaritmik. Formun logaritmik denklemlerini düşünün:

Bu denklemlerin çözümü aşağıdaki teoreme dayanmaktadır.

Teorem 1. Denklem sisteme eşdeğerdir

(2)

(1) denklemini çözmek için denklemi çözmek yeterlidir

ve çözümleri eşitsizlikler sistemine ikame edilir.

(1) denkleminin tanım alanını tanımlama.

(1) denkleminin kökleri, yalnızca (3) numaralı denklemin (4) sistemini karşılayan çözümleri olacaktır, yani. (1) denkleminin tanım alanına aittir.

Logaritmik denklemleri çözerken, tanım alanında bir genişleme (yabancı köklerin elde edilmesi) veya daralma (kök kaybı) meydana gelebilir. Bu nedenle, (3) denkleminin köklerinin (4) sistemine ikame edilmesi, yani. Çözümün doğrulanması gereklidir.

Örnek 1: denklemi çözün

Çözüm:

Her iki anlam X sistemin şartlarını sağlar.

Cevap:

Formun denklemlerini düşünün:

Çözümleri aşağıdaki teoreme dayanmaktadır.

Teorem 2: Denklem (5) sisteme eşdeğerdir

(6)

(5) numaralı denklemin kökleri, yalnızca denklemin şu kökleri olacaktır:

koşullar tarafından verilen tanım alanına aittir.

(5) formunun logaritmik bir denklemi çeşitli şekillerde çözülebilir. Ana olanları düşünelim.

1. POTANSİKASYON (logaritmanın özelliklerini uygulayarak).

Örnek 2: denklemi çözün

Çözüm: Teorem 2 sayesinde, bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Denklemi çözelim:

Yalnızca bir kök, sistemin tüm koşullarını karşılar. Cevap:

2. LOGARİTMA TANIMINI KULLANMA .

Örnek 3: Bulmak X, eğer

Çözüm:

Anlam X= 3, denklemin alanına aittir. Cevap X = 3

3. KUADRATİK BİR DENKLEMİNE İNDİRME.

Örnek 4: denklemi çözün

Her iki anlam X denklemin kökleridir.

Cevap:

4. LOGARİT.

Örnek 5: denklemi çözün

Çözüm: 10 tabanındaki denklemin her iki tarafının logaritmasını alıyoruz ve "derecenin logaritması" özelliğini uyguluyoruz.

Her iki kök de logaritmik fonksiyonun izin verilen değerleri aralığına aittir.

Cevap: X = 0,1; X = 100

5. TEK BÖLGEYE İNDİRİM.

Örnek 6: denklemi çözün

formülü kullanalım ve tüm terimleri 2 tabanındaki logaritmaya iletin:

O zaman bu denklem şu şekli alacaktır:

olduğundan, bu denklemin köküdür.

Cevap: X = 16

6. YARDIMCI DEĞİŞKENİN GİRİŞİ.

Hepimiz denklemlere aşinayız. ilkokul. Orada bile en basit örnekleri çözmeyi öğrendik ve onların uygulamalarını daha yüksek matematikte bile buldukları kabul edilmelidir. Kare olanlar da dahil olmak üzere denklemlerle her şey basittir. Bu temayla ilgili sorunlarınız varsa, tekrar denemenizi şiddetle tavsiye ederiz.

Muhtemelen çoktan geçtiğiniz logaritmalar. Yine de henüz bilmeyenler için ne olduğunu anlatmanın önemli olduğunu düşünüyoruz. Logaritma, logaritmanın işaretinin sağındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken güce eşittir. Buna göre bir örnek verelim, her şey sizin için netleşecek.

3'ü dördüncü kuvvete yükseltirseniz, 81 elde edersiniz. Şimdi sayıları analojiyle değiştirin ve sonunda logaritmaların nasıl çözüldüğünü anlayacaksınız. Şimdi sadece düşünülen iki kavramı birleştirmek için kalır. Başlangıçta durum son derece zor görünüyor, ancak daha yakından incelendiğinde ağırlık yerine oturuyor. Bu kısa yazıdan sonra sınavın bu bölümünde sorun yaşamayacağınızdan eminiz.

Bugün, bu tür yapıları çözmenin birçok yolu var. USE görevlerinde en basit, en etkili ve en uygulanabilir olanından bahsedeceğiz. Logaritmik denklemleri çözmek en basit örnekle başlamalıdır. En basit logaritmik denklemler, bir fonksiyon ve içindeki bir değişkenden oluşur.

x'in argümanın içinde olduğuna dikkat etmek önemlidir. A ve b sayı olmalıdır. Bu durumda, fonksiyonu bir kuvvette bir sayı cinsinden basitçe ifade edebilirsiniz. Şuna benziyor.

Elbette logaritmik bir denklemi bu şekilde çözmek sizi doğru cevaba götürecektir. Ancak bu durumda öğrencilerin büyük çoğunluğunun sorunu, neyin ve nereden geldiğini anlamamalarıdır. Sonuç olarak, hatalara katlanmak ve istenen puanları alamamak zorundasınız. Harfleri yer yer karıştırırsanız en rahatsız edici hata olacaktır. Denklemi bu şekilde çözmek için, bu standart okul formülünü ezberlemeniz gerekir, çünkü bunu anlamak zordur.

Bunu kolaylaştırmak için başka bir yönteme başvurabilirsiniz - kanonik form. Fikir son derece basit. Göreve tekrar dikkat edin. A harfinin bir fonksiyon veya değişken değil, bir sayı olduğunu unutmayın. A, bire eşit değildir ve sıfırdan büyüktür. b'de herhangi bir kısıtlama yoktur. Şimdi tüm formüllerden birini hatırlıyoruz. B aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Bundan, logaritmalara sahip tüm orijinal denklemlerin şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

Şimdi logaritmaları atabiliriz. Sonuç, daha önce gördüğümüz basit bir yapıdır.

Bu formülün rahatlığı, sadece en basit tasarımlar için değil, çeşitli durumlarda kullanılabilmesi gerçeğinde yatmaktadır.

OOF için endişelenme!

Birçok deneyimli matematikçi, tanım alanına dikkat etmediğimizi fark edecektir. Kural, F(x)'in zorunlu olarak 0'dan büyük olduğu gerçeğine dayanır. Hayır, bu noktayı kaçırmadık. Şimdi kanonik formun bir başka ciddi avantajından bahsediyoruz.

Burada fazladan kök olmayacak. Değişken yalnızca bir yerde ortaya çıkacaksa, kapsam gerekli değildir. Otomatik olarak çalışır. Bu kararı doğrulamak için birkaç basit örnek çözmeyi düşünün.

Farklı tabanlı logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bunlar zaten karmaşık logaritmik denklemlerdir ve çözümlerine yaklaşım özel olmalıdır. Burada kendimizi kötü şöhretli kanonik biçimle sınırlamak nadiren mümkündür. Detaylı hikayemize başlayalım. Aşağıdaki yapıya sahibiz.

Kesire dikkat edin. Logaritmayı içerir. Bunu görevde görürseniz, ilginç bir numarayı hatırlamaya değer.

Bunun anlamı ne? Her logaritma, uygun bir tabana sahip iki logaritmanın bir bölümü olarak ifade edilebilir. Ve bu formül var özel durum, bu örnek için geçerlidir (eğer c=b ise).

Örneğimizde gördüğümüz tam olarak budur. Böylece.

Hatta kesri ters çevirmişler ve daha uygun bir ifadeye kavuşmuşlardır. Bu algoritmayı hatırla!

Şimdi logaritmik denklemin farklı tabanlar içermemesine ihtiyacımız var. Tabanı kesir olarak gösterelim.

Matematikte, dereceyi tabandan çıkarabileceğiniz bir kural vardır. Aşağıdaki yapı ortaya çıkıyor.

Görünüşe göre şimdi ifademizi kanonik bir forma dönüştürmekten ve onu temelde çözmekten bizi alıkoyan nedir? O kadar basit değil. Logaritmadan önce kesir olmamalıdır. Bu durumu düzeltelim! Derece olarak bir kesrin çıkarılmasına izin verilir.

Sırasıyla.

Tabanlar aynıysa, logaritmaları kaldırabilir ve ifadeleri kendileri eşitleyebiliriz. Böylece durum olduğundan çok daha kolay hale gelecek. 8. hatta 7. sınıfta her birimizin nasıl çözeceğimizi bildiği temel bir denklem olacak. Hesaplamaları kendiniz yapabilirsiniz.

Bu logaritmik denklemin tek gerçek kökünü bulduk. Logaritmik denklem çözme örnekleri oldukça basittir, değil mi? Artık sınavı hazırlamak ve geçmek için en zor görevlerle bile bağımsız olarak başa çıkabileceksiniz.

Sonuç nedir?

Herhangi bir logaritmik denklem durumunda, çok önemli bir kuraldan hareket ediyoruz. İfadeyi en yalın hale getirecek şekilde hareket etmek gerekir. Bu durumda, sadece sorunu doğru bir şekilde çözmek için değil, aynı zamanda en basit ve en mantıklı şekilde yapmak için daha fazla şansınız olacaktır. Matematikçiler her zaman böyle çalışır.

Özellikle bu durumda zor yollar aramanızı kesinlikle önermiyoruz. Herhangi bir ifadeyi dönüştürmenize izin verecek birkaç basit kuralı hatırlayın. Örneğin, aynı tabana iki veya üç logaritma getirin veya tabandan bir güç alın ve kazanın.

Logaritmik denklemleri çözerken sürekli antrenman yapmanız gerektiğini de hatırlamakta fayda var. Yavaş yavaş, giderek daha karmaşık yapılara geçeceksiniz ve bu, sınavdaki problemlerin tüm seçeneklerini güvenle çözmenize yol açacaktır. Sınavlarınıza önceden hazırlanın ve iyi şanslar!

Bu makale, tek değişkenli logaritmik denklemleri çözme yöntemlerinin sistematik bir sunumunu içerir. Bu, öğretmene öncelikle didaktik anlamda yardımcı olacaktır: alıştırmaların seçimi, öğrencilerin yeteneklerini göz önünde bulundurarak bireysel görevler oluşturmanıza olanak tanır. Bu alıştırmalar bir genelleme dersi ve sınava hazırlanmak için kullanılabilir.
Kısa teorik bilgiler ve problem çözme, öğrencilerin bağımsız olarak logaritmik denklemleri çözme becerilerini ve yeteneklerini geliştirmelerini sağlar.

Logaritmik denklemlerin çözümü.

Logaritmik Denklemler – işaretin altında bilinmeyeni içeren denklemler logaritma. Logaritmik denklemleri çözerken, teorik bilgiler sıklıkla kullanılır:

Genellikle logaritmik denklemlerin çözümü ODZ'nin tanımıyla başlar. Logaritmik denklemlerde, tüm logaritmaların tabanları eşit olacak şekilde dönüştürülmesi tavsiye edilir. Daha sonra denklemler ya yeni bir değişkenle gösterilen tek bir logaritma cinsinden ifade edilir ya da denklem potansiyelleştirme için uygun bir forma dönüştürülür.
Logaritmik ifadelerin dönüşümleri ODZ'nin daralmasına yol açmamalıdır, ancak uygulanan çözüm yöntemi ODZ'yi daraltıyorsa, bireysel sayıları dikkate almadan serbest bırakıyorsa, problemin sonunda bu sayılar orijinal denklemde ikame ile kontrol edilmelidir, çünkü ODZ'yi daraltırken, kök kaybı mümkündür.

1. formun denklemleri bilinmeyen bir sayıyı ve sayıyı içeren bir ifadedir.

1) logaritmanın tanımını kullanın: ;
2) için bir kontrol yapın veya geçerli değer aralığını bulun bilinmeyen numara ve karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.
Eğer bir ) .

2. Çözümde logaritma özelliklerinin kullanıldığı logaritma ile ilgili birinci dereceden denklemler.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1) logaritma özelliklerini kullanarak denklemi dönüştürün;
2) ortaya çıkan denklemi çözün;
3) bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve bunlara karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.
).

3. Logaritmaya göre ikinci ve daha yüksek derecenin denklemi.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1. değişken değişikliği yapmak;
2. elde edilen denklemi çöz;
3. ters ikame yapmak;
4. elde edilen denklemi çöz;
5. bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve bunlara karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.

4. Bilinmeyeni tabanda ve üste içeren denklemler.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1. denklemin logaritmasını alın;
2. elde edilen denklemi çöz;
3. bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve karşılık gelenleri seçin
   kökler (çözümler).

5. Çözümü olmayan denklemler.

1. Bu tür denklemleri çözmek için ODZ denklemini bulmak gerekir.
2. Denklemin sol ve sağ taraflarını analiz edin.
3. Uygun sonuçlar çıkarın.

Orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

Denklemin çözümü olmadığını kanıtlayın.

ODZ denklemi x ≥ 0 eşitsizliği ile tanımlanır.

Pozitif bir sayı ile negatif olmayan bir sayının toplamı sıfıra eşit değildir, bu nedenle orijinal denklemin çözümü yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

ODZ'ye yalnızca bir kök x \u003d 0 düşer.Cevap: 0.

Değiştirelim.

Bulunan kökler ODZ'ye aittir.

ODZ denklemi, tüm pozitif sayıların kümesidir.

Çünkü

Bu denklemler benzer şekilde çözülür:

Bağımsız çözüm için görevler:

Kullanılmış Kitaplar.

1. Bechetnov V.M. Matematik. Moskova Demiurge 1994
2. Borodulya İ.T. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar. (görevler ve alıştırmalar). Moskova "Aydınlanma" 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matematikte görevler. Denklemler ve eşitsizlikler. Moskova "Bilim" 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel eğitmen. Moskova "Ileksa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirde Problemler ve Analiz İlkeleri. Moskova "Aydınlanma" 2003

Temel özellikler.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aynı gerekçe

log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Ayrıca bakınız:

Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Üs 2.718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2.7 ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmaların temel özellikleri

Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.

3.

Örnek 2 Eğer x'i bulun

Örnek 3. Logaritmaların değeri verilsin

Eğer log(x) hesaplayın

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçe. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Yine, üsler aynıdır, yani elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi, orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak, birçok sınav kağıtları. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üslü logaritmadan çıkarma

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Şunlara sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritmalar çözüm örnekleridir.

Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesre bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. Log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya temeller farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade “ters çevrilmiştir”, yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüşüm formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Eğer kimse bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: o bazın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Hile sayfasını dersin başında indirin, yazdırın ve sorunları çözün.

Ayrıca bakınız:

b sayısının a tabanına göre logaritması ifadeyi gösterir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin doğru olduğu böyle bir x () kuvveti bulmak anlamına gelir.

Logaritmanın temel özellikleri

Yukarıdaki özelliklerin bilinmesi gerekir, çünkü temelde, hemen hemen tüm problemler ve örnekler logaritmalara dayalı olarak çözülür. Kalan egzotik özellikler, bu formüllerle matematiksel işlemlerle elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların (3.4) toplamı ve farkı için formüller hesaplanırken oldukça sık karşılaşılır. Gerisi biraz karmaşıktır, ancak bir dizi görevde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdir.

Yaygın logaritma vakaları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya ikili olduğu logaritmalardır.
On tabanlı logaritma genellikle on tabanlı logaritma olarak adlandırılır ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Esasların tutanakta yazılı olmadığı tutanaktan anlaşılmaktadır. Örneğin

Doğal logaritma, temeli üs olan logaritmadır (ln(x) ile gösterilir).

Üs 2.718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2.7 ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve bir diğer önemli temel iki logaritma

Fonksiyonun logaritmasının türevi, değişkene bölünen bire eşittir.

İntegral veya ters türev logaritma, bağımlılık tarafından belirlenir.

Yukarıdaki materyal, logaritma ve logaritma ile ilgili geniş bir problem sınıfını çözmeniz için yeterlidir. Materyali anlamak adına, aşağıdakilerden sadece birkaç yaygın örnek vereceğim. Okul müfredatı ve üniversiteler.

logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.
Logaritmaların fark özelliği ile,

3.
3.5 özelliklerini kullanarak buluruz

görünüşe göre bileşik ifade bir dizi kural kullanmak, forma basitleştirilmiştir

Logaritma Değerlerini Bulma

Örnek 2 Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için, son terime kadar olan özellikler 5 ve 13'ü uygularız.

Kayda geç ve yas tut

Tabanlar eşit olduğundan, ifadeleri eşitleriz.

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmaların değeri verilsin

Eğer log(x) hesaplayın

Çözüm: Terimlerin toplamından logaritmayı yazmak için değişkenin logaritmasını alın

Bu, logaritmalar ve özellikleri ile tanışmanın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin - yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, eşit derecede önemli başka bir konu için bilginizi genişleteceğiz - logaritmik eşitsizlikler ...

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçe. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

Bir görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Yine, üsler aynıdır, yani elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi, orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Şunlara sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesre bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. Log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya temeller farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade “ters çevrilmiştir”, yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüşüm formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Eğer kimse bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: o bazın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Hile sayfasını dersin başında indirin, yazdırın ve sorunları çözün.