Siç dihet, ndryshore e rastësishme quhet variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin (X, Y, Z), dhe vlerat e tyre - me shkronjat përkatëse të vogla (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme quhet një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1 . Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

në) duke përdorur funksioni i shpërndarjes F(x) , e cila përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3 . Ligji i shpërndarjes mund të vendoset grafikisht – poligonin e shpërndarjes (poligonin) (shih problemin 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme, nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose më shumë numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera mesatare e saj. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastit.

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete :

  • Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i.
    Për shpërndarjen binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
  • Dispersion ndryshore diskrete e rastësishme D(X)=M2 ose D(X) = M(X 2) - 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
    Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
  • Devijimi standard (devijimi standard) σ(X)=√D(X).

Shembuj të zgjidhjes së problemeve me temën "Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastit"

Detyra 1.

Janë lëshuar 1000 bileta lotarie: 5 prej tyre do të fitojnë 500 rubla, 10 do të fitojnë 100 rubla, 20 do të fitojnë 50 rubla dhe 50 do të fitojnë 10 rubla. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastësishme X - fitimet për biletë.

Zgjidhje. Sipas gjendjes së problemit, vlerat e mëposhtme të ndryshores së rastësishme X janë të mundshme: 0, 10, 50, 100 dhe 500.

Numri i biletave pa fituar është 1000 - (5+10+20+50) = 915, pastaj P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë të gjitha probabilitetet e tjera: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ne e paraqesim ligjin që rezulton në formën e një tabele:

Le të gjejmë vlera e pritur vlerat X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Detyra 3.

Pajisja përbëhet nga tre elementë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti i dështimit të secilit element në një eksperiment është 0.1. Hartoni një ligj të shpërndarjes për numrin e elementeve të dështuar në një eksperiment, ndërtoni një poligon të shpërndarjes. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni atë. Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Zgjidhje. 1. Ndryshorja diskrete e rastësishme X=(numri i elementeve të dështuar në një eksperiment) ka këto vlera të mundshme: x 1 =0 (asnjë nga elementët e pajisjes dështoi), x 2 =1 (një element dështoi), x 3 =2 ( dy elementë dështuan ) dhe x 4 \u003d 3 (tre elementë dështuan).

Dështimet e elementeve janë të pavarura nga njëra-tjetra, probabilitetet e dështimit të secilit element janë të barabarta me njëri-tjetrin, prandaj është e zbatueshme formula e Bernulit . Duke pasur parasysh se, me kusht, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, përcaktojmë probabilitetet e vlerave:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kontrollo: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Kështu, ligji i dëshiruar i shpërndarjes binomiale X ka formën:

Në boshtin e abshisës, ne paraqesim vlerat e mundshme x i, dhe në boshtin e ordinatave, probabilitetet përkatëse р i. Le të ndërtojmë pikat M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Duke i lidhur këto pika me segmente vijash, marrim poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

3. Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) = P(X

Për x ≤ 0 kemi F(x) = P(X<0) = 0;
për 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
për 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
për x > 3 do të jetë F(x) = 1, sepse ngjarja është e sigurt.

Grafiku i funksionit F(x)

4. Për shpërndarjen binomiale X:
- pritshmëria matematikore М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- devijimi standard σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

Ndryshore e rastësishme quhet një ndryshore e cila, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të shkaqeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një variabël kaq e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë ose të fundme ose të numërueshme. Numërueshmëria do të thotë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Le të japim shembuj diskrete variablat e rastësishëm:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i stemave që kanë rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \pika,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërritën në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në central (një grup vlerash të numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, në rreshtin e parë të së cilës tregohen vlerat e $x_1,\dots,\ x_n$, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet që korrespondojnë me këto vlera janë $ p_1,\pika,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (arresë)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të hedhura kur hidhet një za. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit për ndryshoren e rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (arresë)$

Koment. Meqenëse ngjarjet $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh në ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$, shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, d.m.th. $\sum( p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme specifikon vlerën "qendrore" të tij. Për një ndryshore të rastësishme diskrete, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\pika ,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th.: $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë e pritshmërisë$M\majtas(X\djathtas)$:

  1. $M\left(X\right)$ është midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha të ndryshores së rastësishme $X$.
  2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
  3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
  5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6)) +6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ është midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të ndryshoreve të rastësishme me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave mesatare të tyre. Për shembull, në dy grupe studentore, rezultati mesatar për provimin në teorinë e probabilitetit doli të ishte 4, por në një grup të gjithë rezultuan studentë të mirë, dhe në grupin tjetër - vetëm studentë C dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë të tillë numerike të një ndryshoreje të rastësishme, e cila do të tregonte përhapjen e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet me formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

  1. Dispersioni është gjithmonë më i madh ose i barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
  2. Shpërndarja nga një konstante është e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
  3. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit, me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
  4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
  5. Varianca e diferencës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ është një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, d.m.th. $F\left(x\ djathtas)$ )=P\majtas(X< x\right)$

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

  1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
  2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në skajet e këtij intervali : $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
  3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
  4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (arresë)$

Nëse $x\le 1$, atëherë padyshim $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$ atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) + P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ në \ 4< x\le 5,\\
1,\ për \ x > 6.
\end (matricë)\djathtas.$

1.2.4. Variablat e rastësishëm dhe shpërndarjet e tyre

Shpërndarjet e variablave të rastësishëm dhe funksionet e shpërndarjes. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme numerike është një funksion që përcakton në mënyrë unike probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të caktuar ose t'i përkasë një intervali të caktuar.

E para është nëse ndryshorja e rastësishme merr një numër të kufizuar vlerash. Pastaj shpërndarja jepet nga funksioni P (X = x), duke dhënë çdo vlerë të mundshme X ndryshore e rastësishme X gjasat që X = x.

E dyta është nëse ndryshorja e rastësishme merr pafundësisht shumë vlera. Kjo është e mundur vetëm kur hapësira e probabilitetit në të cilën përcaktohet ndryshorja e rastësishme përbëhet nga një numër i pafund ngjarjesh elementare. Pastaj shpërndarja jepet nga bashkësia e probabiliteteve P(a < X për të gjitha çiftet e numrave a, b sikurse a . Shpërndarja mund të specifikohet duke përdorur të ashtuquajturat. funksioni i shpërndarjes F(x) = P(X duke përcaktuar për të gjitha reale X probabiliteti që ndryshorja e rastit X merr vlera më të vogla se X. Është e qartë se

P(a < X

Kjo marrëdhënie tregon se ashtu si shpërndarja mund të llogaritet nga funksioni i shpërndarjes, ashtu, anasjelltas, funksioni i shpërndarjes mund të llogaritet nga shpërndarja.

Përdoret në probabilistikë metodat statistikore vendimmarrja dhe kërkimet e tjera të aplikuara, funksionet e shpërndarjes janë ose diskrete ose të vazhdueshme, ose kombinime të tyre.

Funksionet diskrete të shpërndarjes korrespondojnë me variabla diskrete të rastësishme që marrin një numër të kufizuar vlerash ose vlerash nga një grup, elementët e të cilit mund të rinumërohen me numra natyrorë (bashkësi të tilla quhen të numërueshme në matematikë). Grafiku i tyre duket si një shkallë shkallësh (Fig. 1).

Shembulli 1 Numri X e artikujve me defekt në grup merr vlerën 0 me probabilitet 0,3, vlerën 1 me probabilitet 0,4, vlerën 2 me probabilitet 0,2 dhe vlerën 3 me probabilitet 0,1. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X treguar në Fig.1.

Fig.1. Grafiku i funksionit të shpërndarjes së numrit të produkteve me defekt.

Funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme nuk kanë kërcime. Ato rriten në mënyrë monotone me rritjen e argumentit, nga 0 për në 1 për . Variablat e rastësishëm me funksione të shpërndarjes së vazhdueshme quhen të vazhdueshme.

Funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme të përdorura në metodat probabilistiko-statistikore vendimmarrje, kanë derivate. Derivati ​​i parë f(x) funksionet e shpërndarjes F(x) quhet densiteti i probabilitetit,

Funksioni i shpërndarjes mund të përcaktohet nga densiteti i probabilitetit:

Për çdo funksion të shpërndarjes

Vetitë e listuara të funksioneve të shpërndarjes përdoren vazhdimisht në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore. Në veçanti, barazia e fundit nënkupton një formë specifike të konstanteve në formulat për densitetin e probabilitetit të konsideruar më poshtë.

Shembulli 2 Funksioni i mëposhtëm i shpërndarjes përdoret shpesh:

(1)

ku a dhe b- disa numra a . Le të gjejmë densitetin e probabilitetit të këtij funksioni të shpërndarjes:

(në pika x = a dhe x = b derivati ​​i funksionit F(x) nuk ekziston).

Një ndryshore e rastësishme me funksion të shpërndarjes (1) quhet "e shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin [ a; b]».

Funksionet e përziera të shpërndarjes ndodhin, veçanërisht, kur vëzhgimet ndalojnë në një moment. Për shembull, kur analizohen të dhënat statistikore të marra duke përdorur planet e testit të besueshmërisë që parashikojnë përfundimin e testeve pas një periudhe të caktuar kohe. Ose kur analizoni të dhënat për produktet teknike që kërkonin riparime garancie.

Shembulli 3 Le të jetë, për shembull, jeta e shërbimit të një llambë elektrike një ndryshore e rastësishme me një funksion shpërndarjeje F (t), dhe testi kryhet derisa llamba të dështojë, nëse kjo ndodh më pak se 100 orë nga fillimi i testit, ose deri në momentin t0= 100 orë. Le G(t)- Funksioni i shpërndarjes së kohës së funksionimit të llambës në gjendje të mirë në këtë provë. Pastaj

Funksioni G(t) ka një kërcim në një pikë t0, meqenëse ndryshorja e rastësishme përkatëse merr vlerën t0 me probabilitet 1- F(t0)> 0.

Karakteristikat e variablave të rastësishëm. Në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore, përdoren një sërë karakteristikash të variablave të rastësishëm, të shprehura përmes funksioneve të shpërndarjes dhe densitetit të probabilitetit.

Kur përshkruani diferencimin e të ardhurave, kur gjeni kufijtë e besimit për parametrat e shpërndarjes së variablave të rastësishëm dhe në shumë raste të tjera, përdoret një koncept i tillë si "kuantili i rendit". R", ku 0< fq < 1 (обозначается x fq). Sasia e porosisë Rështë vlera e një ndryshoreje të rastësishme për të cilën funksioni i shpërndarjes merr vlerën R ose ka një "kërcim" nga një vlerë më e vogël se R deri në një vlerë më të madhe R(Fig. 2). Mund të ndodhë që ky kusht të plotësohet për të gjitha vlerat e x që i përkasin këtij intervali (d.m.th., funksioni i shpërndarjes është konstant në këtë interval dhe është i barabartë me R). Atëherë çdo vlerë e tillë quhet një "kuantile e rendit". R". Për funksionet e shpërndarjes së vazhdueshme, si rregull, ekziston një sasi e vetme x fq urdhëroj R(Fig. 2), dhe

F(x p) = p. (2)

Fig.2. Përkufizimi i një kuantili x fq urdhëroj R.

Shembulli 4 Le të gjejmë sasinë x fq urdhëroj R për funksionin e shpërndarjes F(x) nga (1).

Në 0< fq < 1 квантиль x fq gjendet nga ekuacioni

ato. x fq = a + p(b – a) = a( 1- p)+bp. Në fq= 0 çdo x < aështë sasia e rendit fq= 0. Kuantili i renditjes fq= 1 është çdo numër x > b.

Për shpërndarjet diskrete, si rregull, nuk ka x fq ekuacioni i kënaqshëm (2). Më saktësisht, nëse shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme është dhënë në tabelën 1, ku x 1< x 2 < … < x k , pastaj barazia (2), e konsideruar si një ekuacion në lidhje me x fq, ka zgjidhje vetëm për k vlerat fq, domethënë,

p \u003d p 1,

p \u003d p 1 + p 2,

p \u003d p 1 + p 2 + p 3,

p \u003d p 1 + p 2 + ...+ pasdite, 3 < m < k,

fq = fq 1 + fq 2 + … + p k.

Tabela 1.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete

Për të listuara k vlerat e probabilitetit fq zgjidhje x fq ekuacioni (2) nuk është unik, domethënë,

F(x) = p 1 + p 2 + ... + p m

per te gjithe X sikurse x m< x < xm+1 . Ato. x p -çdo numër nga diapazoni (x m; x m+1]. Për të gjithë të tjerët R nga intervali (0;1) që nuk përfshihet në listën (3), ka një "kërkim" nga një vlerë më e vogël se R deri në një vlerë më të madhe R. Domethënë, nëse

p 1 + p 2 + … + p m

pastaj x p \u003d x m + 1.

Vetia e konsideruar e shpërndarjeve diskrete krijon vështirësi të konsiderueshme në tabelimin dhe përdorimin e shpërndarjeve të tilla, pasi është e pamundur të ruhen me saktësi vlerat numerike tipike të karakteristikave të shpërndarjes. Në veçanti, kjo është e vërtetë për vlerat kritike dhe nivelet e rëndësisë së testeve statistikore joparametrike (shih më poshtë), pasi shpërndarjet e statistikave të këtyre testeve janë diskrete.

Kuantili i rendit ka një rëndësi të madhe në statistika. R= ½. Ajo quhet mediane (ndryshore e rastësishme X ose funksionin e shpërndarjes së tij F(x)) dhe shënohet Unë (X). Në gjeometri, ekziston koncepti i "mediane" - një vijë e drejtë që kalon nëpër kulmin e një trekëndëshi dhe ndan anën e kundërt të saj në gjysmë. Në statistikat matematikore, mediana nuk përgjysmon anën e trekëndëshit, por shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme: barazia F (x0,5)= 0.5 do të thotë se probabiliteti për të shkuar në të majtë x0.5 dhe probabilitetin për të bërë të drejtë x0.5(ose direkt tek x0.5) janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me ½, d.m.th.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0.5) = ½.

Mediana tregon "qendrën" e shpërndarjes. Nga këndvështrimi i një prej koncepteve moderne - teorisë së procedurave të qëndrueshme statistikore - mediana është një karakteristikë më e mirë e një ndryshoreje të rastësishme sesa pritshmëria matematikore. Kur përpunohen rezultatet e matjes në një shkallë rendore (shih kapitullin mbi teorinë e matjes), mund të përdoret mesatarja, por pritshmëria matematikore jo.

Një karakteristikë e tillë e një ndryshoreje të rastësishme si një mënyrë ka një kuptim të qartë - vlera (ose vlerat) e një ndryshoreje të rastësishme që korrespondon me një maksimum lokal të densitetit të probabilitetit për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme ose një maksimum lokal të probabilitetit për një rastësi diskrete. e ndryshueshme.

Nese nje x0është mënyra e një ndryshoreje të rastësishme me densitet f (x), atëherë, siç dihet nga llogaritja diferenciale, .

Një ndryshore e rastësishme mund të ketë shumë mënyra. Pra, për shpërndarje uniforme (1) çdo pikë X sikurse a< x < b , është modë. Megjithatë, ky është një përjashtim. Shumica e variablave të rastësishëm të përdorur në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore dhe kërkime të tjera të aplikuara kanë një mënyrë. Variablat e rastësishëm, dendësia, shpërndarjet që kanë një mënyrë quhen unimodale.

Pritshmëria matematikore për variabla diskrete të rastësishme me një numër të kufizuar vlerash është konsideruar në kapitullin "Ngjarjet dhe probabilitetet". Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X vlera e pritur M(X) plotëson barazinë

i cili është një analog i formulës (5) nga pohimi 2 i kreut “Ngjarjet dhe probabilitetet”.

Shembulli 5 Pritshmëria matematikore për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme X barazohet

Për variablat e rastësishme të shqyrtuara në këtë kapitull, janë të vërteta të gjitha ato veti të pritjeve dhe variancave matematikore që janë konsideruar më herët për variablat e rastësishme diskrete me një numër të kufizuar vlerash. Megjithatë, ne nuk japim prova të këtyre veçorive, pasi ato kërkojnë thellim në hollësitë matematikore, gjë që nuk është e nevojshme për të kuptuar dhe zbatuar kualifikuar të metodave probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes.

Komentoni. Në këtë libër shkollor, hollësitë matematikore shmangen qëllimisht, lidhen, veçanërisht, me konceptet e bashkësive të matshme dhe funksioneve të matshme, -algjebrën e ngjarjeve etj. Ata që dëshirojnë t'i zotërojnë këto koncepte duhet t'i referohen literaturës së specializuar, në veçanti, enciklopedisë.

Secila nga tre karakteristikat - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - përshkruan "qendrën" e shpërndarjes së probabilitetit. Koncepti i "qendrës" mund të përkufizohet në mënyra të ndryshme - prandaj tre karakteristika të ndryshme. Sidoqoftë, për një klasë të rëndësishme shpërndarjesh - simetrike unimodale - të tre karakteristikat përkojnë.

Dendësia e shpërndarjes f(x)është dendësia e shpërndarjes simetrike, nëse ka një numër x 0 sikurse

. (3)

Barazia (3) do të thotë se grafiku i funksionit y = f(x) simetrike për një vijë vertikale që kalon nga qendra e simetrisë X = X 0 . Nga (3) del se funksioni i shpërndarjes simetrike plotëson relacionin

(4)

Për një shpërndarje simetrike me një mënyrë, mesatarja, mediana dhe mënyra janë të njëjta dhe të barabarta x 0.

Rasti më i rëndësishëm është simetria në lidhje me 0, d.m.th. x 0= 0. Pastaj (3) dhe (4) bëhen barazi

(6)

përkatësisht. Marrëdhëniet e mësipërme tregojnë se nuk ka nevojë të renditen shpërndarjet simetrike për të gjithë X, mjafton të kemi tabela për x > x0.

Vëmë re një veçori tjetër të shpërndarjeve simetrike, e cila përdoret vazhdimisht në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore dhe kërkime të tjera të aplikuara. Për një funksion të shpërndarjes së vazhdueshme

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

ku Fështë funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastit X. Nëse funksioni i shpërndarjes Fështë simetrik në lidhje me 0, d.m.th. Atëherë formula (6) është e vlefshme për të

P(|X| < a) = 2F(a) - 1.

Shpesh përdoret një formulim tjetër i pohimit në shqyrtim: nëse

.

Nëse dhe janë kuantile të rendit dhe, përkatësisht (shih (2)) të një funksioni të shpërndarjes simetrik në lidhje me 0, atëherë nga (6) rrjedh se

Nga karakteristikat e pozicionit - pritshmëria matematikore, mediana, mënyra - le të kalojmë te karakteristikat e përhapjes së një ndryshoreje të rastësishme X: varianca , devijimi standard dhe koeficienti i variacionit v. Përkufizimi dhe vetitë e variancës për variablat e rastësishme diskrete janë shqyrtuar në kapitullin e mëparshëm. Për variabla të rastësishme të vazhdueshme

Devijimi standard është vlera jo negative e rrënjës katrore të variancës:

Koeficienti i variacionit është raporti i devijimit standard me pritshmërinë matematikore:

Koeficienti i variacionit zbatohet kur M(X)> 0. Ai mat përhapjen në njësi relative, ndërsa devijimi standard është në njësi absolute.

Shembulli 6 Për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme X gjeni variancën, devijimin standard dhe koeficientin e variacionit. Dispersioni është:

Zëvendësimi i variablave bën të mundur që të shkruhet:

ku c = (b – a)/ 2. Prandaj, devijimi standard është i barabartë me dhe koeficienti i variacionit është:

Për çdo ndryshore të rastësishme X përcaktoni edhe tre sasi të tjera - në qendër Y, normalizuar V dhe dhënë U. Ndryshore e rastësishme e përqendruar Yështë diferenca ndërmjet ndryshores së dhënë të rastit X dhe pritshmërinë e saj matematikore M(X), ato. Y = X - M (X). Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar Yështë e barabartë me 0, dhe varianca është varianca e ndryshores së dhënë të rastit: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). funksioni i shpërndarjes VF(x) ndryshore e rastësishme e përqendruar Y lidhur me funksionin e shpërndarjes F(x) variabël fillestare e rastësishme X raport:

VF(x) = F(x + M(X)).

Për dendësinë e këtyre ndryshoreve të rastësishme, barazia

fY(x) = f(x + M(X)).

Ndryshore e rastësishme e normalizuar Vështë raporti i kësaj ndryshoreje të rastësishme X në devijimin e tij standard, d.m.th. . Pritshmëria matematikore dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme të normalizuar V të shprehura përmes karakteristikave X Kështu që:

,

ku vështë koeficienti i variacionit të ndryshores së rastësishme origjinale X. Për funksionin e shpërndarjes F V(x) dhe dendësia f V(x) ndryshore e rastësishme e normalizuar V ne kemi:

ku F(x) është funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme origjinale X, a f(x) është dendësia e probabilitetit të saj.

Ndryshore e reduktuar e rastësishme Uështë një ndryshore e rastësishme e përqendruar dhe e normalizuar:

.

Për një ndryshore të rastësishme të reduktuar

Variablat e rastësishëm të normalizuar, të përqendruar dhe të reduktuar përdoren vazhdimisht si në kërkimin teorik ashtu edhe në algoritme, produkte softuerike, dokumentacionin rregullator dhe teknik dhe udhëzues dhe metodologjik. Në veçanti, për shkak të barazive bëjnë të mundur thjeshtimin e vërtetimit të metodave, formulimeve të teoremave dhe formulave të llogaritjes.

Përdoren transformime të variablave të rastësishëm dhe plan më të përgjithshëm. Keshtu nese Y = aX + b, ku a dhe b atëherë janë disa numra

Shembulli 7 Nese atehere Yështë ndryshorja e rastësishme e reduktuar, dhe formulat (8) shndërrohen në formula (7).

Me çdo ndryshore të rastësishme X ju mund të lidhni shumë ndryshore të rastësishme Y dhënë nga formula Y = aX + b në të ndryshme a> 0 dhe b. Ky grup quhet familja e ndërrimit të shkallës, i krijuar nga një ndryshore e rastësishme X. Funksionet e shpërndarjes VF(x) përbëjnë një familje shpërndarjesh të zhvendosjes së shkallës të gjeneruara nga funksioni i shpërndarjes F(x). Në vend të Y = aX + b shënim i përdorur shpesh

Numri Me quhet parametri i zhvendosjes, dhe numri d- parametri i shkallës. Formula (9) tregon se X- rezultati i matjes së një sasie të caktuar - hyn Në- rezultati i matjes me të njëjtën vlerë, nëse fillimi i matjes zhvendoset në pikë Me, dhe më pas përdorni njësinë e re matëse, në d herë më i madh se ai i vjetër.

Për familjen e zhvendosjes së shkallës (9), shpërndarja X quhet standarde. Në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore dhe kërkime të tjera të aplikuara, përdoren shpërndarja normale standarde, shpërndarja standarde Weibull-Gnedenko, shpërndarja standarde e gama, etj. (shih më poshtë).

Përdoren gjithashtu transformime të tjera të ndryshoreve të rastësishme. Për shembull, për një ndryshore pozitive të rastit X konsideroni Y= log X, ku lg Xështë logaritmi dhjetor i numrit X. Zinxhiri i barazive

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

lidh funksionet e shpërndarjes X dhe Y.

Gjatë përpunimit të të dhënave, përdoren karakteristika të tilla të një ndryshoreje të rastësishme X si momentet e rendit q, d.m.th. pritjet matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X q, q= 1, 2, … Kështu, vetë pritshmëria matematikore është një moment i rendit 1. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, momenti i rendit q mund të llogaritet si

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme

Momentet e rendit q quhen edhe momentet fillestare të porosisë q, në ndryshim nga karakteristikat e lidhura - momentet qendrore të rendit q, dhënë nga formula

Kështu, dispersioni është një moment qendror i rendit 2.

Shpërndarja normale dhe teorema e kufirit qendror. Në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes shpesh flasim për një shpërndarje normale. Ndonjëherë ata përpiqen ta përdorin atë për të modeluar shpërndarjen e të dhënave fillestare (këto përpjekje nuk janë gjithmonë të justifikuara - shih më poshtë). Më e rëndësishmja, shumë metoda të përpunimit të të dhënave bazohen në faktin se vlerat e llogaritura kanë shpërndarje që janë afër normales.

Le X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m dhe dispersionet D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Siç vijon nga rezultatet e kapitullit të mëparshëm,

Merrni parasysh variablin e rastësishëm të reduktuar U n për shumën , domethënë,

Siç vijon nga formula (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(për terma të shpërndarë në mënyrë identike). Le X 1 , X 2 ,…, X n, … janë variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike me pritshmëri matematikore M(X i) = m dhe dispersionet D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Atëherë për çdo x ka një kufi

ku F(x)është funksioni standard i shpërndarjes normale.

Më shumë rreth funksionit F(x) - më poshtë (lexohet "fi nga x", sepse F- Shkronja e madhe greke "phi").

Teorema e Kufirit Qendror (CLT) e merr emrin nga fakti se është rezultati matematikor qendror, më i përdorur i teorisë së probabilitetit dhe statistika matematikore. Historia e CLT zgjat rreth 200 vjet - nga viti 1730, kur matematikani anglez A. De Moivre (1667-1754) publikoi rezultatin e parë në lidhje me CLT (shih më poshtë për teoremën Moivre-Laplace), deri në vitet njëzet - tridhjetë. të shekullit të njëzetë, kur Finn J.W. Lindeberg, francezi Paul Levy (1886-1971), jugosllav V. Feller (1906-1970), rus A.Ya. Khinchin (1894-1959) dhe shkencëtarë të tjerë morën kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për vlefshmërinë e qendrës klasike. teorema e kufirit.

Zhvillimi i temës në shqyrtim nuk u ndal fare me kaq - ata studiuan variabla të rastësishme që nuk kanë dispersion, d.m.th. ata për të cilët

(akademik B.V. Gnedenko dhe të tjerë), situata kur përmblidhen variabla të rastësishëm (më saktë, elementë të rastësishëm) të një natyre më komplekse sesa numrat (akademikët Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov dhe bashkëpunëtorët e tyre), etj. .d.

funksioni i shpërndarjes F(x) jepet nga barazia

,

ku është dendësia e shpërndarjes normale standarde, e cila ka mjaft shprehje komplekse:

.

Këtu \u003d 3.1415925 ... është një numër i njohur në gjeometri, i barabartë me raportin e perimetrit me diametrin, e \u003d 2.718281828 ... - baza e logaritmeve natyrore (për të kujtuar këtë numër, vini re se 1828 është viti i lindjes së shkrimtarit Leo Tolstoy). Siç dihet nga analiza matematikore,

Gjatë përpunimit të rezultateve të vëzhgimeve, funksioni i shpërndarjes normale nuk llogaritet sipas formulave të mësipërme, por gjendet duke përdorur tabela të veçanta ose programet kompjuterike. Më të mirat në Rusisht "Tabelat e Statistikave Matematikore" u përpiluan nga anëtarët korrespondues të Akademisë së Shkencave të BRSS L.N. Bolshev dhe N.V. Smirnov.

Forma e densitetit të shpërndarjes normale standarde rrjedh nga teoria matematikore, të cilën nuk mund ta konsiderojmë këtu, si dhe nga vërtetimi i CLT.

Për ilustrim, ne paraqesim tabela të vogla të funksionit të shpërndarjes F(x)(Tabela 2) dhe sasitë e saj (Tabela 3). Funksioni F(x)është simetrik në lidhje me 0, gjë që pasqyrohet në tabelat 2-3.

Tabela 2.

Funksioni i shpërndarjes normale standarde.

Nëse ndryshorja e rastit X ka një funksion shpërndarjeje F(x), pastaj M(X) = 0, D(X) = 1. Ky pohim vërtetohet në teorinë e probabilitetit bazuar në formën e densitetit të probabilitetit. Ai pajtohet me një deklaratë të ngjashme për karakteristikat e ndryshores së rastësishme të reduktuar U n, e cila është krejt e natyrshme, pasi CLT thotë se me një rritje të pafundme të numrit të termave, funksioni i shpërndarjes U n priret në funksionin standard të shpërndarjes normale F(x), dhe për çdo X.

Tabela 3

Kuantilet e shpërndarjes normale standarde.

Sasia e porosisë R

Sasia e porosisë R

Le të prezantojmë konceptin e një familje të shpërndarjeve normale. Sipas përkufizimit, një shpërndarje normale është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme X, për të cilën shpërndarja e ndryshores së rastësishme të reduktuar është F(x). Siç vijon nga vetitë e përbashkëta Familjet e shpërndarjeve të zhvendosjes së shkallës (shih më lart), shpërndarja normale është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku Xështë një ndryshore e rastësishme me shpërndarje F(X), dhe m = M(Y), = D(Y). Shpërndarja normale me parametra ndërrimi m dhe shkalla zakonisht shënohet N(m, ) (nganjëherë shënimi N(m, ) ).

Siç vijon nga (8), densiteti i probabilitetit të shpërndarjes normale N(m, ) ka

Shpërndarjet normale formojnë një familje të zhvendosjes së shkallës. Në këtë rast, parametri i shkallës është d= 1/, dhe parametri i zhvendosjes c = - m/ .

Për momentet qendrore të rendit të tretë dhe të katërt të shpërndarjes normale, barazitë janë të vërteta

Këto barazi bazohen në metodat klasike për të kontrolluar nëse rezultatet e vëzhgimeve ndjekin një shpërndarje normale. Aktualisht, normaliteti zakonisht rekomandohet të kontrollohet sipas kriterit W Shapiro - Wilka. Problemi i kontrollit të normalitetit diskutohet më poshtë.

Nëse variablat e rastësishëm X 1 dhe X 2 kanë funksione të shpërndarjes N(m 1 , 1) dhe N(m 2 , 2) përkatësisht, atëherë X 1+ X 2 ka një shpërndarje Prandaj, nëse variablat e rastësishëm X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , pastaj mesatarja e tyre aritmetike

ka një shpërndarje N(m, ) . Këto veti të shpërndarjes normale përdoren vazhdimisht në metoda të ndryshme të vendimmarrjes probabilistiko-statistikore, veçanërisht në kontrollin statistikor të proceseve teknologjike dhe në kontrollin e pranimit statistikor nga një atribut sasior.

Shpërndarja normale përcakton tre shpërndarje që tani përdoren zakonisht në përpunimin e të dhënave statistikore.

Shpërndarja (chi - katror) - shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku variabla të rastit X 1 , X 2 ,…, X n janë të pavarura dhe kanë të njëjtën shpërndarje N(0.1). Në këtë rast, numri i termave, d.m.th. n, quhet "numri i shkallëve të lirisë" i shpërndarjes chi-katrore.

Shpërndarja t Studenti është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku variabla të rastit U dhe X i pavarur, U ka një shpërndarje normale standarde N(0,1) dhe X– shpërndarja chi – katror me n shkallët e lirisë. ku n quhet “numri i shkallëve të lirisë” i shpërndarjes së Studentit. Kjo shpërndarje u prezantua në vitin 1908 nga statisticieni anglez W. Gosset, i cili punonte në një fabrikë birre. Në këtë fabrikë u përdorën metoda probabilistiko-statistikore për marrjen e vendimeve ekonomiko-teknike, ndaj drejtuesit e saj e ndaluan V. Gosset të botonte artikuj shkencorë me emrin e tij. Në këtë mënyrë mbrohej një sekret tregtar, “know-how” në formën e metodave probabilistiko-statistikore të zhvilluara nga W. Gosset. Megjithatë, ai mundi të botonte me pseudonimin “Studenti”. Historia e Gosset - Student tregon se për njëqind vjet të tjera efikasiteti i madh ekonomik i metodave të vendimmarrjes probabilistiko-statistikore ishte i dukshëm për menaxherët britanikë.

Shpërndarja Fisher është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme

ku variabla të rastit X 1 dhe X 2 janë të pavarura dhe kanë shpërndarje chi - katrorin me numrin e shkallëve të lirisë k 1 dhe k 2 përkatësisht. Në të njëjtën kohë, një çift (k 1 , k 2 ) - një palë "numrat e shkallëve të lirisë" Shpërndarjet e Fisher, domethënë, k 1 është numri i shkallëve të lirisë së numëruesit, dhe k 2 është numri i shkallëve të lirisë së emëruesit. Shpërndarja e ndryshores së rastësishme F është emëruar sipas statisticienit të madh anglez R. Fisher (1890-1962), i cili e përdori atë në mënyrë aktive në punën e tij.

Shprehjet për funksionet e shpërndarjes së chi - katror, ​​Student dhe Fisher, dendësia dhe karakteristikat e tyre, si dhe tabelat mund të gjenden në literaturën speciale (shih, për shembull,).

Siç u përmend tashmë, shpërndarjet normale aktualisht përdoren shpesh në modelet probabilistike në fusha të ndryshme të aplikuara. Pse është kaq e përhapur kjo familje shpërndarjesh me dy parametra? Ajo sqarohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema e kufirit qendror(për terma të shpërndara ndryshe). Le X 1 , X 2 ,…, X n,… janë variabla të rastësishme të pavarura me pritshmëri matematikore M(X 1 ), M (X 2 ),…, M(X n), … dhe dispersionet D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … respektivisht. Le

Më pas, nën vlefshmërinë e disa kushteve që sigurojnë vogëlsinë e kontributit të ndonjë prej kushteve për të U n,

për këdo X.

Kushtet në fjalë nuk do të formulohen këtu. Ato mund të gjenden në literaturën e specializuar (shih, për shembull,). "Sqarimi i kushteve në të cilat funksionon KPT është meritë e shkencëtarëve të shquar rusë A.A. Markov (1857-1922) dhe, në veçanti, A.M. Lyapunov (1857-1918)".

Teorema e kufirit qendror tregon se në rastin kur rezultati i matjes (vëzhgimit) formohet nën ndikimin e shumë arsyeve, secila prej tyre jep vetëm një kontribut të vogël, dhe rezultati kumulativ përcaktohet nga në mënyrë shtuese, d.m.th. duke shtuar, atëherë shpërndarja e rezultatit të matjes (vëzhgimit) është afër normales.

Ndonjëherë besohet se që shpërndarja të jetë normale, mjafton që rezultati i matjes (vëzhgimit) X formohet nën ndikimin e shumë shkaqeve, secila prej të cilave ka një efekt të vogël. Kjo nuk eshte e vertete. Ajo që ka rëndësi është se si funksionojnë këto shkaqe. Nëse aditiv, atëherë X ka një shpërndarje afërsisht normale. Nese nje në mënyrë shumëzuese(d.m.th., veprimet e shkaqeve individuale shumohen, nuk shtohen), pastaj shpërndarja X jo afër normales, por të ashtuquajturit. normalisht logaritmikisht, d.m.th. jo X, dhe lg X ka një shpërndarje afërsisht normale. Nëse nuk ka arsye për të besuar se një nga këta dy mekanizma për formimin e rezultatit përfundimtar (ose ndonjë mekanizëm tjetër i përcaktuar mirë) funksionon, atëherë në lidhje me shpërndarjen X nuk mund të thuhet asgjë e qartë.

Nga sa u tha, rezulton se në një problem specifik të aplikuar, normaliteti i rezultateve të matjeve (vëzhgimeve), si rregull, nuk mund të përcaktohet nga konsideratat e përgjithshme, ai duhet të kontrollohet duke përdorur kritere statistikore. Ose përdorni metoda statistikore joparametrike që nuk bazohen në supozime në lidhje me funksionet e shpërndarjes së rezultateve të matjes (vëzhgimeve) që i përkasin një ose një familjeje tjetër parametrike.

Shpërndarjet e vazhdueshme të përdorura në metodat e vendimmarrjes probabilistiko-statistikore. Përveç familjes së zhvendosjes së shkallës së shpërndarjeve normale, përdoren gjerësisht një sërë familjesh të tjera të shpërndarjes - shpërndarje normale logaritmike, eksponenciale, Weibull-Gnedenko, gama. Le t'i hedhim një sy këtyre familjeve.

Vlera e rastësishme X ka një shpërndarje log-normale nëse ndryshorja e rastësishme Y= log X ka një shpërndarje normale. Pastaj Z=n X = 2,3026…Y gjithashtu ka një shpërndarje normale N(a 1 ,σ 1), ku ln X - logaritmi natyror X. Dendësia e shpërndarjes log-normale është:

Nga teorema e kufirit qendror del se produkti X = X 1 X 2 … X n variabla të rastësishme pozitive të pavarura X i, i = 1, 2,…, n, në gjendje të lirë n mund të përafrohet me një shpërndarje log-normale. Në veçanti, modeli shumëfishues i formimit të pagave ose të ardhurave çon në rekomandimin për përafrimin e shpërndarjeve të pagave dhe të ardhurave me ligje logaritmikisht normale. Për Rusinë, ky rekomandim doli të ishte i justifikuar - statistikat e konfirmojnë atë.

Ka modele të tjera probabiliste që çojnë në ligjin log-normal. Një shembull klasik i një modeli të tillë është dhënë nga A.N. mullinjtë me top kanë një shpërndarje log-normale.

Le të kalojmë në një familje tjetër shpërndarjesh, e përdorur gjerësisht në metoda të ndryshme të vendimmarrjes probabilistiko-statistikore dhe kërkime të tjera të aplikuara, familja e shpërndarjeve eksponenciale. Le të fillojmë me një model probabilistik që çon në shpërndarje të tilla. Për ta bërë këtë, merrni parasysh "rrymën e ngjarjeve", d.m.th. një sekuencë ngjarjesh që ndodhin njëra pas tjetrës në një moment në kohë. Shembuj janë: rrjedha e thirrjeve në centralin telefonik; rrjedha e dështimeve të pajisjeve në zinxhirin teknologjik; rrjedha e dështimeve të produktit gjatë testimit të produktit; fluksin e kërkesave të klientëve në degën e bankës; fluksin e blerësve që aplikojnë për mallra dhe shërbime, etj. Në teorinë e rrjedhave të ngjarjeve vlen një teoremë që është e ngjashme me teoremën e kufirit qendror, por në të po flasim jo për mbledhjen e variablave të rastësishëm, por për përmbledhjen e rrjedhave të ngjarjeve. Ne konsiderojmë rrjedhën totale të përbërë nga një numër i madh flukse të pavarura, asnjëra prej të cilave nuk ka një efekt mbizotërues në fluksin total. Për shembull, fluksi i thirrjeve që mbërrijnë në centralin telefonik përbëhet nga një numër i madh fluksesh thirrjesh të pavarura që vijnë nga pajtimtarë individualë. Është vërtetuar se në rastin kur karakteristikat e rrjedhave nuk varen nga koha, rrjedha totale përshkruhet plotësisht nga një numër - intensiteti i rrjedhës. Për rrjedhën totale, merrni parasysh një ndryshore të rastësishme X- gjatësia e intervalit kohor ndërmjet ngjarjeve të njëpasnjëshme. Funksioni i tij i shpërndarjes ka formën

(10)

Kjo shpërndarje quhet shpërndarje eksponenciale sepse formula (10) përfshin funksionin eksponencial e -λ x. Vlera 1/λ është një parametër i shkallës. Ndonjëherë futet edhe një parametër i zhvendosjes Me, eksponenciale është shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme X + c, ku shpërndarja X jepet me formulën (10).

Shpërndarjet eksponenciale - rast i veçantë të ashtuquajturat. Shpërndarjet Weibull - Gnedenko. Ata janë emëruar pas inxhinierit W. Weibull, i cili i futi këto shpërndarje në praktikën e analizimit të rezultateve të testeve të lodhjes, dhe matematikanit B.V. Gnedenko (1912-1995), i cili mori shpërndarje të tilla si ato kufizuese kur studioi maksimumin e testit. rezultatet. Le X- një ndryshore e rastësishme që karakterizon kohëzgjatjen e funksionimit të produktit, sistem kompleks, elementi (d.m.th. burimi, koha e funksionimit deri në gjendjen kufitare, etj.), kohëzgjatja e funksionimit të një ndërmarrje ose jeta e një qenieje të gjallë, etj. Shkalla e dështimit luan një rol të rëndësishëm

(11)

ku F(x) dhe f(x) - funksioni i shpërndarjes dhe dendësia e një ndryshoreje të rastësishme X.

Le të përshkruajmë sjelljen tipike të shkallës së dështimit. I gjithë intervali kohor mund të ndahet në tre periudha. Në të parën prej tyre, funksioni λ(x) ka vlera të larta dhe një tendencë të qartë për t'u ulur (më shpesh zvogëlohet në mënyrë monotonike). Kjo mund të shpjegohet me praninë në grupin në shqyrtim të njësive të produktit me defekte të dukshme dhe latente, të cilat çojnë në një dështim relativisht të shpejtë të këtyre njësive të produktit. Periudha e parë quhet periudha "break-in" (ose "break-in"). Kjo zakonisht mbulohet nga periudha e garancisë.

Pastaj vjen periudha e funksionimit normal, e karakterizuar nga një shkallë afërsisht konstante dhe relativisht e ulët e dështimit. Natyra e dështimeve gjatë kësaj periudhe është e një natyre të papritur (aksidente, gabime të personelit operativ, etj.) dhe nuk varet nga kohëzgjatja e funksionimit të një njësie produkti.

Së fundi, periudha e fundit e funksionimit është periudha e plakjes dhe konsumimit. Natyra e dështimeve gjatë kësaj periudhe është në ndryshime të pakthyeshme fizike, mekanike dhe kimike të materialeve, duke çuar në një përkeqësim progresiv të cilësisë së një njësie prodhimi dhe në dështimin përfundimtar të saj.

Çdo periudhë ka llojin e vet të funksionit λ(x). Merrni parasysh klasën e varësive të fuqisë

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

ku λ 0 > 0 dhe b> 0 - disa parametra numerikë. vlerat b < 1, b= 0 dhe b> 1 korrespondon me llojin e shkallës së dështimit gjatë periudhave të funksionimit, funksionimit normal dhe plakjes, përkatësisht.

Lidhja (11) për një shkallë të caktuar dështimi λ(x)- ekuacioni diferencial në lidhje me funksionin F(x). Nga teoria ekuacionet diferenciale vijon se

(13)

Duke zëvendësuar (12) në (13), marrim atë

(14)

Shpërndarja e dhënë nga formula (14) quhet shpërndarja Weibull - Gnedenko. Sepse

atëherë nga formula (14) del se sasia a, i dhënë nga formula (15), është një parametër shkallëzues. Ndonjëherë futet edhe një parametër i zhvendosjes, d.m.th. Funksionet e shpërndarjes Weibull - Gnedenko thirren F(x - c), ku F(x) jepet me formulën (14) për disa λ 0 dhe b.

Dendësia e shpërndarjes Weibull - Gnedenko ka formën

(16)

ku a> 0 - parametri i shkallës, b> 0 - parametri i formës, Me- parametri i zhvendosjes. Në këtë rast, parametri a nga formula (16) lidhet me parametrin λ 0 nga formula (14) sipas raportit të treguar në formulën (15).

Shpërndarja eksponenciale është një rast shumë i veçantë i shpërndarjes Weibull - Gnedenko, që korrespondon me vlerën e parametrit të formës b = 1.

Shpërndarja Weibull - Gnedenko përdoret gjithashtu në ndërtimin e modeleve probabiliste të situatave në të cilat sjellja e një objekti përcaktohet nga "lidhja më e dobët". Nënkuptohet një analogji me një zinxhir, siguria e të cilit përcaktohet nga ajo hallkë që ka forcën më të ulët. Me fjalë të tjera, le X 1 , X 2 ,…, X n janë variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë identike,

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)= max( X 1 , X 2 ,…, X n).

Në një sërë problemesh të aplikuara, një rol të rëndësishëm luhet nga X(1) dhe X(n) , në veçanti, kur studiohen vlerat maksimale të mundshme ("regjistrat") të vlerave të caktuara, për shembull, pagesat e sigurimit ose humbjet për shkak të rreziqeve tregtare, kur studiohen kufijtë e elasticitetit dhe qëndrueshmërisë së çelikut, një sërë karakteristikash besueshmërie, etj. Tregohet se për n të mëdha shpërndarjet X(1) dhe X(n) , si rregull, përshkruhen mirë nga shpërndarjet Weibull - Gnedenko. Kontribute themelore në studimin e shpërndarjeve X(1) dhe X(n) u prezantua nga matematikani sovjetik B.V. Gnedenko. Veprat e V. Weibull, E. Gumbel, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev dhe shumë specialistë të tjerë.

Le të kalojmë në familjen e shpërndarjeve të gama. Ato përdoren gjerësisht në ekonomi dhe menaxhim, teori dhe praktikë të besueshmërisë dhe testimit, në fusha të ndryshme teknologjia, meteorologjia etj. Në veçanti, në shumë situata, shpërndarja gama i nënshtrohet sasive të tilla si jeta totale e shërbimit të produktit, gjatësia e zinxhirit të grimcave përçuese të pluhurit, koha që i duhet produktit për të arritur gjendjen kufitare gjatë korrozionit, funksionimin kohë deri në k refuzimi, k= 1, 2, ..., etj. Jetëgjatësia e pacientëve me sëmundje kronike, koha për të arritur një efekt të caktuar në trajtim në disa raste kanë një shpërndarje gama. Kjo shpërndarje është më e përshtatshme për të përshkruar kërkesën në modelet ekonomike dhe matematikore të menaxhimit të inventarit (logjistikë).

Dendësia e shpërndarjes së gama ka formën

(17)

Dendësia e probabilitetit në formulën (17) përcaktohet nga tre parametra a, b, c, ku a>0, b>0. ku aështë një parametër i formës, b- parametri i shkallës dhe Me- parametri i zhvendosjes. Faktori 1/Γ(a)është një normalizim, është futur në mënyrë që të

Këtu Γ(a)- një nga funksionet e veçanta të përdorura në matematikë, i ashtuquajturi "funksion gama", me të cilin emërtohet edhe shpërndarja e dhënë nga formula (17),

Në një fiks a formula (17) përcakton një familje shpërndarjesh të zhvendosjes së shkallës të krijuar nga një shpërndarje me densitet

(18)

Shpërndarja e formës (18) quhet shpërndarje standarde gama. Përftohet nga formula (17) me b= 1 dhe Me= 0.

Një rast i veçantë i shpërndarjeve të gama në a= 1 janë shpërndarje eksponenciale (me λ = 1/b). Me natyrale a dhe Me=0 shpërndarjet gama quhen shpërndarje Erlang. Nga veprat e shkencëtarit danez K.A. Erlang (1878-1929), punonjës i kompanisë telefonike të Kopenhagës, i cili studioi në 1908-1922. funksionimi i rrjeteve telefonike, filloi zhvillimi i teorisë së radhës. Kjo teori është e angazhuar në modelimin probabilistiko-statistikor të sistemeve në të cilat fluksi i kërkesave shërbehet për të marrë vendime optimale. Shpërndarjet Erlang përdoren në të njëjtat zona aplikimi si shpërndarjet eksponenciale. Kjo bazohet në faktin e mëposhtëm matematik: shuma e k variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë eksponenciale me të njëjtat parametra λ dhe Me, ka një shpërndarje gama me parametrin e formës a =k, parametri i shkallës b= 1/λ dhe parametri i zhvendosjes kc. Në Me= 0 marrim shpërndarjen Erlang.

Nëse ndryshorja e rastit X ka një shpërndarje gama me parametrin e formës a sikurse d = 2 a- një numër i plotë, b= 1 dhe Me= 0, pastaj 2 X ka një shpërndarje chi-katrore me d shkallët e lirisë.

Vlera e rastësishme X me gvmma-shpërndarja ka karakteristikat e mëposhtme:

Vlera e pritshme M(X) =ab + c,

dispersion D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Koeficienti i variacionit

asimetri

Teprica

Shpërndarja normale është një rast ekstrem i shpërndarjes gama. Më saktësisht, le të jetë Z një ndryshore e rastësishme me një shpërndarje standarde gama të dhënë nga formula (18). Pastaj

për këdo numër real X, ku F(x)- funksioni standard i shpërndarjes normale N(0,1).

Në kërkimin e aplikuar përdoren edhe familje të tjera parametrike të shpërndarjeve, nga të cilat sistemi i kurbës Pearson, seritë Edgeworth dhe Charlier janë më të njohurit. Ato nuk merren parasysh këtu.

Diskret shpërndarjet e përdorura në metodat probabilistiko-statistikore të vendimmarrjes. Më shpesh, përdoren tre familje të shpërndarjeve diskrete - binomiale, hipergjeometrike dhe Poisson, si dhe disa familje të tjera - binomi gjeometrik, negativ, multinomial, hipergjeometrik negativ, etj.

Siç është përmendur tashmë, shpërndarja binomiale bëhet në prova të pavarura, në secilën prej të cilave me një probabilitet R shfaqet ngjarja POR. Nese nje numri total testet n dhënë, pastaj numri i provave Y, në të cilën u shfaq ngjarja POR, ka një shpërndarje binomiale. Për një shpërndarje binomiale, probabiliteti për t'u pranuar si një ndryshore e rastësishme Y vlerat y përcaktohet nga formula

Numri i kombinimeve nga n elementet nga y i njohur nga kombinatorika. Per te gjithe y, me përjashtim të 0, 1, 2, ..., n, ne kemi P(Y= y)= 0. Shpërndarja binomiale me një madhësi fikse të mostrës n vendoset nga parametri fq, d.m.th. Shpërndarjet binomiale formojnë një familje me një parametra. Ato përdoren në analizën e të dhënave të kërkimit të mostrës, në veçanti, në studimin e preferencave të konsumatorëve, kontrollin selektiv të cilësisë së produktit sipas planeve të kontrollit me një fazë, kur testohen popullatat e individëve në demografi, sociologji, mjekësi, biologji, etj.

Nese nje Y 1 dhe Y 2 - variabla të rastësishëm binom të pavarur me të njëjtin parametër fq 0 të përcaktuara nga mostrat me vëllime n 1 dhe n 2 përkatësisht, atëherë Y 1 + Y 2 - ndryshore binomiale e rastit me shpërndarje (19) me R = fq 0 dhe n = n 1 + n 2 . Kjo vërejtje zgjeron zbatueshmërinë e shpërndarjes binomiale, duke ju lejuar të kombinoni rezultatet e disa grupeve të testeve, kur ka arsye të besohet se i njëjti parametër korrespondon me të gjitha këto grupe.

Karakteristikat e shpërndarjes binomiale janë llogaritur më herët:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- fq).

Në seksionin "Ngjarjet dhe probabilitetet" për një ndryshore të rastësishme binomiale, vërtetohet ligji i numrave të mëdhenj:

për këdo. Me ndihmën e teoremës së kufirit qendror, ligji i numrave të mëdhenj mund të rafinohet duke treguar se si Y/ n ndryshon nga R.

Teorema De Moivre-Laplace. Për çdo numër a dhe b, a< b, ne kemi

ku F(X) është një funksion standard i shpërndarjes normale me mesatare 0 dhe variancë 1.

Për ta vërtetuar atë, mjafton të përdoret përfaqësimi Y si një shumë e ndryshoreve të pavarura të rastësishme që korrespondojnë me rezultatet e provave individuale, formula për M(Y) dhe D(Y) dhe teorema e kufirit qendror.

Kjo teoremë është për rastin R= ½ u vërtetua nga matematikani anglez A. Moivre (1667-1754) në 1730. Në formulimin e mësipërm, u vërtetua në 1810 nga matematikani francez Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Shpërndarja hipergjeometrike bëhet gjatë kontrollit selektiv të një grupi të fundëm objektesh me vëllim N sipas një atributi alternativ. Çdo objekt i kontrolluar klasifikohet ose se ka atributin POR, ose sikur nuk e posedon këtë veçori. Shpërndarja hipergjeometrike ka një ndryshore të rastësishme Y, e barabartë me numrin e objekteve që kanë atributin POR në një mostër të rastësishme të vëllimit n, ku n< N. Për shembull, numri Y njësi të dëmtuara të produkteve në një mostër të rastësishme të vëllimit n nga vëllimi i grupit N ka një shpërndarje hipergjeometrike nëse n< N. Një shembull tjetër është lotaria. Lëreni shenjën POR një biletë është një shenjë e "të qenit fitues". Lërini të gjitha biletat N, dhe një person ka fituar n prej tyre. Atëherë numri i biletave fituese për këtë person ka një shpërndarje hipergjeometrike.

Për një shpërndarje hipergjeometrike, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme Y të marrë vlerën y ka formën

(20)

ku Dështë numri i objekteve që kanë atributin POR, në grupin e konsideruar të vëllimit N. ku y merr vlera nga max(0, n - (N - D)) në min ( n, D), me të tjera y probabiliteti në formulën (20) është i barabartë me 0. Kështu, shpërndarja hipergjeometrike përcaktohet nga tre parametra - vëllimi popullatë N, numri i objekteve D në të, duke zotëruar veçorinë e konsideruar POR, dhe madhësia e mostrës n.

Mostra e thjeshtë e rastësishme n nga vëllimi i përgjithshëm N quhet mostra e përftuar si rezultat i përzgjedhjes së rastësishme, në të cilën ndonjë nga grupet nga n objektet kanë të njëjtën probabilitet për t'u përzgjedhur. Metodat për përzgjedhjen e rastësishme të mostrave të të anketuarve (të intervistuarve) ose njësive të produkteve të copëzave konsiderohen në dokumentet udhëzuese-metodike dhe normativo-teknike. Një nga metodat e përzgjedhjes është si vijon: objektet zgjidhen njëri nga tjetri dhe në çdo hap secili prej objekteve të mbetur në grup ka të njëjtën mundësi për t'u përzgjedhur. Në literaturë për llojin e mostrave në shqyrtim përdoren edhe termat “kampion i rastësishëm”, “kampion i rastësishëm pa zëvendësim”.

Meqenëse vëllimet e popullsisë së përgjithshme (shumë) N dhe mostrat n janë të njohura zakonisht, atëherë parametri i shpërndarjes hipergjeometrike që do të vlerësohet është D. Në metodat statistikore të menaxhimit të cilësisë së produktit D- zakonisht numri i njësive me defekt në grup. Me interes është edhe karakteristika e shpërndarjes D/ N- niveli i defektit.

Për shpërndarje hipergjeometrike

Faktori i fundit në shprehjen e variancës është afër 1 nëse N>10 n. Nëse në të njëjtën kohë bëjmë edhe zëvendësimin fq = D/ N, atëherë shprehjet për pritjen matematikore dhe variancën e shpërndarjes hipergjeometrike do të kthehen në shprehje për pritjen matematikore dhe variancën e shpërndarjes binomiale. Kjo nuk është rastësi. Mund të tregohet se

në N>10 n, ku fq = D/ N. Raporti kufizues është i vlefshëm

dhe kjo lidhje kufizuese mund të përdoret për N>10 n.

Shpërndarja e tretë diskrete e përdorur gjerësisht është shpërndarja Poisson. Një ndryshore e rastësishme Y ka një shpërndarje Poisson nëse

,

ku λ është parametri i shpërndarjes Poisson, dhe P(Y= y)= 0 për të gjithë të tjerët y(për y=0, shënohet 0!=1). Për shpërndarjen Poisson

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Kjo shpërndarje është emëruar sipas matematikanit francez C.D. Poisson (1781-1840), i cili e ka nxjerrë për herë të parë në 1837. Shpërndarja Poisson është një rast ekstrem i shpërndarjes binomiale, ku probabiliteti R zbatimi i ngjarjes është i vogël, por numri i provave n e madhe, dhe np= λ. Më saktësisht, lidhja kufitare

Prandaj, shpërndarja Poisson (në terminologjinë e vjetër "ligji i shpërndarjes") shpesh quhet edhe "ligji i ngjarjeve të rralla".

Shpërndarja Poisson lind në teorinë e rrjedhave të ngjarjeve (shih më lart). Është vërtetuar se për rrjedhën më të thjeshtë me intensitet konstant Λ, numri i ngjarjeve (thirrjeve) që kanë ndodhur gjatë kohës. t, ka një shpërndarje Poisson me parametër λ = Λ t. Prandaj, probabiliteti që në kohë t asnjë ngjarje nuk do të ndodhë e - Λ t, d.m.th. funksioni i shpërndarjes së gjatësisë së intervalit ndërmjet ngjarjeve është eksponencial.

Shpërndarja Poisson përdoret në analizën e rezultateve të anketave selektive të marketingut të konsumatorëve, në llogaritjen e karakteristikave operacionale të planeve të kontrollit statistikor të pranimit në rastin e vlerave të vogla të nivelit të pranimit të defektit, për të përshkruar numrin e prishjeve. të një procesi teknologjik të kontrolluar statistikisht për njësi kohore, numrin e "kërkesave për shërbim" që vijnë për njësi kohore në sistemin e radhës, modelet statistikore të aksidenteve dhe sëmundjeve të rralla, etj.

Përshkrimi i familjeve të tjera parametrike të shpërndarjeve diskrete dhe mundësia e përdorimit të tyre praktik janë konsideruar në literaturë.


Në disa raste, për shembull, kur studiohen çmimet, vëllimet e prodhimit ose koha totale midis dështimeve në problemet e besueshmërisë, funksionet e shpërndarjes janë konstante në intervale të caktuara në të cilat vlerat e variablave të rastësishëm në studim nuk mund të bien.

E mëparshme

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X është funksioni F(x), duke shprehur për çdo x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën, x më i vogël

Shembulli 2.5. Jepet një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme

Gjeni dhe përshkruani grafikisht funksionin e tij të shpërndarjes. Zgjidhje. Sipas përcaktimit

F(jc) = 0 për X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 në 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 në X > 5.

Pra (shih Fig. 2.1):


Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një funksion jo negativ i mbyllur midis zeros dhe një:

2. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është një funksion jozvogëlues në të gjithë boshtin e numrave, d.m.th. në X 2 >x

3. Në minus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me zero, në plus pafundësi, është i barabartë me një, d.m.th.

4. Probabiliteti i goditjes së një ndryshoreje të rastësishme X në intervalështë e barabartë me integralin e caktuar të densitetit të probabilitetit të tij që varion nga a përpara b(shih Fig. 2.2), d.m.th.


Oriz. 2.2

3. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme (shih Fig. 2.3) mund të shprehet në termat e densitetit të probabilitetit duke përdorur formulën:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Integrali i papërshtatshëm në kufijtë e pafundëm të densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i barabartë me një:

Vetitë gjeometrike / dhe 4 dendësia e probabilitetit do të thotë se komploti i tij është kurba e shpërndarjes - nuk shtrihet nën boshtin x, dhe Sipërfaqja e përgjithshme shifrat, kurba e shpërndarjes së kufizuar dhe boshti x, është e barabartë me një.

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X vlera e pritur M(X) dhe variancë D(X) përcaktohen nga formula:

(nëse integrali konvergon absolutisht); ose

(nëse integralet e reduktuara konvergjojnë).

Së bashku me karakteristikat numerike të përmendura më sipër, koncepti i kuantileve dhe pikëve të përqindjes përdoret për të përshkruar një ndryshore të rastësishme.

kuantili i nivelit q(ose q-kuantile) është një vlerë e tillëx qndryshore e rastësishme, në të cilën funksioni i tij i shpërndarjes merr vlerën, e barabartë me q, dmth.

  • 100Pika q%-ou është kuantili X~ q .
  • ? Shembulli 2.8.

Sipas shembullit 2.6 gjeni kuantilin xqj dhe 30% pikë e ndryshueshme e rastësishme x.

Zgjidhje. Sipas përkufizimit (2.16) F(xo t3)= 0.3, d.m.th.

~Y~ = 0.3, prej nga vjen kuantili x 0 3 = 0,6. 30% pikë e ndryshueshme e rastësishme X, ose kuantili Х)_о,з = xoj» gjendet në mënyrë të ngjashme nga ekuacioni ^ = 0.7. prej nga *,= 1.4. ?

Ndër karakteristikat numerike alokoj variabël të rastësishëm fillestare v* dhe qendrore R* momentet e rendit k-të, i përcaktuar për variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme nga formula:


Ndër ligjet e shpërndarjes për ndryshoret diskrete të rastit, më i zakonshmi është ligji i shpërndarjes binomiale. Shpërndarja binomiale bëhet në kushtet e mëposhtme. Le të jetë një ndryshore e rastësishme numri i shfaqjeve të ndonjë ngjarjeje në prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes në një provë të veçantë është . Kjo variabël e rastësishme është një ndryshore e rastësishme diskrete, vlerat e mundshme të saj janë. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë llogaritet me formulën e Bernulit: .

Përkufizimi 15. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme quhet ligji i shpërndarjes binomiale nëse probabilitetet e vlerave të ndryshores së rastësishme llogariten duke përdorur formulën Bernoulli. Seria e shpërndarjes do të duket si kjo:

Le të sigurohemi që shuma e probabiliteteve të vlerave të ndryshme të ndryshores së rastësishme të jetë e barabartë me 1. Në të vërtetë,

Meqenëse këto llogaritje rezultuan në formulën binomiale të Njutonit, prandaj, ligji i shpërndarjes quhet binom. Nëse një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje binomiale, atëherë karakteristikat e saj numerike gjenden me formulat:

(42) (43)

Shembulli 15 Ka një grumbull prej 50 pjesësh. Probabiliteti i martesës për një pjesë. Le të jetë një ndryshore e rastësishme numri i pjesëve me defekt në një pjesë të caktuar. Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard të një ndryshoreje të caktuar të rastësishme. Zgjidhje. Një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje binomiale, pasi probabiliteti që ajo të marrë një vlerë llogaritet duke përdorur formulën Bernoulli. Pastaj pritshmëria e tij matematikore gjendet me formulën (41), domethënë, ; varianca gjendet me formulën (42): . Atëherë devijimi standard do të jetë i barabartë me . Pyetje. 200 bileta lotarie të blera, probabiliteti për të fituar një biletë është 0.01. Atëherë numri mesatar i biletave të shortit që do të fitojnë është: a) 10; b) 2; në 20; d) 1.

Ligji i shpërndarjes Poisson

Kur zgjidhen shumë probleme praktike, duhet të kemi të bëjmë me variabla diskrete të rastësishme që i binden ligjit të shpërndarjes Poisson. Shembuj tipikë të një ndryshoreje të rastësishme me një shpërndarje Poisson janë: numri i thirrjeve në centralin telefonik për disa kohë; numri i dështimeve të pajisjeve komplekse me kalimin e kohës, nëse dihet se dështimet janë të pavarura nga njëra-tjetra dhe mesatarisht ka dështime për njësi të kohës.Seria e shpërndarjes do të duket si:

Kjo do të thotë, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë llogaritet me formulën Poisson: prandaj, ky ligj quhet ligji i shpërndarjes Poisson. Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit Poisson ka këto karakteristika numerike:

Shpërndarja Poisson varet nga një parametër, i cili është mesatarja e ndryshores së rastësishme. Figura 14 tregon formë e përgjithshme poligonin e shpërndarjes Poisson për vlera të ndryshme të parametrit.

Shpërndarja Poisson mund të përdoret si një përafrim në rastet kur shpërndarja e saktë e një ndryshoreje të rastësishme është një shpërndarje binomiale, ndërsa numri i provave është i madh dhe probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një provë të veçantë është i vogël, prandaj shpërndarja Poisson ligji quhet ligji i ngjarjeve të rralla. Dhe gjithashtu, nëse pritshmëria matematikore ndryshon pak nga varianca, domethënë kur . Në këtë drejtim, shpërndarja Poisson ka një numër të madh aplikimesh të ndryshme. Shembulli 16 Fabrika dërgon 500 produkte të cilësisë së lartë në bazë. Probabiliteti që produkti të dëmtohet gjatë transportit është 0.002. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pjesëve të dëmtuara gjatë transportit. Zgjidhje. Ndryshorja e rastësishme ka një shpërndarje Poisson, pra . Pyetje. Probabiliteti i shtrembërimit të karaktereve gjatë transmetimit të mesazhit është 0.004. Që numri mesatar i simboleve të ngatërruar të jetë 4, duhet të transmetohen 100 simbole.