Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike është një nga çelësat për të mësuar algjebër dhe një aftësi jashtëzakonisht e dobishme për të gjithë matematikanët. Thjeshtimi ju lejon të reduktoni një shprehje komplekse ose të gjatë në një shprehje të thjeshtë me të cilën është e lehtë të punohet. Aftësitë themelore të thjeshtimit janë të mira edhe për ata që nuk janë entuziastë për matematikën. Duke ndjekur disa rregulla të thjeshta, shumë nga llojet më të zakonshme të shprehjeve algjebrike mund të thjeshtohen pa ndonjë njohuri të veçantë matematikore.

Hapat

Përkufizime të rëndësishme

1. Anëtarë të ngjashëm . Këta janë anëtarë me një variabël të të njëjtit rend, anëtarë me të njëjtat variabla ose anëtarë të lirë (anëtarë që nuk përmbajnë një ndryshore). Me fjalë të tjera, termat e ngjashëm përfshijnë një variabël në të njëjtën masë, përfshijnë disa ndryshore identike ose nuk përfshijnë fare një variabël. Rendi i termave në shprehje nuk ka rëndësi.

   • Për shembull, 3x 2 dhe 4x 2 janë si terma sepse përmbajnë ndryshoren "x" të rendit të dytë (në fuqinë e dytë). Megjithatë, x dhe x 2 nuk janë anëtarë të ngjashëm, pasi përmbajnë variablin "x" të rendit të ndryshëm (i pari dhe i dyti). Në mënyrë të ngjashme, -3yx dhe 5xz nuk janë anëtarë të ngjashëm sepse përmbajnë variabla të ndryshëm.

2. Faktorizimi . Ky është gjetja e numrave të tillë, prodhimi i të cilëve çon në numrin origjinal. Çdo numër origjinal mund të ketë disa faktorë. Për shembull, numri 12 mund të zbërthehet në seritë e mëposhtme të faktorëve: 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4, kështu që mund të themi se numrat 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12 janë faktorë të numri 12. Faktorët janë të njëjtë me pjesëtuesit, pra numrat me të cilët pjesëtohet numri origjinal.

   • Për shembull, nëse dëshironi të faktorizoni numrin 20, shkruajeni kështu: 4×5.
   • Vini re se gjatë faktorizimit, ndryshorja merret parasysh. Për shembull, 20x = 4 (5x).
   • Numrat e thjeshtë nuk mund të faktorizohen sepse ata janë të pjesëtueshëm vetëm me veten dhe 1.

3. Mbani mend dhe ndiqni rendin e veprimeve për të shmangur gabimet.

   • Kllapa
   • Diplomë
   • Shumëzimi
   • Divizioni
   • Shtim
   • Zbritja

   Casting Like Anëtarët

   1. Shkruani shprehjen. Shprehjet më të thjeshta algjebrike (të cilat nuk përmbajnë thyesa, rrënjë e kështu me radhë) mund të zgjidhen (thjeshtohen) në vetëm disa hapa.

      • Për shembull, thjeshtoni shprehjen 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Përcaktoni anëtarë të ngjashëm (anëtarë me një ndryshore të të njëjtit rend, anëtarë me të njëjtat variabla ose anëtarë të lirë).

      • Gjeni terma të ngjashëm në këtë shprehje. Termat 2x dhe 4x përmbajnë një variabël të të njëjtit rend (i pari). Gjithashtu, 1 dhe -3 janë anëtarë të lirë (nuk përmbajnë një ndryshore). Kështu, në këtë shprehje, termat 2x dhe 4x janë të ngjashëm, dhe anëtarët 1 dhe -3 janë gjithashtu të ngjashme.

   3. Jepni terma të ngjashëm. Kjo do të thotë shtimi ose zbritja e tyre dhe thjeshtimi i shprehjes.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rishkruaj shprehjen duke marrë parasysh anëtarët e dhënë. Do të merrni një shprehje të thjeshtë me më pak terma. Shprehja e re është e barabartë me origjinalin.

      • Në shembullin tonë: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, domethënë shprehja origjinale është e thjeshtuar dhe më e lehtë për t'u punuar.

   5. Vëzhgoni rendin në të cilin kryhen veprimet kur derdhni terma të ngjashëm. Në shembullin tonë, ishte e lehtë të silleshin terma të ngjashëm. Megjithatë, në rastin e shprehjeve komplekse në të cilat anëtarët janë të mbyllur në kllapa dhe janë të pranishme thyesat dhe rrënjët, nuk është aq e lehtë të sjellësh terma të tillë. Në këto raste, ndiqni rendin e veprimeve.

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Këtu do të ishte gabim të përkufizosh menjëherë 3x dhe 2x si terma të ngjashëm dhe t'i citosh ato, sepse së pari duhet të zgjerosh kllapat. Prandaj, kryeni veprimet sipas rendit të tyre.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Tani, kur shprehja përmban vetëm veprime të mbledhjes dhe zbritjes, ju mund të hidhni terma të ngjashëm.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Vendosja e shumëzuesit në kllapa

   1. Gjej pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) të të gjithë koeficientëve të shprehjes. NOD është numri më i madh, me të cilin ndahen të gjithë koeficientët e shprehjes.

      • Për shembull, merrni parasysh ekuacionin 9x 2 + 27x - 3. Në këtë rast, gcd=3, pasi çdo koeficient i kësaj shprehjeje është i pjesëtueshëm me 3.

   2. Ndani çdo term të shprehjes me gcd. Termat që rezultojnë do të përmbajnë koeficientë më të vegjël se në shprehjen origjinale.

      • Në shembullin tonë, ndani çdo term shprehjeje me 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Doli shprehja 3x2 + 9x-1. Nuk është e barabartë me shprehjen origjinale.

   3. Shkruani shprehjen origjinale të barabartë me produktin e gcd shumëfishimin e shprehjes që rezulton. Kjo do të thotë, mbyllni shprehjen që rezulton në kllapa dhe vendosni GCD jashtë kllapave.

      • Në shembullin tonë: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore duke hequr shumëzuesin nga kllapat. Pse thjesht të hiqni shumëzuesin nga kllapat, siç u bë më parë? Më pas, për të mësuar se si të thjeshtohen shprehjet komplekse, siç janë shprehjet thyesore. Në këtë rast, vendosja e faktorit jashtë kllapave mund të ndihmojë në heqjen e fraksionit (nga emëruesi).

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (9x 2 + 27x - 3)/3. Përdorni kllapa për të thjeshtuar këtë shprehje.
        • Hiqni faktorin 3 (siç keni bërë më parë): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Vini re se si numëruesi ashtu edhe emëruesi tani kanë numrin 3. Ky mund të reduktohet dhe ju merrni shprehjen: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Meqenëse çdo thyesë që ka numrin 1 në emërues është thjesht e barabartë me numëruesin, shprehja origjinale thyesore thjeshtohet në: 3x2 + 9x-1.

   Teknika shtesë të thjeshtimit

   1. Thjeshtimi i shprehjeve thyesore. Siç u përmend më lart, nëse si numëruesi ashtu edhe emëruesi përmbajnë të njëjtat terma (ose edhe të njëjtat shprehje), atëherë ato mund të reduktohen. Për ta bërë këtë, ju duhet të hiqni faktorin e përbashkët të numëruesit ose emëruesit, ose edhe numëruesin dhe emëruesin. Ose mund ta ndani çdo term të numëruesit me emëruesin dhe kështu të thjeshtoni shprehjen.

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen thyesore (5x 2 + 10x + 20)/10. Këtu, thjesht ndani çdo term të numëruesit me emëruesin (10). Por vini re se termi 5x2 as që pjesëtohet me 10 (sepse 5 është më pak se 10).
        • Pra, shkruaje shprehjen e thjeshtuar si kjo: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Thjeshtimi i shprehjeve radikale. Shprehjet nën shenjën radikale quhen shprehje radikale. Ato mund të thjeshtohen përmes zbërthimit të tyre në faktorët e duhur dhe heqjes së mëvonshme të një faktori nga poshtë rrënjës.

      • Shqyrtoni një shembull të thjeshtë: √(90). Numri 90 mund të zbërthehet në faktorët e mëposhtëm: 9 dhe 10, dhe nga 9 ekstrakt Rrenja katrore(3) dhe nxirrni 3 nga poshtë rrënjës.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Thjeshtimi i shprehjeve me fuqi. Në disa shprehje, ka veprime të shumëzimit ose pjesëtimit të termave me një shkallë. Në rastin e shumëzimit të termave me një bazë, shtohen shkallët e tyre; në rastin e pjesëtimit të termave me bazë të njëjtë, shkallët e tyre zbriten.

      • Për shembull, merrni parasysh shprehjen 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Në rastin e shumëzimit, mblidhni eksponentët dhe në rastin e pjesëtimit, zbritni ato.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Më poshtë jepet një shpjegim i rregullit të shumëzimit dhe pjesëtimit të termave me një shkallë.
        • Shumëzimi i termave me fuqi është i barabartë me shumëzimin e termave në vetvete. Për shembull, meqenëse x 3 = x × x × x dhe x 5 = x × x × x × x × x, atëherë x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ose x 8 .
        • Në mënyrë të ngjashme, ndarja e termave me fuqitë është e barabartë me ndarjen e termave në vetvete. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Meqenëse termat e ngjashëm që janë edhe në numërues edhe në emërues mund të reduktohen, prodhimi i dy "x", ose x 2, mbetet në numërues.

Materiali i këtij artikulli është një vështrim i përgjithshëm në transformimin e shprehjeve që përmbajnë thyesa. Këtu do të shqyrtojmë shndërrimet themelore që janë karakteristike për shprehjet me thyesa.

Navigimi i faqes.

Shprehje thyesore dhe shprehje thyesore

Për të filluar, le të sqarojmë se me çfarë lloj transformimi të shprehjes do të merremi.

Titulli i artikullit përmban shprehjen vetë-shpjeguese " shprehjet me thyesa". Kjo do të thotë, më poshtë do të flasim për transformimin e shprehjeve numerike dhe shprehjeve me ndryshore, në regjistrimin e të cilave ka të paktën një fraksion.

Vëmë re menjëherë se pas botimit të artikullit " Transformimi i thyesave: një pamje e përgjithshme"Ne nuk jemi më të interesuar për fraksione individuale. Kështu, më tej do të shqyrtojmë shumat, dallimet, produktet, shprehjet e pjesshme dhe më komplekse me rrënjë, fuqi, logaritme, të cilat bashkohen vetëm nga prania e të paktën një fraksioni.

Dhe le të flasim për shprehjet thyesore. Kjo nuk është e njëjtë me shprehjet me thyesa. Shprehjet me thyesa - më shumë koncept i përgjithshëm. Jo çdo shprehje me thyesa është një shprehje thyesore. Për shembull, shprehja nuk është një shprehje thyesore, megjithëse përmban një fraksion, ajo është një shprehje racionale me numër të plotë. Pra, mos e quani një shprehje me thyesa një shprehje thyesore pa qenë plotësisht i sigurt se është.

Shndërrime themelore identike të shprehjeve me thyesa

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen .

Zgjidhje.

Në këtë rast, mund të hapni kllapat, të cilat do të japin shprehjen , i cili përmban terma të ngjashëm dhe , si dhe −3 dhe 3 . Pas zvogëlimit të tyre, marrim një fraksion.

Le të tregojmë formë e shkurtër hyrjet në zgjidhje:

Përgjigje:

.

Puna me thyesa individuale

Shprehjet për të cilat po flasim për transformim ndryshojnë nga shprehjet e tjera kryesisht në prani të thyesave. Dhe prania e fraksioneve kërkon mjete për të punuar me to. Në këtë paragraf do të diskutojmë transformimin e thyesave individuale të përfshira në regjistrimin e kësaj shprehjeje dhe në paragrafin tjetër do të vazhdojmë të kryejmë veprime me thyesat që përbëjnë shprehjen origjinale.

Me çdo thyesë që është pjesë integrale shprehje origjinale, ju mund të kryeni cilindo nga konvertimet e përshkruara në artikullin e konvertimit të fraksionit. Kjo do të thotë, ju mund të merrni një fraksion të veçantë, të punoni me numëruesin dhe emëruesin e tij, ta zvogëloni atë, ta çoni në një emërues të ri, etj. Është e qartë se me këtë transformim, thyesa e zgjedhur do të zëvendësohet me një thyesë identike të barabartë me të, dhe shprehja origjinale do të zëvendësohet me një shprehje identike me të. Le të shohim një shembull.

Shembull.

Shndërroni shprehjen me thyesë në një formë më të thjeshtë.

Zgjidhje.

Le të fillojmë transformimin duke punuar me një thyesë. Së pari, hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm në numëruesin e thyesës: . Tani kërkon vendosjen në kllapa të faktorit të përbashkët x në numërues dhe reduktimin pasues të thyesës algjebrike: . Mbetet vetëm për të zëvendësuar rezultatin e marrë në vend të një fraksioni në shprehjen origjinale, e cila jep .

Përgjigje:

.

Kryerja e veprimeve me thyesa

Një pjesë e procesit të konvertimit të shprehjeve me thyesa shpesh bëhet veprimet me thyesa. Ato kryhen në përputhje me procedurën e pranuar për kryerjen e veprimeve. Vlen gjithashtu të kihet parasysh se çdo numër ose shprehje mund të përfaqësohet gjithmonë si një thyesë me emërues 1.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen .

Zgjidhje.

Problemi mund të trajtohet nga këndvështrime të ndryshme. Në kuadër të temës në shqyrtim do të shkojmë duke kryer veprime me thyesa. Le të fillojmë duke shumëzuar thyesat:

Tani e shkruajmë produktin si një thyesë me emërues 1, pas së cilës i zbresim thyesat:

Nëse dëshironi dhe është e nevojshme, ende mund të shpëtoni nga irracionaliteti në emërues , mbi të cilën mund të përfundoni transformimin.

Përgjigje:

Zbatimi i vetive të rrënjëve, fuqive, logaritmeve etj.

Klasa e shprehjeve me thyesa është shumë e gjerë. Shprehje të tilla, përveç thyesave aktuale, mund të përmbajnë rrënjë, shkallë me eksponentë të ndryshëm, module, logaritme, funksionet trigonometrike etj. Natyrisht, kur ato konvertohen, zbatohen vetitë përkatëse.

E zbatueshme për thyesat, vlen të theksohet vetia e rrënjës së thyesës, vetia e thyesës në shkallë, vetia e modulit të herësit dhe vetia e logaritmit të diferencës .

Për qartësi, ne japim disa shembuj. Për shembull, në shprehje Mund të jetë e dobishme, bazuar në vetitë e shkallës, të zëvendësohet thyesa e parë me një shkallë, e cila më tej na lejon të paraqesim shprehjen si një ndryshim në katror. Kur konvertohet një shprehje logaritmike është e mundur të zëvendësohet logaritmi i një thyese me diferencën e logaritmeve, gjë që më tej na lejon të sjellim terma të ngjashëm dhe në këtë mënyrë të thjeshtojmë shprehjen: . Konvertimi i shprehjeve trigonometrike mund të kërkojë zëvendësimin e raportit të sinusit me kosinusin e të njëjtit kënd me një tangjente. Mund të jetë gjithashtu e nevojshme të kaloni nga një gjysmë argument duke përdorur formulat e duhura në një argument të tërë, duke hequr qafe argumentin e thyesës, për shembull, .

Zbatimi i vetive të rrënjëve, shkallëve, etj. transformimi i shprehjeve trajtohet më në detaje në artikujt:

• Transformimi i shprehjeve irracionale duke përdorur vetitë e rrënjëve,
• Transformimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e fuqive,
• Shndërrimi i shprehjeve logaritmike duke përdorur vetitë e logaritmeve,
• Shndërrimi i shprehjeve trigonometrike.

Operacioni aritmetik që kryhet i fundit gjatë llogaritjes së vlerës së shprehjes është "kryesori".

Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja zbërthehet në faktorë).

Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë se shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).

Për ta rregulluar vetë, disa shembuj:

Shembuj:

Zgjidhjet:

1. Shpresoj se nuk keni nxituar menjëherë për të prerë dhe? Ende nuk ishte e mjaftueshme për të "reduktuar" njësi si kjo:

Hapi i parë duhet të jetë faktorizimi:

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.

Shtimi dhe zbritja e thyesave të zakonshme është një veprim i njohur: ne kërkojmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë çdo thyesë me faktorin që mungon dhe mbledhim / zbresim numëruesit.

Le të kujtojmë:

Përgjigjet:

1. Emëruesit dhe janë të dyfishtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:

2. Këtu emëruesi i përbashkët është:

3. Këtu, para së gjithash, ne i kthejmë fraksionet e përziera në ato të pahijshme, dhe më pas - sipas skemës së zakonshme:

Është krejt tjetër çështje nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:

Le të fillojmë thjesht:

a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja

Këtu gjithçka është e njëjtë si me thyesat e zakonshme numerike: gjejmë një emërues të përbashkët, shumëzojmë secilën fraksion me faktorin që mungon dhe shtojmë / zbresim numëruesit:

tani në numërues mund të sillni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:

Provojeni vetë:

Përgjigjet:

b) Emëruesit përmbajnë shkronja

Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:

Para së gjithash, ne përcaktojmë faktorët e përbashkët;

Pastaj i shkruajmë një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë, jo me ata të zakonshëm.

Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i zbërthejmë në faktorë të thjeshtë:

Ne theksojmë faktorët e përbashkët:

Tani i shkruajmë një herë faktorët e përbashkët dhe u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):

Ky është emëruesi i përbashkët.

Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:

Emëruesit i zbërthejmë në faktorë;

përcaktimi i shumëzuesve të përbashkët (identikë);

shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;

Ne i shumëzojmë me të gjithë faktorët e tjerë, jo me ata të zakonshëm.

Pra, me radhë:

1) zbërthejini emëruesit në faktorë:

2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):

3) shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (jo të nënvizuar):

Pra, emëruesi i përbashkët është këtu. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta - me:

Nga rruga, ekziston një mashtrim:

Për shembull: .

Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:

në masën e

në masën e

në masën e

në shkallë.

Le ta komplikojmë detyrën:

Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?

Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:

Askund nuk thuhet se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!

Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë është mësuar?

Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:

Kur i sillni thyesat në një emërues të përbashkët, përdorni vetëm veprimin e shumëzimit!

Por çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?

Këtu me radhë dhe shumohu. Dhe shumëzojeni me:

Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do të quhen "faktorë elementar".

Për shembull, është një faktor elementar. - gjithashtu. Por - jo: zbërthehet në faktorë.

Po shprehja? Është elementare?

Jo, sepse mund të faktorizohet:

(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").

Pra, faktorët elementar në të cilët zbërthehet një shprehje me shkronja janë një analog i faktorëve të thjeshtë në të cilët zbërthehen numrat. Dhe ne do të bëjmë të njëjtën gjë me ta.

Shohim që të dy emëruesit kanë një faktor. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët në pushtet (kujtoni pse?).

Shumëzuesi është elementar, dhe ata nuk e kanë atë të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Para se t'i shumëzoni këta emërues në një panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Të dyja përfaqësojnë:

E shkëlqyeshme! Pastaj:

Një shembull tjetër:

Zgjidhja:

Si zakonisht, ne faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë, thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:

Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por nëse shikoni nga afër, ata tashmë janë kaq të ngjashëm ... Dhe e vërteta është:

Pra, le të shkruajmë:

Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës, ne këmbyem termat dhe në të njëjtën kohë, shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.

Tani sjellim në një emërues të përbashkët:

E kuptova? Tani le të kontrollojmë.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Përgjigjet:

Këtu duhet të kujtojmë edhe një gjë - ndryshimin e kubeve:

Ju lutemi vini re se emëruesi i thyesës së dytë nuk përmban formulën "katrori i shumës"! Katrori i shumës do të duket kështu:

A është i ashtuquajturi katror i paplotë i shumës: termi i dytë në të është prodhimi i të parit dhe të fundit, dhe jo produkti i dyfishuar i tyre. Katrori jo i plotë i shumës është një nga faktorët në zgjerimin e diferencës së kubeve:

Po sikur tashmë ka tre thyesa?

Po, e njëjta gjë! Para së gjithash, do të sigurohemi që numri maksimal i faktorëve në emërues të jetë i njëjtë:

Kushtojini vëmendje: nëse ndryshoni shenjat brenda një kllapa, shenja përpara thyesës ndryshon në të kundërtën. Kur ndryshojmë shenjat në kllapin e dytë, shenja përpara thyesës kthehet përsëri. Si rezultat, ai (shenja përballë thyesës) nuk ka ndryshuar.

Emëruesin e parë e shkruajmë plotësisht në emëruesin e përbashkët dhe më pas i shtojmë të gjithë faktorët që nuk janë shkruar ende, nga i dyti dhe më pas nga i treti (e kështu me radhë, nëse ka më shumë thyesa). Kjo do të thotë, shkon kështu:

Hmm ... Me thyesa, është e qartë se çfarë duhet bërë. Por çfarë ndodh me të dy?

Është e thjeshtë: ju dini si të shtoni thyesa, apo jo? Pra, duhet të siguroheni që deuce të bëhet një fraksion! Mbani mend: një thyesë është një veprim pjesëtimi (numëruesi ndahet me emëruesin, në rast se keni harruar papritur). Dhe nuk ka asgjë më të lehtë sesa pjesëtimi i një numri me. Në këtë rast, vetë numri nuk do të ndryshojë, por do të kthehet në një fraksion:

Pikërisht ajo që nevojitet!

5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Epo, pjesa më e vështirë tani ka mbaruar. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:

Procedura

Cila është procedura për llogaritjen e një shprehjeje numerike? Mos harroni, duke marrë parasysh vlerën e një shprehjeje të tillë:

A keni numëruar?

Duhet të funksionojë.

Pra, ju kujtoj.

Hapi i parë është llogaritja e shkallës.

E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ju mund t'i bëni ato në çdo mënyrë.

Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.

Por: shprehja e vendosur në kllapa vlerësohet jashtë rendit!

Nëse disa kllapa shumëzohen ose ndahen me njëra-tjetrën, së pari vlerësojmë shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas i shumëzojmë ose i ndajmë ato.

Po sikur të ketë kllapa të tjera brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Cila është gjëja e parë që duhet bërë kur vlerësoni një shprehje? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapa. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.

Pra, rendi i veprimeve për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):

Mirë, gjithçka është e thjeshtë.

Por kjo nuk është njësoj si shprehja me shkronja, apo jo?

Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të operacioneve aritmetike është e nevojshme të bëhen operacione algjebrike, domethënë operacionet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për faktorizim, duhet të përdorni i ose thjesht të hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat.

Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë një shprehje si produkt ose koeficient.

Për shembull:

Le të thjeshtojmë shprehjen.

1) Fillimisht thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi diferencën e thyesave dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose herës. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:

Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).

2) Ne marrim:

Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e lehtë.

3) Tani mund të shkurtoni:

OK tani ka mbaruar. Asgjë e komplikuar, apo jo?

Një shembull tjetër:

Thjeshtoni shprehjen.

Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.

Zgjidhja:

Para së gjithash, le të përcaktojmë procedurën.

Së pari, le të shtojmë thyesat në kllapa, në vend të dy thyesave, do të dalë një.

Më pas do të bëjmë pjesëtimin e thyesave. Epo, rezultatin e shtojmë me fraksionin e fundit.

Unë do të numëroj skematikisht hapat:

Tani do të tregoj të gjithë procesin, duke e ngjyrosur veprimin aktual me të kuqe:

1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që kemi të ngjashme, këshillohet që t'i sjellim menjëherë.

2. E njëjta gjë vlen edhe për zvogëlimin e thyesave: sapo të krijohet mundësia për të reduktuar, duhet përdorur. Përjashtim bëjnë thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë të njëjtët emërues, atëherë zvogëlimi duhet të lihet për më vonë.

Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:

Dhe premtoi që në fillim:

Përgjigjet:

Zgjidhjet (e shkurtër):

Nëse keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë konsideroni se e keni zotëruar temën.

Tani për të mësuar!

KONVERSIMI I SHPREHJES. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE

Operacionet themelore të thjeshtimit:

• Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
• Faktorizimi: nxjerrja nga kllapa e faktorit të përbashkët, aplikimi etj.
• Reduktimi i fraksionit: numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, nga i cili vlera e thyesës nuk ndryshon.
  1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
  2) nëse ka faktorë të përbashkët në numërues dhe emërues, ato mund të kalohen.

  E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!

• Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
  ;
• Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
  ;

Nga kursi i algjebrës kurrikula shkollore Le të zbresim në specifikat. Në këtë artikull, ne do të studiojmë në detaje një lloj të veçantë të shprehjeve racionale - thyesat racionale, dhe gjithashtu analizoni se çfarë karakteristike është identike shndërrimet e thyesave racionale zhvillohen.

Vëmë re menjëherë se thyesat racionale në kuptimin në të cilin i përkufizojmë më poshtë quhen thyesa algjebrike në disa tekste algjebër. Kjo do të thotë, në këtë artikull do të kuptojmë të njëjtën gjë nën thyesat racionale dhe algjebrike.

Si zakonisht, ne fillojmë me një përkufizim dhe shembuj. Më pas, le të flasim për sjelljen e një thyese racionale në një emërues të ri dhe për ndryshimin e shenjave të anëtarëve të thyesës. Pas kësaj do të analizojmë se si kryhet reduktimi i thyesave. Së fundi, le të ndalemi në paraqitjen e një thyese racionale si një shumë e disa thyesave. I gjithë informacioni do të jepet me shembuj me përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të thyesave racionale

Thyesat racionale studiohen në mësimet e algjebrës në klasën e 8-të. Ne do të përdorim përkufizimin e një fraksioni racional, i cili është dhënë në librin shkollor të algjebrës për klasat 8 nga Yu. N. Makarychev dhe të tjerët.

AT këtë përkufizim nuk specifikohet nëse polinomet në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale duhet të jenë polinome të formës standarde apo jo. Prandaj, do të supozojmë se thyesat racionale mund të përmbajnë polinome standarde dhe jo standarde.

Këtu janë disa shembuj të thyesave racionale. Pra, x/8 dhe - thyesat racionale. Dhe thyesat dhe nuk i përshtaten përkufizimit të tingëlluar të një thyese racionale, pasi në të parën numëruesi nuk është polinom, dhe në të dytën edhe numëruesi edhe emëruesi përmbajnë shprehje që nuk janë polinome.

Shndërrimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese janë shprehje matematikore të vetë-mjaftueshme, në rastin e thyesave racionale janë polinome, në një rast të veçantë janë monomë dhe numra. Prandaj, me numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale, si me çdo shprehje, mund të kryhen shndërrime identike. Me fjalë të tjera, shprehja në numëruesin e një thyese racionale mund të zëvendësohet me një shprehje që është identike e barabartë me të, ashtu si emëruesi.

Në numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale mund të kryhen shndërrime identike. Për shembull, në numërues, ju mund të gruponi dhe zvogëloni terma të ngjashëm, dhe në emërues, produkti i disa numrave mund të zëvendësohet me vlerën e tij. Dhe meqenëse numëruesi dhe emëruesi i një fraksioni racional janë polinome, është e mundur të kryhen transformime karakteristike të polinomeve me to, për shembull, reduktimi në një formë standarde ose paraqitje si produkt.

Për qartësi, merrni parasysh zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Shndërroni thyesën racionale kështu që numëruesi është një polinom i formës standarde, dhe emëruesi është prodhimi i polinomeve.

Zgjidhje.

Reduktimi i thyesave racionale në një emërues të ri përdoret kryesisht kur mblidhen dhe zbriten thyesat racionale.

Ndryshimi i shenjave para një thyese, si dhe në numëruesin dhe emëruesin e saj

Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e termave të thyesës. Në të vërtetë, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese racionale me -1 është i barabartë me ndryshimin e shenjave të tyre, dhe rezultati është një thyesë që është identike e barabartë me atë të dhënë. Një transformim i tillë duhet të përdoret mjaft shpesh kur punoni me thyesa racionale.

Kështu, nëse ndryshoni njëkohësisht shenjat e numëruesit dhe emëruesit të një thyese, do të merrni një thyesë të barabartë me atë origjinale. Kjo deklaratë korrespondon me barazinë.

Le të marrim një shembull. Një thyesë racionale mund të zëvendësohet nga një thyesë identike e barabartë me shenja të kundërta të numëruesit dhe emëruesit të formës.

Me thyesa, mund të kryhet një transformim tjetër identik, në të cilin shenja ndryshohet ose në numërues ose në emërues. Le të kalojmë mbi rregullin e duhur. Nëse zëvendësoni shenjën e një thyese së bashku me shenjën e numëruesit ose të emëruesit, ju merrni një thyesë që është identike e barabartë me origjinalin. Deklarata e shkruar korrespondon me barazitë dhe .

Nuk është e vështirë të vërtetohen këto barazi. Vërtetimi bazohet në vetitë e shumëzimit të numrave. Le të vërtetojmë të parën prej tyre: . Me ndihmën e transformimeve të ngjashme vërtetohet edhe barazia.

Për shembull, një fraksion mund të zëvendësohet me një shprehje ose .

Për të përfunduar këtë nënseksion, ne paraqesim dy barazi më të dobishme dhe . Kjo do të thotë, nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj. Për shembull, dhe .

Shndërrimet e konsideruara, të cilat lejojnë ndryshimin e shenjës së termave të një thyese, përdoren shpesh gjatë transformimit të shprehjeve racionale të pjesshme.

Reduktimi i thyesave racionale

Shndërrimi i mëposhtëm i thyesave racionale, i quajtur reduktimi i thyesave racionale, bazohet në të njëjtën veti bazë të një thyese. Ky transformim korrespondon me barazinë , ku a , b dhe c janë disa polinome, dhe b dhe c janë jo zero.

Nga barazia e mësipërme, bëhet e qartë se reduktimi i një thyese racionale nënkupton heqjen e faktorit të përbashkët në numëruesin dhe emëruesin e tij.

Shembull.

Zvogëloni thyesën racionale.

Zgjidhje.

Faktori i përbashkët 2 është menjëherë i dukshëm, le ta zvogëlojmë (kur shkruajmë, është e përshtatshme të kryqëzohen faktorët e zakonshëm me të cilët bëhet zvogëlimi). Ne kemi . Meqenëse x 2 \u003d x x dhe y 7 \u003d y 3 y 4 (shih nëse është e nevojshme), është e qartë se x është një faktor i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të fraksionit që rezulton, si y 3 . Le të reduktojmë me këta faktorë: . Kjo plotëson reduktimin.

Më sipër, ne kryem reduktimin e një thyese racionale në mënyrë sekuenciale. Dhe ishte e mundur të kryhej zvogëlimi në një hap, duke reduktuar menjëherë fraksionin me 2·x·y 3 . Në këtë rast, zgjidhja do të duket si kjo: .

Përgjigje:

.

Kur zvogëloni thyesat racionale, problemi kryesor është se faktori i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit nuk është gjithmonë i dukshëm. Për më tepër, ajo nuk ekziston gjithmonë. Për të gjetur një faktor të përbashkët ose për t'u siguruar që ai nuk ekziston, duhet të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese racionale. Nëse nuk ka faktor të përbashkët, atëherë fraksioni racional origjinal nuk ka nevojë të zvogëlohet, përndryshe, zvogëlimi kryhet.

Në procesin e zvogëlimit të fraksioneve racionale, mund të shfaqen nuanca të ndryshme. Hollësitë kryesore me shembuj dhe detaje diskutohen në artikullin reduktimi i thyesave algjebrike.

Duke përfunduar bisedën për reduktimin e thyesave racionale, vërejmë se ky transformim është identik dhe vështirësia kryesore në zbatimin e tij qëndron në faktorizimin e polinomeve në numërues dhe emërues.

Paraqitja e një thyese racionale si një shumë e thyesave

Mjaft specifik, por në disa raste shumë i dobishëm, është shndërrimi i një thyese racionale, e cila konsiston në paraqitjen e saj si shumë e disa thyesave, ose si shumë e një shprehjeje me numër të plotë dhe një thyese.

Një thyesë racionale, në numëruesin e së cilës ka një polinom, i cili është shuma e disa monomëve, gjithmonë mund të shkruhet si shumë e thyesave me emërues të njëjtë, në numëruesit e të cilave janë monomët përkatës. Për shembull, . Ky paraqitje shpjegohet me rregullin e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave algjebrike me emërues të njëjtë.

Në përgjithësi, çdo thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme. Për shembull, thyesa a/b mund të përfaqësohet si shuma e dy thyesave - një fraksion arbitrar c/d dhe një fraksion i barabartë me diferencën midis thyesave a/b dhe c/d. Kjo deklaratë është e vërtetë, që nga barazia . Për shembull, një thyesë racionale mund të përfaqësohet si një shumë e thyesave në mënyra të ndryshme: Ne paraqesim thyesën origjinale si shumën e një shprehjeje me numër të plotë dhe një fraksioni. Pasi pjesëtojmë numëruesin me emëruesin me një kolonë, marrim barazinë . Vlera e shprehjes n 3 +4 për çdo numër të plotë n është një numër i plotë. Dhe vlera e një thyese është një numër i plotë nëse dhe vetëm nëse emëruesi i saj është 1, −1, 3, ose −3. Këto vlera korrespondojnë me vlerat n=3, n=1, n=5 dhe n=−1 respektivisht.

Përgjigje:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Në orën 14.00 Pjesa 1. Teksti mësimor i nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 13-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 f.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Shprehjet racionale dhe thyesat janë gurthemeli i gjithë rrjedhës së algjebrës. Ata që mësojnë si të punojnë me shprehje të tilla, t'i thjeshtojnë dhe t'i faktorizojnë, në fakt, do të jenë në gjendje të zgjidhin çdo problem, pasi shndërrimi i shprehjeve është pjesë përbërëse e çdo ekuacioni serioz, pabarazie, madje edhe problemi me fjalë.

Në këtë video tutorial, do të shohim se si të zbatojmë saktë formulat e shkurtuara të shumëzimit për të thjeshtuar shprehjet dhe thyesat racionale. Le të mësojmë të shohim këto formula ku, në shikim të parë, nuk ka asgjë. Në të njëjtën kohë, ne përsërisim një mashtrim kaq të thjeshtë si faktorizimi i një trinomi katror në faktorë përmes diskriminuesit.

Siç e keni menduar tashmë nga formulat pas shpinës sime, sot do të studiojmë formulat për shumëzimin e shkurtuar, ose më saktë, jo vetë formulat, por aplikimin e tyre për të thjeshtuar dhe zvogëluar shprehjet racionale komplekse. Por, përpara se të kalojmë në zgjidhjen e shembujve, le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre formulave ose t'i kujtojmë ato:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \djathtas)$ është diferenca e katrorëve;
2. $((\left(a+b \djathtas))^(2))=(a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ është katrori i shumës;
3. $((\left(a-b \djathtas))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ është diferenca në katror;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\majtas(a+b \djathtas)\majtas(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \djathtas)$ është shuma e kubeve;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\majtas(a-b \djathtas)\majtas(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \djathtas)$ është diferenca e kubeve.

Gjithashtu dua të theksoj se sistemi ynë arsimor shkollor është i dizajnuar në atë mënyrë që të jetë me studimin e kësaj teme, d.m.th. shprehjet racionale, si dhe rrënjët, modulet, të gjithë studentët kanë të njëjtin problem, të cilin tani do ta shpjegoj.

Fakti është se në fillimin e studimit të formulave për shumëzimin e shkurtuar dhe, në përputhje me rrethanat, veprimet për zvogëlimin e thyesave (kjo ka të bëjë me klasën 8), mësuesit thonë diçka si kjo: "Nëse diçka nuk është e qartë për ju, atëherë mos merak, ne do t'i kthehemi kësaj teme më shumë se një herë, në shkollë të mesme me siguri. Do ta kuptojmë më vonë”. Epo, atëherë në kthesën e klasave 9-10, të njëjtët mësues u shpjegojnë të njëjtëve nxënës që ende nuk dinë të zgjidhin thyesat racionale, diçka si kjo: "Ku ishit dy vitet e mëparshme? E njëjta gjë studiohej në algjebër në klasën e 8-të! Çfarë mund të jetë e pakuptueshme këtu? Është kaq e qartë!"

Sidoqoftë, për studentët e zakonshëm, shpjegime të tilla nuk janë aspak më të lehta: ata ende kishin një rrëmujë në kokën e tyre, kështu që tani do të analizojmë dy shembuj të thjeshtë, në bazë të të cilëve do të shohim se si t'i zgjedhim këto shprehje në probleme reale, e cila do të na çojë te formulat e shkurtra të shumëzimit dhe si ta zbatojmë më vonë për të transformuar shprehjet e ndërlikuara racionale.

Reduktimi i thyesave të thjeshta racionale

Detyra numër 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Gjëja e parë që duhet të mësojmë është të dallojmë katrorët e saktë dhe fuqitë më të larta në shprehjet origjinale, në bazë të të cilave mund të zbatojmë formulat. Le të shohim:

Le të rishkruajmë shprehjen tonë duke marrë parasysh këto fakte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))((\majtas(3((y)^(2)) \djathtas))^(2))-((\majtas(4x \djathtas))^(2))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\majtas(3((y)^(2))-4x \djathtas)\majtas(3 ((y)^(2))+4x \djathtas))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Përgjigje: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Detyra numër 2

Le të kalojmë në detyrën e dytë:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nuk ka asgjë për të thjeshtuar këtu, sepse numëruesi është një konstante, por unë e propozova këtë problem pikërisht në mënyrë që të mësoni se si të faktorizoni polinomet që përmbajnë dy ndryshore. Nëse në vend të tij do të ishte shkruar një polinom më poshtë, si do ta zbërthejmë atë?

\[((x)^(2))+5x-6=\majtas(x-... \djathtas)\majtas(x-... \djathtas)\]

Le të zgjidhim ekuacionin dhe të gjejmë $x$ që mund të vendosim në vend të pikave:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Mund ta rishkruajmë trinomin si më poshtë:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\majtas(x-1 \djathtas)\majtas(x+6 \djathtas)\]

Mësuam se si të punonim me një trinom katror - për këtë duhej të regjistronim këtë mësim video. Por çka nëse, përveç $x$ dhe konstantes, ka edhe $y$? Le t'i shohim si një element tjetër të koeficientëve, d.m.th. Le ta rishkruajmë shprehjen tonë si më poshtë:

\[((x)^(2))+5y\cpika x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Ne shkruajmë zbërthimin e konstruksionit tonë katror:

\[\majtas(x-y \djathtas)\majtas(x+6y \djathtas)\]

Në total, nëse kthehemi në shprehjen origjinale dhe e rishkruajmë atë duke marrë parasysh ndryshimet, marrim sa vijon:

\[\frac(8)(\majtas(x-y \djathtas)\majtas(x+6y \djathtas))\]

Çfarë na jep një rekord i tillë? Asgjë, sepse nuk mund të zvogëlohet, nuk shumëzohet apo pjesëtohet me asgjë. Sidoqoftë, sapo kjo fraksion të rezultojë të jetë pjesë përbërëse e një shprehjeje më komplekse, një zgjerim i tillë do të jetë i dobishëm. Prandaj, sapo të shihni një trinom katror (nëse është i ngarkuar me parametra shtesë apo jo), përpiquni gjithmonë ta faktorizoni atë.

Nuancat e zgjidhjes

Mos harroni rregullat themelore për konvertimin e shprehjeve racionale:

• Të gjithë emëruesit dhe numëruesit duhet të faktorizohen ose nëpërmjet formulave të shkurtuara të shumëzimit ose nëpërmjet diskriminuesit.
• Ne duhet të punojmë sipas këtij algoritmi: kur shikojmë dhe përpiqemi të nxjerrim në pah formulën e shkurtuar të shumëzimit, atëherë, para së gjithash, përpiqemi të përkthejmë gjithçka në shkallën maksimale të mundshme. Pas kësaj, ne nxjerrim shkallën e përgjithshme nga kllapat.
• Shumë shpesh do të ketë shprehje me një parametër: variabla të tjerë do të shfaqen si koeficientë. I gjejmë duke përdorur formulën e zgjerimit kuadratik.

Kështu, sapo të shihni thyesat racionale, gjëja e parë që duhet të bëni është të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin në faktorë (në shprehje lineare), ndërsa ne përdorim formulat e shumëzimit të reduktuar ose diskriminuesin.

Le të shohim disa shprehje të tilla racionale dhe të përpiqemi t'i faktorizojmë ato.

Zgjidhja e shembujve më kompleksë

Detyra numër 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Ne rishkruajmë dhe përpiqemi të zgjerojmë çdo term:

Le të rishkruajmë të gjithë shprehjen tonë racionale me këto fakte në mendje:

\[\frac(((\majtas(2x \djathtas))^(2)-2x\cdot 3y+((\left(3y \djathtas))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\majtas(3y \djathtas))^(2))-((\majtas(2x \djathtas))^(2)))((\majtas(2x \djathtas))^(3))+ ((\majtas(3y\djathtas))^(3)))=\]

\[=\frac(((\majtas(2x \djathtas))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \djathtas))^(2))(2x-3y)\cdot \ frac (\ majtas (3y-2x \ djathtas)\ majtas (3y + 2x \ djathtas)) (\ majtas (2x + 3y \ djathtas) \ majtas ((\ majtas (2x \ djathtas)) ^ (2)) - 2x\cdot 3y+((\majtas(3y \djathtas))^(2)) \djathtas))=-1\]

Përgjigje: -1$.

Detyra numër 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Le të shohim të gjitha thyesat.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\majtas(x-2 \djathtas))^(2))\]

Le të rishkruajmë të gjithë strukturën duke marrë parasysh ndryshimet:

\[\frac(3\majtas(1-2x \djathtas))(2\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas))\cdot \frac( 2x+1)(((\majtas(x-2 \djathtas))^(2))\cdot \frac(\majtas(2-x \djathtas)\majtas(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \djathtas))(\majtas(2x-1 \djathtas)\majtas(2x+1 \djathtas))=\]

\[=\frac(3\cdot \majtas(-1 \djathtas))(2\cdot \left(x-2 \djathtas)\cdot \left(-1 \djathtas))=\frac(3)(2 \majtas(x-2 \djathtas))\]

Përgjigje: $\frac(3)(2\majtas(x-2 \djathtas))$.

Nuancat e zgjidhjes

Pra, çfarë kemi mësuar sapo:

• Jo çdo trinom katror është i faktorizuar, në veçanti, kjo vlen për katrorin jo të plotë të shumës ose ndryshimit, të cilat shumë shpesh gjenden si pjesë e kubeve të shumës ose diferencës.
• Konstantet, d.m.th. Si elementë aktivë në procesin e zbërthimit mund të veprojnë edhe numrat e zakonshëm që nuk kanë variabla me vete. Së pari, ato mund të hiqen nga kllapat, dhe së dyti, vetë konstantat mund të përfaqësohen si fuqi.
• Shumë shpesh, pas zbërthimit të të gjithë elementëve në faktorë, lindin ndërtime të kundërta. Ju duhet t'i zvogëloni këto fraksione me shumë kujdes, sepse kur i kryqëzoni ose nga lart ose nga poshtë, shfaqet një faktor shtesë $-1$ - kjo është pikërisht pasojë e faktit që ato janë të kundërta.

Zgjidhja e problemeve komplekse

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Le të shqyrtojmë secilin term veç e veç.

Pjesa e parë:

\[((\majtas(3a \djathtas))^(3))-((\majtas(4b \djathtas))^(3))=\majtas(3a-4b \djathtas)\majtas(((\majtas (3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2)) \djathtas)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\majtas(b-2 \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas)\]

Mund ta rishkruajmë të gjithë numëruesin e thyesës së dytë si më poshtë:

\[((\majtas(3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2))\]

Tani le të shohim emëruesin:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\majtas(b+2 \djathtas ))^(2))\]

Le të rishkruajmë të gjithë shprehjen racionale duke pasur parasysh faktet e mësipërme:

\[\frac(\majtas(3a-4b \djathtas)\left(((\majtas(3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2 )) \djathtas))(\majtas(b-2 \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas))\cdot \frac(((\majtas(b+2 \djathtas))^(2)))( ((\majtas(3a \djathtas))^(2))+3a\cdot 4b+((\majtas(4b \djathtas))^(2)))=\]

\[=\frac(\majtas(3a-4b \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas))(\majtas(b-2 \djathtas))\]

Përgjigje: $\frac(\majtas(3a-4b \djathtas)\majtas(b+2 \djathtas))(\majtas(b-2 \djathtas))$.

Nuancat e zgjidhjes

Siç e kemi parë edhe një herë, katrorët e paplotë të shumës ose katrorët e paplotë të diferencës, të cilat shpesh gjenden në shprehjet reale racionale, megjithatë, mos kini frikë prej tyre, sepse pas transformimit të çdo elementi ato pothuajse gjithmonë anulohen. . Për më tepër, në asnjë rast nuk duhet të keni frikë nga ndërtimet e mëdha në përgjigjen përfundimtare - është mjaft e mundur që ky të mos jetë gabimi juaj (veçanërisht nëse gjithçka është faktorizuar), por autori konceptoi një përgjigje të tillë.

Si përfundim, do të doja të analizoja një shembull më kompleks, i cili nuk lidhet më drejtpërdrejt me thyesat racionale, por përmban gjithçka që ju pret në teste dhe provime reale, përkatësisht: faktorizimi, reduktimi në një emërues të përbashkët, zvogëlimi i termave të ngjashëm. . Kjo është pikërisht ajo që ne do të bëjmë tani.

Zgjidhja e një problemi kompleks të thjeshtimit dhe transformimit të shprehjeve racionale

\[\majtas(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \djathtas)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \djathtas)\]

Së pari, merrni parasysh dhe zgjeroni kllapin e parë: në të shohim tre thyesa të veçanta me emërues të ndryshëm, kështu që gjëja e parë që duhet të bëjmë është t'i sjellim të tre thyesat në një emërues të përbashkët, dhe për këtë, secili prej tyre duhet të faktorizohet:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas)\]

Le të rishkruajmë të gjithë strukturën tonë si më poshtë:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\majtas(x -2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\majtas(x-2 \djathtas)+((x)^(3))+8-\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ majtas(x-2 \djathtas)\majtas(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \djathtas))=\]

\[=\frac(((\majtas(x-2 \djathtas))^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \djathtas))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ky është rezultati i llogaritjeve nga kllapa e parë.

Duke u marrë me kllapat e dytë:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \ drejtë)\]

Le të rishkruajmë kllapin e dytë, duke marrë parasysh ndryshimet:

\[\frac(((x)^(2)))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtë(x+2 \djathtas))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\majtas(x+2 \djathtas))(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))\]

Tani le të shkruajmë të gjithë ndërtimin origjinal:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\majtas(x-2 \djathtas)\majtas(x+2 \djathtas))=\frac(1)(x+2)\]

Përgjigje: $\frac(1)(x+2)$.

Nuancat e zgjidhjes

Siç mund ta shihni, përgjigja doli të ishte mjaft e arsyeshme. Megjithatë, ju lutemi vini re: shumë shpesh me llogaritje të tilla në shkallë të gjerë, kur ndryshorja e vetme është vetëm në emërues, studentët harrojnë se ky është emëruesi dhe duhet të jetë në fund të thyesës dhe shkruajnë këtë shprehje në numërues - kjo është një gabim i rëndë.

Përveç kësaj, unë do të doja të vizatoja tuajin vëmendje të veçantë si trajtohen detyra të tilla. Në çdo llogaritje komplekse, të gjitha hapat kryhen hap pas hapi: së pari, ne numërojmë kllapin e parë veç e veç, pastaj kllapin e dytë veçmas, dhe vetëm në fund i kombinojmë të gjitha pjesët dhe llogarisim rezultatin. Kështu, ne sigurohemi nga gabimet budallaqe, shkruajmë me kujdes të gjitha llogaritjet dhe në të njëjtën kohë nuk humbim kohë shtesë, siç mund të duket në shikim të parë.